Construction Métallique 07.a- Théorie du Flambement

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Philippe MARONMaître de conférencesISABTP-UPPA 5 Novembre 2014Philippe MARONMaître de conférencesISABTP-UPPA 5 Novembre 2014Philippe MARONMaître de conférencesISABTP-UPPA 5 Novembre 2014Philippe MARONMaître de conférencesISABTP-UPPA 5 Novembre 2014Philippe MARONMaître de conférencesISABTP-UPPA 23 mars 2020

Construction Métallique07.a- Théorie du Flambement

(Théorie d'Euler)

-2-23/03/20

CM07a-Flambement - Théorie

● A l’issue de ce chapitre, l’étudiant doit être capable à partir du dossier d’un nouveau bâtiment du même type et d’une sollicitation de vent et/ou de neige donnée :

d’expliquer le phénomène de flambement de comprendre la notion de force critique de flambement de déterminer la longueur de flambement de l’élément d’identifier les éléments susceptibles de subir une instabilité de flambement de contrôler le dimensionnement des éléments susceptibles de subir une

instabilité de flambement à l’État Limite Ultime (ELU)

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CM07a-Flambement - Théorie

● Objectif : Assurer la stabilité au niveau d’ensemble de la structure au niveau de chacun des éléments qui la constituent.

● => vérifier : contraintes + déformations < valeurs limites acceptables

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CM07a-Flambement - Théorie

● Deux cas de figures pour les déformations : petites déformations : sollicitations ne sont pas modifiées par les

déformations grandes déformations : sollicitations sont modifiées

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CM07a-Flambement - Théorie

● Déformations importantes apparaissent quand : En domaine élastique, la corrélation linéaire entre efforts et déformations

n’est plus vérifiée.

=> Les déformations augmentent alors plus vite que les sollicitations. En domaine élasto-plastique, lorsqu’il y a écoulement plastique.

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CM07a-Flambement - Théorie

● Grandes déformations => zones comprimées

● => 3 formes de grandes déformations nommées instabilités : flambement,

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CM07a-Flambement - Théorie

● Grandes déformations => zones comprimées

● => 3 formes de grandes déformations nommées instabilités : flambement, déversement

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CM07a-Flambement - Théorie

● Grandes déformations => zones comprimées

● => 3 formes de grandes déformations nommées instabilités : flambement, déversement Voilement

● apparaissent dans poutres,poteaux

=> peuvent donc conduire à la ruine de la structure.

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CM07a-Flambement - Théorie

Coefficients de sécurité en instabilité : ƔM1=1,1

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CM07a-Flambement - Théorie

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CM07a-Flambement - ThéorieThéorie d'Euler (flexion simple)

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CM07a-Flambement - ThéorieThéorie d'Euler (flexion simple)

-13-23/03/20

CM07a-Flambement - ThéorieThéorie d'Euler (flexion simple)

M (x )=−E.I z .d 2y (x )dx 2

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CM07a-Flambement - ThéorieThéorie d'Euler (flexion simple)

M (x )=−E.I z .d 2y (x )dx 2

Or M (x )=N.y (x )

-15-23/03/20

CM07a-Flambement - ThéorieThéorie d'Euler (flexion simple)

M (x )=−E.I z .d 2y (x )dx 2

Or M (x )=N.y (x )

D'où

E.I z .d 2y (x )dx 2

+N.y (x )=0

-16-23/03/20

CM07a-Flambement - ThéorieThéorie d'Euler (flexion simple)

M (x )=−E.I z .d 2y (x )dx 2

Or M (x )=N.y (x )

D'où

E.I z .d 2y (x )dx 2

+N.y (x )=0

Soit

d 2y (x )dx 2

+ NE.I z

.y (x )=0

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CM07a-Flambement - Théorie

Résolution de d 2y (x )dx 2

+ NE.I z

.y (x )=0

Théorie d'Euler (flexion simple)

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CM07a-Flambement - Théorie

Résolution de

α=√ NE.I zOn pose :

d 2y (x )dx 2

+ NE.I z

.y (x )=0

d 2y (x )dx 2

+α2 .y (x )=0

Théorie d'Euler (flexion simple)

