32
Clase 5: Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua). Lina Mar´ ıa Acosta Avena * ASESORIAS: LUNES DE 4:00 pm - 6:00 pm. VIERNES DE 9:00 am - 11:00 am, B43-103 Escuela de Estad´ ıstica Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellin [email protected] * Estudiante de la Maestr´ ıa en Ciencias Estad´ ıstica Estad´ ıstica I. 1

Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Estadística curso Variables aleatorias continuas y funciones dedensidad de probabilidad. valor esperado de una variablealeatoria (discreta y continua).

Citation preview

Page 1: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

Clase 5: Variables aleatorias continuas y funciones de

densidad de probabilidad. valor esperado de una variable

aleatoria (discreta y continua).

Lina Marıa Acosta Avena*

ASESORIAS: LUNES DE 4:00 pm - 6:00 pm. VIERNES DE

9:00 am - 11:00 am, B43-103

Escuela de Estadıstica

Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellin

[email protected]*Estudiante de la Maestrıa en Ciencias Estadıstica

Estadıstica I.

1

Page 2: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Una variable aleatoria se dice continua si el rango de dicha variable es un in-

tervalo o es la union de varios intervalos reales, acotados o no acotados. Por

ejemplo, medicion de la corriente de un alambre, longitud de partes desgas-

tados en una pieza, tiempo de duracion de una bombilla, tiempos de espera,

estatura, masa.

Estadıstica I.

2

Page 3: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

Definici on:Sea X una variable aleatoria continua. La funcion de densidad de probabilidad(f.d.p.) de X, denotada fX(x), es tal que

1. fX(x)≥ 0, −∞ < x< ∞

2.∫ +∞

−∞fX(x)dx= 1

3.

P(a≤ X ≤ b) = P(a≤ X < b) = P(a< X ≤ b)

= P(a< X < b) =∫ b

afX(x)dx

Estadıstica I.

3

Page 4: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

Note en 2 que el area total bajo f (x) es uno. La probabilidad del intervalo

a≤ X ≤ b es el area acotada por la funcion de densidad y las rectas

X = a, X = b

Estadıstica I.

4

Page 5: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

Estadıstica I.

5

Page 6: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

Definici on:La funcion de distribucion acumulada FX(x) de una variable aleatoria continua

X es la probabilidad de que X tome un valor menor o igual a algun x. Esto es,

FX(x) = P(X ≤ x) =∫ x

−∞fY(y)dy*

FX(x) es el area acotada por la funcion de densidad que se encuentra a la

izquierda de la recta X = x.

Graficamente esto es

*Y es una variable artificial de integracion

Estadıstica I.

6

Page 7: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

Estadıstica I.

7

Page 8: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

Propiedades de FX(x)

1. 0≤ FX(x)≤ 1 ;∀x∈ R

2. l ımx→−∞

FX(x) = 0 y lımx→+∞

FX(x) = 1

3.

P(a< X < b) = P(a≤ X < b) = P(a< X ≤ b)

= P(a≤ X ≤ b) = FX(b)−FX(a)

Estadıstica I.

8

Page 9: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

4. ∂FX(x)∂x = fX(x)

5. P(X > a) = 1−FX(a)

Estadıstica I.

9

Page 10: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

Ejemplo 1

Sea X una variable aleatoria continua.

(a) Determine el valor de k de tal manera que la funcion

fX(x) =

{

kx2 ,−1≤ x≤ 1

0 en otro caso.

sea la funcion de densidad de probabilidad de X.

(b) Determine la funcion de distribucion acumulativa de X y grafıquela.

(c) Calcular P(X ≥ 1/2) y P(−1/2≤ X ≤ 1/2)

Estadıstica I.

10

Page 11: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

Sln:

(a)

1=∫ −1

−∞fX(x)dx+

∫ 1

−1fX(x)dx+

∫ +∞

1fX(x)dx

=∫ 1

−1(kx2)dx= k

∫ 1

−1x2dx

=k3

x3∣

1

−1=

k3[13− (−1)3] =

23

k

por lo tanto k= 32, y ası

fX(x) =

{

32x2 ,−1≤ x≤ 1

0 ,en otro caso.

