View
33
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
4.1 - 1 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
Probabilidad
4.1 - 2 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
Combinando métodos descriptivos y
probabilidades En este capítulo vamos a construir distribuciones de probabilidad mediante la
presentación de los resultados posibles, junto con las frecuencias relativas que
esperamos.
4.1 - 3 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
• Una variable aleatoria (v.a.) es un
número real asociado al resultado de un
experimento aleatorio
6-3
Variables aleatorias
• Su valor se determina al azar.
• Variables aleatorias de denotan
como X.
Supongamos un experimento aleatorio consiste en lanzar dos dados al aire. Bajo este experimento los siguientes serían variables aleatorias: 1. Sea X la v.a. suma de los valores de los dados donde
X puede tomar valores x= 2, 3, 4,...,12. 2. Sea Y la v.a número de pares en los dados donde Y
puede tomar los valores y = 0, 1, 2. 3. Sea Z la v.a número de impares en los dados donde
Z puede tomar los valores z=0,1,2.
6-4 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
EJEMPLO Variables aleatorias
Una variable aleatoria discreta tiene una cantidad finita de valores. Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo. Los valores de una variable aleatoria discreta se pueden representar en una recta numérica como puntos separados por un espacio.
6-5
Variables aleatorias discretas
Una variable aleatoria continua tiene un número infinito de valores.
Puede tomar todos los valores de un intervalo.
Suelen estar asociadas al resultado de tomar una medida.
Los valores de una variable aleatoria continua se pueden representar en una recta numérica de una manera ininterrumpida.
6-6
Variables aleatorias continuas
Determinar si las siguientes variables aleatorias son discretas o continuas. Nombrar los posibles valores para la variable aleatoria.
a) El número de bombillas que se funden durante el próximo año en una habitación que tiene 10 bombillas de luz.
b) El número de preguntas en una clase de una hora .
c) El tiempo transcurrido entre llamadas al 911.
d) cantidad de agua consumida en un mes
EJEMPLO Distinguir entre variables aleatorias discretas y
contínuas
6-7 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Variable aleatoria:
Y = nº de caras al lanzar tres veces una moneda
Posibles valores de Y: 0, 1, 2 , 3
Si se lanza una moneda 3 veces los posibles resultados son: E={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX}
La variable aleatoria Y: - Toma valor 0 cuando ocurre el suceso XXX - Toma valor 1 cuando ocurre XXC,XCX ó CXX - Toma valor 2 cuando ocurre CCX,CXC ó XCC - Toma valor 3 cuando ocurre CCC
6-8
Variables aleatorias - ejemplo
Una distribución de probabilidad proporciona los valores posibles de la variable aleatoria X y sus correspondientes probabilidades.
Una distribución de probabilidad se puede dar en forma de una tabla, como gráfica o fórmula matemática.
6-9 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Distribuciones de probabilidad
Requisitos para una distribución de probabilidad
P(x) = 1 donde x asume todos los valores posibles.
0 P(x) 1 para cada valor individual de x.
La tabla a la derecha
muestra la distribución de
probabilidad de la variable
aleatoria X, donde X
representa el número de
DVDs que una persona
alquila de una tienda de
videos en una sola visita.
x P(x)
0 0.06
1 0.58
2 0.22
3 0.10
4 0.03
5 0.01
EJEMPLO Una distribución de probabilidad discreta
6-11 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
EJEMPLO Identificar una distribución de probabilidad
x P(x)
0 0.16
1 0.18
2 0.22
3 0.10
4 0.30
5 0.01
¿Presenta la siguiente tabla una distribución de probabilidad? Justifique su respuesta.
6-12 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
x P(x)
0 0.16
1 0.18
2 0.22
3 0.10
4 0.30
5 -0.01
¿Presenta la siguiente tabla una distribución de probabilidad? Justifique su respuesta.
6-13 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
EJEMPLO Identificar una distribución de probabilidad
EXAMPLE Identifying Probability Distributions
X P(x)
0 0.16
1 0.18
2 0.22
3 0.10
4 0.30
5 0.04
¿Presenta la siguiente tabla una distribución de probabilidad? Justifique su respuesta.
