FLAMBEMENT DES POTEAUX DE PORTIQUES

1

Revue

Construction

Métallique

FLAMBEMENT DES POTEAUX DE PORTIQUESÀ SECTION CONSTANTE AVEC COMPRESSION

VARIABLE SUR LA LONGUEURpar J.M. VERNIER

Référence

STA-CAL 1-00

1. – OBJET DE LA NOTE

Modèle de poteau isolé

– Un poteau repose sur des appuis caractérisés par leur coefficient d’encastrementélastique K (KA, KB) et leur coefficient de retenue élastique R, et assimilés à des res-sorts de rotation et de translation (fig. 1).

Fig. 1

P0

B

δ

Pi

0 � R � 1

A

0 � KB � 1

0 � KA � 1

�0

�i

1

CENTRE TECHNIQUE INDUSTRIELDE LA CONSTRUCTION MÉTALLIQUE

Domaine de Saint-Paul, 78470 Saint-Rémy-lès-ChevreuseTél.: 01-30-85-25-00 - Télécopieur 01-30-52-75-38

Construction Métallique, n° 4-2000

J.M. VERNIER – Ingénieur ESIM –CETE APAVE SUD

STA-CAL 1-00


86 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS

2

– Les 3 ressorts introduits pour l’étude d’un poteau isolé (coefficients KA, KB, R ) sont lareprésentation des liaisons d’extrémité que possède le poteau avec le reste de lastructure dont il fait partie.

On se propose dans la présente note de :

– Calculer une longueur de flambement réduite � ′k par la méthode des abaques deSahmel [1], permettant de vérifier un poteau avec plusieurs charges axiales commes’il était soumis sur toute sa longueur à l’effort normal maximum de compression.

– Améliorer la méthode de calcul de Delesques [1] traitant du flambement des poteauxde portiques à pieds articulés ou encastrés, et à encastrement élastique en tête surtraverse avec possibilité de déplacement δ nul ou non nul.

– Donner une méthode de calcul de la longueur � ′k dans le cas général d’encastrementsélastiques en tête et en pied (0 � K � 1) et de retenue élastique en tête (0 � R � 1),pour des montants de portiques à section constante et dimensionnés dans ledomaine élastique.

2. – RAPPEL SUR LES ABAQUES DE SAHMEL

2,1. Longueur de flambement réduite � ′k

– La longueur de flambement �k d’un poteau de portique chargé en tête par P0 de lon-gueur réelle �0 (ou montant de longueur �m = �0), est donnée dans les RèglesCM.66/Add.80/§ 5.33 [2].

– La longueur de flambement réduite � ′k du poteau soumis à des charges P0, P1, P2, etc.placées en différents points de cotes �0 , �1, �2, etc. sur son axe, est donnée grâce àν = νi par les abaques de Sahmel tels que :

� ′k = �k �� k, avec : νi = f � �, i = 0, 1, 2, etc.

– Les Règles CM.66/§ 13.401 donnent 7 cas particuliers de valeurs � = �k pour despoteaux à extrémités articulées ou parfaitement encastrées, qui sont repris dans les7 abaques de Sahmel � à � (fig. 2).

– Chaque abaque de Sahmel comporte 3 courbes voisines α (fig. 3) déterminées pourune charge P0 en tête, l’autre Pi à la cote �i avec :

α = , 3 valeurs 0,1/1,0/� pour α

– La proximité de ces 3 courbes montre que le rapport des charges appliquées n’a quetrès peu d’influence sur la valeur de νi, ce qui permet de généraliser à plusieurscharges. On obtient pour toutes les charges la courbe enveloppe α = �, qui place ensécurité.

Pi–––

P0

�i–––

�0

Σνi Pi–––––––––––

ΣPi


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Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 87

3

2,2. – Abaques N° 1� à 7� de Sahmel

– En traçant les 7 abaques de Sahmel sur le même graphe (fig. 2), on remarque que lesabaques �, �, �, � pour les poteaux encastrés en tête, sont pratiquement les enve-loppes respectives des abaques �, �, �, pour les poteaux correspondants articu-lés en tête, dans le calcul de ν.

Fig. 2 – Abaques �1 à �7

Fig. 3 – Cas de l’abaque �7

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,2

0

0,4

0,6

0,8

1,0

�i–––�0

ν

α = 1,0

α = �

α = 0,1

1 2 3

4 5

6 7

P0

Pi

�0�i

P0

Pi

�0�i

P0

Pi

�0�i

P0

Pi

�0�i

P0

Pi

�0�i

P0

Pi

�0�i

P0

Pi

�0�i

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

�i–––�0

ν

Abaques de Sahmel

pour α = = �Pi–––P0

n°

1 0,542 0,323 0,574 0,395 0,686 0,717 0,53

νG

6 7

5

3

1

24

5

1

6 3

47

2

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4

2,3. Utilisation des abaques de Sahmel

– Pour un poteau de longueur �0, soumis à des charges axiales P0, P1, P2, etc. appli-quées à des distances �0, �1, �2, etc. de l’extrémité la plus chargée, on considère que :

• Les charges de compression agissant vers l’extrémité la plus chargée sont positives(Pi � 0).