Estadıstica I.

11

Page 12: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

(b)

FX(x) =∫ x

−1

(

32

y2)

dy=32

∫ x

−1y2dy

=32

(

y3

3

)

x

−1=

12[x3− (−1)3]

=12(x3+1)

Ası

FX(x) =

0 ,x<−112(x

3+1) ,−1≤ x< 1

1 ,x≥ 1

Estadıstica I.

12

Page 13: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

Estadıstica I.

13

Page 14: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

(c) • P(X ≥ 1/2) Forma 1 (utilizando FX(x))

P(X ≥ 1/2) = 1−P(X < 1/2)

= 1−FX(1/2)

= 1−(1/2)3+1

2

= 1−916

=716

Estadıstica I.

14

Page 15: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

Forma 2 (utilizando fX(x))

P(X ≥ 1/2) =∫ 1

1/2

(

32

x2)

dx=32

∫ 1

1/2x2dx

=32

(

x3

3

)

1

1/2=

12[13− (1/2)3]

=12(1−1/8) =

12(7/8)

=716

Estadıstica I.

15

Page 16: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

• P(−1/2≤ X ≤ 1/2) Forma 1 (utilizando FX(x))

P(−1/2≤ X ≤ 1/2) = FX(1/2)−FX(−1/2)

=(1/2)3+1

2−(−1/2)3+1

2

=1/8+1+1/8−1

2

=2/82

=18

Estadıstica I.

16

Page 17: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

Forma 2 (utilizando fX(x))

P(−1/2≤ X ≤ 1/2) =∫ 1/2

−1/2

(

32

x2)

dx=32

∫ 1/2

−1/2x2dx

=32

(

x3

3

)

1/2

−1/2=

12[(1/2)3− (−1/2)3]

=12(1/8+1/8) =

12(2/8)

=18

Estadıstica I.

17

Page 18: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

Ejemplo 2

Sea X la duracion en horas de cierto tipo de bombilla electrica. La f.d.p de X

esta dada por

fX(x) =

{

ax3 1500≤ x≤ 2500

0 en otro caso.

Calcule

(a) P(X ≤ 2000)

(b) P(X ≤ 2000|X ≥ 1800)

Estadıstica I.

18

Page 19: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

Sln:

Primero hay que hallar el valor de la constante a.

Se sabe que ∫ +∞

−∞fX(x)dx= 1

entonces

Estadıstica I.

19

Page 20: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

1=∫ +∞

−∞fX(x)dx=

∫ 1500

−∞fX(x)dx+

∫ 2500

1500fX(x)dx+

∫ +∞

2500fX(x)dx

=∫ 2500

1500fX(x)dx=

∫ 2500

1500

a

x3dx= a∫ 2500

1500x−3dx

=−a

2x2

2500

1500=

a7031250

=⇒ a= 7031250

Estadıstica I.

20

Page 21: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

(a)

P(X ≤ 2000) = 703125∫ 2000

1500x−3dx

=−703125

2x2

2000

1500

=−703125

2

[

1

(2000)2−

1

(1500)2

]

= 0,6836

Estadıstica I.

21

Page 22: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

(b)

P(X ≤ 2000|X ≥ 1800) =P(1800≤ X ≤ 2000)

P(X ≥ 1800)

=703125

∫ 2000

1800x−3dx

703125∫ 2500

1800x−3dx

= 0,3945

Estadıstica I.

22

Page 23: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

VALOR ESPERADO

Definici on:Sea X una variable aleatoria (discreta o continua) con f.d.p fX(x) (p(x)). La

esperanza de X o valor esperado * de X, denotado como E[X] se define

como

E[X] =

∑x

xp(x) ,si X es discreta∫ +∞

−∞x fX(x)dx ,si X es continua

Este valor esperado es usualmente denotado µX o µ.

Cuando E[X]< ∞, se dice que la esperanza existe, no existe cuando la suma

o la integral no converge a un valor finito.

*Valor promedio de una v.a. despues de un numero grande de experimentos

Estadıstica I.

