Clase+9_CE

CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

TEMA 9

FUERZAS MAGNÉTICAS, MATERIALES

E INDUCTANCIA

Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez

Ciclo Ene – Abr 2010San Cristóbal, RD

TABLA DE CONTENIDO

1. FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS MAGNÉTICOS2. MATERIALES MAGNÉTICOS3. MAGNETIZACIÓN Y PERMEABILIDAD4. CONDICIONES DE FRONTERA MAGNÉTICAS5. RESUMEN ECUACIONES CIRCUITOS RESISTIVOS Y MAGNÉTICOS6. ENERGÍA POTENCIAL7. INDUCTANCIA E INDUCTANCIA MUTUA

FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS MAGNÉTICOS

Preliminar

La fuerza que ejerce un campo magnético sobre partículas cargadas se relaciona con dispositivos eléctricos, tales como: amperímetros, voltímetros, galvanómetros, ciclotrones, plasmas, motores y generadores magneto-hidrodinámicos, entre otros.

Y ahora, a comprenderla …

1

Fuerzas debida a Campos Magnéticos

La fuerza debida a campos magnéticos puede experimentarse en al menos tres formas, estas son:

1.Partícula cargada en movimiento en un campo.2.Elemento de corriente en un campo B externo.3.Entre dos elementos de corriente.

FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS MAGNÉTICOS (CONT.)

1. Fuerza sobre una partícula cargada

De la definición de Fuerza Eléctrica, recordamos que:

Se ha comprobado que la fuerza magnética experimentada por una carga Q en movimiento con una velocidad v en un campo magnético B es:

De manera que Fm es perpendicular a v y a B. En resumen, Fe es independiente de la velocidad de la carga y puede realizar trabajo sobre ésta última, y alterar su energía cinética. Fm es lo contrario. 2

En el caso de una carga Q en movimiento en presencia de campos, eléctrico y magnético, la fuerza total sobre la carga es:

BvF Qm

BvEF

BvEFFF

Q

QQme

Fuerza de Lorentz→ relaciona F mecánica y F eléctrica

BvEv

F Qdt

dm

EF Qe

3

D9.1

Una carga puntual Q = 18 nC tiene una velocidad de 5x106 m/s en la dirección av=0.60ax+0.75ay+0.30az.

Calcular la magnitud de la fuerza que ejerce el campo sobre la carga :

a.B=-3ax+4ay+6az mT

b.E=-3ax+4ay+6az kV/m

c.B y E actuando en conjunto.

Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:

a)660 μNb)140 μNc)670 μN



2. Fuerza sobre un elemento de corriente

La fuerza diferencial ejercida sobre un elemento diferencial de carga, se expresa:

Oportunamente recordamos:

Con esta combinación de ecuaciones, obtenemos:

Alternativamente,

4

BvF dQd m

dvdSId JKL

vJ

v Densidad Corriente de Convección

Relación Elementos de Corriente

vvL dQdvId v

dQvdQdtdt

dQI

LLL

ddd


2. Fuerza sobre un elemento de corriente (Cont.)

Debido a que un elemento de corriente de convección dQv es equivalente a un elemento de corriente de conducción, la fuerza sobre un elemento de corriente en un campo magnético B se encuentra a partir de:

En un campo magnético uniforme, se verifica que:

La magnitud de la fuerza se expresa:

Conclusión: El campo magnético B es la fuerza por unidad de elemento de corriente.

5

BLF Idd m

L S v

m dvdSId BJBKBLF En estas ecuaciones, el campo B es externo al elemento de corriente IdL.