• Les charges de traction agissant dans l’autre sens sont négatives (Pi � 0).

– On détermine pour chaque charge Pi la valeur νi (0 � νi � 1) relative aux valeurs

et α = � dans l’abaque de Sahmel concerné.

– On peut éventuellement tirer de chaque abaque la valeur νG correspondant au poidspropre du poteau PG réparti sur sa hauteur.

– On fait les sommes algébriques :

Σ νi Pi = ν0 P0 + ν1 P1 + ν2 P2 + etc. (+ νG PG éventuellement)

Σ Pi = P0 + P1 + P2 + etc. (+ PG éventuellement) = réaction d’appui � 0

– On en déduit le coefficient minoratif moyen νm :

νm = Σ νi Pi /Σ Pi � 0, d’où : � ′k = �k ��νm � 0

2,4. – Remarque

– Les abaques de Sahmel ne sont valables que pour Σ Pi � 0 appliqué à l’extrémité laplus chargée du poteau (située en bas des 7 schémas de déformation de la barreassociés aux 7 abaques).

– Les charges ponctuelles Pi appliquées au poteau délimitent des parties de barreappelées tronçons, dans lesquels règnent des efforts répartis Ni tels que :

Pi = Ni – Ni – 1

– On attire l’attention sur le fait que les abaques de Sahmel ne s’appliquent pas auxbarres partiellement tendues (tronçons avec des efforts de traction Ni � 0).

3. – RAPPEL SUR LES ABAQUES DE DELESQUES

3,1. – Encastrement et retenue élastiques de poteau

– Dans l’article de Delesques [3], on définit les termes :

K = coefficient d’encastrement élastique en tête de poteau (ou coefficient de maintienélastique en rotation), tel que : 0 � K � 1 (K = KB dans les Règles CM.66/Add.80)avec :

� K = 0 pour l’articulation en tête (rotation libre, �t = �),

K = 1 pour l’encastrement parfait (rotation nulle, �t = 0).

�i–––

�0


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5

R = coefficient de retenue élastique en tête de poteau (ou coefficient de maintien élas-tique en translation), tel que : 0 � R � 1 avec :

� R = 0 en cas de nœud librement déplaçable (déplacement δ � 0, β = 0),

R = 1 en cas de nœud fixe (déplacement δ = 0, β = �).

• K est le rapport de la somme des rigidités des traverses fixées au nœud à la

somme des rigidités de toutes les barres y compris le poteau fixées au nœud (fig. 4) :

K = �Σ rt �� + Σ rt �,avec :

rt = 1 si extrémité opposée de traverse partiellement encastrée,

rt = n × 0,5 si extrémité opposée de traverse articulée,� rt = n × 0,67 si extrémité opposée de traverse parfaitement encastrée,

n = 3 pour nœuds fixes, n = 1 pour nœuds déplaçables.

Fig. 4

• R est relié à la constante élastique β du reste de la structure qui exerce une force deretenue H = β . δ si la tête du poteau se déplace de δ par la formule :

R = β��β + �3EIm–––––––––

�3m

H = β .δ B

�m

�t

Im

It

�′t

I′t

δ

It–––

�t

Im––––

�m

It–––

�t

I–––

�

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6

3,2. – Abaques N° I et II de Delesques

– Au § 2.43 de l’article de Delesques [3], on définit 2 abaques (en remplaçant �1 par �0)pour des poteaux retenus en tête, d’où on tire :

�k /�0 = f ′ (KB, R ), avec : K = KB

• Abaque I (fig. 5) : Poteau encastré en pied (KA = 1).

• Abaque II (fig. 6) : Poteau articulé en pied (KA = 0).

Fig. 5 – Abaque I – Poteau encastré en pied

Fig. 6 – Abaque II – Poteau articulé en pied

P

A

B

δ

0 � R � 1

�0

0 � KB � 1

KA = 00,10 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 R

0,1

0

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0K

�k–––�0

�

1065

43,5

3,02,8

2,62,4

2,22,0

1,91,8

1,71,6

1,51,4

1,3

1,2

1,1

1,00,95

0,900,85

0,800,75

0,70

0,95

0,90

0,85

0,80

1,0

P

B

A

0 � R � 1

�0

0 � KB � 1

KA = 1

δ

0,10 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 R

0,1

0

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0K

�k–––�0

1,92

1,81,7

1,6

1,51,45

1,40

1,35

1,30

1,25

1,20

1,15

1,10

1,051,00

0,95

0,90

0,85

0,800,75

0,700,650,60

0,55

0,5


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7

3,3. – Longueur de flambement �k

– La longueur de flambement d’un poteau de portique à nœuds fixes est donnée sui-vant les Règles CM.66/Add.80/§ 5.33.2 :

= (1)

– La longueur de flambement d’un poteau de portique à nœuds librement déplaçablesest donnée suivant les Règles CM.66/Add.80/§ 5.33.3 :

= �� (2)

– Les formules (1) et (2) peuvent être respectivement remplacées par les formules (3) et(4) données dans l’Eurocode 3/Partie 1.1/Annexe E [4] :

= 0,5 + 0,14 (ηA + ηB) + 0,055 (ηA + ηB)2 (3)

= �� (4)

avec les facteurs de distribution de rigidité ηA, ηB tels que :

η = � �� + Σ r ′t �,

où :

r ′t = 1 si extrémité opposée de traverse parfaitement encastrée,

r ′t = 0,75 si extrémité opposée de traverse articulée,� r ′t = n × 0,5 si extrémité opposée de traverse de même rotation,

n = 3 en double courbure, n = 1 en simple courbure.

