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Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 07
Parte 7 Matemática Básica 1
Funções exponenciais e logarítmicas
Parte 7 Matemática Básica 2
ObservaçõesNosso enfoque aqui será mais do pontos de vista operacional doque conceitual.
Uma construção conceitual das funções exponencial e logarítmicarequer ferramentas de cálculo diferencial e integral.
Para o leitor interessado em uma abordagem mais conceitual,indicamos as referências a seguir.
Parte 7 Matemática Básica 3
A função exponencial
y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.
(1) Vale que f (0) = a0 = 1, para todo a > 0. Temos também que
f (x) = ax > 0 para todo a > 0 e x ∈ R.
(2) Vale que f (p + q) = ap+q = ap · aq = f (p) · f (q).
(3) Vale que f (x + h)/f (x) = ax+h/ax = ah não depende de x ,
apenas de h.
(4) Vale que f é crescente para a > 1 e decrescente para 0 <
a < 1.
Parte 7 Matemática Básica 4
A função exponencial
y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.
y = f (x) = ax é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1.
Parte 7 Matemática Básica 5
A função exponencial
y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.
É importante saber os gráficos das funções exponenciais!
Parte 7 Matemática Básica 6
A função exponencial
y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.
Uma função exponencial especial: y = ex , com e = 2.718281 . . ..
Parte 7 Matemática Básica 7
Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano� Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:
1 + 1 = 2.
� Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:
(1 +
12
)+
12
(1 +
12
)=
(1 +
12
)2
= 2.25.
� Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:
(1 +
13
)+
13
(1 +
13
)+
13
((1 +
13
)+
13
(1 +
13
))=
(1 +
13
)3
= 2.370.
� Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +
1n
)n
.
Parte 7 Matemática Básica 8
Motivação: empréstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano� Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(
1 +1n
)n
.
� Moral: como limn→+∞ (1 + 1/n)n = e = 2.718281828459045235 . . ., o valor justodo pagamento um empréstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano após 1 ano deveriaser de e = 2.718281828459045235 . . . reais.
� Em Cálculo I -A- você aprenderá que
ex = limn→+∞
(1 +
xn
)n
e que
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ · · ·+ xn
n!+ · · · =
∞∑i=0
xi
i!.
Parte 7 Matemática Básica 9
Cuidado: função exponencial �= função potência
Cuidado:função exponencial �= função potência!
Função exponencial: y = constantex .
Função potência: y = xconstante.
y = xx não é uma função exponencial e nem uma funçãopotência!
Parte 7 Matemática Básica 10
A função logarítmicaf : R → ]0,+∞[
x �→ y = f (x) = ax , com a ∈]0,+∞[−{1}
� A função f : R →]0,+∞[ é injetiva (pois é crescente se a > 1 e decrescentese 0 < a < 1).
� A função f : R →]0,+∞[ é sobrejetiva (a prova deste fato requerferramentas de análise).
� Logo f : ]0,+∞[→ R é bijetiva e, portanto, inversível.
� A função inversa f−1 de f é denominada função logarítmica de base a.Usaremos a notação
loga(x)
para representarf−1(x).
� Note então que, se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que aelevado a esse número dá o número real x .
Parte 7 Matemática Básica 11
Observações
Note que
loga(ax) = x , para todo x ∈ R
ealoga(x) = x , para todo x ∈ ]0,+∞[.
Se a = e = 2.718281828459045235 . . ., então é usual escrever
ln(x) para representar loge(x).
Assim, ln(ex) = x para todo x ∈ R e eln(x) = x para todo x > 0.
Parte 7 Matemática Básica 12
A função logarítmica: propriedades
y = f (x) = loga(x) com a > 0, a �= 1 e x ∈]0,+∞[.
É importante saber os gráficos das funções logarítmicas!
Parte 7 Matemática Básica 13
A função logarítmica
Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .
Propriedade:loga(1) = 0 e loga(a) = 1, para todo a > 0 e a �= 1.
De fato: loga(1) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá 1: aloga(1) = 1. Como a0 também é igual a 1, segue-se queloga(1) = 0.
De fato: loga(a) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá a: aloga(a) = a. Como a1 também é igual a a, segue-se queloga(a) = 1.
Parte 7 Matemática Básica 14
A função logarítmica
Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .
Propriedade:Se p > 0 e q > 0, então loga(p · q) = loga(p) + loga(q).
De fato: loga(p · q) é o único número real tal que a elevado a estenúmero dá p · q: aloga(p·q) = p · q. Agora:
aloga(p)+loga(q) = aloga(p) · aloga(q) = p · q.
Logo, loga(p · q) = loga(p) + loga(q).
