á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... ·...

Preview:

Citation preview

تعلم فرص وتؤمن يومية، حياتية مواقف ياضيات الر سلسلة تطرح

كثيرة. فهي تعزز المهارات األساسية، والحس العددي، وحل المسائل،

الشفهي التعبير مهارتي وتنمي والهندسة، الجبر، لدراسة والجهوزية

المواد مع تتكامل وهي ياضيات. الر في التفكير ومهارات والكتابي

الدراسية األخرى فتكون جزءا من ثقافة شاملة متماسكة تحفز الطالب

على اختالف قدراتهم وتشجعهم على حب المعرفة.

تتكون السلسلة من:كتاب الطالب

كتاب المعلم

كراسة التمارين

كراسة التمارين مع اإلجابات

وزارة التربية

ISBN 978-614-406-315-6

9 7 8 6 1 4 4 0 6 3 1 5 6

يةثان

العة

طبال

يةثان

العة

طب ال

ي

ثان اليس

درا اللص

لفا

يثان

اليس

درا اللص

لف ا

ر ش

عا الف

صال

شرعا

الف

ص ال

ب طال

البتاك

ت ياض

رياال

بطال

البتاك

ت ياض

رياال

á«fÉãdG á©Ñ£dG10

( ) .

. .

- -

1439 - 14382018 - 2017

. . . House of Education

: ©.

( ) .

. .

. .

2017م

á```````eó`≤e

احلمدهللا رب العاملني، والصالة والسالم على سيد املرسلني، محمد بن عبداهللا وصحبه

أجمعني.

جملة إلى ذلك في استندت املناهج، تطوير عملية في التربية وزارة شرعت عندما

وارتباط الدولة متطلبات راعت حيث واملهنية، والفنية العلمية واملرتكزات األسس من

ذلك بسوق العمل، وحاجات املتعلمني والتطور املعرفي والعلمي، باإلضافة إلى جملة من

وغيرها، والتكنولوجي واالقتصادي واالجتماعي القيمي بالتحدي متثلت التي التحديات

وإن كنا ندرك أن هذه اجلوانب لها صلة وثيقة بالنظام التعليمي بشكل عام وليس املناهج

بشكل خاص.

ومما يجب التأكيد عليه، أن املنهج عبارة عن كم اخلبرات التربوية والتعليمية التي تقدم

ا بعمليات التخطط والتنفيذ، والتي في محصلتها النهائية للمتعلم، وهذا يرتبط أيض

أهم من الدراسية املناهج بناء عملية أصبحت وعليه التربوية، األهداف لتحقيق تأتي

مكونات النظام التعليمي، ألنها تأتي في جانبني مهمني لقياس كفاءة النظام التعليمي،

ا أو معيارا من معايير كفاءته من فهي من جهة متثل أحد املدخالت األساسية ومقياس

جهة أخرى، عدا أن املناهج تدخل في عملية إمناء شخصية املتعلم في جميع جوانبها

اجلسمية والعقلية والوجدانية والروحية واالجتماعية.

عملية في نبدأ عندما واملناهج، التربوية البحوث قطاع في فنحن آخر، جانب من

تطوير املناهج الدراسية، ننطلق من كل األسس واملرتكزات التي سبق ذكرها، بل إننا نراها

املستجدات في البحث في ا قدم واملضي جهدنا قصارى لبذل تدفعنا واقعية محفزات

التربوية سواء في شكل املناهج أم في مضامينها، وهذا ما قام به القطاع خالل السنوات

املاضية، حيث البحث عن أفضل ما توصلت إليه عملية صناعة املناهج الدراسية، ومن ثم

إعدادها وتأليفها وفق معايير عاملية استعدادا لتطبيقها في البيئة التعليمية.

ولقد كانت مناهج العلوم والرياضيات من أول املناهج التي بدأنا بها عملية التطوير، إميانا

بأهميتها وانطالقا من أنها ذات صفة عاملية، مع األخذ باحلسبان خصوصية اتمع الكويتي

املعرفة بذلك ونعني التعلم عملية جوانب تتضمن أنها أدركنا وعندما احمللية، وبيئته

الكويت، دولة في التعليم نظام مع تتوافق وجعلها بدراستها قمنا واملهارات، والقيم

مركزين ليس فقط على الكتاب املقرر ولكن شمل ذلك طرائق وأساليب التدريس والبيئة

التعليمية ودور املتعلم، مؤكدين على أهمية التكامل بني اجلوانب العلمية والتطبيقية

حتى تكون ذات طبيعة وظيفية مرتبطة بحياة املتعلم.

وفي ضوء ما سبق من معطيات وغيرها من اجلوانب ذات الصفة التعليمية والتربوية مت

اختيار سلسلة مناهج العلوم والرياضيات التي أكملناها بشكل ووقت مناسبني، ولنحقق

نقلة نوعية في مناهج تلك املواد، وهذا كله تزامن مع عملية التقومي والقياس لألثر الذي

تركته تلك املناهج، ومن ثم عمليات التعديل التي طرأت أثناء وبعد تنفيذها، مع التأكيد

على االستمرار في القياس املستمر واملتابعة الدائمة حتى تكون مناهجنا أكثر تفاعلية.

د. سعود هالل احلربي

الوكيل املساعد لقطاع البحوث التربوية واملناهج

oäÉjnƒàëŸG١٠ الوحدة السادسة: هندسة الدائرة ١٢ ..................................................................................................................................................................................................................................................................... ) الدائرة ) ٦ - ١

١٤ ..................................................................................................................................................................................................................................................... ٦ - ١ (ب) مماس الدائرة

٦ - ٢ األوتار واألقواس......................................................................................................................................................................................................................................................... ٢٥

٦ - ٣ الزوايا املركزية والزوايا احمليطية .................................................................................................................................................................................................................. ٣٢

٤٢ ............................................................................................................................................................................................................... ٦- ٤ الدائرة: األوتار املتقاطعة، املماس

٥٢ الوحدة السابعة: املصفوفات ٥٤ ................................................................................................................................................................................................................. ٧ - ١ تنظيم البيانات في مصفوفات

٧ - ٢ جمع وطرح املصفوفات .................................................................................................................................................................................................................................... ٦٠

٦٦ .................................................................................................................................................................................................................................................. ٧ - ٣ ضرب املصفوفات

٧ - ٤ مصفوفات الوحدة والنظير الضربي (املعكوسات) .................................................................................................................................................................... ٧٤

٧٩ .............................................................................................................................................................................................................. ٧ - ٥ حل نظام من معادلتني خطيتني

٨٦ الوحدة الثامنة: حساب املثلثات (٢) ٨٨ ............................................................................................................................................ ٨ - ١ دائرة الوحدة في املستوى اإلحداثي والدوال املثلثية (الدائرية)

٩٥ ................................................................................................................................................................................................................. ٨ - ٢ العالقات بني الدوال املثلثية (١)

١٠٧ ............................................................................................................................................................................................................... ٨- ٣ العالقات بني الدوال املثلثية (٢)

١١٨ الوحدة التاسعة: الهندسة التحليلية ١٢٠ ............................................................................................................................................................................................................................................. ٩ - ١ املستوى اإلحداثي

٩ - ٢ تقسيم قطعة مستقيمة............................................................................................................................................................................................................................ ١٢٤

) ميل اخلط املستقيم................................................................................................................................................................................................................................. ١٣١ ) ٩ - ٣

٩ - ٣ (ب) معادلة اخلط املستقيم....................................................................................................................................................................................................................... ١٣٦

٩ - ٤ البعد بني نقطة ومستقيم...................................................................................................................................................................................................................... ١٤١

٩ - ٥ معادلة الدائرة...................................................................................................................................................................................................................................................... ١٤٣

١٥٦ الوحدة العاشرة: اإلحصاء واالحتمال ١٠ - ١ حتليل البيانات .................................................................................................................................................................................................................................................. ١٥٨

١٠ - ٢ األرباعيات ............................................................................................................................................................................................................................................................. ١٧٠

١٠ - ٣ االنحراف املعياري ........................................................................................................................................................................................................................................... ١٧٦

١٨٣ ............................................................................................................................................................................................................................................................ ١٠ - ٤ طرق العد

١٠ - ٥ االحتمال املشروط ........................................................................................................................................................................................................................................ ١٩٢

IóMƒdGá°SOÉ°ùdG

��

á«°Sóæ¡dG ±QÉNõdGh áæjõdG º«ª°üJ »a IôFGódG ᫪gCG :IóMƒdG ´hô°ûe ������� � �I �� ��� ����� �������� � ����!� ������� "I#� $%��&�� '�(�)� ,����* $��+ -�. :/��0 �� ".��. 1

�"��2� �*�3 4���� �� �5���� U%M3 ��89 �. ;&�)� �3<� ������ �"��� �� �� "���� ;%=� '�* �. � ���&�#.$%��&�� '�(�)� .��* >������ �&�� ?��@ "�A �� !%2��� BC3 ".�(�# �� D������ E�� �* FG�� :H���� I

�������� � ����J� K%LM� "���I N�O9 ��������!=� ,�L+ ,��%LP 'C+� ,D���. "QMR ,�)! S�!�� :'T�%L�� U

:V�MM��� B%W "LX)� Y�Z!�G �� �)! $�;[ D���. "QMR \L* N�]� "M�� ��* �

,�#&� �9�� �� �.�(�#. �IF_ >�#� �M+ `2�� Z_− ,a[ ,Za ,_−[ ,Za ,_[ ,Z_ ,a[ J�9��. ����; Y �)!� b �IFY >�#� �M+ `2�� ����; Y �)!�

�� W]� c�%�� ����. NQ0�� "��!]� �9�� �� ��� N� �d � 2P $%�� ,e�%+]� f.� ���3]� NQ0�� $%�� g�h2�� �������� g�MQ�� ������� �I�P U�� ��� N�

��0* ������ $���� �. �.C)@� �&�� �. F � �� 2�� "����� D�%M(�� �MP� j=

����; �)!� :1 �%M(�� \L* c)�k! ����.�

�c��M+ �)!� �l ,������� �* 4P��� NQ0�� �)!�

°Y_ "����� ��� �� $�!�;� ������� �9�. B%W

����; �)!� :I �%M(�������� �� "IG. "�L3�;

N9 � �)!� :U �%M(���!M+]� �� = ���.

�)!� :Y �%M(�� ������ D&2�.

U�� ��* �l , "��9� �� m-�� �� 8�� �I���� ������� �. D&2� ��

�"�L3����

m-J � =� :_ �%M(�� \L* N2G�� U����

������� ��IG. �����. ��M� 9 g�h2��

N2G�� $%� �l ,�)����b%LM �� �� 2��� \L*���L* nL2W ���� ��.2��� o�*�� ,��W%�� e�!; �. � ���&�#. /��0 �� -�&�P B%W �C2&. � �����P �A :������� _

IóMƒdG ¢ShQO

�������������� e .e�%+]�� !P�]�"��9� �� ������"�M�G �� �������

!P�]� :�������e �� ,"�I�� ��

Z [1−pZb[1−pI−pU−pY−p

IôFGódG á°Sóæg

Geometry of a Circle

��

"M�� ��* "�I�� �� !P�]� �� �P D+C�� ������� ?!3 �� ������� N3�; d�Q � �����=� B�%I� ��� F��P �;�G. c� L�P . '��(�)� D+C��� m-J ;q�r D8L8 ��� "��M� �� D8L8 �� �* ���) �M#�QP H%) ���� H!� �� �"��0� �� � ����* D��MMP �� ��W%�� m-J �. ")������ ,"�! � �� ")������ ,��%2���

�"9�G� �� !%2��� ,"��� ��

∂JÉeƒ∏©e ≈dEG ∞°VCG (áÑ°ùàμªdG á≤HÉ°ùdG ±QÉ©ªdG) ¿B’G âfCG øjCG

• ���W#.� ����; F�G. ;q�r n L�P• c�0P� ��5�� �� ������ s�23� D8L8 �� V�MP DMlr n L�P

�FL8 �� � ��� �� �M��� E��� D8L8 ��• �t!%u8� "��v� ��.� ,"������ ��+ FL8 �� s�23 n L�P

?º∏©àJ ±ƒ°S GPÉe• "M��� ! �� ������� �M+ `2�� e �� ��� "+C��� '�(�#P H%)

�N�# �� NG� e ���• �"�P�W N�#. NW � ��W�� "M�� �. ��) . ��� "+C��� '�(�#P H%)• NG� "��9� �� ������� e�%+]�� "��M� �� !P�]� '�(�#P H%)

�������� � N�#.• �9� � � P ���� " ���# �� �M���� D ���# �� s�23 H���P H%)

�������� �9� � � P w ����� �������• "9��0 �� "�M�G �� "������� "��9� �� "������ ��� "+C��� H���P H%)

�c#&� e%��� �• ����LA ��� !%2G �� e%���� "�) �� "������ ��� "+C��� H���P H%)• e%���� "�M�G �� "������� "�) �� "������ ��� . "+C��� H���P H%)

� ���� x��0 ��• ��M��� B%I� e �� B%I ��� "+C���� ������� � ���I��. ���P� ��� "+C��� H���P H%) • �>������ �*���� NQ0�� s�23 H���P H%)

á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üªdG$����T − >���; �*�! − �I��� − "�I��. !P�� − "�M�G. "���T − "��9�. "���T − e�%+� − !P�� − ������� e .

�$�L.Q�. $����T − $�L���.

IóMƒdGá°SOÉ°ùdG

��

IôFGódG

The Circle

( ) 1-6

?�L�P NJ������ ����� ������ ������ ��I� ������ ��� �!��M#��� �$�%�� &�'%(�� )%*+#� �)%�� ,-' .�/�%�� 01� 23

45!6 7+� ,.�M9' .�/�� �:%�; �9(< ���=' >��=; ?+��=' @A�' �B!C >6 ,.�/�%�� @�A�; ��D=' �-3��E�� F�I �G' H1���D=��� �,: I� J�� � K<�L16 ����+(�

&�-M��1 H!����� HN�M��� 4��9�� 0�O6 �'%-3 �PP� )�9�� 7+� ��M�I .%�� Q��N�M��� H1 ������� ��D=��� �,: 0�R�� �B!S� �,: ����+#� &�'%-�� &�1

g�#�P $� �Q � NJ z+!��� �+��� DW#.

�+��� DW#. �.?z�� G��

� &�M( TG!U��'

U��+�� �M!

U��+�� �M( TG! �M��V

�MWX�'

�M��V��M��'

�M(

�;�

�Y

Z�

J)

������� `���P �M! �3 �5-' IX %9�; H+�� [�+=��� U�! �3��]' H: .�/�%��

��K+A�O � K%9A [�+=��� H1 ) �+A�O TG! J�I 0A��� %9��� 7�=M� ������� �9�. �+A��� �M-�� 7�=;

� W'���A .��3 ?��C W'�M� �M��

���W�� ����; �� � P ��W�� ".��)� \L* n#�� U�� tCl N9Z1[ "��v�

�^

Z1[ B8. NQ0�� "����; ���M9 "�M+ \�r "A@� "��3 ��= �. ���h� ��M+ !l{ ��* �=� :!l<� �L* B%I� �9�. ;q�|� d�}� ,��q�� ��.�P �;*@ ����� ��*#. ��M�#P `�9 ���q�� "J% �.

?���MQ�� "������� "�M��� �M+ `2�:NG��

�"������� ��q�� "J% �. z�= :D�M� ���J�M+ `2� B%I� ������� �9�. ;q�r :b%LM ��

���q�� "J% �. � �z�= N8 P ����� ".%)� �� ������� e%+ \L* j= ,b , U�� U -3O� :N ����� "M�� � $�I��� $�-L�� , j= b , b �. NQ� � �!%G. �)��

b !%G. B � :$J�M��Z1[ � = b� ∴

j= b !%G. $ � �

Z�

J

& ZI[ j=� = b� ∴ �������� �9�. �J � "M���� $� 4���#� ZI[ ,Z1[ �.

�������� �M+ `2� B%I = � B%I ∴NGP $� B�W

�"������ ��+ FL8 � "M�G �� ������� �9�. ���GP� Z1[ "��v� $J�� DMl@ Z1[ B8. � V�#�� '%�& �� '�(�)� 1

j=b

?���)�Z� � ⊥ � ,IA���� ILB�� H1

�Z� � 7�3 � _M���3 �M-��A ��M Z� 4�+=��� &6 `�EAaº�P� = aZ�c + a�c c º�P� �' ��X6 Z� � Δ �M��V Q�#��( e��]' f�GM

º�P� = g���� �M��V Q�#��( e��]' :�M�i-�� @' j(�-+M �,:��Z� � 7�3 � _M���3 k�� Z� ∴

�'%L� �� ����# �� \L* >;% *� "M���� m-�� � � ��W� ����#. �=%� ����#. ?!3 "M�� �. :1 ?���)��a� 7�3 l�M-; $ Z�c 4�+=��� 7�3 Z� �M-�� @N�' &�X ��5' Z� > � ,Z� � Δ H1 ?!6 m�$

�>;% ��� ��M�� %J ����#.� "M�� ��� ��� �2+� :I ?���)����X6 Z� J�I f�n6 4�+=��� 7�3 � �3 Z� Q%9+A� ���X

�o

IôFGódG ¢Sɪe

Tangent of the Circle

(Ü) 1-6

º∏©àJ ±ƒ°S

• ��� "+C��� '��(�)� �M+ `2�� e �� "M��� ! �� �������

e ���• ��� "+C��� '��(�)�

��W�� "M�� �. ��) .������� ?!3

����P N *•

�� �:WX�' .�/�� 4#�� <���E�� )%*+#�• .�/�%�� @' @I�+M � K��+=' 4#<� .�/�%�� p<�q � �M! �'

� �L+�� F1 .%��� �M! H1• � � �9M�� 4#<�

?� � �M��W�� U��( �' 1�IGE�� H1 t/u'V v/�+-A t+]�+! &<�( I

�M( TG!� .%��� �M! H1 .�/�%�� @MM >,�� 4�+=��� ��A �(u9�� J�� �K-��*; @N U��M-�� �,: H1 <���� .�/�%��

���W�� "M�� � ������� �. �I��� >%�# �� � ����#. %J �����L� e ��

�;

�e ��� "M�� \ #P �I���� "M���e . ;

�e . /�R ;"�) . "�M+ ;

e ��� �M+ `2� �

�e ��� �M+ `2� \L* >;% * e ���M��� `2� �. � ��.��. $%Q� c�| ,������ �) . ����#. $9 �}r

�e ��� "M��� ! ��� ;

� ; ⊥ � $� >�

ZI[ "��v�

�w

ZI[ B8.�� J�9�. ���� �����L� $) . $ ' , B ' N�� �� NQ0�� �

�$ ' B "������ e�+ �=��:NG��

�� J�9�. ���� �����L� $) . $ ' , B ' :D�M� ��$ ' B "������ e�+ ;q�r :b%LM ��

:$J�M��

$

°11� °e

B

' e . B ' e ��� �M+ `2� B�

°�a = Z�B'[ ∴"��v� °�a = Z�$'[ :N8 ���

�*�! NQR � $ ' B°Upa = Z�[ + Z ' [ + Z$[ + ZB[ ∴

E�%���� °Upa = °11� + °e + °�a + °�aF�#M��� °Upa = °e + °I��

°pU = °e °pU = Z$ ' B[ ∴

NGP $� B�W�� J�9�. ���� �����L� e . ; ,N�� �� NQ0�� � I

�°U�

°e;

�°e " �+ �=��

»JÉ«M ≥«Ñ£J ZU[ B8. �"=�!��� >!Ir FM( �� N8 �

���!I@� ��-J >!%G. ��� "# �� j=; �=����) �p = b , �) Ya = j= b , �) UI = ; $9 �}r

�x

:NG��:D�M� ��

�) Ya = ,j= J�9�. ����;�) UI = ,; J�9�. ����;

�) �p = b ,��P����L� e . b

b

�) UI�) Ya

�) �p

j=jJ ; ���!I@� >!%G. ��� j= ; "# �� ;q�r :b%LM ��

�b j= ⏊ jJ; �)�� :N ���?�} � b ⏊ b j= , b ⏊ ; :$J�M��

�N�M�#. jJ b ; NQ0�� ∴ jJ � "������ ��+ j= jJ ; FL8 ��

:t!%u8� "��v� V�MM��:áeƒ∏©e

!%G �� %J !I@� !%G.�!I@� c�%W !��� >-�� IZj= jJ[ + IZjJ;[ = IZj=;[

� I�a = IZ�[ + IZ�p[ = IZj=;["M)G�� "�<� '��(�)� �p�UU j=;

��M���P �) �p�U >�#P ��!I@� >!%G. ��� "# ��NGP $� B�W

b

jJ

j=

$ �S!%�� N �. � �����%M)] ��M�. N�� �� NQ0�� N8 � U

���) �. $P������ n�9 �}r j= b B%I �=�� ���P���� \L* �) Ya ,�) _a ���M+ `2� B%I�

� ��P ���� c���� ��* ����; �M+ `2� \L* >;% ��� ����# ���"M���� m-J ��* ������� m-�� �) . $%Q� ������� \�r

ZU[ "��v�

j=

' j= ��* �����L� e . '

�y

´hô°ûe. %-3 .�/�%�� � _#��' zB!6 .�M=���� <���E�� � K'%*+=' �.�/�%�� 7�3 �M! ,� �:WX�' .�/��:\��]� "���M��

l�

و’

��

b

و’

b

�%�! 4O � �L��� �M( TG! 4#�!� H1 � �M-�� U�L9!� l�

��X6 ��+EA ��#�( l� ,� �' 4#�!�� H1 &�#��� @I�+M , �'

�� , ��+M-��A <���� 4�+=��� 4#�!�.�/�%�� U��' 7�3 IG�-1

:"��8�� "���M��

;b;�

;�

; b

� �L��� �M( TG! 4#�! %-3 <���E�� �# WX�!

@MM � K#�( 4#�! � >��=; ��+EA�� = � &�L�1 � H1 .�/�%��

� �M-�� U�L9!� � �M-�� �%�! � H1

,� ��+M-��A <���� 4�+=��� 4#�!�.�/�%�� U��' 7�3 IG�-1

:V�GP�.�/�%�� U��' � &6 0�O6 ,��+M�M�� �' IX H1

�P

ZY[ B8.��) I_ = ' $ , �) IY = ' B , �) � = B $ ,N�� �� NQ0�� �

�$ J�9�. ���� �����L� e . B ' $� nMl�:NG��

�) IY = B ' , �) I_ = ' $ , �) � = B $ :D�M� ��$ J�9�. ���� �����L� �) . B ' $� DMlr :b%LM ��

t!%u8� "��v� �Q* '��(�)� :$J�M��$ �) I_

�) IY)

�) �B IZ' $[ =? IZ' B[ + IZB $[

E�%���� IZI_[ =? IZIY[ + IZ�[F�#M��� pI_ = pI_

�B � ��+ $ B ' FL8 �� $� 4���#�B $ ⊥ B ' ∴

J

&)

"��v� �B "M���� � �����L� e . B ' ∴NGP $� B�W

,� = ' $ , � = ' B , Y = B $ $9 �}r ,N�� �� NQ0�� � Y�d��=r � �# ?�����L� e . B ' N�

Z_[ B8.��P���� \L* J!M+� ����; H2�� Y; ,U; ,I; ,1; N�� �� NQ0�� �

� jJ , jJ j= ,j= b ,b��

o�^�

���

Z�

Z:

d��=r � �#� ,������� H2�] D) �� ;�W:NG��

:D�M� ����P���� \L* J!M+� ����; H2�� Y; ,U; ,I; ,1;

� jJ , jJ j= , j= b , b:b%LM ��

�"�=@� ��#&P �. ������� H2�] D) �� ���GP

�{

:$J�M��1; ������� `2�� �M+ b , \M�. b ⊥ j=:Ió«Øe áeƒ∏©e

�) . $%Q� ������ e �� >-�� ������� m-J `2��

�e ��� "M�� >%G� �1; ������� `2�� e . j= ∴

Y; ������� `2�� �M+ jJ , \M�. jJ ⊥ jJ j= d�-9Y; ������� `2�� e . jJ j= ∴

�I; ������� `2�� e . j= jJ $� DMlr �Q � d�-9 U; ������� `2�� e . jJ $� DMlr �Q � N8 ����U; ������� `2�� e . j= b d�-9

NGP $� B�W:����� s��� N 9� _

j=

b

;

����� FL8 �� e�k�� � P ���� �����L� e . �����

�$���M�. �=!3 "M�� �. $�.%)� ��� ������ $�) �� $��M���

j=

b b j= b

ZY[ "��v�

:D�M� ���� �:WX�' .�/��

�.�/�%�� 7�3 &�+M! Z� ,�.�/�%�� &�#��' Z� � , � g�� .�/�%�� p<�q �M! �

� Z� � , � lA�M; Q��OC :b%LM ����� , Z�� , � 4#�! :N ���

��

:$J�M��� Z� ⊥ � Z� U��+�� �M( TG! � Z� ∴ , .�/�%�� U��' � Z�

"��v� Z� �M��W�� 4/�( � Z�� g����

Z�

� � t!%u8� "��v� � − �a��cF = Z� � �M��W�� 4/�( � � g���� I���A�

� − �a��cF = �� = Z� � ∴

:�3{ $J�� :� Z� � , � � ������ H1

x��0. �LA � � = � �"��v� °{� = a� Z��c = a� �c

= Z�� = �?�} � � Z� �Δ ≅ � �Δ ∴

Z� � = � ∴ �A�M+' .�|�-+��� euN�� ∴

Zp[ B8.j=�) 1a�) 1_

�) �

^J

�J�J

b

�j= b FL8 �� F�G. �=�� ,N�� �� NQ0�� �:NG��

:D�M� ��� J�9�. ����;

�) � = 1B b F�W 1B � �����L� e . b�IB � �����L� e . j= b

��)1_ = UB ,�)1a = UB j= F�W UB � �����L� e . j=�j= b FL8 �� F�G. ;q�r :b%LM ��

:$J�M��"��v� �) 1_ = 1B = UB "��v� �) 1a = UB j= = IB j="��v� �) � = IB b = 1B b

��

j= + j= b + b = FL8 �� F�G.UB + UB j= + j=IB + IB b + b1B + 1B =

pp = 1_ + 1a + 1a + � + � + 1_ = ��) pp = FL8 �� F�G.

NGP $� B�W,�) _a = j= b FL8 �� F�G. $9 �}r N�� �� NQ0�� � p

Z�

4# y

4# ��

�U

�U^U

� �j= b B%I �=�O

�"��#�� "��v��� �. ���L��� V�M�. j= bΔ

j=b "������ `2�. � b 1j= � "������ `2�. b� I

j= ⊥ b� U

j=

b

"��v��� 4���

Z�[ B8.Z; jJ[ ,Zj=; [ �=�� ,N�� �� NQ0�� �

Z�

� Z:

J°�w ������L� �M+ ;� F�W ������� $# P jJ B , � B n�9 �}r

:NG�������L� e . jJ B

"��v� jJ ⊥ jJ B ∴°�a = Z jJB[

Y "��v�L� "q��� ZjJB�[ "������ `2�. j= B°I_ = Z�B [ = ZjJB [ ∴

°p_ = Z°I_ + °�a[ − °1�a = ZB jJ[ c�.�°p_ = Z� B[ ∴

��

Y "��v�L� I "q��� ZjJ �[ "������ `2�. Be���� $���M�. $����T °p_ = ZB �[ = Zj= ;[

���L��� V�M�. j=; Δ ∴ = j= = ;Z;j= [ = Zj=; [

°_��_ = °p_ − °1�aI = Zj=; [

ZZj= ;[ + ZjJ B[ [ − °1�a = Z; jJ[°_a = °1Ua − °1�a = Z°p_ + °p_[ − °1�a =

NGP $� B�We . j= b ,�����L� $) . jJ B , � B N�� �� NQ0�� � �

b�

j=

;

jJ

B

����L��� V�M�. j= b B FL8 �� $� nMl� ,; "M���� ��* �����L�

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J Z�[ B8.Z�

}

� �"=�!; Z!Ir[ bw�; N�� �� �)��� N8 �b

Z�

�H = j= b $� �J��:NG��

�j= b \L* $�;% * b > , j=� H \L* $�;% * > , H�

} = j= b $� DMlr :b%LM ��:N ���Z:

Z�

}

�>

�jJ � �I��� \�W H , b j= � �:$J�M��

\M�. j= b ⊥ b > , j= b ⊥ j=� ∵"��v� ��P����L� x��0. e . } N8 ��� ��P����L� x��0. e . j= b ∴"��v� H jJ = j= jJ ∴ � J�9�. ���� �����L� $�) . $��M+ H jJ , j= jJ

jJ = b jJ ∴ > J�9�. ���� �����L� $�) . $��M+ jJ , b jJ d�-9

�^

����;� �� ��M� jJ − H jJ = b jJ − j= jJ�H = j= b

NGP $� B�W�$���M�. ��P������ $� o�&� V�#�� B8 �� �. �

� H �. b j= �I��� �� �}r H = j= b $� nMl�

ZInscribed Circle of a Triangle[ Z"L3����[ FL8 � "IG �� ��������Iq�%�� �' �Ou�� g���� euN� �#��' .�/�� H:

�Circum Center g���� ���q�%�� �M��W�� Q�EG-' H(u; �M! �: .�/�%�� �,: WX�'

:� �Q?�} � �&�A�M+' �J� ,�J� &�����

Z� �J[ = Z� �J[� �M��W�� TG-' �∴

�~�;�+�� 7�3 Z� ,� �M��W�� TG-'Z�� , �� �' _uX &6 �5=E! �M�M��A 0�O6

ZCircumscribed Circle of a Triangle[ Z"=!(��[ FL8 � "M�G �� �������

�� Z�

��Ou�� g���� U���A ��; .�/�� H: Q�EG-��� H(u; �M!c g���� euN� �Ou�� <������ H(u; �M! �: .�/�%�� �,: WX�'

�ag���� euN� �M���9��

:� �Q?�} � Z�� = ��?�} � � = ��

?v+-+=; ���'

Z�

^J

�J

�J�

�o

:Z1[ �G�A%P ��!�P

�) I J�M+ `2� B%I , � J�9�. ����; �0�� �°pa �)�+ "���T j= b� j= b , b "������ �*�0� ") . $%QP F�G�

:NG��

'

>

b jJ $ j=

x�

J

°pa = Zj=b [ :D�M� �� �) I = J�M+ `2� B%I ,� J�9�. ����; z0�r :b%LM ��

"������ �*�0� ") . $%QP F�G� b \L* "�;% * B ' �)�� b \�r � ��P ' "M�� �. :N ���

b �� jJ B �)�� B �. ��) I ��%I j= b \L* "�;% * x $ �)�� j= b \�r � ��P $ "M�� �.

��) I ���� ��%Ij= b �� > x �)�� x �.

�������� �9�. �J� �{�} = > x ⋂ jJ B��) I J�M+ `2� B%I� � J�9�. ���� ������� �)��

:ZI[ ��!�P

`2� B%I ,� J�9�. ����; �0�� �°�_ �)�+ "���T j= b�j= b , b "������ �*�0� ") . $%QP F�G� �) U J�M+

:NG��

�w

2-6¢SGƒbC’Gh QÉJhC’G

Chords and Arcs

º∏©àJ ±ƒ°S

• !P�]� '��(�)� e�%+]�� "��M� ��

�"��9� �� �������• U%M(�� s�23

� P ���� " ���# ���������� �9� �

a��#%-5�� Q����� )%*+#�c ����P N *�&� )� IA���� ILB�� H1

'$

bj=

;� ?m�u; ���' �� Z� , � H��I ��A &<�( 1

?m�u; ���' �� � Z� ,� � ��+M��W�� U��( ��A &<�( I�&� < )� &�LM g��A IA���� ILB�� 4#< %36 � U

�a� � Z�c ,a� � c ;� Z� ,� ��A &<�( b ?m�u; ���' j=

�.�/�� 7�C �:�1�I H�+-M ���+=' �9M( �: aChordc �P%��;�

j= ��;��� �,5� �|�-��� ; j= aArcc U���� � Z� �;��� IA���� ILB�� ����M��:�G�; H+�� U��(��� <�;���� .�/�� H1 �MWX���� �M��W�� ��A �(u9�� 7�3 ����+�� �M�i-�� <���+;

:"��M�. ����; � �� ����; ��"��M�. !P�� "��M� �� "��9� �� ����L� 1

�"��M�. �)�%+� N��P "��M� �� !P�]� I�"��M�. "��9�. ���T "��M� �� e�%+�� U

Z1[ "��v�

Z1[ "��v� DMlr

b

j=

;�

a� � Z�c = a� � c ,� �:WX�' .�/�� :D�M� �� 1�� Z� � &6 Q��OC :b%LM ��

:��5�1 �� Z� , �� &����� :$J�M�� = Z�� = � = �� = ��

\M�. a� � Z�c = a� � c a`� V �`c &�A�M+' &�����

��5�� �� /CA]� V�MP � Z� �

�x

� Z� � :D�M� �� I� Z� � &6 Q��OC :b%LM ��

:$J�M�� ?�} � �� � Z�Δ �� Δ ∴ � Z� � ?�} � a� � Z�c = a� � c ∴

�Z: = J &�!��� )�%*+#�A ��M�� TG! J�I × a&�M�����Ac �MWX���� �M��W�� U��( = U��� J�I

�� Z� � &6 v+-+=! � Z� � :D�M� �� U

a� � Z�c = a� � c :b%LM �� � Z� � :$J�M��

� Z� J�I = � J�I ∴

\L* " #��� × a� � Z�c = × a� � c a� � Z�c = a� � c

Z1[ B8.b

� j=

;

B H ?4���#P �}. �H ; j= b ,$���M�. $P������ N�� �� NQ0�� �

:NG��"��#�� "��v��� '��(�)�

Z; B H[ = Zb � j=[H ; j= b

NGP $� B�W?4���#P �} , H; j= b $9 �}r ,mC*� �)��� � 1

�y

�.�/�%�� WX�' �3 ��5-' IX %92A� �M�;� ��A �(u9�� ����+�� �M�i-�� ����;

�������� �9�. �. "��#�. ;��� \L* ����; � "��M� �� !P�]� 1�"��M�. $%QP ����; �9�. �. "��#�. ;��� \L* ���� !P�]� I

ZI[ "��v�

ZI[ "��v� DMlr�; j= b :D�M� �� 1

b

j=

;'

$

� �'� $� :b%LM ��

:$J�M�� = �� = �� = Z�� = �

\M�. � Z� = � Zo �o �o[ � Z��Δ � �Δ ∴

�� Z�� g���� ���=' = � � g���� ���=' � Z� × )�

� = � × &�� ∴

� Z� = � )� = &� ∴ :᫪∏Y áeƒ∏©e

�� *]� $| $8L8. V�MP �}r \�r e���� �. ".%)� �� $%QP ��5� �� ��*���

�"��M�.

�'� $� :D�M� �� I�; j= b :b%LM ��

:$J�M�� �P�� �L�� � )�Δ &�Δ

?����� � Z��Δ � � Δ ∴ :&6 v+-M lA�M+�� �'

� Z� = �

�P

ZI[ B8.

Z�

���w�

Z:) ��# �; j= B%I �=�� , jJ ' = b ' �������� �9�. ' �Q�� N�� �� NQ0�� �

:NG��:D�M� ��

�������� � $��P� j= , ; j=�1I�_ = b � j= `2��. b

�b ' = jJ ' , ; j= ⏊ jJ ' F�W ; j= ∈ jJ�; j= B%I ;q�r :b%LM ��

:$J�M��\M�. 1I�_ = j= b = b

j= = j= b + bE�%���� j= = I_

\M�. b ' = jJ ' ∵ "��v� j= = ; j= ∴

E�%���� I_ = ; j= NGP $� B�W

�� J�9�. ����; I�x ^x

�P�P

U�

�d��=r �#� ,N�� �� NQ0�� � e " �+ �=��

���5' ��#%-: ���q �;��� 7�3 >���9�� TG-��� ,.�/�%�� H1

�c�)%+ �. �C9 `2��� c&2�� ����; � �P� \L* >;% ��� �M��� 1��P%�� �-J \L* ��;% * $%Q� ����; � Z� ��M+ ���[ � ��P� `2�� >-�� �M��� I

�������� �9� � � � ����; � �P%� `2� �� ;% ��� U

ZU[ "��v�

�{

ZU[ B8.

Z��4# ^

4# �o

�� J�9�. ���� ������� �M+ `2� B%I �=�� ,N�� �� NQ0�� � �:NG��

:D�M� ���) U = j=� �b ⊥ j=� ��) 1Y = b �� J�9�. ����; � �P� b

������� �M+ `2� B%I ;q�r :b%LM ��b � �)�� :N ���

:$J�M��c&2�� �P� \L* >;% ��� �M��� �) � = Z1Y[ 1I = b 1I = j= b

t!%u8� "��v� _� =IZ�[ + IZU[ = IZb j=[ + IZj=�[ = IZb�[���M�� CQ� �������� !-q�� �) ��p _�F = b�

��) ��p \��%W >�#� ������� �M+ `2� B%I

Z��

4# �w

4# ��4# ��

��P%��� ������� �9�. ��� ��M�� �=�� N�� �� NQ0�� � b:NG��

�������� �9�. � :D�M� ���������� � �P� j= ��) 1_ = � ,������� �M+ `2� �

��) 11 = j= b = b ,j= ∈ b�j= �P%��� � ������� �9�. ��� ��M�� ;q�r :b%LM ��

:$J�M���P%�� \L* >;% * %J Z�M��� ���[ �P%�� `2�� >-�� �M��� b ⊥ b�

b�Δ � t!%u8� "��v� IZ1_[ = IZ11[ + IZb�[1aY = IZb�[

���M�� CQ� �������� !-q�� �)1a�I b���) 1a�I �P%��� ������� �9�. ��� ��M��

^�

NGP $� B�W:;q�@ N�� �� NQ0�� '�(�)� U

�b �P%�� B%I � �

U�4# x�P 4#

o

� b �h�]� e%��� `2��. \�r �P%�� `2��. �. "# �� b

b

j=

;

� �?EG-M� ��5-�A Y�+B��� �;��� 7�3 � _M���3 &�LM ��+9I�+' ��;�/�%� �MWX���� Fq

"q���

ZY[ B8.?; j= B%I ��)1U = ,�)IY = b $9 �}r �x��0. �P� ; j= ������M�. ��P���; N�� �� NQ0�� N8 �

:NG��

b�

;

j= �b , J��9�. $���M�. $P���; :D�M� ���x��0. �P� ; j=

��) 1U = ��P������ �. N9 �M+ `2� B%I ,IY = b; j= B%I ;q�r :b%LM ��

�; b , j= b ,; ,j= �)�� :N ���:$J�M��

�) 1U = = j= = j= b = b ; = ; c� j= b; NQ0�� �����. j= b ; ∴

��3<� ��. N9 `2��� $��.��. ; j= ,b $��M������ "������ ��+ j=� Δ ∴ °�a = Zj=� [ , j=� Δ �

t!%u8� "��v� IZ �[ − IZj= [ = IZj=�[I_ = IZIYI [ − IZ1U[ = IZj=�[

_ = j=�Z; j= `2��. �[ � j= × I = ; j=

��)1a = _ × I = ��)1a >�#� ; j= B%I

^�

NGP $� B�W�b B%I �=�O , �)1U = ,�)1Y = ; j= $9 �}r ,ZY[ B8. � Y

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J Z_[ B8.��-��� ��� �� e�k! �.CP F�G� NQ0�� "����; �-� N3�; NQ0�� ���. �M03 !Ir �A� �R�! ����

?�M0(�� ��� �� �LA B%I ,��.1�p = �-��� ����; �M+ B%I $9 �}r���� �� /CA� �W� \L* ������� �9�. �. BT��� ;% ��� B%I �=�� �l

:NG��; j=

!I@��M0(��

�-���

b

�'1�p J�M+ B%I ����; ���� :D�M� ��������� \L* c)�k! ��P ���.

���� �� �LA B%I ;q�r :b%LM ��/CA]� �W� \L* ������� �9�. �. BT��� ;% ��� B%I ;q�r

:$J�M���; j= b ��� �� �Q��

���� �� �M+ B%I >�#� ������� �M+ B%I�' 1�p = j= ∴

Zm�M+ B%I� ���. �LA B%I ��� "+C���[ IF b = j= �Q���1�1U 1�p

IF = j=IF = b ∴

��M���P ��. 1�1U >�#� ��� �� �LA B%I?�} � ��� �� �LA B%I × 1I = ��� �� /CA� �W� \L* ������� �9�. �. BT��� ;% ��� B%I ∴

1�pIF × 1I =

�' a�_pp ⋍ NGP $� B�W

���. 1�_ >�#� ��� �� �LA B%I $9 �}r ������� �M+ `2� B%I �=�� ,mC*� Z_[ B8. � _

^�

3-6

º∏©àJ ±ƒ°S

• �"��9� �� "������• �"�M�G �� "������• \L* "�) �� "������

��������• "������ e�+ ��� "+C���

"������ e�+� "��9� �� � "9��0 �� "�M�G ��

�c#&� e%���• "������ e�+ ��� "+C���

e%��� e�+� "�) ������LA ��� !%2G ��

�+���� �Q&� �*;�

jJ'

b

j=

;Z1[ NQR

,Z1 NQR[ IA���� 4i+-��� H#�%=�� H1 1�°x� >��=M � U��� U��( &6 0�O6

?�) �MWX���� �M��W�� U��( �' � I�a��-��� )�%*+#� t-L�Mc

?�� :��M����� �M��W�� �' IX U��( �' b ?m�u; ���' ?�Z� ?�� ?�Z:

jJ

'

b

j=

;ZI[ NQR

,ZI NQR[ 4i+-��� H#��*�� ILB�� H1 U�°y� >��=M � U��� U��( &6 0�O6

?�) �MWX���� �M��W�� U��( �' � Y ?�Z� ?�� ?�Z: :�M��W�� �' IX U��( �' b

?m�u; ���' :".�(�# �� D��;]�!=� ,"L��. ,��M#.

