Lezione Progetto di Strutture. Sistemi a più gradi di libertà

Lezione

Progetto di Strutture

Sistemi a più gradi di libertà

Assegnando una deformata iniziale

generica

Assegnando una particolare

deformata iniziale

la forma varia man mano

la forma resta la stessa

modo di oscillazione libera del sistema

m1

m2

m3

Modi di oscillazione libera

Modi di oscillazione libera

Telaio piano (con traversi inestensibili):numero di modi di oscillazione libera = numero di piani

m1

m2

m3

Primo modo

T1

Secondo modo

T2

Terzo modo

T3

Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano):numero di modi di oscillazione = 3 x numero di pianiSe la pianta ha due assi di simmetria, i

modi di oscillazione libera sono disaccoppiati:- n modi di traslazione in una direzione

Modi di oscillazione libera

Se la pianta ha due assi di simmetria, i modi di oscillazione libera sono disaccoppiati:- n modi di traslazione in una direzione- n modi di traslazione nell’altra direzione

Modi di oscillazione libera

Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano):numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani

Se la pianta ha due assi di simmetria, i modi di oscillazione libera sono disaccoppiati:- n modi di traslazione in una direzione- n modi di traslazione nell’altra direzione- n modi di rotazione

Modi di oscillazione libera

Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano):numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani

Se la pianta ha un asse di simmetria, i modi di oscillazione libera secondo la direzione di simmetria sono disaccoppiati dagli altri:

- n modi di traslazione nella direzione di simmetria- 2n modi di traslazione e rotazione

Modi di oscillazione libera

Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano):numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani

Modi di oscillazione liberaEsempio - edificio con un asse di simmetria

Modi di oscillazione liberaEsempio - edificio con un asse di simmetria

edificio con n.6 piani

In una struttura intelaiata T1 0.1 sec a piano

Periodi di vibrazioneOutput Modo Periodo

    Sec

MODALE 1 0.72MODALE 2 0.66

MODALE 3 0.64

MODALE 4 0.25

MODALE 5 0.24

MODALE 6 0.23

MODALE 7 0.13

MODALE 8 0.13

MODALE 9 0.13

MODALE 10 0.09

MODALE 11 0.08

MODALE 12 0.08

In una struttura intelaiata i tre periodi sono abbastanza prossimi tra loro

Modi di oscillazione libera

Spostamenti      Piano Modo U1 U2 R3

    m m Radianti6

1

0.000 -0.032 0.0005 0.000 -0.027 0.0004 0.000 -0.021 0.0003 0.000 -0.015 0.0002 0.000 -0.009 0.0001 0.000 -0.003 0.000

6

2

0.025 0.000 0.0025 0.021 0.000 0.0014 0.017 0.000 0.0013 0.012 0.000 0.0012 0.008 0.000 0.0001 0.003 0.000 0.000

6

3

0.019 0.000 -0.0025 0.017 0.000 -0.0024 0.013 0.000 -0.0013 0.010 0.000 -0.0012 0.006 0.000 -0.0011 0.002 0.000 0.000

6

4

0.000 -0.031 0.0005 0.000 -0.004 0.0004 0.000 0.017 0.0003 0.000 0.026 0.0002 0.000 0.021 0.000

1 0.000 0.009 0.000

6

5

0.024 0.000 0.0025 0.005 0.000 0.0004 -0.012 0.000 -0.0013 -0.019 0.000 -0.0022 -0.017 0.000 -0.0011 -0.008 0.000 -0.001

6

6

-0.021 0.000 0.0025 -0.004 0.000 0.0004 0.011 0.000 -0.0013 0.017 0.000 -0.0022 0.014 0.000 -0.0011 0.006 0.000 -0.001

6

7

-0.023 0.000 -0.0015 0.020 0.000 0.0014 0.021 0.000 0.0013 -0.006 0.000 0.0002 -0.024 0.000 -0.0011 -0.016 0.000 0.000

