48 ตรีโกณมิติ...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ตรโกณมต (เนอหาตอนท 5)

ฟงกชนตรโกณมต 3

โดย

รองศาสตราจารย จตรจวบ เปาอนทร

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ตรโกณมต สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 15 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ตรโกณมต 2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต

- สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส - อตราสวนตรโกณมต - อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย - เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต - วงกลมหนงหนวย การวดมม และหนวยของมม

4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1 - ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม - คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนตรโกณมต 2 - ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต กบฟงกชนตรโกณมต - คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ

6. เนอหาตอนท 5 ฟงกชนตรโกณมต 3 - คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก และผลตางของมม - สตรผลคณ ผลบวก และผลตางของฟงกชนตรโกณมต

7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและกฎของโคไซน - กฎของไซน - กฎของโคไซน

8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต - การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต - กราฟของฟงกชนตรโกณมต

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2

9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน

- ฟงกชนตรโกณมตผกผน - สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

8. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 11. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 12. แบบฝกหด (ขนสง) 13. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย 14. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน 15. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอน ๆ ทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3

เรอง ตรโกณมต (ฟงกชนตรโกณมต 3) หมวด เนอหา ตอนท 5 (5 / 8) หวขอยอย 1. คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก และผลตางของมม 2. สตรผลคณ ผลบวก และผลตางของฟงกชนตรโกณมต จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน 1. เขาใจและสามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมมได 2. เขาใจและสามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมสองเทาได 3. เขาใจและสามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมสามเทาได 4. เขาใจและสามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมครงเทาได 5. เขาใจและสามารถประยกตสตรผลคณ ผลบวก และผลตางของฟงกชนตรโกณมตเพอใชใน

การแกปญหาได ผลการเรยนร ผเรยนสามารถ 1. อธบายและประยกตสตรการหาคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมมเพอใช

ในการแกปญหาได 2. อธบายและประยกตสตรการหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมสองเทา สามเทา และครงเทา

เพอใชในการแกปญหาได 3. อธบายและประยกตสตรการหาผลคณ ผลบวก และผลตางของฟงกชนตรโกณมตเพอใชใน

การแกปญหาได 4. อธบายและหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม 15 และ 75 ได

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

4

เนอหาในสอการสอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

5

เนอหาทงหมด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

6

1. คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก และผลตางของมม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

7

1. คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมม

นกเรยนไดทราบคาฟงกชนตรโกณมตของมมบางมม (30, 45 และ 60) มาแลวจากเนอหาตอนท 2 ซงสรปวธจ าคาตาง ๆ เปนตารางได 2 วธดงน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

8

ในสอการสอนตอนท 5 น นกเรยนจะไดรจกและรทมาของสตรตาง ๆ พรอมทงน าสตรทไดไป

ประยกตใชตอ โดยเฉพาะไดน าสตรไปใชหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมอนนอกจากมม 30, 45

และ 60 ดงน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

9

สรปไดวาเราควรจะหาสตรตอไปน

เรมจากการหาสตรฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมมกนกอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

10

การก าหนดมม , ในรปแบบน เพอใหนกเรยนไดเหนภาพอยางชดเจน ซงความจรงแลวมม

ไมจ าเปนตองอยในจตภาคท 2 และมม ไมจ าเปนตองอยในจตภาคท 1

หรอแม < กไดเชนกน เพราะ cos ( – ) = cos (–( – )) = cos ( –)

ตอไปเราจะหาสตรอน ๆ กน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

11

เราไดสตรส าคญ ๆ เกยวกบคาฟงกชนตรโกณมต (ฟงกชนไซน โคไซนและแทนเจนต) ของผลบวกและผลตาง

ของมมรวม 8 สตร ดงน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

12

เพอใหนกเรยนไดจ าสตรตาง ๆ ไดเรวขน จะมเพลงชวยดงน

ตอไปเปนตวอยางของการใชสตรฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

13

ตวอยางเพมเตม

ตวอยาง จงหาคา sin (105) และ cos (105)