N.B. : Dans le cas où : Σ rt = Σ r ′t , on a : K = 1 – η

– Dans ces formules donnant �k :

Si KA = KB = 1 (ou ηA = ηB = 0), le poteau est parfaitement encastré en pied et en tête.

Si KA = KB = 0 (ou ηA = ηB = 1), le poteau est articulé en pied et en tête.

It–––

�t

It–––

�t

It–––

�t

Im––––

�m

Im––––

�m

1 – 0,2 (ηA + ηB) – 0,12 ηA ηB––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

1 – 0,8 (ηA + ηB) + 0,60 ηA ηB

�k–––

�0

�k–––

�0

1,6 + 2,4 (KA + KB) + 1,1 KA KB––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

KA + KB + 5,5 KA KB

�k–––

�0

3 – 1,6 (KA + KB) + 0,84 KA KB––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

3 – (KA + KB) + 0,28 KA KB

�k–––

�0

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8

• Les formules (1) à (4) de calcul de �k prennent en compte tous les cas intermédiairespour le maintien en rotation (0 � K � 1, ou 1 � η � 0).

• Par contre, elles n’envisagent que 2 cas particuliers pour le maintien en translation :celui des portiques à nœuds fixes (R = 1), et celui des portiques à nœuds librementdéplaçables (R = 0). La réalité se situe en fait entre ces 2 cas extrêmes.

3,4. – Remarque

– Le couple de valeurs KB = 0, R = 0 pour le poteau articulé en pied correspondrait à :�k /�0 = �, suivant l’abaque II de Delesques.

– Pour éviter ce cas sans intérêt pratique (mécanisme de ruine), l’Additif 80/RèglesCM.66 limite la longueur de flambement à 4,02 fois la longueur d’épure pour lespoteaux biarticulés à nœuds déplaçables, en admettant des coefficients minimauxKA = KB = 0,05 dans la formule (2). Ces valeurs 0,05 de K sont représentatives desmaintiens qui existent inévitablement, en raison des frottements, dans des articula-tions réalisées pratiquement.

– Avec des options légèrement différentes, Delesques aboutissait à une valeur compa-rable de �k /�0 = 4,10, avec KB = 0, R = 0,15 suivant l’abaque II.

– Dans le cadre de cette note, on adopte la valeur arrondie de 4, par souci de simplicité.Cela permet de définir un 8e abaque de Sahmel appelé (1′) pour les nœuds dépla-çables, qui est identique à l’abaque � pour les nœuds fixes, mais dans lequel la lon-gueur de flambement �k = 1,0 . �0 est remplacée par : �k = 4,0 . �0.

4. – PROPOSITION D’EXTENSION DE MÉTHODE

4,1. – Cas général

– On se propose de traiter le cas général des poteaux de portiques à extrémités partiel-lement encastrées (maintien élastique en rotation en tête et en pied) et retenus élasti-quement en tête (maintien élastique en translation), soumis à une compressionvariable (fig. 1).

– On se base sur la formule de Sahmel (5) donnant � ′k à partir de �k, et dont les valeursνi sont lues sur ses abaques. Elle se déduit du fait qu’une barre chargée par Σ νi Pi,de longueur de flambement �k, et de charge critique d’Euler π2 EI /�2

k peut supporter avecla même sécurité une charge Σ Pi pour une longueur de flambement réduite �′k si on a :

= ,

d’où :

� ′k = �k �� = �k ��νm ... (5)Σ νi Pi––––––––––

Σ Pi

Σ Pi–––––––––––––

π2 EI /�′2k

Σ νi Pi––––––––––––

π2 EI /�2k


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9

4,2. – Tableau d’abaques de Sahmel

– On donne le tableau ci-dessous (fig. 7) des numéros d’abaques de Sahmel arrangéspour faire des interpolations permettant de calculer la longueur de flambementréduite � ′k.