6

8

0.000 0.023 0.0005 0.000 -0.020 0.0004 0.000 -0.022 0.0003 0.000 0.006 0.0002 0.000 0.027 0.0001 0.000 0.017 0.000

6

9

0.008 0.000 -0.0025 -0.007 0.000 0.0024 -0.007 0.000 0.0023 0.002 0.000 -0.0012 0.008 0.000 -0.0021 0.005 0.000 -0.001

Se la pianta non ha assi di simmetria, i modi di oscillazione libera sono accoppiati

Modi di oscillazione libera

Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel piano):numero di modi di oscillazione = 3 x numero di piani

Telaio spazialesenza impalcati indeformabili nel piano

Il numero di modi di oscillazione libera è molto maggiore

Modi di oscillazione libera

L’equazione del moto, in termini matriciali, è analoga a quella dell’oscillatore semplice

0 m u k u

,( ) cos( )i i j ju t t

La soluzione, in caso di moto libero con deformata modale, è una funzione armonica

2det( ) 0j k mDall’ equazione

si ricavano le frequenze angolari j associate a deformate non nulle

Modi di oscillazione libera

Modi di oscillazione liberaFormula approssimata di Rayleigh

0( ) c ( )nt sen t u

0( ) c cos( )n nt t u

2

1,1

1

2

N

so j jo j oj

E k u u

2

1

1

2

N

Ko j joj

E m u

2

11

2

1

1

2

1

2

N

j j jj2

n N

j jj

k

m

m1

m2

m3

Si consideri il sistema che oscilla liberamente secondo un moto armonico, con spostamenti

e velocità delle masse

I valori massimi delle energie potenziali e cinetiche sono

Dall`eguaglianza di dette energie si desume la pulsazione associata alla forma di vibrazione fissata

Una qualsiasi deformata può essere espressa come combinazione delle deformate modali

Equazioni del moto libero

u = q

1 2 3

q1 q2 q3

Con questa posizione, l’equazione del moto

q q 0 T Tm k

0 ukum

Equazioni del moto liberoCoordinate modali

diventa

*M *K

ovvero* *q q 0 M K

Nell’equazione del moto (in forma matriciale)

le matrici M* e K* sono diagonali, ovvero solo i termini della diagonale principale sono diversi da zero

Equazioni del moto liberoCoordinate modali

* *q q 0 M K

**ijij

0 se i jm se i = j

Ti j

M m

Infatti:*

*ijij

0 se i jk se i = j

T

i j

K k

è quindi costituito da equazioni disaccoppiate

Il sistema di equazioni

Pertanto, si può valutare il contributo di ciascun modo separatamente, come se fosse un oscillatore semplice

Equazioni del moto liberoCoordinate modali

ciascuna contenente una sola incognita

* *j j j jq q 0 m k

* *q q 0 M K

Con la stessa posizione ( ),

* * *M q + C q + K q = 0

u = q

0 ukucum

In molti casi, oltre a M* e K*, anche la matrice C* è diagonale e le equazioni

Equazioni del moto libero con smorzamento

l’equazione del moto in presenza di smorzamento

diventa

* * *j j j j j jq q q 0 m c k

sono disaccoppiate (sistemi classicamente smorzati)

L’equazione del motoTM q C q K q m I gu

gu Imukucum

diventa

Anche in questo caso se la struttura è classicamente smorzata il sistema si scompone in tante equazioni separate 22j j j j j j j gq q q u

Si noti che l’accelerazione del terreno è moltiplicata per j

n

ijii

n

ijii

j

m

m

1

2,

1,

Coefficiente di partecipazione modale:indica se il contributo del modo al moto totale del sistema è più, o meno, rilevante

Equazioni del moto (risposta ad un accelerogramma)

Consiste nel valutare separatamente la risposta della struttura vincolata a deformarsi secondo ciascuno dei suoi modi di oscillazione . . .

