View
250
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
1
1
Mehanika II
Oscilacije11. dio
2
Gibanje materijalne toke
a) Krivocrtno gibanje
b) Pravocrtno gibanje
c) Oscilacijsko gibanje
3
Harmonijsko gibanje:
Kulisni mehanizamKinematika:
Poluga OA vezana je zaosovinu u toci O i rotirakonstantnom kutnombrzinom ω.
Toka B mehanizmakulise kree se gore -izmeu toaka D-O-C
4
Harmonijsko gibanje:
( )tsinrx +⋅⋅=α = 0
5
OscilacijeOsciliranje ili titranje je esta pojava u prirodi.
areometar 6
Oscilacijska gibanja materijalne toke okopoložaja stabilne ravnoteže spadaju upravocrtna i periodina gibanja.
Razlikujemo:1. Slobodne oscilacije2. Prigušene oscilacije3. Prisilne oscilacije sa i bez otpora
2
7
Diferencijalna jednadžba oscilacija:
( )−−⋅−⋅
−⋅
Ω
•
••
tFx k xb
xm
( )tFxkxbxm Ω
•••=⋅+⋅+⋅
sila inercije
sila prigušenja
elastina sila opruge (restitucijska sila; elast. pero)
sila prisile – poremeajna sila 8
Harmonijske oscilacije
• Tijelo mase m vezano je pomou opruge (elastinog pera) konstantne krutosti k, pomaknuto iz položaja statike ravnoteže i zatim osloboeno, giba se oscilatorno.
• Harmonijske oscilacije prouzrokuje restitucijska sila elastinog pera (opruge) Frkoja vraa tijelo u ravnotežni položaj.
9
Slobodne harmonijske oscilacije
• Restitucijska sila elastinog pera (opruge) Fr
Fr = k . x
k – krutost opruge (N/m)
Krutost opruge jednaka je sili koja uzrokuje jedinini pomak.
za jedinini pomak x = 1 k = Fr
10
11
Σ Fx = 0
G – Fr = 0
m.g – k.xst = 0
m.g = k.xst
Fr = k . xst
= m . g
kgm
xst⋅=
x st
x
0
k k
G
Ravnoteža - statika
12
D ´Alembertov princip
x st
x
0
k k k
G
G
FR Restitucijska sila:
Fr = k .(xst + x)
dtxd
mamF2
in ⋅=⋅=
a
Sila inercije:
Fr
x
3
13
( )xxkgmdt
xdm
FGF
0FFG
0F
st2
2
rin
inr
x
+−⋅=⋅
−==−−
=
14
0xx
0xmk
dtxd
xkgmxkdt
xdm
2
2
2
st2
2
=⋅ω−
=⋅−
⋅−⋅=⋅−⋅
••
kgm
xst⋅=
mk2 =ω
15
Diferencijalna jednadžba slobodnih oscilacija:
0xx 2 =⋅ω−⋅⋅
mk2 =ω
• Rješenje diferencijalne jednadžbe:
t cos Bt sinAx ω⋅+ω⋅=
Kružna frekvencija slobodnih oscilacija:
16
Diferencijalna jednadžba slobodnih oscilacija:
0xx 2 =⋅ω−⋅⋅
• Rješenje diferencijalne jednadžbe:
cosRA ⋅= sinRB ⋅=
t cos Bt sinAx ω⋅+ω⋅=
st
st
xg
mx
gm
mk =
⋅
==ω
17
Diferencijalna jednadžba slobodnih oscilacija:
0xx 2 =⋅ω−⋅⋅
• Rješenje diferencijalne jednadžbe:
( )α+ω⋅= t sinRx
stxg
mk ==ω
18
Slobodne oscilacije
( )α+ω⋅= t sinRx
4
19
Za poetne uvjete t =0 - poetni pomak x0 i - poetnu brzinu v0
• Amplituda slobodnih oscilacija:
• Poetna faza slobodnih oscilacija:
2
202
0
vxR +=
0
0
vx
tg⋅=
20
• Period slobodnih oscilacija:
• Broj slobodnih oscilacija u jednoj sekundi - frekvencija:
[ ]
[ ]s g
x2T
s
2T
st⋅π⋅=
π⋅=
[ ]Hzs1 2
T1
f =π
ω==
21
Karakteristike slobodnih harmonijskih oscilacija
a) amplituda R i poetna faza oscilacija ααααzavise od poetnih uvjeta gibanja
b) frekvencija oscilacija f i period oscilacija Tne zavise od poetnih uvjeta gibanja.