-19-23/03/20

CM07a-Flambement - Théorie

Résolution de

α=√ NE.I zOn pose :

y (x )=A. cos(α . x )+B .sin(α . x )

La solution est de la forme :

d 2y (x )dx 2

+ NE.I z

.y (x )=0

d 2y (x )dx 2

+α2 .y (x )=0

Théorie d'Euler (flexion simple)

-20-23/03/20

CM07a-Flambement - Théorie

Résolution de

α=√ NE.I zOn pose :

y (x )=A. cos(α . x )+B .sin(α . x )

La solution est de la forme :

d 2y (x )dx 2

+ NE.I z

.y (x )=0

d 2y (x )dx 2

+α2 .y (x )=0

- En x=0, y(0)=0 : A=0

- En x=l0, y(l0)=0 : B .sin(α .l 0)=0

Théorie d'Euler (flexion simple)

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CM07a-Flambement - Théorie

Résolution de

α=√ NE.I zOn pose :

y (x )=A. cos(α . x )+B .sin(α . x )

La solution est de la forme :

d 2y (x )dx 2

+ NE.I z

.y (x )=0

d 2y (x )dx 2

+α2 .y (x )=0

- En x=0, y(0)=0 : A=0

B=0

- En x=l0, y(l0)=0 : B .sin(α .l 0)=0

Théorie d'Euler (flexion simple)

-22-23/03/20

CM07a-Flambement - Théorie

Résolution de

α=√ NE.I zOn pose :

y (x )=A. cos(α . x )+B .sin(α . x )

La solution est de la forme :

d 2y (x )dx 2

+ NE.I z

.y (x )=0

d 2y (x )dx 2

+α2 .y (x )=0

- En x=0, y(0)=0 : A=0

B=0sin(α .l 0)=0

- En x=l0, y(l0)=0 : B .sin(α .l 0)=0

Théorie d'Euler (flexion simple)

-23-23/03/20

CM07a-Flambement - Théorie

Résolution de

α=√ NE.I zOn pose :

y (x )=A. cos(α . x )+B .sin(α . x )

La solution est de la forme :

d 2y (x )dx 2

+ NE.I z

.y (x )=0

d 2y (x )dx 2

+α2 .y (x )=0

- En x=0, y(0)=0 : A=0

B=0sin(α .l 0)=0

- En x=l0, y(l0)=0 : B .sin(α .l 0)=0

α . l 0=k.π N=k 2 .π2 .E.I z

l 02

Théorie d'Euler (flexion simple)

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CM07a-Flambement - Théorie

Force critique de flambement N k=π2 .E.I zl 02

Théorie d'Euler (flexion simple)

-25-23/03/20

CM07a-Flambement - Théorie

Force critique de flambement

Contrainte normale critique :

N k=π2 .E.I zl 02

Théorie d'Euler (flexion simple)

σk=π2 .E.I zl 02 .A

=π2 .El 02. i z2=π2 .E

λ2

-26-23/03/20

CM07a-Flambement - Théorie

Force critique de flambement N k=π2 .E.I zl 02

Théorie d'Euler (flexion simple)

σk=π2 .E.I zl 02 .A

=π2 .El 02. i z2=π2 .E

λ2

iz :Rayon de giration λ : élancement

λ=l 0i z

Contrainte normale critique :

-27-23/03/20

CM07a-Flambement - Théorie

Force critique de flambement N k=π2 .E.I zl 02

Théorie d'Euler (flexion simple)

σk=π2 .E.I zl 02 .A

=π2 .El 02. i z2=π2 .E

λ2

iz :Rayon de giration λ : élancement

λ=l 0i z

Courbe σk=f(λ) => hyperbole d'Euler

Contrainte normale critique :

-28-23/03/20

CM07a-Flambement - Théorie

Théorie d'Euler (flexion simple)

Courbe σk=f(λ) => Hyperbole d'Euler

σk réel < σk Euler

-29-23/03/20

CM07a-Flambement - Théorie

Théorie d'Euler (flexion simple)

Courbe σk=f(λ) => Hyperbole d'Euler

σk réel < σk Euler

CONTACT

Philippe MARON

ISABTP - UPPA

philippe.maron @univ-pau.fr

www.univ-pau.fr/~maron/const_metal/