TT

Se Forze

sollecitazioni

spostamenti

Analisi modale con spettro

Consiste nel valutare separatamente la risposta della struttura vincolata a deformarsi secondo ciascuno dei suoi modi di oscillazione . . .

. . . e poi combinare le massime sollecitazioni (o spostamenti) trovati per i singoli modi

Analisi modale con spettro

La combinazione dei risultati può essere fatta come...

come combinazione quadratica completa (CQC)

Analisi modale con spettroRegole di combinazione modale

12

i jj i

E E E

12

ij i jj i

E E E

radice quadrata della somma dei quadrati (SRSS)

dove = coefficiente di correlazione modale

Analisi modale con spettroCoefficiente di correlazione modale

0 0.5 1.0 1.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ij=Ti /Tj

ij

2 3 2

2 2

8

1 1 4

ijij

ij ij ij

=0.20

=0.10=0.02

=0.05

Il taglio alla base corrispondente al modo j è*

, ( )b j j e jV M S Tdove

Se(Tj) è l’ordinata spettrale corrispondente al periodo Tj

Mj* è detta massa partecipante

2

,* 1

,21,

1

n

i i jni

j i i j j ni

i i ji

mM m

m

Considerando tutti i modi, la massa partecipante totale coincide con l’intera massa presente nella struttura

Contributo dei singoli modi

Il primo modo è nettamente predominante per entità di massa partecipante.

Le forze sono tutte dello stesso verso

Gli altri modi hanno masse partecipanti via via minori.

Essi danno luogo a forze discordi, che producono un effetto minore rispetto alla base

Massa partecipanteContributo dei singoli modi

Rapporti Massa partecipante modaleOutput Modo Periodo MX MY

    Sec    

MODALE 1 0.72 0.00 0.75MODALE 2 0.66 0.49 0.00

MODALE 3 0.64 0.29 0.00

MODALE 4 0.25 0.00 0.14

MODALE 5 0.24 0.07 0.00

MODALE 6 0.23 0.05 0.00

MODALE 7 0.13 0.04 0.00

MODALE 8 0.13 0.00 0.06

MODALE 9 0.13 0.01 0.00

MODALE 10 0.09 0.02 0.00

MODALE 11 0.08 0.00 0.00

MODALE 12 0.08 0.00 0.03

Massa partecipanteEsempio

edificio con n.6 piani

Massa partecipante molto elevata

La somma delle masse partecipanti nelle direzioni x e y, considerate singolarmente,

deve essere unitaria

0.98

0.97

Massa partecipante meno elevata

in virtù della rotazione accoppiata alla traslazione

Negli schemi spaziali è più difficile valutare l’importanza dei modi:

se il comportamento è disaccoppiato, sono eccitati solo quei modi che danno spostamento nella direzione di azione del sisma

in caso contrario tutti i modi possono dare contributo

se non vi è un impalcato indeformabile nel suo piano il numero di modi cresce enormemente ed è più difficile cogliere la risposta totale della struttura

Considerazioni

Negli schemi spaziali è più probabile avere modi con periodi molto vicini tra loro:

in questo caso è opportuno usare la sovrapposizione quadratica completa (CQC)

Una buona impostazione progettuale deve mirare ad avere una struttura con impalcato rigido e con comportamento disaccoppiato (cioè minime rotazioni planimetriche)

Contributo dei singoli modi

Consiste nel considerare un unico insieme di forze, che rappresentano (in modo semplificato) l’effetto del primo modo

im iz

kF

Il periodo proprio può essere valutato con formule semplificate

Analisi statica

11

1

( )