22
• Najznaajnija karakteristika oscilacijskog gibanja je kružna frekvencija ωωωω – vlastita frekvencija.
• Ako se sustav sa sposobnošu osciliranja – oscilatoruje frekvencijom ΩΩΩΩ koja odgovara vlastitoj frekvenciji oscilatora ωωωω, javljaju se velike amplitude koje dovode do razaranja oscilatora (prisilne oscilacije, pojava rezonance – Tacoma bridge).
23
Paralelni spoj Serijski spoj
Ekvivalentna veza:
24
Mehaniki oscilator
može imati jedan ili više stupnjeva slobode.
• Broj stupnjeva slobode oznaava broj meusobno neovisnih koordinata mase mikoje su potrebne za opisivanje gibanja.
5
25
Mehaniki oscilatori- s jednim - s dva
stupnjem slobode: stupnja slobode:
26
Vibrograf
• Ureaj za mjerenje vertikalnih oscilacija
27
Geigerov vibrograf• Instrument za mjerenje vertikalnih i
horizontalnih oscilacija
28
Razlikujemo slijedee mehanike oscilatore:
a) translacijske(masa i spiralna opruga)
b) fleksijske (masa i lisnata opruga)
c) torzijske (masa i torzijska opruga).
29
Fleksijski oscilatori s jednim stupnjem slobode:
30mk
0xx
0xmk
x
xkmgG
0xkxkxmmg
f2
f
stf
fstf
=ω→=ω+
=+
===−−−
••
••
••
Prosta greda: kf – fleksijska krutost
6
31 l
J E 48
xG
k
xkG
J E 48lG
xw
:Otpornosti iz ogibPr
3y
f
f
y
3
==
⋅=
⋅==
3y
y
3
3yf
l m
J E 48
21
T1
f
J E 48l m
22
T
l m
J E 48
mk
=π
==
π=ωπ=
==ω
32
Konzola: kf – fleksijska krutost
=
=
==ω
=ω+
=+
===−−−
••
••
••
f
T
l m
J E 3
mk
0xx
0xmk
x
xkmgG
0xkxkxmmg
3yf
2
f
stf
fstf
l
J E 3
xG
k
J E 3lG
xw
:m. .O iz ogibPr
3y
f
y
3
==
⋅==
33
ϕ≅ϕϕ=ϕ⋅+ϕ
⋅ϕ−=ϕ
=
⋅ϕ−=⋅−=
ϕ=ϕ⋅=
ϕ=ω⋅==
×=×=
••
→→
→→→→→→
sin kut mali za 0sinlg
mgsin l dtd
l m
dinamike)zakon (4. MdtLd
mgsin l mgd Mdtd
l mdtd
lmlL
dtd
lr v;lr
Fr M vmrL
2
22
OO
O
2O
OO
Matematiko njihalo
34
Matematiko njihalo
lg
21
T1
f
gl
22
T
0
lg
0lg
2
π==
π=ωπ=
=ϕ⋅ω+ϕ
=ω→=ϕ⋅+ϕ
••
••
35
Torzijski oscilatorJz – moment tromosti mase m
kružne ploekt – torzijska krutost opruge
(Nm/rad)
z
t
z
t
2
Jk
0Jk
0
=ω→=ϕ⋅+ϕ
=ϕ⋅ω+ϕ
••
••
36
Prigušene oscilacije
Slobodne oscilacije
7
37
Prigušene oscilacije
38
Prigušene oscilacije
• Sila otpora:
• Diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija
xbvbFw
⋅−=⋅−=
0xx2x 2 =⋅+⋅⋅+
mb
2 =⋅
39
Prigušene oscilacije
( )1t
t~sineRx +⋅⋅⋅= ⋅−
<
>
slabo prigušenja
jako prigušenja
mb
2 =⋅
Rješenje:
40
Prigušene oscilacije
22
~ −=
( )1t
t~sineRx +⋅⋅⋅= ⋅−
Rješenje:
Period:22
2~
2T~
−π⋅=π⋅=
Kružna frekvencija:
Prigušenje poveava period oscilacija TT~ >
41
Prigušene oscilacije[ ]mx
[ ]st 0
R
R-
T~
t-eRx ⋅⋅=
t-eRx ⋅⋅−=
01 =( ) t~sineRx 1
t- +⋅⋅⋅= ⋅
22
~ −=
42
Vrlo jako prigušenje: δ >> ω
- Gibanje nema karakter oscilacija
8
43
Prigušene oscilacije• Viskozni prigušiva - amortizer
44
Prisilne oscilacije
- bez otpora- s otporom
• Sila prisile:
t sinFF 0⋅=
45
Prisilne oscilacije bez otpora
• Sila prisile
• Diferencijalna jednadžba (nehomogena):
t sinFF 0⋅=
tsinhxx 2 ⋅=⋅+
mF
h 0=46
Prisilne oscilacije bez otpora
• Rješenje:
( ) tsin
htsinRx
xxx
22
.parthom.