�) �M��W�� U��( ��A �(u3 %��; I: a^c ILB�� H1 _

'

b

j=ZU[NQR

?� U��� U��(� �Z� �M��W�� U��(�

Central Angle and Inscribed Angle á«£«ëªdG ájhGõdGh ájõcôªdG ájhGõdG - 1

:∞jô©J

�"��9� �� "������ 7�=; .�/�%�� &�9MM �:�9�N� .�/�%�� WX�' �5#6< H+�� �M��W�� 1�"�M�G �� "������ 7�=; .�/�%�� &�9MM �:�9�N� .�/�%�� U�! [%�C �5#6< H+�� �M��W�� I

á«£«ëªdG ÉjGhõdGh ájõcôªdG ÉjGhõdG

Central and Inscribed Angles

^^

�������� \L* ���LA ��� !%2G �� e%��� e�+ >�#� "��9� �� "������ e�+Z1[ "��v�

Z1[ B8.�°�a = Zb [ $9 �}r �� J�9�. ����; N�� �� NQ0�� �

�Zb� [ �=�O

b

� :NG�� � J�9�. ����; :D�M� ��

°�a = ab c�Zb� [ ;q�r :b%LM ��

:$J�M�� ������� �9�. �

ab c N��P "��9�. "���T Z�� [Z�� [ = ab c

°�a = Z�� [

NGP $� B�W����LA ��� !%2G �� ������� \L* e%��� e�+ �=�O ,°U_ "��9�. "���T e�+ $9 �}r 1

e%��� e�+ `2� >�#� "�M�G �� "������ e�+ ������� �b

j=

� ����LA ��� !%2G ��

ZI[ "��v�

Zb [ 1I = Zb� [ 1I = Zbj= [�c#&� e%��� � ��. "9��0 �� "��9� �� "������ e�+ `2� >�#� "�M�G �� "������ e�+

^o

�!M�*w� � J-3� �q� DwW U x�J1 "�G��I "�G��U "�G��

bj=

;

bj=

;

j= b

;

H9�N %�6 7�C .�/�%�� WX�' H�+-M��M����� �M��W��

��M����� �M��W�� Iq�� .�/�%�� WX�'��M����� �M��W�� p<�q .�/�%�� WX�'

ZI[ B8.�abj= [ �=�O °�a = ab c $9 �}r :N�� �� NQ0�� �

:NG��b

j=

� °�a = Zb [ �������� \�r � ��P U�� j= ,b , �� J�9�. ����; :D�M� ��

�abj= [ ;q�r :b%LM ��:$J�M��

ab c 1I = abj= c ������� � "�M�G. "���T bj=°Ya = Z°�a[ 1I =

°Ya = abj= [ ������NGP $� B�W

����LA ��� !%2G �� e%��� e�+ �=�O ,°_Y >�#� ����; � "�M�G. "���T e�+ $9 �}r I

b

j=

°Ya ZU[ B8.

���� ������� \L* U�� j= ,b , F�W ���L��� V�M�. FL8. j= b N�� �� NQ0�� ��°Ya = Zj= b[ ,� J�9�.

� j= , j= b ,b e�%+]� �. N9 e�+ �=��:NG��

�������� \�r � ��P U�� j= ,b , �� J�9�. ����; :D�M� ���j= = b ,���L��� V�M�. j= b Δ

°Ya = Zj= b[

^w

j= ,j= b ,b e�%+]� �. N9 e�+ ;q�r :b%LM ��:$J�M��

Zj= b[ 1I = Zj= b[ ������� � "�M�G. ���T �J FL8 �� ���T�°�a = °Ya × I = aj= bc �Zj= b[ 1I = °Ya :c�.�

°I�a = °�a − °Upa = a b j= c j= = b

�°1Ya = I�aI = Zj= [ = Zb [

NGP $� B�W�jJ "M���� � ������� �M��� bj= "�L3���� "������ `2�. , jJ j= $9 �}r ZU[ B8 �� � U

? jJ �h�]� e%��� e�+ .

ZY[ B8.� j= b ⊥ � ; $� nMl� �� J�9�. ����; N�� �� NQ0�� �

:NG���� J�9�. ���� ������� \�r � ��P "lC8�� c)�k! , "������ ��+ FL8. j= b :D�M� ��

b � j=

;

�; � ������� �M��� Zj= b[ `2�. �j= b ⊥ � ; $� DMlr :b%LM ��

:$J�M��\M�. °�a = Zb j=[

j= b "������ `2�. � °Y_ = Z; j=[

"��v� Z j= ; [ 1I = Z; j=[ "��v� °�a = Z;�j=[ ,°�a = Z j= ; [

�j= b ⊥ � ; NGP $� B�W

�Zb ; [ �=�� ,°Ua = Zj=b [ $9 �}r ,ZY[ B8 �� � Y

^x

Z_[ B8.� Z; j=[ + Z b[

I = Z 'b[ :$� nMl� ,N�� �� NQ0�� �:NG��

�� J�9�. ���� ������� \�r � ��P U�� ; ,j= ,b , :D�M� ��{jJ} = � ⋂ j= b , {'} = ; b ⋂ j=

Z; j=[ + Z b[I = Z 'b[ $� DMlr :b%LM ��

:$J�M���; ' FL8 �� �* "=!3 "���T �J Z 'b[

Z; '[ + Z ; b[ = Z 'b[

b

j=

jJ

;

'

Z; j=[ + Z b[I = Z; j=[ 1I + Z b[ 1I =

NGP $� B�WZ; j=[ − Z b[

I = a j Jbc $� nMl� ,Z_[ B8 �� � _

Zp[ B8.�>���; �*�! NQR ; j= b

j=

b

;

�Z; j= [ = Z;b [ $� nMl�:NG��

�>���; �*�! NQR ; j= b :D�M� ���Z; j= [ ,Z;b [ ��������� �)�+ >�#P DMlr :b%LM ��

�>���; �*�! NQR ; j= b :$J�M��Z1[ Z � [ 1I = Z;b [ ∴ "�M�G. "���T ;bZI[ Z � [ 1I = Z; j= [ ∴ "�M�G. "���T ; j=:á«°VÉjQ áeƒ∏©e

>������ �*���� NQ0�� ��P �*�! �L�. %J

�����; \L* c)�k!

�Z; j= [ = Z;b [ $� 4���#� ZI[ ,Z1[ �.NGP $� B�W

Zb j= c = Zb ; c $� nMl� ,Zp[ B8 �� � p

^y

:Z1[ ��!�P� Z:

Z�

, .�/�%�� ∋ Z� ,Z: �:WX�' H+�� .�/�%�� H1 �M( � &�X ��C���/�( �M��V a� Z� c &6 0�O6

:ZI[ ��!�P

J

U

e

�>�/�� H3�A< IL� J e � U°�P� = a� e Jc + a� U Jc &6 0�O6

�$���M�. c#&� e%��� $��2GP ����; � ����M�G. ������T N9 1�" �+ "���T $%QP ����; `2� �2GP ����; � "�M�G. "���T N9 I

�"L.Q�. "L��� �� m���T $%QP ,Z������ UG.[ >���; �*�! NQR N9 Uj= b

;

�� j= b ��*��� \L* D.%)� �� ; , $������� n��MP �}r NQ0�� � Y������; ��*�! ; j= b NQ0�� $9 ���. ��W�� "�=

4���

Z�

�Z�

Z�

��

� &��G�; � Z� , ��a� Z� c = a�� c ∴

a.�/�� TG!c Z� �G�; Z��°{� = aZ�� c ∴

�M( 7�3 �'�#�' ��M��' �M��V aZ�� c��/�( �M��V H:� .�/�%��

°�P�= ZZ�[ + Z [°�P�= Z�[ + Z�[

^P

:ZU[ ��!�P

& �:WX�' H+�� .�/�%�� 7�C H�+-; �M! � �L+�jJ

b$

j=

e

�Z� �M-�� %-3 .�/�%�� U��' Z��Z� U��+�� �M-A ��M .�/�%�� H1 �;� b j=

U��+�� �;� b j= 7�=M�� K�M6 ��#��' �M��V 7�=; a� Z� Uc �M��W�� ,��#��' �M��V 7�=; a� Z� c �M��W��

���-��� )�%*+#�A ?=E! U��� H1 ��#����� �M��W�� @' Y�+B; a�Z:Z�c �M��W��:I�X6

= a� Z� c = a�Z:Z�c

?v+-+=; ���'

�c#&� e%��� � ��. "9��0 �� "�M�G �� "������ e�+ >�#� "�) �� "������ e�+ Z1[��P%��� e �� ��� !%2G �� e%��� e�+ `2� >�#� "�) �� "������ e�+ ZI[

ZU[ "��v�

ZU[ "��v� DMlr

jJ

b

B

'�

; :D�M� ���� H1 .�/�%�� U��' Z:

�.�/�%�� H1 �;� J �:b%LM ��

�.�/�%�� 7�C H�+-; �M! ) g�� aJ م( �c = aJ�Z:c &6 Q��OC�� U��+�� �M-A ��M .�/�%�� �M( ; b 4#�! :N ���

:Z1[ $J�M���.�/�%�� H1 �M( � � &� J �M��W�� 4/�( � J �Δ

Z1[ �����L� e �� ��%3 °{� = a��Jc + aJ�Z:cZI[ ZB "������ ��+ ; B b Δ[ °{� = aJ � �c + a��Jc

:&6 v+-+=! a�c ,a�c �'

^{

a��Jc + aJ � �c = aJ�Z:c + a��JcaJ � �c = aJ�Z:c ∴

?����� aJ ) �c = aJ � �c �L�����M��� �:� aJ ) �c = aJ�Z:c ∴

:ZI[ $J�M���a�c �' aJ ) �c = aJ�Z:c

Z"�M�G �� "������ "��3[ a J � c �� = aJ ) �c ���M��� �:� �a J � ) �� = aJ�Z:c ∴

Z�[ B8.�Zb j=[ �=�O , ��* �����L� �) . jJ ; $9 �}r N�� �� NQ0�� �

:NG��

b

;jJ

°U_

°Y_

j=�

:D�M� ��� ��* �����L� e . jJ;

°U_ = aj= b c ,°Y_ = ab jJ[�Zb j=[ ;q�r :b%LM ��

:$J�M��"��v� °Y_ = Zb jJ[ = ab j= c

°1�a = aj= b c + ab j= c + Zb j=[ aj= b c − ab j= c − °1�a = Zb j=[ ∴

°1aa = °U_ − °Y_ − °1�a = Zb j=[NGP $� B�W

;jJ

j=

b �°_a = Zb jJ[ ,°Ya = Zj= ;[ :���� ,N�� �� NQ0�� � �

�j= b FL8 �� ���T D)�+ �=�� � ������L� �M+ b j= $� nMl� b

o�

Z�[ B8. $%Q� F�G� �����L� �) . j= �)�� �� J�9�. ����; � �M+ b

;

b

j=

� �; j= = ; $� nMl� �; � ������� �M�P j= b � I = j=:NG��

:D�M� ��; � ������� �M�P j= b , I = j= ,�����L� e . j= �� J�9�. ����; � �M+ b

; j= = ; $� DMlr :b%LM ��; �)�� :N ���

:$J�M��Z1[ Zc#&� e%��� � ��. "9��0 �� "�M�G �� "������� "�) �� "������ "��v�[ Z;b [ = Z� j=[

Z�����L� e . j= [ b ⏊ j= I = b = j=

����L��� V�M�. "������ ��+ j= b Δ ∴a�c a;b c = a;j= c c�.�

a;j= c = Z� j=[ $� 4���#� ZI[ ,Z1[ �.; j= = ; ∴ ���L��� V�M�. j= ; Δ

NGP $� B�W�B � ������� �M�P $ D Ze ��� "M�� '[ �D ' = $ ' $%Q� F�G� ������� � �P� $ ' �� J�9�. ������ e . D ' �

Z' B = D B[ ���L��� V�M�. ' B D Δ $� nMl�

Z�[ B8., "M���� ��* �����L� e . jJ; ,N�� �� NQ0�� �

� jJ; e L� �T�%. ������� � �P� j= b

bj=

jJ

;

� ����L��� V�M�. j= b FL8 �� $� nMl�:NG��

j= b�� jJ; . "M���� ��* �����L� e . jJ; :D�M� ������L��� V�M�. j= b $� nMl� :b%LM ��

o�

$J�M��j= b �� jJ;

Z1[ >T�%���� B;M��� ab j= [ = aj= ;c ZI[ j= c#&� e%��� $��2GP "�M�G. "���T� "�) . "���T aj= b c = aj= ;c

aj= b c = ab j= [ :�M�P ZI[ , Z1[b = j= :c�.�

���L��� V�M�. FL8 �� $� >�NGP $� B�WjJ

;

bj=

� � "M���� ��* �����L� e . jJ; ���� $9 �}r ,N�� �� NQ0�� � ��Zj= = b [ ���L��� V�M�. j= b FL8 ��

j= b �� jJ; $� nMl�

o�

4-6¢SɪªdG ,á©WÉ≤àªdG QÉJhC’G :IôFGódG

Circle: Intersecting Chords and Tangent

����P N *º∏©àJ ±ƒ°S

• �"�I�� �� !P�]�• �e ��• ���P� ��� "+C���

�������� N3�; ���I��.• B%I ��� "+C���

B%I� "�) �� �M�����I���

�M�;� 4#<� 4O ,) �:WX�' .�/�� 4#<� � 1� �M! H1 &�9I�+M Z� � , Z: � �� , Z: , Z� , � J�I k( b

jJb

;

'j=

�� × Z: ,Z� × � ����� v;��! %��6 �?i�u; �' ~+X�� U����� 4#��� <�X j=

������ v;��! ��A �' �(u3 TB+L; &6 J��� ; �.�/�� H1 &�9I�+' &��;� �5��C 4=-M H+�� �W��� J��I6 ��N v;��! ��A �(u9�� � ��q jJ

�.�/�%�� �,: p<�q �M! �' .�/�%�� &�9MM ��9I�( 4#<� 4O ,[�q6 .�/�� 4#<� � I:".�(�# �� D��;]�

!=� ,"L��. ,��M#. �� × Z: , Z� × � :����� v;��! %��6� Z: , � , Z� , � :J�I k( b

�.�/�� p<�q �M! �' ��9I�( 7�C ��=-��A �'�3 �(u3 � ��q j=

jJ

b'

;

j=

'

$

bj=

��A �(u9�� �3 g�A� �& H1 �5=�M & .�/�%�� � _#��' 4O Z� ,� H1 .�/�%�� @MM Z� 4#<� ) .�/�� p<�q �M! �' U�lA�=�� t-��*; �' � K%�E+=' �a& c ,Z� × �

Intersecting Chords Inside the Circle IôFGódG πNGO QÉJhC’G ™WÉ≤J - 1

j=$

b;

>�#� ���P%�� �W� >z�= ��%I b�A 4P� $| ,����; N3�; $��P� �I�P �}r��3<� �P%�� >z�= ��%I b�A 4P�

; $ × j= $ = b $ × $

Z1[ "��v�

o^

Z1[ "��v� $J��j=

$

b;

'

�& �M-�� H1 &�9I�+' &��;� � Z� , � :D�M� ��� & × Z� & = � & × & :&6 Q��OC :b%LM ��

� � � , Z� 4#�! :N ���:$J�M��

e���� $�L���. $����T a� & �c = aZ� & cc#&� ; e%��� \L* $�.%)�. $��M�G. $����T a Z�c = a�c

������ V�MP � & � Z� &����0� �� ��8L8 �� � ��5�� �� /CA]� B�%I� �)�P Z� &

� & = &&�

� & × Z� & = � & × &

Z1[ B8.j=

;b

$

I

� �

e �e " �+ �=�� ,N�� �� NQ0�� �:NG��

"��v� b $ × $ = ; $ × j= $E�%���� � × e = � × I

F�#M��� e� = 1p" #��� e�

� = 1p�

1p� = e

NGP $� B�W

j=

b ;

$

Y� e

e

�e " �+ �=�� ,N�� �� NQ0�� � 1

oo

!��]� S% !%#q�� z.���� \�� D.*; �. ����; e%+ NQR \L*

��] " �. D.*��� m-J� �"�M�=��#q�� N�l N9 N G�P

ZI[ B8. $9� !��]� �W� !%M�� �0. �#= �0�� :"�! �. ")��J B%I $9 F�G� ,������� �. e%+ NQR \L* �#q�� �-J e%+ $9 �}r �' �a ������� m-J � �#q�� ��I ��� N��%�� �P%���NQ0�� � 9 ,' I1 �P%�� `2��. �. '� �� ;% ��� B%I

�������� �M+ B%I �=��:NG��

'I1 = ;% ��� B%I '�a = �P%�� B%I :D�M� ��������� �M+ B%I ;q�r :b%LM ��

' I1

' Y_' Y_

e

b ';

j=

� Z"��v�[ ������� �9� � � � �P%� `2� �� ;% ��� ∴ :$J�M��

�������� � �M+ j= ; ∴:$� �q� �P%��� �M��� �I�P �.

Y_ × Y_ = I1 × e�M���P �p�YU = Y_ × Y_

I1 = e�p�YU + I1 ≈ �M��� B%I

11��YU ≈ j=

;b

'

��)U �)Y

�)p e

��M���P � ���. 11� = �M��� B%I NGP $� B�W

:� J�9�. ���� "L�� �� ������� � I �e = ; ' , �) U = j= ' , �) p = b ' ,�) Y = '

�e " �+ �=�� � ��) p >�#� ������� �M+ `2� B%I $� n L* �}r j= ; �P%��� � �9� �� ��� ��M�� �=�� b

Intersecting Chords Outside othe Circle IôFGódG êQÉN QÉJhC’G ™WÉ≤J - 2

c��= B%I � ���I��� �W� B%I b�A 4P� $| ,����; ?!3 "M�� �. $�I+ �)! �}r��=!(�� c��= B%I � �3<� �I��� B%I b�A 4P� >�#� �=!(��

�; ' × j= ' = b ' × '

Z1[ "q���

j=b

;

'

ow

ZU[ B8.j=

b

'

Y

I

e

;

�e " �+ �=�� ,N�� �� NQ0�� �:NG��

J;���.� �I���� J�9�. ���� �����L� $��P� j= ; , b :D�M� ���' "M���� ��* �=!3

e " �+ ;q�r :b%LM ��:$J�M��

"q��� ; ' × j= ' = b ' × 'E�%���� Z� + Y[Y = ZI + e[e

F�#M��� a = Y� − eI + Ie�� �� '��(�)� ΔF ± b−

� = e�) U

�) Y

e j=

;

b

'

B%LG�� �− = e �� p = e"A%�. �− = e $] p = e " �+ $%Q�

NGP $� B�W��) Y >�#� J�M+ `2� B%I �� J�9�. ����; ,N�� �� NQ0�� � U

�e " �+ �=��

IôFGO êQÉN á£≤f øe IôFGódG ™WÉbh ¢Sɪe ™WÉ≤J - 3

Intersection Between Tangent and Secant from any Point Outside of a Circle

c��= B%I � �I��� B%I b�A 4P� $| ,e .� �I+ ����; ?!3 "M�� �. �)! �}r�"�) �� "�M��� B%I ���. >�#� �=!(��

� j= ' × b ' = IZ; '[

ZI[ "q���

j=b

;

'

ox

ZY[ B8.��) 1I = b , �) Y = ' :$O� � L* ; ' "�) �� "�M��� B%I �=�� ,N�� �� NQ0�� �

:NG��� b ' B%I �q�

�Y1I '

;

b 1p = 1I + Y = b '

"q��� b ' × ' = IZ; '[ :��Q�E�%���� 1p × Y = IZ; '[

F�#M��� pY = IZ; '[ �������� !-q�� ;q�|� � = ; '

NGP $� B�W_1a

j=

jJ

; '

�� = � ) g�� ��#��' �9M( ; ' ,IA���� ILB�� H1 Y�_ = jJ '

�j= jJ B%I �=��

Z_[ B8.,������� \L* b "M���� \�r "M���� �. "�) �� "�M��� B%I "��. �(R]� �W� ;�!�

j= "M���� ��* ������� �. �I��P ��M# �� $� �=% "M���� ��* �&2�� �A�� ��M#. -3O��) � = ; F�G� ; "M���� ��*� �) Y = j= F�G�

?b "�) �� "�M��� B%I .

oy

���M= :NG��

j=

b

;

T

jJ

�"�) . "�M+ b ,�)� = ; ,�)Y = j= :D�M� ���b B%I ;q�r :b%LM ��

:$J�M��"q��� ; × j= = IZb [

E�%���� � × Y = IZb [F�#M��� Up = IZb [

�������� !-q�� ;q�� p = b �)p >�#� b B%I $%Q�

NGP $� B�W��)I = jJ n�9 �}r ������� �M+ `2� B%I �=�� �Z_[ B8 �� � _

oP

�.�/�%�� &�+�#��' &�+9M( �' j= , �' j=� �) �) �Rn�� U��� 7�3 �X��+' �M! �

Z��

�)

�)

�� H1 �' j= , H1 �' j= @MM � H1 .�/�%�� U��':g%L) n�O)

?�L�M �' ��X6 �: Z� � g���� F��' &�LM g��A � @�! �M6:��J D�Q

�.�/�%�� U��' ���q )%*+#D#� Z� + � + Z� = g���� F��'

�) � − �) Z� + �� + � + �) − �) Z� = Z������� \L* ���I�� �� ��) �� "��3[ � � = �) � , � = �) :�L��

� = �� + �) �− , � = � + �) −�) Z� � = �) Z� � = �) Z� + �) Z� = g���� F��' ∴

:?���)�

:ôcòJ ������ $) . �I�P �}r $��M��� $%QP ,"M�� �

������M�. $��) ��

�� �M-�� @(�' ���R; @' ��R+M $� 0A�O Z� � Δ F��':"�Ar "�O#.

�� WX���� �;%�+' &�;�/�� �� ,��)

���

&��

��� 7�3 �M! �& ,) H1 �� @MM H1 <���� �� U��'

�$ ' TG+-' &6 0�O6

πFÉ°ùªdG πëd ó°TôªdG

o{

á°SOÉ°ùdG IóMƒ∏d »ª«¶æJ §£îe

e .������� <�;���

U��(��� !P�]� :�������

e �� ,"�I�� �� ������� "��9� �� ������"�M�G ��

��� "+C���"�I�� �� !P�]� "������

"�M�G �� "������"��9� ��

�P%�� e �� "M��

e �� "�M+e%��� NQ0��

�*����>������

������� ")��J

w�

¢üî∏e

�.%��� �M! H1 .�/�%�� @' @I�+M >�+=��� H1 4�+=' �: .�/�%� U����� −��M-�� �,5A <���� �M�� TG! @' � K%'�9+' &�LM ?!�1 ,.�/�%� � _#��' 4�+=' &�X ��C −

�.�/�%�� � _#��' 4�+=��� &�LM ,.�/�%�� 7�C H�+-; %'�9+�� �M! 0!�X� .�/�� �M( TG! @' 4�+=' %'�9; ��C −���+A�M+' &�+�#����� &�+9M�� &�L; ,�M! H1 .�/�%� &�#��' @I�; ��C −

�g���� ���q�%�� �M��W�� Q�EG-' H(u; �M! �:WX�'� Iq�%�� �' g���� euN� �#��' .�/�� H: g��A �I����� .�/�%�� −:�A�M+' �/��� H1 �6 .�/�� H1 −

��A�M+' <�;�6 �A�M+��� �MWX���� �M��W�� ��A�M+' � K#��(6 IA�; �A�M+��� <�;���

��A�M+' �MWX�' �M��V .�/�� H1 �A�M+��� U��(�� − �.�/�%�� WX�' �' �M��=+' ��9A6 7�3 H: .�/�� H1 �A�M+��� <�;��� −

�?�#�( �' _uX TG-M� ?EG-M �;� 7�3 >���9�� �M�� :.�/�%�� H1 −��;��� 7�3 >���3 �: a� K�M( k��c � K�;� TG-M >,�� �M��

�.�/�%�� WX��A ��M �;�� TG-��� ���9�� �.�/�%�� WX�' �5#6< �M��V �MWX���� �M��W�� −

�.�/�%�� &�9MM �:�9�N� .�/�� U�! [%�C �5#6< �M��V ��M����� �M��W�� −��5�9�N ��A <�G���� U��� U��( >��=M �MWX���� �M��W�� U��( −

��5�9�N ��A <�G���� U��� U��( TG! >��=M ��M����� �M��W�� U��( −�&�+A�M+' ?=E! U��� &��G�; ��+�M��' ��+M��V IX −

���/�( �M��V H: .�/�� TG! �G�; ��M��' �M��V IX −�&�+�'�L+' ?�1 ��+�A�+' ��+M��V IX >6 ,��'�L+' ��A�+��� ��M��V &�L; a.�/�%A U��'c >�/�� H3�A< IL� IX −

��;���� U����� ��A <�G���� U��� U��( TG! >��=M �5#��(� ,��#��' �M��V 7�=; �;�� U��' �' �!�L��� �M��W�� −

w�

��q�� �;��� > W� H��I ��N v;�! >��=M �M�;��� %�6 > W� H��I ��N v;�! &�1 ,.�/�� Iq�� &��;� @I�; ��C − J�I ��N v;�! >��=M H�<�*�� ?/W� J�I H1 ��9I��� %�6 J�I ��N v;�! &�1 ,.�/�� p<�q �M! �' &�9I�( 4#< ��C −

�H�<�*�� ?/W� J�I H1 �q�� @I��� �9M�� J�I @A�' >��=M H�<�*�� ?/W� J�I H1 @I��� J�I ��N v;�! &�1 ,@I�(� U��' .�/�� p<�q �M! �' 4#< ��C −

���#�����

��

äÉaƒØ°üªdG

Matrices

.(Biotherapy) ájƒ«ëdG áédÉ©ªdG :IóMƒdG ´hô°ûe

��������� ���� ��� ���� ����� :������ ����� � ��� ,����� �!�� �I�#� $%& '� ��(�)� *���� +�- . /���� 0�� ������ �)����� 1�)� 0( �������� 2�#����

34�M67 *8% '� /��9� �;��� F��� 0( �=����I

>�?��@ A9�� B�C ,D�E�� *8% 0( A��� �FG :B�H� I >������� $C�� J���F� 2�#���� ,�H)���� B�C� ,������ 3K�6& L�4��� 4�!� 'G ���� B�C $M '�� ,�H�N��� D�G���9� O�P��� *�)�C �� Q#9� B�C ,���HF� 0(�

3������ �9��� 0(

3��?��@ ��C�E ��R :2S�9� T

J���? '� >�?��@ 1��)� UP�� :V��M�� 1�E �9;C& W 0( 3�H�X? �@��� '� �����G >�F�G Y�#� Z��9�� A�9�� �[�FG '� 0���� ��\� ,������ �)����� L�4��� �E& ]>^ '������� ,]�^ '��F�� :D�M#� �������� >�)�F�� �%� ]_ '�9���- ,]` '��F�� A�a�- ,.�9� $��G A��C �%� ,>�(�X!� L@4& 0( >�?���� b�G 30?�@���4��% c���

3Aa�� d�� ��d� ,�(�X!� A� '� e�!FG ��6 $M

IóMƒdGá©HÉ°ùdG

IóMƒdG ¢ShQO

>�?���� $�fF�>�(�X!� 0(

g�I� L�\>�(�X!��

>�(�X!�� ��P D�E�� >�(�X!� 0@�h� ��fF��]>�C�����^

'������ '� 2�f? AE'���M6

�−iI−iT−iW−ij−i

]$)�k$)9�^ �@��� 0( c���� >������_ ` > � �F���

���� ��� ���� ��� ���� ��� ���� ��� I

�� �� ��� T���� � ���� ���� W

� ��� ���� ���� j3>�(�X!� W 0( 1��)� >�?��@ b�G &

'�������� '��F�� �X���� �\�&� ,>�(�X!�� *8% 2�#�C � �F�G A�� $)�k2�)�9���@ '�9���l� '��F�� A�a�-�

3��� 0( cm��� A�� ���;�� ���F� .& Z��9�� nEo , e�Hp �I ��@ q\ 3$)�k$)9� rsrj 1���@ hX#? �N �@��� '� �F�G A� 0(� rsr� +��7 �F��� 0( ��[& '��F�� ���? , eta�( ��@�� �F��� 0(� rsTr �a��a� �F��� 0(� rsr� ��?�a� �F��� >�(�X!�� 2�#�C 3rsru ����#� �F��� 0(� rs�i

3�F�G A� 0( c��� A� .�!�? ����� '�h�� 0�� >���XF� LN�� 'G �ea�@ V�E :������ j ?LN��� ���� K�� �� 3� =���E �H�)���� �� 0��� ,D4�M6 Bt#@ �H��#�C '��� 0�� K�67 �)����� w�I ��

?������ �)����� LN��� 'G >�?��@ '�h��� xa�@ Q#9� �9�9N >��( c��

3'��& ��9�

á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üªdG ������ �!F�� − ���X!� �(�X!��−L�)� �(�X!� − D�y�F��� �[�F�� − �(�X!�� �!FG − B�X[ − D��G& − �(�X!� _���� �(�X!�9� 0@�h� ��fF� − D�E�� �(�X!� − ��@��� �(�X!�� − ��h� >�(�X!� − 0C���� ��� − 0��)�

3�(�X!�� ��� − ���� D�G�N − ]�(�X!��

IóMƒdGá©HÉ°ùdG

>�?���� ,>o�)�� c9z& 0( _�F� 2�#��� $�fF� w�I K�E-� ,��fF� D�G�N 0( ������ D4�[ 0( �H�@��� 0% D�!�#� D4�!@ >�?���� >�(�X!�� L�\ L�M��? x�8@ ,�(�X!� x�d 2�#�C '��� ��� 3�H@�P� �HE�I� 0( �G��� ��(�P- >���9�� +9G 1�!�9� >�(�X!�� ��#�C ,�=�#�4�� 34��� d�#� 2�#�C '���� ��� ,D�X�� A��C4 A�� >����M�� A���� 0( >�(�X!�� ��P

3�����E

∂JÉeƒ∏©e ≈dEG ∞°VCG(áÑ°ùàμªdG á≤HÉ°ùdG ±QÉ©ªdG) ¿B’G âfCG øjCG

• 3 >��{��� 2�#�C�@ >�Nt�� A�a�� �9��• e4���� ����[ e�G& �F�h��� ����)� >4���� F���� �9��

3�H���N �)�-�• 3'���{�� '� >o��� A�a�� �9��• 3�=�?��@ >�F������� >o���� $C4 �9��• 3�=�?��@ >�F������ �& >o���� '� 2�f? $C4 �9��

?º∏©àJ ±ƒ°S GPÉe• 3>�?���� $�fF�� >�(�X!�� 2�#��� B�C• 3�������� >�(�X!�� B���� B�C • >o��� A�� �HE�I� >�(�X!�� L�\ 2�#��� B�C

3�����E |N�� 0( >�(�X!��• 3�����E A���� A�� >�(�X!�� ��P 2�#��� B�C• >�(�X!�� >o��� A�� >�(�X!�� >�C���� 2�#��� B�C

3�����E A���� 0(• 3���� D�G�N 2�#�C�@ '���M6 '������ '� � e��f? A�� B�C

��

º∏©àJ ±ƒ°S

• 0( >�?���� $�fF� >�(�X!�

• �������� >�(�X!��

0?���� A�G : ������ ������ ����� ��� ��!"�#�� $�%&' �&��(�� ���$'� )*+,�� -�./

e�X[ = Irrr _�C7 �FC 3Ir�I ���F� q@ Ir�� ���F� �?4��������� w�X?l 2��N&Ir�� ���F�Ir�I ���F�

2��� 0C���� $N���Wusr�j�s����8{� ����iIsr�~js�

>���9���uTsI�u�s�Y@t���jWs~�j�s~

'���� >���6�W~sI�j�sI����F� >���6� L9C�TisT�T�s~

?��%�� 0&��(�� 1���� 02 34�/5�� .�� 67�8 19 �?�7;'� 6��9 1�� <� 02* ?�.9'� 34�/5�� .�� 6��9 1�� <� 02 I

3 ���� Z�!E�� ������� D4l :4�!�� *

∞jô©J

=3+#>�* @A�; 02 .B�#�� 4�+>'� -C 1�DEB 0F 2A�G#��3Elements �[�FG +��� �(�X!�9� �?���� �G7

Dimension of a Matrix áaƒØ°üªdG áÑJQ

= �(�X!�� ��(�* �"H� ,�JML M"NB OP�* Q�,!�� @*�� +�R8 2A�G#�� S�T 5C��=U × � �"HB* �(�X!�� ���4 U�4+N/ VUW 3+#>'� 4+>* V�W @A�G�� 4+>

W T Ir i u =

3T × I ����� -C 0F 2A�G#��=3+#>'� 4+> M��/ @A�G�� 4+> XY*� �"H� 2A�G#�� .B$ 8�"H� :�fEt�

äÉaƒØ°üe »a äÉfÉ«ÑdG º«¶æJ

Organising Data Into Matrices1-7

��

]�^ 1�a�:09� ��� �(�X!� A� ���4 c��

j u Wi− T− I� r �

= T− IT W− = ��Irrsj

= q\

:A��3T × T ����� '� �(�X!�� :D��G& T� B�X[ T '� �(�X!�� .����

3T × � ����� '� �(�X!�� :D��G& T� �E� |[ '� � �(�X!�� .����3� × W ����� '� �(�X!�� :�E� ��G� B�X[ W '� q\ �(�X!�� .����

A�� .& 1��E:09� ��� �(�X!� A� ���4 c�� �

r j Wi rsj I− = ��r T ~−� = �r �rj− �

� rsu = q\

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J ]I^ 1�a� D��G7�@ 0���� 0?���� $C�� >�?��@ A/a�� �(�X!� c�� 3�G�Ck>��)�)��@ ����@�H�� �N�M� _��� .& '��� :�N�M�

3�\����

~r rrrir rrrur rrrjr rrrWr rrrTr rrrIr rrr�r rrr

r ���� >4��l

��@��� 1��� ��@ 0( >�F�� K�El �tH�Co� ����@�H�� �N�M� ���?- D��?

���?l �tH�Co

'�����

:A��3�tH�Co �& ���?l K���� A/a�� ��G A�� ,��� A/a�� �(�X!�� 0( |[ A� .& b�(

3$C�� '� �(�X!�� �[�FG J�F�C

���?l�tH�Co ����Wj rrrWr rrr

>4��lir rrruj rrr'������r rrr�r rrr

A�� .& 1��E3K�6& 1� �H��- X�P& d- 0�� >�?���� A���� �(�X!�� A���� xF��� |�� U /P� & I

3T × I ����� '� �(�X!� 0( ��@��� �(�X!�� �[�FG �@��� �G& � 3D��G7� B�X!9� �e?�FG LP

3q\ × �H���4 0�� �(�X!��� × q\ �H���4 0�� �(�X!�� '�@ w�X� U /P� q\

áaƒØ°üªdG ô°UÉæY õ«eôJ

1�7 |!� 0( `8� �!F�� �(�X!�� 0( , eta�( ,��H�( LN�� ����� |!� 0�N4 ��o�@ �(�X!�� 0( �!FG `& ���3]�e�?�M ����� eo�& |!�^ T� �����@ O��- ���? ���a� �����

= �� �� T� T� :���a� ����� 1�7 |!� 0( �!F�� �� �� �

� �

��

]T^ 1�a�

= � :�(�X!�� 0(�I�jW

:09� ��� �!FG A� ���N c�� IuITsj�r�W−

��� q\ �T� � II� &

:A��u = II� ∴ I ���� 0(� I |!� 0( L�� II� �!F�� &� = �T� ∴ � ���� 0(� T |!� 0( L�� �T� �!F�� �

�I = ��� ∴ � ���� 0(� � |!� 0( L�� ��� �!F�� q\

A�� .& 1��E 3� �(�X!�� '� IT� �\�& ,]T^ 1�a�� 0( T

ájOƒª©dG ,á«≤aC’G ,á©HôªdG :äÉaƒØ°üªdG

Horizontal and Vertical Matrices Square^

¡ =3+#>'� 4+> <*��/ @A�G�� 4+> �!�2 2A�GC 0F :��@��� �(�X!�� =Rectangular Matrix ��M"�C 2A�GC : 2A�G#�� S#�B ,��Z �+> �C 02*

¡ =Horizontal Matrix +��* [; -C �AHC 2A�GC 0F :���(7 �(�X!��¡ =Vertical Matrix +��* 4A#> -C �AHC 2A�GC 0F :������ �(�X!��¡ ?� X%C �(2�* /4A#> UAHB U� 2A�G#� -H#/ \F :�N�?� ��(

��

]W^ 1�a�:������ >�(�X!�� '� =t� |/F[

:á«°VÉjQ áeƒ∏©e L��\ 0�� �(�X!�� +��� 4�X[& �%�[�FG

���X[ �(�X!�Zero Matrix

. × r2 �����@ �H��- �����

= �j−r = �

�T

rsIrWiTI~

�j− W T� = q\= I−T�sW�I~j

:A��3��@�� �(�X!� ∴ T × T �(�X!� :

3����G �(�X!� � ∴ � × T �(�X!� : �3���(& �(�X!� q\ ∴ T × � �(�X!� : q\

3�9�M��� �(�X!� ∴ T × I �(�X!� : A�� .& 1��E

3]�^ 1�a�� 0( >�(�X!�� |/F[ W

Equal Matrices :ájhÉ°ùàªdG äÉaƒØ°üªdG

=]�N; ^H%��* /*��"C 3�_�E"#�� �#F�;�E> 6��9* ,�!��� V4�%8'�W .B��� �#!� 6��9 �ZT '�������� .��(�X!� UAHB=4 × `a .B��� -C 0F V4W �!B+#>� 4+>* ,V`aW �!2A�; 4+> 0"�� 2A�G#��

:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e LN��� ��H� '��!FG A� '��9� '��(�X!�� 0( O�X? .����� �H�X? ����� ��H�

3'��y�F�� '��!FG

��

]j^ 1�a�T−WrsIrsjI−

= � ,rsij−�j

�II− = 3� /�( ?.�������� � , .��(�X!�� A%

:A��3.�������� � , .��(�X!���( 0�����@� ,������� D�y�F��� ��%�[�FG� ,.��G� .� /X[ ��H� � , '� /A�

A�� .& 1��E3� /�( ?.�������� � ,_ .��(�X!�� A% j�−�rI = � , TW

rI− = _

=bY4�%#�� c\N� /*��"#�� b�2A�G#�� [/�%B �+d"�B U� �EH#/ ,Ue�*]u^ 1�a�

: ?�� d-W j − _I�I + �T T=W Ij

�~ + � T3� ,_ '� A� ���N �\��(

:A��W j − _I

�I + �T T=W Ij�~ + � T

3������� D�y�F��� ��%�[�FG .�( ,.�������� '��(�X!�� .& ��@�~ + � = �I + �T Ij = j − _I

u = �I Tr = _IT = � �j = _

T = � ,�j = _ :�% A��A�� .& 1��E

3� ,_ '� A� ���N �\��( j ~ + _�− T = j T~

�r − �W T ?�� d- & u3� ,_ '� A� ���N �\��( ��r− W �−� = �� − _ � + _ _T� ?�� d- �

äÉaƒØ°üªdG ìôWh ™ªL

Adding and Subtracting Matrices

2-7

º∏©àJ ±ƒ°S

• >�(�X!�� L�\• >�(�X!�� g�I• ��(�X!�� >o���� /AE

0?���� A�G:)*+,�� 02 b�CA�%#�� �+d"&� =�� \�Cf OC \#>� :�=���!E-

>�\4�9� 0@���� FC����

�F���{9�>��P����

��?-4��d��?-4��dIrrr~j~Tiu~IIrr�~i~jiW~j

= E& \9 02 $A9g�� b�a$+� -��8��N�� -�M&A"#�� hA#,C )*+,�� -C +a*� & �= E& \9 02 i���� b�a$+� -��8��N�� -�M&A"#�� hA#,C )*+,�� -C +a*� �

=-�"E��� )jL i����* $A9g�� 7��� b�a$+� 08��N�� F&A"#�� \cl#B 2A�GC �"9� & I=�!B+#>�* ,�!2A�;* , 2A�G#�� :-C \H� �X��AE> Om

= 2A�G#�� ngF .B$ �9Z� � :á q«°VÉjQ áeƒ∏©e 0( D�y�F��� �[�F��

�[�F�� 0% >�(�X!�� 0( O�X? LP��� �H� 0��

3�(�X!� A�

i����* $A9g�� b��m�/��� b�a$+� 08��N�� F&A"#�� \cl#B 2A�GC �"9� & T=-�"E��� )jL

=�!B+#>�* ,�!2A�;* , 2A�G#�� :-C \H� �X��AE> Om = 2A�G#�� .B$ �9Z� �

= ,� -���o��� 02 �!"."9 0"�� b�2A�G#��* )*'� )�o��� -> �"8�aT S�T �DE��8 & W=-�"E��� )jL i����* $A9g�� b�a$+� -��8��N�� -�M&A"#�� hA#,C \l#B l��p 2A�GC �"9�

=�!B+#>�* ,�!2A�;* , 2A�G#�� :-C \H� �X��AE> Om = 2A�G#�� ngF .B$ �9Z� �

=b�2A�G#�� O#,� (/�I r��G� �F��B U�#�� <�* �B�D�jC �+d"&� j

Adding and Subtracting Matrices äÉaƒØ°üªdG ìôWh ™ªL=�H�X? ����� -C ��AHB U� �,/ t , -�"2A�GC O#,�

=t , -�"2A�G#�� -C \9 .B$ �!� O#,�� 2A�GC =t , 02 M��� O�A#�� �#!� -/�GE> \9 O#,�t + = `a

