View
228
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
ÖZDEĞERLER-ÖZVEKTÖRLER
GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif
bir yoldur.
Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın.
Bazı vektörler bir A matrisi ile çarpıldıkları zaman yön değiştirir, bazıları ise
değiştirmezler. Bazı özel x vektörleri, Ax vektörü ile aynı yönde kalmaktadır.
İşte bu vektörlere “özvektörler” denir.
Bir özvektörün A matrisi ile çarpımı olan Ax vektörü, orijinal x vektörünün
olmak üzere katıdır.
Sonuç olarak temel denklem xAx şeklindedir. Burada skaleri A
matrisinin bir özdeğeridir. Bu skaler, özvektörün A matrisi ile çarpılması
halinde elde edilen yeni vektörün uzunluğunun, orijinal x vektörüne
göre büyüdüğü, küçüldüğü ya da aynı kalıp kalmadığı bilgisini
vermektedir. Özdeğer sıfır değerini alabilir. Bu durumda xAx 0 olur ve
özvektör x, sıfır uzayında tanımlıdır.
GİRİŞ
Eğer A birim matris ise, xIx olur. Bu durumda n×1 boyutlu tüm vektörler
özvektördür ve A matrisinin tüm özdeğerleri 1 ’dir.
A matrisinin nnT : şeklinde bir doğrusal dönüşümün tanım matrisi olduğu
varsayılsın.
Bu durumda xAx eşitliği sağlanıyorsa xx T olur. Bunun anlamı, eğer x,
A matrisinin özvektörü ise T dönüşümünün sonucunda x vektörünün görüntüsü bir
skalerle çarpımı olan x vektörüdür.
GİRİŞ
Ax
x
2Ax x
Özdeğer=2
1Ax x
Özdeğer=1
1 Ax x
Özdeğer=-1
Ax 0
Özdeğer=0
Ax x
Ax
x
Ax 0
x
GİRİŞ
ÖZDEĞER-ÖZVEKTÖR
Tanım: Özdeğer, Özvektör
A bir nn boyutlu kare matris olsun. Eğer λ bir skaler ve x vektörü de sıfır
olmayan, 0x , bir sütun vektörü olmak üzere,
xAx
eşitliği sağlanıyorsa x vektörü, A matrisinin özvektörü, λ skaleri de A matrisinin
özdeğeridir. Aynı zamanda x, λ özdeğerine karşılık gelen özvektördür.
Bir skaler olan λ, nn boyutlu A matrisi için xAx denkleminde x’in sonsuz
çözümü olduğu durumda bir özdeğer tanımlar.
ÖZDEĞER-ÖZVEKTÖR
Temel Özellikler
Özdeğer λ sıfır değerini alabilirken, özvektör x asla sıfır vektörü olamaz. Özdeğer sıfır olduğunda xAx 0 , A matrisinin tersi alınamaz. Boyutu nn olan bir A matrisinin tersinin alınabilir olması için tüm
özdeğerlerinin sıfırdan farklı olması gerekir.
ÖZ-UZAY
Tanım: Öz Uzay
Boyutu nn olan bir A matrisi için öz uzay, A matrisinin her bir
özdeğerine karşılık gelen tüm özvektörlerin oluşturduğu kümedir
ÖZDEĞERLER
Teorem: Özdeğerlerin Sayısı
Eğer λ, nn boyutlu A matrisinin özdeğeri ve x vektörü de bu A matrisinin
özvektörü ise, 0x olmak üzere, 0xIA n eşitliğinde 0 ndet IA ’ı
sağlayacak şekilde, A’nın en fazla n adet farklı özdeğeri bulunur.
ÖZDEĞERLER
0xIA n denkleminin sonsuz çözümü sadece ve sadece 0 ndet IA
olduğunda ya da diğer bir deyişle nIA matrisinin tersi alınamaz olduğu durumda
vardır. Çünkü bu matrisin tersinin alınamaması demek her bir sütunda pivot elemanın
olmaması ve dolayısıyla homojen denklem sisteminin sonsuz çözümünün olması
demektir. Bu durumun aksine nIA ’nin tersi alınabiliyorsa, ortaya çıkan tek çözüm
sıfır çözümdür.