6-14 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Un histograma de probabilidades es un histograma en el que el eje horizontal corresponde a los valores de la variable aleatoria y el eje vertical representa la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria.
6-15 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Histograma de probabilidades
DVDs Rented at a Video Store
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 1 2 3 4 5
Number of DVDs Rented
Pro
ba
bilit
y
Dibuje una distribución del histograma de probabilidades del experimento de la derecha, representa el número de DVDs que una persona alquila en una sola visita a una tienda de videos.
EJEMPLO Dibujar un histograma de probabilidades
x P(x)
0 0.06
1 0.58
2 0.22
3 0.10
4 0.03
5 0.01
6-16 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
x F(x)
0
1
2
3
6-17
EJEMPLO Determinar la distribución de probabilidad
Calcular la varianza y la desviación estándar de la distribución de probabilidad para la variable aleatoria, X = el número de caras luego de tirar una moneda justa 3 veces.
x P(x)
0
1
2
3
EEE
EFE
EEF
EFF
FEE
FEF
FFE
FFF
Dibuje una distribución del histograma de probabilidades del experimento lanzar una moneda 3 veces.
S ={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX} X = nº de caras al lanzar una moneda tres veces
EJEMPLO Dibujar un histograma de probabilidades
x P(x)
0
1
2
3
6-18
1
8= 0.125
1
8= 0.125
3
8= 0.375
3
8= 0.375
6-19 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Media de una variable aleatoria discreta
La media de una variable aleatoria discreta está dado por la siguiente fórmula
𝜇𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑃 𝑥
donde x es el valor de la variable aleatoria y P(x) es la probabilidad de observar el valor x.
Calcular la media de la distribución de probabilidad a la derecha, que representa el número de películas que una persona alquila en una tienda de vídeo durante una sola visita.
EJEMPLO Calcular la media de una variable discreta aleatoria
x P(x)
0 0.06
1 0.58
2 0.22
3 0.10
4 0.03
5 0.01
( )X x P x
6-20 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Debido a que la media de una variable aleatoria discreta representa lo que esperamos que ocurra a largo plazo, también se llama el valor esperado, E (X), de la variable aleatoria.
6-21 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Valor esperado
EJEMPLO Calcular el valor esperado para una variable aleatora discreta
Supongamos que una compañía de seguros de vida vende un año
de póliza de seguro de vida por $250,000 a una mujer de 49 años de
edad por $ 530. Según el Instituto Nacional de Estadísticas Vitales,
vol. 47, N º 28, la probabilidad de que la mujer va a sobrevivir el año
es de 0.99791. Calcule el valor esperado de esta póliza para la compañía de seguros.
x P(x)
530 0.99791
530 – 250,000 = -249,470
0.00209
Lo que espera ganar si el asegurado sobrevive
Lo que espera ganar si el asegurado sobrevive
E(X) = 530(0.99791) + (-249,470)(0.00209)
= $7.50
6-22 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
La varianza de una variable aleatoria discreta está dada por la fórmula:
6-23 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Varianza y desviación estándar para v.a.
La desviación estándar :
x P(x) 0 0.06 1 0.58 2 0.22 3 0.1 4 0.03 5 0.01
x P(x)
0 0.06
1 0.58
2 0.22
3 0.10
4 0.03
5 0.01
Xx 2
Xx 2
( )Xx P x
6-24 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
EJEMPLO Calcular 𝜎 𝑦 𝜎2 para una variable aleatoria discreta
Calcular la varianza y la desviación estándar de la distribución de probabilidad a la derecha, que representa el número de películas que una persona alquila en una tienda de vídeo durante una sola visita.
Criterios para un experimento de probabilidad binomial
Un experimento se dice que es un experimento binomial si
1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces.
Cada repetición del experimento se llama un ensayo.
2. Los ensayos son independientes.
Esto significa que el resultado de un ensayo no afectará a los resultados de los otros ensayos.
3. Para cada ensayo, hay dos resultados mutuamente excluyentes (o disjuntos), el éxito o el fracaso.
4. La probabilidad de éxito es fijo para cada ensayo del experimento.
6-26 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Notación usada en la distribución de probabilidad binomial
• Número de ensayos independientes del experimento se denota n
• Nombramos p la probabilidad de éxito en el experimento y 1 – p, la probabilidad de fracaso.
• Si X es una variable aleatoria binomial que denota el número de éxitos en n pruebas independientes de un experimento binomial, entonces 0 < x < n.
6-27 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
(a) Un jugador tira un dado justo 10 veces. X es el número de veces que sale el 7.
EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no
6-28 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Criterios Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento
binomial se cumplen en este experimento.
1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces.
2. Los ensayos son independientes.
3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento.
4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante.
EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no
6-29 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Criterios: Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento
binomial se cumplen en este experimento.
1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces.
2. Los ensayos son independientes.
3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento.
4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante.
(b) En una clase de 30 estudiantes, 55% son mujeres. El instructor selecciona al azar a 4 estudiantes. Se registra el número X de mujeres que fueron seleccionadas.
(c) Tomando en cuenta las 11 líneas aéreas más grandes en Estados Unidos, se determina que existe una probabilidad de 84.7% de que un vuelo salga a tiempo. Para determinar las razones para atrasos, un oficial de la FAA elige vuelos aleatoriamente hasta que encuentra 10 vuelos que NO estuvieron a tiempo. X representa el número total de vuelos que tuvo que seleccionar.
EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no
6-30 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Criterios: Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento
binomial se cumplen en este experimento.
1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces.
2. Los ensayos son independientes.
3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento.
4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante.
De acuerdo con el Informe al
Consumidor de Air Travel,
sus aviones más grandes
lograron un 79.0% de vuelos a
tiempo en Mayo de 2008.
Suponer que se seleccionan 4
vuelos al azar en mayo del
2008 y X es el número de
vuelos que estuvieron a
tiempo. Construya una
distribución de probabilidad
para la variable aleatoria X
usando un diagrama de árbol.
EJEMPLO Construir una distribución de probabilidad binomial
6-31
EEEE
EEEF
EEFE
EEFF
EFEE
EFEF
EFFE
EFFF
FEEE
FEEF
FEFE
FEFF
FFEE
FFEF
FFFE
FFFF
1ER
ENSAYO
2ND
ENSAYO
3ER
ENSAYO
4TO
ENSAYO RESULTADO
¿Número. de
éxitos en el
experimento?
x P(x)
0
1
2
3
4
6-32 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
La distribución de probabilidad binomial
La probabilidad de obtener x número de
éxitos en n ensayos independientes en un
experimento de probabilidad binomial es
𝑃 𝑥 = 𝐶𝑥𝑝𝑥
𝑛 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
donde x=0, 1, 2, …, n y p es la
probabilidad de éxito.
EJEMPLO Usar la probabilidad binomial
Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen al
menos 3 automóviles.
(a)En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál
es la probabilidad de que exactamente 5 tienen al menos 3
autos?
6-33
Construir un histograma de la probabilidad binomial con n = 8 y p = 0.15.
EXAMPLE Constructing Binomial Probability Histograms
6-34 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Para construir un
histograma de
probabilidad binomial,
primero obtenemos la
distribución usando la
fórmula anterior.
Luego, construimos el
histograma de
probabilidad de la
distribución.
X P(X)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación)
Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o
más automóviles.
(b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál es
la probabilidad de que menos de 4 tienen tres o más coches? ?
6-35
EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación)
Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3
o más automóviles.
(b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, cuál
es la probabilidad de que al menos 4 tienen tres o más coches?
6-36
6-37 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Media y desviación estándar de una variable
Un experimento de probabilidad binomial,
con n ensayos independientes y una
probabilidad de éxito de p, tiene una
media y una desviación estándar dada por
las siguientes fórmulas
𝜇𝑥 = 𝑛𝑝 𝑦 𝜎𝑥 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) .
Según informes de una compañía de automóviles, el 35% de los hogares tienen al menos 3 automóviles. En una muestra aleatoria simple de 400 hogares que tienen autos, determine la media y la desviación estándar de los hogares que tendrán al menos 3 autos.
EJEMPLO Hallar la media y la desviación estándar de una variable aleatorio binomial
6-38 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
𝜇𝑥 = 𝑛𝑝 𝜎𝑥 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
Recommended