. × 2 ����� '� � , . × 2 ����� '� 3. × 2 ����� '� q\ ∴

3_�� + _� = _�q\

]�^ 1�a�

= r I− �i j− T= �

� T−W− Ij �−= q\T− � T

�I u �− ?�� d- :'��& .- �\��(

q\ + � � + & 3c��� ��d�( ,�eF��� L�)� '�� $� d-�

:A��3I × T 0%� � ���4 `���� o T × I 0% ���4 .7 ,L�)� '��� o 3� + &

3T × I :�H�X? ����� ��H� '��(�X!�� .7 ,L�)� '��� 3q\ + �T− i W�� � − = T − r � + I− T + �

�I + i u + j− � − = q\ + 3T × I 0% q\ + ���4

A�� .& 1��E

�− T−W j−

i− � +

IW �I−j T−

�r �− :09� �� J��? �\�& �

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J ]I^ 1�a� cGo �& V@���� /A� +9G .��� ,�E� 2�� 4�� +9G �H�( >��(�F� K�)� 0��� ,����� /0C��#� �P��4 0( :�P����

3��E�h� w��6 ,�/�C��X� ,�E���� ,|����@ DS4���� ,������ :Y�#� ����7 0( �4��� .& Z�FM& Y�#� ����7 0( cGo /A� �H�9G A!E 0�� U��F� ���)� �\�& $M 0���� 1��)� '� ���� A�� �(�X!� .��

3>o�M�� K�E- 0( $H���(�F�

�P���� cGt�

����4 DS4���|����@

�E��C��C��( w��6��E�h�

1 /�7� �ju~�u� �~~~~�� �u~0?�a�� rTu~�u� I~r~Iu� I�r

���a�� rIWui~� I�u� rir� Iir

:A��:>�(�X!�� L�\ $M ,� × T >�(�X!� Y�6 c��

= ,

������� �ju� rTu� rIW

= �,

DS4����~�u~�uui~

= q\,

�E����� �~~� I~r� I�u

= ,

��C��X�~~�~Iu

� rir= q%

��E�h� w��6� �u~� I�r� Iir

� �u~� I�r� Iir

+ ~~�~Iu

� rir +

� �~~� I~r� I�u

+ ~�u~�uui~

+ � �ju� rTu� rIW

= q% + + q\ + � +

j I�ij �u~j TT~

= � �u~ + ~~� + � �~~ + ~�u + � �ju� I�r + ~Iu + � I~r + ~�u + � rTu

� Iir + � rir + � I�u + ui~ + � rIW =

3���a� cGt� �% ����7 *8% 0( ���X� cGt��( 0�����@�

A�� .& 1��E3F�( �H�X? ����� �H� ?�� d- o- >�(�X!�� L�)� .& L�M��� o d��� U /P� & I

:����[ ������ D4���� /.& >��Ml >�(�X!�� L�\ 2�#�C � T− I�� �ru W−

+ i− TI ur j

= i− TI ur j

+ T− I�� �ru W−

]T^ 1�a�= T I

�− W= �I− jr �−= q\W T

i I− ?�� d-

:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e ��fF� 0% − �(�X!��

3 �(�X!�9� 0��)�

3] −^ + , rI × I + , ]q\ + �^ + , q\ + ]� + , + � , � + :�\��(:A��

� i�− T = + � � i

�− T = � + j �ru � = W T

i I− + � i�− T = q\ + ]� +

j �ru � = I ~

i T− + T I�− W = ]q\ + �^ +

T I�− W = r r

r r + T I�− W = rI × I

+ r rr r = T− I−

� W− + T I�− W = ] −^ +

A�� .& 1��E3 + ]� + q\^ , � + q\ �\�& ,]T^ 1�a�� 0( T

äÉaƒØ°üªdG ™ªL ¢UGƒN

:.�( . × 2 ����� '� >�(�X!� q\ , � , .�� d-• ]wt{?o^ 1�XNl ��[�6 . × 2 ����� '� 0% � + • Commutative 1�@l ��[�6 + � = � + • Associative L��)�� ��[�6 Vq\ + �W + = q\ + V� + W• . × 2 ����� '� 0��)� ������ �!F�� 0% ���X!� �(�X!�� = r. × 2 + = + r. × 2 • 3]0��)� ��fF�^ 0��)� _����� ��[�6 r. × 2 = V −W +

äÉaƒØ°üªdG ìôW=0%#,�� wAH%#�� 2A�GC �;�L ��+d"&�8 b�2A�G#�� x�I -H#/

3]�−^ + = � − .�( ,�H�X? ����� � , '��(�X!�9� .�� d-= ���+8T 6��� b�2A�G#�� x�I ��#> ,0��"��8* − � ≠ � − :Uy2 �!��� .B��� �#!�* � ≠ U�9 �ZT :�fEt�

]W^ 1�a�T W �W I I− = � , W I T

r W �− = − � , � − �\�&

:A��:+��7 ����M�

]� −^ + = � − T− W− �−W− I− I + W I T

r W �− = ]T−^ + W ]W−^ + I ]�−^ + T]W−^ + r ]I−^ + W ]I^ + �− =

� I− IW− I � =

:��?�a� ����M�T W �W I I− − W I T

r W �− = � − T − W W − I � − TW − r I − W ]I−^ − �− =

� I− IW− I � =

W− I− T−r W− � + T W �

W I I− = W I Tr W �− − T W �

W I I− = − ��− I I−W I− �− = W − T I − W T − �

r − W W − I ]�−^ − I− = A�� .& 1��E

:09� ��� A� J��? �\�& Wr T W−

�r j u − i �− u~ � I− &

� T−W− I − j T−

�r �− � Solving Matrix Equations á«aƒØ°üªdG ä’OÉ©ªdG qqπM

=V��7"#��W CA�%C ��r �!B�2A�GC z+�T �4�%C 0F ��(�X!�� ������= �2A�G#�� bY4�%#�� \N� 3�*��#�� {�AL ��+d"&� �EH#/

=`a − t = `a − ,`a + t = `a + :Uy2 ,t = :U�9 �ZT �!��� .B��� �!� `a ,t , b�2A�GC <'

]j^ 1�a�:������ ��(�X!�� ������ AE

� r� ~ = � �

I T − _:A��

� r� ~ = � �

I T − _

������ 0(�I '� A�� � �I T �(�P�@ � �

I T + � r� ~ = � �

I T + � �I T − _

I ��� �� = _ :0�����@�

A�� .& 1��E:��E _ �\�& j

i �rW W− = r �−

j I − _

äÉaƒØ°üªdG Üô°V

Matrix Multiplication

3-7

º∏©àJ ±ƒ°S

• �G 0( �(�X!� ��P• 0C���� ��h�• >�(�X!�� ��P

0?���� A�G:)*+,�� 02 b����.�� �+d"&� =�� \�Cf OC \#>�

$�M� >������ ��\�I ��\�T ��\�

��\� '�MZ�{�

Isjrr4�F�

�sijr4�F�

Isrrr4�F�

>��\�� �G�G����jr�rrij

? Q�+7�� b�.a* ,� Q�+7�� b�.a* ,� Q�+7�� b�.a* :-#p �C �? >�.#�� b�.aA�� -#p �C & I

= 8�a�� 4�,/� )*+,�� 02 34AaA#�� b����.�� 6C+d"&� [�9 ]m* � = >�.C .a* \9 -#p \l#"� × � 2A�GC �"9� & T

= >�.#�� b�.aA�� 4+> \l#"� � × 2A�GC �"9� � ,�!��> 6�G� 0"�� b�2A�G#�� ��+d"&� b�Q��aT [G"� V�GE> ,4A#> ,[;W :b�#�H�� �+d"&� :�@���� q\

=b�.aA�� O�#a 1%M#�� M8 O�./ <g�� $�E/+��8 |�.#�� 4�,/�

Multiplying a Matrix by a Scalar OóY »a áaƒØ°üe Üô°V:\lC 2A�GC 02 0(�(� 4+> t�PB U� �EH#/

�� �− �� = � �

− �

Scalar Multiplication »°SÉ«≤dG Üô°†dG

=� ≠ } : } 0(�(� 4+> 02 2A�GC t�m ��#> AF 0&��(�� t�P��= } 2A�G#�� AF ~B�E��:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e

`���� � �(�X!�� ���43 �(�X!�� ���4 =} 02 -C �GE> \9 t�P8 } 2A�G#�� S�> \GN�

= /��; 2A�GC ~B�E�� UAH/ ,� = } U�9 �ZT

]�^ 1�a�= ,

W− T IT W j= �I � r

T �− I− ?�� d-�T − j $M 3 �T , j :�\��(

:A��Ir− �j �r�j Ir Ij = ]W−^ × j T × j I × j

T × j W × j j × j = j u T r� T− u− = I × T � × T r × T

T × T ]�−^ × T ]I−^ × T = �T Iu− �I �r

u IT T� = u T r� T− u− − Ir− �j �r

�j Ir Ij = �T − jA�� .& 1��E

:�\�& ,]�^ 1�a�� '� �� + � � − �� &

»°SÉ«≤dG Üô°†dG ¢UGƒN

:Uy2 =U��&��� U�4+> 4 ,} =U × � .B��� -C b�2A�GC � , t , U�9 �ZT• wtzl ��[�6 U × � .B��� -C 2A�GC : }• ��h9� L��)�� ��[�6 V 4W} = V4 }W• '���� '� L�S��� ��[�6 � } + } = V� + W}• 4���� '� L�S��� ��[�6 } � + } = }V� + W• �X[ 0( ��h� ��[�6 r = × �

»FGôKEG ]I^ 1�a� ���o 2�#�C^ ?��? A� '�M .���C $�( ,D��� |!?� D�� U�!�� ���� '� ��? A� '�M L(�� $�M� FM#� :2��M�

]1��)� 0( 4��C7���� $)E��{[ $)E

$C�� A�9N '��4�F� rsjrr4�F� rsTrr1������ ��!G4�F� rs�rr4�F� rsurr�)?��� ��!G4�F� rs~rr4�F� rsjrr

:A��3�sj 0( �!FG A� ��P

rsWjr rsijrrs�rr �sTjrrsijr �sIrr

= ]rsTrr^�sj ]rsjrr^�sj]rsurr^�sj ]rs�rr^�sj]rsjrr^�sj ]rs~rr^�sj

= rsTrr rsjrrrsurr rs�rrrsjrr rs~rr

× �sj

��!G '�M� ,4�F� rs�rr ,4�F� �sTjr 1������ ��!G '�M� ,4�F� rsWjr ,4�F� rsijr '�9� '�M U�!� B�C34�F� rsijr , 4�F� �sIrr �)?���

A�� .& 1��E 4��C7 ��X#� :O�9G c�� � e?tG- $�M�� cE�[ LP� 3$�M�� 0( ���� >����� !N�F� ,4��C7 L(4 ��@ I

3D���)� 4��C7�@ ���o LP 3%Ir ���F@

=b�2A�GC -#P"B bY4�%C \N� 0&��(�� t�P�� {�AL ��+d"&� -H#/

]T^ 1�a�3x�@�\- '� V��� $M , r �r

I W = W T� I− I + _W :������ AE

:A��r �rI W = W T

� I− I + _Wr �rI W = W × I T × I

� × I ]I−^ × I + _Wr �rI W = ~ u

I W− + _W~ uI W− − r �r

I W = _W~− Wr ~ = _W

I− �r I = ~− W

r ~ �W = _ :V���

r �rI W = W T

� I− I + _W

r �rI W =? W T

� I− I+ I− �r I W

r �rI W =? ~ u

I W− + ~− Wr ~

P r �rI W = r �r

I W A�� .& 1��E

:09� ��� ����� A� AE Tr I−W T + �I W

W− � = _I & ~ r �r

�r �~− ��− = �− r iW T− I + _T− �

Matrices Multiplying äÉaƒØ°üªdG Üô°V , -�"2A�GC 3$A; 02 b����.�� 6.B$ 1p M��� +.> ,+#�� ,�;�� -C \H� �A�%��* b��m�/��� 0B4�C 02 Q�9g�� $�."L� <�a�

:��� �2�9�� >��P������ � �[�?

= �� �� ��E&�� �� O9� ��G

=3+� S�> 34�C \9 02 pjl�� tjM�� -C \9 �!E> t�a� 0"�� �>AmA#�� ��&'� 4+> \l#B 2A�G#��*W 1�C A�� >��P���� �\4 = �I 1�C A�� 2�9�� �\4

=-�B4�#�� -C \9 02 )�o��� a$4 0F � 2A�G#��*=� X%C -�B4�#�� 02 1!EC ���I \9 b�a$4 hA#,C 2�%C :tA�M#��

:A�� a$4 �� = � × �� + � × � = �A�%��* b��m�/��� 0B4�C 02 �;�� b�a$4 hA#,C a$4 ��� = � × �� + � × �� = �A�%��* b��m�/��� 0B4�C 02 +#�� b�a$4 hA#,C

a$4 ��� = � × �� + � × �� = �A�%��* b��m�/��� 0B4�C 02 M��� +.> b�a$4 hA#,C�ur

= q\��r�jr

2A�GC 3$A; 02 ���!E�� ~B�AE�� �E."9 �ZT Ue�*

��

S�*'� 2A�G#�� -C c[; c\9 �;�E> t�m� ,-�"2A�GC t�m ��#%8 �A(B 0H� =� , -�"2A�G#�� t�m -C ~"E/ �gF*:0��"�� )�l#�� 02 �#9 t�P�� ~B�A� O#a� c1p ,t�m c\9 ~B�� +a*� = ���l�� 2A�G#�� -C 4A#> c\9 �;�E> 02

�ur��r�jr

= I × Ir + W × TrI × �j + W × WrI × Ij + W × Ij

= WI ×

Ir Tr�j Wrj Ij

= � × =\P2'� 0F +#�� a$4 UAHB 0��"��8*

]W^ 1�a�3� × J��? �\�&

r W� I− = � , T rW− �−

I � = ��E:A��

3��h� J��? L�\ $M ,�I� � I� ��P $M ,��� � �� ��P

? = T r

W− �−I �

r W� I−

− = VI−WVTW + VWWVrW 3D��G7� B�X!� 0N�@ L� �H�X? >�M#� 4 /�� 31 /�7 ����� 1 /�7 /|!� 0( �!F�� �% J��F�

u−? =

T rW− �−I �

r W� I−

? u− =

T rW− �−I �

r W� I−

� = VI−WVW−W + VWWV�−W = V�WVTW + VrWVrW u−

�− W?

= T r

W− �−I �

r W� I−

T u−? W =

T rW− �−I �

r W� I−

� = VI−WVIW + VWWV�W �− = V�WVW−W + VrWV�−W

��

u−�− W? r

= T r

W− �−I �

r W� I−

� = V�WVIW + VrWV�W :��h� J��?

T u−W− WI r

= r W� I−

T rW− �−I �

A�� .& 1��E3]W^ 1�a�� 0( A/9f�� ���� 0( A/9f�� /|!� ��h� /�� 0�� >Z�\l |[ & W

T T−r j r �−

W− T :��h� J��? �\�& � ?��h� �(�X!� ���4 �� ?�/�9[7 >�(�X!�� ���4 �� ,]W^ 1�a�� 0( q\

?�/�9[7 >�(�X!�� c��@ ��h� �(�X!� ���4 .4��� |�� :�N�F� ���X��

: äÉaƒØ°üªdG Üô°V

0F � × t�P�� 2A�GC �g�+E> ,4 × . .B��� -C 2A�GC 0F � 2A�G#��* . × 2 .B��� -C 2A�GC 0F 2A�G#��=4 × 2 .B��� -C 2A�GC

I × T

� �� �

2A�GC�� � � ��� � �� ��

t 2A�GC

.��G

W × T ��h� �(�X!� ��@&

.�X[

.�������

B�X[ TD��G& W �× I

= ���l�� 2A�G#�� 02 @A�G�� 4+%� � X/*��C S�*'� 2A�G#�� 02 3+#>'� 4+> U�9 �ZT 2 c�%C t�P�� 2A�GC UAHB4 × 2 q\ = 4 × . � × . × 2

��

]j^ 1�a�r ~

j− I = � , T I~ �−r W = b�X@

3�( /��� ��z �& �( /��� × � ,� × :��h� J��? '� A� ?�� d- �� /�E3�( /��� ��P �(�X!� A� ���4 �\�&

:A�� × �

'�������� ��z�( /��� ��z × �

VI × IWVI × TW

� × .��������

I × T �H���4� �( /��� � ×

V� × TWVI × �W

A�� .& 1��Er �− r ~~ � j− I = � , I− W

W− j = :b�X@ j3�( /��� ��z �& �( /��� ×� ,� × ��h� J��? '� A� ?�� d- �� /�E &

3B /���� ��h� J��? �\�& � 3I × T ����� '� �(�X!� 0% � �(�X!�� ,T × I ����� '� �(�X!� 0% �(�X!�� .& b�X@ q\

3x�@�\- U /P� ?.�������� ×� ,� × A% OGóYC’G Üô°V ¢üFÉ°üN ¢†©H äÉaƒØ°üªdG Üô°†d

á©HôªdG äÉaƒØ°üªdG Üô°V ¢UGƒN

:Uy2 =� × � .B��� -C b�2A�GC `a , t , 6��9 �ZT• =� × � .B��� -C 2A�GC :� × • ��h9� L��)�� ��[�6 Vq\ × �W × = q\ × V� × W• L�S��� ��[�6 q\ × + � × = Vq\ + �W × • × q\ + × � = × Vq\ + �W• �X!� 0( ��h� ��[�6 r2 × 2 = r2 × 2 × = × r2 × 2

:ôcòJ �h� 1�a� �)�- 0X�� ��[ 2�G >��Ml �E�

3���fF�

=����@- ��� b�2A�G#�� t�m ��#> :�fEt�]�h�^ 1�a�

I jW i = � , T I

� W = ?J�F��� d�� 3 × � ,� × �\�&

:A���u T��I Ii = I j

W i × T I� W = � ×

�i �~Ij Tr = T I

� W × I jW i = × �

3����@- ��� >�(�X!�� ��P ��9�G ∴ × � ≠ � × Square Matrix áaƒØ°üªdG ™Hôe

=� 5C���8 �!��T 5C�/ × 2A�G#�� Uy2 , %8�C 2A�GC 6��9 �ZT====, × = � , × × = \l#��8* = 2A�G#�� O8�C ��(B*

]u^ 1�a�

= �− Ir � ?�� d-

T , I :�\�&:A��

I− T�− I = �− I

r � × �− Ir � = I

T− WI− T = �− I

r � × I− T�− I = × I = T

A�� .& 1��E3 T� , I� :�\�& 3 � I

W �− = � ?�� d- u

��

(äÉ°Sƒμ©ªdG) »Hô°†dG ô«¶ædGh IóMƒdG äÉaƒØ°üe

Identity and Inverse Matrices4-7

º∏©àJ ±ƒ°S

• ��h9� D�E�� �(�X!� • �(�X!�� ���• _�����^ 0@�h� ��fF�

�(�X!�9� ]0@�h�• ��(�X!�� ������ AE

30@�h� ��fF� 2�#�C�@

0?���� A�G:0�/ �C ~B�� +a*� �

r �� r × u j−

I W & u j−I W × r �

� r � r r �r � r� r r

× � W TI r I−T j �

q\

� W TI r I−T j �

× r r �r � r� r r

=) c*'� )�o��� -> �"8�aT 02 �F��B U�#�� <� [; :U��?& I=�%c�AB -C � c(NB 1p ,0�/ �C ~B�� Oc�AB T

r r r �r r � rr � r r� r r r

× W I− T Ir T I �W � I− �−r T I j

:09� �� J��? �\�& Wj TI � × j− I

T �− � j− IT �− × j T

I � & �− j ��− r �r r �

× � r rr rsI− rsI� �− r

� r rr rsI− rsI� �− r

× �− j ��− r �r r �

q\

=V�W )�o��� -> �"8�aT 02 �F��B U�#�� <� [; :U��?& j?V�W ,V�W -���o��� S�T .�E��8 �B�8�aT F.B�B [�9 :�N�F� ���X�� u

��

Identity Matrix IóMƒdG áaƒØ°üe

=� �8 �!��T 5C�/* =t�P�� D�E�� �(�X!� S#�B ��; �;�E%�� �(8* ,� 0������ �F�M� �;�E> 0"�� %8�#�� 2A�G#��� � �� � �� � �

= × * , � �� � = � × � *

� �� � = * , `a &

4 t = U� ���8� �� � × t &

4 `a = * × = t &

4 `a = � × t + � × � � × t + � × �� × 4 + � × `a � × 4 + � × `a =

= t &4 `a = × * ��g9

= × * = * × :.& `&= ���l�� .B��� -C %8�#�� b�2A�G#�� 08�P�� +/�N#�� �GE%�� 0F � �

� � = * =U .B��� -C %8�#�� b�2A�G#�� 08�P�� +/�N#�� �GE%�� 0F U × U * C�> 3$AG8*

Multiplicative Inverse »Hô°†dG ô«¶ædG= 2A�G#�� 08�P�� ��DE�� 0F _ Uy2 , * = _ × UAH/ ��N8 �!��� .B��� -C -�"%8�C -�"2A�GC w , 6��9 ZT

3 �− �8 �!��T 5C�/** = × �− = �− × � XZT

]�^ 1�a�3 T I

I � = �(�X!�9� 0@�h� ��fF� 0% T− II �− = � .& �M&

:A��� �� � = � × + V−W × � V�−W × + � × �

� × � + V−W × � V�−W × � + � × � = − �� �− × �

� � = � × 3 q�� 0@�h� ��fF� 0% � ∴ � = � ×

3 � �(�X!�9� 0@�h� ��fF� 0% �(�X!�� .& 1��� '���:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e

�(�X!�9� 0@�h� ��fF� �(�X!�� � eh�& +���

3�− �C�����

A�� .& 1��E I I−

W− j q�� 0@�h� ��fF� 0% � I� Isj �(�X!�� .& �M& & �

3� q�� 0@�h� ��fF� 0% .& �M& ,]�^ 1�a�� 0( �

Determinant of a 2 × 2 Matrix á«fÉãdG áÑJôdG øe á©Hôe áaƒØ°üe Oóëe= �(�X!�� ��� ��(/* | | 5C���8 4+%�� �gF S�T 5C�/* ��� S#�/ 0(�(� 4+%8 %8�C 2A�GC \9 F.B�B

= ���l�� .B��� -C %8�#�� 2A�G#�� 4+NC S�> w$+�� �gF 02 �G"(E&

`a t − 4 � AF `a &4 t %8�#�� 2A�G#�� 4+NC

`a t − 4 � = `a &4 t = | | �"H�

D�XF�� �(�X!���@ ��G�� <*��/ �F4+NC 0"�� 2A�G#�� S#�B]I^ 1�a�

r __ r = q\ T− I

I− T = � W T−j− I = :������ >�(�X!�� '� A� ��� �\�&

:A��i = I × W − ]j−^ × ]T−^ = W T−

j− I = | |

j = ]T^ × ]T−^ − ]I−^ × ]I^ = T− II− T = | � |

I_ = r − I_ = r __ r = | q\ |

A�� .& 1��E:������ >�(�X!�� '� A� ��� �\�& I

T �T− � − T = q\ q\ i ~

�r I = � � I WI W = &

2A�G#�� 6��9 �ZT �C ��"E"&� S�> 0��"�� $�."LY� }+>��/ @A& =Vb�&AH%CW 08�m ��D� %c8�#�� b�2A�G#�� c\H� ^��=+a* UT n4�,/T �EH#/ [�9* ,08�m ��D� �!� � × �

á«°UÉN

:��� �− 08�m ��D� �!� Uy2 , � ≠ `a t − 4 � U�9 �ZT t &4 `a = :U� ���8

t− � `a− �

| | = �− :á q«°VÉjQ áeƒ∏©e

�%��� 0�� �(�X!�� 0@�P ��f? �H� Y�� �X!�

3D�XF� �(�X!� +���� t− � `a− �

`a t − 4 � = �−

��

]T^ 1�a�3_ ���N �\�& D�XF� W _

u �I = �(�X!�� ?�� d-:A��

D�XF�� �(�X!�� ��� r = W _u �I = | |

���� F���� r = W~ − _uW~ = _u

~ = _A�� .& 1��E

3_ ���N �\�& ,D�XF� �r j_I W− = � �(�X!�� ?�� d- T

]W^ 1�a�3*�\�& ��)�l ���E 0( ?0@�P ]_����^ ��f? r �−

I− ~ = :�(�X!�9� A%:A��

�− 0@�P ��f? �H� ∴ r ≠ I I = ]~^]r^ − ]I−^]�−^ = q\ � − & r �−

rsj− W− = r I−�− ~− × �I = �−

A�� .& 1��E

3x�@�\- � /�( ?0@�P ��f? �H� I �W T = � A% & W

3x�@�\- � /�( ?0@�P ��f? �H� ~ uW− T− = � A% �

��

]j^ 1�a�3*�\�& $M ,0@�P ]_����^ ��f? �H� 09� ��� �(�X!� `& /�E

� Tu I = . � I I−

W− j = 2 &:A��

I I−W− j = 2 &

I− = ]j^]I^ − ]W−^]I−^ = q\ � − & q\ � − & :c�E3 e�\�� .��� 2 q� ]_�����^ 0@�h� ��fF� .�( ,r ≠ q\ � − & :.- ��E

� I� Isj = I− W−

I− j− × �I− = �−2� Tu I = . �

r = ]I^]�^ − ]u^]T^ = q\ � − & q\ � − & :c�E 3�\�� ��z . _���� .�( ,r = q\ � − & :.- ��E

3�\�� ��z �−.A�� .& 1��E

3*�\�& $M ,]_����^ 0@�P ��f? �H� ������ >�(�X!�� '� �(�X!� `& /�E jIsT rsjisI T � W I

T � &

��

�N�F�?� ��X? �FGº∏©àJ ±ƒ°S

• '������ '� 2�f? AE '���M6

• ���� D�G�N

=bY4�%C ��D� <� \cl#B U� �2A�G#�� �4�%#�� -H#/��(�X!�� ������ >o��� 2�f?

��� = w

{ × � ��

� = {� + w�� = {� + w.

?68�Al�� ?b���7"#�� ?{ ,w \C�%C +,B -/� =b�2A�G#�� bY4�%C 02 ��DE�� 8�"9 0"(/�I U$�� �:�!#&� �!� t = h × \H��� S�> b�2A�G#�� �4�%C 02 2A�GC \9

� @�a� �(�X!� � >��{��� �(�X!� >t����� �(�X!��

�� = w{ × � �

� w{ × � �

� :t�P�� 2A�GC +a*� & I= �

�� 2A�G#�� /*��C �!�R8 t�P�� 2A�GC 8�"9 -H#/ � =bY4�%#�� ��D� \cl#B 2A�G#�� �4�%C U� [�9 x���

Solving a System :ΩɶædG πM= �Md�� bY4�%#�� -C ��DE�� \� S�> � X%/�& )AGN�� 1p ,bjC�%#�� 2A�G#� 08�P�� ��DE�� 4�,/T O�M"�B

Solving by Using Inverse Matrix :á©HôªdG áaƒØ°üª∏d »Hô°†dG ¢Sƒμ©ªdG ΩGóîà°SÉH πëdG -1

]�^ 1�a�3�(�X!�9� 0@�h� ��fF� 2�#�C�@ T = � + _

i = � − _. :2�fF� /AE:A��

3>�(�X!�� ����� L� 2�fF� c��]�^ T

i = _� × � �

�− �Ti = � , _

� = � , � ��− � = ��E

r ≠ I− = � × � − ]�−^ × � = � ��− � =| |

ø«à«£N ø«àdOÉ©e øe Ωɶf πM

Solving a System of Two Linear Equations5-7

��

�I �

I�I − �

I = �− �−

� �− �I− = �−

3�− 0( '���� �H\ '� ]�^ ������ 0(�I '� A� ��h@�

Ti

�I �

I�I − �

I = _

� +9G A!�?

jI− = _

� I− = � ,j = _ :0�����@�

A�� .& 1��E3�(�X!�9� 0@�h� ��fF� 2�#�C�@ i = �T + _j

j = �I + _T. :2�fF� /AE �

=Crammer’s Rule �C��9 3+>�� S#�B* ,b�4+N#�� ��+d"&�8 -�"�ML -�"�4�%C -C ��D� c\� � XP/� -H#/ :ø«à«£N ø«àdOÉ©e πëd (äGOóëªdG) ôeGôc IóYÉb ΩGóîà°SG - 2

Using Crammer's Rule to Solve Two Linear Equations

:'���M6 '������ 2�f? A��) = { t + w � = { 4 + w `a

bjC�%#�� 2A�GC 4+NC AF* t 4 `a = :�"H�

w bjC�%C 4A#%8 +��5�� 4A#%�� )�+."&� +%8 bjC�%#�� 2A�GC 4+NC AF* t 1 2 = w

{ bjC�%C 4A#%8 +��5�� 4A#%�� )�+."&� +%8 bjC�%#�� 2A�GC 4+NC AF* 12 q\ = {

V� ≠ U� U��8W � = � , _ = w Uy2

��

Cramer's Rule �C��9 3+>�(8 @�%B ngF*:U� D�j#�� OC

� X+��* Jj� -�"�4�%#�� Uy2 , r ≠ U�9 d- � \N��2 r ≠ _ , r = U�9 d- I

��G�� �/*��C w , -C \9 0"�� ��N�� ��%"� Y* -�"��N�� -�B�!8 0�"HE&*

]I^ 1�a�r =i + �j − _W

r = T + _u − �T. :2�fF� /A�� ���� D�G�N 2�#�C:A��

i − = �j − _W T − = �T + _u−.:��C���� ����M��@ 2�fF� eo�& c��?

�~ − = j− WT u− =

Tu − = j− i−T T− = _

jW − = i− WT− u− = �

I = Tu− �~− = _

= _

T = jW− �~− = �

= �

A�� .& 1��Eu− = �I + _T

r = i − �T − _W−. :2�fF� /A�� ���� D�G�N 2�#�C I

��

πFÉ°ùªdG πëd ó°TôªdG

3 � = { + w�� = {� + w�. :��DE�� \� 0F <A"�#�� 02 M(E� V{ ,wW U��p�+���

= M(E�� ngF 0�p�+�T +a*�?�p�� ��( |��?c�� d���

=V{ ,wW �B�#�� �*5�� AF �R�#�� \� ,OI�("�� M(� 0�p�+�T 3Q���* �J����8 -�#�("�#�� 1&$ 0EEH#/

=� J/$*�m ^�� �gF -H�*=\N�� 02 b�2A�G#�� ��+d"&� 0EEH#/

=b�2A�GC �4�%C \H� 02 ��DE�� 8�"9 +�>R&

� = { + w�� = {� + w�.

�� = w

{ �� �

�4�%#�� 02�I t�m� @A& w{ 2A�G#�� 4�,/�

3 �� � 2A�G#�� 08�P�� ��DE�� 02

− �� �− �

× � − � × � = �−

�� �

�−�− � = − �

� �− �− = =t�m� @A�2 08�P�� ��DE�� S�> 6�G� 0E�� �#8 ,Ue�* �−

�− � �� = w

{ �� � �−

�− �I × I � × I

��P& .& '��� o ��#> U' ,-�#��� !a -C t�m� U� �,/ ! b�9gB

= ���+8T 6��� b�2A�G#�� t�m�� �−

�− � = w{ �

� � �−�− �

:U� 0E%/ �gF =t�m� 1p ,b�2A�G#�� �4�%C 8�"9 +�>R&= = { ,� = w

� = � × + � × V�−W

� × V�−W + � × � = w{

V ,�W �#F OI�("�� M(� ��p�+�T��(�P- ������� = {� + w��

� = {� + w�. :��DE�� \� �#F <A"�#�� 02 M(� ��p�+�T �= M(E�� ngF 0�p�+�T 4�,/T* ��DE�� \N� b�2A�G#�� �+d"&�

� X+��C ��"%"& 0"�� \9��#�� �C I?)A�� ��DE�� -H/ 1� �ZT &

?)A�N�� -C M"EC ��r 4+> ��DE�� U�9 �ZT �

á©HÉ°ùdG IóMƒ∏d »ª«¶æJ §£îe

>�(�X!� ��fF�� D�E��

0@�h�

$�fF� 0( >�?����>�(�X!�

L�\g�I�

>�(�X!�� ��P

>�(�X!��

AE '������ 2�f?

'���M6

>�(�X!��

�(�X!�� �����@���

>�(�X!��������

>�(�X!����@���

0C���� ��h�

�(�X!�� L@��

0��\ ��f?

0@�h� ��fF��(�X!�� ��� L�\ U��p

g�I� >�(�X!��

>o���� AE��(�X!�� ������ �!F��

0@�h�

���� D�G�N�(�X!�� ���4

D�y�F�� �[�FG

��

¢üî∏e

= : XjlC �"HB* 3+#>�* @A�; 02 4�+>'� M�2 �B�B ,\�M"�C \H� S�> 4�+>'� -C 1�DEB -> 3$�.> 2A�G#�� −=�#!�2 O��A�� 4A#%��* [G�� 0#�$ �Y+8 2A�G#�� 02 �GE> <� 4 c+N/ −

= /*��"C 3�_�E"#�� �#F�;�E> 6��9* ,�!��� V4�%8'�W .B��� �#!� 6��9 �ZT -�"/*��"C U�"2A�G#�� UAHB −=3�_�E"#�� �;�E%�� x�I �/�I -> b�2A�G#�� x�I � XP/� �EH#/* �#9 ,3�_�E"#�� �;�E%�� O#,8 O#,�� 2A�GC S�> \GNB −

= 2A�GC c\9 02 �!��� .B��� �!� 0"�� �;�E%�� 0F b�2A�G#�� 02 3�_�E"#�� �;�E%�� −= /��; 2A�GC S#�B $��;� �F�;�E> O�#a 0"�� 2A�G#�� −

. 2A�G#�� 0%#,�� ��DE�� 0F − 2A�G#�� − + t = t + :b�2A�G#�� O#a {�AL −

`a + Vt + W = V`a + tW + = r + = + r

r = V −W + =4+%�� �gF 02 2A�G#�� -C �GE> \9 t�P� ,0&��� 4+> 02 2A�GC t�m +E> −

= ���l�� 2A�G#�� 02 @A�G�� 4+%� � X/*��C S�*'� 2A�G#�� 02 3+#>'� 4+> U�9 �ZT , 2 c�%C t�P�� 2A�GC UAHB −= $ × �`a = $ × Ut × U × �

2A�G#�� -C 4A#> \9 �;�E> 02 S�*'� 2A�G#�� -C [; \9 �;�E> t�m� ,b�2A�G#�� t�m ��#%8 �A(B 0H� −=t�P�� ~B�A� O#a� 1p ,t�m \9 ~B�� +a*� = ���l��

=$ × � 0F t × 2A�G#�� .B$ Uy2 ,$ × U .B��� -C t , U × � .B��� -C 6��9 �ZT −V`a × tW × = `a × Vt × W :b�2A�G#�� t�m ���GL −

`a × + t × = V`a + tW × × `a + × t = × V`a + tW

=3+#>'� 4+> <*��/ @A�G�� 4+> �!�2 2A�GC 0F %8�#�� 2A�G#�� −=* �"HB* t�P�� 3+�A�� 2A�GC S#�B ,��G�� 0F �;�E%�� �(8* � 0F 0������ �F�M� �;�E> 0"�� U × U %8�#�� 2A�G#�� −

=��; �;�E%�� �(8* � 0������ �F�M� �;�E> %8�C 2A�GC 0F 3+�A�� 2A�GC −

��

:UAH/* �− �"HB , %8�#�� 2A�G#�� 08�P�� VwAH%#��W ��DE�� 2A�GC −= 2A�G#�� 08�P�� ��DE�� S#�B* ,* = �− × ,* = × �−

t �4 `a = 6��9 �ZT* = 2A�G#�� 4+NC ��(/* | | 5C���8 M��T 5C�/* �4+NC� S#�/ 0(�(� 4+%8 %8�C 2A�GC \9 U�"(B −

`a t − 4� = �t`a4 = | | Uy2

� ≠ `a t − 4� ��� t− 4� `a− �

`a t − 4� = �−

=08�m ��D� �!� ^��* 34��EC 2A�G#�� S#�B =� = `a t − 4 � U�9�ZT , t �4 `a 2A�G#�� 02 −

=� X%C -�"�4�%#�� �(N/ �B�C �*f AF -�"�ML -�"�4�%C -C ��D� c\� −=V�C��9 3+>��W b�4+N#�� ��+d"&�8 *� 2A�G#�� 08�P�� ��DE�� ��+d"&�8 -�"�ML -�"�4�%C -C ��D� c\� -H#/ −

��

(2) äÉã∏ãªdG ÜÉ°ùM

Trigonometry (2)

pπÑ≤à°ùªdG oáLƒe :IóMƒdG ´hô°ûe

����� ����� � ���� ��� ��M�� ��� �� ������� !��M�� "� #$� %&' ()* F,-.�� �/0 �� 12�-3 :4 �5.�� ����� 6 �0��� �/7�� �.�� �2� �,�8 !9��;<�� �,�2�� ��M�� ��� �,�=8 �,>,' ?'�5�� �>5�'� ��@ ��,�A� �2�B�� C@ �D !",E�2M��

!;F� ��>��G� #;� .� ���<�� �B %�2�� ��3�M� "<� �,�* ��M�� "� H2I��� ��>��G� JK�;��L �,� ,?' %�-.�� NO �<� �3�-�� �/7�� �.�� �'�-� ��,�� ����� 9��0P Q73 R&�3 !�=�� ��� "� S0 �� 9.�� �2�� "� ��M�� ��2�8 !�/7�� �.�� ",� T�@ �U'D �023 V,E ��* � %=�� (FU3 !���2.��

!�'�-�� ��� W�8 ��F* �/7�� �.�� �'�E "� ��%�2�.�� X)8 &*�� ��M)� H��D ��I� Y������!�,$��;<�� ��M�� �,�28 C@ ;F� ��>��G� �,Z<�P ,�/7�� �.�� �'�E "� ���2�.�� ��M�� �2E ����� :K���A� [

!�,Z,� �U�E ��\ ,�3��.,)� T�� D : ]Y^�2)�� _:`,UM��� �2E �)a�D b

!Low Water Mean �c>�F.�� �,.�� F�2�� (.=]3 ,",B� H2�=� T2@ �,.�� 4>8�� &�B�� "� �F%,B� N��2� C@ d,�23 #7=3 D!N�2� #' C@ �/7�� �.�� �� � e�.F8 C��� ������ H�� ���@ � %�� !",B�2� C@ �)7=.�� ?�2)B.�� ��@�.�� �G �7�� "f,U ]3

CZg�� N�2.�� ��������� ���� �� �����

��� �:���� ��−��� ��:!"�� ���

��# !:���� ��−��# ��:$��� ���

� A� N�2.�� ��������� �����

��# ��:���� ����� !:�$�� ���

��� ��:!!�� ����# �:���� ���

"* V-�� !� h��� D hG�� �.��� �2<3 ��F* �/0 �� �U'D D �iD j�-3 ,�.��� k.5�� N��2.� �/7�� �.�� �lm�3 n!",B� 1�.� �;o ��� ��2�� ��G�� �/7�� �.�� ?G2-8 "f,U ]3 d,Z,� h�,g.8 &��� ,�/7�� �.�� �2� �.��� N�2� F���8

?�/7�� �.�� �'�E "� ���2�.�� ��M�� ?Ul Y�* �,=>8 "<.3 W,' q0!�/7�� %�.�� �'�E "� ��>���� � �� ���P "<.3 V,E �,O�A� ��<�� ()* `IF.�� sB� �0 D �

"<.3 SZD ���B8 #� !��M�� ��� n2,* 3�/� S,@ ",U8 � h�,i hG�� Q�']� ,;� �.� C��� j-�A� ()* � h/<8�� :�3����� t?#U��=.�� C@ �,$��;<�� ��M)� %C).* ��I� #,<58

IóMƒdG ¢ShQO

Cl��E�� H2�=.�� C@ ��E2�� ��$��J�3�$����L �,g)g.�� �� ��� J6L �,g)g.�� �� ��� ",� ?��B��J[L �,g)g.�� �� ��� ",� ?��B��

6−u[−u_−u

IóMƒdGáæeÉãdG

��

IóMƒdGáæeÉãdG

(áÑ°ùàμªdG á≤HÉ°ùdG ±QÉ©ªdG) ¿B’G âfCG øjCG

• !�,g)g.�� Q=F�� Y������ �,>,' �.)B8• !j�2vg,@ �3�wZ Y������ �,>,' �.)B8

?º∏©àJ ±ƒ°S GPÉe

• !��E2�� ��$�� K�B�8 K2�• C@ ;����=�� ��E2�� ��$�� ()* �M�F�� ?,l��EP �028 K2�

!�,g)g.�� �� ��� &,� �73P• ?G�B.�� #-� ��E �3 �/� �,g)g.�� �� ��� ",� ���B�� �028 K2�

!�,g)g.��• !�,g)g� �� � ()* 12�-8 �3�U0 ?��U* F,=U�� Y2�8 K2�• :",� ���B�� �028 K2�

!θ �3 �^ 1A θ[�0 ,θ[0 −!θ �3 �^ 1A θ[� θ[x −

!θ�3 �^ 1A θ[�� θ[�x −• ?��M�� �-i "��U8 �,g)g� y�� � ".c�8 ?��U* F=U8 K2�

!�,g)g�

á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üªdG

?��oP − �,g)g.�� �� ��� ?��oP − �,g)g� �� � − ��E2�� ��$�� N���� − V�g�� N���� − CZg�� N���� − � A� N���� − �,g)g� ���� n2)��

!?��M�� − �F��� �3 �^ − N�����

Q,7�� ���� ()* JsinL Q,0 &�� `)I]D #IE z2O Y�* �7,�Z Jsin functionL �,.=%��� ��� ?90 !(M�2�� � ���� C@ C� JSanskritL �,�3�<=F� �.)' "� ������� �� !�82�� CFB8 JJivaL {|,0} JAraybhetaL {��3�D} N� �F;�� C@ hG D "<� �8 WIZ CFB8 �Z' !Y t6~ �F� �,��B�� �)�� (�P �)�Z ,��I��� &8 �;�5� C� JjibaL {U,0} &�� �-8 DL ��I�� CFB8 JjaibL {Q,0} �.)<� �.)<@ �O-�� ��2�� C@ �D !JW327��� �.)<� �@���� C� �,��B�� �)�� C@ Q,0

!JsinL 1�<>�� �8F�� #�Z �F* �2.0��.�� �0 JsinusL Q,0 �.)' %�D �,F,8��� (�P C��B�� �.)' "� JW327��� DL ��I�� hc3D CFB8 ,Q,0 JsinL �.)' ()* F)IE JsinusL (�P �2B8 C;@ JtangentL #x �.)' %�D Y* JThomas FinckL {XF,@ ��28}:&���� (�P �wF�� ;.;@ "<.3 C��� ,6tu_

n �

Y q0q�

C@ ��$��)� ��.� C� q0� �.,��=.�� �BM��� �2<,@ 6 = q0 Y = n Y ��mF� !q0 �M�F�� �@�* .' , q0� = q0�

6 = q0�q0 Y = q�x

{umbra versa} ��UB� h.3�� tangent ��E2�� ��$�� Y���=8 !���.�� #w�� CFB8

!�,g)g.�� �� ��� `)B�8 "3�.8 #E C@

∂JÉeƒ∏©e ≈dEG ∞°VCG

��

1-8(ájôFGódG) á«ã∏ãªdG ∫GhódGh »KGóME’G iƒà°ùªdG »a IóMƒdG IôFGO

The Unit Circle in the Coordinate Plane and Trigonometric Functions (Circular Functions)

º∏©àJ ±ƒ°S

• ��E2�� ��$��• �,g)g.�� �M�F��• J�3�$����L �,g)g.�� �� ���• �,g)g.�� �� ��� ?��oP• �F��� �3 �^

CZ B8 #.* %&'� (M*� +,-./� 01�� 234�5 � +.M� 67� 8�I ; 2.<�; ����� �=.��� >3�?�� @A� BC (D=�/ (E��F ����� (G*H/ >3�?�� �BI�34J� K�?L��� BC ME3/N?��� ME��O�G�

�º�� D��� (P=�/ B����0�Q ,�15 �> (M*H�� BC 08�'� @S.�� BC5 2.<�3�� B<DH�� @GT�� @M*E

0(P�4 (�U >�3�?�� V�3S5 ?�> X�I�34Y ;ZEJ D/�3�?�� [H\�E B?�� #.M�� / 6��Q ,�1 ��� 3=��� #.M�� ]+ K34Y >3�?�� [

�(E.^_ ��L- %\` aG_ ��*�� ]+ b?-� �º�� = ,º�� ?= :;ZEJ (P�4 (�U >3�?�� _

�0$5 8�cL�� BC d�3=� �S ��*�� ]+ V�� (M*H�� X�I�34Y / �º�! D��� (E��F e/3�?L/ f_� X��M��� �.- D b

?$> 23E3Z�� D?��� B?�� 2.<�3�� aG_ > (M*H�� X�I�34Y M�S (�fN�� / �eH���� @A n

?> BC B<DH�� DNGA .�E B?��� B��*�� @A��� BC (E��,�� b�=� >�� b�= ����

;

��E 6

6 Y

°_~ = α

6

66−

6−

J6� ,

6�L

��E2�� ��$��

��E 6

6

66−

6−

Unit Circle IóMƒdG IôFGO

!��E �E� ��M� WIZ �2I , #iA� �M�Z �/'�� ��$�� C�The Triangular Point á«ã∏ãªdG á£≤ædG

�M�Z�,g)g�

Y C@ �;02� �3 �/� C$;F�� N)c�� NI�8 �M�Z C�

!��E2�� ��$�� N� C�,��� NO2��

� = $Q + $1 V- �iY F*C� �iY (�kGk/ (M*� 0Q ,15 (M*H�� V�\� :�wE��

:Ió«Øe áeƒ∏©e

K�-�� Y���=3 � ��* J�,l �>)3L θ CZZ2,��!�3 �^ �,� "* �,UB�)� �B��*�� @A��� BC (D=�/ (E��F 1�� a�Y ,/.H� θ ,/.�� >3�?L� l��

θ É¡°SÉ«b »à qdG ájhGõ∏d á«ã∏ãªdG Ö°ùædG�0�Q ,�15 > (M*H�� BC 234��� 2.<�; B<DH�� DNGA @M*E ,θ D��� B��*�� @A��� BC (D=�/ (E��F mV� .�S

��

������ �� � ����� ����� �� ��� ���� ��

� θ

��

��

��� ,����

��−

�−

�� ��� �����!"� = θ #$ %& :��� '� (#)��* +, -�.!