Sonuç olarak A matrisinin özdeğerlerini bulabilmek için 0xIA n homojen
denklem sisteminin sonsuz çözümünün olması gerekmektedir
ÖZDEĞERLER Teorem:Özdeğer ve Determinant
Bir matrisin özdeğerlerinin çarpımı, matrisin determinantına eşittir.
1 2. ... det( )n
A
Teorem: Özdeğer ve İz
Özdeğerlerin toplamı matrisin izine eşittir.
1 2 11 22... ...n nn
trace a a a
Sonuç olarak özdeğerlerlerin toplamları ve çarpımları matrisin kendisi
üzerinden hesaplanabilir.
Teorem: Sıfır Özdeğeri ve Determinant
Boyutu nn olan bir A matrisinin sadece ve sadece determinantı sıfır
olduğunda tersi alınamaz. Özdeğerlerden en az biri sıfır ise bu determinant
sıfır değerini alır.
Tekil matrislerin en az bir özdeğeri sıfırdır.
ÖZDEĞERLER
Matrislerin Toplamlarının ve Çarpımlarının Özdeğerleri:
, A matrisinin özdeğeri, da B matrisinin özdeğeri olmak üzere, AB matrisinin
özdeğeri . değildir. Bu eşitliğin geçerli olabilmesi için A ve B’nin aynı x özvektörüne
sahip olmaları gerekir. Aynı şekilde A+B’nin özdeğeri de değildir.
Eğer x, hem A hem de B matrisinin özvektörü ise ABx x eşitliği geçerlidir. Bazı
durumlarda tüm özvektörler ortaktır. Bunun sağlanabilmesi için AB=BA olmalıdır.
ÖZDEĞERLER
KARAKTERİSTİK DENKLEM Tanım: Karakteristik Denklem, Karakteristik Polinom
0 ndet IA denklem sistemine A matrisinin karakteristik denklemi,
0 ndet IA polinomuna da karakteristik polinomu denir. A matrisinin
özdeğerleri, karakteristik polinomun kökleridir.
Karakteristik denklem sadece değerlerini içerir, x değerlerini içermez.
2×2’lik bir a b
c d
A matrisi için karakteristik polinom
2 dettrace A A
şeklindedir.
Not: Yukarıda verilen karakteristik polinom eşitliği sadece 2×2’lik
matrisler için geçerlidir.
ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI
Herhangi bir n×n boyutlu matris için özdeğerler hesaplanırken şu adımlar izlenmelidir:
1. nIA determinantı hesaplanır. Bu determinantın sonucu n ya da n ile
başlayan, n-inci dereceden bir polinomdur.
2. 0 ndet IA için polinomun kökleri bulunur. Bulunan n adet kök, A matrisinin
n adet özdeğerini tanımlar. Ayrıca bu değerler nIA ’yı tekil hale getirir.
3. Her bir değeri için 0xIA n çözülerek özvektör x bulunur.
Eğer 0xIA n işleminin sonucunda 0x sonucu bulunuyorsa, özdeğer değildir.
ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI Örnek:
2 1
1 2
A matrisinin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulunuz.
1.adım: A matrisinin karakteristik denklemi
021
12
A
2 4 3 0 ya da 1 3 0 .
2. adım: Bu denklemin köklerinden özdeğerler, 1 ve 3 bulunur.
3.adım: Özvektör denklemi 0xIA n
1
2
2 1 0
1 2 0
x
x
veya
1 2
1 2
2 0
2 0
x x
x x
Bu bir homojen denklem sistemi olduğu için mutlaka bir çözüm vardır.
ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI
1 için,
1 2
1 2
0
0
x x
x x
Burada 1 ’e karşılık gelen özvektör, 02 x için,
1
11x
olup,
1
1 şeklinde bir öz uzay tanımlar.
ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI
3 için,
1 2
1 2
0
0
x x
x x
Burada 3 ’e karşılık gelen özvektör, 02 x için,
1
12x
olup,
1
1 şeklinde bir öz uzay tanımlar.
ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI
BENZER MATRİSLER
Tanım: Benzer (Similar) Matrisler
A ve B nn boyutlu iki matris olmak üzere, 1 PBPA şeklinde tanımlanmış
ve tersi alınabilir bir P matrisi mevcutsa bu iki matris benzer matrislerdir.
Teorem:
Eğer nn boyutlu iki matris benzer matris ise, karakteristik denklemleri ve
buna bağlı olarak da özdeğerleri birbirine eşittir.
SATIR-DENK MATRİSLER
Tanım: Satır-Denk Matrisler
İki mn boyutlu matris sadece ve sadece aynı satır uzayına sahipse
satır-denk matrislerdir.
Yani satır işlemleriyle bir matris diğerine benzetilebilir durumdadır.
Bu iki matrisin tanımladığı homojen denklem sistemleri aynı çözüm
kümesine (aynı boş uzaya) sahiptir.
SATIR-DENK MATRİSLER
Not: nn boyutlu A ve B matrisleri satır-denk matrisler ise benzer matris olmak zorunda
değildirler. Örneğin satır-denk matrisler 2 0
0 1
A ve 1 0
0 1
B ‘yi ele alınsın.
Eğer bu iki matris benzer matris olsalardı 1 PBPA şeklinde tanımlanmış ve tersi alınabilir
bir P matrisi ortaya çıkardı. B matrisi birim matris olduğu için IPPPIPA 11 olur. A
matrisi birim matris olmadığı için A ve B matrisleri eş matrisler değillerdir. Ayrıca benzer
matrislerin özdeğerleri birbirine eşit oldukları halde satır-denk matrisler için aynı durum söz
konusu değildir.
KÖŞEGEN MATRİSLER Teorem: Köşegen Matris
Boyutu n×n olan simetrik bir A matrisinin n×1 boyutlu ve n adet doğrusal bağımsız
özvektörleri 1 2, ,...,n
x x x olduğu varsayılsın. Bu özvektörleri sütunlarında barındıran
P matrisine özvektör matrisi denir. APP1 matrisi ise özdeğer matrisidir. Bir A
matrisinin özdeğer matrisinin tersi olan -1P , A matrisi ile çarpılır ve elde edilen
sonuç da P ile çarpılırsa, ortaya çıkan Λ matrisinin köşegen elemanları, A matrisinin
özdeğerlerini verir.
nxxxP ,,, 21
1
2
0 0
0 0
0 0n
1P AP Λ
KÖŞEGEN MATRİSLER
İspat:
A matrisi özvektörleri tanımlayan P matrisi ile çarpılsın. AP matrisinin ilk sütunu 1
Ax ‘dir.
Bu sütun 1 1x vektörüne eşittir. P’nin her bir sütunu özdeğerleri ile çarpılırsa,
1 1 1n n n AP A x x x x
Burada yapılan işlem AP matrisini PΛ matrisine dönüştürmektir.
1
21
0 0
0 0
0 0
n n
n
1 n 1x x x x PΛ
KÖŞEGEN MATRİSLER
Böylece aşağıdaki eşitlikler geçerli olmaktadır:
AP PΛ -1P AP Λ veya -1
A PΛP
P matrisinin tersi vardır. Çünkü A matrisinin özvektörlerinin doğrusal
bağımsız oldukları varsayılmıştı. Diğer bir deyişle n adet bağımsız
özvektör olmaksızın köşegenleştirme işlemi yapılamaz.
KÖŞEGEN MATRİSLER Teorem:
Özvektörler 1,..., nx x ve bunlara karşılık gelen özdeğerler doğrusal bağımsız ise n
farklı özdeğere sahip nxn boyutlu bir matris köşegenleştirilebilir.
İspat:
0xx 2211 cc olsun. A matrisini bulabilmek için bu ifadeyi önce 1 sonra da 2 ile
genişletilsin. Daha sonra elde ettiğimiz sonuçları birbirinden çıkararak,
0xx 221111 cc
0xx 222112 cc
0xx 22211121 cc
sonucu elde edilir.