nk k

k i eni

i ii

m zF m S T

m z

Confronto analisi statica – modaleEdificio con travi emergenti

m = 60 t

m

m

m

m

m

m

m

5.00 5.00 5.00

3.30 30 90

30 80

30 70

30 60

30 50

30 40

30 30

30 30 pilastri

trave emergente 30 50

Zona 3ag = 0.15 g

Suolo B

Classe di duttilità B

Periodi, acc. spettrali, masse part.Edificio con travi emergenti

5.1 %13.7 %70.1 %M*/M0.1145 g0.1145 g0.0484 gSe

0.259 s0.461 s1.183 sTModo 3Modo 2Modo 1

Forze statiche – modali [kN]Edificio con travi emergenti

modale analisi

piano modo 1 modo 2 modo 3 statica

8 40.0 -39.1 19.5 50.6

7 35.8 -14.4 -14.9 44.3

6 28.1 18.6 -22.8 38.0

5 21.7 31.3 -4.0 31.6

4 16.0 32.1 12.5 25.3

3 10.6 25.4 18.2 19.0

2 5.7 15.1 13.7 12.7

1 1.8 5.0 5.1 6.3

Tagli statici – modali [kN]Edificio con travi emergenti

piano analisimodale

analisistatica

differenza%

8 59.2 50.6 -14.5

7 92.9 94.9 2.2

6 111.1 132.9 19.6

5 127.6 164.5 28.9

4 144.8 189.9 31.1

3 161.7 208.8 29.2

2 173.7 221.5 27.5

1 178.1 227.8 27.9

Confronto analisi statica - modaleEdificio con travi a spessore

m = 60 t

m

m

m

m

m

m

m

5.00 5.00 5.00

3.30 30 90

30 80

30 70

30 60

30 50

30 40

30 30

30 30 pilastri

trave a spessore 80 24

Periodi, acc. spettrali, masse part.Edificio con travi emergenti

5.4 %11.8 %70.9 %M*/M0. 1145 g0. 0947 g0. 0329 gSe

0. 328 s0. 604 s1.738 sTModo 3Modo 2Modo 1

Forze statiche – modali [kN]Edificio con travi a spessore

analisi

piano modo 1 modo 2 modo 3 statica

8 26.3 -30.3 20.4 34.5

7 24.1 -12.2 -12.5 30.1

6 20.1 11.6 -24.2 25.8

5 15.9 23.6 -6.2 21.5

4 11.5 25.4 12.9 17.2

3 7.3 19.9 19.6 12.9

2 3.6 11.2 14.4 8.6

1 1.0 3.4 5.0 4.3

Tagli statici – modali [kN]Edificio con travi a spessore

piano analisimodale

analisistatica

differenza%

8 45.0 34.5 -23.4

7 66.4 64.6 -2.7

6 78.7 90.4 15.0

5 89.6 112.0 25.0

4 100.0 129.2 29.2

3 112.3 142.1 26.5

2 121.9 150.7 23.6

1 125.3 155.0 23.7

Analisi statica o analisi modale?

L’analisi statica fornisce risultati attendibili purché:- la struttura abbia comportamento piano (basse rotazioni

planimetriche)

modo 1

modo 2

inviluppo

Analisi statica

Per edifici con forti rotazioni, non va bene

Analisi modale

L’analisi statica è cautelativa purché:

- la struttura abbia periodo non eccessivamente alto

- la struttura abbia comportamento piano (basse rotazioni planimetriche)

Analisi statica o analisi modale?

L’analisi statica è cautelativa purché:

- la struttura abbia periodo non eccessivamente alto

- la struttura abbia comportamento piano (basse rotazioni planimetriche)

- la stima del periodo proprio sia affidabile

L’uso del coefficiente riduttivo rende i risultati dell’analisi statica non particolarmente gravosi rispetto a quelli dell’analisi modale

Analisi statica o analisi modale?

Oggi l’analisi modale è sicuramente il metodo principale di riferimento per l’analisi strutturale, perché è affidabile e ormai alla portata di tutti (grazie ai programmi per computer)

L’analisi statica è però uno strumento fondamentale per capire il comportamento fisico della struttura e per valutarne a priori la risposta (e quindi anche per controllare a posteriori i risultati dell’analisi modale)

Analisi statica o analisi modale?

FINE