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Teoría Electromagnetica - Hayt & Buck - 7th Edición
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CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
TEMA 9
FUERZAS MAGNÉTICAS, MATERIALES
E INDUCTANCIA
Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez
Ciclo Ene – Abr 2010San Cristóbal, RD
TABLA DE CONTENIDO
1. FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS MAGNÉTICOS2. MATERIALES MAGNÉTICOS3. MAGNETIZACIÓN Y PERMEABILIDAD4. CONDICIONES DE FRONTERA MAGNÉTICAS5. RESUMEN ECUACIONES CIRCUITOS RESISTIVOS Y MAGNÉTICOS6. ENERGÍA POTENCIAL7. INDUCTANCIA E INDUCTANCIA MUTUA
FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS MAGNÉTICOS
Preliminar
La fuerza que ejerce un campo magnético sobre partículas cargadas se relaciona con dispositivos eléctricos, tales como: amperímetros, voltímetros, galvanómetros, ciclotrones, plasmas, motores y generadores magneto-hidrodinámicos, entre otros.
Y ahora, a comprenderla …
1
Fuerzas debida a Campos Magnéticos
La fuerza debida a campos magnéticos puede experimentarse en al menos tres formas, estas son:
1.Partícula cargada en movimiento en un campo.2.Elemento de corriente en un campo B externo.3.Entre dos elementos de corriente.
FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS MAGNÉTICOS (CONT.)
1. Fuerza sobre una partícula cargada
De la definición de Fuerza Eléctrica, recordamos que:
Se ha comprobado que la fuerza magnética experimentada por una carga Q en movimiento con una velocidad v en un campo magnético B es:
De manera que Fm es perpendicular a v y a B. En resumen, Fe es independiente de la velocidad de la carga y puede realizar trabajo sobre ésta última, y alterar su energía cinética. Fm es lo contrario. 2
En el caso de una carga Q en movimiento en presencia de campos, eléctrico y magnético, la fuerza total sobre la carga es:
BvF Qm
BvEF
BvEFFF
Q
QQme
Fuerza de Lorentz→ relaciona F mecánica y F eléctrica
BvEv
F Qdt
dm
EF Qe
3
D9.1
Una carga puntual Q = 18 nC tiene una velocidad de 5x106 m/s en la dirección av=0.60ax+0.75ay+0.30az.
Calcular la magnitud de la fuerza que ejerce el campo sobre la carga :
a.B=-3ax+4ay+6az mT
b.E=-3ax+4ay+6az kV/m
c.B y E actuando en conjunto.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)660 μNb)140 μNc)670 μN
FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS MAGNÉTICOS (CONT.)
FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS MAGNÉTICOS (CONT.)
2. Fuerza sobre un elemento de corriente
La fuerza diferencial ejercida sobre un elemento diferencial de carga, se expresa:
Oportunamente recordamos:
Con esta combinación de ecuaciones, obtenemos:
Alternativamente,
4
BvF dQd m
dvdSId JKL
vJ
v Densidad Corriente de Convección
Relación Elementos de Corriente
vvL dQdvId v
dQvdQdtdt
dQI
LLL
ddd
FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS MAGNÉTICOS (CONT.)
2. Fuerza sobre un elemento de corriente (Cont.)
Debido a que un elemento de corriente de convección dQv es equivalente a un elemento de corriente de conducción, la fuerza sobre un elemento de corriente en un campo magnético B se encuentra a partir de:
En un campo magnético uniforme, se verifica que:
La magnitud de la fuerza se expresa:
Conclusión: El campo magnético B es la fuerza por unidad de elemento de corriente.
5
BLF Idd m
L S v
m dvdSId BJBKBLF En estas ecuaciones, el campo B es externo al elemento de corriente IdL.
BLF Im
sinBILFm
6
D9.2
El campo B=-2ax+3ay+4az mT está presente en el espacio libre. Encontrar el vector fuerza que se ejerce sobre un segmento de alambre recto por el que circulan 12A en la dirección aAB, dados A(1,1,1) y:
a.B(2,1,1)
b.B(3,5,6)
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)-48ay+36az mNb)12ax-216ay+168az mN
FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS MAGNÉTICOS (CONT.)
FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS MAGNÉTICOS (CONT.)