KÖŞEGEN MATRİSLER
Buradan 1 0c olduğu görülmektedir. Eğer ’lar birbirinden farklıysa ve
1 x 0 ise, 1 0c sonucu elde edilir. Aynı şekilde 2 0c ’dır. Başka
herhangi kombinasyon 1 1 2 2c c x x 0 sonucunu vermez. Bu yüzden x1 ve x2
bağımsız olmak zorundadır.
Not: Ters alma ve köşegenleştirme işlemleri ile ilgili şu bilgilere dikkat
edilmelidir;
- Bir matrisin tersinin alınabilmesi özdeğelerine(sıfır olup olmadıklarına)
bağlıdır.
- Bir matrisin köşegenleştirilebilmesi ise özvektörlerinin doğrusal
bağımsızlıklarına bağlıdır.
KÖŞEGEN MATRİSLER
ÜST ÜÇGEN MATRİSLER
Teorem: Üst Üçgen Matrisin Özdeğerleri
Üst üçgen bir matrisin özdeğerleri, köşegen elemanların üzerinde tanımlıdır.
Burada dikkat edilmesi gereken noktalar şunlardır:
1. Özdeğerler 1 2, ,...,n
birbirinden bağımsız ise özvektörler 1 2, ,...,n
x x x de
bağımsızdır. Tekrar etmeyen özdeğerlere sahip herhangi bir matris köşegenleştirilebilir.
2. Özvektör matrisi P eşsiz değildir. Özvektörler sıfır olmayan herhangi bir sabit ile çarpılabilir.
3. A matrisini köşegenleştirmek için özvektör matrisi kullanılmak zorundadır. -1P AP Λ
ifadesinden AP PΛ ve ayrıca özdeğer tanımından xAx olduğu bilinmektedir. Bu
eşitlikler ancak ve ancak x vektörünün bir özvektör olduğu durumda sağlanır.
MATRİSİN KUVVETLERİ
Tanım: Matrisin Kuvvetleri
Herhangi bir nn boyutlu A matrisi bir köşegen matris ile benzer matris olabiliyorsa
köşegenleştirilebilirdir. Köşegenleştirilebilen bir A matrisi için -1A PΛP eşitliği
sağlanmalıdır. Burada P tersi alınabilir ve ise köşegen bir matristir.
Bu özellik kullanılarak bir matrisin kuvvetleri kolaylıkla elde edilebilir.
MATRİSİN KUVVETLERİ
Örneğin A köşegenleştirilebilir bir matris olmak üzere A3’ü bulunsun.
33 -1 -1 -1 -1A PΛP PΛP PΛP PΛP
-1 -1 -1PΛP PΛP PΛP
-1 -1 -1PΛ P P Λ P P ΛP
-1PΛΛΛP
3 -1PΛ P olur.
Bu durum genellendiğinde, eğer -1A PΛP ise k k -1
A PΛ P olur.
MATRİSİN KUVVETLERİ Teorem: Bir n×n boyutlu A matrisi ele alındığında, A’nın tüm kuvvetleri için özvektörler sabit kalır.
Özdeğerler ise A matrisinin kuvveti ile orantılıdır. Diğer bir deyişle eğer x, A matrisinin
özvektörü ise, aynı zamanda A2, A3,…,At’nin de özvektörüdür.
xxA22
xxA33
xxAkk (k pozitif bir tam sayı olmak üzere)
Ak matrisi için özvektör matrisi hala P’dir. Fakat özdeğer matrisi kΛ olur.
Teorem: A matrisinin özdeğerleri ise 1A matrisinin özdeğerleri 1 olup özvektörleri A
matrisinin
özvektörleri ile aynıdır.
TEOREMLER Teorem: Her bir simetrik matris T
A QΛQ şeklinde reel özvektörlerden oluşan Λ
ve ortanormal özvektörlerden oluşan Q için bir faktörizasyona sahiptir.
