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Condizione necessaria di derivabilità
€
f : D⊆R →R se f è derivabile in x0 allora f è continua in x0
Dimostrazione
se f è derivabile in x0 allora:
€
Limx → x0
f x( ) − f x0( )
x − x0
= ′ f x0( )∈R
€
Limx → x0
f x( ) − f x0( )[ ] =
€
Limx → x0
f x( ) − f x0( )
x − x0
⋅ x − x0( ) ⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥=
€
Limx → x0
f x( ) − f x0( )
x − x0
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥⋅ Lim
x → x0
x − x0( ) =
€
′ f x0( )∈R
€
′ f x0( )⋅
€
Limx → x0
x − x0( ) =
€
0
€
Limx → x0
f x( ) − f x0( )[ ] = 0 ⇒
€
Limx → x0
f x( ) = f x0( )
1
Continuità e derivabilità
f è derivabile nel punto x0
€
⇒ f è continua nel punto x0
la derivabilità è condizione sufficiente per la continuità
f è non continua nel punto x0
€
⇒ f è non derivabile nel punto x0
la continuità è condizione necessaria per la derivabilità
2
esempio
€
f x( ) = x
€
x = 0
€
Limx → 0
f x( ) = f 0( ) = 0
f è continua nel punto
€
x = 0
€
Limx → 0−
f x( ) − f 0( )x
=
€
Limx → 0−
−x − 0
x= −1
€
Limx → 0+
f x( ) − f 0( )x
=
€
Limx → 0+
+x − 0
x= +1
€
′ f − 0( ) ≠ ′ f + 0( )
f non è derivabile nel punto
€
x = 03
esempio
€
f x( ) = x3
€
x = 0
€
Limx → 0
f x( ) = f 0( ) = 0
f è continua nel punto
€
x = 0
€
Limx → 0−
f x( ) − f 0( )x
=
€
Limx → 0−
x3 − 0
x= +∞
€
Limx → 0+
f x( ) − f 0( )x
=
€
Limx → 0+
x3 − 0
x= +∞
€
′ f − 0( ) = ′ f + 0( ) ma ∉R
f non è derivabile nel punto
€
x = 04
Punti di non derivabilità
€
f : D⊆R →R se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0
se
€
Limh → 0
f x0 + h( ) − f x0( )
h= +∞ −∞( )
x0 è un punto di flesso a tangenza verticale
flesso a tangenza verticale discendente
flesso a tangenza verticale ascendente
€
x0
€
x0
€
Limh → 0
f x0 + h( ) − f x0( )
h= −∞
€
Limh → 0
f x0 + h( ) − f x0( )
h= +∞
5
Punti di non derivabilità
€
f : D⊆R →R se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0
se
€
Limh → 0−
f x0 + h( ) − f x0( )
h= +∞ e Lim
h → 0+
f x0 + h( ) − f x0( )
h= −∞
x0 è una cuspide (punto di massimo)
Cuspide (punto di massimo)
€
x0
6
Punti di non derivabilità
€
f : D⊆R →R se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0
se
€
Limh → 0−
f x0 + h( ) − f x0( )
h= −∞ e Lim
h → 0+
f x0 + h( ) − f x0( )
h= +∞
x0 è un punto di cuspide (punto di minimo)
Cuspide (punto di minimo)
€
x0
7
Punti di non derivabilità
€
f : D⊆R →R se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0
se
€
Limh → 0−
f x0 + h( ) − f x0( )
h= L1 e Lim
h → 0+
f x0 + h( ) − f x0( )
h= L2 L1 ≠ L2
ed almeno uno dei due limiti sia finito, allora x0 è un punto angoloso
€
x0
€
x0
€
x0
8
esercizio
€
fa, b =ax + b
e−x −1
⎧ ⎨ ⎩