/ = = �!"� 0"I ∵

�� = θ� � � /2 = /2/ = �� ��� ����

�!"� = θ #$ ∴

�� = θ� � � /3 = /3/ = �� ��� ����

�!"� = θ $ (45:�6 θ ����� �7����� 8'9� %"�! � # ��

�� = θ� �� = θ�� ≠ �� , ��

�� = θ� � ≠ �� , ���� = θ�

� ≠ �� , ��� = θ� � ≠ �� , �

�� = θ�

:á«°VÉjQ IóYÉ°ùe°;<

°><

22?

2 >F

��� ����º�� � ,º�� � ��� ������ ����� ���!"#

:$%���&"'(�� )*��� &+ º�� -"'� &�� .-��/�� .0��1�� 2"�3� ,������ ����� 2"�3

��I ���� � = � � ��5'+�67 � 85'�� &9';�� <�%/�� >?@ � A��/@ � 8� F(;3

�67 .0��1�� 2�� � 67 ��ºC� = �� � 67�

$#(/�� )?D�� ��I &9';�� &9'EF��� G?�/�� &+ �H� �I = 67� ∴

��J��� ��I �I = ºC� .0��1?�

K<�L�'+ .0�M3 8� CFI = 67 � ∴� 67 �

�−

�−

º��

CFI , �I :/7 � .M(9�� 'E���O

� CFI = º�� � , �I = º�� � ∴$%J � ���

�ºPQ � ,ºPQ � ��� 2E �ºPQ -"'� &"'(�� )*��� &+ .-��� .0��R 2"<� ,������ ����� >?@ ����H� )#��� &+ &�-9�� -S?* )(0 T &"'(�� )*��� &+ .-��� θ .0��R �H θ� ,θ� �U0V .0��1�� 2�� G?�� ���!"� 85/0

:Ió«Øe áeƒ∏©e

α � θ .0��1�� ��(3 ��9@ &�� .0��1�� �W(3 ��� �

��� � α � θ -"'�

"�

C-,O28 �g�~�t

~�t − ~�t

6

6

6−

6−Y°6[~−= θ

Jº6[~−L�0 = CF,=�� Cl��E��Jº6[~−L0 = 1�I�� Cl��E��

~�t −

!Jº6[~−L0 ,Jº6[~−L�0 �0 D ��E2�� ��$�� Y������:#-��

6 �2M�����$�� C$;F�� ;B)O NM�3 º6[~− ;�,� C�,��� NO2�� C@ �;02� �3 �^ &���

!Y �M�F�� C@ ��E2��[ �2M���

�ED NO &l �3 �/)� C$;F�� N)c�� ()* �82�� `UMF3 V,-� �3 �/�� &$� hg)g� &���

~�t~�t − ~�t

6

6

6−

6−Y°6[~−= θ

CF,�� CF,l�l V)g.��

°�~~�t −

J?��I�� �2-.� h3^�2� ���� N)c�� �2<3 V,-�L ?F,=�� �2-� ()* S,B)O!Y V)g.�� "<,�

_ �2M���?��.� º�~ = J YL �D �EG

!V)g.�� C@ N)O #' �2I �0 D��$���� �M� WIZ �2I 1 =3 �82�� �2I 6 = Y �82�� �2I

�82�� �2I WIZ 1 =3 º_~ �3 �/)� #��.�� N)c�� �2I 6[ = �iA� N)c�� �2Ij�2vg,@ �3�wZ Y������ _F[ = Y �U'A� N)c�� �2I

!�U�� ",,l��E�� �<@ ,V�g�� N���� C@ N�8 �M�F�� �D .�!_F

[ − = Jº6[~−L0 , 6[ − = Jº6[~−L�0 ∴ ?F,=�� �2-� ()* �iA� N)c�� `UMF3#-8 �D � E

! π_b 0 , π_b �0 �0 D ,C-,O2��� �g.�� ��3�I h����=� [Q3��8

:",3�5* ",.�� n��A �8F�� h���� C���� � �7�� #.'D �U�E ��\ Y�����θ �3 �/�� �,�

�U=F��º[~ºb~ºu~º6_~º6�~º[[~º[t~º_6~

JsinθL θ0JcosθL θ�0JtanθL θx

"�

Circular Functions (Trigonometric Functions) (á«ã∏ãªdG) ájôFGódG ∫GhódG Z�p�5 b=���� Z�p� BC (E��,�� ]D� B<DH�� @GT�� q.O�� ,θ D��� (E��,� (�kGk��� (M*H�� B+ 0Q ,15> ��- �iY +]rs� (��� %\� :V�\E� Q ,1 M/ %- DN/ .�t?� B�?�S� 234��� 2.<�; aG_ .�t?� > VuC ,0(_L�� ��*_ V���3� v-N���

�w� ,�−x a�Y V��?H� Q ,1 o�4 Q ,1 ME.�t?��� M/ %\� 234�� (��� ,0π$ ,�x ∈ θ o�4 θ

:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e

2� Q02.�� �78G� − k'B.�� �78G� n��* ��� ��

!�*=���,g)g.�� �M�F�� −

"<.3 J� ,�L;F* �,UB���

!Jθ0 ,θ�0L q�

:(��?�� 0(E.<�3�� 8��3�� ��5 (�kGk��� 8��3�� 6E.N� @�M?L� ,>3*� �/:∞jô©J

:��@ π[ > θ ≥ ~ V,E θ ;�,� �3 �/� �,g)g.�� �M�F�� C� J� ,�L �Z' ��PJ�,g)g.�� �M�F)� 1�I�� Cl��E��L � = θ0 V,E θ0 = JθL� :Q,7�� ���� J6LJ�,g)g.�� �M�F)� CF,=�� Cl��E��L � = θ�0 V,E θ�0 = JθL� :Y.��� Q,0 ���� J[L

~ ≠ � , �� = θx V,E θx = JθL� :#w�� ���� J_L~ ≠ � , 6� = θ� V,E θ� = JθL� :NI��� ���� JbL~ ≠ � , 6� = θ�� V,E θ�� = JθL� :Y.��� NI� ���� JtL~ ≠ � , �� = θ�x V,E θ�x = JθL� :Y.��� #x ���� J�L

~�t

~�t~�t−

~�t−

J6− ,~L

J6 ,~L

J~ ,6−L J~ ,6L

0�F$ , 6$5

06[ , _F[ 50$F$ , $F$ 5

º��º�!

º��

�(&��� θ ��� yNP� (�kGk��� 8��3�� ��� ;ZEY (��DLS M\�E �,�

θ �3 �/��������

º���

º��π�

º�!π�

º��π�

º"�π$

º���π

º$��π�$

º���π$

θ0��$$F$�F$���−�θ�0��F$$F$

�$��−��θx��F���Fl m.N/ .�z�l m.N/ .�z�

"$

:BGE / (n4f/ M\�E :%\^�� M/� < θ?= ,� < θ= :VuC 8�'� @S.�� BC θ ��- �iY� > θ?= ,� < θ= :VuC B�k�� @S.�� BC θ ��- �iY� < θ?=

� < θ=

� > θ?=� > θ=

� < θ?=� > θ=

� > θ?=� < θ=

8�'� @S.��

@S�.�� @S.��o�k�� @S.��

B�k�� @S.��

� > θ?= ,� > θ= :VuC o�k�� @S.�� BC θ ��- �iY� < θ?= ,� > θ= :VuC @S�.�� @S.�� BC θ ��- �iY

J[L �g�:C)3 .� #' C@ θ�0 ,θ0 ��oP � %�E

º_~t = θ q0 π�� = θ n º6_t = θ D

:#-��!CZg�� N���� C@ N�8 θ �D 1D º6u~ > θ > º�~ ∴ , º6_t = θ D

~ > θ �0 ,~ < θ 0 ∴

!V�g�� N���� C@ N�8 θ �D 1D π_[ > θ > π ∴ , π�

� = θ n~ > θ�0 , ~ > θ0 ∴

!N����� N���� C@ N�8 θ �D 1D º_�~ > θ > º[�~ ∴ , º_~t = θ q0~ < θ�0 , ~ > θ0 ∴

#-8 �D � E?θ�0 ��oP C� � !º[�~ > θ > º�~ �Z' ��P D _

?θ0 ��oP C� � !π > θ > �~ �Z' ��P n

Reference Angle OÉæ°SE’G ájhGR

�@S�.�� @S.�� �� o�k�� @S.�� �� B�k�� @S.�� BC ;�=�/ B<DH�� DNGA θ (E��,� (�kGk��� bLH�� ��� (C.N/ a�Y e��4� {?O�áeƒ∏©e

!>�D D�� ]3 α /����

�θ (E��,G� B<DH�� @GT��� XH�L�� ��O�S 2;3O/ ,α 2;4 (E��F a�Y (E��,�� ]+ ;H�Y M\�E

�>

:OÉæ°SE’G ájhGR ∞jô©J

�) 7� �@� �� �#� AB$� ,D�E �F$"�� ����� * 9)G� ����H�I 97'� �"J, �, �F$"�� ����� �� F9� ���� F.9K� �#� α ��%�� ����� �6

º�< > α > º< :%L� * 9)G� ����H α % 5 �ML�:* 9)G� ����H * ��G �N�#O�� IP J� Q@"! �7 #� 0 �RS�

θ

�−

�X

6�

�− �

α

θ

�−

�− �

α6�

X

6�

� Xθ

�−

�− �

α

�T �� ���� �� ��! θ ,U9Vºθ − º�Y� = ºα

�θ − π = �α

� �� ���� �� ��! θ ,U9Vº�Y� − ºθ = ºα

π − �θ = �α

����� ���� �� ��! θ ,U9Vºθ − ºC�� = ºα

�θ − πI = �α

�C� ���:&?0 /� $5� -"'� ��� � �9"V� .0��R 8Z'@ 2E ,&"'� )*� &+ .-��/�� 0��1�� 8� [F\ 2"<�

π��� 6� ºI�Q X º�IQ :$%��

&3��� )#��� &+ )(J º�IQ = θ ºθ − º�Y� = ºα �9"V� .0��R �'� ∴

º�IQ − º�Y� = ºQQ = ��−

�−

º�IQºQQ

ôcòJ

85/0 6� � X .-��/�� .0��1�� �6�� ,X�� 1���# -� 1��3 � 6�� ,&���#T� )?D�� X� G'�

�&�-9�� )?D��

"�

V�g�� N���� C@ N�8 º[6t = θ nº6u~ − θ = α �F��� �3 �^ �,� ∴

º6u~ − º[6t = º_t =

N����� N���� C@ N�8 π66� = θ q0

θ − π[ = α �F��� �3 �^ �,� ∴π66

� − π[ = π� =

#-8 �D � Eα

θ

6−

6− º�~ !θ �0 D !ºθ �3 �/)� ºα �F��� �3 �^ ,#��.�� #<5�� "%,U3 b

66−

6

6−

º[6tº_t

66−

6

6−

π66�π�

"!

(1) á«ã∏ãªdG ∫GhódG ø«H äÉbÓ©dG

Relations Between Trigonometric Functions (1)2-8

º∏©àJ ±ƒ°S

• �� ��� ",� ?��B�� θ �3� /)� �,g)g.�� ,θ − π ,θ− :3� /��

, θ − π[ , θ + ππ �[ + θ , θ + π[

• �,g)g� ?G�B� #E • �3�U0 ?��,UB8 F,=U8

�,g)g� �� � ()* 12�-8

CZ B8 #.*6

6

6−

6−

θ (P=�/ (D=�/ (E��F Mm�_ ,234��� 2.<�; aG_ D 6�8�'� @S.�� BC B<DH�� DNGA B��*�� @A��� BC

�θ 3=�� n :;ZEJ (P�4 (�U >3�?�� q0

�0θ−5?= ,0θ−5= ,θ?= ,θ = 1 (P=�/ (D=�/ (E��F @/ 6 BC X��M��� �.- [

�B�k�� @S.�� BC B<DH�� DNGA BN�Z�� 1�\N��� �DH/ %- M�?E��,� (�kGk��� 8��3�� ��� M�S (�fN�� 8�4 eH���� @A _

�K.r~��,��A� �,g)g.�� Q=F�� a_3�� θ D��� B?�� (E��,G� (�kGk��� bLH�� θ� ,θ?= ,θ= a�L�

� ≥ θ?= ≥ �−� ≥ θ= ≥ �−

∈ θ�

VsS e�G_

!θ− ,θ ",�3 �/)� �,g)g.�� Q=F��J�− ,�LlY J� ,�LY o�4 XH�L�� ��O/ BC > (�kGk��� (M*HG� 1\N�� B+ lY (�kGk��� (M*H��

θ?= = 0θ−5?= V�\E�θ=− = 0θ−5=

:¿ƒfÉb

θ�0 = Jθ−L�0θ0− = Jθ−L0

!K %�B� θx �2<3 �D U�5� θx− = Jθ−Lx C����

ôcòJ C@ �<BZ� CFB8

!?F,=�� �2-�

θ

θ−

Jθ0 ,θ�0LY

JJθ−L0 ,Jθ−L�0LlY

"�

J6L �g�! c π_

u −m �0 �0 m@ , [F − [F[ = π_u �0 �' ��P D!Jº_�−L0 �0 m@ ,~�tu�u º_� 0 �' ��P n

!Jºbt−Lx �0 m@ ,6 = ºbt x �' ��P q0:#-��

! [F − [F[ = π_u �0 = c π_

u −m�0 D!~�tu�u − º_� 0− = Jº_�−L0 n

!6− = ºbt x− = Jºbt−Lx q0

#-8 �D � E:�' ��P #.'D 6

!!! = JY −L0 ��@ ~�_ = Y 0 D !!! = J� −L�0 ��@ ~�_u = � �0 n

!!! = J� −Lx ��@ _�6b = � x q0 !!! = � �0 ��@ 6b = J� −L�0 �

!Jθ − πL , θ ",�3 �/)� �,g)g.�� Q=F��BC > (�kGk��� (M*HG� 1\N�� B+ l> (�kGk��� (M*H��

�X�;7�� ��O/J� ,�−LlY J� ,�LY o�4

θ?=− = 0θ − π5?= :V�\�Cθ= = 0θ − π5=

:¿ƒfÉb

θ�0− = Jθ − πL�0θ0 = Jθ − πL0

! h@ %�B� θx �2<3 �D U�o θx− = Jθ − πLx C����

YlYJJθ − πL0 ,Jθ − πL�0L Jθ0 ,θ�0LY

θθ − π

ôcòJ

C@ �<BZ� CFB8 !?��I�� �2-�

"�

J[L �g��U�-�� ���� Y������ � ��

:�' ��P:Ió«Øe áeƒ∏©e

�3 �^ C� α �3 �/�� �Z' ��P:��@ θ �3 �/)� �F���

|θ0| = α0|θ�0| = α�0

|θx| = αx �F�P �3 �^ °�~ �3 �/�� : h�g.@

!°6[~ �3 �/)�|°6[~ �0| = °�~�0

!º6[~ �0 �0 D , 6[ = º�~ �0 D! π_b 0 �0 D , [F[ = πb 0 n!Jθ − πLx �0 D , _t = θx q0

:#-��! 6[ − = º�~ �0 − = Jº�~ − º6u~L�0 = º6[~ �0 D

![F[ = πb 0 = c πb − πm0 = π _b 0 n

! _t − = θx − = Jθ − πLx q0#-8 �D � E

:�' ��P !�U�-�� ���� Y������ � �� [!º6t~ 0 �0 m@ , 6[ = º_~0 D

!J� − πL�0 �0 m@ , bt = ��0 n �π66

6[ x �0 m@ ,_F − [ = π6[ x q0

!Jθ + πL ,θ ",�3 �/)� �,g)g.�� Q=F��

JJθ + πL0 ,Jθ + πL�0L lY

Jθ0 ,θ�0LY

θ + π θ �%&'� (M*� BC > (M*HG� 1\N�� B+ l> (M*H��

J�− ,�−LlY C@ �<BZ�#iA� �M�Z J� ,�LY o�4θ?=− = 0θ + π5?= :V�\�Cθ=− = 0θ + π5=

:¿ƒfÉb

θ�0− = Jθ + πL�0θ0− = Jθ + πL0

! h@ %�B� θx �2<3 �D U�o θx = Jθ + πLx C����

"�

J_L �g�:�' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � ��

!π�u x �0 m@ , [F + 6− = πu x n !º[6~ 0 �0 m@ , 6[ = º_~ 0 D

:#-��!6[ − = º_~ 0− = Jº_~ + º6u~L0 = º[6~ 0 D

.[F + 6− = πu x = cπu + πmx = π�u x n

#-8 �D � E!º[[~ �0 �0 m@ !~���� ºb~ �0 �' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � �� _

:�i����

θ−θ

Jθ0 ,θ�0LY�>

$>

�>

> 00θ − π5= ,0θ − π5?=5�>

Jθ0 ,θ�0−L�>

00θ + π5= ,0θ + π5?=5$>

Jθ0− ,θ�0−L$>

00θ−5= ,0θ−5?=5�>

Jθ0− ,θ�0L�>

θ − π

θ + π

JbL �g�:�0 D ,�U�-�� ���� Y������ � ��

!π[_ x q0 !º[b~ �0 n !º6t~ 0 D:#-��

!6[ = º_~ 0 = Jº_~ − º6u~L0 = º6t~ 0 D!6[ − = º�~ �0− = Jº�~ + º6u~L�0 = º[b~ �0 n

._F − = π_ x − = cπ_ − πmx = π[_ x q0

#-8 �D � E!º[_� 0 �0 D �U�-�� ���� Y������ � �� !~�u[� ºt� 0 �' ��P b

""

�6�

[�

6�

[�

θ

lY

Yθ− π [

cθ − π[m ,θ ",�3 �/)� �,g)g.�� Q=F��?�i�� l> $Q� Δ > �1�Δ

:XPIJ 2.�H?��� �fA'� �SM� >3�?��θ= = cθ − π

$ m?=θ?= = cθ − π

$ m=�K.r'� >�� b�= ��LE �+�34Y b�= VuC ,M�?/??/ M�?E��F �' :e�F���

:¿ƒfÉb

θ�0 = cθ − π[m0θ0 = cθ − π[m�0

! h@ %�B� θ�x �2<3 �D U�o θ�x = cθ − π[mx

cθ + π[m ,θ ",�3 �/)� �,g)g.�� Q=F��

θ

lYY

[�

6�

6� [

�θ + π[

?�i�� �V*SM?/ l> $Q � > �1� VkGk���?l> ,> M/ �%- X�I�34Y B+ /

?cθ + π$m= ,cθ + π$m?= M/ �%- 2�`Y /�θ?= = cθ + π$m= ,θ=− = cθ + π$m?= :�PI�

:¿ƒfÉb

θ�0 = cθ + π[m0θ0− = cθ + π[m�0

! h@ %�B� θ�x �2<3 �D U�o θ�x− = cθ + π[mx

���

Trigonometric Functions on ℝ ()* J�3�$����L �,g)g.�� �� ���:%k/ 2.?��� ]+ M/ (�<,= (_��Z/ aG_ �� 0π$ ,�x 2.?��� aG_ 0(�kGk���5 (E.<�3�� 8��3�� ��� V�� a?4 HE��

6E.N?�� 8Z/ aG_ 234�� 2��; %�\E B��*�� DNA� BC (D=���� (E��,G� B<DH�� @GT�� V� 1�� aG_ ��� ,cπ ,π$m �� cπ$ ,�@�0π$ ,�x Z θ /3H_ ��

?2��; M/ .k-� V���3�S θ (E��,G� B<DH�� @GTG� HO�� �iY �3OE �i/ M\��

�f- (D=�/ E��F D*C�.� l�� 0Q ,15 (�kGk��� D?M*� o�4 B��� @A� BC (D=�/ (E��F 1�� θ ��- �iY d�� H� M�P?E 0Q ,15 (�kGk��� (M*H�� D�� }�O& ;3_ q o�4 0π q$ + θ5 D����� eTE� B��� @A� BC DH/

�(�C\?/ E��F� ��� D�G_ �GM��!C��A� �,��� (.=3 �a@<�.�� 3� /)� Q�� �,v �,� �iD

º��� × $ − º�� ,º��� − º�� ,º��� × � + º�� ,º��� × $ + º�� ,º��� × � + º�� , º�� : efk�C

º�"�− º���− ,º���� ,º�!� ,º�"� ,º�� �º�� B��'� D��� B?�� (E��,�� @/ (�C\?/ E��,� X��� B+

Y6

6

6−

6−

lY

θθ +π[

(E��,�� @/ (�C\?/ E��,� X��� B+ , π��−� , π!−� , π��� , π�� , π� :V� �-�π� B��'� D��� B?��

:BGE / {?H?�� M\�E �]\+�

:��@ h-,-i � h��* � �' ��Pθ0 = Jπ �[ + θL0

θ�0 = Jπ �[ + θL�0K %�B� θx V,E θx = Jπ � + θLx

���

:θ D��� (E��F �' eTE� (O�O& B+ (*SL�� M����*�� V� �;� Vf\^�� M�PE

Y

Q�=�� �78G� ��� �

Y

Q02.�� �78G� ��� �J6L Q3��8

:D��� B?�� (E��,�� d�C @*� �]�� @S.�� ;34� ����π��

� n º��! D

º�"�− � π��−� q0

J[L Q3��8:%�-� ,(P�O�� (��� >�3�?�� V�3S

���������������������� = ���������������� = 0º��� + º��5= = º�"�=������������������������ = ���������������� = ���������������� = º��!?=���������������� = ���������������� = 0����������������5� = _π��−� i�

��$

:V�\�C �+ 8Z��� �P?_S (E.<�3�� 8��3�� 6E.N� 2;_Y HH\�E �SL�� .N�� M/:∞jô©J

:��@ θ ;�,� C�,��� NO2�� C@ �;02� �3 �/� �,g)g.�� �M�F�� C� J� ,�L �Z' ��P ∈ θ ∀ � = θ0 6 ∈ θ ∀ � = θ�0 [

∈ θ V,E ~ ≠ � , �� = θx _ ∈ θ V,E ~ ≠ � , 6� = θ� b ∈ θ V,E ~ ≠ � , 6� = θ�� t ∈ θ V,E ~ ≠ � , �� = θ�x �

JtL �g�:��2i F=�A ���� �UB��� F=�

!J� − º�~L0 + J� + º6u~L0 + J� + º�~L0 + � 0:#-��

J� − º�~L0 + J� + º6u~L0 + J� + º�~L0 + � 0� �0 + � 0 − � �0 + � 0 =

� �0[ = #-8 �D � E

:��2i F=�A �,���� ?��,UB��� "� d�' F %=� tJπ� + θL�0 Dcθ − π[ −m�0 n

���

Solving Trigonometric Equations á«ã∏ãe ä’OÉ©e πM

�@S�.�� @S.�� BC @*� θ− (E��,�� VuC 8�'� @S.�� BC @*� θ (E��,�� ��- �iY�0θ−5?= = θ?= V� 1�3�� �]+ BC ��GN�

�M�mGO�� ;�?_� [�G_ ?θ− �� θ ��L� (E��,�� ��- VY >,Z�� [H\�E %DC ,E��,�� K34J >�?�� b�= �C._ �iY M\��

θ�0 = � �0 :���B.�� #EJ ∈ �L π �[ + θ− = � D π �[ + θ = � 2� !N����� D � A� N���� C@ �3 �/�� N�8 ��F* hU02� �2<3 �3 �/�� Y.8 Q,0 �D �EG

J�L �g�:",���B.�� "� d�' #E

~ = _F − � �0[ n 6[ = � �0 D:#-��

6[ = � �0 DJQ�� �,v �,� �iD ()* ��* �.�BZL π_ �0 = � �0

~ < � �0 N����� N���� C@ D � A� N���� C@ N�8 � ∴

�$ ��−

�−

J ∈ �L π �[ + π_ − = � D π �[ + π_ = � ∴ ~ = _F − � �0[ n

_F[ = � �0 π� �0 = � �0

~ < � �0 N����� N���� C@ D � A� N���� C@ N�8 � ∴

J ∈ �L π �[ + π� − = � D π �[ + π� = � ∴ #-8 �D � E

!6 = � �0 [F : ���B.�� #E �

���

�B�k�� @S.�� BC @*� 0θ − π5 (E��,�� VuC 8�'� @S.�� BC @*� θ (E��,�� ��- �iY�0θ − π5= = θ= V� eTE� ��GN�

0 ∈ q5 π q$ + 0θ − π5 = 1 �� π q$ + θ = 1 : mVuC θ= = 1 = ��- �iY ,B�?�S�θ0 = � 0 ���B.�� #E

J ∈ �L , π �[ + Jθ − πL = � D π �[ + θ = � 2� !CZg�� D � A� N���� C@ �3 �/�� N�8 ��F* hU02� �2<3 �3 �/�� Q,0 �D �EG

J�L �g�:",���B.�� "� d�' #E

� �

�−

�−

º�~º6[~

[F = � 0[ n _F[ = � 0 D:#-��

_F[ = � 0 Dπ_ 0 = � 0

~ < �0 !CZg�� N���� D � A� N���� C@ N�8 � ∴

J ∈ �L π �[ + mπ_ − πm = � D π �[ + π_ = � π �[ + π[_ = �

[F = � 0[ n[F[ = � 0

��−

�−

πb πb 0 = � 0 ∴ ~ < � 0

!CZg�� N���� D � A� N���� C@ N�8 � ∴

J ∈ �L π �[ + mπb − πm = � D π �[ + πb = � ∴ π �[ + π_b = �

#-8 �D � E!~ = 6 − � 0[ :���B.�� #E �

��!

�o�k�� @S.�� BC @*� 0π + θ5 (E��,�� VuC 8�'� @S.�� BC @*� θ (E��,�� ��- �iY�dL�� %n�� �D� π + θ ,θ V?E��,��

0π + θ5� = θ�J ∈ �L ,π � + θ = � 2� θx = � x ���B.�� #E

!V�g�� D � A� N���� C@ �3 �/�� N�8 ��F* hU02� �2<3 �3 �/�� #x �D �EG

JuL �g�! = � x :���B.�� #E

:#-�� = � x

π_π + π_ ~ < � x V,E π_ x = � x

!V�g�� N���� D � A� N���� C@ N�8 � ∴

J ∈ �L π �[ + mπ_ + πm = � D π �[ + π_ = � π �[ + πb_ = �

#-8 �D � E!6 = � x :���B.�� #E u

J�L �g�:",���B.�� "� d�' #E

cπ_ − �m�0 = cπ� + �_m�0 D

cπb + �m0 = �[ 0 n

:#-��cπ_ − �m�0 = cπ� + �_m�0 D

J ∈ �L π �[ + cπ_ − �m − = π� + �_ D π �[ + π_ − � = π� + �_ π �[ + π� − π_ = �b D π �[ + π� − π_ − = �[

���

π �[ + π� = �b D π �[ + π[ − = �[ π � 6[ + π[b = � D π � + πb − = �

cπb + �m0 = �[ 0 nJ ∈ �L π �[ + cπb + �m − π = �[ D π �[ + πb + � = �[

π �[ + πb − π = � + �[ D π �[ + πb = � − �[ π �[ + π_b = �_ D π �[ + πb = � π � [_ + πb = � D π �[ + πb = �

#-8 �D � E:",���B.�� "� d�' #E �

� 0 = cπt + �$m0 n cπ_ + �m�0 = cπb − ��m�0 D

���

3-8(2) á«ã∏ãªdG ∫GhódG ø«H äÉbÓ©dG

Relations Between Trigonometric Functions (2)

º∏©àJ ±ƒ°S

• j�2vg,@ ?��M��• �,g)g� ?��*• ".c�8 ?��U* F,=U8

�,g)g� y�� �• sB� �-i �F���

�,g)g.�� ?��M�.��

CZ B8 #.*� (E��,�� �<� |= � ekGk/ ���� D 6

q0

n �(G*H/ e/3�?L/ 0|=5 ,0�5 3=�� n �� $?= + � $= ,� ?= ,� = :;ZEJ (P�4 (�U >3�?�� q0

�|= $?= + |= $= ,|= ?= ,|= = �' (E��,�� �<� '|= '� ' .rU oGk/ @/ |= ,� ,� X��M��� �.- [

�d�G_ �G74 / Mm�PE eH���� @A _�(�NS� �L�� (E��F θ ,dmG- 1�3�� �]+ BC

�(���'� (�kGk��� X*SM?��� XPIJ , (E��,�� �<� |= � oGk��� >�3�?�� M\�EQ3��8:%�-�

q0

���.���� = θ?= , ���

.���� = θ=

������ =

���.�������

.���� = θ=

��� = θ�

Basic Trigonometric Identities á«°SÉ°SC’G á«ã∏ãªdG äÉ≤HÉ£àªdG

٠ ≠ >*��� o�4 �θ� = θ?� , θ?=

θ= = θ?� , θ=θ?= = θ�q0

nh �θ= = θ?� , �

θ?= = θ�Pythagorian Identities çQƒZÉã«a äÉ≤HÉ£àe

: (E��,�� �<� |= � %S*��� %\^�� BCq0

nh θ

|=� = θ� , �|= � = θ?= , |=

|= � = θ=$0� )

$0|= �) + $0|= )$0|= �) = [

c�

|= �m + [c

|=|= �m = θ $?= + θ $=

J6L $0� ) + $0|= )$0|= �) =

BC (E��,�� �<� |= � ∵

���

j�2vg,@ �3�wZ $0|= �5 = $0� 5 + $0|= 5 ∴ ;3_ ��L� $0� 5 2.�t7�� XNS.���

@S.��� BC 2;�=���� [�]- � dNGA �]���|= � ,|= a�Y (PLH�S

|=

� = $0|= �5$0|= �5 = θ $?= + θ $= :aG_ %7O� 0�5 BC yE�N?�S�

j�2vg,@ ���M�� (.=8 6 = θ [�0 + θ [0

J6L �g�!π[ > θ > ~ , ~�b = θ�0 �' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � ��

!θ0 �0 D D!θx ��F��� n

:#-��:j�2vg,@ ���M�� Y������ D

6 = θ [�0 + θ [0 6 = [J~�bL + θ [0

~�ub = [J~�bL − 6 = θ [0 !π[ > θ > ~ �A �2@�� ~��6� − θ0 D ~��6� θ0

![�[� ~��6�~�b θ0

θ�0 = θx n

#-8 �D � E!θx ,θ�0 �0 m@ π[ > θ > ~ , _t = θ0 �' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � �� 6

Relation Between tan θ, sec θ θÉb ,θÉX ø«H ábÓ©dG

:aG_ %7O� θ [?= aG_ ���zk�C (*SM?/ BC.I H�L� �iY� ≠ θ ?= o�4 6

θ [�0 = θ [0 θ [�0 + θ [�0

θ [�0θ [� = θ [x + 6

θ [� = θ [x + 6 ∴

��"

J[L �g�:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e

~ < θ x �' ��P .;� θ�0 ,θ0 ∴

!;=>Z ��o��

,�U�-�� ���� Y������ � ��!θ�0 ,θ0 �0 m@ ~ > θ�0 ,[F[ = θx �' ��P

:#-��:(� D ��3�I

[F[ = θx[F[ = θ0

θ�0J6L θ�0 [F[ = θ0 ∴

6 = θ [�0 + θ [0 ∴

j�2vg,@ ���M�� 6 = θ[�0 + [Jθ�0 [F[L ∴θ�0 [F[ q� θ0 "* � %2* 6 = θ [�0 + θ [�0u

6 = θ [�0� 6� = θ [�0 ∴

6_ − = θ�0 D J~ > θ�0 �A �O2@�� �.,�L 6_ = θ�0 ∴c6_ −m × [F[ = θ0 :()* #I-Z J6L "�

[F[−_ = θ0

:�,Zl ��3�Iθ [x + 6 = θ [�

[J[F[L + 6 = θ [�� = θ [�

_− = θ� D _ = θ� ∴_− = 6

θ�0 D _ = 6 θ�0 ∴

6_ − = θ�0 D J~ > θ�0 �A �O2@�� �.,� C� L 6_ = θ�0 ∴[F[−

_ = θ0 1D [F[ × 6−_ = θ0 SF� [F[ = θ0 θ�0 ∴

#-8 �D � E!θ�0 ,θ0 �0 m@ ~ > θ 0 , _b = θx �' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � �� [

//<

�C� ���,.]"%�� .�^� ���!"� ���#

�θ� ,θ� ���_+ � < θ� , �IQ = θ� �\ �`O:$%��

θ� �<aO �0�%# �]3 :>�� .(0�I θ� θ� = θ�

� < θ� ,� < θ� �H � < θ� θ� = θ� ∴

θ I� = θ I� + � θ I� = I

c�IQ m + � ��cIQ = �PP + IQ

IQ = �PPIQ + � = θ I�

.*�+�� �CQ − = θ � �CQ = θ�Q�C = �

θ� = θ� θ� θ� = θ�

θ� × θ� = θ�Q�C = θ� ,�I�C = θ� c Q�C m × �IQ = θ�

���H� )#��� &+ )(J θ .0��1�� �H� �d�I = 6� ,dQ = X G'� .0��1�� 2�� 6� X Δ 2"�3 :.'3E .(0�IK<�L�'+ .0�M3 I�6� � + ?�X � = I�6� X�

?d��c = ?d�PP + ?dIQ = I�d�I� + ?�dQ� = I6� X d�C = 6� X

6�

X dQ

d�I

θ

, �I�C = d�Id�C = θ� Q�C = dQd�C = θ�

$%J � ���,.]"%�� .�^� ���!"� ���# C

�θ� ,θ� ���_+ � < θ� , IPe = θ� �\ �`O

���

Relation Between cot θ, csc θ θÉàb ,θÉàX ø«H ábÓ©dG

θ $?= θ $= + � = θ $?� + �

θ $?= θ $= + θ $=

θ $= = θ $?� + �

���5.�� Y�.�� θ $?= + θ $= θ $= = θ $?� + �

6 = θ [�0 + θ [0 θ $?� = � θ $= = θ $?� + �

θ[�� = θ [�x + 6 ∴

JbL �g�!θx ,θ�x �0 m@ ~ < θ�0 , _� = θ0 �' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � ��

:#-��6

θ [0 = θ [�x + 6b�� = 6

�b�

= 6[c _

� m = θ [�x + 6

b~� = 6 − b�

� = θ [�xb~F

_ − = θ�x D b~F_ = θ�x

J�U02�L ;=>Z ��o�� .;� θ�0 ,θ0 ∴

b~F_ = θ�x C���� ~ < θ�x ∴

!~�b�b _b~F = 6

b~F_ = 6

θ �x = θx

!6 = θ [�0 + θ [0 :j�2vg,@ ���M�� Y������ b �g.�� #E "<.3 :�wE��!X�� � E !j�2vg,@ �3�wZ Y������ �3 �/�� &$� V)g� &�� D

#-8 �D � E,�U�-�� ���� Y������ � �� b

!θ0 �0 m@ ~ < θ�0 ,tu = θ�x �' ��P

��$

JtL �g�!�0 = �[�0 × �0 + �_0 :�,���� ���M�.�� �-i �UlD

:#-��J�[�0 + �[0L � 0 = �[�0 × �0 + �_0

6 = � [�0 + � [0 6 × � 0 = !�0 =

#-8 �D � E!�[�0 = �[�0 × �[0 + �b�0 :���M�.�� �-i �UlD t

J�L �g�٠ ≠ Y�.�� V,E !θ [� = J6 − θ�LJ6 + θ�L

θ [0 :�,���� ���M�.�� �-i �UlD:#-��

[n − [ = Jn − LJn + L 6 − θ [� θ [0 = J6 − θ�LJ6 + θ�L

θ [0 θ [� = θ [x + 6 θ [x

θ [0 = θ0θ�0 = θ x 6

θ [0 × θ [0θ [�0 =

6θ [�0 =

θ [� = #-8 �D � E

![ = Jθ [�x + θ [xL − Jθ [�� + θ [�L :���M�.�� �-i �UlD �

���

»FGôKEG J�L �g�~ ≠ θ0 �2<8 �D U�o !Jπ[ ,~L ∈ θ V,E ,θ�x = θ _�0

θ0 :���B.�� %#E:#-��

θ�x = θ _�0θ0

θ�0θ0 = θ _�0

θ0~ ≠ θ0 ∴

θ�0 = θ _�0 ∴~ = θ�0 − θ _�0

~ = J6 − θ [�0L θ�0j�2vg,@ ���M�� ~ = Jθ [0 −L θ�0

~ = θ[0 D ~ = θ�0�O2@�� ~ = θ0 D ~ = θ�0

!π_[ = θ D π[ = θ C� ~ = θ�0 `�-8 C��� Jπ[ ,~L ���>�� ()* θ &,�#-8 �D � E

Jπ[ ,~� ∈ � V,E ~ = � �0 − � �0 � 0[ :���B.�� %#E �

���

Y 6�[

�2���3�� VMG� b-� ,B+f��� (HE3/ BC�.rU eP-�� %*?� ������ (_L�� ��*_ V���; Z�� v\_ 2���3�� X��;

? �'� M_ VMG� ����� / :3�O/ 8�L�?�.-� �<@ W,'

�eMM�/ ���� l�� ,(E�3S

q0^ � ���

6�[

n

θ �2���3�� 6��� 3H_ VMG� @��/ (M*H�� %k��

0 �'� M_ ����p�5 .?/ ��$ = ; |=θ − π$ = V���3�� (E��F

; � = F �F (NM*�� 8�I ;ZEY mBG_� (E��,�� �<� � � oGk��� �(�kGk��� bLH�� M_ 234��� BC d?�GN� / >3�?�s�

��� = 0θ − π$5?=

�� = θ?= θ�0 × = n ∴ ; |= + |= � = ; � �(��*?L��� @M*�� Q��r >3�?�s�

�� − |=� = |= � M\�� ; |= + �� − |=� = ; �∴

� q0 + θ�0 × − = � n ��$ + 0θ?= − �5 = ; �

� �'� M_ VMG� ����� ;ZEJ V���3�� (E��F� 2���3�� .M� 67� 8�I (C.N/ mBG_ :�.-� e�F���`,UM8

DNH7E B?�� (E��,�� 1��� �?/� ! 2���3�� .M� 67� 8�I V- �iY �'� M_ VMG� ����� 3=�� ,f_� (�sL��� BC �º�� 2���3G� B��.�� ��O��� @/ VMG� 3N*/

�,@OP ��m=� ��� 3N*/ DNH7E B?�� (E��,�� 3=�� � �'� M_ .?/ ��! D�3_� @��.�� �?/� � +.M� 67� 8�I 2���; ��� b-�

�� e.?/ ���� ����� aG_ ��� V- �iY 2���3G� B��.�� ��O��� @/

πFÉ°ùªdG πëd ó°TôªdG

��!