วธท า เนองจาก 105 = 60 + 45

ใชสตร

sin 105 = sin 60 cos 45 – cos 60 sin 45

= 3 2 1 2

2 2 2 2 =

6 2

4

ใชสตร

sin ( + ) = sin cos + cos sin

cos ( + ) = cos cos – sin cos

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

14

cos 105 = cos 60 cos 45 – sin 60 sin 45

= 1 2 3 2

2 2 2 2 =

2 6

4

หมายเหต sin (105) = sin (180 – 75) = sin 75 = 6 2

4

cos (105) = cos (180 – 75) = – cos 75 = –6 2

4

= 2 6

4

ตวอยาง ก าหนดให sin = 3

5 เมอ < <

3

2

และ cos = 1

5 เมอ 3

2

< < 2

จงหาคา sin ( + ) และ cos ( – )

วธท า ใชสตร

หา cos จาก cos = 2 1 sin = 9

125

= 4

5

หา sin จาก sin = 2 1 cos =

1 1

5 =

2

5

เมอแทนคาตาง ๆ จะไดวา sin ( + ) = 3 1 4 2 3 8 1

5 55 5 5 5 5 5 5

และ cos ( – ) = 4 1 3 2 4 6 2

5 55 5 5 5 5 5 5 5

สตรตรโกณมตทนกเรยนไดเรยนในตรโกณมตตอนท 4 ซงกลาวถงความสมพนธของคาฟงกชนตรโกณมต

ของมมในจตภาคตาง ๆ ดงน

sin ( + ) = sin cos + cos sin

cos ( – ) = cos cos + sin sin

sin = sin ( – ) cos = – cos ( – ) เมอ อยในจตภาคท 2 sin = – sin ( – ) cos = – cos ( – ) เมอ อยในจตภาคท 3 sin = – sin (2 – ) cos = cos (2 – ) เมอ อยในจตภาคท 4

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

15

และ

จะสอดคลองกบสตรฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมม ซงแสดงไดดงน

ส าหรบคาจรงหรอมม ใด ๆ sin ( – ) = sin cos – cos sin = 0 – (–1) sin = sin sin ( – ) = sin cos – cos sin = sin (–1) – 0 = – sin sin (2 – ) = sin 2 cos – cos 2 sin = 0 – sin = – sin

และ cos ( – ) = cos cos + sin sin = (–1) cos + 0 = – cos cos ( – ) = cos cos + sin sin = cos (–1) + 0 = – cos cos (2 – ) = cos 2 cos + sin 2 sin = cos + 0 = cos

ส าหรบคาจรงหรอมม ใด ๆ sin ( – ) = sin cos ( – ) = – cos

sin (2 – ) = – sin cos (2 – ) = cos และ

sin ( + ) = sin cos + cos sin = 0 + (– 1) sin = – sin

cos ( + ) = cos cos – sin sin = (– 1) cos – 0 = – cos ดงนนจงสรปไดวาสตรฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมม กเพยงพอทจะสรปสตร

ตรโกณมตในตรโกณมตตอนท 4 และขยายคา และ เปนคาจรงใด ๆ หรอมมใด ๆ

ตอไปเราจะหาความสมพนธระหวาง tan กบ cot ในแบบเดยวกบความสมพนธระหวาง sin

กบ cos

sin ( – ) = sin cos ( – ) = – cos

sin ( + ) = – sin cos ( + ) = – cos เมอ อยในจตภาคท 1 sin (2 – ) = – sin cos (2 – ) = cos