23

Page 24: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

VALOR ESPERADO

Propiedades del valor esperado:Sean a,b numeros reales y sea X una variable aleatoria (discreta o continua).

1. E[a] = a

2. E[aX+b] = aE[X]+b

3. Si g(X) es una funcion de X, entonces

E[g(X)] =

∑x

g(X)p(x) ,si X es discreta∫ +∞

−∞g(X) fX(x)dx ,si X es continua

Estadıstica I.

24

Page 25: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

VALOR ESPERADO

Definici on:Sea g(X) = (X−µX)

2. La varianza de X, la cual se denotara Var[X] o σ2X o

simplemente σ2, se define como

Var[X] = E[(X−µX)2] = E[X2]− (E[X])2

Estadıstica I.

25

Page 26: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

VALOR ESPERADO

Propiedades de la varianza:Sean a,b numeros reales y sea X una variable aleatoria (discreta o continua).

1. Var[X] = E[(X−µX)2] = E[X2]− (E[X])2

2. Var[a] = 0

3. Var[aX+b] = a2Var[X]

A la raız cuadrada de Var[X] se le llamara Desviaci on est andar de X y se

denotara σ

Estadıstica I.

26

Page 27: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

VALOR ESPERADO

Ejemplo 3

Sea X una variable aleatoria que representa el numero de clientes que llega

a una tienda en un periodo de una hora. Dada la siguiente informacion:

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8p(x) 0,05 0,10 0,10 0,10 0,20 0,25 0,10 0,05 0,05

Encontrar E[X] y Var[X]

Estadıstica I.

27

Page 28: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

VALOR ESPERADO

Sln:

• E[X] =8∑

x=0xp(x) = 0(0,05)+1(0,10)+2(0,10)+3(0,10)+4(0,20)

+5(0,25)+6(0,10)+7(0,05)+8(0,06) = 4

• E[X2] =8∑

x=0x2p(x)=02(0,05)+12(0,10)+22(0,10)+32(0,10)+42(0,20)

+52(0,25)+62(0,10)+72(0,05)+82(0,06) = 20,1

=⇒Var[X] = E[X2]− (E[X])2 = 20,1−42 = 4,1

Estadıstica I.

28

Page 29: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

EJERCICIOS

1. El tiempo de espera de un cliente hasta ser atendido es una variable

aleatoria continua con f.d.p. dada por

fX(x) =

{

e−x ,x> 0

0 ,e.o.c.

(a) Halle FX(x). Rta:

FX(x) =

{

0 ,x≤ 0

1−e−x ,x> 0

(b) Calcule P(X < 1). Rta= 0,6321

Estadıstica I.

29

Page 30: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

EJERCICIOS

(c) Calcule P(1< X < 2) Rta= 0,2325

(d) Halle el valor de k tal que P(X < k) = 0,95. Rta= 2,9957

2. Sea X una v.a. continua cuya f.d.p es fX(x) = 3x2, 0 < x < 1, cero en

otro caso. Considere un rectangulo aleatorio cuyas caras son X y 1−X.

Determine el valor esperado del area del rectangulo.

Rta= 320

Estadıstica I.

30

Page 31: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

EJERCICIOS

3. La demanada semanal de gas propano (en miles de galones) de una dis-

tribuidora en particular es una v.a. X con f.d.p dada por

fX(x) =

{

2[

1− 1x2

]

,1≤ x≤ 2

0 ,e.o.c.

(a) Halle FX(x). Rta

FX(x) =

0 ,x< 1

2[

x2+1x −2

]

,1≤ x< 2

1 ,x≥ 2

Estadıstica I.

31

Page 32: Estadística Variables aleatorias continuas y funciones de densidad de probabilidad. valor esperado de una variable aleatoria (discreta y continua)

EJERCICIOS

(b) Calcule E[X] y Var[X]. Rta= 1,61 y 0,0746

(c) Calcule g(X) = 1,5−X. Halle E[g(X)].

g(X) = 1,5−X puede verse como el remanente si no se recibe el nuevo

suministro.

Rta=−0,11, no se puede cubrir la demanada.

Estadıstica I.

32