Fig. 7 – Tableau d’abaques de Sahmel [1] disposés pour interpolations sur le coefficient νm = Σ νi Pi––––––Σ Pi

P0

P0

KB = 0, KA = 0R = 1

Pi

Pi

Abaque �

δ = 0

Abaque �

δ � 0

�0

�0

�i

�i

P0

Pi

�0�i

P0

Pi

�0�i

P0

Pi

�0�i

P0

Pi

�0�i

P0

Pi

�0�i

�′k = �0 νm��

P0

KB = 0, KA = 0R = 0,15Pi

�0

�i �′k = 4 �0 νm��

KB = 1, KA = 0R = 1

Abaque � Abaque �

�′k = 0,7 �0 νm��

KB = 1, KA = 0R = 0

�′k = 2 �0 νm��

KB = 0, KA = 1R = 1

Abaque � Abaque

�′k = 0,7 �0 νm��

KB = 0, KA = 1R = 0

�′k = 2 �0 νm��

KB = 1, KA = 1R = 1

Abaque � Abaque �

�′k = 0,5 �0 νm��

KB = 1, KA = 1R = 0

�′k = �0 νm��

14

18

15

98

19

17

1110

20

16

1312

1′�

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10

4,3. – Interpolation entre abaques de Sahmel

– On peut procéder par interpolations linéaires entre les 8 abaques de Sahmel �, (1′),, �, �, �, �, � disposés à cet effet dans le tableau (fig. 7) en fonction de �k /�0,pour en déduire � ′k.

– En particulier, on définit 6 interpolations (8) à (13) sur le coefficient νm, entre lesvaleurs K = 0 et K = 1 :

• Poteau articulé en pied, partiellement encastré en tête :

(8) = interpolation entre abaques � et � → nœuds fixes

(9) = interpolation entre abaques (1′) et � → nœuds déplaçables

• Poteau encastré en pied, partiellement encastré en tête :

(10) = interpolation entre abaques � et � → nœuds fixes

(11) = interpolation entre abaques et � → nœuds déplaçables

• Poteau partiellement encastré en pied et en tête :

(12) = interpolation entre interpolations (8) et (10) → nœuds fixes

(13) = interpolation entre interpolations (9) et (11) → nœuds déplaçables

– Par ailleurs, on définit 7 interpolations (14) à (20) sur le coefficient νm, entre lesvaleurs R = 0 et R = 1 :

• Poteau articulé en pied :

(14) = interpolation entre abaques � et (1′) → poteau articulé en tête

(15) = interpolation entre abaques � et � → poteau encastré en tête

• Poteau encastré en pied :

(16) = interpolation entre abaques � et → poteau articulé en tête

(17) = interpolation entre abaques � et � → poteau encastré en tête

• Poteau partiellement encastré en tête :

(18) = interpolation entre interpolations (8) et (9) → poteau articulé en pied

(19) = interpolation entre interpolations (10) et (11) → poteau encastré en pied

(20) = interpolation entre interpolations (12) et (13) → poteau partiellement encastréen pied

Remarque

Les interpolations linéaires (8) à (11), (14) à (17) sont simples.

Les interpolations linéaires (12), (13), (18), (19) sont doubles.

L’interpolation linéaire (20) qui est triple est sujette à caution, et ne sera pas retenue.


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11

5. – EXEMPLES D’APPLICATION DE DELESQUES

5,1. – Exemple 3 [1] : montant de portique encastré en pied

– Poteau soumis à un effort variable par tronçon, à nœuds déplaçables (fig. 8).

= = 1,187

KA = 1, R = 0

KB = = = 0,457

Fig. 8

– La formule CM.66/Add.80/§ 5.33.3 donne :

= ��= 1,1884 + 3,5 KB–––––––––––––––

1 + 6,5 KB

�k––––

�0

P0 = 12 000 daN

P1 = 5 000 daN

IPE 400

B

A

HEA 300(Im = 12 863 cm4)

(It = 23 200 cm4)

� 1 =

5 m

�t = 15 m

� 0 =

�m

= 7

m

1––––––––––––––

1,187 + 1It /�t

–––––––––––––––––––

Im /�m + It /�t

12863 × 15,00––––––––––––––––––––––––

7,00 × 23200�t

––––

It

Im––––

�m

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12

– Interpolation N° (11) entre abaques N° et � pour charges P0, P1 :

Interpolation → νm = 0,96 – (0,96 – 0,86) × = 0,94

� ′k = �k ��νm = 1,188 × 7 × ��0,94 = 8,06 m (au lieu de 7,95 m dans [1]).

– Remarque 1

Si P1 = 0, on a seulement une charge P0 en tête. Dans ce cas :

� ′k = �k = 1,188 �0 = 8,32 m (au lieu de � ′k = 8,32 × ��0,975 = 8,21 m avec [1]).

– Remarque 2

Si pour simplifier on ne fait pas d’interpolation, l’emploi de l’abaque N° � seul (avecencastrement en tête) place en sécurité avec νm = 0,96. En effet :

� ′k = 1,188 × 7 × ��0,96 = 8,15 m � 8,06 m

5,2. – Exemple 6 [1] : entrait comprimé

– Membrure inférieure comprimée d’une traverse de portique en treillis soumise à unecharge de soulèvement due au vent longitudinal, de longueur �t = 20 m (fig. 9).