3. Fuerza entre dos elementos de corriente
Consideremos los elementos de corriente I1dL1 e I2dL2. De acuerdo con la Ley de Biot-Savart, ambos elementos de corriente producen campos magnéticos. Por tanto, la fuerza sobre el primer elemento de corriente debida al campo dB2 será:
Pero según la Ley de Biot-Savart,
En consecuencia,
A partir de esta ecuación, la fuerza F1sobre la espira de corriente1 debida a la espira de corriente 2 será:
7
2111 ddIdd BLF
221
R2202 4π
dIμd 21
R
aLB
221
R221101 4π
dIdIμdd 21
R
aLLF
1 2
21
221
R212101
dd
4π
IIμ
L L R
aLLF
8
D9.4
Dos elementos diferenciales de corriente, I1∆L1=3x10-6ay A.m en P1(1,0,0) e I2∆L2=3x10-6(-0.5ax+0.4ay+0.3az) A.m en P2(2,2,2), están ubicados en el espacio libre. Encontrar el vector fuerza que se ejerce sobre:
a.I2∆L2 por I1∆L1.
b.I1∆L1 por I2∆L2.Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)(-1.333ax+0.333ay-2.67az)10-20 Nb)(4.67ax+0.667az)10-20 N
FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS MAGNÉTICOS (CONT.)
9
MATERIALES MAGNÉTICOS
Leer en casa Sección 9.5 sobre materiales magnéticos:DiamagnéticosParamagnéticosFerromagnéticosAntiferromagnéticosFerrimagnéticosSuperparamagnéticos
¿Material de Examen? … → No
Preliminar
Las cargas que se relacionan con los electrones orbitales, con el espín del electrón y con el espín del núcleo se conoce como Cargas Ligadas.
La corriente que producen las cargas ligadas se denomina corriente ligada o corriente amperiana.
Una corriente ligada Ib que circula a lo largo de una trayectoria que encierra un diferencial de área dS, establece un momento dipolar m, esto es: m=IbdS [A.m2]
10
MAGNETIZACIÓN Y PERMEABILIDAD
Magnetización
Si existen n dipolos magnéticos por unidad de volumen, el momento dipolar total corresponde a la suma vectorial, o sea:
Y se define la magnetización M como el momento dipolar magnético por unidad de volumen, esto es:
[A/m]
vnΔ
1iiTotal mm
vnΔ
1ii
0Δv Δv
1lim mM
Magnetización (Cont.)
Considerando un pequeño volumen ∆v, se tiene:
Sustituyendo los términos que definen el momento dipolar, se tiene:
Por tanto,
De la Ley Circuital de Ampere, la corriente expresada como función de ITotal es:
11
MAGNETIZACIÓN Y PERMEABILIDAD (CONT.)
LSLS dddvddnIdI bb
Esta expresión es válida si ocurre un efecto de alineamiento en los dipolos magnéticos cuando se aplica un campo magnético.
LM ddIb
LM dIb
LB
dμ
I0
T
Magnetización (Cont.)
Adicionalmente, expresamos que:
IT = Ib + I
Despejando la corriente libre y sustituyendo las otras dos, se verifica que:
Por tanto,
12
MAGNETIZACIÓN Y PERMEABILIDAD (CONT.)
Corriente Libre encerrada por la trayectoria cerrada.
De las 3, ésta es la que aparece en las Ecuaciones de Maxwell.
LM
Bd
μI
0
Esta expresión sigue siendo la Ley de Ampere
MB
H 0μ
De esta ecuación, se deduce que la magnetización M =0 en el espacio libre, o sea : B=μ0H
Magnetización (Cont.)
Normalmente, la ecuación :
se expresa en la forma
Para las distintas densidades de corriente, se verifica que:
Y aplicando el Teorema de Stokes, se tiene:
13
MAGNETIZACIÓN Y PERMEABILIDAD (CONT.)
MB
H 0μ
MHB 0μ
SSS
SJSJSJ dIdIdI TTbb
JHJB
JM T0
b μ
Permeabilidad
B, H y M se pueden simplificar para medios lineales e isotrópicos, ya que:
Donde xm es la suceptibilidad magnética.
De manera que,
Donde, es la permeabilidad relativa, por tanto: ; y
14
MAGNETIZACIÓN Y PERMEABILIDAD (CONT.)