Teorem:
A ve B köşegenleştirilebilen matrisler olsun. Eğer AB=BA eşitliği sağlanıyorsa bu iki
matris aynı özvektör matrisi P’ye sahiptir.
Teorem:
Reel simetrik bir matrisin özdeğerleri reeldir.
Teorem:
Reel simetrik bir matrisin özvektörleri her zaman birbirine diktir.
Teorem:
Bir n×n boyutlu A matrisi için birbirinden farklı özdeğerler 1,..., n ve bunlara karşılık
gelen özvektörler 1,..., nx x ise, 1,..., n
x x kümesi doğrusal bağımsızdır.
SİMETRİK MATRİSLER Simetrik Matrisler:
Simetrik matrislere ilişki önemli iki özellik şunlardır:
1. Simetrik bir matrisin özdeğerleri birbirinden farklı ve reeldir.
2. Simetrik bir matrisin özvektörleri ortanormal(uzunlukları bir ve iç çarpımları
sıfır olan vektörler ortanormaldir) hale dönüştürülebilir.
Simetrik bir matris için A=AT eşitliği geçerlidir. Bu eşitliği özdeğerler ve özvektörler
açısından incelensin. -1A PΛP eşitliğinin transpozu alınıırsa TT T -1
A P ΛP olur.
A=AT olduğu için ilk formdaki -1
P , ikinci formdaki TP ’a eşit olmalıdır. O halde
TP P I ‘dir. Bunun anlamı: P’deki her bir özvektör diğer özvektörlere ortogonaldir
(özvektörler birbirine diktir ve çarpımları sıfırdır).
Ayrıca AT matrisinin özdeğerleri A matrisinin özdeğerlerine eşittir.
H izdüşüm matrislerinin özdeğerleri 0 ya da 1 ’dir.
R yansıma matrislerinin özdeğerleri 1 ya da 1 ’dir.
Her bir simetrik matrisin özvektör matrisi P, ortogonal bir matris olan Q’ya
dönüşür. Ortogonal matrisler için 1 T Q Q eşitliği geçerlidir.
SİMETRİK MATRİSLER
Teorem:
Simetrik bir A matrisinin 1 ve 2 ile tanımlanan iki farklı özdeğerine karşılık
gelen özvektörleri 1x ve 2x olsun. Bu durumda 1x ve 2x ortogonal vektörlerdir.
SİMETRİK MATRİSLER
SİMETRİK MATRİSLER İspat:
111 xAx ve 222 xAx
olduğundan,
12112 xxAxxTT
21121 xxAxxTT
İlk eşitliğin transpozu alınarak,
21121 xxxAxTTT
ve ikinci eşitlikten çıkarılarak (A=AT olduğundan),
21210 xxT
özdeğerler 21 olduğundan,
021 xxT
İspat tamamlanır.
CHOLESKY AYRIŞIMI
Teorem:
Eğer A boyutu nn rankı rn ve pozitif yarı tanımlı matris ise L köşegen
elemanlarının r adedi pozitif ve n-r adedi sıfır olan bir alt üçgen matris olmak üzere,
A=LTL
şeklinde ayrıştırılabilir
CHOLESKY AYRIŞIMI Cholesky Ayrışımı:
Tüm pozitif tanımlı simetrik A matrisleri TA LL şeklinde ayrıştırılabilir. Burada L,
köşegen elemanları pozitif olan bir alt üçgen matrisidir. L matrisine A matrisinin Cholesky
faktörü denir.3×3’lük bir A matrisi için Cholesky ayrışımı şu şekilde yapılır:
11 11 21 31
21 22 22 32
31 32 33 33
0 0
0 0
0 0
T
l l l l
l l l l
l l l l
A LL
211 21 11 31 11
2 221 11 21 22 31 21 32 22
2 2 231 11 31 21 32 22 31 32 33
l l l l l
l l l l l l l l
l l l l l l l l l
CHOLESKY AYRIŞIMI
L matrisinin elemanları şu şekilde elde edilir: 1
2
1
k
kk kk kj
j
l a l
1
1
1 i
ki ki ij kj
jii
l a l ll
, i>j için
Recommended