La méthode des abaques de Sahmel n’est pas applicable car 4 tronçons de mem-brure sont soumis à des efforts négatifs de traction – 1000 daN et – 100 daN. En effet,un calcul ordinateur donne dans ce cas la valeur exacte � ′k = 7,30 m, au lieu de� ′k = 0 m trouvée dans [1] par les abaques.

Si on ajoute un effort de précontrainte (+ 1000 daN) dans la membrure, les efforts Nide tous les tronçons deviennent � 0, et les abaques sont alors utilisables.

1,188 – 1,0––––––––––––––––––

2,0 – 1,0

Abaque N° : �k /�0 = 2,0 Abaque N° � : �k /�0 = 1,0

�0 /�0 = 1 → ν0 = 1,00 �0 /�0 = 1 → ν0 = 1,00

�1 /�0 = 5/7 = 0,714 → ν1 = 0,52 �1 /�0 = 0,714 → ν1 = 0,88

Σ νi Pi = 1,00 × 12000 + 0,52 × 5000 = Σ νi Pi = 1,00 × 12000 + 0,88 × 5000 == 14600 daN = 16400 daN

Σ Pi = 12000 + 5000 = 17000 daN Σ Pi = 17000 daN

νm = Σ νi Pi /Σ Pi = 0,86 νm = Σ νi Pi /Σ Pi = 0,96


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13Fig. 9

Σ Pi = + 2400 daN (compression maximale au centre) �0 = 5 × 2 m = 10 m

Σ νi Pi = + 18 + 80 + 259 + 585 + 0 = + 942 daN � Abaque de Sahmel N°

→ � ′k = 2 �0 ��942/2400 = 20 × 0,626 = 12,53 m 0 � i � 4

5,3. – Exemple 4.1 [3] : poteaux encastrés supports de chemin de roulement

– Poteaux HEA 500 encastrés en pied, et reliés en tête par des traverses sans encastre-ment.

La charge 54 t du poteau AB le plus chargé est remplacée par 2 efforts P0 = 34 t entête et P1 = 20 t à mi-hauteur (fig. 10).

Fig. 10

14 t 54 t 40 t 14 t 14 t 14 t

6,5

m

B

A P0 = 34 t

P1 = 20 t

B

A� 1 =

3,2

5 m

� 0 =

6,5

m

10i =

Ni =

Pi = + 300 + 500 + 700 + 900 0

�i = 2 m 4 m 6 m 8 m 10 m

= 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

νi = 0,06 0,16 0,37 0,65 1,0

νiPi = + 18 + 80 + 259 + 585 0

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

daN

(+ 1000)– 1000

(+ 1000)– 100

(+ 1000)+ 600

(+ 1000)+ 1100

(+ 1000)+ 1400

(+ 1000)+ 1400

(+ 1000)+ 1100

(+ 1000)+ 600

(+ 1000)– 100

(+ 1000)– 1000

�i–––�0

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– L’abaque I de Delesques donne pour AB retenu en tête :

R = 0,541, KB = 0 → �k /�0 = 1,365

– Interpolation N° (16) entre abaques N° � et pour charges P0, P1 :

Abaque N° � : �k /�0 = 0,7 Abaque N° : �k /�0 = 2,0

�0 /�0 = 1 → ν0 = 1 �0 /�0 = 1 → ν0 = 1

�1 /�0 = 3,25/6,5 = 0,5 → ν1 = 0,42 �1 /�0 = 0,5 → ν1 = 0,25

Σ νi Pi = 1 × 34 + 0,42 × 20 = 42,4 t Σ νi Pi = 1 × 34 + 0,25 × 20 = 39 t

Σ Pi = 54 t Σ Pi = 54 t

νm = Σ νi Pi /Σ Pi = 42,4/54 = 0,79 νm = 39/54 = 0,72


� ′k = �k ��νm = 1,365 × 6,5 × ��0,76 = 7,73 m = 1,190 �0

5,4. – Exemple 4.2 [3] : portique articulé au sol raidi par un cadre

– Portique avec 2 poteaux latéraux IPE 300 et 2 poteaux centraux HEA 220 articulés enpied, et reliés en tête par 3 traverses IPE 300 encastrées et en pied par 1 traverse IPE300 encastrée sur les poteaux centraux.

La charge 18 t du poteau AB est remplacée par 2 efforts P0 = 8 t en tête et P1 = 10 t à3,6 m (fig. 11).

Fig. 11

– L’abaque II de Delesques donne pour AB retenu en tête :

R = 0,358, KB = 0,429 → �k /�0 = 1,828

18 t 23 t

8 m 8 m5 m

B

A

IPE 300 IPE 300HEA 220

IPE 300IPE 300

IPE 300

23 t 16 t

6 m

P0 = 8 t

P1 = 10 t

B

A

� 0 =

6 m

� 1 =

3,6

m

1,365 – 0,7–––––––––––––––––

2,0 – 0,7


STA-CAL 1-00


15

– La formule Add.80/§ 5.33.2 donne, avec KA = 0 :

= = 0,900 → nœuds fixes.