⋅−
++⋅⋅=
+=
slobodne oscilacije prisilne oscilacije
47
Amplituda prisilnih oscilacija
• Rezonanca:
1
x
hC
2
2st
22−
=−
=
ω≅Ω48
Prisilne oscilacije bez otpora
[ ]m s
[ ]st 0
x [m]
t [s]
9
49
Prisilne oscilacijes otporom - opi sluaj• Vlastite oscilacije se vrlo brzo
prigušuju pa e nakon nekog vremena preostati samo prisilne oscilacije u užem smislu.
t [s]
x [m]
50
Primjer 1: Slobodne oscilacijeOpruga oscilira jer je optereena trenutno silom od 0,12 kN. Odredite zakon slobodnih oscilacija ako krutost opruge iznosi 2000 N/m.
Zadano:G = 0,12 kNk = 2000 N/m.
0x v0t
6 x x0t
0
st0
===
−===•
( )
t sinBt cosAvt cosBt sinAx
t sinRx
ω⋅ω⋅−ω⋅ω⋅=ω⋅+ω⋅=
α+ω⋅=
51
x st
0
k
G
x
( ) ( )
Hz 08,249,01
T1
f
s 49,08,12
22T
[cm] t 8,12 cos6 x ili [m] t 8,12 cos60,0 x
(1/s) 8,12120
9,812000G
gkmk
0A 0B1A0 0x v0t
0,06 B 1B0A 60,0 0,06 x x0t
cm 06,0Ncm
N
2000120
kG
x
tsinBtcosAxv
tcosBtsinAx
0
st0
st
===
=π=ωπ=
⋅⋅−=⋅⋅−=
=⋅=⋅==ω
=→⋅ω⋅−⋅ω⋅====
−=→⋅+⋅=−−===
=
==
ω⋅ω⋅−ω⋅ω⋅==
ω⋅+ω⋅=
•
•
52
• Primjer 2:Odredite trenutne vrijednosti pomaka, brzina i ubrzanja slobodnih harmonijskih oscilacija bez poetne faze za t = 2 sekunde i t = 4 sekunde, ako amplituda oscilacija iznosi 50 cm a period osciliranja je 8 sekundi.Zadano: a = 0
R = 50 cm = 0,5 mT = 8 s
• za t = 4 s x = ?; v = ?; a = ?
53
( )
222
2
m/s 4
5,0 24
sin4
5,0 x
m/s 0 24
cos4
5,0x
m 0,5 24
sin5,0x s 2t
t4
sin4
5,0 x
t4
cos4
5,0x
t4
sin5,0x
48
2T2
2
T tsinRx
π⋅−=
⋅π⋅
π⋅−=
=
⋅π⋅π⋅=
=
⋅π⋅==
⋅π⋅
π⋅−=
⋅π⋅π⋅=
⋅π⋅=
π=π=π=ω→ωπ=α+⋅ω⋅=
••
•
••
•
54
( )
004
5,0 44
sin4
5,0 x
m/s 8
14
5,044
cos4
5,0x
005,044
sin5,0x s 4 t
22
=⋅
π⋅−=
⋅π⋅
π⋅−=
π−=−π⋅=
⋅π⋅π⋅=
=⋅=
⋅π⋅==
••
•
10
55t
2sin
2xa
t2
cosxv
2 π⋅π−==
π⋅π==
••
•
• Primjer 3:Amplituda slobodnih harmonijskih oscilacija iznosi 2 metra, a period 4 sekunde bez poetne faze. Izraunajte za vrijeme t = 2 sekunde trenutne vrijednosti pomaka, brzine i ubrzanja.( )
t2
sin2x
24
2T
0 4T 2Rt sinRx
π⋅=
π=ω→=ωπ=
=α==α+ω⋅=
0a-πv0x2t
56
Primjer 4: Odredite trenutne vrijednosti pomaka, brzina i ubrzanja slobodnih harmonijskih oscilacija bez poetne faze za t = 1 sekunda, ako amplituda oscilacija iznosi 30 cm a period osciliranja 6 sekundi.
Recommended