áæeÉãdG IóMƒ∏d »ª«¶æJ §£îe

?��M��

?��U* F,=U8

?��B�� �,g)g.�� �� ��� ",�

J[L

?��B�� �,g)g.�� �� ��� ",�

J6L

n=EJ[L ?g)g.��

��$�� C@ ��E2��

Cl��E�� H2�=.�� �� ��,g)g�

?��oP�,g)g.�� �� ��� #E

�,g)g� ?G�B�

?��oP ���� n2)��

�,g)g�

F,=U8�3�U0 ?��,UB8

�3 �^�F���

���

¢üî∏e

��234��� 2.<�;� a�L� 234� 34�� +.M� 67� 8�I� %&'� (M*� +,-./ B?�� 2.<�3�� −��(�kGk��� (M*H��� a�L� 234��� 2.<�; @/ B��*�� @A��� BC (D=�/ (E��,� B<DH�� @GT�� @I*� (M*� −

(E��,G� B<DH�� @GT�� DNH7E B?�� α 2;O�� (E��,�� B+ B��� @A� BC B?�� 0|=� ,��5 (D=���� (E��,G� ;H�J� (E��F −�0º"� > α > º�5 �XH�L�� ��O/ @/ (D=����

� ≠ >*��� θ?=θ= = θ?� ; θ=

θ?= = θ� ; �θ= = θ?� ; �

θ?= = θ�

Q = θ= o�4 θ= = 0θ5; :b�Z�� (��; −1 = θ?= o�4 θ?= = 0θ5; :>�?�� b�= (��; −

� ≠ 1 ; Q1 = θ� o�4 θ� = 0θ5; :%n�� (��; −

� ≠ 1 ; �1 = θ� o�4 θ� = 0θ5; :@I*�� (��; −� ≠ Q ; �Q = θ?� o�4 θ?� = 0θ5; :>�?�� @I� (��; −

� ≠ Q ; 1Q = θ?� o�4 θ?� = 0θ5; :>�?�� %� (��; −�(P=�/ (�kGk��� 8��3�� @��= 8�'� @S.�� BC −

�(P�� 8��3�� (�*S� V?P=�/ θ?� ,θ= B�k�� @S.�� BC −�(P�� 8��3�� (�*S� V?P=�/ θ?� ,θ� o�k�� @S.�� BC −

�(P�� 8��3�� (�*S� V?P=�/ θ� ,θ?= @S�.�� @S.�� BC −�DL�� (�G&'� (�kGk��� (��3�� 2�`Y B+ (�kGk/ (��; ��G*/ 2�`Y −

���

:(�kGk��� 8��3�� M�S (���'� X�fN�� −θ�− = 0θ−5� ;θ?= = 0θ−5?= ;θ=− = 0θ−5=

θ�− = 0θ − π5� ;θ?=− = 0θ − π5?= ;θ= = 0θ − π5= θ� = 0θ + π5� ; θ?=− = 0θ + π5?= ;θ=− = 0θ + π5=

θ= = cθ − π$m?= ;θ?= = cθ − π$m= θ=− = cθ + π$m?= ;θ?= = cθ + π$m=

}�O& ;3_ q o�4 θ?= = 0π q$ + θ5?= ;θ= = 0π q$ + θ5= ���zk�C (*SM?/ a�L� � = θ $?= + θ $=

� ≠ >*��� o�4 �θ $?= = θ $� + � = θ $�

� ≠ >*��� o�4 �θ $= = θ $?� + � = θ $?�

���

IóMƒdGá©°SÉàdGá q«∏«∏ëàdG á°Sóæ¡dG

Analytic GeometrymáØ«Xh oQÉ«àNG :IóMƒdG ´hô°ûe

�� ?������ � ���� �� ?������ ��� ������ �� ,�� � � �� � �!" ?�� �� � � �# :$%&'� ���(� ) �� �*�+-� .�� /���0� ��(�0� 123��� 4" ?���53 ��* %6 ������% ��* �7��(� �8� ��9 ?;�<�(��= >@� A�B�

C���9 ��D=E� ;@# %6 F��E� ���G� H@8� ��� 123��� 4�B���% ��(�0� U�MG� 4�=&� K�= ,$%&'� �@# .�� ���� FL5

C�5�� M��� H!�8� ;@# 4���G�0� K�=% �N����C����52� & &B� M� ����� ������ %6 ��� ����5� CO* P�� �� F%6 F�Q �� RGS �T3�U� :K��� V

C�B=�Q �W% � &���� �=� X��%6 :PY���� Z:[�BM�� F�Q ��D=6 \

1���0� 3�� 4�� C����% �9 F�5�� O�� �]�B� U�MG�* ��7��* _L�`� �=�� C������ ������� ���0� �� &+E� ��� �+%6 &0� ��9 a&S� ,1���= b c�� �76 d�&��� .�� C�=6&� ��U� .�� F�5�� ���% �(�E� ��U� .�� )e% e ��*

C�������� ��* F�5�� X&� �7��B� ��`�� ,����B=6 �B &< f�� )ee /&+6 �� �0U % 1� ��U� 4�&�6 �Q6 �� ��� g�( ���0� �� f�� \ee F�8� �76 d�&��� .��

:�B+% �T � _0�� Vhe ���� M���% $�B=E� �� P� 6 h FL5 ���= i ��� c89 �!"C� ����% �B &�� j�0�Q� ��* �Q�% $�B=6 �� �U*� ���� �]�B� �3��� k�9� 6

?1�3��� ��U� M� MI�(�� �` �!��% ?mi �����n ��� �] �!�� ��U� ;@# �� j ?� ����% �B &�� j�0�Q� ��* � _0�� ohe % � _��8 3 )\ ����� �U*� >%�0 �9 ��p� �� ���= �9 q+

�3��� k�9� C� ����% k��&� r�Q �� �����B�=% ������ ;@# 1��*�s " �� Ot=� CO����% F�Q �80� _L+� �%�Q 3 C� ���� j�0�Q� ��* ���B=E� O�53 ���� �]�B�

C��D=E� �� �*�+u ��8� v3���=2�% ��7��B� 1L�`�� �=� ����9% ����% �9 �53 �7��(� F�Q _L��� � _& &(� M< :& &(�� hIóMƒdG ¢ShQO

�T��Q-� w��0� ��M� ��0(���(�0�

FG� �����(�0�

FG� �3�����(�0�

�M(7 ��* ��B���(�0�%

v&N��� �3���

)−yV−ym n Z−ymjnZ−y\−yh−y

���

(áÑ°ùàμªdG á≤HÉ°ùdG ±QÉ©ªdG) ¿B’G âfCG øjCG• C�T��Q-� w��0� .�� U�(8� M�� ��9 c���• Cz��{�`�� � &|7 [�BM� ����9 c���• C����*&�� �%@s�% �(�M� ��(� �+�� ��9 c���

?º∏©àJ ±ƒ°S GPÉe• C���M(7 ��* ���0� �+�� K�=• C��(�0� ��M� F�I �+�� K�=• C��(�0� ��M( ���8� �M(7 1��T��Q" 3�U� K�=• ��(�0� ��M� ��0(� �M(7 1��T��Q" 3�U� K�=

CH��G� ��% �5��� ��• C��(�0� F5 ��� j�0U* P�(� K�=• CO��� K&��% O8� �M(7 K&�� ���8� ��(�0� F5 �=&* P�(� K�=• C� %�p� ��% ��(�0� ��� ��* ��L�� K&��� K�=• Cv������ %6 � Y���� 1��(�0� �3��� k��� K�=• ��� ������* ��(�0� FG� �3��� v��} K&��� K�=

C���M(7 %6 �M(7%• C��(�0�% �M(7 ��* ��B� K&��� K�=• C���3���% v&N��� K&��� K�=• C�������% v&N��� �3�� ����� v���� K&��� K�=• C�#&M� ��7 F�I% v&N��� p9&� �+�� K�=• Cv&N�� i�� �3��� k��� K�=• C>��0� �� ���&N�3 ��* ��L�� K&��� K�=

á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üªdG L�� − � %�p� �� − ��(�0� ��� − ���8� �M(7 − ��(�0�% �M(7 ��* ��B� − ���M(7 ��* ���0� − ��(�0� ��M(� F�I ��7 − v&N��� p9&� − v&N��� �3��� − v&N��� − ��(�0� FG� �3��� − � ������ ���(�0� L�� − �� Y���� ���(�0�

Cv&N��� i�� − v&N��� &M�

IóMƒdGá©°SÉàdG

�~����U�� �=�8��% 1��� 3mP)ohe − )hyon

�<� &� Descartes 1��� 3 O�8 � 3��� ��* F*� >@� �# ,�07&�� K�0����% ,�����U�� �=�8�� �8 ���76 �� �@#% �M(8�% �� 4 ~��� �T��Q-� P�|8� &��*� r�Q ��U�n ���I�(�� � ������ � ��U� O�M=��* >@�% ,m1�3��� ��U�% 1�8�0� w��0� �� �M(7 �9 �� &�B��� �� P��G�=�*% Cm� ,in ���(�(Q � 3��* cB` 46 1��� 3 $�M�=� ,�T��Q-� P�|8� � _&B�� ,�~ ����-� �=�8�� ]���5 �9 �U} 123��* 1��8U8�% 1��(�0� �� /&U�� ���� �M(8 1���0� �#��B���* � &B+

Cm� ,in��* ��L�� ��U� U%&'*

∂JÉeƒ∏©e ≈dEG ∞°VCG

1��� 3 O�8 �

���

���8�7% &��7 �8�3 � �� �� U���� ��� �� ����� ���� ������ !��"

#$%��� �� �� U&��� '�(�!�) ���� )

#�*��� �� ���+���,- .� $� /0I !234 V

#52 6 .�� 7� �� 8" Z

����9�� '�(�!�:� �;2 .� - , .� $%�

#�;2 .� 52 ,63?<�=> �@� �

��−�−�−�−

A

A

B

B

C

C

D

D

E

E

��

��

��

��

��

��

�A�B�C�D

652

- 8

F 3G

5H

7

º∏©àJ ±ƒ°S

• ��* ���0� 3�s "���M(7

• 1��T��Q" 3�s " ��M� ���8�

��(�0�

Distance Between Two Points ø«à£≤f ø«H áaÉ°ùªdG

mV ,)n mV ,hn jmZ ,\−n 3

mV− ,\−n q+�−�−A−B−C− �−

�−A−B−C−

� � A B C��ABC

I�%�J #K��&�4 �LMN ���9�� "0O�P� �JQ�0� 6 ,"9��� R�) FMT��� �� #6 �M&�P� ���9�� �(�!�:� .� �M&�P� ���9�� �(�!�:� U�M� ;�0I -VJ)

CF�I v�Q% \ = |) − h| = 6 /0I X-��� "0O�P� �JQ�0� �LM - 52 /0I -VJ) I�%�J ,;9 Y �&J�M��3

�(�!�:� .� 52 �M&�P� X-��� �(�!�:� U�M� I�@3 K��*4" �LMN #- �M&�P� X-���

CF�I v�Q% h = |mV−n − Z| = - 52 /0I

»KGóME’G iƒà°ùªdG

Coordinate Plane

1-9

���

�&�4 ��&�9� RP� �9�� K�Z , �[N 6 , K�Z ,�[N .��M&Y X4 ��N �J3�\�� �] ^P_� `�a3 b�Y�� �;P�_�> .%�J ,�*4" ��&�9� 34

#K$�&��� $%��� �� .�+� 0H#6 , .��M&��� .�� ��9��� -VJ: c"0d_�� �J�eY �!T�9Y

z��{�`�� � &|7 �K52 6N + �K52 N = �K6 N� ���� �K�Z − �ZN + �K�[ − �[N = �K6 N

�=�=E� ���*&�� �@s� �K�Z − �ZN + �K�[ − �[NF = 6 :¿ƒfÉb

�K�Z − �ZN + �K�[ − �[NF X39> K�Z ,�[N 6 ,K�Z ,�[N .��M&Y X4 .�� ��9���

# g=�� gL��� "hV�� ��=� iO> ���&�� iY� �@) jk) ,��+J�&> ��2) �+*O�� ��l� �ML> ���� .��M&Y .�� �&�!�� ��9��� 80Y&�� �MLJ

��

� A B

F

/C D�−�−

�−A−B−C−D−E−

m)n F�`�CmV− ,ZnF , mh− ,)n / ��* ���0� �+%6

Vm)� − V�n + Vm)i − VinF = ���0� :�U� Vmmh−n − V−n + Vm) − ZnF =

VmZn +VmVn F = F�I v�Q% Z�o ⋍ )ZF =

CF�I 1��Q% Z�o .��Q >%�0� F ,/ ��* ���0��U� 46 F%�Q

Cv&'� �� gp+ j&�6 ." ��*�+" j ]&� C m\ , �−n4 , m) ,V−nP ��* ���0� �+%6 )

)i

V�

)�m)� ,)in

mV� ,Vin

)i −Vi

)� − V�Vi

j

���

Midpoint ∞°üàæªdG á£≤f

)−)−V−

Z �

6V)

) V Z \ h o

\h

#6 m���� �M&Y � #n0�9��� �� 8�M&Y 6 , #6 � , � .��&�M�� .��LM R�) 6 �LM&�� �9&> � �M&���

:¿ƒfÉb

C �Z + �Z� = Z , �[ + �[

� = [ �� KZ ,[N� �H m������ �M&Y '�(�!�) 8o� ,K�Z ,�[N 6 ,K�Z ,�[N iY� �@)

)−)−

mh ,)−n q+

me ,Zn 3V−Z−

V−

ZV)

) V Z \ h o

\h mVn F�`�

Cme ,Zn 3 ,mh ,)−n q+ r�Q 3 q+ ���8� �M(7 �+%6 �*�(� ��'� �� a e + h

V , Z + )−V k = a �� + )�

V , �i + )iV k :�U�

ahV , VVk =

mV �h , )n = CmV�h , )n �# 3 q+ ���8� �M(7

)−)−m)− ,Z−n /

mV ,hn F

V−Z−V−

ZV)

) V Z \ h o

\h

�U� 46 F%�Q F / ���8� �M(7 �+%6 ,�*�(� ��'� �� V

CmV ,hn F ,m)− ,Z−n / r�Q

��A

me ,en me ,\en me ,ben

mho ,benmho ,\enmho ,en

»FGôKEG mZn F�`� c�<�� C�}��� �� �#L� �8 �� g�8* 1�9&'� w�Q" 13��6 v��3" k{&�% C��0�N� �5��� o �� 4�� 46 .�� �*�(� ����� v3�+�� v����7 �9 4��� 46 .�� g�� �������7 k�9&� �� �9&'�

:�#L� �8 �� �� �5��� ��*�6 �� v�Q�% ���0� .��?�������8� ����# k�9&� M��� k076 3�Q 6

?��8�* ���0� �� j:�U�

� &M(� MI�(� �M(7 .�� 4��� 46 ks ��0�� ��s .%E� v����8� 6 Cmho ,en ;mho ,\en ;me ,\en ;me ,en O=%�� >@� ��M�0�

k�9&� M��� 4�� �@ &M� �9 ���8� �# � &M(� MI�(� �M(7 a e + ho

V , e + \eV k �M(8� �8� v����8� ;@#

ks ���� ��s ��7�`� v����8� CmVb ,Ven �M(8� �8� >6O=%�� >@� ��M�0� � &M(� MI�(� �M(7 �8� 4��� 46

Cmho ,\en ;mho ,ben ;me ,ben ;me ,\enk�9&� M��� 4�� �@ C&M� �9 ���8� �# � &M(� MI�(� �M(7

me ,en me ,\en me ,ben

mho ,benmho ,\enmho ,en

a e + hoV , \e + be

V k �M(8� �8� ��7�`� v����8� CmVb ,oen �M(8� �8� >6

�������8� ��* ���0� j

)

))−)−

V−

V−

VZ

V Z

&�����9 V >%�0� �%�U� .�� F�I v�Q% �9

Vm)� − V�n + Vm)i − VinF :v���(� P�G�07 \e = Vm\en F = VmVb − Vbn + VmVe − oenF =

CF�I v�Q% \e 4��� K�= ���0� 46 >6 �U� 46 F%�Q

Fp8� M( % j�8+ ) ,X&S V M��� �� �=��� M(� Z M��� �T��Q-� w��0� .�� �]�� CF�S Z ,X&S Z ��5��5 Fp8� �� ���0� �+%6 �T ,��5 Fp8� M���% �=���

C�=��� ." CmV ,Z+n �8� F�S V ,X&S Z M��� :�|QL�

��B

�_�� ��8�� �LM&�� /0I !J\J #/0M�� �� P�T� .��LM R�) ;��9&> "VY !J�J ,�* �� ;�0I ��+�p �LM

#n�q��� �LM&�� /0I m�Y X39J � n�q��� /0I .� n�+%��#.��LM&�� .� j$� /0I !234

:�U� �(=( n�+%�� �LM&�� /0I 80%�� ,.�&�M�� .��9 R�) ;�9&�� n�q��� �LM&�� �J!� 84 r�� �� /0I �9&Y3 #�&�M�� �94 C R�) ��+�T�� �LM&�� �9&Y �Y4 ��LJ �hH �����3 ,.��9&�� !�4 /_�4

#�* �� RP� $�O�� �94 C R�) �* �� �+�T�� A : � �+9�� ��+�T�� �LM&�� ��9 �Y4 <�k

�* AD = �� × � = n�q��� �LM&�� /0I 80%���* CB = �� × A :n�+%�� �LM&�� /0I3

º∏©àJ ±ƒ°S

• ��M� ��0(� �5��� �� ��(�0�

C������ �B08*• ��M� ��0(�

H��G� �� ��(�0�C������ �B08*

Internal Division πNGódG øe º«°ù≤àdG -1>���� F�`�

# �;2 .� $p�!�� .� A:� �+9�� 6 ��9&> 60PM���3 KD ,��N 6 ,KB ,CN ^�O� ���&�9� �LM 6 .%��

)−)−

ZV)

) V Z \ h o � b y )e )) )V

\ho

m\ ,hn

mo ,)en j

m\ ,)en 3

Z:q+V

#��9&��� �M&Y '�(�!�) !234:�U�

��9&��� �M&Y �H KZ ,[N 52 .%��#��0PM���

#- �� �J3�\�� �] 6 - ^P_��� �*�YKB ,��N �H - '�(�!�) :�>l� <�=Y

- �;2 .� A :� �+9�� ;��9&��3 � = - 6, �t� = � × �

C �H .Ju\V�� k0I 80%J,��>���� RP� �t� = � × A

C#KBt� ,��N �H - 6 ��9&> �M&Y 80%>3 �;2 .� A :� �+9�� ;��9&��3 C = - , � = C × �

C �H .Ju\V�� k0I 80%J��>���� RP� A = C × A

C#KB ,EN �H - ��9&> �M&Y 80%>3

#KBt� , EN 52 80%> I�h�3

2-9᪫≤à°ùe á©£b º«°ù≤J

Dividing Line Segment

��C

:áeÉY áØ°üHh

,K�Z ,�[N ^�O� ���&�9� �LM 6 iY� �@):8o� KZ ,[N 52 ��9&��� �M&Y iY�3 $p�!�� .� 8 :� �+9�� �;2 .� ;��9&> -��J3 K�Z ,�[N 6

�[ 8 + �[ �8 + � = [

�Z 8 + �Z �8 + � = Z

:v��� X!�;���� /_�P� KZ ,[N 52 ��9&��� �M&Y -w) .%�J3E = AC

C = C × A + �� × �A + � = [

Bt� = �BC = B × A + D × �

A + � = Z

6 KD ,��N KB ,CN

A � �+9��KZ ,[N 52 ��9&��� �M&Y

a B × A + D × �A + � , C × A + �� × �

A + � k =m \�b , � n =

+

$p�!�� .� ��9&���

m �Z 8 + �Z �8 + � , �[ 8 + �[ �

8 + � N 52

KZ ,[N

K�Z ,�[N j

q+�m�Z , �[ N j m�Z ,�[ N

P4K�Z ,�[N +

4

��D

mZ ,h−n m\− ,�n j)Z +

q+

j

)))−Z−h−

V−\−

Z h �

V

m)n F�`� Z:) �B08* ��+ �� j ��0(� �M(7 �+%t� Cm\− ,�n j ,mZ ,h−n 4�9 �!"

C�5��� ��` )� 4 + V� P

4 + P , )i 4 + Vi P4 + P j = m� ,in ��0(�� �M(7 :�U�

= h\ = Z × Z + m\−n × )

Z + ) = � ,V− = b−\ = mh−n × Z + � × )

Z + ) = i)�Vh

Cm)�Vh , V−n q+ :�# ��0(�� �M(7�U� 46 F%�Q

Cj ∈ q+ , j q+ = q+ V r�U* q+ �+%t� CmZ ,V−n j , m\− ,Zn 4�9 �!" )�V :) = j q+ : q+ :3�S�"�

C�*�+-� ���(�� �� [(U�� .�� ���0 O8�% �U� �� � _gp+ f� �=&� :�|QL�

mVn F�`�,my ,hn j , m\ ,Vn 4�9 �!"

V

V

\

\

o

o

b

b)e)V

m\ ,Vn

my ,hn j`

h�b

, Z)b j

q+

Ch:Z �B08* q+ �M(7 �� j ��+ �� �5��� �� j ��0(� 3�& % Cq+ �M(8� 1��T��Q" �+%6

:�U� Z

h = j q+ q+ r�Q q+ �M(8� 1��T��Q" � ,i ��� 3�s " j��M�

:k��7 j ��+ �� �5��� �� ��0(�� v���� P��G�=�* C�5��� ��m\ ,Vn my ,hnj

h Z +

h�b = y × h + \ × Z

h + Z = � ; Z)b = h × h + V × Z

h + Z = i m h�

b , Z)b n q+ 4����

�U� 46 F%�QC q+V = j q+� :r�U* j .�� q+ �M(8� 1��T��Q" �+%6 Cm� ,\−n j , mZ− ,Vn ��� V

��E

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J mZn F�`� ��� O( �} Fp8� M( �8�* m\ ,hn �M(8� �8� 4�M�= Fp8� M(

�−�−�−A−B−

A��

� �52

8MP* /\��

-00�� �MO�

!;� /\��6

A B C D E �

BCD

CmZ− ,Vn j �M(8� �8� �M(8�* c�`� �!" 3���� �MU�% ��p8� L9 ��* ��B� �B07 �+%6

Cme , VZ� n q+

Cv�Q�% ���(�=� .�� j , q+ , U�(8� 4t* � _�� :�U�

4�M�= Fp8� ��+ 4 : P ��0(�� �B07 46 d&�7C�5��� �� ��M� ��0(� P��� 4�7�(� P�G�07 , ��B� �B07 3�s -

a )� 4 + V� P4 + P , )i 4+ Vi P

4 + P k q+

a \ × 4 + mZ−n × P4 + P , 4 × h + P × V

4 + P k = a ٠ , VZ� k

m\ ,hn mZ− ,Vn j

P4 +

e = 4\ + PZ−4 + P :�U� w&56 �( &I VZ

� = 4h + P V4 + P ∴

e = 4 \ + PZ− 4 VZ + PVZ = 4 Zh + P)\4\ = PZ 4)V = Py ∴

���U� �Q6 �� �B08� 3�s �* g���92� �8� O76 �Q2 \Z = P

4 \Z = P

4 C4�M�= Fp8� ��+ �� Z : \ �# 3���� �MU� ." ��p8� L9 �� ��B� �B07 4��� ,�@*

C��� Fp8� ��+ �� \ : Z �# 3���� �MU�% ��p8� L9 ��* ��B� �B07 :�|QL�

�U� 46 F%�Q ��+ �� �5��� �� j �0( �#% ���% 4�M�= �p8* ��� ��(�0� .�� ��} Fp8� M( ,mZn F�`� �� Z

C��} Fp8� 1��T��Q" �+%6 Ch:\ �B08*

���

External Division êQÉîdG øe º«°ù≤àdG - 2

>���� F�`�,K� ,BN 6 , K� ,�N .%��

�−�−

A��

� � A B C D E � � ��

��

�� ��

BCDE��

K� ,�N

K� ,BN 6

KZ ,[N 52 #B:� �+9�� 52 �M&Y �� 6 �;2 .� x"T�� .� 6 ��9&> -��J3#52 '�(�!�) !234

:�U� 6 ∉ 52 , j ∈ 52 ^�� KZ ,[N 52 .%��

B:� = 52 :6 52� :A = 52 6 : 6 84 ��LJ �hH3

# �;2 .� $p�!�� .� � : A �+9�� 52 �9&> K� ,B N 6 84 X4

:84 !VY $p�!�� .� ��9&��� y!� z�+M�� � + [A

B = � × � + [ × A � + A = B

,C = [ ;��3 �D = � + [ A :84 !VY I�@ .�3� + ZA

B = � × � + Z A� + A = �

,�� = Z ;��3 A� = � + Z A :84 !VY I�@ .�3#x"T�� .� ��9&��� �M&Y �H3 K�� ,CN 52 84 X4

:áeÉY áØ°üHh

�0(� ��� m� ,in q+ �M(8� 4�� mV� ,Vin j , m)� ,)in c7�9 �!" )i 4 − Vi P

4 − P = i :�����T��Q" 4��� j ��+ �� P :4 �B08* H��G� �� j )� 4 − V� P

4 − P = �

:����9 �(*�0� ��0(�� �M(7 3�s " �� :�|QL�V� P − )� 4

P − 4 = � , Vi P − )i 4 P − 4 = i

mV ,)n m� ,in q+

Z) +

K�Z ,�[N

KZ ,[N 52K�Z ,�[N 6

� 8

K�Z ,�[N 6 K�Z ,�[N

4 P −

���

#6 �;2 .� X!�;���� /_��� RP� x"T�� .� ��9&��� y!� z�+M��

KZ ,[N 52 K� ,BN 6 K� ,�N � B −

C = � − �DA = � × � − B × B

� − B = [

�� = � − A�A = � × � − � × B

� − B = Z

# z�9�� $O�� �� {9 Y {�P� �P�� � 0H3 K�� ,CN 52

k ���# �;2 .� B :� �+9�� x"T�� .� 6 ��9&> �M&Y !234

#K� ,BN 6 , K� ,�N ^��

m\n F�`� CZ:V �B08* q+ �M(7 �� ��+ H��G� �� j ��0(� 3�& % ,m) ,V−n j , m\ ,)n 4�9 �!"

Cq+ �M(8� 1��T��Q" �+%6:�U�

m) ,V−n j m\ ,)nZ V −

C VZ = q+

j q+ r�Q H��G� �� q+ �M(8� 1��T��Q" � ,i ��� 3�s " j��M� :k��7 ��s H��G� �� ��0(�� v���� P��G�=�*

)e = )e−)− = \ × Z − ) × V

Z − V = � ;� = �−)− = ) × Z − mV−n × V

Z − V = i m)e ,�n q+ 4����

�U� 46 F%�QC b :Z �B08* j ��+ �� H��G� �� j �0(� ��� q+ �M(8� 1��T��Q" �+%6 Cm) ,Zn j , mV ,V−n ��� \

�A�

»FGôKEG mhn F�`� ���(�=� .�� &(�% f'�% d�E� 4��� K�0�� g�8T6 f'�% d�E� ��* ���0� C��*�(� v���� ��B� �9 v�Q�% &(�% d�E� ��* ���0�% �_B &(� �9 )\y oee eee

C�_B &(� �9 Zb\ eee ��M(� .�� &(� ��+ H��G� �� ��0(�� �B07 �+%6 6

Cd�E� �+�� r�Q f'�% &(� ��* ��}��� ��(�0� Cf'� �#% �}E� �M(7 ;p9&� �T��Q" w��0� @5t8 j

?d�E� 1��T��Q" �# �� ,m)e ,on 1��T��Q-� O ��U� ;@# �� &(� 4�9 �!":�U�

�9 Zb\ eee = &(�% d�E� ��* ���0� 6�9 )\y oee eee = f'�% d�E� ��* ���0�

)V\ o�h = Zb\ eee

)\y oee eee = �B08�:k��7 f'�% &(�% d�E� ." �B08�* H��G� �� ��0(�� j

me ,en m)e ,on \o�h )V

&(�f'�−

\o�h × o − e × )V\o�h − )V = i

o�e)h i \o�h × )e − e × )V

\o�h − )V = �)e�eVo �

m)e�eVo ,o�e)hn :�_B &(� �# d�E� 1��T��Q" 46 >6�U� 46 F%�Q

C &(�% f'� ��* ���0�d�E�% f'� ��* ���0� :��0(�� �B07 �+%6 ,mhn F�`� �� 6 h

?&(� 1��T��Q" �# �� Cm)) ,�n �# d�E� 1��T��Q" 46 �8<&��� �!" j

d�E�

&(�

f'�

:k��

d�E�

f'�

&(�

�9 )\y oee eee �9 Zb\ eee

�A�

( ) 3-9º«≤à°ùªdG §îdG π«e

Slope of a Straight Line

���8�7% &��7 �8�3#|�\��� !��� !�4 "9� FMT��� $_�J

?6 R�) .� �*4��� ��q��� � )?- R�) 52 .� ?52 R�) 6 .�

?6 R�) .� �&�}� ��q��� � V?- R�) 52 .� ?52 R�) 6 .�

�&�}� ��q��� R�) �*4��� ��q��� �+9Y � Z?�LM $%�

#� ~9� ? g� >"� �_�}� �H �P��� X4 \

C

C

��

K"��}

�N �*4�

�� `�0

��

K"��}�N �&�}� `�0��

��

�C

�C

��

6

52-��

�C A�

º∏©àJ ±ƒ°S

• &���� F���• ��� 3�s "• ��(�0� ��� ��* ��L��

� %�p� ��%

Rate of Change ô«¨àdG ∫ó©e

�L���� &���� F��� ��9J #8 P�T� �j�q> k!L� �;� 52 6 ,6 ,�=�4 FMT��� �� .����%�� n!�) iM+>"� �@) gO�Oa �PJ � 80%J #"����*� 8���q�> .����� .�� �=L��

:8o� n�p}�Z `���� ��q���� �� ��q���

[ $&�9��� ��q���� �� ��q��� = ��q��� /!L�

m)n F�`�?O0�7 �# ������� ���� �� &���� F��� �# C&���� F��� �+%6 ;�736 F%�s� �� 1�7��B� P��G�=�*

:�U�P� E� 3��* ����� FB�&� ����� �� &����

P� E� 3�� �� &���� = &���� F���

)�h) = ��h − y

V − Z )�h) = o − ��h

) − V)�h

) = )e�h − )V\ − h )�h

) = y − )e�hZ − \

:á«°VÉjQ áeƒ∏©e

����9 ��* �7��(� �# F���C����G� i��� 1��Q�*

j�=�U� &�+t� ���9 P� E� 3��&�7�73 o )

&�7�73 ��h V&�7�73 y Z

&�7�73 )e�h \� _��8 3 )V h

�A�

)�h) �# ������� ���� �� &���� F���

C F%�s� 1�7��* �9 �� O0�7 �# &���� F��� ,����*%CF ]%E� P��� ��* P� �� ��8 3 )�h 3�3p� j�=�U� &�+t� ���9

�U� 46 F%�QC�7�`� P���% f��G� P��� � _��G�0� &���� F��� �+%6 6 )

1�7��* �9 �� O0�7 �# &���� F��� 46 �8� ������ P� E� �� �Q�% H%p &���� F��� 3�s " �# :���7 &���� j C��*�+" & ]0� ?F%�s�

&���� F��� 3�s - �7��B� �=&� P��G�=�K� P%�� ,�J}� -!�N �+>���� x�3Q}� 84 �Y�+�� �*��� .j�+J

#��&�9� Fp RP� y-020� K�N /_��� ��#�j�Mp �H /3!V�� 'Y��

#��q��� /!L� -VJ: �Y�+�� �*��� ��!T�*� .%�J #�=6&� "0O��� RP� `���� ��q���� .��L> ��J3 �&�}� "0O��� RP� $&�9��� ��q���� .��L> ��J

Finding The Slope π«ªdG OÉéjEG

��!T�*� �-VJ) .%�J ��&�9��� $�� 84 z+* � �� i*"-#�=L��

�=6&� &�����(�E� &���� = ���

� ��−�− � A B C� 1��Q% h���� ."

KV ,\ N

Kh ,)−N 1��Q% Z��=E� ." �

ABC $�&��� $%��� ��0��� ��&�9��� $�� g=_��

�=6&� &�����(�E� &���� = ���

h − Vm)−n − \ =

Z −h = C Z −h >%�0 ��(�0� FG� ���

:ôcòJ

�_B+�� 4�� 46 �� &���� F���C� _&�} %6 �_B�= %6

�� � A B C

BD�

����

K��J0%

�� "�J!�

�N � P%

��

�J}� -!�

�AA

#{P�� -VJ: ��&�9� Fp RP� .��M&Y ��!T�*� .%�J I�h� ,"9��� R�) �Y�+�� �*��� ��

:������ �q���� �!T�9Y (V� , Vi) 6 ,()� , )i) ^��, 6 $�� -VJ:

e ≠ )i − Vi , )� − V�)i − Vi = �=6&� &�����

�(�E� &����� = ���

�� 6 �M&�P� X-��� �(�!�:� Y4!� �@) , g=_�� #$���� -VJ) !�� .��M&��� '�(�!�) ���� �� !��L��� ��>���� y���� �VJ#�&��� �� 6 �M&�P� ���9�� �(�!�:� u!+�� �V�� F9+��

mVn F�`�Cm� ,hnj , m) ,V−n ���M(8�* & >@� ��(�0� FG� ��� �+%6

:�U� )� − V�

)i − Vi = ���

d ]�� ) − �mV−n − h =

F ]0* o� = C o

� >%�0 j ��(�0� FG� ���

�U� 46 F%�QCU�(8� �� H%Y ��* & >@� ��(�0� FG� ��� �+%6 V

mZ ,�−n4 , mZ ,\n P q+ mV− ,Zn/ , m\ ,)−nX j m� ,\n3 , mh ,Vnq+ 6

)i − Vi

()� , )i) ( V�

, Vi) )� − V�

j

�− E KE ,CN 6 K� ,�−N

K�−N− C

�AB

k+�� ��(�0� ���

�(�E� ��(�0� ��� � _&�} >%�0

�=6&� ��(�0���� O f�

k�= ��(�0� ���

mZn F�`�Cv�Q�% ���(�=� .�� q+ ,j , U�(8� 46 cBT6 Cm�− ,)−n q+ , mV ,Vnj , m)− ,)n :U�(8� �T��Q-� w��0� �� @5t7

:�U�Z = m)−n − V

) − V = )� − V�)i − Vi = j ��� = )P

Z = o−V− = m)−n − �−

) − )− = )� − V�)i − Vi = q+ ��� = VP

Z = VP = )P 46 >6. �M(8� �� 4�9&�' ��8�% q+ �� j Cv�Q�% ���(�=� .�� q+ ,j , U�(8� 4���

�U� 46 F%�QCv�Q�% ���(�=� .�� mZ− ,Zn q+ , mh ,)−nj , m)− ,Vn U�(8� 46 cBT6 Z

� ��&�9��� �hH $��3 '��9�� "0O�� �20��� �V>k� `� ��&�9� ;L��J ���� θ �J3�\�� $� .�� �=L�� 84 ��h>.θ �� = P :�H

�AC

m\n F�`�C % j � %�p� �N�� r�`� �� j � %�p� �|* O7���% me ,V−n j , m\,en r�Q j ��� �+%6

%� ��−�−�−

�−A−B− � A B C

�%

�ABC

me ,V−n j

m\ ,en

:�U�)� − V�)i − Vi = ���

d ]�� e − \mV−n− e =

F ]0* \V = V =

V = j% , \ = % : j% r�`� ��V = \

V = %% j = j��

V = j ��� = j��

�U� 46 F%�QC)θ ��=��� ��� �+&�8� � %�p� ��% Vθ ��=��� ��� v3�U� � %�p� �|* O7���% 4 ��(�0� ��� �+%6 \

� ��−�−�−A−B− � A B C D E �

� )θ

�ABC

me ,bn

m\ ,en 4

�AD

º«≤à°ùªdG §îdG ádOÉ©e

Equation of a Straight Line(Ü) 3-9

���8�7% &��7 �8�3#��&�9� FT� b�Y�� 8 + [ � = Z :��-L��� $�_� �>

���9�� "0O�P� gJQ�0� g��&�9� $_�> �H3 8 = Z �+�> ��&�9��� ��-L� 8o� � = � iY� �@)#K�&�4 ��&�9�N

#[ � = Z {��-L�3 $a}� �M&�� ��J ��&�9��� 8o� � = 8 iY� �@)

º∏©àJ ±ƒ°S

• FG� �3��� �*��9��(�0�

• �3�� ����� v������(�0�

• &����� F��� 3�s "

:�|QL�:���L� R�) �2O� .OY b�*4" ��� ��&�9� Fp ��-L� ���%� )

• CmPn ���• Cm)� ,)in ���% ��(�0� U�(7 �� �M(7

#m)i − inP = )� − � :��(�0� �3��� 4��� K$�� {� ��� ��&�9��� �hH3 N = [ �H �*4��� ��&�9��� ��-L� V

m)n F�`�Cm)− ,\n �M(8�* & % Z

V O��� >@� ��(�0� FG� �3��� k�9�:�U�

� ����* m\ − in ZV = m)−n − �

o − i ZV = ) + �

F�0B��* � − i ZV = �

C� − i ZV = � :�3���

�U� 46 F%�Q�M(8�* & % V−

Z O��� >@� ��(�0� FG� �3��� k�9� )Cmh ,o−n

:ôcòJ e = � :�# 1�8�0� ��U� �3��� e = i :�# 1�3��� ��U� �3��� 1�8�0� ��U� U�(7 1��T��Q" ����*% ��U� U�(7 1��T��Q"% me ,in

Cm� ,en 1�3���

:á«°VÉjQ áeƒ∏©e F��* FB�& c ��7&���* v��&U� �+�3 F���

:��L��* m� p���=n � �D� �+��� :���*��9 �� % ZV + °P y

h = °K F5 �3��� �#% ZV + i

yh = �

yh = O��� ��(�0�

CZV + i)�b = � %6

�AE

mVn F�`�Cme ,V−nj , mZ ,)n ���M(8�* & >@� ��(�0� �3��� k�9�

:�U���� �+�7

e − ZmV−n − ) = )� − V�

)i − Vi = P) = Z

Z = Pm)i − inP = )� − � :�3���

�3��� �� � ����* m) − in ) = Z − �F�0B��* ) − i + Z = �

V + i = �C��(�0� �3�� ����� v���� �#% e = V + � − i %6 e = V − i − � :�# ��(�0� �3��� ����*%

�U� 46 F%�QCmV− ,Vn3 , m)− ,Zn q+ ���M(8�* & >@� ��(�0� �3��� �+%6 V

�;�P�� 6�� |>�� , b�*4" �H!�4 ���3 .J!�L�� 8��&�9��� 8� �@) �4 #{9 Y $���� .�JQ�0��3 .��*4" ��d .���&�9� X} y!�L���� '��&�9��� $�� 34 {L� �JQ�0���� '��&�9��� $�� -VJ) ��%��� '��&�9��� !�4 $�� ��P� �@) �����3 #�− X39J

#��&�9��� �hH RP� �M&Y ���L�� {��-L� -VJ) ��%�J I�h� ,{L� mZn F�`�

:�+%t� ,) + iV = � :F ��(�0� 4�9 �!"CmZ− ,Vn �M(8�* & >@�% F ��(�0� >Y��� q# ��(�0� �3��� 6

CmZ− ,\n �M(8�* & >@�% F ��(�0� .�� >3��� K ��(�0� �3��� j:�U�

F ��(�0� ��� = q# ��(�0� ��� , 4� Y���� q# ,F 4��(�0� 6V = q# ��(�0� ���

:��'� .�� k��� q# ��(�0� �3��� ,����*%m)i − inP = )� − �

�3��� �� � ����* mV − in V = mZ−n − �F�0B��* \ − iV + Z− = �

e = � + iV − � : q# �3��� ����*% � − iV = �C��(�0� �3�� ����� v���� �#% e = � − � − iV %6