– La formule Add.80/§ 5.33.3 donne, avec KA = 0 :

= �� = 2,476 → nœuds librement déplaçables.

– Interpolation N° (8) entre abaques N° � et � pour charges P0, P1 :


– Interpolation N° (9) entre abaques N° (1′) et � pour charges P0, P1 :


– Interpolation N° (18) entre interpolations N° (8) et (9) pour P0, P1 :

νm = 0,79 – (0,79 – 0,90) × = 0,85

� ′k = �k ��νm = 1,828 × 6,0 × ��0,85 = 10,11 m = 1,685 �0

1,828 – 0,900––––––––––––––––––––––

2,476 – 0,900

2,476 – 2,0–––––––––––––––––

4,0 – 2,0

0,900 – 0,7–––––––––––––––––

1,0 – 0,7

1,6 + 2,4 KB––––––––––––––––––

KB

�k–––––

�0

3 – 1,6 KB––––––––––––––––

3 – KB

�k–––––

�0

Abaque N° � : �k /�0 = 1,0 Abaque N° � : �k /�0 = 0,7

�0 /�0 = 1 → ν0 = 1,0 �0 /�0 = 1 → ν0 = 1,0

�1 /�0 = 3,6/6 = 0,6 → ν1 = 0,55 �1 /�0 = 0,6 → ν1 = 0,75

Σ νi Pi = 1,0 × 8 + 0,55 × 10 = 13,5 t Σ νi Pi = 1,0 × 8 + 0,75 × 10 = 15,5 t

Σ Pi = 18 t Σ Pi = 18 t

νm = Σ νi Pi /Σ Pi = 13,5/18 = 0,75 νm = 15,5/18 = 0,86

Abaque N° (1′) : �k /�0 = 4,0 Abaque N° � : �k /�0 = 2,0

�0 /�0 = 1 → ν0 = 1,0 �0 /�0 = 1 → ν0 = 1,0

�1 /�0 = 0,6 → ν1 = 0,55 �1 /�0 = 0,6 → ν1 = 0,91

Σ νi Pi = 1,0 × 8 + 0,55 × 10 = 13,5 t Σ νi Pi = 1,0 × 8 + 0,91 × 10 = 17,1 t

Σ Pi = 18 t Σ Pi = 18 t

νm = 13,5/18 = 0,75 νm = 17,1/18 = 0,95

STA-CAL 1-00



16

6. – EXEMPLES COMPLÉMENTAIRES DE POTEAUX

6,1. – Exemple 1 : montant de portique articulé en pied avec � = 0

– Portique simple à nœuds fixes.

Poteau soumis à un effort variable par tronçon (fig. 12).

Fig. 12

= = 7,105

KA = 0, R = 1, rt = 1

KB = = = 0,123

– Formule (1) de Add.80/§ 5.33.2 :

= = 0,974

– Formule (3) de EC3/Annexe E :

ηA = 1, r ′t = 0,5 en simple courbure

ηB = = = 0,934

= 0,5 + 0,14 (ηA + ηB) + 0,055 (ηA + ηB)2 = 0,976 � 0,974�k––––

�0

7,105––––––––––––––––––––––

7,105 + 0,5Im /�m

––––––––––––––––––––––––

Im /�m + 0,5 It /�t

3 – 1,6 KB–––––––––––––––––

3 – KB

�k––––

�0

1––––––––––––––––

7,105 + 1It /�t

–––––––––––––––––––

Im /�m + It /�t

136690 × 10,7––––––––––––––––––––––

8,9 × 23130�t

––––

It

Im––––

�m

P0 = 0

P1 = 25 000 daN

P2 = 45 000 daN

IPE 400B

A

(It = 23 130 cm4)

� 2 =

2,5

m

�t = 10,7 m

� 1 =

6,4

m

� 0 =

�m

= 8

,9 m

HEB 550(Im = 13 6 690 cm4)


STA-CAL 1-00


17

– Interpolation N° (8) entre abaques N° � et � pour charges P0, P1, P2 :


� ′k = �k ��νm = 0,974 × 8,9 × ��0,56 = 6,46 m = 0,726 �0

6,2. – Exemple 2 : montant de portique articulé en pied

– Portique simple à nœuds déplaçables.


Fig. 13

P0 = 60 000 daN

P1 = 25 000 daN

P2 = 45 000 daN

IPE 400B

A

� 2 =

2,5

m

�t = 10,7 m

� 1 =

6,4

m� 0 =

8,9

m

HEB 550

0,974 – 0,7––––––––––––––––––

1,0 – 0,7

Abaque N° � : �k /�0 = 1,0 Abaque N° � : �k /�0 = 0,7

�0 /�0 = 1 → ν0 = 1,00 �0 /�0 = 1 → ν0 = 1,00

�1 /�0 = 6,4/8,9 = 0,719 → ν1 = 0,62 �1 /�0 = 0,719 → ν1 = 0,88

�2 /�0 = 2,5/8,9 = 0,281 → ν2 = 0,49 �2 /�0 = 0,281 → ν2 = 0,63

Σ νi Pi = 1,00 × 0 + 0,62 × 25000 + Σ νi Pi = 1,00 × 0 + 0,88 × 25000 +

+ 0,49 × 45000 = 37550 daN + 0,63 × 45000 = 50350 daN

Σ Pi = 0 + 25000 + 45000 = 70000 daN Σ Pi = 70000 daN


STA-CAL 1-00



18

= 7,105

KA = 0, R = 0, rt = 1

KB = = = 0,123

– Formule (2) de Add.80/§ 5.33.3 :