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

16

ตวอยางเพมเตม

ตวอยาง จงหาคา cot 5

12

และ sec 12

วธท า จาก cot 5

12

= tan

5

2 12

= tan

12

= tan

3 4

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

17

สตร

ได tan 12

=

tan tan3 4

1 tan tan3 4

ดงนน cot 5

12

=

3 1 3 1 3 1

1 3(1) 3 1 3 1

= 2 – 3

วธท 1 sec 12

= 2 2 1 tan 1 (2 3) 8 4 3

12

1.035

วธท 2 sec 12

=

1

cos12

=

1

cos3 4

= 1

cos cos sin sin3 4 3 4

= 1

1 2 3 2

2 2 2 2

= 4

2 6

= 6 2 1.035

แบบฝกหดเพมเตม

เรอง

คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมม

tan ( – ) = tan tan

1 tan tan

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

18

1. จงแสดงวา cot ( + ) = cot cot 1

cot cot

cot ( – ) = cot cot 1

cot cot

2. จงหาคาของ tan 15 , cosec 15 , sec 15 และ cot 15

3. จงหาคาของ tan 75 , cosec 75 , sec 75 และ cot 75

4. ก าหนดให sin 37 = 3

5 จงหาคาของ sin 8 , cos 8 และ tan 8

5. ก าหนดให cos 37 = 4

5 จงหาคาของ sin 83 , cos 83 และ tan 83

6. ก าหนดให tan 37 = 3

4 จงหาคาของ sin 67 , cos 67 และ tan 67

7. ก าหนดให sin 37 = 3

5 จงหาคาของ sin 16 , cos 16 และ tan 16

8. ก าหนดให sin = 5

13 และ cot =

24

7 เมอ

2

< < และ < < 3

2

จงหาคาของ sin ( + ) , cos ( + ) และ tan ( + )

9. จงแสดงวา

sin (A + B + C) = sin A cos B cos C – sin A sin B sin C

+ cos A sin B cos C + cos A cos B sin C

cos (A + B + C) = cos A cos B cos C – cos A sin B sin C

– sin A sin B cos C – sin A cos B sin C

tan (A + B + C) = tan A tan b tan C tan A tan B tan C

1 tan A tan B tan B tan C tan C tan A

จากตวอยางและแบบฝกหดของเรองคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมมท าให นกเรยนไดคาฟงกชนตรโกณมตของมมอนทนอกจากมม 30 45 และ 60 และเขยนเปนตารางแสดงคาตาง ๆ ซงนกเรยนอาจจ าไปใชไดเลย ดงน

0 15 30 45 60 75 90

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

19

sin 0 6 2

4

1

2 2

2 3

2 6 2

4

1

cos 1 6 2

4

3

2 2

2

1

2 6 2

4

0

tan 0 2 3 1

3 1 3 2 3

cosec 6 2 2 2 2

3 6 2 1

sec 1 6 2 2

3 2 2 6 2

cot 2 3 3 1 1

3 2 3 0

จากตารางคาฟงกชนตรโกณมต หาคา sin 37 ไดเทากบ 0.6018

ถาเราประมาณ sin 37 ดวยคา 0.6 หรอ 3

5 จะท าใหเราประมาณคาฟงกชนตรโกณมตอน ๆ ของมม 37

ไดจากรปสามเหลยมมมฉากทเราคนเคย ดงน และจากแบบฝกหดของเรองคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมม ท าใหไดคาประมาณของ คาฟงกชนตรโกณมตของมม 8 , 16 , 67 , 83 และ 82, 74 , 23 , 7 ไดดงน

7 8 16 23 37 53 67 74 82 83

sin 3 3 4

10

2

10

7

25 4 3 3

10

3

5 4

5 4 3 3

10

24

25 7 2

10 4 3 3

10

5

4

3

37

–

–

–

–

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

20

cos 4 3 3

10

7 2

10

24

25 4 3 3

10

4

5 3

5 4 3 3

10

7

25 2

10 3 3 4

10

นกเรยนไมตองจ าตารางน เพราะเปนเพยงคาประมาณเทานน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

21

2. สตรผลคณ ผลบวกและผลตาง ของฟงกชนตรโกณมต

2. สตรผลคณ ผลบวกและผลตางของฟงกชนตรโกณมต

จากสตรฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมม จะน าไปใชในการหาสตรผลคณของ ฟงกชนตรโกณมตกนกอน โดยเราจะพจารณาเฉพาะฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

22

สรปเปนสตรผลคณของฟงกชนไซนกบไซน โคไซนกบโคไซน และไซนกบโคไซน ดงน

ตอไปเราจะหาสตรผลบวกและผลตางของฟงกชนตรโกณมต ดงน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

23

ตวอยางการใชสตรผลคณและผลบวกของฟงกชนตรโกณมต

ตวอยางเพมเตม

ตวอยาง จงหาคาของ cos 75 cos 15

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

24

วธท า ใชสตร cos cos = 1

2(cos ( + ) + cos ( – ))

cos 75 cos 15 = 1

2(cos 90 + cos 60)