HM mx
mm xx 100 HHHB
mr x1 r 0
HB
Condiciones de Frontera Magnéticas
Sean dos materiales isotrópicos, homogéneos y lineales con permeabilidades μ1 y μ2, como se muestra en la figura:
15
CONDICIONES DE FRONTERA MAGNÉTICAS
Aplicando la Ley de Gauss a una pequeña superficie cilíndrica, se tiene:
de donde,
entonces,
también,
S
0dSB
12 NN BB
12
12 NN HH
12
1
1
21
2
122 N
m
mNmN M
x
xHxM
La componente normal de B es continua, y H es discontinua por el cociente (μ1/μ2).
Condiciones de Frontera Magnéticas (Cont.)
Si ahora aplicamos la Ley Circuital de Ampere,
en una trayectoria cerrada en un plano normal a la superficie de frontera. Tomando el recorrido a favor de las manecillas del reloj [y despreciando la altura], se verifica que:
también,
16
CONDICIONES DE FRONTERAMAGNÉTICAS (CONT.)
Por otro lado,
NTT
NTT
KHH
LKLHLH
21
21
NTT KBB
2
2
1
1
NmTm
mT KxM
x
xM 21
1
22
Recuerde que K es una corriente superficial cuya componente normal al plano se denota por KN.
LH dI
HM mx
17
D9.8
Sea la permitividad de 5 μH/m en la región A donde x<0 y de 20 μH/m en la región B donde x>0. Si existe una densidad de corriente superficial K=150ay -200az A/m en x=0 y si HA= 300ax-400ay+500az A/m, encontrar:
a.| HTA|
b.|HNA|
c.|HTB|
d.|HNB|
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)640 A/mb)300 A/mc)695 A/md)75 A/m
CONDICIONES DE FRONTERAMAGNÉTICAS (CONT.)
18
RESUMEN ECUACIONES CIRCUITOS RESISTIVOS Y MAGNÉTICOS
CIRCUITO RESISTIVO CIRCUITO MAGNÉTICO
VE 0Vm JHPotencial electrostático y su relación con el campo eléctrico.
Potencial magnético escalar y su relación con el campo magnético.
A
B
AB dV LE
Diferencia de Potencial Eléctrico.
A
B
ABm, dV LH
Diferencia de Potencial Magnético (fmm).
19
RESUMEN ECUACIONES CIRCUITOS RESISTIVOS Y MAGNÉTICOS (CONT.)
CIRCUITO RESISTIVO CIRCUITO MAGNÉTICO
S
dI SJ
Corriente Total Flujo Magnético Total
EJ σLey de Ohm en forma puntual para campo eléctrico.
Ley de Ohm en forma uniforme en circuitos eléctricos.
Ley de Ohm en forma puntual para campo magnético.
Ley de Ohm en forma uniforme en circuitos magnéticos.
S
dSB
IRV
HB
ΦVm
20
RESUMEN ECUACIONES CIRCUITOS RESISTIVOS Y MAGNÉTICOS (CONT.)
CIRCUITO RESISTIVO CIRCUITO MAGNÉTICO
σS
dR
Resistencia Total (Caso Uniforme)
Reluctancia(Caso Uniforme)
LE dfem
S
d
Voltaje Trayectoria cerrada
LH dI
Corriente Trayectoria cerrada. En una bobina de N vueltas, el término
de la izquierda es NI.
21
Notas:
1.Las ecuaciones presentadas en la tabla resumen aplican en materiales isotrópicos, homogéneos y lineales.
2.Las ecuaciones correspondientes al circuito magnético no aplican en materiales ferromagnéticos.
RESUMEN ECUACIONES CIRCUITOS RESISTIVOS Y MAGNÉTICOS (CONT.)
22
Ejercicio
Considere un toroide de 300 vueltas con núcleo de aire y sección transversal igual a 12 cm2, un radio de 12 cm y una corriente en la bobina de 5 A. Recuerde que el campo magnético está presente en el interior del toroide; determine sabiendo que Vm = 1500 A.vueltas.
Solución
1. Suponiendo que el campo es uniforme, se calcula la reluctancia como se indica a continuación,
RESUMEN ECUACIONES CIRCUITOS RESISTIVOS Y MAGNÉTICOS (CONT.)