BLF Im

sinBILFm

6

D9.2

El campo B=-2ax+3ay+4az mT está presente en el espacio libre. Encontrar el vector fuerza que se ejerce sobre un segmento de alambre recto por el que circulan 12A en la dirección aAB, dados A(1,1,1) y:

a.B(2,1,1)

b.B(3,5,6)


Respuestas:

a)-48ay+36az mNb)12ax-216ay+168az mN



3. Fuerza entre dos elementos de corriente

Consideremos los elementos de corriente I1dL1 e I2dL2. De acuerdo con la Ley de Biot-Savart, ambos elementos de corriente producen campos magnéticos. Por tanto, la fuerza sobre el primer elemento de corriente debida al campo dB2 será:

Pero según la Ley de Biot-Savart,

En consecuencia,

A partir de esta ecuación, la fuerza F1sobre la espira de corriente1 debida a la espira de corriente 2 será:

7

2111 ddIdd BLF

221

R2202 4π

dIμd 21

R

aLB

221

R221101 4π

dIdIμdd 21

R

aLLF

1 2

21

221

R212101

dd

4π

IIμ

L L R

aLLF

8

D9.4

Dos elementos diferenciales de corriente, I1∆L1=3x10-6ay A.m en P1(1,0,0) e I2∆L2=3x10-6(-0.5ax+0.4ay+0.3az) A.m en P2(2,2,2), están ubicados en el espacio libre. Encontrar el vector fuerza que se ejerce sobre:

a.I2∆L2 por I1∆L1.

b.I1∆L1 por I2∆L2.Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:

a)(-1.333ax+0.333ay-2.67az)10-20 Nb)(4.67ax+0.667az)10-20 N


9

MATERIALES MAGNÉTICOS

Leer en casa Sección 9.5 sobre materiales magnéticos:DiamagnéticosParamagnéticosFerromagnéticosAntiferromagnéticosFerrimagnéticosSuperparamagnéticos

¿Material de Examen? … → No

Preliminar

Las cargas que se relacionan con los electrones orbitales, con el espín del electrón y con el espín del núcleo se conoce como Cargas Ligadas.

La corriente que producen las cargas ligadas se denomina corriente ligada o corriente amperiana.

Una corriente ligada Ib que circula a lo largo de una trayectoria que encierra un diferencial de área dS, establece un momento dipolar m, esto es: m=IbdS [A.m2]

10

MAGNETIZACIÓN Y PERMEABILIDAD

Magnetización

Si existen n dipolos magnéticos por unidad de volumen, el momento dipolar total corresponde a la suma vectorial, o sea:

Y se define la magnetización M como el momento dipolar magnético por unidad de volumen, esto es:

[A/m]

vnΔ

1iiTotal mm

vnΔ

1ii

0Δv Δv

1lim mM

Magnetización (Cont.)

Considerando un pequeño volumen ∆v, se tiene:

Sustituyendo los términos que definen el momento dipolar, se tiene:

Por tanto,

De la Ley Circuital de Ampere, la corriente expresada como función de ITotal es:

11

MAGNETIZACIÓN Y PERMEABILIDAD (CONT.)

LSLS dddvddnIdI bb

Esta expresión es válida si ocurre un efecto de alineamiento en los dipolos magnéticos cuando se aplica un campo magnético.

LM ddIb

LM dIb

LB

dμ

I0

T


Adicionalmente, expresamos que:

IT = Ib + I

Despejando la corriente libre y sustituyendo las otras dos, se verifica que:

Por tanto,

12


Corriente Libre encerrada por la trayectoria cerrada.

De las 3, ésta es la que aparece en las Ecuaciones de Maxwell.

LM

Bd

μI

0

Esta expresión sigue siendo la Ley de Ampere

MB

H 0μ

De esta ecuación, se deduce que la magnetización M =0 en el espacio libre, o sea : B=μ0H


Normalmente, la ecuación :

se expresa en la forma

Para las distintas densidades de corriente, se verifica que:

Y aplicando el Teorema de Stokes, se tiene:

13


MB

H 0μ

MHB 0μ

SSS

SJSJSJ dIdIdI TTbb

JHJB

JM T0

b μ

Permeabilidad

B, H y M se pueden simplificar para medios lineales e isotrópicos, ya que:

Donde xm es la suceptibilidad magnética.