:Ió«Øe áeƒ∏©e :�# ��(�0� �3�� ����� v����

e = q+ + � j + iC� _�� &��� 4� %�0 2 j , r�Q

�A�

)− = K ��(�0� ��� × F ��(�0� ��� 4������� 4��(�0� K , F j )− = K ��(�0� ��� × V )−

V = K ��(�0� ��� :K ��(�0� �3��� ����*%m)i − in P = )� − �:ôcòJ

j �# ��(�0� ��� 4�9 �!"O�� ������ ��(�0� ��� 4��

e ≠ j , r�Q j− �#

� ����* m\ −iN )−V = mZ−n − �

F�0B��* V + i )−V = Z + �

) − i )−V = �

) − i )−V = � :K ��(�0� �3���

�U� 46 F%�Q:�+%t� ,e = Z + i + �Z :/ ��(�0� 4�9 �!" Z

CmV ,Z−n �M(8�* & >@�% / ��(�0� >Y��� ��(�0� �3��� 6Cm\ ,)n �M(8�* & >@�% / ��(�0� .�� >3��� Y ��(�0� �3��� j

��q��� /!L� 8� �@o� 'Y�+�� .� .���0�V� .�� ��MT�� �=L�� ���0�� /3!2 �� 'Y�+�� �2h��� ��Mp ��-L� ���� .%�J#��� �# &���� F��� 80%J3 ��Mp �=� !20�� {9 Y 0H 'Y�+�� .� �������� x�3Q}� .��

m\n F�`� 46 �� ��� ��MG� �3��� k�9�� ,1�+% �!" ?�<�� F%�s� �� ������ H�%YE� ��* ��M5 ��L� 3�s " �� �#

C1�7��B� ;@# F%�+ �`�:�U�

:.%E� v�MG�C��B�&� ��+%Y �9 ��* &���� F��� �+%6

)V = V

\ = \ − o ) + Z

)V = o − �

Z − h )

V = Zo = � − )e

h − )) )

V = P ����*% )V = &���� F���

C1�7��B� F%�+ �� H�%YE� ��* ��M5 ��L� 3�s " ��

� i\ )−o Z� h

)e ))

B

A�

D�

� i\ )−o Z� h

)e ))

�A�

:��7�`� v�MG�:�3��� �*��� �M(8�% ��� ���} P�G�=�

m)i − in P = )� − �C )

V q* P% m� ,hn q* m)� ,)in d�� mh − in )V = � − �

yV + i )

V = ��U� 46 F%�Q

?P�=&� 1�7��B� F%�+ �� ������ H�%YE� ��* ��M5 ��L� 3�s " �� �# \C1�7��B� ;@# F%�+ �`� 46 �� ��� ��MG� �3��� k�9� ,��L�� ��� 3�+% F�Q ��

»FGôKEG mhn F�`�CF�U� j�=�U� �� � ��MB� P��G�=� �8� 1���= 3�� i �2�* ��N�*&��� ���M� R��8� � � �D� �B08� ���� F%�s� ��B

min ��N�*&��� ���M� /L��=� 1���= 3��)VZm�n ��(B�� ���M� � �D� �B08�%be%oe%\e

C��(B�� ���M� � �D� �B08�% 1���0� 3�� ��* ��L�� H@8� 46 �� ��M5 �3��� k�9� 6?%h � ��MB� �� ��(B�� ���M� �B�� ���= �9 ��* j

:�U�e�V− = e�b − e�o

) − V = &���� F��� 6 c*�T &���� F��� 4���� e�V− = e�o − e�\

V − Z :�3��� P�G�07

��(�0� �3��� m)i − in P = )� − � � ����* mV − in e�V− = e�o − �

F�0B��* ) + ie�V− = � ) + ie�V− = � :�3��� j

) + ie�V− = e�eh k��7 � ����* e�eh = � e�eh − ) = ie�V

� i�− ))−Z− )−)− \h )y

�B�

e�yh = ie�V\��h = e�V ÷ e�yh = i

C�(��3 \h% 1���= \ �%&� ��* >6�U� 46 F%�Q

?%�e >%�0� � ��MB� �� ��(B�� ���M� � �D� �B08� 4��� �9 ���M� /L��=� 1���= 3�� �� ,mhn F�`� �� h:���� F%�s� ��B �9 O��� �(��� 4�Y%E� k0U* &���80�* �9&B7Y F &S 3�� �N��7 1g�+ o

mP�&+���9n i 4Y��V\h�)e m&���8=n � 3���b)))V�h)h�hVe

C��MG� �3��� k�9� j�s -� F�Q �� ?��M5 4��� 46 �� 3���% 4Y�� ��* ��L�� �#

�B�

º∏©àJ ±ƒ°S

• �M(7 ��* ��B� 3�s " ��(�0�%

���8�7% &��7 �8�3 ��9��� �hH !20> ���� y!�&��3 K�Z ,�[N ,K�Z ,�[N .��M&��� .�� ��9��� g&�* �J4"

:����� $%��� RP� /#�K�Z − �ZN + �K�[ − �[NF = /

#��&�9��� $�� �H � ^�� ,8 + [ � = Z y"0��� RP� �H ��&�9��� ��-L�3 RP� �M&��� .� ��0*���� �J-0�L�� ���&�9��� �LM&�� /0I 0H ^�� ��&�9�3 �M&Y .�� !L+�� !20Y G0* ["!�� �hH ��

!L+�� �hH !VY �%�3 ,��&�9���:y"0��� RP� ��&�9��� ��-L� ���� R�) �2O� .OY

# gL� � ��� 8J39J k 6 , ^�� ,� = 52 + Z 6 + [

F ��(�0�% m) � ,) in 3 �M(8� ��* K ��B� 4�� ,e = q+ + � j + i :F v���� .�� ��(�0� �3��� c7�9 �!"C |q+ + )� j + )i |

Vj + V F = K :�����* .M��

C� _&�} >%�0 ��8�* ��B�� F ��(�0� ." ��8� 3 �M(8� c7�9 �!" m)n F�`�

Cq# �M(8�% F ��(�0� ��* ��B� �+%6 ]�T ,\ − i Z = � :O�3��� >@� F ��(�0� ." ��8� 2 m) ,Vnq# �M(8� 46 cBT6:�U�

\ − iZ = � :�3��� �� m) ,Vn q* m� ,in �� � ����* \ − V × Z =? ) .�� ��U7

CF ��(�0� ." ��8� 2 q# V ≠ ) : v���� .�� F ��(�0� �3��� �*��9 ks F ��(�0� , q# ��* ��B� 3�s -

e = q+ + � j + i e = \ − � − iZ :F

\− = q+ )− = j Z = ) = )� V = )i

| q+ + )� j + )i | V j + V F = K ��B�

) )e F = |h − o|

)e F = |\ − ) − V × Z | V m)−n + VZ F =

:á¶MÓe F�I �# ��(�0� �� �M(7 ��* �� ���=&� � 3��� ��M(�

C��(�0� FG� .�� �M(8�

3 F

�M(8� ��* ���0� &��6 �# 3 CF ��(�0�%

4-9º«≤à°ùeh á£≤f ø«H ó©ÑdG

Distance Between a Point and a Straight Line

�B�

CF�I v�Q% )e F)e >%�0 ��B�

�U� 46 F%�QCmh ,Vn3 �M(8�% Z + i− = � :F ��(�0� ��* ��B� �+%6 )

mVn F�`�C� − i Z = �V :F ��(�0� ." mZ− ,\−n3 �M(8� �� ��B� �+%6

:�U� e = q+ + � j + i :v���� .�� F ��(�0� �3��� _2%6 k��7

e = � − �V − iZ :F�− = q+ V− = j Z =

Z− = )� \− = )i |q+ + )� j + )i |

Vj + V F = K ��B�

C)Z F = )Z)Z F = |)Z−|

\ + y F = |� − mZ−n V − m\−nZ| VmV−n + VmZn F = K

CF�I v�Q% )Z F >%�0 F ��(�0� ." 3 �M(8� �� ��B� 46 >6

�U� 46 F%�Q

# io + \

Z − = � :F ��(�0� ." m\− ,ZnU �M(8� �� ��B� �+%6 V

:á¶MÓe ��* ���0� c7�9 �!" >%�0� ��(�0�% �M(7 ��8� �M(8� 4��� � _&�}

C��(�0�

�BA

º∏©àJ ±ƒ°S

• v&N��� �3���• �3�� ����� v����

v&N���• v&N��� p9&� 3�s "

�#&M� ��7 F�I%• v&N��� i�� �3���• �� ���&N�3 ��* ��L��

>��0�

���8�7% &��7 �8�3 �� ,�*"!��� u�� �� y�]�- �*�> 84 '-"43 ,"��4 D ;�0I $+O�� .� �LM IJ!� 8� �@)

#I]=�Q `� �%� ?{PL > Xh��v&N��� � &�� ." �73�(�= �@#

i�( !L� RP� 80%> ���� X0�9��� �� U&��� ��0�V� �H v&N���#v&N��� p9&� R�9> ��0PL��� �M&���3 ,��0PL� �M&Y .�

v&N�3

p9&� # \���� {� \��J3 y�]�!�� �M m�Y /0I 0H i�_�� !L+��3

:v&N��� �3�� ��=��(� v���� �M(7 >6% v&N��� p9&� ��* ���0� 4�� �#&M� ��7 F�I% mq# ,3nP �#p9&� v&N�3 >E

C���M(7 ��* ���0� 4�7�� P��G�=�* �#3�s " �� v&N��� .�� m� ,inVm)� − V�n + Vm)i − VinF = ���0�

Vmq# − �n + Vm3 − inF = Vmq# − �n + Vm3 − in = V

:y"0��� RP� H�M m�Y /0I3 K5H ,-N H\��� ���� y�]�!�� ��-L� 80%> ,I�@ RP�3V = Vmq# − �n + Vm3 − in

# �M&�� m�Y /0I3 K5H ,-N� \����� ���0PL�� y�]�!�� ��-L�� ��*�&�� y"0��� �hH R j�9>3m)n F�`�

C1��Q% � �#&M� ��7 F�I% mV− ,Zn �#p9&� ��� v&N��� �3��� �+%6:�U�

�#p9&� mq# ,3n r�Q , V = Vmq# − �n + Vm3 − in :��=��(� v���� .�� v&N��� �3���mV− ,Zn q* mq# ,3n �� � ����* \y = V �mV−n − �� + VmZ − in

\y = VmV + �n + VmZ − in �U� 46 F%�Q

C1��Q% h �#&M� ��7 F�I% mZ− ,hn �#p9&� ��� v&N��� �3��� �+%6 )

mq# ,3nP

m� ,in

5-9IôFGódG ádOÉ©e

Equation of a Circle

�BB

)−

)

)

V

V

Z

Z

P

m\ ,Vn j

mV− ,\n

\

\

V−Z−

mVn F�`�Cm\ ,Vnj , mV− ,\n r�Q j �#&M� v&N�3 �3��� �+%6

:�U�j ���8� �# ���% v&N��� p9&� 1��T��Q" _2%6 �+�7

>6 a\ + V−V , V + \

V kP m) ,ZnP

, j V v&N��� &M� ��7 F�I �+�7

\e F )V = Vm\ − V−n + VmV − \nF )

V = F�I v�Q% )e F =

:v&N��� �3��� )e = Vm) − �n + VmZ − in

�U� 46 F%�QCmV− ,)nj , mo ,Z−n r�Q j �#&M� v&N�3 �3��� �+%6 V

� = �Z + �[ :y"0��� RP� ;��-L� 8o� ,$a}� �M&Y H\��� ���� y�]�!�� �M m�Y /0I 8� �@)mZn F�`�

C1��Q% \ �#&M� ��7 F�I% �}E� �M(7 �#p9&� ��� v&N��� �3��� �+%6:�U�

,1��Q% \ = = P 4�� ,v&N��� .�� m� ,in �`� �M(7 �8<&� �!" V = V� + Vi :�}E� �M(7 �#p9&� ��� v&N��� �3���)

)

m� ,in

C�*��M� v&N��� �3��� )o = V� + Vi∴

�U� 46 F%�QC�= o �#&M� F�I% �}E� �M(7 �#p9&� ��� v&N��� �3��� �+%6 Z

�BC

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J m\n F�`� ,m\ ,ZnP �#p9&� v&N�3 ��S .�� ��#YE� �� ���s� c��Y , �( �Q ��

�8� ��� v&N��� �3��� k�9� Cp9&� �� 1��Q% \ ��B� v&#Y �9 4" r�U*

))

V

V

Z

Z

\ho�by

\

m\ ,Zn

h o

C��#YE� ���s� �����:�U�

V = Vmq# − �n + Vm3 − in :��=��(� v���� .�� v&N��� �3���)o = Vm\ − �n + VmZ − in

�U� 46 F%�QC1�3��� ��U� f�% m\ ,Zn �#p9&� ��� v&N��� �3��� �+%6 \

mhn F�`�Cv&N��� �=�� �T ,y = VmZ − �n + VmV + in :���3��� ��� v&N��� &M� ��7 F�I% p9&� �+%6

:�U� :v&N��� �3�� ��=��(� v����* v�M�� v&N��� �3��� �7��(*

V = Vmq# − �n + Vm3 − in

�−�−�−A−B−C−D−

A��

BCD

V− = 3 ' V = 3− :46 �s7Z = q# ' Z− = q#−

Z = ' y = V C1��Q% Z = v&N��� &M� ��7 F�I% mZ ,V−n v&N��� p9&�

�U� 46 F%�Q:���3��� ��� v&N��� &M� ��7 F�I% p9&� �+%6 h

C\y = �� + �i 6 CZo = �mh + �n + �m\ − in j

�BD

IôFGódG ádOÉ©ªd áeÉ©dG IQƒ°üdG

� = �K5H − ZN + �K- − [N :������ y"0��� RP� ��%> H�M m�Y /0I3 K5H ,-N � H\��� ���� y�]�!�� ��-L� � = � − �5H + �- + Z 5H � − [ -� − �Z + �[ :������ y"0��� RP� $�OY I ��3

:��-L��� y"0a �+�> � − �5H + �- = 6 ; 5H �− = F ; - �− = / `�0�

c*��T j ,/ ,F r�Q , e = j + � / + i F + V� + Vim / −

V , F −V n �#p9&� ��� v&N��� �3�� ����� v���� .0�%

٠ < j\ − V/ + VF r�Q C )V = �#&M� ��7 F�I

:����� <�=Y3 y�]�- ��-L� �H � = 6 + Z F + [ / + �Z + �[ :��L�� y"0���#Z ,[ �� ��Y_�� �2"!�� .� ��-L� ;Y) )

:Ió«Øe áeƒ∏©e� − �5H + �- = j

6 − �5H + �- = �

6 − �bF−

� l + �b /−

� l = �

6 − �FB + �/

B = K6 B − �F + �/N �

B = �

�� =

#�Z $�L� = �[ $�L� V#Z [ .���J Xh�� !O�� !20J k Z

mon F�`� e = )V − �y + io − V�Z + ViZ :�3���* ��`� v&N��� &M� ��7 F�I% p9&� �]��

:�U�Z .�� �0(�* e = \ − �Z + iV − V� + Vi

����� v���� .�� v&N�3 �3��� �#%\− = j ,Z = / ,V− = F

b ZV − ,)l = bF−

� , F−V l = p9&�

)V =

)V =

)V =

�BE

CF�I v�Q% )V = �#&M� ��7 F�I% b Z

V − ,)l �#p9&� v&N����U� 46 F%�Q

e = Ze − �\ − i)V − ��V + �iV :�3���* ��`� v&N��� &M� ��7 F�I% p9&� �]�� o

�|QL�e = j + � / + i F + V� + Vi :����� ����� v���� .�� �3��� �8 � 4�� ���8�

�7��(� 3&s* �3��� ;@# ��7��* O�`� �� ��&�� �88� C&��� M� j\ − V/ + VF

Cv&N�3 �3��� �`� 2 �3��� 4�� e > j\ − V/ + VF ���8� )C�M(7 �`� �3��� 4�� e = j\ − V/ + VF ���8� VCv&N�3 �`� �3��� 4�� e < j\ − V/ + VF ���8� Z

m�n F�`�C& ]0� ?v&N�3 �3��� �`� �� �� �3��� �9 �#

e = )h\ − �h + iZ − V� + Vi 6

e = Ve + �� − i\ + V� + Vi je = Vh + �b + io − V� + Vi q+

:�U�e = )h

\ − �h + iZ − V� + Vi :�3��� 6) = V� ����� = Vi �����

)h−\ = j ,h = / ,Z− = F

e < \y = )h + Vh + y = a)h−\ k \− Vh + y = j\ − V/ + VF

Cv&N�3 �3��� �`� �3��� ∴ e < \y e = Ve + �� − i\ + V� + Vi :�3��� j

) = V� ����� = Vi ����� Ve = j ,�− = / ,\ = F

e > )h− = Ve × \ − \y + )o = j\ − V/ + VFCv&N�3 �3��� �`� 2 �3��� ∴

�B�

e = Vh + �b + io − V� + Vi �3��� q+) = V� ����� = Vi �����

Vh = j ,b = / ,o− = Fe = Vh × \ − o\ + Zo = j\ − V/ + VF

C�M(7 �`� �3��� ∴�U� 46 F%�Q

C& ]0� ?v&N�3 �3��� �`� �� �� �3��� �9 �# �e = )� + �� + i\ − V� + Vi 6

e = \ − �o − ih + V� + Vi je = V + �V − iV − V� + Vi q+

Tangent to a Circleo IôFGód ¢Sɪe ádOÉ©e

#[���� �M&Y !�� y�]�!�� [�� RP� X-0�� y�]�!�� �M m�Y 84 �� .�+>3 z+*#y�]�!�� [�� ��-L� -VJ) `�M�9Y ,��aT�� �hH ��!T�*�

�−�− ��−�−

�A−

A−

AB−

B−

B C

3A��

BCD

mbn F�`�:���3��� v&N�3 i�� �3��� �+%6

Cm) ,Zn i��� �M(7 �8� h = VmV − �n + Vm) − in:�U�

C v&N��� ." ��8� m) ,Zn �M(8�CmV ,)n% v&N��� p9&� 1��T��Q"

)V − = V − )

) − Z = )� − V�)i − Vi = % ���

v&N��� i�� .�� >3�� % i��� &M� ��7 )− = % ��� × i����� ∴

)− = m )V −n × i��P

V = i��P

�i��� &M� ��7

[���� �M&Yy�]�!�� [��

/

�B�

:�# m) ,Zn �M(8�* & % V O��� >@� % i�� �3���m)i − in P = )� − �

mZ − in V = ) − �o − iV = ) − �

h − iV = � i�� �3��� ∴

�U� 46 F%�QCm\ ,on �M(8� �8� Vh = �m) − �n + �mV − in ���3��� v&N�3 i�� �3��� �+%6 b

myn F�`� �+%6 �T ,e = Ve − �V + i\ − V� + Vi :���3��� ,% �#p9&� ��� v&N��� ." ��8� m\− ,on �M(8� 46 cBT6

C�M(8� ;@# �8� v&N��� ;@� i�� �3���

:�U�e = Ve − �V + i\ − V� + Vi

Ve− = j , V = / ,\− = F r�Q v&N��� �3�� ����� v���� ��S .�� �3���m\− ,on �M(8� �� � ����*

Ve− m\−nV + mon\ − Vm\−n + Vmon e = Ve − b − V\ − )o + Zo =

Cv&N��� ." ��8� m\− ,on �M(8� ∴

6B − V/ + VFF )V = :�#&M� ��7 F�I ,m)− ,Vn % v&N��� p9&�

h = )eeF )V =

Z−\ = m)−n − \ −

V − o = �� − ���i − �i = P = % i��� &M� ��7 ���

�C�

�M(8� �8� i�� .�� >3�� �# % i��� &M� ��7 46 K&�7)− = 'P × P :i�� ��� 'P ���

\Z = 'P O8�% )− = 'P × Z−

\ >6m)i − in 'P = )� − � :�3��� @5t7mo − in \

Z = m\−n − � )V − i \

Z = �)V − i \

Z = � i�� �3��� ∴

�U� 46 F%�Q �+%6 �T ,e = )o − �b + io + V� + Vi :���3��� , % �#p9&� ��� v&N��� ." ��8� m) ,)n �M(8� 46 cBT6 y

C�M(8� ;@# �8� v&N��� ;@� i�� �3���

�C�

Intersection of Two Circles …ƒà°ùªdG »a ø«JôFGO ø«H ábÓ©dG

#- , 52 �� 8LI&�> (� ، 6N , (� ، N 8>�]�!�� ,$%��� ��#^P_��� ��J+�� �!T�9Y ,.�>�]�- .�� �=L�� �*�"!�

`0� -!OJ .�>�]�!�� X�M � �Y ��0I3 .�>�]�!�� X\��� .�� !L+�� �Y"&� 8):����� /3!V�� �� .j�+� 0H �� .�>�]�!��

�e�=� $%��� .�>�]�!�� .�� �=L�� .J�M&�� � �Y ��0I3 6 .�� �=L�� .� �qa4 .J\����� .�� !L+��

.J�M&�� � �Y ��0I �0�V�#�;��� 7� �� .� �+�43

68>�]�!��

.��M&Y �� 8LI&�>.�� P�T� � + � > 6 > |� − � |

X39J .J\����� .�� !L+�� −.J�M&�� � �Y ��0I �0�V�

[���� �M&Y3 .�>�]�!�� �\��� −#y!��3 ��&�*� RP� �H

6 8>�]�!��b�2"p 8�*��� � + � = 6

X39J .J\����� .�� !L+�� −#.J�M&�� m�Y ��0I .�� 7� �� [���� �M&Y3 .�>�]�!�� �\��� −

#y!��3 ��&�*� RP� �H6 8>�]�!��

b�Pp�- 8�*��� |� − � | = 6

.� �+�4 .J\����� .�� !L+�� − X�M m�Y ��0I �0�V�

#.�>�]�!�� 6 8LI&�> k 8>�]�!��

K8>!�+��N � + � < 6

.� �qa4 .J\����� .�� !L+�� − #.J�M&�� � �Y ��0I .�� 7� �� 6

8LI&�> k 8>�]�!��K8�Pp�!��N |� − � | > 6

:áeƒ∏©e �8� �@�� m , n v&N��� :k��7 ���8�

C�#&M� ��7 % v&N��� p9&� 46:á«°VÉjQ áeƒ∏©e

r�`� �8 �B�� &�}6 M�< >6 F�I ,r�`� �9 �� � &5�� ������ ��I $�s� ��

C����I ��* X&�� �� &B96%

'52 + '6 > ' > |'52 − '6|

'6'52'

��

q+

j

3

≥HÉ°ùdG º∏©àdÉH §HôdG

���

πFÉ°ùªdG πëd ó°TôªdG

:������� � �� � �������� ���� ����� ���� ��� ���� ��� �� !�"# $%& ' (

)�*�+,-. / 0�12� �3�M& 5"* 0�I �78 9�� ��:; <��� ��� ����2�� �%3 �"� �*�+ -� �1�

)��=>� ��2�� ���� ?� @A�2B � @�#�= � @��= � @&�B �� � ��C��

� D=

��−�−

�−

�−

D−

D−

E )<��2�� ��� �"� ��� !������ � �1� ��=(

?������� ��� �� � ��� ���:�GC27� � @MMH� IJ( $�.

, ���2�� L�B �� � �1M� MNO�� , ��2�� ���� = ?���. MNO�� 0�2B ��� � @�#�= � @�� �1M� E MNO��:?���� �78 �"#( ���

)<��2�� ��� ��=>� ��2�� ���� ?� E= ��C2�� ��()P�*�+,-. /Q 8�C�� �78 ��C2�� -C&(

)�R� �1� ��> !������ !�8�& S�H.(:���M���

�PE Q + �P =Q = �PE=Q , �� -��N�� E = V7W2�� �78 XY�Z�W�� ��[* S�H.G.�� + �� = �PE=Q

� = �PE=Q S �F = E=

��C2��8�C�� = ?���� !�8�& S�H.G.

-. �\\ × �F�*�+,-./ = S �F

�*�+,-. / = ?���� )�*�+ D] ⋍ ?����

:�3 �F �3�M& 5"*= P\ ,\Q= �3���� ��� !������ � �1�� = �^ + �_

��� �� �����)PY��>�� �MN�� 5"* 0�IQ ` = �P� − ^Q + �P� − _Q :� �12��� a���� b%2O� ,����� c��� Y�3d e�#

)a� �1�= ���f�� ����� �M& 5"* 0�I ��=G� ,-. �\ 2[O� ��2C� ������ e�g�� �OM#( �h�

�CA

á©°SÉàdG IóMƒ∏d »ª«¶æJ §£îe

w��0��T��Q-�

��� ��(�0� FG�

O�3���%

��B���(�0�% �M(7 ��*

�=�8�������U��

�3���v&N���

�3��� i�� .��v&N���

��0(���(�0� ��M�

v&N���

1��T��Q" �M(7

���8� ��M�

��(�0�

��� ��* ��L��� %�p� ��% ��(�0�

�M(7 ��* ��B���(�0� F5%

v���������

v������=��(�

��L�����&N�3 ��*

��0(� ��

�5��� ��0(�

��H��G�

&���� F���

�3���

��* ���0����M(7

�CB

¢üî∏e

#.��M&��� '�(�!�) .�� 7� P� �&PM��� ���&�� X39> '��9�� "0O� RP� 6 , .��M&Y .�� ��9��� −# �K�Z − �ZN + �K�[ − �[NF = 6 :K�Z ,�[N6 ,K�Z ,�[N .��M&Y .�� �P]��� ��9��� −

�H 6 m���� �M&Y 8o� K�Z ,�[N6 ,K�Z ,�[N ^�O� ���&�9� �LM 6 iY� �@) −#a�Z + �Z

� , �[ + �[� k 52

:^�� ��9&��� �M&Y KZ ,[N 52 , 8 :� �+9�� �;2 .� $p�!�� .� 6 ��9&> −

# �Z 8 + �Z �8 + � = Z , �[ 8 + �[ �

8 + � = [

:^�� ��9&��� �M&Y KZ ,[N 52 , 8 :� �+9�� �;2 .� x"T�� .� 6 ��9&> −

# �Z 8 − �Z �8 − � = Z , �[ 8 − �[ �

8 − � = [

# �*4��� ��q����&�}� ��q��� = ��&�9��� FT�� $�� −

:K�Z ,�[N6 ,K�Z ,�[N ^�� 6 $�� −#�[ ≠ �[ :84 U�� �Z − �Z

�[ − �[ = � #θ� = � :'��9�� "0O�� �20��� �V>k� `� ��&�9��� ;L��J ���� θ �J3�\�� $� X39J � ��&�9��� $�� −

#�%L��3 - 52 $�� X39J 6 $�� 8o� - 52�� 6 8� �@) −#�%L��3 �− X39J �;�P�� 6�� |>Y 8o� .J!�L�� - 52 , 6 Y� �@) −

# 8 + [ � = Z '�-��� "0O� .� �0M&��� u\V��3 K�N $���� ���0PL�� ��&�9��� FT�� ��-L� −:0H � = 52 + Z 6 + [ {��-L�3 K/N ��&�9��� RP� K�Z ,�[N � �M&��� .� /Q��� -0�L�� /0I −

# |52 + �Z 6 + �[ |�6 + � F

= G #� = �K5H − ZN + �K- − [N : H�M m�Y /0I3 K5H ,-N � H\��� ���� y�]�!�� ��-L� −

�CC

i��0( 6 ,F ,/ ^�� � = 6 + Z F + [ / + �Z + �[ :y�]�!�� ��-L�� ��L�� y"0��� −

� < 6B − �F + �/ ^�� 6B −�F + �/F �� = , `

F� − , /

� −j y�]�!�� \��� 8) ^��3

#^P_��� ��J+�� �!T�9Y .��LI&�� .�>�]�- .�� �=L�� �*�"!� −#�− = $�� × [���� $�� :�=L�� �!T�9Y y�]�- RP� �M&Y !�� [���� $�� -VJ: −

���

IóMƒdGIöTÉ©dG∫ɪàM’Gh AÉ°üME’G

Statistic and Probability

máØ«Xh oQÉ«àNG :IóMƒdG ´hô°ûe

������� ��� ����� ����� �� ?���� ����� �� ?����� !���" �� ?#�$��%� ����& #$"��'" ()*� +, :����'� #�-�� .?� ��,�/

?�0�1 2�%� 3�4 �5� ,�)�7� 89 � �'�; ��$� ���<4 #)=��>@��;� �� #'0� !��A� B��*� �� C7D E� � F5'G #��$� H���� ��'� �� I)�� ��J&�" ��5��� KL

H����M N�O� PQ��*� R)1 Excel S��T�" U�-7���� 9��V�� QJ-' ���WO #T/�Q� NXQ" !-�� KL :Y-0� Z H���9 ��J &-*� I)�� ��J&� RL ����� -%�� [�; ,����'� ��0 8���\� Y-0� KQ5 YQ� ��Q�\� ���&L #���4 �1

>�0D� �� �� N�"��� ��>#���; #] − PQ��; :U/�Q)� ^

:#$"��'� _:#���� #)=�\� �1 #"�A`� R)1 P�M� N%D

b>>> +'1 +"��� − 2��� − +,\� ��c ?2�M� @�)1 +V* E�� I)�'� �� � b>>> ,H��)�T ,U�$Ic ?�Q��� 89 2�M� @9�V E�� I)�'� �� P

b>>> ,H�%� ,P�$� ,�'���c ?2�M� @9�V E�� NMQ�'� ��e I)�'� �� fA b>>>> ,�g �0D ,�g�1Q���c ?2�M� h�J&� E�� I)�'� �� &

3 ��V'�� +J-) #*X�� #�-%" � ��9�� ����'� ����� H�QMJ ��� +V�� � ��� #"��4 R)1 P�M� � i�; :� ���� j>� g ���X k K�4 �kL (0��"��; #$A���� ��59\� �&��� R)1 (0$%D >��J&l��

IóMƒdG ¢ShQO

H�T���� +�)*�H��1�"�\�E���$'� Y��*Tl�-$� m�IU���'� ��'�;l�

.−.oZ−.o^−.o_−.oj−.o

���

��&�T p�-;� PQ��; 89 +M1 p�-; �MJ m����� KL �� �g�1��MO� � ��'M +'* q���O 89 �� � �J] !�')$� @���* ,E�QT +1��� 89>@��TQ5� �� +4 89 +)7� ��'�;� ����1l�"

P��� Hl�'�;� RL �QOQ) !�')$� Y-0 Q, +M1 p�-; ��'�;� K� E� r−.o :. �� 89 U�1 ��J KQ�)� RL . #���� �� 2 �M N'%� ���, K�4 �kL �5� >E�QT +1���

???E�QT +1��� #=' � ���'M� +'*� 8�� s ��QV� t$" 89 �� +M1 p�-; ��'�;� P��� #�1��MO� H�;�� 89 � ���<4 +�� #���� h�, �5� ..o>#Q,u'�

∂JÉeƒ∏©e ≈dEG ∞°VCG

(áÑ°ùàμªdG á≤HÉ°ùdG ±QÉ©ªdG) ¿B’G âfCG øjCG• +�<'� − �-'1\�" 8T��" +�<'� − �QV� 8T��" +�<'�c H�T���� v�1 w')$�

>b��x�-�" 8T��" +�<'� − UQM7�" 8T��" +�<'� − #$'%'� U����" 8T��"• FM7� − ��Q�'� − F��Q� − 8"��*� F�Q�'�c H�T���� 3O� w')$�

>bm���\�� m���• >#�T���� ��%�� w�-7���• b2������c + &���� � �'0� 2����� �0�9 KQ5 Hl�; 89 -$� m�I w��I

>bB�9�Q��c (0� ��e 2����� �0�9 KQ5 Hl�;�• >��'�;l� P��; w')$�• >Hl�'�;l� &�% ` P��%�� w�-7���

?º∏©àJ ±ƒ°S GPÉe• >��AQQ�5�� U�-7���"� � g ��A # �4�'� #1��� z� ��� P��;• >H�T���� +�)*� 89 z� ��'� h�, U�-7���• #M��Q" �0)�<'�� H�T���� 89 #�'7� &�-1\� +'%�� H��1�"�\� - -*�

>�,������ ���X��$� �k m�-�V�• >E���$'� Y��*Tl�" �0�M�1 ��J �� H�T���� w��� #���&• >#�x�V;`� H�T���� �����• >-$� �-�� U�-7���" +x��� +;• >+ &����� B�9�Q�� ��T�QM U�-7���" +x��� +;• >U���'� ��'�;l�

á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üªdGw���� − #�'7� &�-1\� +'%� − # �4�'� #1��� z� ��� − H�T���� +�)*�

-$� �-�� − � ���� − E���$'� Y��*Tl� − ���X��$� �k m�-�V� − H��1�"�\� −>U���'� ��'�;l� − #)���'� p�-;\� − B�9�Q�� − + &���� −

IóMƒdGIöTÉ©dG

���

º∏©àJ ±ƒ°S

• z� ��� &�% L # �4�'� #1���

U�-7���"� � g ��A ��AQQ�5��

• z� ��� U�-7��� 89 # �4�'� #1���

H�T���� +�)*�

8T��$� +'1���� �� ������ � �����I �� ��� ���!�"��# $�%�&�� '�I( )�!�� '*�+� ,�

��������-��������.�����������/��-��.��.�����-��/��������.�����.��-������������������������

�01M�� 3456 '�I7 8#�"9�� F;!��� <�=> ��;�9�� ��?� @�A!;� �

:á«°VÉjQ áeƒ∏©e

Q, b.ro ,.jj{ #=�� �4��.j|}j = .ro + .jj

Z

?$������� CDE� F�;�� �% :8��!�� '*�=�� G�H( P

#=��−���−���−���−���−������5��

#=�� �4��

?F�;�� I�J!K 8!�� �LM�� �% fA?��H7� N��O!�� I�J!K 8!�� �LM�� �% &

�01M�� 3456 $�%�P '�I7 8#�"9�� F;!��� �=!� N��O!��* $�LM�� QH��% @�A!;� f,?R�1K �S�% � f, '�5"�� 8T �=�!���* � '�5"�� 8T �=�!��� I�# UN�P �

Measure of Central Tendency ájõcôªdG áYõædG ¢ù«jÉ≤e V� W,� � ����* � �<�� ��* ����!!% @��( X�Y� ,MZ�� [K�*N '� �;�N< 3��\] �� �";5% *( �H^ ��% U( _��T� `�

?V��] a�!b cD�� dT �,Y% @�� � [K�*��� F;!%

äÉfÉ«ÑdG π«∏ëJ

Data Analysis

1-10

��.

Mean »HÉ°ùëdG §°SƒàªdG:IÉ«ëdÉH §HôdG

,{5 ,4 ,4 ,3 ,3 ,3 ,2 ,2 ,1} = x <�M�% ��g!% *S $����# '�h<>{xn; freqn}i ��# GO� $�N��O!�� <�� I��Y!� FREQ <�Y�� @��A!;�#

�F;!���* U�O"�� cN��Y��� j��9�4� 0�"�* ,{5 ;1 4 ; 2 ,3 ; 3 ,2 ; 2 ,1 ; 1} =SHIFT MODE kSETUPi kSTATi kONi4 1

MODE k1 −VARikSTATi3 1

SHIFTAC kVari kxikSTATi 3 21 =

SHIFTAC kVari kσ xikSTATi 3 21 =

1 = 2 = 3 = 4 = 5 =

1 = 2 = 3 = 4 = 2 =

1٫154700538 :U�O"�� cN��Y��� j��9�4� � F;!��� :lK����

345

345

321

STATx

FREQ

1

3

1.154700538

<���7� I% U m� 8#�"9�� F;!���:6 ,Un ,��� ,�n ,/n ,�n

Un +��� +�n + /n +�nU = n

Nn ن

� = Nن� =

8#�"9�� F;!��� <�=] ���O� �%�� XNp#* U��&�� @��A!;�# $�LT *S cN��OK '*�\ I%

:8��!��

(Iô°TÉѪdG á≤jô£dG) :¿ƒfÉb

K� KH +>>> + ^� ^H +Z� ZH + .� .HKH + >>> + ^H + ZH + .H = �

b�� �Hc ن. = �

�H ن

ر = ١

=

,� #=�� ���5� �H [�;,� #=�� �4�� ��

H�=�� &-1 K

b.c ��<�># QT�<� #);�'� 89 ����I ro f� U��AQ)�5�" K�/�\� 8��� ��-%� �i��

>P�M� !l�, K�/�\ 8"��*� F�Q�'� -A��#=��−jo−jj−ro−rj−|o−|j−�o

���5��_|.Z._..�^

���

:+*�b#���*� #�� U-7���c :8��� ��-%� � Q5� �5'

#=���� #=�� �4���H ���5���� �H−jojZ}j_Z.o−jjj|}j|_oZ}j−rorZ}j.Z|jo−rjr|}j._�_j−|o|Z}j..|�|}j−|j||}j�r�|}j−�o�Z}j^Z_|}j

ro = �H ٧

. = �_ojo = �� �H

٧

. = �

r|}j = _ojoro =

b���Hc ٧

. = �

�H ٧

. = �

= �

>� ����AQ)�4 r|}j Q, ����I ro K�/�\ 8"��*� F�Q�'� K� E�+*� K� ���;

>#A�& .oo R'�$� # �0�� [�; H��X� �� �&�� 89 ����I |o H�A�- E���5�� N /Q�� 8��� ��-%� ��� .>H�A�-� h�0 8"��*� F�Q�'� -A��

#=��−Zo−^o−_o−jo−ro−|o−�o−�o���5��_�._.j.^�_^

>8"��*� F�Q�') � �� � #�� ��� #'�M &�% L� H�"��*� F���� �5' >bH�T���) ���5� ��4� +"�� E�� #=�� �4�� KQ5 K� ��*��'� ��c Y �g�X�9 ��M�� �JuT

���

Median §«°SƒdG

:Q, �g�/��� �� � g -1�V� #���'� (��� �� K &-$ F��Q�>� g &�9 K &-$� K�4 �kL (��� F�Q� E�� &-$� �

>�g�A�/ K &-$� K�4 �kL (��� 3V��� 89 � &-$) 8"��*� F�Q�'� P�'0����� ���)� ���'��� F�Q��� � g &�9 K &-$� K�4 �kL &�-1\� �� . + K

Z �0����� 8�� #'��� Q, F��Q� K� E� >�g�A�/ K &-$� K�4 �kL &�-1\� �� . + KZ , KZ

���E��O� *( 'q���� r�=!��� N��O!��* ���p�� r�=!��� N��O!�� 8������ G� �!�� @��A!;�# F�;�� <�=] IO� bZc ��<�

># QT�<� #);�'� 89 ����I jj H���M ��QI\ E���5�� N /Q�� 8��� ��-%� �XQ >-1�V� N'%�'� ���5�� R�*�' 8T���� +�<'�� U�-7���" F��Q� &�% ` ��-%� +'4�

H�=�����5�� ��)$� &�-*� �� +M�#=�)

N'%�'� ���5��-1�V�

−.jo^−.jj|−.ro�−.rj.Z−.|o.o−.|j�−.�o_−.�jZ

:+*�

H�=�����5�� ��)$� &�-*� �� +M�#=�)

N'%�'� ���5��-1�V�

−.jo^.jj �� +M�^−.jj|.ro �� +M�.o−.ro�.rj �� +M�.�−.rj.Z.|o �� +M�^.−.|o.o.|j �� +M�_.−.|j�.�o �� +M�_�−.�o_.�j �� +M�j^−.�jZ.�o �� +M�jj

��/

�H Z = F��Q� 2����

Z|}j = jjZ = F��Q� 2����E��� F��Q� K� ��� +5�� ��

>.r�}j ��� ���

+*� K� ���; ���5�� R�*�' 8T���� +�<'�� U�-7���" U��AQ)�5�" ����I Zo K�/�\ F��Q� &�% ` 8��� H�T���� ��-A +'4� Z

>-1�V� N'%�'�

H�=�����5�� ��)$� &�-*� �� +M�#=�)

N'%�'� ���5��-1�V�

−jj^−ro_−rjj−|or−|jZ

rojo_o^oZ|}j

.r�}j F��Q�H�=�) ��)$� &�-*�

-1�V�

N'%�'

� ���5�

Zo

.jo .jj .ro .rj .|o .|j .�o .�j .�o

.oo

���

b^c ��<�>��� -�" H�4��� �-;L 89 3�Q� #=' # �0�� 2����� N /Q� 8��� ��-%� �XQ

>�/��� ���5�� R�*�' 8T���� +�<'�� U�-7���" F��Q� &�% ` ��-%� +'4�H�=�����5���<4u9 #=�) RT&\� -*��/��� N'%�'� ���5��−jooj−roo^o−|oo^Z−�ooZo−�oo.o

−.ooo^:+*�

H�=�����5���<4u9 #=�) RT&\� -*��/��� N'%�'� ���5��−jooj�<4u9 joo.oo−roo^o�<4u9 roo�j−|oo^Z�<4u9 |oorj−�ooZo�<4u9 �oo^^−�oo.o�<4u9 �oo.^

−.ooo^�<4u9 .ooo^

�/��� N

'%�'�

���5��

joo roo |oo �oo �oo .ooo ..oo

Zoo

_ojo

|jo R�Q; F��Q�H�=�) ��T-� &�-*�

ro�o

.oo

.Zo

jo = .ooZ = F��Q� 2���� >|jo ��� ��� E��� F��Q� K� ��� +5�� ��

��-

+*� K� ���;>�/��� N'%�'� ���5�� R�*�' 8T���� +�<'�� U�-7���" ����I Zj H�A�- F��Q� &�% ` 8��� ��-%� +'4� ^

#=�����5�� RT&\� -���<4u9 #=�)