H
bWVueltasA /105.0
1012104
12.02
S
d
9
47
Por tanto,
Como,
y como entonces,
b
b
W
WVueltasA
VueltasA
6
9
m
103
/.105.0
.1500VΦ
T34
6
105.21012
103
S
ΦB
μ
BH
mVueltasA /.44.1989104
102.5H
7-
-3
23
Ejercicio (Cont.)
Considere un toroide de 300 vueltas con núcleo de aire y sección transversal igual a 12 cm2, un radio de 12 cm y una corriente en la bobina de 5 A. Recuerde que el campo magnético está presente en el interior del toroide; determine sabiendo que Vm = 1500 A.vueltas.
Otra Solución
2. Otra forma sería aplicando la Ley de Ampere, esto es:
RESUMEN ECUACIONES CIRCUITOS RESISTIVOS Y MAGNÉTICOS (CONT.)
H
mAH
H
r
NIH
NIrH
/44.1989
12.02
53002
2
24
Energía Potencial
En el campo eléctrico, teníamos la expresión:
En el campo magnético, se verifica que:
Como , entonces :
ENERGÍA POTENCIAL
v
E dv2
1W ED
v
H dv2
1W HB
HB μ
vvv
H dvμ2
1dvμ
2
1dv
2
1W
22 B
HHB
25
Inductancia
La inductancia L del inductor de una sola espira es la razón del flujo magnético Ф a través de la espira a la corriente I de la espira, esto es:
[Henrys, H]
El eslabonamiento de flujo NФ se define como el producto del número de vueltas N y el flujo Ф que forma un eslabón. De manera que, si el inductor tiene N vueltas, entonces :
En el caso uniforme se verifica,
INDUCTANCIA E INDUCTANCIA MUTUA
I
d
I
ΦL
SB
I
dN
I
NΦL
SB
I
NBS
I
NΦL
2
SNL
2
26
Inductancia (Cont.)
Para un bobina toroidal de N vueltas, se tiene:
Y para un coaxial, la inductancia por unidad de longitud es, [H/m]
Desde el punto de vista energético,
Para un alambre largo recto de radio a y distribución de corriente uniforme, la inductancia, la inductancia es,
INDUCTANCIA E INDUCTANCIA MUTUA (CONT.)
2
SNμL
20
a
bln
2
dμL 0
v
22H dv
I
1
I
2WL JA
8π
μL
27
Inductancia (Cont.)
La razón de voltaje generada en un circuito por la razón de cambio de corriente en otro circuito se conoce como : Inductancia Mutua M,
También se expresa en términos de eslabonamiento de flujo, en la forma:
INDUCTANCIA E INDUCTANCIA MUTUA (CONT.)
dtdIV
M2
1
1
1222112 I
NMM
28
D9.12
Calcular la autoinductancia de:
a.3.5 m de cable coaxial con a=0.8 mm y b=4mm, relleno con un material en el que μr=50.
b.Una bobina toroidal de 500 vueltas, envuelta en fibra de vidrio que tenga una sección transversal cuadrada de 2.5 x 2.5 cm y radio interior de 2 cm.c.Un solenoide que tenga 500 vueltas alrededor de un núcleo cilíndrico de 2 cm de radio en el que μr=50 para 0<ρ<0.5 cm y μr=1 para 0.5 < ρ<2 cm. La longitud del solenoide es de 50 cm.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)56.3 μHb)1.01 mH c)3.2 mH
INDUCTANCIA E INDUCTANCIA MUTUA (CONT.)
29
D9.13
Un solenoide de 50 cm de largo y 2 cm de diámetro tiene 1500 vueltas. El núcleo cilíndrico tiene un diámetro de 2 cm y una permitividad relativa de 75. Esta bobina es coaxial con un segundo solenoide, también de 50 cm de longitud, pero con un diámetro de 3 cm y 1200 vueltas. Calcular :
a.L para el solenoide interior. b.L para el solenoide exterior.c.El valor de M entre los dos solenoides.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)133.2 mHb)86.7 mHc)106.6 mH
INDUCTANCIA E INDUCTANCIA MUTUA (CONT.)
GRACIAS POR SU ATENCIÓNGRACIAS POR SU ATENCIÓN
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