De manera que,

Donde, es la permeabilidad relativa, por tanto: ; y

14


HM mx

mm xx 100 HHHB

mr x1 r 0

HB

Condiciones de Frontera Magnéticas

Sean dos materiales isotrópicos, homogéneos y lineales con permeabilidades μ1 y μ2, como se muestra en la figura:

15

CONDICIONES DE FRONTERA MAGNÉTICAS

Aplicando la Ley de Gauss a una pequeña superficie cilíndrica, se tiene:

de donde,

entonces,

también,

S

0dSB

12 NN BB

12

12 NN HH

12

1

1

21

2

122 N

m

mNmN M

x

xHxM

La componente normal de B es continua, y H es discontinua por el cociente (μ1/μ2).

Condiciones de Frontera Magnéticas (Cont.)

Si ahora aplicamos la Ley Circuital de Ampere,

en una trayectoria cerrada en un plano normal a la superficie de frontera. Tomando el recorrido a favor de las manecillas del reloj [y despreciando la altura], se verifica que:

también,

16

CONDICIONES DE FRONTERAMAGNÉTICAS (CONT.)

Por otro lado,

NTT

NTT

KHH

LKLHLH

21

21

NTT KBB

2

2

1

1

NmTm

mT KxM

x

xM 21

1

22

Recuerde que K es una corriente superficial cuya componente normal al plano se denota por KN.

LH dI

HM mx

17

D9.8

Sea la permitividad de 5 μH/m en la región A donde x<0 y de 20 μH/m en la región B donde x>0. Si existe una densidad de corriente superficial K=150ay -200az A/m en x=0 y si HA= 300ax-400ay+500az A/m, encontrar:

a.| HTA|

b.|HNA|

c.|HTB|

d.|HNB|


Respuestas:

a)640 A/mb)300 A/mc)695 A/md)75 A/m

CONDICIONES DE FRONTERAMAGNÉTICAS (CONT.)

18

RESUMEN ECUACIONES CIRCUITOS RESISTIVOS Y MAGNÉTICOS

CIRCUITO RESISTIVO CIRCUITO MAGNÉTICO

VE 0Vm JHPotencial electrostático y su relación con el campo eléctrico.

Potencial magnético escalar y su relación con el campo magnético.

A

B

AB dV LE

Diferencia de Potencial Eléctrico.

A

B

ABm, dV LH

Diferencia de Potencial Magnético (fmm).

19

RESUMEN ECUACIONES CIRCUITOS RESISTIVOS Y MAGNÉTICOS (CONT.)


S

dI SJ

Corriente Total Flujo Magnético Total

EJ σLey de Ohm en forma puntual para campo eléctrico.

Ley de Ohm en forma uniforme en circuitos eléctricos.

Ley de Ohm en forma puntual para campo magnético.

Ley de Ohm en forma uniforme en circuitos magnéticos.

S

dSB

IRV

HB

ΦVm

20



σS

dR

Resistencia Total (Caso Uniforme)

Reluctancia(Caso Uniforme)

LE dfem

S

d

Voltaje Trayectoria cerrada

LH dI

Corriente Trayectoria cerrada. En una bobina de N vueltas, el término

de la izquierda es NI.

21

Notas:

1.Las ecuaciones presentadas en la tabla resumen aplican en materiales isotrópicos, homogéneos y lineales.

2.Las ecuaciones correspondientes al circuito magnético no aplican en materiales ferromagnéticos.


22

Ejercicio

Considere un toroide de 300 vueltas con núcleo de aire y sección transversal igual a 12 cm2, un radio de 12 cm y una corriente en la bobina de 5 A. Recuerde que el campo magnético está presente en el interior del toroide; determine sabiendo que Vm = 1500 A.vueltas.