= 1

2

1 10

2 4

ตวอยาง จงหาคาของ sin 20 sin 40 sin 80

วธท า sin 20 sin 40 sin 80 = 1

2(cos 20 – cos 60) sin 80

= 1 1

cos 20 sin 80 sin 802 2

= 1 1 1sin100 sin 60 sin80

2 2 2

= 1 3

sin100 sin804 2

= 1 3

2cos90 sin104 2

= 1 3 3

0 4 2 8

ตวอยาง จงหาคาของ cos 70 + cos 50 – cos 10

วธท า cos 70 + cos 50 – cos 10 = (cos 70 + cos 50) – cos 10

= 2 cos 60 cos 10 – cos 10

= 2 1

2 cos 10 – cos 10

= 0

ตอไปเราจะหาสตรฟงกชนตรโกณมตของมมสองเทาและมมครงเทา เรมจากการหาสตรฟงกชนตรโกณมตของมมสองเทา โดยใชสตรฟงกชนตรโกณมตของผลบวกของมม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

25

และจะใชสตรฟงกชนโคไซนของมมสองเทา ในการหาสตรฟงกชนตรโกณมตของมมครงเทาตอไป

ตอไปเปนเพลงเพอชวยใหนกเรยนจ าสตรไดงายขน

ตวอยางการใชสตรฟงกชนตรโกณมตของมมสองเทาและมมครงเทา

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

26

ตวอยางเพมเตม

ถงแมวานกเรยนจะทราบคา sin 45 และ cos 45 กนแลว แตลองใชสตรมมครงเทากนอกวธ

sin 45 = 1 cos90 1 0 1 2

2 2 2 2

cos 45 = 1 cos90 1 0 1 2

2 2 2 2

ตอไปเราจะหาสตรฟงกชนตรโกณมตของมมสามเทา

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

27

และเพอใหนกเรยนจ าสตรไดงายขน จะมเพลงใหรองชวยความจ า

ตวอยางการใชสตรฟงกชนตรโกณมตของมมสามเทา

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

28

ตวอยางเพมเตม

ถงแมวานกเรยนจะทราบคา sin 30 และ cos 30 กนแลว แตลองใชสตรมมสามเทากนอกวธ sin 90 = sin 3(30) = 3 sin 30 – 4 sin

3 30

0 = 3 sin 30 – 4 sin3 30

0 = sin 30 (3 – 4 sin2 30)

ได sin2 30 =

3

4 (เพราะวา sin 30 0)

ดงนน sin 30 = 3

2

และ cos 90 = cos 3(30) = 4 cos3 30 – 3 cos 30

– 1 = 4 cos3 30 – 3 cos 30

0 = 4 cos3 30 – 3 cos 30 + 1

ให f(x) = 4x3 – 3x + 1

จะเหนวา f(–1) = 0 นนคอ x + 1 เปนตวประกอบของ f(x) แลว f(x) = (x + 1)(4x

2 – 4x + 1) = (x + 1)(2x – 1)

2 สรปไดวา 0 = (cos 30 + 1) (2 cos 30 – 1)

2

ได cos 30 = 1

2 (เพราะวา cos 30 –1)

ตวอยางตอไปจะเปนตวอยางทแสดงใหเหนการใชสตรตาง ๆ ทเคยเรยนมาทงหมด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

29

ตวอยาง จงหาคาของ cos 20 cos 40 cos 60 cos 80

วธท า cos 20 cos 40 cos 60 cos 80 = 1

2(cos 20 cos 40) cos 80

= 1

4(cos 60 + cos 20) cos 80

= 1

4

1cos 80 cos 20 cos 80

2

= 1

4 1 1

cos 80 cos 100 cos 602 2

= 1

8

1cos 80 cos 100

2

= 1

8

12 cos 90 cos 10

2

= 1

8

10

2

= 1

16

ตวอยาง ก าหนดให sin 2 = 24

25 จงหาคาของ sin

4 + cos

4

วธท า sin4 + cos

4 = sin

4 + cos

4 + 2 sin

2 cos

2 – 2 sin

2 cos

2

= (sin2 + cos

2 )

2 –

2(2sin cos )

2

= 12 –

1

2

224 337

25 625

ตวอยาง ก าหนดให tan A = 1

7 และ sin B =

1

10 เมอ A, B เปนมมแหลม

จงหาคาของ tan (A + 2B)

