Forschungsmethodik II Mag.rer.nat. M. Kickmeier-Rust Karl...

KolmogorovKolmogorov--SmirnovSmirnov--TestTest

Forschungsmethodik II

Mag.rer.nat. M. Kickmeier-Rust

Karl-Franzens-Universität Graz

1

Lisza Gaiswinkler, Daniela Gusel, Tanja

Schlosser

KolmogorovKolmogorov-- Smirnov TestSmirnov Test

�Andrei Nikolajewitsch Kolmogorov

− * 25.4.1903 - † 20.10.1987

2

Lisza Gaiswinkler, Daniela Gusel, Tanja

Schlosser

KolmogorovKolmogorov-- Smirnov TestSmirnov Test

�Wladimir Iwanowitsch Smirnov

−* 10.6.1887 - † 11.2.1974

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Lisza Gaiswinkler, Daniela Gusel, Tanja

Schlosser

EinleitungEinleitung

�Statistischer Test auf Übereinstimmung zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen

�zwei Zufallsvariablen die gleiche Verteilung �zwei Zufallsvariablen die gleiche Verteilung besitzen

�eine Zufallsvariable einer Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt

(Kolmogorov- Smirnov- Anpassungstest)

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EinleitungEinleitung

�NVT als Voraussetzung für viele statistische Verfahren

�Überprüfung mittels KSA

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EinleitungEinleitung

�Kolmogorov- Smirnov: n <50

�n >50: Chi- Quadrat

�Nichtparametrischer Test− stabil

−unanfällig

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KolmogorovKolmogorov-- SmirnovSmirnov-- TestTest

�Stetig verteilte metrische Merkmale

�Diskrete Merkmale

�Rangskalierte Merkmale�Rangskalierte Merkmale

�Weniger Trennschärfe

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KolmogorovKolmogorov-- SmirnovSmirnov-- TestTest

�NullhypotheseH0: Fx(x) = F0(x)

�AlternativhypotheseH1: Fx(x) ≠ F0(x)

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KolmogorovKolmogorov-- SmirnovSmirnov-- TestTest

�p < 0.05: − keine Normalverteilungkeine Normalverteilung

− Zahlenreihen stammen nicht aus derselben Verteilung

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KolmogorovKolmogorov--SmirnovSmirnov--Test Test ––Berechnung per HandBerechnung per HandBerechnung per HandBerechnung per Hand

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BspBsp. für . für händischehändische BerechnungBerechnung

8 Zeitangaben (= n), die auf Normalverteilung geprüft werden sollensollen

200, 198, 390, 215, 171, 160, 150, 224

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x z Ф(z) f d

1. Tabelle aufstellen

x = die zu testenden Werte

z = z-Werte

Ф(z) = Flächenstücke unter

VorgehensweiseVorgehensweise

Ф(z) = Flächenstücke unter

Normalverteilungskurve

f = gleiche Abstände der

Flächenstücke

d = absolute Differenzen

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VorgehensweiseVorgehensweise

x

150

160

1712. Werte in eine

aufsteigende Reihenfolge 171

198

200

215

224

390

bringen

200, 198, 390, 215, 171,

160, 150, 224�

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3. dazugehörige z-Werte

ausrechnen

VorgehensweiseVorgehensweise

x z Ф(z)

150 -0.84 0.200

160 -0.70 0.242

171 -0.56 0.288

4. gemäß der z-Tabelle

Flächenstücke unter der

Normalverteilungskurve

Ф(z) ermittelten

171 -0.56 0.288

198 -0.20 0.421

200 -0.18 0.429

215 0.02 0.508

224 0.14 0.556

390 2.32 0.990

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Flächenstücke unter der

Normalverteilungskurve sollten bei idealer

Normalverteilung gleiche Abstände haben:

VorgehensweiseVorgehensweise

f

0.125

0.250

0.375

erzeugt durch Division mit Fallzahl n ( = 8 )

5. f berechnen

f = i/n i = 1, …, n

0.500

0.625

0.750

0.875

1.000

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6. Berechnung der

absoluten

Differenzen:

VorgehensweiseVorgehensweise

Ф(z) f d

0.200 0.125 0.075

0.242 0.250 0.008

0.288 0.375 0.087Differenzen:

d = ІФ(z) - fІ

0.421 0.500 0.079

0.429 0.625 0.196

0.508 0.750 0.242

0.556 0.875 0.319

0.990 1.000 0.010

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Schlosser

x z Ф(z) f d

150 -0.84 0.200 0.125 0.075

160 -0.70 0.242 0.250 0.008

171 -0.56 0.288 0.375 0.087

VorgehensweiseVorgehensweise

198 -0.20 0.421 0.500 0.079

200 -0.18 0.429 0.625 0.196

215 0.02 0.508 0.750 0.242

224 0.14 0.556 0.875 0.319

390 2.32 0.990 1.000 0.010

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VorgehensweiseVorgehensweise

Ф(z) f d

0.200 0.125 0.075

0.242 0.250 0.008

0.288 0.375 0.087

Maximum dieser

Differenzen (a) =

Prüfgröße beim

Kolmogorov-0.421 0.500 0.079

0.429 0.625 0.196

0.508 0.750 0.242

0.556 0.875 0.319

0.990 1.000 0.010

Kolmogorov-

Smirnov-Test

a = 0.319

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Maximum dieser Differenzen (a) = Prüfgröße beim Kolmogorov-Smirnov-Test

a = 0.319

VorgehensweiseVorgehensweise

a = 0.319

� kritischen Wert ermitteln:− in Tabelle nachschauen (bei n = 8)

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Kritische WerteKritische Werten kritischer Wert

3 0.708

4 0.624

5 0.563

6 0.5196 0.519

7 0.483

8 0.454

9 0.430

10 0.409

11 0.391

12 0.375

20

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Maximum dieser Differenzen (a) = Prüfgröße beim Kolmogorov-Smirnov-Test

a = 0.319

VorgehensweiseVorgehensweise

� in Tabelle nachschauen (bei n = 8)

kritischer Wert = 0.454

a < acrit � normalverteilt21

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KolmogorovKolmogorov--SmirnovSmirnov--Test Test mit SPSSmit SPSSmit SPSSmit SPSS

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KolmogorovKolmogorov--SmirnovSmirnov--Test mit Test mit SPSSSPSS

� Menüpunkt ANALYSIEREN

�Aus den Alternativen �Aus den Alternativen NICHTPARAMETRISCHE TESTS wählen

�Auswahlpunkte, die sich rechts öffnen,K-S BEI EINER STICHPROBE wählen

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KolmogorovKolmogorov--SmirnovSmirnov--Test mit Test mit SPSSSPSS

�Testvariable auswählen, welche auf Normalverteilung überprüft werden.

Achtung: links unten unter Testverteilung darauf achten, dass der Testverteilung darauf achten, dass der Punkt Normal angewählt ist.

� OK anklicken

�Bildschirmausgabe wie folgende:

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KolmogorovKolmogorov--SmirnovSmirnov--Test mit Test mit SPSSSPSS

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KolmogorovKolmogorov--SmirnovSmirnov--Test mit Test mit SPSSSPSS�Hier sind für uns die folgenden Werte

wichtig:

N (in diesem Falle 8), Extremste Differenzen (0,320) und Asymptotische Differenzen (0,320) und Asymptotische Signifikanz.

�Nun vergleichen wir diese beiden ersten Werte mit einer Tabelle für den Kolmogorov-Smirnov-Test.

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KolmogorovKolmogorov--SmirnovSmirnov--Test mit Test mit SPSSSPSS

�Die nachfolgende Tabelle gibt bei einer 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit Grenzwerte für Irrtumswahrscheinlichkeit Grenzwerte für Stichproben an, bei denen n zwischen 1-35 liegt.

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KolmogorovKolmogorov--SmirnovSmirnov--Test mit Test mit SPSSSPSS

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KolmogorovKolmogorov--SmirnovSmirnov--Test mit Test mit SPSSSPSS

�Wir suchen nun den Wert für N = 8 und sehen dort die Zahl 0,454.

�Falls die Extremste Differenz in unserem Rechenbeispiel diesen Wert überschreitet, liegt mit 95 % Wahrscheinlichkeit keine Normalverteilung vor.

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KolmogorovKolmogorov--SmirnovSmirnov--Test mit Test mit SPSSSPSS

� In unserem Fall haben wir jedoch eine Extremste Differenz von nur 0,32. Das Ergebnis wird am Besten so Ergebnis wird am Besten so interpretiert, dass die theoretische Annahme einer Standardverteilungnicht verworfen werden muss.

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KolmogorovKolmogorov--SmirnovSmirnov--Test mit Test mit SPSSSPSS�Auch unser Wert für die Asymptotische Signifikanz ist weit größer als der Grenzwert 0,05.

�Dieser würde besagen, dass nur in 5 % aller Fälle eine derartige Verteilung aller Fälle eine derartige Verteilung wirklich normalverteilt ist. Ein Wert von 0,02 wäre hingegen deutlich kleiner, daher würde die Annahme einer Normalverteilung verworfen werden (auf dem 5 % Signifikanzniveau).

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KolmogorovKolmogorov--SmirnovSmirnov--Test mit Test mit SPSSSPSS

�Da unser Wert jedoch deutlich darüber liegt, kann die Hypothese einer Normalverteilung auf diesem Normalverteilung auf diesem Signifikanzniveau nicht verworfen werden.

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KolmogorovKolmogorov--SmirnovSmirnov--Test mit Test mit SPSSSPSS

�Achtung:

Der Kolmogorov-Smirnov-Testbenötigt, v.a. bei kleinen Stichproben, benötigt, v.a. bei kleinen Stichproben, extreme Abweichungen von einer Normalverteilung, um auf höheren Signifikanzniveaus die Annahme einer Normalverteilung zu verwerfen.

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KolmogorovKolmogorov--SmirnovSmirnov--Test mit Test mit SPSSSPSS

�SPSS Syntax

NPAR TEST/K-S (normal) = variable .

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Vielen DankVielen Dankfür Ihre für Ihre für Ihre für Ihre

Aufmerksamkeit!Aufmerksamkeit!

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Schlosser 35