Solución

1. Suponiendo que el campo es uniforme, se calcula la reluctancia como se indica a continuación,


H

bWVueltasA /105.0

1012104

12.02

S

d

9

47

Por tanto,

Como,

y como entonces,

b

b

W

WVueltasA

VueltasA

6

9

m

103

/.105.0

.1500VΦ

T34

6

105.21012

103

S

ΦB

μ

BH

mVueltasA /.44.1989104

102.5H

7-

-3

23

Ejercicio (Cont.)

Considere un toroide de 300 vueltas con núcleo de aire y sección transversal igual a 12 cm2, un radio de 12 cm y una corriente en la bobina de 5 A. Recuerde que el campo magnético está presente en el interior del toroide; determine sabiendo que Vm = 1500 A.vueltas.

Otra Solución

2. Otra forma sería aplicando la Ley de Ampere, esto es:


H

mAH

H

r

NIH

NIrH

/44.1989

12.02

53002

2

24

Energía Potencial

En el campo eléctrico, teníamos la expresión:

En el campo magnético, se verifica que:

Como , entonces :

ENERGÍA POTENCIAL

v

E dv2

1W ED

v

H dv2

1W HB

HB μ

vvv

H dvμ2

1dvμ

2

1dv

2

1W

22 B

HHB

25

Inductancia

La inductancia L del inductor de una sola espira es la razón del flujo magnético Ф a través de la espira a la corriente I de la espira, esto es:

[Henrys, H]

El eslabonamiento de flujo NФ se define como el producto del número de vueltas N y el flujo Ф que forma un eslabón. De manera que, si el inductor tiene N vueltas, entonces :

En el caso uniforme se verifica,

INDUCTANCIA E INDUCTANCIA MUTUA

I

d

I

ΦL

SB

I

dN

I

NΦL

SB

I

NBS

I

NΦL

2

SNL

2

26

Inductancia (Cont.)

Para un bobina toroidal de N vueltas, se tiene:

Y para un coaxial, la inductancia por unidad de longitud es, [H/m]

Desde el punto de vista energético,

Para un alambre largo recto de radio a y distribución de corriente uniforme, la inductancia, la inductancia es,

INDUCTANCIA E INDUCTANCIA MUTUA (CONT.)

2

SNμL

20

a

bln

2

dμL 0

v

22H dv

I

1

I

2WL JA

8π

μL

27

Inductancia (Cont.)

La razón de voltaje generada en un circuito por la razón de cambio de corriente en otro circuito se conoce como : Inductancia Mutua M,

También se expresa en términos de eslabonamiento de flujo, en la forma:


dtdIV

M2

1

1

1222112 I

NMM

28

D9.12

Calcular la autoinductancia de:

a.3.5 m de cable coaxial con a=0.8 mm y b=4mm, relleno con un material en el que μr=50.

b.Una bobina toroidal de 500 vueltas, envuelta en fibra de vidrio que tenga una sección transversal cuadrada de 2.5 x 2.5 cm y radio interior de 2 cm.c.Un solenoide que tenga 500 vueltas alrededor de un núcleo cilíndrico de 2 cm de radio en el que μr=50 para 0<ρ<0.5 cm y μr=1 para 0.5 < ρ<2 cm. La longitud del solenoide es de 50 cm.


Respuestas:

a)56.3 μHb)1.01 mH c)3.2 mH


29

D9.13

Un solenoide de 50 cm de largo y 2 cm de diámetro tiene 1500 vueltas. El núcleo cilíndrico tiene un diámetro de 2 cm y una permitividad relativa de 75. Esta bobina es coaxial con un segundo solenoide, también de 50 cm de longitud, pero con un diámetro de 3 cm y 1200 vueltas. Calcular :

a.L para el solenoide interior. b.L para el solenoide exterior.c.El valor de M entre los dos solenoides.


Respuestas:

a)133.2 mHb)86.7 mHc)106.6 mH


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