N'%��� ���5���/���

−jZ−�j

−..�−._r−.|_

'q���� r�=!��� N��O!�� s�9���* ���p�� r�=!��� N��O!�� s�9��� 8������ G� �!�� @��A!;�# F�;�� ����&K ���P <�=] IO��� �Y%

b_c ��<�>��� -�" H�4��� �-;L 89 3�Q� #=' # �0�� 2����� 8��� ��-%� �XQ

&�% `� �$� �'0 8T���� +�<'�� U-7��� (� ,�/��� N'%�'� ���5��� -1�V� N'%�'� ���5�� ���� 8��� ��-%� +'4�>F��Q�

H�=��−joo−roo−|oo−�oo−�oo−.ooo���5��j^o^ZZo.o^

���

:+*�H�=�����5�� ��)$� &�-�� �� +M�

#=�) N'%��� ���5��

-1�V� #=�) RT&\� -��

�<4u9�/��� N'%��� ���5��

−joojroo �� +M�j�<4u9 joo.oo−roo^o|oo �� +M�^j�<4u9 roo�j−|oo^Z�oo �� +M�r|�<4u9 |oorj−�ooZo�oo �� +M��|�<4u9 �oo^^−�oo.o.ooo �� +M��|�<4u9 �oo.^

−.ooo^..oo �� +M�.oo�<4u9 .ooo^ N'%�'� ���5� R�*�� N� -1�V� N'%�'� ���5� R�*�� NI���

>U #M�T -�1 �/��� R)1 U #M��� �� UQ��'� &Q'$�

>��� ��� |jo &-$� 8M$ 8�9\� �Q*'�>��� ��� � ���� & |jo E��� F��Q�

joo

.oZo^o_ojoro|o�o�o

.oo

o roo |oo �oo |jo �oo .ooo ..oo

U

+*� K� ���; N'%�'� ���5�� ���� #A�& .oo R'�$� # �0�� [�; H��X� �� ����J� 89 ����I ro H�A�- 8��� ��-%� +'4� _

>F��Q� &�% ` � �$� �'0 8T���� +�<'�� U-7��� (� ,�/��� N'%�'� ���5��� -1�V�H�=��−-�−��−��−��−��−.����5��������/��

���

Mode ∫GƒæªdG>H�T���� � � ����5� �<4\� #'��� Q, ��Q���

bjc ��<�

:� �� � ��Q��� -A��j ,.o ,r ,j ,_ ,| ,� ,� ,j �

Z ,.| ,.r ,.j ,.. ,Zo ,.Z ,.. ,.� ,.Z P| ,| ,| ,| ,| fA

| , r ,j ,r ,j ,r ,j & :+*�

b� ����5� �<4\�c j = ��Q��� �.Z ,.. :Kl�Q�� -AQ P

��Q�� -AQ l fAr ,j :Kl�Q�� -AQ &

+*� K� ���;:� �� � ��Q��� -A�� j._ ,| ,r ,.Z ,j ,| �

.o ,| ,� ,.j ,.Z ,� ,� ,.j P. ,. ,. ,. ,. fA

_ , _ , ^ ,� ,� ,^ ,� ,^ &:á¶MÓe

�9 H�T���� � ���5� -AQ � �kL>�� ��Q�� -AQ

��Q�� �� �<4� -AQ K� �5' �>(��� #1Q'%�

:IÉ«ëdÉH §HôdG bCasio Classpad 300c #����� #�� U-7���

:#���� H�T���� ��Q��� F��� &��` � ,j ,j ,| ,. ,� ,^ ,| ,j ,r ,^ ,_ ,j ,^ ,Z

>bH����M�� #'x�M �c Statistics

��T�

�� ��\� NXQ�� � ���� K� �� -4u� ;list 1 U-7���>list 1

!��� � �0� YQ� ��,� ,��\� �4��� � Z +J&�>Z = �.{ �4 #D��� �� ����

>#'x��� � ���� NXQ�� �L ����T� EXE ������ �1 FWX� . #'x��� #*xl � #������ H�T���� (�M 2�4�

>list 1 � ���J&L (� 8�� H�T���� #9�4 #D��� �0��>��J&L +4 -$" EXEH�T���) 8�OQ� !�V;`� �1 �Q<$�

>8�OQ� !�V;`� �1 �QV*) (x�Q�� F � � Calc �1 ��T�One−Variable �1 ��T� �� -;�� �W�� N� +��$�T �*T

8�� #'x��� ����J� ���� Set Calculation ��9�T K�9>#)V� H�k H�T���� �1 EQ��

OK FWX� �g��O� ��9Q��� H�!�V;`� N��

:#D��� �1 �0���W��� ���the mean  ���� F�Q��� >8�$� ,• • ,��\� #'���

b# ¡1 �/��� ^ �Lc _}�r| E� 73 H�T���� �Q'¢ E� ∑X =73:8�$� #�T�<� #'���

>.j H�T���� #1Q'¢ (�M &-1 K� 8�$� n=15 ��Q���� F��Q� �� +4 &��` +��\� �L @%�T

j E��� F��Q� 8�$ Med = 5j E��� ��Q��� 8�$ Mode = 5

���

:á©aGôdG ¿ƒfÉb ΩGóîà°SÉH …QGôμàdG ™jRƒà∏d ∫GƒæªdG OÉéjEG>���5� £4� �0)"�� 8�� #=�� 8,� #��Q��� #=�� &-*T

>/� ,�� 2��¤� �1 #��Q��� #=�) ����� #�;��� ����� #�"��� ¥�=�) ���5�� &-*T:KL [�*" +5�� � �4 #��Q��� #=�� (�� ��Q���

b� − Yc × Z� = � × .�#��Q��� #=�� �QI = Y

� + #��Q��� #=�) RT&\� -�� = ��Q���>��Q��� P��� ¦#$9��� #� �M"§ Y�$ �� ��,

:���� +5�� �1 #$9��� KQT�� #�X� � #W�O NX� �5' �Y × Z�

Z� + .� + #��Q��� #=�) RT&\� -�� = ��Q���

brc ��<� >����I jo -�1 #�1Q��\� #���-� H�1�� &-$ E���5�� N /Q�� ���� ��-�� ¥�

> P�M� -�1 #�1Q��\� #���-� H�1�� &-$ ��Q��� -A��

#=��−^j−_o−_j−jo−jj���5��|Zo.jrZ

:+*�#$9��� KQT�M U�-7���"

_o = #��Q�'� #=�) RT&\� -*�j = #��Q�'� #=�� �QI :Y

| = #��Q�'� #=�) #�"��� #=�� ���5� :.�.j = #��Q�'� #=�) #�;�� #=�� ���5� :Z�

b� − Yc × Z� = � × .�b� − jc × .j = � × |

� .j − |j = � | |j = � ZZ

|jZZ = � ^}_. �

Y#��Q��� #=�� �QI

����� B"��� ���5��#��Q��� #=�)

����� B;�� ���5��#��Q��� #=�)

��Q��� �.�Z�

b� − Yc

��Q����

| = .�.j = Z�� − j

:Ió«Øe áeƒ∏©e:#$9��� KQT�M

>�01��k �QI × #������ = �01��k �QI × �Q��

#������ �Q�� ���k

#������ ���k�Q��

���

� + #��Q��� #=�) RT&\� -�� = ��Q���^}_. + _o ��Q���

_^}_. >��� ��� #��M& Zj� #1�� _^ P�M� -�1 �g�1Q��� #���-� H�1�� ��Q�� KQ5 �"�

+*� K� ���;>� �V7D Zo -�1 ������Q5� �-$' E���5�� N /Q�� 8��� ��-%� ��� r

U�-7���" ¨�7D\� !l�, -�1 ������Q5� �-$' ��Q�'� -A��>#$9��� KQT�� #�X� �� #W�V�

#=��−�t�-−�t��−�t��−�t-�−�t��−�t�.���5����-�-�

�LM��* X^��% �&#�"�� �LM��* '���� �LT ��u '1h I% cN��O!�� aN��� @��A!;�# �v����# '����� ����&K ���P <�w] IO��X^��% �&�1��

b|c ��<�>H������ �-;L � ��� -�" ¥��Q�� 2���� E���5�� N /Q�� ���� ��-�� ¥�

>¥��Q�� 2���� ��Q�� #�� ��� #'�M &��l E���5�� ©�-') ª���� +�<'�� U-7���#=��−Zoo−^oo−_oo−joo−roo−|oo

���5��jZ|^jZo.o^

:á q«ë°U áeƒ∏©e � ������Q5) 8$��M� �-$��

:w Q5� #�& � U-�CHOL >>> 3>10 5>20HDL>D >>> 1>04 1>68

��.

:+�� − joo 8, ����� #�;�� #=��� − ^oo 8, ������ #�"��� #=��� − _oo 8, #��Q��� #=�� K� ��-�� ¥�

���5��

#=��j

U

.o

.j

fAP

&ZoZj^o^j

o Zoo ^oo _oo joo roo |oo �ooU

8,� ��Q�') #�� ��� #'�M �1 +V*�9 >U #M��� � @$M� 8�9\� �Q*�� �1 � �&Q'1 (��T & P N� fA NI��� #M�T ��>� ���� & __j

+*� K� ���; #'�M &�% ` E���5�� ©�-'� U-7��� >U��AQ)�5�" � g QT�� � ���I ro K�/�\ E���5�� N /Q�� 8��� ��-%� ��� |

>P�M� !l�, K�/�� ��Q�' #�� ���

#=��−ro−r_−r�−|Z−|r−�o���5��|.Z.�.o�j

���

8T��$� +'1:8� ��H �\N< /� s�xY�� ��E��� y�� $��z���� X<�% 8T 01M�� $�\N< {��H

,�� ,�� ,�- ,�� ,�� ,� ,. ,�� ,�� ,�-,�� ,�� ,�� ,�. ,�- ,. ,� ,� ,�

��� ,�/ ,� ,�� ,�� ,�� ,�� ,�� ,�-����P s�<(* ���P s��( I�# |�M�� �\*( .

��v���pK $������� CD6 }�P [KN Z�$������� CDE� F�;�� �\*( ^

:I�*�"!% I��"P s�] $������� }�P F�;�� }"& _ {�p� cD�� F�;�� I% �g~( 86 8!�� }�&�� ���=�� s�<7� F�;�� �\*( �

�k�i '�5"�� 8T V��� {�p� cD�� F�;�� I% ��H( 86 8!�� }�&�� ���=�� s��7� F�;�� �\*( P

�k�i '�5"�� 8T V���:����!�� }�&�� � v���pK [KN j

�$������� s�xY�� ���&�� ,s��7� F�;�� ,F�;�� ,s�<7� F�;�� ,$������� ��gp�� ���&��

º∏©àJ ±ƒ°S

w���� z� ��� ��• �-'�• H��1�"�\�• �k m�-�V�

���X��$�

:ôcòJ

H�T���� �� #'��� Q, :F��Q� �0����� -$" 3V��'� 89 8�u� 8��

>�g�/��� �� � g -1�V�

4 �E�O�* F�;�� I� *( 8#�"9�� F;!��� I� $������� }�P �Y# *( 0�P I� X�OT ���MYK # �4�'� #1��� z� ��� U]��6N��!��* }�&�� CD6 rqK ��M�H �zK

�$������� 8T ��g!�� ��% k{!�!��i N��!�4� ���&% �pKX����!% $�<�M��� UOK �%��� � ����H UO* �EJY# I% �#N�&!% $������� $�<�M% UOK �%��� � ���g~ {!�!�� UO

� $������� CD6 }�P ���=K ��% �T�Y% 8T I�OK {!�!�� �;�N< ���6�T�8#�"9�� F;!��� �M� ��E�� $������� I% U�!��=% ���� U�H �S]

��E��# �% 8T � �%�="��* � �"��=K � H7� UOK 8#�"9�� F;!��� I% � H( ���P �EK����# }�P 8!�� ���=��� U�T������ �T�Y% 6 N��!�4� ���&% F"#(

>��WV� #'��� − R'�$� #'��� = �-'� ,���H GO�# ����� �QK �P 8!��* �T�M!��� ���&�� I�J! U( IO� cD��* $������� }�&� G%�O�� N��!�4� ����� �z

�$������� }�P N��!�� I� �LI�h X�OT 8MYK 8��!��#*

2-10äÉ«YÉHQC’G

Quartiles

���

b.c ��<�:#���� H�T���� (�� �-�� -A��

._ ,.. ,� ,r ,.Z ,.o ,� ,| �_| ,.� ,Zo ,.. ,.o ,.j ,.Z P

:+*�� = r − ._ = �-�� �

>(��� ����Tl � g-A � ���4 � �-� wM1� _| #9�M��� #'��� >^| = .o − _| = �-�� P+*� K� ���;

:#���� H�T���� (�� �-�� -A�� .j� ,_� ,_j ,_o ,j^ ,j| �

.Z_ ,.^Z ,.^o ,.Z� ,.|r ,.Zj P�8��#N7� ����* $����#N7� @�A!"� $������� }�P � �T�M!�� ���&�� I� lK���� ��O�� ���� G6�=!� 8O�

Quartiles n äÉ«YÉHQC’G

:l!�!"� �E�%* ��#N( - �] $������� }�P $����#N7� }"&K* ,Mp� �] $������� }�P F�;�� }"&�RT&\� 81�"�\� s�"* $������� }�P I% s�<7� �p��� F�;* 6* .� '*7� 8��#N7� �

�F��Q� s�"* $������� }�P F�;* 6* Z� �� �� 8��#N7� P��1\� 81�"�\� s�"* $������� }�P I% `�7� �p��� F�;* 6* ^� y�� �� 8��#N7� fA

��N − �N = 8��#N7� ���� &>"#�'³� &�-1\� +'¢" bR'�$� #'��� ,�1\� 81�"�\� ,F��Q� ,RT&\� 81�"�\� ,��WV� #'���c R'��

bZc ��<�>Zo.Z − Zo.. U-�� ��5 /��'�� 8� Q5� E��-� Sx��T ���� ��-�� ¥�

B ���#��&���w Q5� �$�#�����!��0��#'��4´��P����U����j._o^^ZjZ_ZZ.|._

>� g -1�V� (��� h�, 2�� �>�-�� #'�M -A�� P

>b81�"�\� �-��� �1\�� RT&\�c H��1�"�\�� F��Q� (�M -A�� fA>"#�'³� &�-1\� +'¢" 2�4� &

��/

:+��j. ,_o ,^^ ,Zj ,Z_ ,ZZ ,.| ,._ �

b��4 �-�� K� µ;�Tc ^| = ._ − j. :�-�� P Z_}j = Zj + Z_

Z = b /� c F��Q� fA

j. ,_o ,^^ ,Zj , Z_}j = Z� ,Z_ ,ZZ ,.| ,._ :F��Q� N� H�T����Z_ ,ZZ ,.| ,._ :(��� F��� Q, RT&\� 81�"�\�

.�}j = ZZ + .|Z

= .�

j. ,_o ,^^ ,Zj :(��� F��� Q, �1\� 81�"�\�^r}j = _o + ^^

Z = ^�.| = .�}j − ^r}j = 81�"�\� �-��

bj. ,^r}j ,Z_}j ,.�}j ,._c :#�'³� &�-1\� +'¢ &:���� +5�� �1 H�T���� (�M 2���� �5' :#�;��

j. ,_o ,^r}j = ^� ,^^ ,Zj ,Z_}j = Z� F��Q� ,Z_ ,ZZ ,.�}j = .� ,.| ,._

+*� K� ���;>Zo.. −Zo.o U-�� ��5 8� Q5� E��-� Sx��T 8��� ��-%� ��� Z

B ���#��&���w Q5� �$�#'��4!��0��´��#�����P����U����j._|^�^�.�.r._.Z

>H�T���� h�, (�� 81�"�\� �-��� H��1�"�\�� �-��� F��Q� -A�� �>"#�'³� &�-1\� +'¢" 2�4� P

Box Plot ¥hóæ°üdG §£îe 8��#N7� G � k|*��p��i cQH�% G�M!"% I% UO! 6* $������� }�&� �"��� <���7� G�� �p ���# G� � 6

s�xY�� ���&��* ��gp�� ���&�� U1 � ,!E+� I% ,!��&!"% ,!YMP* �N `�7� 8��#N7�* /N F�;��* �N s�<7��¥�X��$� dE��"�*

���

b^c ��<�>Sx���� i¶9 >¥�X��$� Ek m�-�V� FM· (�¤ bZc ��<�� �� "#�'³� &�-1\� +'¢" U-7���

:+��bj. ,^r}j ,Z_}j ,.�}j ,._c : "#�'³� &�-1\� +'¢"

o .o Zo

bZ_}jc F��Q�Z�

b.�}jc RT&\� 81�"�\�.�

b^r}jc �1\� 81�"�\�^�

m�-�V� FM·

R'�$� #'�����WV� #'���

^o _o joj.

j.^r}jZ_}j.�}j._

._

^�Z�.�

F��Q� ¥" ��QV*�� #�M��� �� �WO� 8, RT&\� 81�"�\�� F��Q� ¥" ��QV*�� #�M��� K� m�-�V� FM· ¥� >RT&\� 81�"�\� �L P�M� F��Q� K� E� >�1\� 81�"�\��

:k ����� 81�"�\�� F��Q� ¥" �0�$" �1 -$���� RT&\� 81�"�\�� F��Q� ¥" �0�$" �L �<4� #� �M H�T���� (�M ����T� KL

¥" #1Q'¢� [�<�� ��\� �4��� ¥" ��\� #1Q'%�� �0��" �� � #"����� # -T\� �� ¥�1Q'¢ ���, K� 8�$ �¸ >�1\�>�J\�� N"��� �4���

>#9�M�� #'�M &QA� ¥� l m�-�V� FM· K� �4

+*� K� ���;

>Sx���� i¶9 >"bZc +� K� ���;" ���9 � �&QAQ�� H�T���) ¥�X��$� Ek m�-�V� FM· (��� ^

��-

>Sx���� #T���� ¥M�-�V ¥MM· (�� �5' b_c ��<�

:�g�"���� � �-)" .Z 89 85 ��\� �l�-�" U�$M� R)1 E�0�� ���'� Y��V� �-$� H�T��" R�\� #1Q'%'� +<'�> ^jo ,^�o ,jro ,j�o ,_�o ,_|o ,r�o ,jZo ,_jo ,|jo ,_Zo ,^.o

:�g�"�1 � �-)" .Z 89 85 ��\� �l�-�" U�$M� R)1 E�0�� ���'� Y��V� �-$� H�T��" #�T�<� #1Q'%'� +<'�>|ro,.�o ,..�o ,..oo ,�^o ,ZZo ,�oo ,�oo ,^|o ,|oo ,rjo ,.ojo

># -1�V� #� �M" H�T���� 2�� . +5 £4\� #'���� �WO\� #'��� �L #9�X`�" H�T���� �� #1Q'¢ +5 �1\�� RT&\� 81�"�\�� F��Q� -A�� Z

>H�T���� �� #1Q'¢>#�T�<�� ��\� ¥�1Q'%�� �� +5 � g -1�V� #����� H�T���� � ��-7��� ¥M�-�V ¥MM· (��� ^

>Sx���� i¶9 _:+*�

:E-1�V�� 2��¤� 2�*" ��\� #1Q'%�� .>|jo ,r�o ,j�o ,jro ,jZo ,_�o ,_|o ,_jo ,_Zo ,^�o ,^jo ,^.o

:E-1�V�� 2��¤� 2�*" #�T�<� #1Q'%��>..�o ,..oo ,.ojo ,�oo ,�^o ,�oo ,|ro ,|oo ,rjo ,^|o ,ZZo ,.�o

, _�o = _�o + _|oZ

= R�\� #1Q'%'� F��� ,^.o = ��WV� #'��� Z ,j|j = R)1\� 81�"�\� ,_oo = RT&\� 81�"�\�

>|jo = ���5� #'���, |�o = �oo + |ro

Z = #�T�<� #1Q'%'� F��� ,.�o = ��WV� #'��� ,�|j = R)1\� 81�"�\� , j.o = RT&\� 81�"�\�

>..�o = ���5� #'���

���

^..�oj.o �|j|�o.�o

^.o _oo _�o

.oo Zoo ^oo _oo joo roo |oo �oo �oo .ooo..oo .Zoo

j|j |jo

#�"���\� ��-�

#�"�$� ��-�

89 -1��� ���, K� h��$� �� #�"���\� ��-� +<' E�� m�-�V� �� �QI� #�"�$� ��-� +<' E�� m�-�V� _ RL P�M� F��Q� K� -%T #�"���\� ��-� 8�9 >U�$M� R)1 #�"���\� ��-�� #�"�$� ��-� ��" E�0�� Y��V'� � g �0D � ��l�& _jo RL P�M� U�$M� R)1 Y��V'� K� R)1 �- �'� R)1\� 81�"�\� �� -$"� Q,� RT&\� 81�"�\�

:E��� �-'� K\ #9�M�� � �'�M -AQ l @T� � �')1>__o = ^.o−|jo

#�"�$� H�$'�%'� K� 8�$ �'� RT&\� 81�"�\� �� R)1\� 81�"�\� RL P�M� F��Q� #�"�$� ��-� #1Q'%� 89 ��� K\ #�"�$� H�$'�%'� 89���4 H���� ���, K� � �� � -%T �5� ,�g �0D � ��l�& |�o R�Q; U�$M� R)1 � ���<4 B���

:E��� �-'�>#�"�$� ��-� 89 81�'�Al� H����� R)1 �- �� .ooo = .�o−..�o

+*� K� ���;:Sx���� i¶9� #���� H�T���� (�� ¥M�-�V ¥MM· (��� _

r ,.o ,� ,j ,_ ,� ,| �^� ,.� ,.| ,Zo ,.r ,.j ,.o ,.Z P

���

3-10…QÉ«©ªdG ±Gôëf’G

Standard Deviation

8T��$� +'1 ���Y�� �p�� k0i ��Y���* k i ��Y��� I% G��*7� 01I � $�\N< ��N�&% GpM�� }�Y% <�N(

��\N< /� s�xY�� ��E��� y����/ ,�. ,�� ,�� ,�- ,�� ,�/ ,�� : ��Y��� $�\N<

��� ,�� ,�� ,�- ,�- ,�� ,�/ ,�� :0 ��Y��� $�\N<. ��Y��� 01I $�\N�� 8#�"9�� F;!��� n �\*( �

�0 ��Y��� 01I $�\N�� 8#�"9�� F;!��� � �\*( P ���=% c( N�& U( GpM�� }�Y% r�M!" G6 ؛� ،n }�P s�] � �<��!;� fA

?GJT7� 86 }EK�\N< 01M�� I%:I����!�� I��*�=�� G�H( &

(0) ��Y� ( ) ��Y� Z(¨ -

ر(ص ¨ -

رص ر

ص

..

.Z

.^

._

._

.j

.r

.|�Q'%��

Z(� - ر�) � -

رس ر

س

.o

.Z

.Z

.^

._

.j

.|

.��Q'%��

º∏©àJ ±ƒ°S

:w���� z� ��� ��• � ����• E���$'� Y��*Tl�

>u E���$'� Y��*Tl�� Zu � ���� 8,� w���� z� ��� �� ��J� H��D�� -��� ��, 89 ()$�� YQ�

Variance and Standard Deviation …QÉ«©ªdG ±Gôëf’Gh øjÉÑàdG

:U�T n 8#�"9�� �EM;!% y�� U �6<�� }�&�� I% ���=% نn , ��� ,

٣n ,

٢n ,

١n {��H �S]

- س)/ر (س

ن

ر = ١

ن = /u = I��!��

/uF = u = cN��Y��� j��9�4� V�%*

���

ن$ , ���� ,

٣$ ,

٢$ ,

١$ ;$����# }�P 86 Un ,��� ,

٣n ,

٢n ,

١n {��H �S]

:6 }�&�� CDE� I��!�� UO�T [�K�!�� s�� }�&�� CD6 N��OK 86 - س)/

ن(س

ن - س)/ + .... + ت

٢ (س

٢ - س)/ + ت

١(س

١ت

ن + ... + ت

٢ + ت

١ت

= /u

- س)/ر (س

ر ت

ن

ر = ١

ر ت

ن

ر = ١

=

F/(س - ر (س

ر ت

ن

ر = ١

ر ت

ن

ر = ١

= u = cN��Y��� j��9�4�*

b.c ��<�:H�T���� (�� E���$�� Y��*Tl�� � ���� -A��

Z ,| ,^ ,j ,� ,r ,_:+*�

: ���� F�Q��� �l�� -AQTj = ^j

| = Z + | + ^ + j + � + r + _| س =

:���� ��-�� KQ5T

�� #'��� ���� F�Q��� �1 Y��*Tl�� − س�

 ���� F�Q��� �1 Y��*Tl� N"��Zb س − ��c

_.−.r..�^�joo^Z−_|Z_Z^−�

Z� = �Q'%��

_ = Z�| =

- س)/ر (س

ن

ر = ١

ن = /u � ����

:á«°VÉjQ áeƒ∏©e - س) هي انحراف

ر (س

عن المتوسط الحسابي. Nn

المتوسط الحسابي:هو ناتج قسمة مجموع قيم البيانات على عدد هذه القيم.

���

_ = Zu � ����>Z = _F = u E���$�� Y��*Tl�

+*� K� ���;:H�T���� (�� E���$�� Y��*Tl�� � ���� -A�� .

Z ,_ ,r ,� ,| ,�

bZc ��<�#���*� #�� U�-7��� �5'

>���)�7� ��A��TL �� H�1���" #�x�"�04 ��"�V� | �'$ �QV�� H�1��� &-1 8��� ��-%� ��� b c ©��TL. ojo�.o. ooo. o^o�_o�ro�|o

bPc ©��TL. .^o|oo�|o�ro. ojo. .�o�|o

>bPc ©��T¹ ¨ 8"��*� F�Q�'�� b c ©��T¹ � 8"��*� F�Q�'� -A�� �>bPc ©��T`� F��� (� b c ©��T`� F��� -A�� P

>@��T Q, ��A��T`� 89 F��Q� K�� @��T Q, ��A��T`� 89 8"��*� F�Q�'� K� bPc ,b�c ������ 89 H�"��*� ����� fA?S����� �k�� >bPc ©��T`� 89 Zu E���$'� Y��*Tl�� b c ©��T`� 89 .u E���$'� Y��*Tl� -A��

?+�9\� Q, ©��TL E�:+*�

��o = �|o + �ro + �_o + . o^o + . ooo + �.o + . ojo| � س =

��o = �|o + . .�o + . ojo + �ro + �|o + |oo + . .^o| ص =

��.

. ojo ,. o^o ,. ooo ,�|o ,�ro ,�_o ,�.o :b c ©��TL P�|o = F��Q�

. .�o ,. .^o ,. ojo ,�|o ,�ro ,�|o ,|oo :bPc ©��TL�|o = F��Q�

fAر� #'���� −

ر�Zb� −

ر�c

. ojo|o_ �oo�.o|o−_ �oo

. oooZo_oo

. o^ojoZ joo�_o_o−. roo�roZo−_oo�|o.o−.oo

._ �oo = �Q'%��b c ©��T`� � E���$�� Y��*Tl�

_j}�� ⋍ Z .._}Z�rF = ١u

ر¨¨ −

ر¨Zb¨ −

ر¨c

. .^o.joZZ joo|ooZ�o−|� _oo�|o.o−.oo�roZo−_oo

.ojo|o_ �oo

. .�oZoo_o ooo�|o..o−.Z .oo

.j� _oo = �Q'%��bPc ©��T`� � E���$�� Y��*Tl�

.jo}_^ ⋍ ZZ rZ�}j|F = ٢u

FZ(س - ر (س

ن

ر = ١

K = u

FZ(س - ر (س

ن

ر = ١

K = u

���

>��� ��� ١u^ E���

٢u K� µ;�T

>+�9\� 8, b c ©��T`� � #�x�"�05� ��"�V�� ����"� ��4  ���� F�Q��� �1 w���� bPc ©��T`� � ��+*� K� ���;

H�T���� �� ¥�1Q'¢ bPc ,b c �5� ZZo ,.� ,� ,.j ,| ,.o ,.Z :b c

.� ,.. ,� ,� ,.Z ,.� ,._ :bPc

?µ;�� �k�� >bPc (�� ¨  ���� F�Q���� b c (�� �  ���� F�Q��� -A�� �?µ;�� �k�� >bPc #1Q'%�� (�M F��� (� ,b c #1Q'%�� (�M F��� -A�� P

+M� (��� E� >bPc #1Q'%�� (�� ٢u E���$�� Y��*Tl�� b c #1Q'%�� (��

١u E���$�� Y��*Tl� -A�� fA

>�"�AL ��� ? ���� �0M�Q�� �1 ������>#=�� �4�� 8,

ر� £�$T H�=9 �k E���5� ��-A � H�T��" (�� � ���� P��� :#�;��

b^c ��<�

>#A�& .oo R'�$� # �0�� [�; 8���-� U�$� # �0T K�*��� 89 ����I ro H�A�- E���5�� N /Q�� 8��� ��-%� �i��

bH�A�&c #=��−o−Zo−_o−ro−�o

���5��_r.rZ_.o

>H�T���� h�, (�� u E���$�� Y��*Tl�� Zu � ����� �  ���� F�Q��� -A��

:áeƒ∏©e

@T� ���x�V;`� -�1 @�)1 Y��$�'� �� �')4 � ���WO E���$'� Y��*Tl� K�4 �')4 F�Q�'� RL P�M� H�T���� (�M w��� K�4 (�M w��� K�4 � ����4 K�4 �')4� ,8"��*�

>8"��*� F�Q�'� �1 � �-�$" H�T����

���

:+*�ro = ^ roo

ro ر = ت

ر س

ر� : ت��� F�Q���

ro = � ∴�H × Z(� - ��) Z(� - ��) (� - ��) �H �� ���5��

�H#=�� �4��

��#=��

.oooo Zjoo jo− _o _ .o −oj_oo �oo ^o− .�o r ^o −Zo.roo .oo .o− �oo .r jo −_oZ_oo .oo .o .r�o Z_ |o −ro�ooo �oo ^o �oo .o �o −�o

Z�_oo :�Q'%�� :�Q'%��^roo

:�Q'%��ro

_|^ .^ = Z� _oo

ro - س)Z تر = ر (س

ر ت

= � ����

_|^}^ = Zu = � ����Z.}|jr F_|^}^ = u :E���$�� Y��*Tl�

+*� K� ���;>bU��AQ)�5�" K/Q�c EQT�� 2�I .oo K�/�\ E���5�� N /Q�� ���� ��-�� i¥� ^

#=��−ro−r_−r�−|Z|r

���5��j.�_ZZ|�

>K�/�\� h�� u E���$�� Y��*Tl�� �  ���� F�Q��� -A��

��/

b_c ��<�

�1 (��� h�, H�9��*T� H�$"�� �Q'¢ K�� r = u Q, H�T��" �� (�M #1Q'%� E���$�� Y��*Tl� K�4 �kL?H�T���� h�, (�M &-1 �9 ,j_o Q,  ���� �0M�Q��

:+*�Zb� − ��c

ن

ر = ١

ن = Zu :�-1��� �JuT

j_oK = Zbrc :t Q$��"�

.j = j_o^r = K

>.j Q, H�T���� h�, (�M &-1+*� K� ���;

�0M�Q�� �1 (��� h�, H�9��*T� H�$"�� �Q'%�� ,_ = u Q, H�T��" �� (�M #1Q'%' E���$'� Y��*Tl� _>_�o Q, 8"��*�

?H�T���� h�, (�M &-1 �'9

���

4-10ó©dG ¥ôW

Methods of Counting

º∏©àJ ±ƒ°S

• U�-7���" +x��� +; -$� �-��

• U�-7���" +x��� +; B�9�Q�� �� + &���� ��T�QM

ºM���T� �5�T ��1&��Jh( V�� 8�� ��* ���( V�� '*7� �X���* X�% � �Y% <�� c�=� 8%�# ���h @&

�C��<( GO��� �x��?lK�� GH ���! }% �

�����P 8T ���Y�� 3�JT �~��� GH [!H� P?��O���� lK���� <�� �% fA

?�. c*�" I�6�x�� I<�Y�� ��=% UO y�9# � �Y% <�� c�=� 8%N� ��9�� GO�K 8!�� lK���� �% &�� �NMK � H( �Y�� |�I `� nN��� �D6 � j�Y!�; ���O�* ,�Y� ��H j�Y� ���H

�'d!�4� �;�N< ��� V�% ��M!"�;* ,rM&!�� �+� [�~ � 6 �Y�� (��%��EY��� *( 3���( [�K�K �� IO� 8!�� |�M�� *( ���� ���� <�� ��u [�M!K X�&Y�� *( �M�"��� G��"�� I% ��Y��

Counting Principle ó©dG CGóÑe CD6 U�Y�! ,�� �# (��� j;* ��6�Y# @&� j; 8!�� ���=�� [�K�K ��I I� �Y�� G��"% �Y# G9� U( IO�

��&�M��

ºFGƒ≤dG ≥jôW øY ó©dG b.c ��<�?�0�� Y�; E\ ���5� K�& �� & ,fA ,P ,� :Y���� ¥" �� �0� Q5� �5' 8�� Y���� #���� /Q��� &-1 ��

:+*�:b2��¤� 2�*" ��Q��c 2��� +5�" H��T�5�`�" #'x�M 2�4�

fA P �& P �P fA �& fA �P & �fA & �b �l�� �cfA � P& � P� fA P& fA P� & PfA & Pb �l�� PcP � fA& � fA� P fA& P fA� & fAP & fAb �l�� fAcP � &fA � &� P &fA P &� fA &P fA &b �l�� &c

>� ���� Z_ #"��4 �5' >#�T�5�L Z_ = r × _ -AQ +*� K� ���;

?¦�§ f" ���� �-� il� U�D �0�� Y�; E\ ���5� K�& �� ¦Y�QT§ Y��; �� �0� Q5� �5' 8�� /Q��� &-1 �� .

��-

��Y�� ��E% }�x�K � ���"K U( IO� #�T���� ��%�� U�T ,8MO d# � ��g~ $����O%>� <�� U�H �S]

á«fÉ«ÑdG Iôé°ûdG bZc ��<� �-;�� �1 ����1 �u9�5� +4 ,�u9�5'4 ��Q�� �1 #'$I\� �� ¥1QT z��� !�)1 U-7��� ,K�Q��� �Q)� �1 #"�» �

?���5� �e �x�Q�� ��QT� wT�4 ��; � #�5'�� #�)�7�� H��5��� &-1 (4 >#�5¸ ��QT� #��� ��:+*�

>fA ,P ,� :����4 �x�Q�� �� #��<� ��QT\� ¥" �i�� ��%�� £1 B �I +4 >H��T�5�`� +4 � iXQ� ����� �L #�T���� ��%��

w� ���, K\� ,��x�� ���5¸ � �$"��� +<¼ ����� �L ¥'�� �� h�»l�" #�T����>#�5¸ H��5�� w� �� - KQ5�� � m�I

>r = Z × ^ :K� µ;l

+*� K� ���;>#04�9 �� H� Q); ,#'� �� '� �� ©�A& ,!��; �� #M)� :�� #��� !�-e #�A� (1�M�� -;� U-� Z

>#�5'�� H��AQ� &-1 !�M1` #�T���� ��%�� U-7��� $4��� CD6 G % � �X��H �6�� cN�+� $����O%>� ���� {��H '�� � ��� �� ������ X�=��� FM� @��A!;� ��p

��������� X�=��� `� �Y��# �E!\D�� {� 8!�� 0��� �&�I @�A!"KCounting Principle ó©dG CGóÑe: 86* U �6<�� ����!!% $����� X�� I% UO!K u ��H�% ����� ���� U�H �S]

:{��H �S]* Uu … ,٣u ,

٢u ,

١u

,�&�I ١N m# ��u U( IO�

١u

,�&�I ٢N m# ��u U( IO�

٢u

,�&�I UN m# ��u U( IO� نu

:86 U 3��\>� �� ��b U( IO� 8!�� |�M�� <�� U�T�نN × … ×

٢N ×

١N

�*�� $��% <�� ��u }! ,�EM�YK <�=�#* �نu , … ,

٢u ,

١u G����� <�9� U( 6 �Y�� (��% G��"% G� ¡�!M% U]

����"�� G� ��O��� |�M�� <�� `� 'p9�� <���7� CD6 0¢ W}£ I%* ,�E�% GH

�-"�P

P

P

fA

fA

fA

��

P �fA �� P

� fAP fA

fA P�

..

���

ó©dG CGóÑe ΩGóîà°SG b^c ��<� �5' 8�� H�;Q)� &-1 (4 >U�M�� #��� �0$�� # -%"\� Y���� �� ¥9�*" K-�� �-;L � H������ H�;Q �-��

>C�J�¤� H�;Q �� E� � U�M�\� �� Y���� �� E\ ���5� -AQ l @T� v¤9� ?�0�)1 �QV��:+*�

#;Q)� (�J :u ��\� Y��� (�J :.u ª�<� Y��� (�J :Zu ��\� (M�� (�J :^u

:�� - ��5,�H��)'$�:.uZu^u_uju

#�)'1 +4 ��5��l m�M� &-1:Z�Z|.o��

#;Q)� (�J m�I &-1=Z�×Z|×.o×�×�

#� �I j__ ^Zo =>#� -�� h�, � #;Q j__ ^Zo �1 �QV�� �5'

+*� K� ���;?E&�9 &�;�� (M� K�4 �kL �0�)1 �QV�� �5' 8�� H�;Q)� &-1 Q, �� ,b^c ��<�� H��M$� U-7��� ^

ó©dG CGóÑe ΩGóîà°SG b_c ��<� E� ¥" �&�$� &QA� U-1 v¤9� ?m���� ��� #�5'�� Sx���� &-1 Q, �� >E�A U .oo m��� � ¥�"���� #�T�� -AQ

># �0�� FJ �L (0�� g�4 +O� ¥�"����� Ku" ��)1 >¥�"����:+*�

>m���� !�½L 2��¤" ¥x�-$� #'x�M :u> �l�� m���� 80� E�� B"����� :.u

>m���� !�½L � ª�<� @����� E�� B"����� :Zu

Y�;\�U�M�\�

���

:�� - ��5,�H��)'$�:.uZu^u_ujuru|u�u

#�)'1 +4 ��5��l m�M� &-1:�|rj_^Z.u !��A` m�M� &-1=. × Z × ^ × _ × j × r × | × �

_o ^Zo = !� = >m���� ��� ���5¸ � �»�T _o ^Zo -AQ

+*� K� ���;>b�&�$� E� -AQ l @T� E�c #�)�7� H�M�� 89 # �0�� FJ RL �0$�'A w)O�� �%0) m��� 89 ��'A Zo ���D� _

?m���� ��0 #�5''� Sx���� &-1 Q, ��

Permutations πjOÉÑàdG !K Q, !��D\� �� K + &��� &-1 � �%��* �+ &����" s�" [�K��� �D6 G % �� ���!Y%* vdE% [�K��� U�H ,,&#�"�� ,�� �� �

#�x�A #1Q'%'" F&T }!¤ 3���7� G<��K r% G%�Y!K 8!�� �P��� I% ��Y�� ���� �* k-i '� �� � W,�% 6 dH bK P�¿�c������% � �MP% �!¥ k�i '� �� ����J!¦�� 3���7� I%

πjOÉÑàdG OóY OÉéjEG bjc ��<� ,z�x� 2x�T ,z�x� :2O��� #$"�\ ¨�7D� #$"�� ����J� K�- � ���-� 89 H��X� �� #�$'A �� � �Q�1 ^. K� v��9�

>2O��'� h�0 ����Jl� �0" �5' #� �I (4 & i-; >m�-�V� ���� ,��� ����:+*�

#� �I ^. :z�x�� ����J�#� �I ^o :z�x�� 2x�T ����J�

#� �I Z� :��� ���� ����J�#� �I Z� :m�-�V� ���� ����J�

|jj .ro = Z� × Z� × ^o × ^. :Q, #$"�\� 2O��') ¨�7D\� ����J� �0" �5' 8�� m�M� &-1

+*� K� ���; >m�-�V) ������ ,��) ������ ,� ���x� ����J� K�- � >!���\� z)%� KQ)5� � �Q�1 Zo -AQ # ��7� H��$'%� �-;L 89 j

>2O��'� h�0 ����Jl� �0" �5' #� �I (4 & i-;

:ôcòJ

�� K P���� . × Z × × … × b. − Kc × K :Q, !K

. × Z × × _ × j = !j : ��<'9. = ��O P���� ���G� . = !o

���

Law of Permutations πjOÉÑàdG ¿ƒfÉb:6 X�% GH � N �E�% XSh�% #�)�7�� ���Y�� I% U G<��K <��

U ≥ N , + � U , N ,k� + N − Ui ��� k/ − Ui k� − UiU = ر'U

. = o�K j W�Y � = N �%��� k� + N − Ui × ��� × k/ − Ui × k� − Ui × U =

ر'K :R�4

. × Z × ^ × >>> × b� − Kc. × Z × ^ × >>> × b� − Kc × k� + N − Ui × ��� × k/ − Ui × k� − UiU =

!U!kN − Ui =

¿ƒfÉb

� = ٠'K ,U ≥ N , + � U ,� y�� !U

!kN − Ui = ر'U

brc ��<�>����� ��QV" #����� #�� U�-7��� K�-" + -�� +4 #'�M -A��

٣�K fA

٣�.. P

٤�r �:+*�

:R�\� #� �M� � !r

!Z = !r!b_ − rc =

٤�r

^ro = ^ × _ × j × r = . × Z × ^ × _ × j × r. × Z = :#�T�<� #� �M�

��� = � × - × � × � =٤'r

��o = � × .o × .. = !� × � × .o × ..!� = !..