= ��= 3,925 � 4,0


ηA = 1, r ′t = 1,5 en double courbure

ηB = = = 0,826

= �� = 3,913 � 3,925

– Interpolation N° (9) entre abaques N° (1′) et � pour charges P0, P1, P2 :


� ′k = �k ��νm = 3,913 × 8,9 × ��0,75 = 30,24 m = 3,398 �0

3,913 – 2,0–––––––––––––––––

4,0 – 2,0

1 – 0,2 (ηA + ηB) – 0,12 ηA ηB––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

1 – 0,8 (ηA + ηB) + 0,60 ηA ηB

�k––––

�0

7,105––––––––––––––––––––––

7,105 + 1,5Im /�m

––––––––––––––––––––––––

Im /�m + 1,5 It /�t

1,6 + 2,4 KB–––––––––––––––––––

KB

�k––––

�0

1––––––––––––––––

7,105 + 1It /�t

–––––––––––––––––––

Im /�m + It /�t

�t––––

It

Im––––

�m

Abaque N° (1′) : �k /�0 = 4,0 Abaque N° � : �k /�0 = 2,0

�0 /�0 = 1 → ν0 = 1,00 �0 /�0 = 1 → ν0 = 1,00

�1 /�0 = 0,719 → ν1 = 0,62 �1 /�0 = 0,719 → ν1 = 0,97

�2 /�0 = 0,281 → ν2 = 0,49 �2 /�0 = 0,281 → ν2 = 0,56

Σ νi Pi = 1,00 × 60000 + 0,62 × 25000 + Σ νi Pi = 1,00 × 60000 + 0,97 × 25000 +

+ 0,49 × 45000 = 97550 daN + 0,56 × 45000 = 109450 daN

Σ Pi = 60000 + 25000 + 45000 = Σ Pi = 130000 daN

= 130000 daN



STA-CAL 1-00


19

6,3. – Exemple 3 : montant de portique encastré en pied



Fig. 14

= 7,105

KA = 1, KB = 0,123, R = 0

– Formule (2) de Add.80/§ 5.33.3 :

= = 1,569


ηA = 0, ηB = 0,826

= �� = 1,569 → �k = 1,569 × 8,9 = 13,96 m1 – 0,2 ηB––––––––––––––––

1 – 0,8 ηB

�k––––

�0

1,6 + 2,4 (KA + KB) + 1,1 KA KB––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––� KA + KB + 5,5 KA KB

�k––––

�0

�t––––

It

Im––––

�m

P0 = 60 000 daN

P1 = 25 000 daN

P2 = 45 000 daN

IPE 400B

A

� 2 =

2,5

m

�t = 10,7 m

� 1 =

6,4

m

HEB 550

P′0 = 0

� 0 =

�m

= 8

,9 m

�′ 0 =

�k

STA-CAL 1-00



20

– Interpolation N° (11) entre abaques N° et � pour charges P0, P1, P2 :


� ′k = �k ��νm = 1,569 × 8,9 × ��0,65 = 11,26 m = 1,265 �0

– Remarque 1

Le calcul de � ′k par la méthode de Delesques [1] aurait donné, d’après l’abaque � avec�k = � ′0 = 13,96 m et P ′0 = 0 :

� ′0/� ′0 = 1 (ν ′0 = 1), �0/� ′0 = 0,638 (ν0 = 0,79),

�1/� ′0 = 0,458 (ν1 = 0,52), �2/� ′0 = 0,179 (ν2 = 0,12),

Σ νi Pi = ν ′0 P ′0 + 0,79 × 60000 + 0,52 × 25000 + 0,12 × 45000 = 65800 daN

� ′k = 1,569 × 8,9 × �� = 9,93 m � 11,26 m (moins sécuritaire).

– Remarque 2

Si P1 = P2 = 0, on a seulement P0 en tête. Le calcul par la méthode [1] donne :

� ′k = 1,569 × 8,9 × ��0,79 = 1,395 �0 � �k = 1,569 �0, avec νm = ν0 = 0,79.

Ce résultat est inexact car on devrait dans ce cas obtenir � ′k = �k d’après les formules (2)et (4).

6,4. – Exemple 4 : montant de portique semi-encastré en pied



65800––––––––––––

130000

1,569 – 1,0–––––––––––––––––

2,0 – 1,0

Abaque N° : �k /�0 = 2,0 Abaque N° � : �k /�0 = 1,0

�0 /�0 = 1 → ν0 = 1,00 �0 /�0 = 1 → ν0 = 1,00

�1 /�0 = 0,719 → ν1 = 0,52 �1 /�0 = 0,719 → ν1 = 0,88

�2 /�0 = 0,281 → ν2 = 0,10 �2 /�0 = 0,281 → ν2 = 0,24

Σ νi Pi = 1,00 × 60000 + 0,52 × 25000 + Σ νi Pi = 1,00 × 60000 + 0,88 × 25000 +

+ 0,10 × 45000 = 77500 daN + 0,24 × 45000 = 92800 daN

Σ Pi = 60000 + 25000 + 45000 = 130000 daN Σ Pi = 130000 daN



STA-CAL 1-00


21

Fig. 15

= = 7,105

= = 6,617

R = 0, rt = 0,5 pour I ′t articulé

KA = = = 0,070

KB = = = 0,123

– Formule (2) de Add.80/§ 5.33.3 :

= = 2,937


�r ′t = 1,5 pour It en double courbure

r ′t = 0,75 pour I ′t articulé

1,6 + 2,4 (KA + KB) + 1,1 KA KB––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––� KA + KB + 5,5 KA KB

�k––––

�0

1–––––––––––––––

7,105 + 1It /�t

––––––––––––––––––

Im /�m + It /�t

0,5––––––––––––––––––

6,617 + 0,50,5 I ′t /�′t

–––––––––––––––––––––––––

Im /�m + 0,5 I ′t /�′t

136690 × 3,6–––––––––––––––––––––

8,9 × 8356�′t

––––

I ′t

Im––––

�m

136690 × 10,7––––––––––––––––––––––

8,9 × 23130�t

––––

It

Im––––

�m

P0 = 60 000 daN

P1 = 25 000 daN

P2 = 45 000 daN

B

A

0

� 2 =

2,5

m

�t = 10,7 m

�′t = 3,6 m

� 1 =

6,4

m

� 0 =

�m

= 8

,9 m

IPE 400

(It = 23 130 cm4)

IPE 300 (I′′t = 8 356 cm4)

HEB 550 (Im = 136 690 cm4)

STA-CAL 1-00



22

ηA = = = 0,898

ηB = = = 0,826

= = 2,928 � 2,937

– Interpolation N° (13) entre interpolations N° (9) et (11) pour P0, P1, P2 :

νm = 0,65 – (0,65 – 0,75) × = 0,71

� ′k = �k ��νm = 2,928 × 8,9 × ��0,71 = 21,96 m = 2,467 �0

7. – CONCLUSION

– La méthode par interpolations linéaires décrite dans cette note propose de généra-liser l’emploi des abaques de Sahmel [1], pour calculer la longueur de flambementréduite � ′k � �k d’un poteau de portique partiellement encastré en tête et en pied etpartiellement retenu en tête, soumis à une charge de compression variable sur sahauteur �0.

– Elle permet d’écrire � ′k = �k dans le cas d’un poteau uniquement chargé en tête avec P0(�k = longueur de flambement � des Règles CM.66), ce qui n’est pas le cas de laméthode de Delesques [1].

– Pour simplifier la méthode tout en plaçant en sécurité, on a montré qu’on peut sup-primer les interpolations simples N° (8) à (11) en remplaçant les extrémités de poteaupartiellement encastrées par des extrémités parfaitement encastrées dans le calculdu coefficient νi des abaques de Sahmel.

– On peut également prendre en compte des charges négatives Pi à condition que tousles tronçons restent en compression avec des efforts positifs Ni.

– A partir de � ′k, on déduit l’effort normal critique de flambement :

Nk = ,

d’où l’on tire le coefficient de flambement k0 suivant l’Additif 80 [2].

π2 EI–––––––––

�k′2

2,928 – 1,569–––––––––––––––––––––––

3,913 – 1,569

1 – 0,2 (ηA + ηB) – 0,12 ηA ηB–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––� 1 – 0,8 (ηA + ηB) + 0,60 ηA ηB

�k––––

�0

7,105––––––––––––––––––

7,105 + 1,5Im /�m

–––––––––––––––––––––––––

Im /�m + 1,5 It /�t

6,617––––––––––––––––––––

6,617 + 0,75Im /�m

––––––––––––––––––––––––––––

Im /�m + 0,75 I ′t /�′t


STA-CAL 1-00


23

8. – RÉFÉRENCES

[1] Delesques R. – «Flambement des barres dont l’effort normal varie sur la longueur.Exemples d’application aux entraits comprimés», Rubrique du praticien, RevueCTICM N° 4 (1972).

[2] Règles CM 66 : «Calcul des constructions en acier», complétées par l’Additif 80(DTU. P22.701).

[3] Delesques R. – «Longueur de flambement d’un poteau dont le déplacement en têteest retenu élastiquement», Rubrique du praticien, Revue CTICM N° 3 (1980).

[4] Eurocode 3, Partie 1.1, Annexe E : «Longueur de flambement d’un élément com-primé» (Norme P 22.311.E).

Documents

FLAMBEMENT DES POTEAUX DE PORTIQUES