Parte 7 Matemática Básica 15
A função logarítmica
Fica como exercício demonstrar as propriedades a seguir.
Propriedade:Se p > 0 e r ∈ R, então loga(p
r ) = r · loga(p).
Propriedade:Se p > 0 e q > 0, então loga(p/q) = loga(p)− loga(q).
Propriedade:Se x > 0, a > 0, b > 0, a �= 1 e b �= 1, então
loga(x) = logb(x)/ logb(a).
Parte 7 Matemática Básica 16
Habilidade fundamental: mudar para base “e”
xx = eln(xx ) = ex ·ln(x)
(1 + sen(4 x))cotg(x) = eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
2x = eln(2x ) = ex ·ln(2)
x2 = eln(x2) = e2·ln(x) (para x > 0)
Parte 7 Matemática Básica 17
Funções potência, logarítmica e afimy = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)
�ln(y) = ln(C · xa)
�ln(y) = ln(C) + ln(xa)
�ln(y) = ln(C) + a · ln(x)
Fazendo y = ln(y) e x = ln(x), vemos que:
y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)�
y = ln(C) + a · x (função afim)
Em escala logarítmica, funções potência são funções afins!
Parte 7 Matemática Básica 18
Aplicação: Leis de Potência
Parte 7 Matemática Básica 19
A Lei de Zipf
http://www.uff.br/cdme/desktop/lpp/lpp-br.html
Parte 7 Matemática Básica 20
A Lei de Zipf: “Dom Casmurro” de Machado de Assis(A)
Posição (x) Frequência (y) Palavra1 2684 que2 2490 a3 2186 e4 1970 de5 1671 o6 1531 não...
......
26 341 Capitu...
......
141 56 Bentinho...
......
9262 1 zanguei9263 1 zás9264 1 zeloso
(B)x = log(x) y = log(y) Palavra0,00000. . . 3,42878. . . que0,30103. . . 3,39619. . . a0,47712. . . 3,33965. . . e0,60205. . . 3,29446. . . de0,69897. . . 3,22297. . . o0,77815. . . 3,18497. . . não
......
...
1,41497. . . 2,53275. . . Capitu...
......
2,14921. . . 1,74818. . . Bentinho...
......
3,96670. . . 0,00000. . . zanguei3,96675. . . 0,00000. . . zás3,96679. . . 0,00000. . . zeloso
Frequência das palavras em “Dom Casmurro” de Machado de Assis.
Parte 7 Matemática Básica 21
A Lei de Zipf: “Dom Casmurro” de Machado de Assis
y = 3,837 − 1,005 x ⇒ ln(y) = 3,837 − 1,005 ln(x) ⇒ y = 6870,684 x−1,005
Parte 7 Matemática Básica 22
A Lei de Zipf: “Romeo and Juliet” de Shakespeare(A)
Posição (x) Frequência (y) Palavra1 708 and2 688 the3 586 I4 540 to5 464 a6 396 of...
......
11 296 Romeo...
......
22 178 Juliet...
......
3781 1 yoke3782 1 yon3783 1 youngest
(B)x = log(x) y = log(y) Palavra0,00000. . . 2,85003. . . and0,30103. . . 2,83758. . . the0,47712. . . 2,76789. . . I0,60205. . . 2,73239. . . to0,69897. . . 2,66651. . . a0,77815. . . 2,59769. . . of
......
...
1,04139. . . 2,47129. . . Romeo...
......
1,34242. . . 2,25042. . . Juliet...
......
3,57760. . . 0,00000. . . yoke3,57772. . . 0,00000. . . yon3,57783. . . 0,00000. . . youngest
Frequência das palavras em “Romeo and Juliet” de William Shakespeare
Parte 7 Matemática Básica 23
A Lei de Zipf: “Romeo and Juliet” de Shakespeare
y = 3,674 − 1,070 x ⇒ ln(y) = 3,674 − 1,070 ln(x) ⇒ y = 4726,348 x−1,070
Parte 7 Matemática Básica 24
Leis de Potência
Parte 7 Matemática Básica 25
Leis de Potência
Parte 7 Matemática Básica 26
Voos de Levy
Parte 7 Matemática Básica 27
Voos de Levy
Parte 7 Matemática Básica 28
Voos de Levy
Parte 7 Matemática Básica 29
Leis de Potência
Cuidado: alguns fernômenos são, outros não são descritos por uma lei de potência!
Clauset, Shalizi and Newman: Power-Law Distributions in Empirical Data.SIAM Review, Vol. 51, No. 4, pp. 661-703, 2009.
Parte 7 Matemática Básica 30
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