!b^ −..c = ٣�.. P

bZ − Kcb. − KcK = !b ^ − Kc × bZ − Kc × b. − Kc × K!b^ − Kc = !K

!b^ − Kc = ٣�K fA

:IóYÉ°ùe ��;��� ��?� @��A!;� IO�

,G<��!�� <�� <�w>� nPr `� Fgz�

+��1 �

� m# (���

<���( -

}

���

+*� K� ���;#����� #�� U�-7��� K�-" + -�� +4 #'�M -A�� r

>����� ��QV" ٤�K fA

٤�.o P

٣�j �

b|c ��<�?�0�� E� ���5� U-1 ��; � k� #�"�$� # -%"\� �� #�)�· Y��; #�À �� +5��� K� �5' 8�� H�)5� &-1 ��

:+*�>@��T wMQ� � � �9�; Z� �� Y��; j f + &���� &-1 &��L #u��� � PQ)M��

:IóYÉ°ùe #"��4 � (0� Y���� 2����

�1 3)�Á P��4 #')59 >H�)5�>2��4 #')4

Z_ × Zj × Zr × Z| × Z� = !Z�!Z^ = !Z�

!bj − Z�c = j�Z�

.. |�^ roo = # -%"\� �� #�)�· Y��; #�À �� #TQ5� #')4 .. |�^ roo -AQ

>#�"�$�+*� K� ���;

?(M� E� ���5� U-1 ��; � k� ��V� K�-" E¡$� U���� U�M�� �� U�M�� _ �� +5��� K� �5' 8�� &�-1\� &-1 �� |

Combinations ≥«aGƒàdG U I% ��O% ���� I% �6N��!h� IO� 8!��* ,¨�� N I% �E�% GH UO��* ���Q+� $���=�� <�� <�w] ��K �%���

�B�9�Q�� ["9� I9�T 2��¤� �1 &��1l� K�& k U ≥ Ni ¨��

b�c ��<�?¨�7D� #$"�� �� #1Q'¢ �� �0� Q5� �5' 8��� ,¨�7D� #��� �� #TQ5�� K�%)� &-1 ��

:+*�:����4 k� b.c ��<�� � �&QAQ�� )�4 #'x�M &�-1�" (M (� & , fA ,P ,� #$"�\� ¨�7D\� F( Â�

>b�0�� #��� ����Jl ���5¸ ������� Z_ = ^�_ ���, K� µ;lc

٤�r P��; m�I

6 shift nPr 4 = 3606! ÷ ( 6 - 4 )! 3606 × 5 × 4 × 3 360

��.

fA P �& P �P fA �& fA �P & �fA & �fA � P& � P� fA P& fA P� & PfA & PP � fA& � fA� P fA& P fA� & fAP & fAP � &fA � &� P &fA P &� fA &P fA &

>#'x��� � H��� r = !^ �0�� fA ,P ,� ¨�7D� #��� �� #TQ5� #��$� #�� K� µ;lfA P �P fA �fA � P� fA PP � fA� P fA

������� !^ �1 ����� ���5¸ ������� ^�_ f ���� K�%)� &�-1� ���L K�9 � �-;�� #1Q'¢ #��� H����¤� h�, +5��>#�� +5 � ��)�·

_ = !_!^!. = !_

!^ !b^ − _c = !_

!b^ − _c!^ = ^�_

!^ = K�%)� &-1

+*� K� ���;?¨�7D� #$"�� �� #1Q'¢ �� �0� Q5� �5' 8��� ¥V7D �� #TQ5�� K�%)� &-1 �� �

:©?�H �6<�w] IO� ¨�� U I% ��O% ���� ,# I% XN�!A��* ¨�� N I% �E�% GH U WO�� ��T�!�� <�� ,�%�� �Mp#*ن!

(ن - ر)! ر!لر =

U

ر! = ��T�!�� <��

≥«aGƒàdG ¿ƒfÉb :∞jô©J:U�T ,N ≤ U y�� U��\% U�9�9~ U�<�� N ,U U�H �S]

:6 3���7� I% U ,# I% XN�!A��* 3���7� I% N I% �E�% GH ��O�� ��T�!�� <��ن!

(ن - ر)! ر! = kرن k

:$�x�1%� = k٠ن k j ª�Y¦ � = N �%��� k�i

� = kنن k k/i

:á¶MÓe I� ��Y!��

ر|U Q%��� @�A!"

���T�!�� <��

�.�

b�c ��<� >���1l .Z �� K iQ5� #)� ��4 B �9 K�4 �kL

�� �0� Q5� �5' 8�� #�)�7�� m��� &-1 �9 �5' c B ��� ��, 8�1l ¥" �� ¥�1l #�À

? b�4���� +4 � 2$)� 21l E\:+*�

#�)�7�� m��� &-1 8,� k�/� k -AQT K� 2� ¥�1l j �� #TQ5��

>���1l .Z �� (,����J� �5' � ���nCr shift= 125792 #����� #�� U�-7��� -�1 |�Z = � × � × .o × .. × .Z

. × Z × ^ × _ × j = !.Z!bj − .Zc!j = k�/� k

>���1l .Z ¥" �� (,����J� (�� ¥�1l j �� KQ5� B �9 +4 ,� ��)�· � �� �9 |�Z -AQ +*� K� ���;

8�1l ¥" �� ���1l .. �� �0� Q5� �5' 8�� #�)�7�� m��� &-1 �9 >���1l Zo �� K iQ5� U-M ��4 B �9 K�4 �kL �b�4�� E� � 2$)� 21l E\ �5' c ?B ��� ��,

U*< I% X^��% ٥|�/ ["u U( ��;��� $4?� I% ��Y�� r�M!"K

�E9z� I9�T «�S I% }���� `�* ���M;�� $�M�� ¡�J> XN*¢ X��H <���7� �E�T UOK 8!�� U���7� �Y# � ¬���"K �P �­7 ��6

���� �* ���;��� ��?� @��A!;� U*< �#�\] 8MYK U( [Yp y�9# G % ��;��� $4?� �Y# ¬���"K 4 �P � v�\ X��O�� <���7�

�U��&�� ��MT � ١٠٠����ق

b.oc ��<�>� �*D�� j. ¥" �� ¥*D�� .o ����J� 2� ,#�"���� H�"�7�T� ¥*D��� �x�Q ����J� +A� ��

?�0� Q5� �5' 8�� #�)�7�� �x�Q)� &-1 ��:+*�

>.omj. &��` B�9�Q��" B)$�� #u�� h�, � �kL ,PQ)M� �e #*x�� ����J� !���� 2��¤� KL#����� #�� U�-7��� -�1 .Z ||| |.. �|o = !j.

!_. × !.o = .omj.

.Z ||| |.. �|o Q, #�5'�� #�)�7�� �x�Q)� &-1

8M�A�� @=E�� [�4 k�ij�E�� <�"% rT����� k/i

}"=�� ��g~ @=E�� [�4 k�i}"=�� cP @=E�� [�4 k-i

F;�� [�4 k�i

k�ik/i

k�ik-ik�i

= 51101}2777711870>1010 0 nCr

#���� H�QM³� U-7���:#����� #�� #M��Q" B�9�Q�� &��`

nCr= K�

�.�

+*� K� ���; .j �0�� +4 N��� H�9�; U�-7��l P�M) �x�Q &�-1L ��� �� Q'��� &��� ,8�IQ� 3*��� ��� � &�-1`� !���� .o

?��� �� h�� �,&�-1L �5' 8�� #�)�7�� �x�Q)� &-1 �9 ,����I ro Q, P�M� &-1 Ku" ��)1 >����I

b..c ��<�>#�; +4 � m�M� &-1 2�;�� � ���9Q� �� �� -�� i¥� ��<�� K�4 �kL �� & i-; � �¸ +4 �

>�!���� E&�T � � �Q�1 Zj ¥" �� Å ¥�� ,z�x� 2x�T ,z�x� ����J� �>#�x��e #�A� &�-1` #�; .Z �1 EQ�Æ z�4 �� �I�M" H��; j ����J� P

>� �-$�� Zj �Ç #9�e � ����I ZZ -1��� i¥� ��MM· ()$� NX� fA>+V�� #9�e � �0��)$�� �0�"��5 ����" .. �� #TQ5� # �$D �-�VM �� H��"� _ ����J� &

:+*�.^ �oo = ^�Zj >+ &��� ∴ ����Jl� � (0� 2��¤� �

|�Z = jm.Z >B�9�Q� ∴ ����Jl� � (0� �e 2��¤� PZ_.o × Z}j�jZ ZZ�Zj >+ &��� ∴ (0� 2��¤� fA

^^o = _m.. >B�9�Q� ∴ (0� �e 2��¤� &

+*� K� ���;

>� ���9Q� �� �� -�� i¥� ��<�� K�4 �kL �� & i-; ,� �� � ..>K]��� ���� #�"��� � #4���') ��$� 3V� �� P�I ^ ����J� �

>K]��� ���� #�"��� � #��<� ¥4����� �4��� P

�./

5-10

º∏©àJ ±ƒ°S

• +���'� p-*�• N"��� p-*�• U���'� ��'�;l�

ºM���T� �5�T ��1& U�&� �EE\*( ��( `� U W* ¦< ,$1�M!"% cq�!% GO� `� $�I1# I% ��%*��� ��Y� ���!K

�� �] k®��Ti �Mp�� I% ¡*�� �6<��?�6<�� �% ���O��� a�*q7� W,� �4*�\ U WH � .

?,*�"!% ,�PN I% �M�5�� lK���� <�� �% P ?� c*�" ,�P��� ��� UO U( 'd!�� �% ,,*�"!% �� �6dPN �I1# [9; }K Z

?� I% �g~( ,�P��� ��� UO U( 'd!�� �% �U�*�"!% �6dPN �I1# {�9; ^

���Q\ ���� 6 p-; GH �bYc #��$� !��9 s�"K 8!��* ��O��� lK���� ���� �T�Y�# �4*( }!­ ,������ �#�� GH �����Y�� 3�JT I%

:6 ���� 'd!�� U�T �E"M� NEx�� �~�T �¯ �#�=!�� lK�� r�° {��H �S]

��9�� lK�� <�����Y�� 3�JT 8T lK���� <�� = b p-��c�

( ن (

ن (ف) = k i' :U( c(

��L% ��"� *( ��"� *( ±H *( c²� ±H XNp# 'd!�4� [!O

b.c ��<�� �%�� �� +5 EQ)$� @AQ� #�;�� 8, #"�%��� ¦� � ���� ¥'���� &�T E�%; 8��§ #�$ �

?#�5'�� S��Q�� &-1 ��� >#��$� !��9 2�4� ?S��T +4 3u� i(� �>�g�T��" #��$� !��9 +<� P

?¦_ E��� �01Q'¢ � &-1 �Q0�§ : p-�� ���;� �� fA:+*�

>+ ∈ K , U >r ≥ K ≥ . ,r ≥ U ≥ . [�; bK ,Uc 2��� ©�/ �� S��T +4 3u� �,br ,.c , … ,bZ ,.c ,b. ,.c} = Y,br ,Zc , … ,bZ ,Zc ,b. ,Zc

⋮ {br ,rc , … ,bZ ,rc ,b. ,rc

•hô°ûªdG ∫ɪàM’G

Conditional Probability

�.�

>�0��T �Q0�� #O�9 �� S��Q�� h�, +4� >� �»�T ^r = r × r Q, S��Q�� &-1 ,-$� �-�� B��M�"�>#��$� !��� ª���� +�<'�� P

.. Z ^ _ j r

Z^_jr

��\� �%��

ª�<� �%��

>{bZ ,Zc ,b. ,^c ,b ,.c} :S��QT #��� �� p-�� 3u� fA.

.Z = ^^r = ( ن (

ن (ف) = b c �

+*� K� ���;?¦| E��� �01Q'¢ � &-1 �Q0�§ :¦P§ p-�� ���;� �� � :b.c ��<�� � .

?¦.^ E��� �01Q'¢ � &-1 �Q0�§ :¦fA§ p-�� ���;� �� P ?¦�JÈ � �$"�� �É-;� � &-1 �Q0�§ :¦&§ p-�� ���;� �� fA

S��QT &-1 E��� �� �� �WO� ��x�& KQ5 �� p-; � S��Q�� &-1 U�T ,#��$� !��9 �� #�x�A #1Q'¢ Q, p-; E� U7*>�. ,o{ �¤�� �L 8'�� &-1 Q, , �� p-; �QM� ���;� U�T «�D� �#��$� !��9

Ée çó◊ ∫ɪàM’G ¢UGƒN

:U�T ³'�h ��* V!�% j ���� 3�JT � ��� IO��� ≥ k i' ≥� .

� ���*��� � ��-; R'� � o = b c� � �kL { } = K�4 �kL Z�� �-4�� � ��-; R'� � . = b c� � �kL Y = K�4 �kL ^

>. E��� #��$� !��9 � S��Q�� N�� Hl��;� �Q'¢ _

:Ió«Øe áeƒ∏©e E�%; 8�� #"�» � ,#��$� !��9

@��T Q, � � ���� ¥'���� &�T &�T �%; 8�� #"�» � #��$� !��9

>¥������ ¥���

�.-

bZc ��<�> ¦. Q, � �,��� � &-$� �Q'¢§ Q, p-�� ,�0�� +5 EQ)$� @AQ� #�;��� � �$� � � ��� &�T E�%; 8�� #"�» �

? p-�� �QM� ���;� �9:+*�

^r Q, #�5'�� S��Q�� &-1 K� ()$T+VÆ K� �5' l .^ �Q'%�� K�9 �%; +4 � r Q, &-1 £4� K� �"�

o = o^r = b c� � �kL ��O Q, p-�� � S��Q�� &-1 K�9 ����"

>+�*��� p-; Q, p-�� ��,�

+*� K� ���; �Q'¢ �1 �QV��§ P p-�� K�4 ,�0�� +5 EQ)$� @AQ� #�;��� � �$� � � ��� &�T E�%; 8�� #"�» � Z

?P p-�� �QM� ���;� �9 ,¦.^ �� �WO�

>���;l� &��` B�9�Q�� �� + &���� U-7��T Hl��� �� �<5� �b^c ��<�

>�g�x�Q�1 � �$� #�)$� �� ¥�$MM �J� Ê�T - � >#�lQ4Q��" NMM _ �0��" #$MM .Z �1 EQ�� �Q); #�)1 Ê�T �¤D�?#�lQ4Q��" ¥�$MM ���Ë K� ���;� �9

:+*�>2��¤� &��1� K�& #$MM .Z ¥" �� �Q); 8�$MM ����J� :#"�%��

>� �»�T rr = .. × .Z . × Z = Z�.Z

!Z = k.ZZ k = bYc K #"�%�� S��QT &-1 ∴

2��¤� &��1� K�& ,#�lQ4Q��" ¥�$MM ����J� : p-��>S��QT r = ^ × _

. × Z = k_Z k = b c K = p-�� S��QT &-1 ∴> .

.. = rrr = b c K

bYc K = b c� ∴

+*� K� ���;

?#�lQ4Q��" ���� �g�x�Q�1 �Q); 8�$MM ����J� ���;� �� ,b^c ��<�� � ^

:á¶MÓe

&��� �%; �QT �4� ( �kL>(���� @T� 8�$ ��09

�.�

Venn Diagram ø" §£îe

�$4��!�4� <�=]* G��"��� }ET s�� ������( ��;��E�� aS����� ���"K

(»FGôKEG ∫Éãe) ø" §£îe b_c ��<�>#X� ��" %rZ ,#���5� #M�T\�" P�M� �� %j_ (�0 # QT�<� ���-'� �-;L 89

>#X� ��" � �� � KQ'�0 #���5� #M�T\�" KQ'�0 � �� 3VT?#X� ��" F�9 KQ'�0 � �� P�M) # Q='� #���� �� �

?#X� ��" (�0 l� ��'�;� �'9 ,#��-'� h�, P�I �� �g�x�Q�1 2�I ���J� P:+*�

����M�� +�M��'� +J�& (��T� b#��-'� P�I +4c #��$� !��9 +<' ���M��� ���7T �0X�1� H��M$'� 2����>#X� ��" KQ'�0 � �� P�M�� #���5� #M�T\�" KQ'�0 � �� P�M� +�<'� ���)J�-��

:8) �'4 # Q='� 2��� BI��'� h�, +J�& K i�-T%Z| = %j_ × o}j :#X� ��" ¥'�0��� #���5� #M�T\�" ¥'�0�� P�M� 3VT �'��� b!�¿³�c #)J�-��� #�M���

%Z| = %bZ| − j_c :�'��� !���V� #�M���%^j = %bZ| − rZc :�'��� !�M��� #�M���

#X� �%^j%Z|%Z|

%..

#���4 #M�T� %.. = %�b^j + Z| + Z|c − .oo{ :�'��� !����� #�M���>�Í FM· �!���" #)=�\� �1 #"�A`� K�� ���5'

%^j = #X� ��" F�9 KQ'�0 � �� P�M) # Q='� #���� �o}^� �� %^� = %.. + %Z| = #X� ��" 2�M� (�0 l� ��'�;� P

• o}^� = o}rZ − . :�J] +;+*� K� ���;

#W)�" � ���4 3V� ��, P�I �� %.� ��� � ,#�"�$� #W)�" #$�M� 2�4 �D�$� 3V� P�I �� %�_ ��� _>���W)�" ����4 P�M� �� %.j ��� � ,# ��)5T`�

,+V�� ��, P�I �� �g�x�Q�1 2�I ���J� ?F�9 # ��)5T`� #W)�" ����4 K���� �'� KQ5 K� ��'�;� �� �

?� �$� ���W)�" ����4 K���� l �'� 2�M� ��, KQ5 K� ��'�;� �� P

�.�

:É¡J’ɪàMGh çGóMC’G ≈∏Y äÉ«∏ª©dG

�0 ∩ m# V��] Q%�* � �Y% U´ � 0 , � X<\�� lK���� I% ���! cD�� ���� 6 0 , ,£�� rI�&K�0 ∪ m# V��] Q%�* 0 *( � X<\�� lK���� I% ���! cD�� ���� 6 0 , ,£�� <�u�

�∅ = 0 ∩ c( ¨�� c( � �H�� µ �S] kIncompatiblei U��T��!% �¶ 0 , U�£���� � X<\�� ��* ���Y�� 3�JT � X<\�� lK���� GH I% ���! cD�� kcomplementi 6 ���� }�!%

:ÚKóM OÉ–’ ∫ɪàM’G IóYÉbk0 ∩ i' − k0i' + k i' = k0 ∪ i'

k0 ∪ i' − k0i' + k i' = k0 ∩ c' �E�%*: çó◊G ºªàŸ ∫ɪàM’G IóYÉb

k i' − � = k i':Ú«aÉæàe ÚKó◊ ∫ɪàM’G IóYÉb

�k0i' + k i' = k0 ∪ i' U�T j ���Y�� 3�JT I% ,�T��!% ,£�� 0 , U�H �S]

bjc ��<�:K�4� Y #��$� !��9 89 K��-; P , K�4 �kL

:�� g�4 -A�� ,o}_ = bP ∩ c� ,o}_ = bPc� ,o}| = b c� b c� Z bP ∪ c� .

:+*�kP ∩ i� − bPc� + b c� = bP ∪ c� .

>o}| = o}_ − o}_ + o}| = b c� − . = b c� Z

o}^ = o}| − . = +*� K� ���;

:�� g�4 -A�� o}r = bP ∪ c � ,o}j = bPc� ,o}^ = b c� K�4� ,#��$� !��9 89 K��-; P , K�4 �kL j bP ∩ c� �

bPc� P

�.�

brc ��<�:K�4� Y #��$� !��9 89 K��-; P , K�4 �kL

>bP ∩ c� ,bPc� -A�� ,o}_ = bP ∩ c� ,o}� = bP ∪ c� ,o}Z = b c�:+*�

b c� − . = b c� o}� = o}Z − . = b c� − . = b c� kP ∩ i' − bPc� + b c� = bP ∪ c�

o}_ − bPc� + o}� = o}� o}_ + o}� − o}� = bPc�

o}j = bPc� − . = bPc�

o}j = o}j − . = o}r = o}_ − . = bP ∩ c� − . = bP ∩ c�

+*� K� ���; o}Z = bP ∩ c � ,o}r = bPc� ,o}j = b c� K�4� ,#��$� !��9 89 K��-; P , K�4 �kL r

>bP ∪ c� -A��

b|c ��<�:H������'� �-;L 89 ��)��$� ¨�7DÎ � �$ /Q� 8��� ©�&�'� ��-%� ���

z�%� #�0'�+A�������Q'%��2��IZ�.__Zv�¸ZoZ^ZZjZ

E��&L−8���ZZ^_jr�Q'%��|oZ�o^jo

> R����'� 89 ����1 � �V7D ^jo ��" �� �g�x�Q�1 C7D ����J� (�:#���� p�-;\� �� p-; +4 ���;� -A�� .

¦2��I C7��§ :fA ¦����� C7��§ :P ¦v�¸ C7��§ :

�.�

>b c� -A�� Z>��-�� U�-7���" bf,c� 2�;� , ¦2��I� ����� KQ5 C7��§ :p-�� f, �5� � ^

>b�c� 2�;� i(� ,¦2��I �� ����� KQ5 C7��§ :¦� §p-�� fA , P ¥�-�� � ��-7��� 2�4� P >bfA ∪ c� 2�;� _

:+*�: �0��� �0��T �Q0�� #O�9 �� #"�%�� S��QT K� 8�$ �g�x�Q�1 C7�� ����J� .

o}.Z = _Z^jo = bfAc� , o}� = Z�o

^jo = bPc� , o}|Z = ZjZ^jo = b c�

o}Z� = o}|Z − . = b c� − . = b c� Z � �»�T ._ @ - fA ∩ P = f, p-�� ��-�� 2�*" ,fA ∩ P p-�� ���;� 2�*T � ^

o}o_ = ._^jo = bfA ∩ Pc� = bf,c� :����"�

¥�9���� ¥�-; ��� fA , P KL [�; ,fA ∪ P p-�� ���;� 2�*T PbfA ∩ Pc� − bfAc� + bPc� = bfA ∪ Pc� = b�c�

o}�� = o}o_ − o}.Z + o}�o = o}�_ = o}.Z + o}|Z = bfAc� + b c� = bfA ∪ c� :� �kL K��9���� K��-; �É fA , _

+*� K� ���;

>o}j = bPc� ,o}_ = b c� [�; K��9���� P , K��-; �� - Y #��1 !��9 89 |>bP ∪ c� 2�;� �>bP ∪ c� 2�;� P

�..

Independent Events á∏≤à°ùªdG çGóMC’G �#�� � , �1 �T ��h?� k�P* @�� *(i �P* `� �£5 4 �¶��( k�P* @�� *(i �P* U�H �S] ,�&!"% U�£��� UO

�P* `� �£5 4 ��*7� ��%��� � XN~ NEZ� ���� U�T c�Y�� V\�� �x�1%* ,K�% ����Y% ���� 8%N ��� �������K����� K��-��9 «�D�* ,�&�I c�# ��h7� `� �£5K 4 ,!�%��� I% c( U7 ,����� �� ��%��� � XN~ NEZ� ����

:����!�� X���&�� @��A!;�# � �Y% ,£��� �P* 'd!�� <�w] ���O� V��T ,�&!"% ,£�� �<�M�� $4d!�4� }�Y� ��H �S]Multiplication principle of Independent Events á∏≤à°ùªdG çGóMCÓd Üô°†dG IóYÉb

:6 � �Y% ,£��� �P* 'd!�� U�T U1&!"% U�£�� 0 , U�H �S]k0i' × k i' = k0 ∩ i'

�V� �#�"�� �h?� <�Y�� I� v1&!"% UO l!� 8���� <�� GH �� ,� ,# r&K ������ <���( a�!�] �E�O� ��;��� $4?� }xY%

b�c ��<�>b+"��'� +5�� RL ��T�c � RL o �� #�x�Q�1 U�M�� ©��T` #�T���� #���*� #�� U�-7���" �-1�M � QM�" -';� U�M

?^ f � ��1��� 8T�<� (M�� KQ5 K�� �g�A�/ @�)1 +V; E�� ��\� (M�� KQ5 K� ��'�;� �'9:+��

¥)���� ¥�-�� K� E� >ª�<� S���� �1 ��� l ��\� S���� K�9 ,#�x�Q�1 U�M�\� K� �":�É�

>{� ,r ,_ ,Z ,o} = � ¦�g�A�/ KQ5 S���� (M��§ :�>{� ,r ,^} = U ¦^ f � ��1��� KQ5 S���� (M��§ :U

:P¿� �-1�M B��M� �5' � ,¥)���� ¥�-�� K\�o}.j = ^

.o × j.o = bUc� × b�c� = bU ∩ �c�

>o}.j Q, H��1��� �� 8T�<� (M��� �g�A�/ ��\� (M�� KQ5 K� ��'�;� :8���"�+*� K� ���;

>EQ)$� @AQ� #�;��� H��� p�� &Q�T #$MM 8�� -�1 #�x�Q�1 #"�%� 89 �?b¨ ,� ,¨c S���� KQ5 K� ��'�;� ��

• &�-1� #�& ��4� 8, ¦int§ #*�*O

• &�-1\� S��� 8, ¦rand§ >. ,��O ��" #�x�Q�$�

• 8M$� int b10 * randc >� ,��O ��" � �&�-1�

rand = o}�.| :��<�10 * rand = �}.|

int b10 * randc = �

/��

Dependent Event ™HÉàdG çóëdG��#�; ��9# CNEZ �£�! �%��� � �Y#�K ���� UO

á«fÉ«ÑdG Iôé°ûdG b�c ��<�

#�x�Q�1 #"�» � >z�4 � !�M�/ H��4 ^� !��Ð H��4 j �� - >��A�L K�-" ��Q�� �1 ¥��4 w�*�?¥����Ð ¥��4 �1 �QV�� ���;� ��

:+*�,¦ �l�� !��Ð ��4 2*�§ : K��-�� �5�

> ¦���T�� !��Ð ��4 2*�§ :P j� = b c�

> _| = bPc� ����"� H��4 | ���, z�5� �� F�9 !��РH��4 _ z�5� � �� - ��V ��\� ��5� �&�1L K�&

j._ = _

| × j� = bPc� × b c� = bK�����Ð K���4c�

+*� K� ���;>2�)�� #05�" 8M���� #�lQ4QD #05�" �0�� _ ,#$MM .Z �1 �Q); #�)1 EQ�� �

?2�)*� #05�" #$MM �J� (� ,�0)4�� #�lQ4QD #05�" #$MM �J� ��'�;� �'9

�-"�

!��Ð

!��Ð

!��Ð

!�M�/

!�M�/

!�M�/

j�

_|

j| ^

^|

Z|

/��

Conditional Probability •hô°ûªdG ∫ɪàM’G

�{� ,� ,- ,� ,/ ,�} = j ���Y�� 3�JT U�T V� c�Y�� V\�� �x�1%* X���* X�% <�� �=� 3�&�] �#�=K 8T�/ = �� = k iU

kjiU = k i' UO* {� ,� ,-} = U�T k� I% ��H( <�� NEZi ��9�� IO��{� ,- ,/} = 0 UO�T k8\*q <�� NEZi0 ���� IO��*

�/ = �� = k0iU

kjiU = k0i' 'd!�� 6 �% �h´ s�Y�# � ���� �P* U²# 0 ���� �P* 'd!�� 6 dT ,rP* �P ���� U( ����� �S] :U?� '�"��

?� I% �H( UO U( U²# 8\*q <�� `� 'p��:�\� � I% ��H( 8\*q <�� s�� 'p9��* {� ,� ,-} = 6 ��=�� ���Y�� 3�JT GYw sMY�� U²�� U( R�1�

{� ,-} = ∩ 0/� 6 � I% ��H( UO U( U��# 8\*q <�� s�� 'p9�� '��!�� 8��!��#*

��9�� '��!�� (�& ¦* k |0i' [!O¦* k8I����i U*����� '��!�4�# s�" ��9�� �P* U��# 0 ��9�� �P* '��!��:����!�� X���&�� @��A!;�# k |0i' <�=] IO�* � U��# 0

•höûŸG ∫ɪàM’G IóYÉb

:K�9 p-�� �QMQ" � �I�¡� P p-�� �QM� K�4 �kL� ≠ k i ' y�� (P ∩ )�

( )� = b |Pc�b |Pc� × ( �4 �bP ∩ c = ل(�

/�/

b.oc ��<�>o}Z = bP ∩ c� ,o}r = bPc� ,o}^ = b c� [�; K��-; P , #�x�Q�1 #"�%� 89

bP| c � P b |Pc � � :#���� p�-;\� �� +4 ��'�;� -A��:+*�

� Z^ = o}Z

o}^ = kP � i�b c� = k |Pi� �

.^ = Z

r = o}Zo}r = kP � i�

kPi� = kP| i� P+*� K� ���;

>bP � c� -A�� >o}Z = b | Pc� ,o}^ = b c� K�4 �kL ,#�x�Q�1 #"�%� 89 .o

b..c ��<�>@ EQ)$� @AQ� µ;l� (���� &�T �%; (��A R��

>¦E&�9 &-1 �1 �QV��§ : p-�� ,¦j E��� �� �� £4� &-1 �1 �QV��§ :P p-�� 8'�Tb� g &�9 � �&-1 KQ5 K� U¡" j E��� �� �� £4� &-1 �Q0� ���;�c b |Pc� 2�;�

:+*�r = bYc K {r ,j ,_ ,^ ,Z ,.} = Y

^ = b c K {j ,^ ,.} = Z = bPc K {r ,j} = P

. = b � Pc K {j} = P � .Z = ^

r = b c� .r = bP � c�

� .^ = Z

r = .r

.Z

= kP � i�k i� = b |Pc�

+*� K� ���; &-1 R)1 �QV*�§ p-*�� ,¦8A�/ &-1 R)1 �QV*�§ P p-*� K�4 �kL ,(���� &�T �%; !��L #"�%� 89 ..

>b |Pc� 2�;�9 >¦8��

/��

πFÉ°ùªdG πëd ó°TôªdG

b.c ��<�:����!�� $������� Dh�� k�i

��� ,�/� ,��� ,.� ,�� ,�� ,�� ,-� ,/� ,�� :k i�� ,�/ ,�� ,. ,� ,� ,� ,- ,/ ,� :k0i

?k i ���=�� � $������� }�P I% k0i ���=�� $����# � }�&�� l!�!"� ��H ��k0i ���=�� }�&� Z

Zu I��!��* k i ���=�� }�&� Z.u I��!�� �\*( P

�٢u ,

١u ,# �P1Y�� l!�!;� fA

�$������� I% ,!��� }W�P ?@9�1� E�� ��?@�9�$� - �� E�� ��

�k0i ���=�� }�P* k i ���=�� }�P ,# F#����k0i ���=�� }�P I��K* k i ���=�� }�P I��K ,# �P1Y��

?#u�'� +;u� 3�4 }�P 86 k0i ���=�� }�P r�° U( R�1� k0i ���=�� � $������� }�P* k i ���=�� � $������� }�P �] �x���# k(i

��� `� �%"&% k i ���=��:,!��=�� }�P I% GO� �4*�\ U WO� k0i

k(i '*�\

�� = n ·�"�� F;!�� - س)/

ر(س

ن

ر = ١

ن = Z

.u

٦١٠ ١٧

�� = Z.u

١٧٦١ = Z.u

Nn ���&��n − Nn/kn − Nni����−� .�./���−/ ��.-���−� ��.��/�−�/.���−.���-..���/�.

���/��/.�/�-�/ /�.������ ./.

٦١٠ ١٧ = ��=��

/�-

k0i '*�\�t� = � ·�"�� F;!��

/(� - ر�)

ن

ر = ١

ن = Z

Zu

���t��� = Z

Zu

��t�� = ZZu

ZZu /k��i = Z

.u c( ZZu ��� = Z

.u )�!��#*٢u �� =

١u U( l!�!"� km\i

bZc ��<� X<=�� N��!h� rz* rM&�� CD6 3�g�> �8�&K G�h �E�T $�H²�� ���] �EY�pK 8!�� rM&�� I% %/ U( ����p�] �;�N< {�W�#

:©?�H V=��!� {��H*�G�h �E�T 8!�� rM&�� I% %.� U�H �S] N��!h4� 8g�

�G�h �E�T ��� 8!�� rM&�� I% %�t� U�H �S] N��!h4� 8g���H²�� CD6 � �Y�p% �YMP �v����� $Dh(

?X<+� N��!h� �Eg� µ V�( �d�� G�h �E�T UO U( 'd!�� �%:G��

���YM&�� 8g� X<+� N��!h�� :���� mh ,�G�h �E�T �YM&��� :���� � IO��

N� ���&��� − N�/k� − N�i��t�−�.t�./�t�−/�t�.-�t�−��t�.�/t�−�t/.��t�−�t�.��t��t-..�t�/t�.

��/t��t/.�/-t�//t�.���t��.t/.

���t� = ��=��

/��

$��MY�� G� �!� ����# X�=� };�� :k’hCG

G�h �E�T rM&�� I% %/��E�T G�h 4 %.� ∴

G�h �E�T rM&�� I% %.� N��!h4� 8g���E�g� 4 G�h �E�T rM&�� I% %/ ∴

�E�T G�h 4 8!�� rM&�� I% %�t� N��!h4� 8g��N��!h4� �E�g� 4 �E�T G�h 4 8!�� rM&�� I% %..t� ∴

ل(ع ∩ خـ)

ل(خـ) = kخـ |�i' :É k«fÉK

�,!��� � �% �YMP N��!h4� 8g� ,�������� X�=��� �] �x���# �kmhi' }£ ,kmhi' �\� G9�� � ��Jukmh ∩ �i' + kmh ∩ �i' = kmhi' ∴

�t�/-� = �t��� × �t.� + �t.� × �t�/ = �t.��� = �t�/-� − � = kmhi' ∴

�t���- = �t�/ × �t�/ = k mh∩�i'

�t���-� ⋍ �t���-�t.��� =

ل(ع ∩ خـ)

ل(خـ) = kخـ |�i'

�����&K �t���-� c*�" X<+� N��!h� �Eg� µ V�( �d�� G�h �YM&�� � UO U( 'd!��

#�9�XL #u�� ��H X�� �� s�� ��O�� l��!� $�EZ� �$��!����% ��� s�� �E�% GH c!9K G��"�� U#�p��# $��� �L�Y!� XQE=% ��´ .

:8����� ,��. ,/.� ,��� ,��� ,-�/ ,��� ,�// ,/.� ,/.� ,��� ,��� ,��� ,��� ,��� ,/.�

� �!�������# $��Y�� CD6 $�!9�� 8#�"9�� F;!��� �\*( � ?l!�!"K �S�% �cN��Y��� j��9�4� �\*( P

�-"�

�sg�

sg�

sg� 4 G�h �E�T

G�h �E�T ���

sg� 4

�t�/�t�/

�t..�

�t.�

�t.�

�t���خـ

خـ

خـ

خـ

/��

!�V;`�

+�)*�H�T����H��1�"�\�

Y��*Tl�E���$'�

m�I-$� ��'�;l�

U���'�

��'�;l�

!�V;`���'�;l��

F�Q�'�8"��*�

81�"�\�RT&\�

� ���� p-;N"�� p�-;\�#)���'� ��%��

#�T����+ &����

NI����&�*�l�('�'�

B�9�Q��

�-��-$�

�-'�

��'�;l�U���'�

81�"�\�R)1\�

Y��*Tl�E���$'�

�4�� U�-7���#=��

#�M��Q� #=�� #=��#��Q�'� �-'�

81�"�\� H��)'$�

p�-;\� R)1

F��Q���Q�'�

Iô°TÉ©dG IóMƒ∏d »ª«¶æJ §£îe

/��

¢üî∏e:����p�>� $������� �~� �QH��� ��Q��� }�P @�A!"K −

Un U$ + ���� + /n /$ + �n �$U$ + ��� + /$ + �$ = n :}�&�� CD6 <�� `� $������� }�P ��� ��"P lK�� 6 ·�"�� F;!�� *

��v��q��K *( � v���pK }�&�� CD6 [�K�K �Y# �p!��� � ©�K 8!�� ���&�� 6 F�;�� *�$������� � � �N��OK � H7� k}�&��i ���&�� 6 '���� *

�·�"�� F;!�� <�w> �LM�� QH�% @�A!"� $�LT `� cN��O!�� rq!�� y�� $������� � *:�YT���� U��P @�A!"� $�LT `� cN��O!�� rq!�� y�� $������� � *

j × /¬/¬ + �¬ + ������� �LM�� s�<7� ��� = '����

,������� �LM�� 'I = j U] y�� , ������� �LM�� X^��% �&#�"�� �LM�� N��OK = �¬

������� �LM�� X^��% �&�1�� �LM�� N��OK = /¬ �dE��H *( 'q���� r�=!�� s�9�% *( ���p�� r�=!�� s�9��# @��A!;�# F�;�� <�w] IO� *

��YT���� U��P @��A!;�# '���� <�w] IO� *�cN��O!�� aN��� @��A!;�# '���� <�w] IO� *

�$������� {!�K �;�N�� cN��Y�� j��9�4�* I��!��* ����* $����#N7� @�A!"� −�$������� I% ��gp�� ���&�� − $������� I% s�xY�� ���&�� = ���� *

�١N Q%���# j�Y* F�;�� I% �g~( $������� s�<7� }�&�� F�;* = s�<7� 8��#N7� *�٣N Q%���# j�Y* F�;�� I% �H( $������� `�7� }�&�� F�;* = `�7� 8��#N7� *

�٢N Q%���# $������� F�;�� j�Y *

�s�xY�� ���&�� ,٣N ,٢N ,١N ,��gp�� ���&�� :6 $������� � �"��� <���7� G�� *

�$������� }�P {!�K* �E��# d�T �P1Y��* ���� }�&�� rqK ��M�H ,!zN�Y�� cS |*��p�� FM� �z * - س)/

ر(س

ر ت

ن

ر = ١

ر ت

ن

ر = ١

= ٢u :X���&�� 0�"� I% ������ $������� I% ���&�� 6 I��!�� *

:X���&��# sMY* $������� CD¯ ·�"�� F;!�� I� $������� {!�K W,� cN��Y�� j��9�4� *

F/(س - ر (س

ر ت

ن

ر = ١

ر ت

ن

ر = ١

= u

����P {!�!�� UO cN��Y�� j��9�4� �g~ �S]* ·�"�� F;!�� I� � ���Y#* � ���H {!�!�� UO cN��Y�� j��9�4� �H �S]�·�"�� F;!�� I%

/��

k١Ni s�<7� 8��#N7� − k

٣Ni `�7� 8��#N7� = 8��#N7� ���� *

��Y�� ��E% }�x�K � ���"K U( IO� �������� X�=��� U�T ,8MO d# � ��g~ $����O%>� <�� U�H �S] :#�T���� ��%�� −�kU 0*�%i !U 6 3���7� I% G<��K <�� �%�� ,G<��!��# s�" ����!Y%* vdE% [�K��� UO �%��� :+ &���� −

N �6<�� 3���( I% U WO�� G<��!�� <�� U�T ,U ≥ N y�9# ,���; �� U�9�9~ U�<�� N ,U U�H �S] :+ &���� KQT�M −ن! (ن - ر)!

= ر'U :6 3���7� I% U ,# I% XSh���*

�� WO% ���� I% �6N��!h� IO� 8!��* ,¨�� N I% �E�% GH U WO��* ���Q+� $���=�� <�� <�w] ��K �%��� :B�9�Q�� −���T�!�� ["9� I9�T [�K��� I� �x��� <d!�� U*< ¨�� U I%

I% N I% �E�% GH �� WO�� ��T�!�� <�� U�T U ≥ N y�� ,,���; �� U�9�9~ U�<�� N ,U U�H �S] :B�9�Q�� KQT�M −ن! �

ر!(ن - ر)! = ر|U :6 V"M� {P�� � ���Y�� I% U ,# I% XN�!A��* 3���7�

��9�� 8T lK���� <�����Y�� 3�JT 8T lK���� <�� = k i' :6 ���� 'd!�� −

:�% ��� 'd!�4� ��h −:U�T j ³'�h ��* V!�% ���� 3�JT � ��� IO��

� ≥ k i' ≥ � −�G�9!"�� ���� s�" ,� = k i' U�T { } = U�H �S] −

��H5�� ���� s�" ,� = k i' U�T j = U�H �S] −�� c*�" ���Y�� 3�JT � lK���� $4d!�� ��� −

�0 ∩ m# V��] Q%�* � �Y% U´ � 0 �* � X<\�� lK���� I% ���! cD�� ���� 6 0 , ,£�� rI�&K −�0 ∪ m# V��] Q%�* 0 � *( � X<\�� lK���� I% ���! cD�� ���� 6 0 , ,£�� <�u� −

.∅ = 0 ∩ c( ¬��% lK�� d¹�� IO µ �S] U��T��!% �¶ 0 , U�£��� −� � X<\% ��* ���Y�� 3�JT � X<\�� lK���� GH I% ���! cD�� ���� 6* m# V��] Q%� ��� }�!% −

��h?� �*�� 'd!�� `� �£�K V� ��� �¶��( �*�� U�H �S] U1&!"% U�£�� UO :��&!"�� ����7� −:��&!"�� ����º� 0��� X���P −

k0i' × k i' = k0 ∩ i' :6 � �Y% ,£��� �P* 'd!�� U�T U1&!"% U�£�� 0 , U�H �S]��#�; ��9# ���� �D6 NEZ �£�! �%��� � �Y#�K ���� UO :N"��� p-�� −

:U*²�� 'd!�4� −�� ≠ k i' U( _�M�* 0 , ,£�� ���� IO��

(�&* k |0i' [!O* U*²�� 'd!�4� s�" ���� �P* U²# 0 ���� �P* 'd!���� U²# 0 ���� 'd!���

:U*²�� 'd!�4� X���P −k� ≠ k i'i ���� �P# ��I*²% 0 ���� �P* U�H �S]� k | 0i' × k i' = k0 ∩ i' , (ب ∩ )ل

( ل( = k |0i'

شركة مطابع الرسالة - الكويت

����������� ������ ����� ��� � ���� ����� � ����

Recommended