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ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 20.1 18.5 23 20 19.5 17 19.8 21 18.6 18.2
ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:
bin (x=2.2)
15-17.2
17.2-19.4
19.4-21.6
21.6-23.8
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 20.1 18.5 23 20 19.5 17 19.8 21 18.6 18.2
ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:
bin (x=2.2) nk
15-17.2 1
17.2-19.4 3
19.4-21.6 5
21.6-23.8 1
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 20.1 18.5 23 20 19.5 17 19.8 21 18.6 18.2
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
n k
0
1
2
3
4
5
6n=10x=2.2
Numero di misure nell’intervallo
ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:
bin (x=2.2) nk Fk= nk/N
15-17.2 1 0.1
17.2-19.4 3 0.3
19.4-21.6 5 0.5
21.6-23.8 1 0.1
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 20.1 18.5 23 20 19.5 17 19.8 21 18.6 18.2
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Fk
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6n=10x=2.2
FrequenzaNumero di misure nell’intervallo
ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Fk/ x
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30n=10
x=2.2
bin (x=2.2) nk Fk= nk/N Fk/x
15-17.2 1 0.1 0.045
17.2-19.4 3 0.3 0.136
19.4-21.6 5 0.5 0.227
21.6-23.8 1 0.1 0.045
FrequenzaDensità di frequenza
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 20.1 18.5 23 20 19.5 17 19.8 21 18.6 18.2
Numero di misure nell’intervallo
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30n=1000x=0.5
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Fk/ x
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30n=10
x=2.2
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 300.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
n=100
x=1
ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
Funzione densità di probabilità:
2
2
2
2
1)(
x
exf
Funzione della varabile x caratterizzata da due parametri: e
gaussiana:
x
f(x)
1)(
2
1)(
0)(
dxxf
xfx
xfx
MAX
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
Al variare di varia la posizione della curva (traslazione lungo l’asse x)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 5 10 15 20 25 30
u=10; sigma=2
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 5 10 15 20 25 30
u=10; sigma=2
u=15; sigma=2
Al variare di varia la posizione della curva (traslazione lungo l’asse x)
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 5 10 15 20 25 30
u=10; sigma=2
u=15; sigma=2
u=20; sigma=2
Al variare di varia la posizione della curva (traslazione lungo l’asse x)
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 5 10 15 20
u=10; sigma=2
Al variare di varia la larghezza della curva
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 5 10 15 20
u=10; sigma=2
u=10; sigma=3
Al variare di varia la larghezza della curva
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 5 10 15 20
u=10; sigma=2
u=10; sigma=3
u=10; sigma=5
Al variare di varia la larghezza della curvaN.B. L’area resta uguale
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali:
corrisponde al valore vero che si vuole misurare
è legata alla precisione sulla misura: minore è la larghezza della curva, migliore è la precisione della misura
xN
N
x
N
xxxxx
N
iiN
1321 ... Nell’ipotetico caso di un numero infinito di misure il
valor medio risulta uguale al valore vero . Nel caso reale di un numero finito di misure, il valor medio è la miglior stima del valore vero.
x
N
ii
x
SN
N
xxS
)1(
)(1
2Nell’ipotetico caso di un numero infinito di misure la deviazione standard risulta uguale al parametro . Nel caso reale di un numero finito di misure, la deviazione standard è la miglior stima di .
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali: a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità
L’area tratteggiata fornisce la probabilità di ottenere da una misura un valore che dista dal valore medio non più di una deviazione standard.
Tale area è pari a circa 0.68. Quindi nel 68% deicasi, ci aspettiamo di trovare come risultato della misura un valore che dista meno di una deviazione standard dal valore vero
2 4 6 8 10 12 14 16 18
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
=10 ; =2
x2=x
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali:
L’area tratteggiata fornisce la probabilità di ottenere da una misura un valore che dista dal valore medio non più di due deviazioni standard.
Tale area è pari a circa 0.95. La probabilità di trovare il risultato dellamisura nell’intervallo ±2σ dal valore vero è quindi pari a circa il 95%.
a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità
2 4 6 8 10 12 14 16 18
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
=10 ; =2
x x2=
LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:
Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali:
È possibile ricavare tale probabilità per qualsiasi intervallo, simmetricoo meno, utilizzando una tabella che fornisce le probabilità di trovare un valore in un generico intervallo simmetrico ±tσ centrato intorno al valore vero μ.
a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità
2 4 6 8 10 12 14 16 18
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
=10 ; =2
t=
x1=t x2=t
LA TABELLA DELLA GAUSSIANA:
2 4 6 8 10 12 14 16 18
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
tt
x
xt )(
LA TABELLA DELLA GAUSSIANA:
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