Determinare a e b in modo che f sia continua e derivabile su tutto R. Per tali valori disegnare la funzione e disegnare inoltre:
continuità in 0 €
x ≤ 0
x > 0
€
f x( ) ; f x( ); f x( )
€
Limx → 0−
f x( ) = f 0( ) = Limx → 0+
f x( )
€
Limx → 0−
ax + b( ) = b = f 0( )
€
Limx → 0+
e−x −1( ) = 0
€
⇒ b = 0
f continua in 0
€
se b = 0 ∧ ∀a
€
fa
=ax
e−x −1
⎧ ⎨ ⎩
€
′ f a
=a
−e−x
⎧ ⎨ ⎩
€
x ≤ 0
x > 0
derivabilità in 0
€
se ′ f − 0( ) = ′ f + 0( ) = ′ f 0( )∈R
9
esercizio
€
′ f a, b =a
−e−x
⎧ ⎨ ⎩
€
x ≤ 0
x > 0
€
′ f − 0( ) = ′ f + 0( ) = ′ f 0( )∈R
€
′ f − 0( ) = a
€
′ f + 0( ) = −e−0 = −1
€
⇒ a = −1
f derivabile in 0
€
se b = 0 ∧ a = −1
€
f x( ) =−x
e−x −1
⎧ ⎨ ⎩
€
x ≤ 0
x > 0
10
€
f x( ) =−x
e−x −1
⎧ ⎨ ⎩
€
x ≤ 0
x > 0
€
f x( )
€
f x( )
€
f x( )
11
Importante osservazione
se f è derivabile in x0 allora si ricava che:
ricordiamo che
€
Limx → x0
f x( ) = L∈R
€
⇔
€
f x( ) = L + o 1( ) per x → x0
€
Limx → x0
f x( ) − f x0( )
x − x0
= ′ f x0( )
€
⇔
€
f x( ) − f x0( )
x − x0
= ′ f x0( ) + o 1( ) per x → x0
da cui si ricava:
€
f x( ) − f x0( ) = ′ f x0( ) x − x0( ) + o x − x0( ) per x →x0
se f è derivabile in x0 allora la variazione assoluta
€
f x( ) − f x0( )
è un infinitesimo di ordine maggiore o uguale al primo rispetto a
€
x − x0 per x →x0
€
Limx → x0
f x( ) − L[ ] = 0
€
Limx → x0
f x( ) − L[ ]
1= 0
12
Esempi
€
f x( ) = x3
€
in x = 0
€
f x( ) − f 0( ) = x3 − 0 = x1/ 3
€
f x( ) − f 0( ) per x →0 è un infinitesimo di ordine 1/3 rispetto a x
da cui si ricava che f non è derivabile
€
in x = 0
€
g x( ) = x −1
€
in x =1
€
g x( ) − g 1( ) = x −1 − 0 = x −1( )1/ 2
€
g x( ) − g 0( ) per x →1 è un infinitesimo di ordine 1/2 rispetto a
€
x −1
da cui si ricava che g non è derivabile
€
in x =1
13
Teorema: derivazione della funzione inversa
€
f : I ⊆R →R f continua e strettamente monotona in I
Se f è derivabile in x0 appartenente ad I e
€
x0
€
′ f x0( ) ≠ 0
allora esiste
€
f −1( )
′ f x0( )( ) e si ha:
€
f −1( )
′ f x0( )( ) =1
′ f x0( )
€
y = mx + q
€
y = ′ m x + q€
′ m =1
m€
f
€
f −1
14
Esercizio
€
f x( ) = ex − 2
€
in I = 0; +2[ ]
Calcolare la derivata della funzione inversa in
€
f 1( ) = e − 2
€
f x( )
€
ex1 − 2 > ex2 − 2 ⇒
€
ex1 > ex2 ⇔ x1 > x2
€
′ f x( ) = ex ⇒
è un monotona in senso stretto in I
da cui si ricava che la funzione inversa è derivabile
€
in f 1( ) = e − 2
€
′ f 1( ) = e1 ≠ 0
€
f −1( )
′ f 1( )( ) =1
e
15
Esercizio
€
y = ex − 2 ⇒ ex = y + 2
€
in I = −1; e2 − 2[ ]
€
f −1 x( ) = ln x + 2( )
€
f −1( )
′ x( ) =1
x + 2
Scambio di variabili:
€
⇒ lnex = ln y + 2( )
€
⇒ x = ln y + 2( )
€
⇒ y = ln x + 2( )
€
⇒ f −1( )
′ e − 2( ) =1
e − 2 + 2=
1
e
16
€
in I = 0; +2[ ]
€
f x( ) = ex − 2
€
Im f = −1; e2 − 2[ ]
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