วธท า tan (A + 2B) = tan A tan 2B

1 tan A tan 2B

10

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

30

และ tan 2B = 22

2

2 tan B 33 1 tan B 41

13

ดงนน tan (A + 2B) =

1 3

7 41 3

17 4

= 1

ตวอยาง ก าหนดให cos A = 4

5 และ cos B =

3

5 เมอ A, B เปนมมแหลม

จงหาคาของ sin A B

2

วธท า sin A B

2

= 1 cos(A B)

2

= 1 cos Acos B sin Asin B

2

แทนคา cos A , cos B , sin A และ sin B

sinA B

2

=

4 3 3 41

15 5 5 5

2 2

เนองจาก A, B เปนมมแหลม ดงนน A + B อยในจตภาคท 1 หรอ 2

ฉะนน A B

2

อยในจตภาคท 1 นนคอ sinA B

2

> 0

จะได sinA B

2

= 1 2

2 2

ตวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการ cos – sin = cos 2 เมอ 0 < <

B 3

1

5 4

3

4

B

3

4 A

5

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

31

วธท า (cos – sin ) – cos 2 = 0

(cos – sin ) – (cos2 – sin

2 ) = 0

(cos – sin ) (1 – cos – sin ) = 0

กรณ cos – sin = 0 cos = sin

tan = 1

เนองจาก 0 < < ดงนน = 4

กรณ 1 – cos – sin = 0 1 = cos + sin

1 = cos2 + 2 sin cos + sin

2

0 = 2 sin cos

0 = sin 2 ดงนน = 2

แบบฝกหดเพมเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

32

เรอง สตรผลคณ ผลบวกและผลตางของฟงกชนตรโกณมต

1. จงหาคาของ

1.1 cos 75 sin 15 1.2 sin 75 sin 15

1.3 cos 15 cos 75 cos 105 cos 195 1.4 sin 40 sin 80 sin 160

1.5 sin 75 – sin 15 1.6 cos 75 + cos 15

1.7 sin 5

2

sin

12

1.8 cos 9

8

1.9 sin 22.5 1.10 tan 22.5

1.11 sin 165 + sin 45 – sin 75 1.12 cos 20 + cos 100 + cos 220

1.13 sin 20 sin 40 sin 60 sin 80 1.14 cos 40 + cos 80 + cos 160

2. จงแสดงวา

2.1 cos (x + y) cos (x – y) = cos2x – sin

2 y = cos

2 y – sin

2 x

2.2 tan 1 tan A

A 4 1 tan A

2.3 tan 1 tan A

A 4 1 tan A

2.4 sin(A B) sin(B C) sin(C A) 0

sin Asin B sin Bsin C sin Csin A

2.5 cot cot A 1

A 4 cot A 1

2.6 cot cot A 1

A 4 cot A 1

2.7 A B

tansin A sin B 2

A Bsin A sin Btan

2

2.8 cot A – cosec 2A = cot 2A

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

33

2.9 cos 4A = 8 cos4 A – 8 cos

2 A + 1

2.10 cot A – tan A = 2 cot 2A

3. ก าหนดให cos 2 = 4

5 และ 0 < <

2

จงหาคาของ 2 sin cos 5

4. ก าหนดให cos = 2

3 จงหาคาของ 2 cos

2

cos

3

2

5. ก าหนดให sin = 7

25 จงหาคาของ cos

2

4 2

6. ก าหนดให sin = 3

5 และ 0 < <

2

จงหาคาของ sin

4 2

7. ก าหนดให tan = 3

4 จงหาคาของ sin 2, cos 2, tan 2

8. ก าหนดให cos = 3

5 และ 0 < <

2

จงหาคาของ sin

2

, cos

2

, tan

2

9. ก าหนดให cos = 1

2 จงหาคาของ cos 2

10. ก าหนดให sin = 2

3 จงหาคาของ cos 2

11. จงหาผลเฉลยของสมการตอไปน เมอ 0 < < 2

11.1 4 sin2 – 1 = 0

11.2 2 sin2 + sin – 1 = 0

11.3 2 cos2 – 3 cos + 1 = 0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

34

สรปสาระส าคญประจ าตอน

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

35

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

36

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

37

เอกสารอางอง

1. ด ารงค ทพยโยธา, เสรมความรมงสโอลมปกคณตศาสตรโลกตรโกณมต,

โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2550.

