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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

Probabilidad

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Combinando métodos descriptivos y

probabilidadesEn este capítulo vamos a construir distribuciones de probabilidad mediante la

presentación de los resultados posibles, junto con las frecuencias relativas que

esperamos.

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• Una variable aleatoria (v.a.) es un

número real asociado al resultado de un

experimento aleatorio

6-3

Variables aleatorias

• Su valor se determina al azar.

• Variables aleatorias de denotan

como X.

Supongamos un experimento aleatorio consiste en lanzar dos dados al aire. Bajo este experimento los siguientes serían variables aleatorias:

1. Sea X la v.a. suma de los valores de los dados donde X puede tomar valores x= 2, 3, 4,...,12.

2. Sea Y la v.a número de pares en los dados donde Y puede tomar los valores y = 0, 1, 2.

3. Sea Z la v.a número de impares en los dados donde Z puede tomar los valores z=0,1,2.

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EJEMPLO Variables aleatorias

Una variable aleatoria discreta tiene una cantidadfinita de valores.

Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo.

Los valores de una variable aleatoria discreta se pueden representar en una recta numérica como puntos separados por un espacio.

6-5

Variables aleatorias discretas

Una variable aleatoria continua tiene un número infinito de valores.

Puede tomar todos los valores de un intervalo.

Suelen estar asociadas al resultado de tomar una medida.

Los valores de una variable aleatoria continua se pueden representar en una recta numérica de una manera ininterrumpida.

6-6

Variables aleatorias continuas

Determinar si las siguientes variables aleatorias son discretas o continuas. Nombrar los posibles valores para la variable aleatoria.

a) El número de bombillas que se funden durante el próximo año en una habitación que tiene 10 bombillas de luz.

b) El número de preguntas en una clase de una hora .

c) El tiempo transcurrido entre llamadas al 911.

d) cantidad de agua consumida en un mes

EJEMPLO Distinguir entre variables aleatorias discretas y

contínuas

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Variable aleatoria:

Y = nº de caras al lanzar tres veces una moneda

Posibles valores de Y: 0, 1, 2 , 3

Si se lanza una moneda 3 veces los posibles resultados son: E={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX}

La variable aleatoria Y:- Toma valor 0 cuando ocurre el suceso XXX- Toma valor 1 cuando ocurre XXC,XCX ó CXX - Toma valor 2 cuando ocurre CCX,CXC ó XCC- Toma valor 3 cuando ocurre CCC

6-8

Variables aleatorias - ejemplo

Una distribución de probabilidad proporciona los valores posibles de la variable aleatoria X y sus correspondientes probabilidades.

Una distribución de probabilidad se puede dar en forma de una tabla, como gráfica o fórmula matemática.

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Distribuciones de probabilidad

Requisitos para unadistribución de probabilidad

P(x) = 1donde x asume todos los valores posibles.

0 P(x) 1 para cada valor individual de x.

La tabla a la derecha

muestra la distribución de

probabilidad de la variable

aleatoria X, donde X

representa el número de

DVDs que una persona

alquila de una tienda de

videos en una sola visita.

x P(x)

0 0.06

1 0.58

2 0.22

3 0.10

4 0.03

5 0.01

EJEMPLO Una distribución de probabilidad discreta

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Media de una variable aleatoria discreta

La media de una variable aleatoria discretaestá dado por la siguiente fórmula

𝜇𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑃 𝑥

donde x es el valor de la variable aleatoria y P(x) es la probabilidad de observar el valor x.

Calcular la media de la distribución de probabilidad a la derecha, que representa el número de películas que una persona alquila en una tienda de vídeo durante una sola visita.

EJEMPLO Calcular la media de una variable discreta aleatoria

x P(x)

0 0.06

1 0.58

2 0.22

3 0.10

4 0.03

5 0.01

( )X x P x

0(0.06) 1(0.58) 2(0.22) 3(0.10) 4(0.03) 5(0.01)

1.49

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Sección 6.2 La distribución de probabilidad binomial

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Criterios para un experimento con una distribución de probabilidad binomial

Un experimento se dice que es un experimento binomial si

1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces.

Cada repetición del experimento se llama un ensayo.

2. Los ensayos son independientes.

Esto significa que el resultado de un ensayo no afectará a los resultados de los otros ensayos.

3. Para cada ensayo, hay dos resultados mutuamente excluyentes (o disjuntos), el éxito o el fracaso.

4. La probabilidad de éxito es fijo para cada ensayo del experimento.

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(a) Un jugador tira un dado justo 10 veces. X es el número de veces que sale el 4.

EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no

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Solución:

EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no

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Solución:

(b) En una clase de 30 estudiantes, 55% son mujeres. El instructor selecciona al azar 4 estudiantes. Se registra el número de mujeres, X, que fueron seleccionadas.

(c) Tomando en cuenta las 11 líneas aéreas más grandes en Estados Unidos, se determina que existe una probabilidad de 84.7% de que un vuelo salga a tiempo. Para determinar lasrazones para atrasos, un oficial de la FAA elige vuelosaleatoriamente hasta que encuentra 10 vuelos que NO estuvierona tiempo. X representa el número total de vuelos que tuvo queseleccionar.

EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no

6-18

Solución:

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La distribución de probabilidad binomial

La probabilidad de obtener x número de éxitos

para la variable aleatoria en n ensayos

independientes para un experimento de

probabilidad binomial es

𝑃 𝑥 = 𝑛𝐶𝑥 𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥

𝑃 𝑥 =𝑛!

𝑟! 𝑛 − 𝑟 !𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥

donde x=0, 1, 2, …, n y p es la probabilidad de

éxito.

De acuerdo con el

Informe al Consumidor

de Air Travel, sus

aviones más grandes

lograron un 79.0% de

vuelos a tiempo en Mayo

de 2008. Suponer que

se seleccionan 4 vuelos

al azar en mayo del 2008

y X es el número de

vuelos que estuvieron a

tiempo. Construya una

distribución de

probabilidad para la

variable aleatoria X

usando un diagrama de

árbol.

EJEMPLO Construir una distribución de probabilidad binomial

EEEE

EEEF

EEFE

EEFF

EFEE

EFEF

EFFE

EFFF

FEEE

FEEF

FEFE

FEFF

FFEE

FFEF

FFFE

FFFF

1ER

ENSAYO

2ND

ENSAYO

3ER

ENSAYO

4TO

ENSAYORESULTADO No. de éxitos

4

3

3

2

3

2

2

1

3

2

2

1

2

1

1

0

E- estuvo a tiempo F- No estuvo a tiempo

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

0.21

0.21

0.79

0.79

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

EJEMPLO Construir una distribución de probabilidad binomial

x P(x)

0

1

2

3

4

EEEE

EEEF

EEFE

EEFF

EFEE

EFEF

EFFE

EFFF

FEEE

FEEF

FEFE

FEFF

FFEE

FFEF

FFFE

FFFF

1ER

ENSAYO

2ND

ENSAYO

3ER

ENSAYO

4TO

ENSAYORESULTADO No. de éxitos

4

3

3

2

3

2

2

1

3

2

2

1

2

1

1

0

E- estuvo a tiempo F- No estuvo a tiempo

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

0.21

0.21

0.79

0.79

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

0.79

0.21

EJEMPLO Usar la probabilidad binomial

Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen al

menos 3 automóviles.

(a)En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál

es la probabilidad de que exactamente 5 tienen al menos 3

autos?

6-22

𝑃 𝑥 = 𝑛𝐶𝑥𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥

EJEMPLO Usar la probabilidad binomial

Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen al

menos 3 automóviles.

(a)En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál

es la probabilidad de que exactamente 5 tienen al menos 3

autos?

6-23

Construir un histograma de la probabilidad binomial con n = 8 y p = 0.15.

EJEMPLO: Construir un histograma de un modelo de probabilidad binomial

6-24

X P(X)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación)

Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o

más automóviles.

(b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál es

la probabilidad de que menos de 4 tienen tres o más coches? ?

6-25