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

38

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด / เนอหาเพมเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

39

แบบฝกหดระคน

1. ก าหนดให sin = 3

5 และ tan =

12

5 เมอ > 0 , > 0 และ +

2

จงหาคาของ sin( + )

ก. 43

65 ข. 54

65 ค. 63

65 ง. 64

65

2. ก าหนดให cos = 3

5 และ cot =

24

7 เมอ 0 < < 90 และ 90 < 180

จงหาคาของ cos ( + )

ก. 44

125 ข. 44

125 ค. 4

5 ง. 4

5

3. ถา sin A = 1

5 และ cos B =

3

10 เมอ A, B เปนมมแหลม แลว A + B มคาเทาไร

ก. 4

ข. 5

ค. 2

ง. 6

4. ถา sin A = 5

13 และ cos (A + B) =

4

5 เมอ A + B เปนมมแหลม แลว tan B มคาเทาไร

ก. 65

63 ข. 63

65 ค. 63

16 ง. 16

63

5. จงหาคาของ sin 70 sin 50 sin 10

ก. 0 ข. 1

16 ค. 1

8 ง. 1

4

6. ก าหนดให tan = 1

3 จงหาคาของ sin 4

ก. 4

5 ข. 24

25 ค. 3

25 ง. 2

25

7. ก าหนดให sin A = 3

5 จงหาคาของ sin

2

3 A

2 2

ก. 9

10 ข. 4

5 ค. 1

10 ง. 0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

40

8. ถา และ เปนผลเฉลยในชวง (0, ) ของสมการ 3 tan2x + ( 3 – 1) tan x – 1 = 0

จงหาคาของ +

ก. 11

12

ข. 13

12

ค. 7

12

ง. 2

9. ก าหนดให tan = 1

2 เมอ 0 < <

2

จงหาคาของ cos 2

ก. 1

5 ข. 2

5 ค. 3

5 ง. 4

5

10. ถา และ เปนผลเฉลยของสมการ cos 2x = sin x แลว จงหาคาของ | – | เมอ < < 2

และ 2

< <

ก. 2

3

ข. 3

ค. 2

ง. 6

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

41

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

42

เฉลยแบบฝกหด เรองคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมม

2. tan 15 = 2 – 3 cosec 15 = 6 2 sec 15 = 6 2 cot 15 = 2 + 3

3. tan 75 = 2 + 3 cosec 75 = 6 2 sec 75 = 6 2 cot 75 = 2 – 3

4. sin 8 = 2

10 cos 8 = 7 2

10 tan 8 =

1

7

5. sin 83 = 4 3 3

10

cos 83 = 3 3 4

10

tan 83 = 4 3 3

3 3 4

6. sin 67 = 4 3 3

10

cos 67 = 4 3 3

10

tan 67 = 4 3 3

4 3 3

7. sin 16 = 7

25 cos 16 = 24

25 tan 16 =

7

24

8. sin ( + ) = 36

325 cos ( + ) = 323

325 tan ( + ) =

36

323

เฉลยแบบฝกหด เรอง สตรผลคณ ผลบวก และผลตางของฟงกชนตรโกณมต

1. 1.1 2 3

4

1.2 1

4 1.3 1

16

1.4 3

8 1.5 2

2 1.6 6

2

1.7 2 3

2

1.8 2 2

2

1.9 2 2

2

1.10 1 2 1.11 0 1.12 0

1.13 3

16 1.14 0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

43

3. 3

125 4. 5

9 5. 9

25

6. 1

5 7. 24 7 24

, , 25 25 7

8. 1 2 1, ,

25 5

9. 1

2 10. 1

9

11. 11.1 5 7 11, , ,

6 6 6 6

11.2 5 3, ,

6 6 2

11.3 5,

3 3

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. ค 2. ง 3. ก 4. ง 5. ค

6. ข 7. ก 8. ก 9. ค 10. ก

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

44

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

45

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

46

เรอง ตอน

ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

ฟงกชนตรโกณมต 2

ฟงกชนตรโกณมต 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

47

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสสวนกลาง 3

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมบรณ 2

การกระจายสมบรณ 3

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได