View
5
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธาภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร
จฬาลงกรณมหาวทยาลย
ประยกตการคานวณกบเนอหาวชาคณตศาสตร ม. ปลาย แคลคลสสมการเชงอนพนธการวเคราะหเชงตวเลขพชคณตเชงเสนความนาจะเปนและสถตคณตศาสตรขนสง
คณตศาสตรปรนย เลมท 28
คมอ โปรแกรมสาเรจรป
Mathcad Mathematica MATLAB Maple
รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
คณตศาสตรปรนย เลมท 28
คมอโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathematica MATLAB Maple
ผเขยน รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา
พมพครงท 1 ตลาคม พ.ศ. 2546
สงวนลขสทธตามพระราชบญญตลขสทธ
ขอมลบรรณานกรมหอสมดแหงชาต
ดารงค ทพยโยธา
คณตศาสตรปรนย เลมท 28 คมอโปรแกรมสาเรจรป mathcad mathematica
- - กรงเทพฯ : โรงพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2546.
408 หนา
1. โปรแกรมคอมพวเตอร 2. การเขยนโปรแกรม(คอมพวเตอร) .I. ชอเรอง
005.1
ISBN 974–13–2564–9
จดจาหนายโดย ศนยหนงสอจฬาลงกรณมหาวทยาลย
ถนนพญาไท เขตปทมวน กรงเทพฯ 10330
ศาลาพระเกยว โทร. 0–2218–7000 โทรสาร 0–2255–4441
สยามสแควร โทร. 0–2218–9888 โทรสาร 0–2254–9495
สาขา ม.นเรศวร จ.พษณโลก โทร. 0–5526–0162–5 โทรสาร 0–5526–0165 CALL CENTER 0–2255–4433 http://www.chulabook.com
พมพท โรงพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย โทร. 0–2218–3563–4, 0–2215–3612 http://www.cuprint.chula.ac.th
คานา การประยกตใชงานทางดานคณตศาสตร ในสาขาตาง ๆ เชน สาขาวศวกรรมศาสตร สาขาวทยาศาสตร
และสาขาอน ๆ ทจาเปนตองใชการคานวณ เครองมอทใชในการคานวณทางดานคณตศาสตรตงแตอดตจนส
ปจจบนจงมความสาคญมากเชน เครองคานวณแบบใชเฟองของนกคณตศาสตรชาวฝรงเศส Blaise Pascal
เครองคานวณของนกคณตศาสตรชาวเยอรมน Gottfried Wilhelm von Leibniz ลกคดของชาวจน ไมบรรทด
คานวณ (slide rule) เครองคดเลข เมอมาสยดของคอมพวเตอร กเรมมภาษาคอมพวเตอรทสนบสนนการ
คานวณทางคณตศาสตร เชน ภาษาเบสก ภาษาฟอรแทรน ภาษาปาสคาส แตในปจจบนหากตองการคานวณ
เพอใหไดผลเรวทสด นกเรยน นสต นกศกษา ครและอาจารยผสอนทกทาน นาจะเลอกใชโปรแกรมสาเรจรปท
ชวยในการคานวณทางคณตศาสตร
ในปจจบนโปรแกรมสาเรจรปทมความสามารถสงและไดรบความนยมในการใชงานกนมากคอ
โปรแกรม Mathcad Mathematica MATLAB และ Maple
ตวอยางความสามารถในการคานวณของ Mathcad Mathematica MATLAB และ Maple เชน
- ทาการคานวณไดแบบเครองคดเลขและมฟงกชนทางคณตศาสตรใหใชมากมายเชน sin cos tan log
- สามารถคานวณในรปแบบ เวกเตอร เมทรกซ จานวนเชงซอน
– สามารถเขยนกราฟไดมากมายหลายรปแบบ เชนกราฟ 2 มต 3 มต พกดเชงขว กราฟพนผว
– มฟงกชนในกลมของคณตศาสตรขนสงใหใชงานเชน ฟงกชนแกมมา ฟงกชนเบสเซล ฟงกชนเลอจองด
– สามารถทาการจดรปพชคณต เชน การกระจาย การแยกตวประกอบ ทงพหนามและฟงกชนตรโกณมต
- สามารถคานวณ ลมต อนพนธ อนทกรล เพอใหไดผลลพธทงแบบเปนคาตวเลขและเปนสตร
– สามารถหา รากสมการ ผลเฉลยระบบสมการ ผลเฉลยสมการเชงอนพนธ และ ระบบสมการเชงอนพนธ
– สามารถนาคาสงตาง ๆ มาเขยนเปนโปรแกรมเพอทาการคานวณทางคณตศาสตรทยงยากซบซอนได
ในการเขยนหนงสอคมอเลมน ผเขยนไดแบงเนอหาการใชงานของทกโปรแกรมออกเปน 7 บทเหมอนกน
เพอทผอานจะไดเหนเนอหาในลกษณะเปรยบเทยบกน และสามารถเลอกใชงานโปรแกรมทง 4 โปรแกรมได
อยางเหมาะสมกบปญหาทางคณตศาสตร เนอหาทง 7 บทเปนดงน
บทท 1. ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม
ในบทนขอแนะนาใหอานใหครบทง 4 โปรแกรม เพอจะไดเหนความสามารถโดยรวมของโปรแกรม
สาเรจรปทมชอเสยงในปจจบน
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป
ในบทนกลาวถงการเรยกโปรแกรมขนมาใชงาน การพมพคาสงคานวณ การคานวณคาทาง
คณตศาสตรตาง ๆ ในบทนขอแนะนาใหผอานศกษาดวยการทางานหนาคอมพวเตอร ฝกหดดวย
การพมพตามคาแนะนาของคมอ จะไดเขาใจวธการใชงานมากยงขน
บทท 3. การเขยนกราฟ
งานทางดานคณตศาสตร กราฟ เปนเรองทสาคญมาก จงแยกออกมาเปนหนงบทตางหาก เพอ
ผอานจะไดเหนการเขยนกราฟในรปแบบตางๆ และปรบเปลยนรปแบบของกราฟใหสวยงาม
บทท 4. การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม
ในบทนจะกลาวถงการทาการโดยทวไปเมออยหนาจอภาพของโปรแกรมสาเรจรป เชน การ copy
สตร การ paste สตร การเปดการปดแฟมขอมล และคาสงทางคณตศาสตรทสาคญ
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของโปรแกรมสาเรจรป
โปรแกรมทง 4 โปรแกรมมคาสงและโครงสรางทสนบสนนการทางานแบบโปรแกรม ดงนนเราจง
สามารถเขยนโปรแกรมเพอคานวณคาทางคณตศาสตรทมความซบซอนได
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย
ในบทนจะนาความสามารถของโปรแกรมสาเรจรปไปชวยในการคานวณคาตาง ๆ ทางคณตศาสตร
สาหรบนกเรยน ม. ปลาย และแนวทางในการเฉลยขอสอบ entrance
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษา
เปนการประยกตความสามารถของการคานวณกบปญหาทางคณตศาสตรในระดบอดมศกษา เชน
แคลคลส สมการเชงอนพนธ การหาผลเฉลยเชงตวเลข ความนาจะเปนและสถต พชคณตเชงเสน
และ คณตศาสตรขนสง
จากประสบการณของผเขยน ในการสอนคณตศาสตรและการใชงานโปรแกรมสาเรจรปใหกบนสต ขอ
แนะนาวาโปรแกรม Mathcad จะเปนโปรแกรมทใชงานไดงาย แตถาสนใจการประยกตใชงานดวยการเขยน
โปรแกรมขอใหเรมตนศกษากบ Mathematica MATLAB และ Maple เมอใชโปรแกรมเปนอยางนอย 1
โปรแกรมแลว จะเขาใจการใชงานโปรแกรมทเหลองายขน
ผเขยนขอฝากความคดเหนไปยง ผมหนาทจดทาหลกสตรทางดานการเรยนการสอนในสาขาทตองม
การคานวณมาก ๆ เชน สาขาวศวกรรมศาสตร สาขาวทยาศาสตร จะเหนวาเมอประมาณ 30 – 40 ปทแลว
นสตนกศกษาทกคนตองใชไมบรรทดคานวณ (slide rule) เปน และในชวง 20 ปทผานมานสตนกศกษาทกคน
ตองใชเครองคดเลขและเรยนภาษาคอมพวเตอรอยางนอย 1 ภาษา จดมงหมายกคอตองการแกปญหาทางดาน
การคานวณ ปจจบนน โปรแกรม Mathcad Mathematica MATLAB และ Maple นบไดวามความสามารถ
เทยบเทาภาษาคอมพวเตอรและมความสามารถในการคานวณดกวา นาจะสอนใหนสตนกศกษาทกคนในสาขา
วศวกรรมศาสตร สาขาวทยาศาสตร ใชโปรแกรม Mathcad Mathematica MATLAB และ Maple อยางนอย 1
โปรแกรม เพอประโยชนในการคานวณระดบสงตอไป
สดทายนหวงวาหนงสอเลมนจะเปนประโยชนตอผอานทกทานทตองการเครองมอในการคานวณ และ
ขอขอบคณผอานทกทานทตดตามผลงานของผเขยนมาจนถง คณตศาสตรปรนย เลมท 28 น
ดารงค ทพยโยธา
สารบญ
Mathcad
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad......................................... 1 – 10
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad........................................................ 11 – 48
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad................................................................ 49 – 72
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad........................................ 73 – 84
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad............................................. 85 – 90
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad..................................... 95 – 104
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad.............................................. 105 – 120
Mathematica
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica................................... 1 – 10
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica.................................................. 11 – 34
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica.......................................................... 35 – 50
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica.................................. 51 – 62
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathematica........................................ 63 – 68
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathematica................................ 69 – 78
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica........................................ 79 – 94
MATLAB
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม MATLAB...................................... 1 – 10
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB..................................................... 11 – 30
บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB............................................................. 31 – 46
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB...................................... 47 – 62
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ MATLAB........................................... 63 – 72
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย MATLAB................................... 73 – 80
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB........................................... 81 – 90
สารบญ Maple
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Maple............................................. 1 – 8
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple............................................................ 9 – 28
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple.................................................................... 29 – 44
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Maple............................................ 45 – 56
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Maple.................................................. 57 – 64
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Maple.......................................... 65 – 74
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple................................................... 75 – 92
บทนา
Mathcad โปรแกรมสาเรจรป Mathcad เปนโปรแกรมชวยแกปญหาตางๆ ทางคณตศาสตรไดทงระดบ
มธยมศกษา และ ระดบอดมศกษา โปรแกรม Mathcad เปนโปรแกรมทมความสะดวกตอการใชเปนอยางมาก
เพราะสามารถทจะทาการคานวณโดยตรงแบบเครองคดเลขหรอจะคานวณในรปแบบโปรแกรมกได การใช
งานของโปรแกรมคลายกบการทดเลขบนกระดาษหรอบนกระดานดา กลาวคอเมอเราเขยนสตรหรอพมพสตร
เสรจ เมอกดเครองหมายเทากบกจะไดผลของการคานวณตามทตองการ
การใชงานของโปรแกรม Mathcad เมอเปรยบเทยบกนโปรแกรมอน ๆ จะมขอแตกตางบางอยางทสาคญเชน
• บนจอภาพของ Mathcad เราจะพมพสตรคานวณ ณ ตาแหนงทวางใด ๆ บนจอได แตโปรแกรมอน ๆ
ตองพมพทบรรทดของการรอรบคาสง แตการใชงานกตองระวง เพราะวากตกาการคานวณของ Mathcad
จะคานวณสตรจากสตรบนลงลาง และคานวณสตรจากสตรทางซายไปทางขวา
• ในการใชงาน ถาม การเปลยนคาของตวแปร การเปลยนแปลงสตร โปรแกรม Mathcad จะทาการคานวณ
ใหมโดยอตโนมตทกครง
• ระหวางการพมพสตร โปรแกรม Mathcad จะจดรปแบบของสตรใหตามความเหมาะสมของสตร ดงนน
การพมพสตรในครงแรก ๆ อาจจะทาใหงงได แตเมอพมพเปนแลว การจดรปแบบระหวางการพมพสตร
ของ Mathcad ถอไดวาเปนความสามารถทดเดนมาก
• การปรบเปลยนคาตาง ๆ เชน การแสดงทศนยม การกาหนดวธแสดงผลทไดจากการคานวณ การปรบ
รปแบบกราฟ สวนใหญจะใชการกาหนดคาตาง ๆ ทตองการผานคาสงยอยของเมนบาร
• สามารถนาแถบเครองมอเชน Calculus Graph แสดงบนจอภาพ เพอเลอกใชงานไดสะดวกขน
• สามารถเขยนกราฟไดถง 16 เสนพรอมกน การปรบเปลยนรปแบบของกราฟ ใชการเลอกคาสงผานเมน
format graph ทาใหการปรบเปลยนรปแบบกราฟสะดวกทสด
• ดวยความสามารถในการจดรปแบบการพมพอตโนมตทาใหโปรแกรม Mathcad สามารถพมพสตรทาง
คณตศาสตรทมความซบซอนมาก ๆ ไดดกวาโปรแกรมอน ๆ
สารบญ บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad............................................ 1 – 10
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad.......................................................... 11 – 48
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad.................................................................. 49 – 72
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad........................................... 73 – 84
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad................................................ 85 – 90
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad........................................ 91 – 104
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad................................................ 105 – 120
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad Mathcaad – 1
บทท 1.
ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Mathcad
ในบทนจะเปนการนาความสามารถตาง ๆ ทโปรแกรมสาเรจรป Mathcad ทาไดมานาเสนอใหดกอน
เพอผอานจะไดเหนความสามารถทางการคานวณทสาคญของโปรแกรมสาเรจรป Mathcad ในสวนของการ
พมพคาสง การเขาสโปรแกรม Mathcad และการประยกตตาง ๆ จะกลาวในบทตอไป
1. การคานวณเบ องตน บวก ลบ คณ หาร
หมายเหต Mathcad สามารถทาการคานวณไดอยางตอเนอง และ จดรปแบบการพมพได
2. สามารถเลอกแสดงผลการคานวณเปนทศนยมไดหลายตาแหนง
3. มฟงกชนทางคณตศาสตรใหเลอกใชมากมาย
3.25 16.5+ 19.75=
7.5 3.25− 4.25=
12 3⋅ 36=
154
3.75=
9 3+( ) 12⋅
436=
29
0.222=29
0.22222=29
0.22222222=
π 3.142= π 3.14159265= π 3.14159265358979=
cos π( ) 1−= sinπ
2
1= tan 45 deg⋅( ) 1=
asin 0.5( ) 0.524= asin 1( ) 90deg= atan 1( ) 0.785=
log 2( ) 0.301= ln 2( ) 0.693= log 100 10,( ) 2=
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad Mathcad – 2
หมายเหต
1. asin คอ arcsin, acos คอ arccos, atan คอ arctan
2. log คอ ลอการทมฐาน 10 และ ln คอ ลอการทมฐาน e
log(A, x) คอ ลอการทมของ x ฐาน A
3. การหาคา sin, cos, tan, ... สามารถคานวณไดทงหนวย องศาและเรเดยน
4. คาของ acrsin, arccos, arctan, ... สามารถแสดงไดทงหนวย องศาและเรเดยน
5. ตวอยางฟงกชนอนๆ ดไดจากแถบเครองคดเลขน
4. ความสามารถทจะกาหนดสตรของฟงกชนใชงานเองได
5. สามารถสรางตารางคานวณคาของฟงกชนไดโดยงาย
เมอเรากาหนดคา x = 1, 2, ... , 5
และกาหนดสตร f(x), g(x)
โปรแกรม Mathcad จะแสดงผลการคานวณ
ในรปแบบของตารางไดโดยงาย
6. สามารถเปลยนหนวยของการคานวณไดโดยงาย
การคานวณคา ฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, ... สามารถคานวณไดทงหนวย องศาและเรเดยน
การคานวณคา อนเวอรสฟงกชนตรโกณมต arcsin, arscos, ... สามารถแสดงผลไดทงหนวย องศาและเรเดยน
7. สามารถแสดงหนวยของผลการคานวณได
กาหนดให s มหนวยเปน เมตร
t มหนวยเปน วนาท
ผลการคานวณของ Mathcad
คา v = ts มหนวยเปน เมตรตอวนาท
ผลลพธของ Mathcad จะแสดงหนวยการคานวณ
f x( ) x2 3 x⋅+ 1+:=
f 1( ) 5= f 5( ) 41= f f 1( )( ) 41=
x 1 5..:= f x( ) x2:= g x( ) 2 x⋅ 1+:=
x
1
2
3
4
5
= f x( )
1
4
9
16
25
= g x( )
3
5
7
9
11
=
sin 30 deg⋅( ) 0.5= cos 60 deg⋅( ) 0.5= tan 45 deg⋅( ) 1=
sinπ
6
0.5= cosπ
4
0.707= tanπ
3
1.732=
asin 0.5( ) 0.524rad= asin 0.5( ) 30deg=
s 1000 m⋅:=
t 20 sec⋅:=
vst
:=
v 50ms
=
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad Mathcaad – 3
8. ความสามารถในการเขยนกราฟไดหลายแบบ
8.1 กราฟในระบบพกดมมฉาก
ตวอยาง กราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [–5, 5]
8.2 สามารถเขยนกราฟไดหลายเสนพรอมกน
ตวอยาง กราฟของ f(x) = 2x + 3 กบ g(x) = 2x – 4 บนชวง [–5, 5]
8.3 สามารถเขยนกราฟแบบคลาดบ
ตวอยาง การเขยนกราฟของขอมล
นาหนกและสวนสง
น าหนก ความสง
53 156 58 165 55 162 60 170 62 165 68 173
x 5− 4.99−, 5..:= f x( ) 2 x⋅ 3+:=
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
10
5
5101520
f x( )
x
x 5− 4.99−, 5..:= f x( ) 2 x⋅ 3+:= g x( ) x2 4−:=
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
10
5
5101520
f x( )
g x( )
x
ORIGIN 1:= i 1 6..:=
x
53
58
55
60
62
68
:= y
156
165
162
170
165
173
:=
50 55 60 65 70150
160
170
180180
150
yi
7050 xi
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad Mathcad – 4
8.4 สามารถเขยนกราฟแทง (Bar graph) ของขอมลทางสถต
ตวอยาง การเขยนกราฟของขอมล
คะแนน และ ความถ
คะแนน ความถ
1 15
2 35
3 40
4 10
8.5 สามารถเขยนกราฟในระบบพกดเชงขว
ตวอยาง การเขยนกราฟรปหวใจ r = 3 + 2sinθ, กราฟรปกลบกหลาบ r = 4cos2θ
8.6 สามารถเขยนกราฟในระบบพกด 3 มต เชนกราฟพนผว กราฟ contour
ตวอยาง กราฟของพนผวไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด
หรอพนผวรปอานมา f(x, y) = 2x – 2y
ORIGIN 1:= i 1 4..:=
grade
1
2
3
4
:= frequency
15
35
40
10
:=
0 1 2 3 4 5
10
20
30
40
5050
0
frequencyi
50 gradei
M M
i 1 20..:= j 1 20..:= xi 2− 0.2 i⋅+:= y j 2− 0.2 j⋅+:= f x y,( ) x2 y2−:= M i j,( ) f xi y j,( ):=
θ 0 0.01, 2 π⋅..:=
0
30
6090
120
150
180
210
240270
300
330
543210
3 2 sin θ( )⋅+
θ
0
30
6090
120
150
180
210
240270
300
330
543210
4 cos 2 θ⋅( )⋅
θ
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad Mathcaad – 5
8.7 สามารถปรบเปลยนรปแบบของกราฟใหเหมาะสมกบการใชงาน
ตวอยาง กราฟของ f(x) = 3x + 2x – 9x – 9 บนชวง [–4, 4]
แบบท 1. มแกน X และแกน Y แตไมมสเกล แบบท 2. มแกน X และแกน Y มสเกล
แตไมมตวเลขทสเกล
แบบท 3. มแกน X และแกน Y แบบท 4. มแกน X และแกน Y
มสเกลและมตวเลขทสเกล มสเกล มตวเลขทสเกล
มเสนกรดชวยในการประมาณคา
8.8 สามารถเขยนกราฟ 2 ฟงกชนทมโดเมนตางกนได
ตวอยาง กราฟของ f(x) = 5 – 4x บนชวง [–3, 1] และ g(t) = 2t + 10 บนชวง [1, 4]
x 4− 3.99−, 4..:= f x( ) x3 x2 9 x⋅− 9−+:=
0f x( )
x
x 4− 3.99−, 4..:= f x( ) x3 x2 9 x⋅− 9−+:=
f x( )
x
x 4− 3.99−, 4..:= f x( ) x3 x2 9 x⋅− 9−+:=
4 3 2 1 0 1 2 3 4
40
20
20
40
f x( )
x
x 3− 2.99−, 1..:= f x( ) 5 4 x⋅−:= t 1 1.01, 4..:= g t( ) 2 t⋅ 10+:=
4 3 2 1 0 1 2 3 4 55
5
10
15
20
f x( )
g t( )
x t,
.x 4− 3.99−, 4..:= f x( ) x3 x2+ 9 x⋅− 9−:=
4 3 2 1 0 1 2 3 4
40
20
20
40
f x( )
x
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad Mathcad – 6
9. การคานวณในรปแบบของเลขฐานอนๆ
ตวอยาง 12 ฐาน 8 บวกกบ 15 ฐาน 8 ได 23 ฐาน 10
12 ฐาน 16 บวกกบ 15 ฐาน 16 ได 39 ฐาน 10
หมายเหต อกษร o ทายตวเลขหมายถงเลขฐาน 8 และ อกษร h ทายตวเลขหมายถงเลขฐาน 16
10. การคานวณในรปแบบเวกเตอร
Mathcad สามารถหาผลบวก ผลตาง dot product cross product และ ขนาดของเวกเตอรได
11. การคานวณในรปแบบเมทรกซ
Mathcad สามารถหา ผลบวก ผลตาง อนเวอรส คากาหนด ของเมทรกซได
12. การคานวณจานวนเชงซอน
Mathcad สามารถหาผลบวก ผลตาง อนเวอรส คาสมบรณของจานวนเชงซอนได
13. การหาผลบวกในรปแบบผลบวก ∑
ตวอยาง การหาผลบวกของตวเลข
12o 15o+ 23=
12h 15h+ 39=
u
2
3
6
:= v
3
4
0
:=
u v+
5
7
6
= u v−
1−
1−
6
= u v×
24−
18
1−
= u v⋅ 18= u 7=
A1
3
2
5
:= B2
0
0
4
:= A B⋅2
6
8
20
=
A B+3
3
2
9
= 4 A⋅4
12
8
20
= B 8= A 1−= A 1− 5−
3
2
1−
=
z 3 4i+:= w 5 12i+:=
z w+ 8 16i+= z w⋅ 33− 56i+= z 5= z 1− 0.12 0.16i−=
1
10
i
i∑=
55=
1
10
i
i2∑=
385=
1
10
i
i i 1+( )⋅∑=
440=
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad Mathcaad – 7
ตวอยาง การหาผลบวกของตวแปร ix เมอ i = 1, 2, 3, ... , n
14. การคานวณคาสถตเบ องตน
ตวอยาง การหาคาสถตเบองตนของขอมล 2, 3, 7, 12, 16
mean = คาเฉลย min = คาตาสด
median = มธยฐาน max = คาสงสด
var = ความแปรปรวนของประชากร = n
)xx( 2i
n
1 i−∑
=
stdev = สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร = )xvar(
Var = ความแปรปรวนของตวอยาง = 1n
)xx( 2i
n
1 i−
−∑=
Stdev = สวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง = )x(Var
15. สามารถหาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลในรปแบบ y = mx + c ได
ตวอยาง การหาความสมพนธเชงเสนตรงระหวาง นาหนก (x) กบสวนสง (y)
น าหนก ความสง
53 156 58 165 55 162 60 170 62 165 68 173
x เปนตวแปรอสระ
y เปนตวแปรตาม
slope(x, y) คอ สมประสทธการถดถอยเชงเสน
intercept(x, y) คอคาคงตวของสมการเสนตรง y = mx + c
corr(x, y) คอ สมประสทธสหสมพนธเชงเสนตรง
ORIGIN 1:= i 1 5..:= xi
2371216
:=
1
5
i
xi∑=
40=
1
5
i
xi( )2∑=
462=
ORIGIN 1:= i 1 5..:=
xi
2371216
:= mean x( ) 8=
median x( ) 7=
stdev x( ) 5.329=
var x( ) 28.4=
Stdev x( ) 5.958=
Var x( ) 35.5=
max x( ) 16=
min x( ) 2=
ORIGIN 1:= i 1 6..:=
x
53
58
55
60
62
68
:= y
156
165
162
170
165
173
:=
m slope x y,( ):= m 0.995=
c intercept x y,( ):= c 106.109=
r corr x y,( ):= r 0.891=
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad Mathcad – 8
16. ความสามารถในการจดรปพชคณต การแยกตวประกอบ การกระจายพหนาม
16.1 การกระจายพหนาม
ตวอยาง
16.2 การแยกตวประกอบ
ตวอยาง
16.3 การจดรปแบบทางพชคณต
ตวอยาง
17. ความสามารถในการหาอนพนธ และอนพนธยอย ทงแบบคาตวเลขและเปนสตร
17.1 การหาอนพนธเปนคาตวเลข
ตวอยาง การหาอนพนธ
ตวอยาง การหาอนพนธยอย
17.2 การหาอนพนธเปนสตร
ตวอยาง การหาอนพนธ
ตวอยาง การหาอนพนธยอย
x 1−( ) x 2+( )⋅ expand x2 x 2−+→
x 1+( ) x 2+( )2⋅ expand x3 5 x2⋅+ 8 x⋅+ 4+→
x2 5 x⋅+ 6+ factor x 3+( ) x 2+( )⋅→
x3 5 x2⋅+ 8 x⋅+ 4+ factor x 1+( ) x 2+( )2⋅→
12
23
+ factor76
→
1
1 2+factor 2 1−→
11 x−
11 x+
+ factor2−
x 1−( ) x 1+( )⋅[ ]→
x 1:= f x( ) x3 4 x2⋅+ 5 x⋅+ 4−:=
f x( ) 6=xf x( )d
d16=
2xf x( )d
d
214=
3xf x( )d
d
36=
x 2:= y 1:=
xx3 2 x2⋅ y⋅+ y4+( )d
d20=
y yx3 2 x2⋅ y⋅+ y4+( )d
d
dd
12=
xx3 4 x2⋅+ 5 x⋅+ 4−( )d
dexpand 3 x2⋅ 8 x⋅+ 5+→
2xx3 4 x2⋅+ 5 x⋅+ 4−( )d
d
2expand 6 x⋅ 8+→
xx3 2 x2⋅ y⋅+ y4+( )d
dsimplify 3 x2⋅ 4 x⋅ y⋅+→
y yx3 2 x2⋅ y⋅+ y4+( )d
d
dd
simplify 12 y2⋅→
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad Mathcaad – 9
18. ความสามารถในการหาปรพนธเปนสตรและคาตวเลข
18.1 การหาปรพนธเปนคาตวเลข
18.2 การหาปรพนธเปนสตร
19. สามารถหาคาลมตได
20. ความสามารถในการคานวณเปนโปรแกรม
ตวอยาง โปรแกรมหาพนทสามเหลยมเมอรความยาวทงสามดาน
0
2
xx3 1+( )⌠⌡
d 6=0
1
y0
2
xx3y( )⌠⌡
d⌠⌡
d 2=0
1
z1
2
y1−
1
xx y3⋅ z+( )⌠⌡
d⌠⌡
d⌠⌡
d 1=
xx3 1+( )⌠⌡
d simplify14
x4⋅ x+→
yxx3 y⋅( )⌠⌡
d⌠⌡
d simplify18
x4⋅ y2⋅→
zyxx y3⋅ z+( )⌠⌡
d⌠⌡
d⌠⌡
d simplify18
x2⋅ y4⋅ z⋅12
z2⋅ x⋅ y⋅+→
1xx2 x+ 1+lim
→3→
1x
x2 1−
x 1−lim→
2→0x
sin x( )x
lim→
1→
0x
xx
lim+→
1→0x
xx
lim−→
1−→
∞x1
1x
+
2 x⋅lim→
exp 2( )→
a 3:=
b 4:=
c 5:=
sa b+ c+
2:=
Area s s a−( )⋅ s b−( )⋅ s c−( )⋅:=
Area 6=
1
x2
t4 t3⋅ 1+( )⌠⌡
d x8 x2 2−+→1
t
y0
t2
x2x 4 y⋅+( )⌠⌡
d⌠⌡
d t5 t4 2 t2⋅−+→
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathcad Mathcad – 10
เมอเปลยนคา a, b, c ใหมจะไดผลการคานวณเปนดงน
21. ความสามารถในการหารากของสมการ f(x) = 0
ตวอยาง การหารากของสมการ 2x - 2 = 0
เพราะฉะนนรากของสมการ
คอ x = 1.414 และ –1.414
ตวอยาง การหารากของสมการ sinx - cosx = 0
รากสมการ sinx - cosx = 0 คอ x = 0.785 radian หรอ 45 degree
22. ความสามารถในการหาผลเฉลยของระบบสมการ
22.1 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ
2x + y = 4
9x – 4y = 1
เพราะฉะนน x = 1, y = 2
22.2 การหาผลเฉลยของระบบสมการไมเชงเสน
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ
2x + 2y = 1
และ x – y = 0
เพราะฉะนน x = 0.707, y = 0.707
23. ความสามารถในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ
dxdy = 1 + 4x, y(0) = 1
โปรแกรม Mathcad จะสามารถหาผลเฉลย y(x) ได
ความสามารถอน ๆ ในการประยกต
เนอหาคณตศาสตรขอใหศกษาในบทตอไป
x 1:= root x2 2− x,( ) 1.414=
x 1−:= root x2 2− x,( ) 1.414−=
x 0:= y 0:=
Given
2 x⋅ y+ 4
9x 4 y⋅− 1
Find x y,( )1
2
=
x 0:= y 0:=
Given
x2 y2+ 1
x y− 0
Find x y,( )0.707
0.707
=
x 1:= root sin x( ) cos x( )− x,( ) 45deg=
root sin x( ) cos x( )− x,( ) 0.785rad=
a 5:=b 12:=c 13:=
sa b+ c+
2:=
Area s s a−( )⋅ s b−( )⋅ s c−( )⋅:=
Area 30=
Givenxy x( )d
d1 4 x⋅+ y 0( ) 1 .
y Odesolve x 10,( ):=
0 1 2 3 4
816243240
y x( )
x
y 1( ) 4= .
y 2( ) 11=
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 11
บทท 2.
การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad
ในบทนจะเรยนร เกยวกบการนาโปรแกรมสาเรจรป Mathcad เขามาทางาน และการทางานเบองตนกบ
คาสงของ Mathcad
หมายเหต โปรแกรม Mathcad ทใชในขณะนคอ Mathcad2001i Professional หากเปน Mathcad Version
อน ๆ เขน version 5.0 - 9.0 หรอ Mathcad2000 Professional จะมลกษณะใชงานทใกลเคยงกน
2.1 การเรยกโปรแกรม Mathcad ขนมาใชงาน
1. เปดเครองคอมพวเตอร
2. รอจนจอภาพขนขอความ ภาพและ icon ตาง ๆ ครบสมบรณ
คลกทปม Start จะมเมนใหเลอก
คลกทเมน All Programs จะมเมนยอยใหเลอก
คลกท MathSoft Apps จะขนเมนยอยใหเลอก
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 12
คลกท Mathcad 2001i Professional
บนจอภาพจะม Logo ของ Mathcad
เพอเขาสการทางานของโปรแกรม Mathcad
หมายเหต Logo ของ Mathcad
อาจแตกตางกนใน version อนๆ
เมอเขาสการทางานของโปรแกรม Mathcad เรยบรอยแลวจอภาพจะเปนดงน
1. แสดงวาเขามาทางานในหนาตางของ Mathcad Professional
2. แสดงชอแฟมทกาลงทางานเมอมการบนทกแฟมหรอนาแฟมเดมกลบมาใช
แตถาเปนการเขามาทางานครงแรกชอแฟมทกาหนดใหมชอวา Untitled:1
3. แถบเครองมอในการทางานเชน File เปดปดแฟมขอมล Edit คดลอกหรอลบทง
4. บรเวณของการทางานตาง ๆ ทเราตองการ
5. แถบเครองมอของการคานวณตาง ๆ
(หมายเหต ถาไมมแถบเครองมอ ใหคลกทเมน View แลวเลอก Toolbars และเลอก Math)
2.2 การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad
โปรแกรมสาเรจรป Mathcad เปนโปรแกรมทชวยในดานการคานวณทางคณตศาสตร ทสามารถใชงานได
งายเชน การหาผลบวกของ 45.25 + 17.5
1. ใหพมพ 45.25 + 17.5
45.25 17.5+ 62.75= .
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 13
2. แลวพมพ = จะไดผลลพธทนทดงน
ตวอยางการคานวณแบบอน ๆ เชน
เนองจากทางานของโปรแกรม Mathcad
จะทาการจดรปแบบการพมพบนจอภาพใหสอดคลองกบความหมายทางคณตศาสตรเสมอเชน
การหาคา 547 = 9.4
ขนท 1. พมพ 47
ขนท 2. เมอเรากดเครองหมายหาร (/)
บนจอภาพจะจดรปแบบเปนลกษณะของเศษสวน (ดงรป) ทนท
ขนท 3. ตอไปจงพมพ 5 แลวกด = จะไดผลการคานวณทตองการ
เพราะฉะนน การใชงานโปรแกรม Mathcad จะขอเขยนในรปแบบตารางโดยท ตารางชองท 1 หมายถงการ
พมพผานทางแปนพมพ ตารางในชองท 2 เปนผลทเกดจาก การคานวณของ Mathcad และ การจดรปแบบ
การพมพของ Mathcad
ขอแนะนา ในการใชงานเบองตนขอใหทดลองพมพชา ๆ และ ดผลของการจดรปแบบของ Mathcad ในตาราง
แสดงผลลพธของการคานวณเบองตน
ตวอยางการคานวณและวธการพมพดวยโปรแกรม Mathcad
1. การหาผลบวก 45.25 + 17.5
พมพ ผลบนจอภาพ
45.25+17.5=↵ 45.25 17.5+ 62.75=
หมายเหต 1. การคานวณใหมหรอขนบรรทดใหมตองกด <ENTER>
2. เครองหมาย = เปนการสงใหทาการคานวณ
2. การหาผลหาร 547
พมพ ผลบนจอภาพ
47
15 32⋅ 480=
475
9.4=
log 2( ) 0.301=
44 256=
sinπ
6
0.5=
475
9.4=
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 14
/
5
=
↵ 47
59.4=
3. การหาผลคณของ 15 กบ 32
พมพ ผลบนจอภาพ
15
*
32
=
↵ 15 32⋅ 480=
4. การคานวณเลขยกกาลง 34 และ 4e
พมพ ผลบนจอภาพ
4
^
3
=
↵ 43 64= e
^
4=↵ e4 54.598=
5. การคานวณโดยใชฟงกชนทางคณตศาสตร log(2), ln(2), sin( π6
), 3 , 5 32 , 5!
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 15
พมพ ผลบนจอภาพ
log(2)=↵ log 2( ) 0.301=
ln(2)=↵ ln 2( ) 0.693= sin(
<Ctrl + Shift>+P
หมายเหต
กด Ctrl และ Shift คางไว แลวกด P
Mathcad บาง version เชน version 7.0
กด <Ctrl>+P จงจะได π
/
6
)
=
↵ sin
π
6
0.5=
การหารากท n
\
หมายเหต กด \ ไดสญลกษณการหารากท 2
3=↵ 3 1.732= <Ctrl>+\
หมายเหต
กด <Ctrl>+\ ไดสญลกษณการหารากท n
32
<Tab>
5
=↵ 5 32 2= การหาคา 5! แฟกทอเรยล
5!=↵
5! 120=
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 16
6. การกาหนดคาใหกบตวแปร, การกาหนดสตรฟงกชน
พมพ ผลบนจอภาพ
x
:
หมายเหต กด : จะได := ซงหมายถง การ
กาหนดคาใหกบตวแปร
4↵ x 4:= .
ความหมาย คอ กาหนดตวแปร x มคาเปน 4
การกาหนดสตรฟงกชน
f(x)
:
x^2
↵ f x( ) x2
:= f(x)=↵ f x( ) 16= .เปนคาของ f เมอ x = 4
f(3)=↵ f 3( ) 9= .
หมายเหต สญลกษณ := หมายถงการกาหนดคาใหเปน หรอ การกาหนดสตรใหเปน
7. การหาคาอนทกรล dx)x(fb
a∫ ตวอยางเชน dx)4x( 2
4
1
+∫
พมพ ผลบนจอภาพ
f(x)
:
x^2
<Space bar>
หมายเหต การกด Space bar จะทาใหกรอบ
curser ขยายมาคลมทง 2x
+
4↵ f x( ) x2 4+:= .
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 17
&
หมายเหต กด & จะไดเครองหมายปรพนธ f(x)<Tab>
หมายเหต การกด Tab จะทาให curser เลอน
ตาแหนงไปตาแหนงถดไป x<Tab>
1<Tab>
4=↵
1
4xf x( )
⌠⌡
d 33=
2.3 การเขยนกราฟของฟงกชน ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) = 2x - 3x - 7 บนชวง [-8, 8]
พมพ ผลบนจอภาพ
กาหนดสตรของ f(x) โดยพมพ
f(x):x^2
<Space bar>
-3*x-7↵ f x( ) x2 3 x⋅− 7−:= .
กาหนดชวงของ x โดยพมพ
x:-8
, หมายเหต กด , เพอบอกคาถดไปของ x
-7.9
หมายเหต x เพมคาครงละ 0.1
;
หมายเหต กด ; จะไดสญลกษณ ..
8↵
x 8− 7.9−, 8..:= .
หมายเหต x มคาจาก -8 ถง 8 โดยเพมคาครงละ 0.1
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 18
@
หมายเหต
กด @ จะไดรปแบบการเขยน
กราฟ
x
<Tab>
8<Tab>
f(x)<Tab>
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 19
-25<Tab>
-8<Tab>
100↵
0
0
100100
25−
f x( )
88− x
ผลการคานวณบนจอภาพคอ
f x( ) x2 3 x⋅− 7−:=
x 8− 7.9−, 8..:=
0
0
100
f x( )
x
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 20
หมายเหต โปรแกรม Mathcad สามารถจดรปแบบการแสดงผลของกราฟไดหลายลกษณะเชน
แบบท 1. มสเกลทแกน X และ แกน Y แบบท 2. มสเกลแกน X และ Y และมตวเลข
สามารถกาหนดใหเสนกราฟหนาขน
แบบท 3. แกน X แบงเปน 8 สวน แบบท 4. มเสนตาขายชวยในการประมาณคา
เชน f(-4) มคาประมาณ 24
แบบท 5. เหมอนแบบท 2 แบบท 6. ความสามารถในการเขยนกราฟได
แตเปลยนลกษณะของเสนกราฟ หลายเสนพรอมกน
เปนการ plot แบบ dot
การเขยนกราฟแบบตางๆ นจะไดเรยนรคาสงตางๆ ในบทตอไป
100
25−
f x( )
88− x
8 6 4 2 0 2 4 6 825
25
50
75
100100
25−
f x( )
88− x
8 4 0 4 825
25
50
75
100100
25−
f x( )
88− x
8 6 4 2 0 2 4 6 825
25
50
75
100100
25−
f x( )
88− x
8 4 0 4 825
25
50
75
100100
25−
f x( )
2 x⋅ 3−
88− x
8 6 4 2 0 2 4 6 825
25
50
75
100100
25−
f x( )
88− x
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 21
2.4 การกาหนดคาและการคานวณเกยวกบเมทรกซ
ตวอยาง การกาหนด A =
−
−3524
พมพ ผลบนจอภาพ
A:
<Ctrl>+M บนจอภาพจะมเมนใหเตมจานวนแถวและ
หลก
ใหพมพ Rows: 2 และ Columns:
2
เสรจแลวคลก OK จะไดผลบนจอเปน
4<Tab>
หมายเหต การกด Tab ทาให
Curser กระโดดไปตาแหนงถดไป
-2<Tab>
-5<Tab>
3↵ A
4
5−
2−
3
:=
ในทานองเดยวกนกาหนด B =
3152
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 22
การคานวณคาของเมทรกซ A + B, 4A, AB , 2A , 1A− , TA , det(A)
พมพ ผลบนจอภาพ
A=↵ A
4
5−
2−
3
= .
B=↵ B
2
1
5
3
= .
การหาผลบวกของเมทรกซ
A+B=↵ A B+6
4−
3
6
=
สเกลารคณเมทรกซ
4*A
=↵ 4 A⋅16
20−
8−
12
=
การหาเมทรกซยกกาลง
A^
2=↵ A2 26
35−
14−
19
=
การหาผลคณของเมทรกซ
A*B=↵ A B⋅6
7−
14
16−
=
การหาเมทรกซผกผน
A^
-1=↵ A 1− 1.5
2.5
1
2
=
การหาคากาหนดของเมทรกซ
|
A=↵ A 2=
เมทรกซสลบเปลยน
A
<Ctrl>+!
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 23
=↵ AT 4
2−
5−
3
=
การกาหนดดรรชนลาง (subscript) สาหรบอางองใชงานกบสมาชกของเมทรกซ
พมพ ผลบนจอภาพ
A=↵ A4
5−
2−
3
=
ORIGIN:1↵ ORIGIN 1:= หมายเหต เปนการกาหนดคาของ Subscript เรมท 1
i:1;2↵ i 1 2..:= .
j:1;2↵ j 1 2..:= .
A[
(1, 1)
=↵ A 1 1,( ) 4=
A[(1, 2)=↵ A 1 2,( ) 2−=
หมายเหต ตวแปรทมดรรชนลางอาจมจดเรมตนเปน 0 หรอ 1 ตามความเหมาะสมของเนอหาคณตศาสตร
เชน ลาดบ อนกรม มคาเรมตนท 1 แตในเรองของเมทรกซดรรชนลาง ของ ijA ตองเรมท 1 เราจงตอง
กาหนด ORIGIN := 1 เพอกาหนดจดเรมตนของตวดรรชนลางเปนเลข 1
2.5 การกาหนดคาและการคานวณเกยวกบเวกเตอร
สาหรบขอมลทอยในรปแบบของเวกเตอรเชน u =
−
43 และ v =
21
พมพ ผลบนจอภาพ
u:
<Ctrl>+M บนจอภาพจะมเมนใหเตมจานวนแถวและหลก
ใหพมพ Rows: 2 และ Columns: 1
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 24
เสรจแลวคลก OK จะไดผลบนจอเปน
-3<Tab>
4↵ u
3−
4
:=
ในทานองเดยวกนกาหนด v =
21
การหาคา u + v, 4u, vu ⋅ , | u |
พมพ ผลบนจอภาพ
u=↵ u3−
4
=
v=↵ v1
2
=
การบวกเวกเตอร
u+v=↵ u v+2−
6
=
สเกลารคณเวกเตอร
4*u=↵ 4 u⋅12−
16
=
u dot v
u*v=↵ u v⋅ 5=
การหาขนาดของเวกเตอร
|
u=↵ u 5=
|v=↵ v 2.236=
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 25
ผลการคานวณบนจอภาพคอ
2.6 การกาหนดขอมล
2.6.1 ในรปแบบเวกเตอร สาหรบขอมลทอยในรปแบบของเวกเตอรเชน x =
1587532
พมพ ผลบนจอภาพ
x
:
<Ctrl>+M บนจอภาพจะมเมนใหเตมจานวนแถวและหลก
ใหพมพ Rows: 6 และ Columns:
1
เสรจแลวคลก OK จะไดผลบนจอเปน
u3−
4
:= v1
2
:=
u3−
4
= v1
2
= u v⋅ 5=
u v+2−
6
= 4 u⋅12−
16
= u 5= v 2.236=
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 26
2<Tab>
หมายเหต การกด Tab จะทาให
curser กระโดดไปทตาแหนงของ
สเหลยมสดา เพอใหใสคาตอไป
3<Tab>
5<Tab>
7<Tab>
8<Tab>
15<Tab>↵
x
2
3
5
7
8
15
:=
ใน Mathcad มฟงกชนทชวยคานวณคาทางดานสถตของขอมลดงน
mean(x) = คาเฉลยเลขคณตของขอมลใน x median(x) = มธยฐานของขอมลใน x
var(x) = ความแปรปรวน(ประชากร) x Var(x) = คาความแปรปรวน(ตวอยาง) x
stdev(x) = สวนเบยงเบนมาตรฐาน(ประชากร) x Stdev(x) = สวนเบยงเบนมาตรฐาน(ตวอยาง) x
max(x) = คาสงสดของขอมลใน x min(x) = คาตาสดของขอมลใน x
length(x) = จานวนขอมลใน x
ตวอยางของการคานวณเชน
2.6.2 ในรปแบบตวแปรมต
พมพ ผลบนจอภาพ
ORIGIN:1↵ ORIGIN 1:=
i:1;10↵ i 1 10..:= .
x[i:
2
,
หมายเหต การกด , จะทาใหเกด
ตาแหนงของสเหลยมสดา เพอให
ใสคาตอไป
mean x( ) 6.667= median x( ) 6= length x( ) 6=
Stdev x( ) 4.676= Var x( ) 21.867= max x( ) 15=
stdev x( ) 4.269= var x( ) 18.222= min x( ) 2=
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 27
3,
5,7,8,15
↵ xi
2357815
:=
หมายเหต 1. การกาหนดขอมลแบบนมความสะดวกในกรณทเราไมทราบจานวนขอมลทงหมด
2. การกาหนดในรปแบบท 2. ตวแปร x จะม 2x1 = , 3x2 = , ..., 15x6 =
และตวแปร 0xxxx 10987 ====
2.7 การกาหนดขอมลในรปแบบเมทรกซ
ตวอยางเชนตองการกาหนดขอมลเปน
พมพ ผลบนจอภาพ
x:
<Ctrl>+M บนจอภาพจะมเมนใหเตมจานวนแถวและหลก
x y 3 12 5 15 9 21 12 32
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 28
ใหพมพ Rows: 4 และ Columns: 2
จะไดผลบนจอภาพเปน
3<Tab>
หมายเหต การกด Tab จะทาให
curser กระโดดไปทตาแหนงของ
สเหลยมสดา เพอใหใสคาตอไป
12<Tab>
5<Tab>15<Tab>
9<Tab>21<Tab>
12<Tab>32<Tab>↵
x
3
5
9
12
12
15
21
32
:=
การแสดงผลทละ 1 column
ORIGIN:1↵ ORIGIN 1:=
x<Ctrl>^1=↵
หมายเหต x<1> เปนการเลอก
เฉพาะ column 1 มาใชงาน x 1⟨ ⟩
3
5
9
12
=
x<Ctrl>^2=↵
x 2⟨ ⟩
12
15
21
32
=
x[(1, 1)=↵ x 1 1,( ) 3=
x[(2, 1)=↵ x 2 1,( ) 5=
mean(x<Ctrl>^2)=↵ mean x 2⟨ ⟩( ) 20=
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 29
2.8 การคานวณคาเกยวกบผลบวกในรปแบบ ∑
ตวอยาง การหาคาของ ∑=
10
1 ii , ∑
=
10
1 i
2i , (i2 − −=∑ 4 5
1
10i
i)
ขนตอนการนาแถบเครองมอคานวณขนมาใชงาน
ขนท 1. เลอกเมน View
ขนท 2. เลอนมาท Toolbars
ขนท 3. เลอนเมาสมาท Math
ขนท 4. คลกเมาสทคาสง Math
จะไดแถบเครองมอของการคานวณ Math
ขนท 5. คลกเมาสท Icon จะไดแถบเครองมอของ Calculus
หมายเหต การเขามาใชงานโปรแกรม Mathcad
ในบางครงอาจมแถบเครองมอของการคานวณตาง ๆ ปรากฏอยบนจอภาพแลว
การหาคาของ ∑=
10
1 ii , ∑
=
10
1 i
2i , (i2 − −=∑ 4 5
1
10i
i)
พมพ ผลบนจอภาพ
การหาผลบวก ∑=
10
1 ii
คลกทสญลกษณ จะไดแถบเครองมอดงน
คลกทสญลกษณ
i<Tab>
i<Tab>
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 30
1<Tab>
10=↵
1
10
i
i∑=
55=
ในทานองเดยวกนจะไดวา
2.9 การคานวณคาปรพนธ dx)x(fb
a∫ ตวอยางการหาคาของ dxx2
1
0∫
พมพ ผลบนจอภาพ
จากแถบเครองมอ Calculus
คลกทสญลกษณ
x^2<Tab>
x<Tab>
0<Tab>
1=↵
0
1
xx2⌠⌡
d 0.333=
1
10
i
i2∑=
385=
1
10
i
i2 4 i⋅− 5−( )∑=
115=
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 31
หมายเหต ในกรณทเรากาหนด f(x) = 2x จะทาใหการคานวณสะดวกขนดงน
2.10 การคานวณคาอนพนธ )x(fdxd หรอ )x(f
dxd
n
n
ตวอยาง การคานวณ )x(fdxd เมอ f(x) = 2x ท x = 1
พมพ ผลบนจอภาพ
f(x):x^2↵ f x( ) x2:=
x:1↵ x 1:=
จากแถบเครองมอ Calculus
คลกทสญลกษณ
x<Tab>
f(x)=↵
xf x( )d
d2=
การคานวณ )x(fdx
d2
2 เมอ f(x) = 4x ท x = 2
พมพ ผลบนจอภาพ
f(x):x^4↵ f x( ) x4:= .
x:2↵ x 2:= . จากแถบเครองมอ Calculus
คลกทสญลกษณ
f x( ) x2:=
0
1xf x( )
⌠⌡
d 0.333=3−
3xf x( )
⌠⌡
d 18=0
3xf x( )
⌠⌡
d 9=
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 32
f(x)<Tab>
x<Tab>
2=↵ 2x
f x( )d
d
248=
หมายเหต 1. กดเครองหมาย ? บนแปนพมพจะไดสญลกษณ
2. กด <Ctrl> + ? บนแปนพมพจะไดสญลกษณ
2.11 การกาหนดหนวยใหกบผลการคานวณ
พมพ ผลบนจอภาพ
sin(30)=↵ sin 30( ) 0.988−= หมายเหต ขณะนคอมพวเตอรจะคดเปนหนวย เรเดยน
sin(30*deg)=↵ sin 30 deg⋅( ) 0.5= หมายเหต 30.deg คอ 30 องศา
atan(1)=
หมายเหต ขณะนผลลพธมหนวยเปน เรเดยน
<Tab>
d
eg↵ atan 1( ) 45deg=
ในทานองเดยวกน
2.12 การคานวณในรปแบบของเลขฐานอนๆ
ตวอยาง 12o + 17o = 25 o หมายถงเลขฐาน 8
(12o)(11o) =
10h + 12h = 34 h หมายถงเลขฐาน 16
(2h)(11h) = 32
cos 30( ) 0.154= cos 30 deg⋅( ) 0.866= asin 1( ) 1.571= asin 1( ) 90deg= .
s 1000 m⋅:= t 5 sec⋅:=st
200ms
=
s 60 km⋅:= t 2 min⋅:=st
500ms
=st
30kmmin
=
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 33
พมพ ผลบนจอภาพ
12o+17o=↵ 12o 17o+ 25=
หมายเหต 12 ฐาน 8 บวก 17 ฐาน 8 ได 25 ฐาน 10
12o*11o=↵ 12o 11o⋅ 90= หมายเหต 10 ฐาน 8 คณ 11 ฐาน 8 ได 90 ฐาน 10
10h+12h=↵ 10h 12h+ 34= หมายเหต 10 ฐาน 16 บวก 12 ฐาน 16 ได 34 ฐาน 10
2h*11h=↵ 2h 10h⋅ 32= หมายเหต 2 ฐาน 16 คณ 11 ฐาน 16 ได 32 ฐาน 10
2.13 การหาผลบวกในรปแบบ ∑=
n
1 iix
ตวอยางเชน
พมพ ผลบนจอภาพ
ORIGIN:1↵ ORIGIN 1:= กาหนดเมทรกซ x และ y
การกาหนดเมทรกซ x และ y
ดทหวขอ 2.6 x
2
3
6
9
:=
y
12
15
14
19
:=
การพมพเพอหาผลบวก
จากแถบเครองมอ Calculus
คลกทสญลกษณ
ORIGIN 1:= x
2
3
6
9
:= y
12
15
14
19
:=
1
4
i
xi∑=
20=
1
4
i
yi∑=
60=
1
4
i
xi( )2∑=
130=
1
4
i
yi( )2∑=
926=
1
4
i
xi yi⋅∑=
324=
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 34
x[i<Tab>
i<Tab>
1<Tab>
4=↵
1
4
i
xi∑=
20=
การพมพเพอหาผลบวก 21
4
1 ix∑
=
คลกทสญลกษณ
x[i
<Space Bar>
^
2<Tab>
i<Tab>
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 35
1<Tab>
4=↵
1
4
i
xi( )2∑=
130=
การพมพเพอหาผลบวก ii
4
1 iyx∑
=
คลกทสญลกษณ
x[i
<Space Bar>
*
y[i<Tab>
i<Tab>
1<Tab>
4=↵
1
4
i
xi yi⋅∑=
324=
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 36
2.14 การสรางตารางฟงกชน
การสรางตารางฟงกชนมขนตอนทสาคญดงตอไปน
ขนท 1. กาหนดชวงของตวแปร x
ขนท 2. กาหนดสตรของฟงกชน f(x)
ขนท 3. พมพคาของ x และ f(x)
ตวอยางเชน
พมพ ผลบนจอภาพ
x:1;4↵ x 1 4..:= .
f(x):2*x+4↵ f x( ) 2 x⋅ 4+:= .
x=↵ x
12
3
4
=
f(x)=↵ f x( )
68
10
12
=
หมายเหต ในกรณทคา x เพมไมเทากนสามารถคานวณในรปแบบตารางไดดงน
2.15 การคานวณคาเกยวกบจานวนเชงซอน
ตวอยาง (3 + 4i) + (5 - 9i) = 8 - 5i
| 3 + 4i | = 5
พมพ ผลบนจอภาพ
z : 3+4i↵ z 3 4i+:= .
w : 5-9i↵ w 5 9i−:= .
x 1 4..:=
f x( ) 2 x⋅ 4+:=
x
12
3
4
= f x( )
68
10
12
=
x
2
5
7
12
:= f x( ) 2 x⋅ 4+:= f x( )
8
14
18
28
=
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 37
z+w=↵ z w+ 8 5i−=
|
z=↵ z 5=
2.16 การหารากของสมการ f(x) = 0
ตวอยาง การหารากของสมการ 2x - 2 = 0
พมพ ผลบนจอภาพ
f(x):x^2
<Space Bar>
-2↵ f x( ) x2 2−:= .
x:1↵ x 1:= .
root(f(x), x)=↵ root f x( ) x,( ) 1.414= .
หมายเหต คาสง root เปนคาสงทใชหารากของสมการ f(x) = 0 โดยวธของนวตน
โดยกาหนดจดเรมตนของการหารากท x = 1
ตวอยางการหารากของสมการอน ๆ เชน
2.17 การผลเฉลยของระบบสมการ
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 3y = 8
x + y = 3
พมพ ผลบนจอภาพ
x:0↵ x 0:= .
y:0↵ y 0:= .
Given↵ Given .
2*x+3*y
<Ctrl>+=
หมายเหต◌ กด <Ctrl>+= จงจะไดสญลกษณ = ทมสดา
เขม ตามรปแบบของชดคาสง Given
8↵ 2 x⋅ 3y+ 8
x+y↵
f x( ) x2 x− 20−:=
x 1:= root f x( ) x,( ) 5=
x 2−:= root f x( ) x,( ) 4−=
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 38
<Ctrl>+=
3↵ x y+ 3
Find(x, y)=↵ Find x y,( )1
2
=
หมายเหต ชดคาสง Given และ Find เปนคาสงทใชหาผลเฉลยของระบบสมการดวยวธของนวตน
โดยกาหนดจดเรมตนของการหาผลเฉลย x = 0 และ y = 0
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการไมเชงเสน
การหาจดตดของวงกลม 2x + 2y = 25
และเสนตรง 3x + 4y = 0
2.18 การคานวณคา rn C และ r
n P
สตร rn C =
)!rn(!r!n−
สามารถกาหนดเปนสตรในโปรแกรม Mathcad ไดดงน
พมพ ผลบนจอภาพ
C(n, r):n!
/
r!*
(n-r)!↵ C n r,( )
n!r! n r−( )!⋅
:=
C(5, 1)= ↵ C 5 1,( ) 5=
C(5, 2)= ↵ C 5 2,( ) 10=
การกาหนดสตร rn P =
)!rn(!n−
P(n, r):
/
(n-r)!↵ P n r,( )
n!n r−( )!
:=
P(5, 1)= ↵ P 5 1,( ) 5=
P(5, 2)= ↵ P 5 2,( ) 20=
x 1:= y 1:=
Given
x2 y2+ 25 3x 4y+ 0 .
Find x y,( )4
3−
=
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 39
ตวอยางการคานวณในรปแบบตาราง
2.19 การคานวณทใหผลลพธเปนสตร
โปรแกรม Mathcad สามารถคานวณและแสดงผลออกมาในรปแบบของสตรไดเชน
การกระจายพหนาม (x - 1)(x + 2) กระจายไดเปน 2x + x - 2
การแยกตวประกอบ 4x - 2 2x - 3x - 2 แยกตวประกอบไดเปน (x - 2)(x + 1)( 2x + x + 1)
การแสดงผลเปนเศษสวนอยางตา 1511
125
43
+ จดรปเปน 23
15
การหาอนพนธเปนสตร dxd 2x ผลการหาอนพนธคอ 2x
การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4( +∫ ผลการคานวณเปนสตรคอ 2 2x + 7x
สามารถหาคาลมตได 1x
lim→
( 2x + 2x + 4) หาคาลมตไดเปน 7
การคานวณเพอใหโปรแกรม Mathcad แสดงผลเปนสตร มขนตอนดงน
1. พมพสตรทตองการคานวณใหเรยบรอย
2. ใชการกด <Space bar> เพอขยาย curser ใหคลมบรเวณสตร การลดขนาด curser ทคลมสตรใหกด ↓
หรอใชการลากเมาสเขามาคลมบรเวณทตองการผลการคานวณเปนสตร
3. เลอกคาสงใหโปรแกรม Mathcad แสดงผลเปนสตร
ตวอยาง การกระจายสตรพหนาม (x - 1)(x + 2)
พมพ ผลบนจอภาพ
(x-1)*(x+2)↵
<Space bar>
คลก บนแถบเมน จะไดเมนยอยเปน
คลก บนแถบเมน x2 x 2−+ หมายเหต หลงจากเลอกบรเวณสตรแลว การสงอกแบบทาไดโดยการกด <Alt>+s คางไว แลวกด x
r 0 4..:= r
01
2
3
4
= C 4 r,( )
14
6
4
1
= P 4 r,( )
14
12
24
24
=
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 40
ตวอยาง การแยกตวประกอบ 4x - 2 2x - 3x - 2
พมพ ผลบนจอภาพ
x^4<Space bar>-2*x^2
<Space bar>-3*x-2 กด <Space bar> 5 ครง
หมายเหต ใชการลากเมาสเขามา
คลมบรเวณสตรกได
หมายเหต การกด <Space bar> แตละครงจะมเสนตง
ฉากเพมขนมาคลมสตรทเราจะทาการคานวณ
คลก บนแถบเมน
จะไดเมนยอยเปน
คลก บนแถบเมน
x 2−( ) x 1+( )⋅ x2 x+ 1+( )⋅
ตวอยาง การแสดงผลเปนเศษสวนอยางตา 1511
125
43
+ จดรปเปน 23
15
พมพ ผลบนจอภาพ
3/4<Space bar>
/
5/12<Space bar>
+11/15
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 41
กด <Space bar> 3 ครง
คลก บนแถบเมน จะไดเมนยอยเปน
คลก บนแถบเมน 15
23
ตวอยาง การหาสตรอนพนธ dxd 2x
พมพ ผลบนจอภาพ
?
หมายเหต ? เปน Shortcut ของ
สญลกษณอนพนธอนดบหนง
x<Tab>
x^2 <Tab>
<Space bar><Space bar>
คลก บนแถบเมน จะไดเมนยอยเปน
คลก บนแถบเมน 2 x⋅ .
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 42
ตวอยาง การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4( +∫
พมพ ผลบนจอภาพ
<Ctrl> + I
หรอคลก ทแถบเครองมอ
คานวณ Calculus หมายเหต กด <Ctrl> + I จะไดสญลกษณปรพนธ
4*x+7<Tab>x
<Space bar>
คลก บนแถบเมน จะไดเมนยอยเปน
คลก บนแถบเมน 2 x2
⋅ 7 x⋅+ .
หมายเหต ผลของการหาปรพนธ ดวยโปรแกรม Mathcad จะไมมคาคงตวเหมอนในวชา CALCULUS
ตวอยาง การหาคาลมต 1x
lim→
2x + 2x + 4
พมพ ผลบนจอภาพ
<Ctrl> + L
หรอคลก ทแถบเครองมอ
คานวณ Calculus
หมายเหต กด <Ctrl> + L จะไดสญลกษณลมต
x^2<Space bar>+2*x+4<Tab>
x<Tab>
1
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 43
<Space bar>
คลก บนแถบเมน จะไดเมนยอยเปน
คลก บนแถบเมน 7
2.20 การใชคาสงในแถบเครองมอ Symbolic ชวยในการคานวณและแสดงผลลพธเปนสตร
การนาแถบเครองมอ Symbolic มาใชงาน
ขนท 1. นาแถบเครองมอ Math
ขนมาบนจอภาพ
ขนท 2. คลกทสญลกษณ จะไดแถบเครองมอ Symbolic
ตวอยางผลการคานวณโดยการใชคาสง
จากแถบเครองมอ Symbolic
2.20.1 การหาสตรอนพนธ dxd 2x โดยใชเครองมอ จากแถบเครองมอ Symbolic
พมพ ผลบนจอภาพ
?
หมายเหต ? เปน Shortcut ของ
สญลกษณอนพนธอนดบหนง
xx2d
d2 x⋅→ x4x 7+
⌠⌡
d simplify 2 x2⋅ 7 x⋅+→ .
x4 2 x2⋅− 3 x⋅− 2− factor x 2−( ) x 1+( )⋅ x2 x+ 1+( )⋅→
1xx2 4 x⋅+ 2+lim
→7→x 1−( ) x 2+( )⋅ expand x2 x 2−+→
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 44
x<Tab>
x^2 <Tab>
<Space bar><Space bar>
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
คลก บนแถบเครองมอ
Symbolic แลวกด ↵ xx2d
d2 x⋅→ .
2.20.2 การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4( +∫ โดยใชคาสง Symplify จากแถบเครองมอ Symbolic
พมพ ผลบนจอภาพ
<Ctrl> + I
หรอคลก ทแถบเครองมอ
คานวณ Calculus หมายเหต กด <Ctrl> + I จะไดสญลกษณปรพนธ
4*x+7<Tab>x
<Space bar>
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 45
คลก บนแถบเครองมอ
Symbolic x4 x⋅ 7+⌠⌡
d simplify 2 x2⋅ 7 x⋅+→ .
2.20.3 การแยกตวประกอบ 4x - 2 2x - 3x - 2 โดยใชเครองมอจากแถบเครองมอ Symbolic
พมพ ผลบนจอภาพ
x^4<Space bar>-2*x^2
<Space bar>-3*x-2 กด <Space bar> 5 ครง
หมายเหต ใชการลากเมาสเขามา
คลมบรเวณสตรกได
หมายเหต การกด <Space bar> แตละครงจะมเสนตง
ฉากเพมขนมาคลมสตรทเราจะทาการคานวณ
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
คลก บนแถบเมน
factor↵ x4 2 x2
⋅− 3 x⋅− 2− factor x 1+( ) x 2−( )⋅ x2 x+ 1+( )⋅→
2.20.4 การกระจายสตรพหนาม (x - 1)(x + 2) โดยใชเครองมอจากแถบเครองมอ Symbolic
พมพ ผลบนจอภาพ
(x-1)*(x+2)↵
<Space bar>
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
คลก บนแถบเมน
expand↵
x 1−( ) x 2+( )⋅ expand x2 x 2−+→ .
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 46
2.20.5 การหาคาลมต 1x
lim→
2x + 2x + 4 โดยใชเครองมอจากแถบเครองมอ Symbolic
พมพ ผลบนจอภาพ
<Ctrl> + L
หรอคลก ทแถบเครองมอ
คานวณ Calculus
หมายเหต กด <Ctrl> + L จะไดสญลกษณลมต
x^2<Space bar>+2*x+4<Tab>
x<Tab>1
<Space bar>
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
คลก บนแถบเครองมอ
Symbolic แลวกด ↵ 1xx2 2 x⋅+ 4+lim
→7→ .
2.20.6 การหาพหนามเทยเลอรดกร k ของฟงกชน ตวอยางการหาพหนามเทยเลอรดกร 3 ของ sin(x)
พมพ ผลบนจอภาพ
sin(x)
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
คลก series บนแถบเครองมอ
Symbolic
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 47
5<Tab>
หมายเหต
เลข 5 เปนการหาพหนามเทยเลอรดกรไมเกน 5
x↵ sin x( ) series x, 5, 1 x⋅16
x3⋅−→
เพราะฉะนนพหนามเทยเลอรดกรไมเกน 5 ของ sin(x) คอ x - 6x3
2.20.7 การหาผลการแปลงลาปลาซ ตวอยางเชน L{sin(t)} = 1s
12 +
พมพ ผลบนจอภาพ
sin(t)
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
คลก laplace บนแถบเครองมอ
Symbolic
t↵ sin t( ) laplace t,1
s2 1+( )→
2.20.8 การหาผลการแปลงลาปลาซผกผน ตวอยางเชน }1s
1{L 21
+− = sin(t)
พมพ ผลบนจอภาพ
1/s^2<Space bar>+1
<Space bar><Space bar>
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathcad Mathcad - 48
คลก invlaplace บนแถบเครองมอ
Symbolic
s↵ 1
s2 1+invlaplace s, sin t( )→
2.20.9 การแยกเศษสวนยอย ตวอยางเชนการแยกเศษสวนยอย )1x(x1+
= x1 - 1x
1+
พมพ ผลบนจอภาพ
1/x*(x+1)<Space bar><Space
bar>
คลกทสญลกษณ
ทแถบเครองมอ Math
จะไดแถบเครองมอ Symbolic
คลก parfrac บนแถบเครองมอ
Symbolic
x↵ 1x x 1+( )⋅
convert parfrac, x,1x
1x 1+( )
−→
ในทานองเดยวกนจะไดวา
2 x3⋅ 5 x2
⋅− x+ 6−
x2 4 x⋅− 3+convert parfrac, x, 2 x⋅ 3+
4x 1−( )
+3
x 3−( )+→
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 49
บทท 3.
การเขยนกราฟดวย Mathcad
โปรแกรม Mathcad มความสามารถในการเขยนกราฟไดหลายแบบ เชน กราฟในระบบพกดมมฉาก กราฟ
2 มต กราฟ 3 มต ฯลฯ ในบทท 3 นจะเปนทางานเกยวกบ การเขยนกราฟรปแบบตางๆ เพอใหไดรปของ
กราฟทมทงความเหมาะสม และ ความสวยงาม
ตวอยางของกราฟบางรปแบบทโปรแกรมสาเรจรป Mathcad ทาไดเชน
กราฟในพกดมมฉาก 2 มต กราฟพ นผว 3 มต
กราฟในพกดเชงขว กราฟ conture plot
8 4 0 4 825
255075
100100
25−
x2 3 x⋅− 7−
88− x
M
0
4590
135
180
225270
315
5
04 cos 2 x⋅( )⋅
x
M
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 50
3.1 การเขยนกราฟในพกด XY และการปรบรปแบบของกราฟ
ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10]
พมพ ผลบนจอภาพ
f(x):2*x+3↵ f x( ) 2 x⋅ 3+:= x:0,0.1;10 x 0 0.1, 10..:= .
คลก ทแถบเครองมอ
จะไดแถบเครองมอ Graph
คลก
บนแถบเครองมอ Graph
หมายเหต กดเครองหมาย @
จะไดสญลกษณของการเขยน
กราฟ X-Y เหมอนกน
x<Tab>
10<Tab>
หมายเหต 1. การกาหนด x:=0,0.1..10 แปลวาคา x มคาเปน 0, 0.1, 0.2, ... , 10
เพราะฉะนนมการเขยนกราฟทงหมด 101 จด
2. ในกรณทพมพเฉพาะ x และ f(x) โปรแกรม Mathcad กสามารถเขยนกราฟได
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 51
f(x)<Tab>
0<Tab>
0<Tab>
30↵
0 5 100
2030
0
f x( )
100 x
หมายเหต กดสญลกษณ @ บนแปนพมพจะไดรปแบบของการเขยนกราฟเหมอนกน
ตอไปเราจะทาการเปลยนรปแบบกราฟใหไดหลายๆ แบบเชน
0 2 4 6 8 100
10
20
3030
0
f x( )
100 x0 2 4 6 8 10
5101520253030
0
f x( )
100 x01 2 3 4 5 6 7 8 910
5101520253030
0
f x( )
100 x
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 52
การ Format รปแบบกราฟใหมลกษณะตาง ๆ มขนตอนดงน
พมพ ผลบนจอภาพ
เลอกรปของกราฟทตองการ
เปลยนรปแบบ โดยการนาเมาส
ไปคลกทบรเวณของกราฟ
จะเกดกรอบคลมบรเวณกราฟ
คลก Format ทเมนบาร
เลอกเมนยอย Graph
เลอกเมนยอย X-Y Plot
จะไดเมนของการ Format กราฟดงน
หมายเหต วธทสะดวกทสดในการ Format กราฟคอ กดดบเบลคลก ในบรเวณกราฟทเราตองการจดรปแบบ
เมนยอยทมคอ X-Y Axes เมนยอยเกยวกบลกษณะของกรอบ และ สเกล
Traces เมนยอยเกยวกบลกษณะของเสนกราฟ สของกราฟ การพลอตจด
Labels เมนยอยเกยวกบการพมพชอของ แกน X แกน Y
Defaults เมนยอยของการกาหนดคามาตรฐานของการเขยนกราฟ
X-Y Axes เมนยอยของการจดรปแบบเกยวกบแกนพกด
Log Scale ใชกาหนดวาแกน X หรอ แกน Y เปนสเกล log
Grids Lines ใชกาหนดวาตองการตเสน grid หรอไม
Numbered ใชกาหนดวาตองการพมพตวเลขทแกน X หรอ แกน Y หรอไม
Autoscale ใชกาหนดวาตองการในคอมพวเตอรคานวณสเกลใหหรอไม
Show Markers ใชกาหนดวาตองการใหพมพสญลกษณท Plot กราฟหรอไม
Auto Grid ใชกาหนดวาตองการกาหนดจานวน grid เองหรอไม
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 53
◌Boxed ใชกาหนดวาตองการเขยนกราฟในกรอบสเหลยม
Crossed ใชกาหนดวาตองการเขยนกราฟโดยไมมกรอบสเหลยมลอมรอบ
None เปนการกาหนดวาไมตองเขยนแกน X และ แกน Y
หมายเหต มเครองหมาย ถก ในชองสเหลยมแปลวาตองการเลอก Option นน
Traces เมนยอยของการจดรปแบบ
เกยวกบการพลอตจดของกราฟ
Legend Label ใชแสดงหมายเลขเสนกราฟ
Symbol ใชกาหนดสญลกษณในการเขยนจด
เชนใชเครองหมาย +, x
Line ใชกาหนดชนดของเสนกราฟ
เปนเสบทบ เสนปะ
Color ใชกาหนดสของเสนกราฟเปน
สดา สแดง สนาเงน
Type ใชกาหนดรปแบบของเสนกราฟ
เชน พลอตเปนจด พลอตเปนจดและโยงเสน
Weigth ใชกาหนดความเขมหรอความหนาของเสนกราฟโดยทความเขมเพมจาก 1 ถง 9
ตวอยางของทางเลอก (Options)
ทมใหเลอกดจากภาพน
หมายเหต
การเลอกใหคลกทบรเวณ
ของชองตรงตาแหนงหมายเลข 1
Label เมนยอยของการกาหนดคาอธบายเกยวกบแกนพกด
ตวอยางเชน
กาหนด Title เปน Graph of function y = f(x)
กาหนด Label ของแกน X เปน Value of X
กาหนด Label ของแกน Y เปน Value of Y
และเลอก Option Show Title
ดวยการ check box หนา Show Title ดวย
เสรจแลวคลก OK หรอทดลองคลก Apply
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 54
ภาพทไดคอ
Defaults เมนยอยกาหนดคามาตรฐานของการเขยนกราฟ
ใชในการเลอกการ
การกาหนดลกษณะกราฟ (Format)
ตามทโปรแกรม Mathcad กาหนดไว
ตวอยางการเปลยนรปแบบ การเขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10]
จากรปเดม ใหกลายเปน
ขนท 1. นาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณ
ของกราฟจะไดเมนของการ Format กราฟ
ขนท 2.
กาหนดทางเลอก (Options) ใน X-Y Axes ดงน
1. คลกท Auto Grid ของ แกน X
ใหเครองหมายถก หายไปเพอยกเลก Auto Grid
2. พมพ 5 ในชอง No. of Grids ของ แกน X
3. คลกท Auto Grid ของ แกน Y
ใหเครองหมายถก หายไปเพอยกเลก Auto Grid
4. พมพ 3 ในชอง No. of Grids ของ แกน Y
ขนท 3. คลก OK หรอ คลก Apply ภาพทไดคอ
0 2 4 6 8 100
10
20
3030
0
f x( )
100 x
0 2 4 6 8 100
10
20
3030
0
f x( )
100 x0 5 10
0
2030
0
f x( )
100 x
0 5 100
20
Graph of function y = f(x)
Value of x
Val
ue o
f y
30
0
f x( )
100 x
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 55
ตวอยางการเปลยนรปแบบ การเขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10]
จากรปเดม ใหกลายเปน
ขนท 1. นาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟจะไดเมนของการ Format กราฟ
ขนท 2.
กาหนดทางเลอก (Options) ใน X-Y Axes ดงน
1. คลกท Auto Grid ของ แกน X
ใหเครองหมายถกหายไป
เพอยกเลก Auto Grid
2. พมพ 10 ในชอง No. of Grids ของ แกน X
3. คลกท Auto Grid ของ แกน Y
ใหเครองหมายถก หายไป
เพอยกเลก Auto Grid
4. พมพ 6 ในชอง No. of Grids ของ แกน Y
5. คลกทวงกลมหนา Crossed
ใหเกดจดดาในวงกลม
6. เสรจแลวคลก OK หรอ คลก Apply
จะไดภาพตามทตองการ
ตวอยางการเปลยนรปแบบ การเขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10]
จากรปเดม ใหกลายเปน
01 2 3 4 5 6 7 8 910
5101520253030
0
f x( )
100 x
0 2 4 6 8 100
10
20
3030
0
f x( )
100 x
01 2 3 4 5 6 7 8 910
5101520253030
0
f x( )
100 x0 2 4 6 8 10
5101520253030
0
f x( )
100 x
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 56
ขนท 1. นาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟจะไดเมนของการ Format กราฟ
ขนท 2.
กาหนดทางเลอก (Options) ใน X-Y Axes ดงน
1. คลกท Auto Grid ของ แกน X
ใหเครองหมาย ถกหายไป
เพอยกเลก Auto Grid
2. พมพ 10 ในชอง No. of Grids ของ แกน X
3. คลกท Auto Grid ของแกน Y
ใหเครองหมาย ถกหายไป
เพอยกเลก Auto Grid
4. พมพ 6 ในชอง No. of Grids ของ แกน Y
5. คลกทชอง Grid Line ใหเกดเครองหมายถก
ทงของแกน X และแกน Y
6. เสรจแลวคลก OK หรอ คลก Apply
จะไดภาพตามทตองการ
3.2 การยอและขยายขนาดของกราฟ
เขยนกราฟ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10]
เพอเปนตวอยางในการยอและขยาย
ขนตอนการยอและขยายขนาดกราฟ
ขนท 1. ลากเมาสเขาไปคลมบรเวณของกราฟ จะเกดกรอบสเหลยมทมเสนแบบเสนไขปลาลอมรอบกราฟ
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 57
ขนท 2. ขณะทกรอบเสนไขปลาลอมรอบกราฟ ใหปลอยมอจะเกดสเหลยมขอบเสนตรงคลมกราฟ
ขนท 3. ลากเมาสไปยงจดสดาทขอบของกรอบสเหลยมจะเกด
สญลกษณ ↔ หรอ หรอ การยอหรอขยายทาไดโดยลาก
เมาส ขณะทเกดลกศรตรงขอบทเอาเมาสไปเลอกไว
1. ยอหรอขยายทางดานขาง
2. ยอหรอขยายทางดานบน และ ลาง
3. ยอหรอขยายทงสองดานพรอมกน
ตวอยางการยอหรอขยายเชน
3.3 การ COPY CUT และ PASTE กราฟ
เขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3
บนชวง [0, 10] เพอเปนตวอยาง
นาเมาสเขาไปคลกทบรเวณของกราฟ
จะไดสเหลยมทมเสนทบคลมรป
กดฟงกชนคย F2 หรอ <Ctrl> + C
เปนการ Copy กราฟรปน
เลอน Curser ไปทบรเวณนอกกราฟรปเดม
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1005
101520253030
0
f x( )
100 x01 23 45 6 78 910
05
101520253030
0
f x( )
100 x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
5
10
15
20
25
3030
0
f x( )
100 x
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 58
กดฟงกชนคย F4 หรอ <Ctrl> + V
เปนการ Paste กราฟท Copy
ไวลงตรงตาแหนงท Curser อย
ผลบนจอภาพคอ
หมายเหต หากตองการลบกราฟในกรอบทงทเลอกไว ใหกดฟงกชนคย F3 หรอ <Ctrl> + X
การเคลอนยายรปของกราฟโดยการลากเมาส
ขนท 1. ลากเมาสมาทเสนกรอบสเหลยม จะเกดรปมอทขอบของรปสเหลยมทคลมกราฟ
ขนท 2. กดเมาสคางไวและลากเมาสไปดวย กราฟรปนนกจะเคลอนยายตาม
หมายเหต เมอเลอกบรเวณของสตรบนจอภาพ เชนผลการคานวณ รปกราฟ หรอบางสวนในสตร
การกด ฟงกชนคย F2 หรอ <Ctrl> + C หมายถงการ Copy สตรหรอบรเวณทเลอกนน
ฟงกชนคย F3 หรอ <Ctrl> + X หมายถงการ Cut หรอการลบ สตรหรอบรเวณทเลอกนน
ฟงกชนคย F4 หรอ <Ctrl> + V หมายถงการ Paste สตรหรอบรเวณท copy ไว
3.4 การเขยนกราฟของแผนภาพการกระจายของขอมล
ตวอยางของขอมลเชน
การเขยนแผนภาพการกระจายของ X และ Y
พมพ ผลบนจอภาพ
กาหนดขอมล x และ y
กาหนดจดเรมตน
ORIGIN:1
และกาหนดตว Subscript
i:1;5
x
2
5
7
11
15
:=
y
4
10
25
32
38
:=
ORIGIN 1:= i 1 5..:= .
กดเครองหมาย @
หรอคลก
บนแถบเครองมอ Graph
x y 2 4 5 10 7 25 11 32 15 38
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 59
x[i<Tab>
16<Tab>
y[i<Tab>
0<Tab>
0<Tab>
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 60
40<Tab>
↵
0 100
20
4040
0
yi
160 xi
กราฟทไดยงไมเปนแผนภาพการกระจาย ตอไปเราจะทาการ Format กราฟใหใหสวยงามและเหมาะสมเชน
การเปลยนรปแบบกราฟใหเปนแผนภาพการกระจายทมรปเปน
มขนตอนดงน
ขนท 1. เลอกรปของกราฟทตองการเปลยนรปแบบ
โดยการนาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟ
จะไดเมนของการปรบเปลยนรปแบบ
ขนท 2.
1. ยกเลก Auto Grid ของ X-Axis
และ ใส Number of Grids เปน 4
2. ยกเลก Auto Grid ของ Y-Axis
และ ใส Number of Grids เปน 4
3. เลอก Axis Style เปน Crossed
ขนท 3.
1. เลอกเมนยอย Traces
โดยการคลกไปท Traces
2. เลอก Type การพลอตเปน points
3. เลอก Weight การพลอตเปน 3
ขนท 4. เสรจแลวคลก OK จะไดกราฟดงภาพขางตน
0 4 8 12 16
10
20
30
4040
0
yi
160 xi
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 61
การเปลยนรปแบบกราฟใหเปนแผนภาพการกระจายทมรปเปน
มขนตอนดงน
ขนท 1. เลอกรปของกราฟทตองการเปลยนรปแบบ
โดยการนาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟ
จะไดเมนของการปรบเปลยนรปแบบ
ขนท 2.
1. ยกเลก Auto Grid ของ X-Axis
และ ใส Number of Grids เปน 4
2. ยกเลก Auto Grid ของ Y-Axis
และ ใส Number of Grids เปน 4
3. เลอก Axis Style เปน Crossed
ขนท 3.
1. เลอกเมนยอย Traces
โดยการคลกไปท Traces
2. เลอก Symbol การพลอตเปน box
3. เลอก Type การพลอตเปน lines
4. เลอก Weight การพลอตเปน 1
ขนท 4. เสรจแลวคลก OK จะไดกราฟดงภาพขางตน
3.5 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก
ตวอยางเชนการเขยนกราฟของเสนโคง
ทมสมการพาราเมตรก
x(t) = 80t
y(t) = –16 2t + 80t
บนชวง 0 < t < 5
0 4 8 12 165
1015202530354040
0
yi
160 xi
t 0 0.1, 5..:=
x t( ) 80 t⋅:=
y t( ) 16− t2⋅ 80 t⋅+:=
0 200 4000
100
y t( )
x t( )
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 62
ขนตอนการเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก
พมพ ผลบนจอภาพ
t:0,0.5;5↵
x(t):80*t↵
y(t):-16*t^2<Tab>+80*t↵
t 0 0.5, 5..:=
x t( ) 80 t⋅:=
y t( ) 16− t2⋅ 80 t⋅+:= กด @
x(t)<Tab>
400<Tab>
y(t)<Tab>
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 63
–25<Tab>
0<Tab>
125↵
กราฟทไดสามารถจดรปแบบไดหลายลกษณะเชน
การเปลยนรปแบบกราฟใหมรปเปน
มขนตอนดงน
ขนท 1. เลอกรปของกราฟทตองการเปลยนรปแบบ
โดยการนาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟ
จะไดเมนของการปรบเปลยนรปแบบ
0 100 200 300 40025
255075
100125125
25−
y t( )
4000 x t( )
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 64
ขนท 2. 1. ยกเลก Auto Grid ของ X-Axis
และ ใส Number of Grids เปน 4
2. ยกเลก Auto Grid ของ Y-Axis
และ ใส Number of Grids เปน 6
3. เลอก Axis Style เปน Crossed
ขนท 3.
1. เลอกเมนยอย Traces
โดยการคลกไปท Traces
2. เลอก Type การพลอตเปน points
3. เลอก Weight การพลอตเปน 3
ขนท 4. เสรจแลวคลก OK จะไดกราฟดงภาพขางตน
การเปลยนรปแบบกราฟใหมรปเปน
มขนตอนดงน
ขนท 1. เลอกรปของกราฟทตองการเปลยนรปแบบ
โดยการนาเมาสไปกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟ
จะไดเมนของการปรบเปลยนรปแบบ
ขนท 2.
1. ยกเลก Auto Grid ของ X-Axis
และ ใส Number of Grids เปน 4
2. ยกเลก Auto Grid ของ Y-Axis
และ ใส Number of Grids เปน 6
3. เลอก Axis Style เปน Crossed
4. เลอกแสดง Grid Lines ท Y–Axis
0 100 200 300 40025
255075
100125125
25−
y t( )
4000 x t( )
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 65
ขนท 3. 1. เลอกเมนยอย Traces
โดยการคลกไปท Traces
2. เลอก Symbol การพลอตเปน box
3. เลอก Type การพลอตเปน points
4. เลอก Weight การพลอตเปน 1
ขนท 4. เสรจแลวคลก OK จะไดกราฟดงภาพขางตน
3.6 การเขยนกราฟของสมการในพกดเชงขว
ตวอยางเชนการเขยนกราฟของฟงกชน
r(t) = 5sin(2t) บนชวง ] 2 , 0[ π
วธทา
ขนตอนการเขยนกราฟพกดเชงขว
พมพ ผลบนจอภาพ
t:0,0.1;2*π↵
r(t):5*sin(2*t)
t 0 0.1, 2 π⋅..:=
r t( ) 5 sin 2 t⋅( )⋅:=
คลก ทแถบเครองมอ
จะไดแถบเครองมอ Graph
คลก
บนแถบเครองมอ Graph
หมายเหต <Ctrl> + 7
จะไดสญลกษณของการเขยน
กราฟพกดเชงขว
t<Tab>
t 0 0.1, 2 π⋅..:=
r t( ) 5 sin 2 t⋅( )⋅:=
0
30
6090
120
150
180
210
240270
300
330
420
5
0r t( )
t
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 66
r(t)<Tab>
0<Tab>
หมายเหต 0 เปนคานอยทสด
ของ 5sin(2t)
5↵
หมายเหต 5 เปนคามากทสด
ของ 5sin(2t)
หมายเหต เราสามารถจดรปแบบกราฟในพกดเชงขวโดยการกดดบเบลคลกทบรเวณของกราฟจะไดเมนยอย
ของการจดรปแบบกราฟในพกดเชงขวเปนดงน
เมนยอย Polar Axes
Log Scale กาหนดใหใชสเกล log
Grid Lines กาหนดใหตเสน grid
Number กาหนดใหมการเขยน
ตวเลขกากบสเกล
Show Markers กาหนดใหแสดงชนดของการ Plot
Auto Grid กาหนดจานวน Grid -ของแนวมม
และ แนวรศม
Perimeter กาหนดให Plot กราฟในแบบวงกลม
Crossed กาหนดให Plot กราฟ
ในแบบทมแกน X และ Y ตดกน
None เลอก Plot กราฟแบบไมมแกนพกด
เมนยอย Traces เมนยอย Labels เมนยอย Defaults
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 67
มหนาทเหมอนกราฟในพกดแกน XY (ดหวขอ 3.1) ตวอยางการจดรปแบบของกราฟและภาพของกราฟทได
3.7 การเขยนกราฟแบบ 3 มต
ตวอยางเชน กราฟของ f(x, y) = 2x – 2y บนชวง [–2, 2] × [–2, 2]
การเขยนกราฟพ นผว 3 มต แบบท 1.
พมพ ผลบนจอภาพ
x:-2,-1.99;2↵ x 2− 1.99−, 2..:= .
y:-2;-1.99;2↵ y 2− 1.99−, 2..:= .
f(x,y):x^2<Space bar>–y^2↵ f x y,( ) x2 y2−:= .
คลก
บนแถบเครองมอ Graph
หมายเหต <Ctrl> + 2
จะไดสญลกษณของการเขยนกราฟ
3 มต
f↵
f.
0
45
90
135
180
225
270
315
543210
5
0r t( )
t
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 68
การเขยนกราฟพ นผว 3 มต แบบท 2.
พมพ ผลบนจอภาพ
i:1;20↵ i 1 20..:= .
j:1;20↵ j 1 20..:= .
x[i:-2+0.2*i↵ xi 2− 0.2 i⋅+:= .
y[j:-2+0.02*j↵ y j 2− 0.2 j⋅+:= .
f(x,y):x^2<Space bar>–y^2↵ f x y,( ) x2 y2−:=
M[(i,j):f(x[i<Space bar>,y[j)↵ M i j,( ) f xi y j,( ):=
คลก
บนแถบเครองมอ Graph
หมายเหต <Ctrl> + 2
จะไดสญลกษณของการเขยนกราฟ
3 มต
M↵
M
การจดรปแบบของการเขยนกราฟ 3 มต
ทาไดโดยการกดดบเบลคลกทรปของกราฟ
จะไดเมนยอยของการเขยนกราฟ 3 มตคอ
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 69
เมน General
View ใชกาหนดเกยวกบมมมองของภาพ
Rotation กาหนดมมทหมนภาพ
องกบแกนมมฉาก ในการมองภาพ
Tilt กาหนดมมกม หรอ มมเงย
ของสายตาในการมองภาพ
Twist กาหนดมมทหมนภาพองกบแกนมมฉาก
ในการมองภาพ
Display As
Surface Plot กาหนดให plot กราฟแบบพนผว
Data Points กาหนดให plot กราฟแบบพนผวแบบกราฟแสดงขอมล
Bar Plot กาหนดให plot กราฟแบบ bar graph
Contour Plot กาหนดให plot กราฟแบบคอนทวร
Vector Field Plot กาหนดให plot สนามเวกเตอร
Patch Plot กาหนดให plot รปแบบพเศษ patch plot
Axes Style
Perimeter กาหนดใหแสดงแกนพกด หรอไมแสดงแกนพกด กราฟทดานลางของกราฟ
Corner กาหนดใหแสดงแกนพกด หรอไมแสดงแกนพกดในระบบพกด XYZ
None กาหนดใหไมแสดงแกนพกด
Frames
Show Border กาหนดใหแสดงขอบของรป
Show Box กาหนดใหแสดงกลองทคลมรป
เมน Axes
ใชกาหนดเกยวกบเสนของการเขยนกราฟ
X-Axis กาหนดคาตางๆ เกยวกบแกน X
Y-Axis กาหนดคาตางๆ เกยวกบแกน Y
Z-Axis กาหนดคาตางๆ เกยวกบแกน Z
เมน Apperarance
ใชในการกาหนดส การแรเงา ลกษณะเสน
ของการ plot กราฟ
เชน Alternate Mesh แสดงกราฟในรปแบบตาขาย
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 70
เมนยอย Graph Title
ใชกาหนดเกยวกบชอของกราฟ
เชนแสดงชอของกราฟ ชอของฟงกชน
โดยเลอกแสดงไวเหนอกราฟ ใตกราฟ
หรอไมแสดง
หมายเหต การหมนภาพพนผวสามารถทาไดโดยการนาเมาสไปดบเบลคลกทรป และนา pointer ชในกรอบรป
ของกราฟ การหมนภาพพนผวทาไดโดยใชการเคลอนทของเมาสเปนตวควบคม
ตวอยางของการเขยนกราฟแบบตาง ๆ
รปแบบการเลอกแบบท 1.
รปแบบการเลอกแบบท 2.
รปแบบการเลอกแบบท 3.
กราฟรปแบบ Contour Plot
M
M
M
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 71
3.8 ตวอยางการประยกตวธเขยนกราฟในรปแบบผสม
3.8.1 การเขยนกราฟ 2 เสนพรอมกน
ตวอยาง กราฟของ f(x) = 3x + x – 1
และ g(x) = 10 2x – 12
แนะนาการพมพ
การพมพสตรของฟงกชนบนแกน Y
เมอพมพ f(x) ทตาแหนงแกน Y แลว ใหกด ,
จะเปนการขนบรรทดใหม
ใหพมพ g(x) แลว กด Tab เพอเลอนไปตาแหนงอน ๆ ตอไป
ตวอยาง กราฟพกดเชงขว
ของ f(t) = 5 + 4sin(t)
และ g(t) = 12cos(2t)
3.8.2 การเขยนกราฟใหมลกษณะของการแรเงา
แนะนาการพมพ
กาหนดโดเมนของการ Plot ใหตางกน
แตใชสตรของ f เหมอนกน
กาหนดชวง x และ t ใหตางกน
บนแกน Y ใหพมพ f(x),f(t)<Tab>
และ บนแกน X ใหพมพ x,t<Tab> เลอกรปแบบการ plot ของเสนกราฟ f(t) เปนแบบ bar graph
3.8.3 การเขยนกราฟของคลาดบ และ กราฟเสนในกรอบเดยวกน
แนะนาการพมพ ทแกน Y ใหพมพ y[i,f(t)<Tab>
ทแกน X ใหพมพ x[i,t<Tab>
กราฟเสนท 1 เลอก Type ของการ plot เปน points
กราฟเสนท 1 เลอก Weight การ plot เปน 3 และ กราฟเสนท 2 เลอก Type ของการ plot เปน lines
2 1 0 1 2
15
15
3030
15−
f x( )
g x( )
22− x
t 0 0.1, 2 π⋅..:=
f t( ) 5 4 sin t( )⋅+:=
g t( ) 12 cos 2 t⋅( )⋅:=
0
45
90
135
180
225
270
315
12840
12
0f t( )
g t( )
t
4 3 2 1 0 1 2 3 4
2
4
6
88
0
f x( )
f t( )
44− x t,
ORIGIN 1:=
i 1 5..:=x
3
5
10
15
22
:= y
12
35
57
63
74
:=f x( ) 3 x⋅ 14+:=
t 0 0.1, 30..:=
0 5 10 15 20 25
16
32
48
64
8080
0
yi
f t( )
250 xi t,
x 2− 1.9−, 2..:=
f x( ) x3 x+ 1−:=
g x( ) 10 x2⋅ 12−:= .
f x( ) x2:=
x 4− 3.99−, 4..:= .t 2− 1.9−, 2.5..:=
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathcad Mathcad – 72
3.8.4 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก 2 เสนพรอมกน
แนะนาการพมพ การพมพบนแกน X ใหพมพ x(t), z(t)
การพมพบนแกน Y ใหพมพ y(t), w(t)
กาหนดรปแบบการ Plot ของเสน 1 เปนแบบ lines และ เลอก Symbol เปนวงกลม
กาหนดรปแบบการ Plot ของเสนท 2 เปนแบบ lines และ เลอก Symbol เปนสเหลยม
3.8.5 การเขยนกราฟโดยการกาหนดฟงกชนทตาแหนงของแกน และ รปแบบอน ๆ
กราฟของ )x2sin(e3y x−= กราฟของ y = sinx และ )x2sin(e3y x−=
กราฟของ x = cosy กราฟของ r = 8cos(2t) และ r = 6(cost + sint)
t 0 0.5, 10..:=
x t( ) 80 t⋅:=
y t( ) 10− t2⋅ 100 t⋅+:=
z t( ) 60 t⋅:=
w t( ) 15− t2⋅ 150 t⋅+:=
0 200 400 600 800100
100
200
300
400400
100−
y t( )
w t( )
8000 x t( ) z t( ),
y 1− 0.99−, 4..:=
2 1 0 1 21
1234
y
cos y( )
t 0 0.01, 2 π⋅..:=
0
45
90
135
180
225
270
315
1086420
8 cos 2 t⋅( )⋅
6 cos t( ) sin t( )+( )⋅
t
x 0 0.01, 6..:=
0 1 2 3 4 5 6
2
1
1
2
3 e x−⋅ sin 2 x⋅( )⋅
x
x 0 0.01, 6..:=
0 1 2 3 4 5 6
2
1
1
2
3 e x−⋅ sin 2 x⋅( )⋅
sin x( )
x
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 73
บทท 4.
การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad
ในบทนจะเปนการใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรมสาเรจรป Mathcad เชนการพมพสตรคานวณทมความ
ยงยากซบซอน การแกไขสตรทพมพผด การเปลยนแปลงขนาดตวแปร ตวอกษร ตวเลข และการกาหนด
ขอความหรอคาอธบายตาง ๆ ฟงกชนทสาคญทางคณตศาสตร และ ตวแปรทสาคญทางคณตศาสตร
4.1 การกาหนดคาตางๆ ในการแสดงผลเกยวกบตวเลข
การกาหนดตาแหนงของทศนยม
คา default ของการแสดงผลทศนยมกาหนดใหแสดง 3 ตาแหนง
การแสดงผลในรปแบบเลขยกกาลง
คา default ของการแสดงผลการคานวณทใหญหรอเลกเกนไปจะแสดงเปนเลขยกกาลง
การกาหนดฐานของตวเลขในการคานวณ
คา default ของการแสดงผลการคานวณโดยทวไปจะคดเปนเลขฐาน 10
ตวอยางเชน
วธเปลยนรปแบบการแสดงผลของตวเลข
ขนท 1. เลอนเมาสไปท Menu Bar คลกท Format จะไดแถบคาสง
ใหเลอกคาสง Result
จะไดเมนยอยของการ Format ตวเลขและการแสดงผลเปนดงน
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 74
เมน Result Format
เมนยอย Number Format
General
Number of decimal places
เลอกวาตองการแสดงผลกตาแหนง
โดยการเปลยนคาในชองตวเลข
Show trailing zeros
กาหนดให ตดศนยทายเลขทศนยม
ทงไปหรอใหแสดงออกมาดวย
Show exponents in engineering format ตองการแสดงผลเปนเลขยกกาลงหรอไม
Exponential threshold ใชกาหนดคา k , k = 1, 2, 3, ... , 15 เพอกาหนดเงอนไขในการแสดงผลตวเลข
ถาตวเลขทตองการแสดงผลมคาสงกวาหรอตากวา k10± แลวใหแสดงผลในรปแบบเลขยกกาลง
เมนยอย Display Options
Matrix display style
เลอกการแสดงผลของตวแปร
ในรปแบบ เวกเตอร เมทรกซ หรอรปแบบตาราง
Imaginary value
เลอกสญลกษณแทนจานวนเชงซอน 1− เปน i หรอ j
Radix
เลอกการแสดงผลตวเลขเปนเลขฐาน 10, 2, 8 หรอ ฐาน 16
เมนยอย Unit Display
Format units
กาหนดใหแสดงหนวยของผลลพธการคานวณ
Simplify units when possible
กาหนดใหแสดงหนวยของผลลพธการคานวณตามความเหมาะสมของผลการคานวณทได
เมนยอย Tolerance
Complex threshold
กาหนดการแสดงผลเกยวกบจานวนเชงซอน
กาหนดคา k = 0, 1, 2, 3, ... , 63
ตวอยางเชน k = 10 ถา 1010)zIm()zRe( −< แลว จะแสดงผลเฉพาะคาของ Re(z)
ถา 1010)zRe()zIm( −< แลว จะแสดงผลเฉพาะคาของ Im(z)
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 75
Zero threshold
กาหนดการแสดงของตวเลขวา
ตองการปดเปนศนยหรอไม
k = 0, 1, 2, 3, ... , 307
การแสดงผลของตวเลขจะปดเปนศนยถาคาของตวเลขนนตากวา k10−
ตวอยาง 008333.01201
= จะแสดงผลตามคาของ Zero threshold ดงน
Zero threshold การแสดงผล
3 1120
0.008333= .
2 1120
0= .
ตวอยาง Number Format และผลลพธบนจอภาพ
ตวอยาง Number Format และผลลพธบนจอภาพ
ตวอยาง Number Format และผลลพธบนจอภาพ
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 76
ตวอยางการแสดงผลแบบเมทรกซกบรปแบบตาราง
ตวอยางผลลพธทเลอกใชคา Complex threshold
Complex threshold ผลการคานวณทแสดงผลออกมา
10 1120
12
i+ 8.333 10 3−× 0.5i+= .
1 1120
12
i+ 0.5i=14
1150
i+ 0.25=
2 1120
12
i+ 8.333 10 3−× 0.5i+= .
Predefined Math Constants คอคาคงตวทโปรแกรม Mathcad กาหนดไวใหมดงน
สญลกษณ ตวแปร การพมพ คาตวเลข
∞ <Ctrl + Shift> + z 307101× e e e 2.71828182845905= .
π <Ctrl + Shift> + p π 3.14159265358979= .
i 1i 1− j 1j 1− % % A% มคา = 100
A เชน 27 %⋅ 0.27= .
ORIGIN ORIGIN:k ORIGIN k:= .
กาหนดคา Subscript เรมตนของตวแปร
TOL TOL:0.000...01 คาท Mathcad กาหนดคอ TOL = 0.001
เราสามารถกาหนดเปนคาอน ๆ ได เชน
TOL 0.00001:= .
CTOL CTOL:0.000...01 คาตวเลขทใชควบคมความถกตองของการ
หาผลเฉลยของระบบสมการ
ตวอยางเชนการหารากสมการ 2x – 2 = 0 ซงมคาราก x = 2
TOL 0.01:= . x 1:= root x2 2− x,( ) 1.413828=
TOL 0.000001:= . x 1:= root x2 2− x,( ) 1.414214=
คา TOL นอยคารากทไดจะถกตองมากขน คาสง root(f(x),x) คอรากของสมการ f(x) = 0
ORIGIN 1:= i 1 3..:= j 1 3..:= x i j,( ) i j+:= .
x
2
3
4
3
4
5
4
5
6
= x
1 2 3
12
3
2 3 43 4 5
4 5 6
=
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 77
4.2 การพมพสตรทยงยากซบซอน
การพมพสตรทางคณตศาสตรทมความยงยากซบซอนเชน 2
2ze
21)z(f
−
π= มแปนอกขระชวยในการพมพคอ
<Space bar> ใชขยายบรเวณของเสนตงฉาก (บรเวณเสนสนาเงนทคลมสตร) คราวละหนงขนตอน
แปนลกศร ใชเลอนตาแหนงของ Curser หรอ เสนตงฉาก ทอยในบรเวณสตร
แปนลกศร ใชยกเลกบรเวณของเสนตงฉากทกาลงคลมสตร
ตวอยางการพมพสตร 2
2ze
21)z(f
−
π=
พมพ ผลบนจอภาพ
f(z):1
\
2*
2*<Ctrl + Shift > + p
<Space bar>
เสนตงฉากขยายมาคลมเลข 2
<Space bar>
เสนตงฉากขยายมาคลม
<Space bar>
เสนตงฉากขยายมาคลมทงเศษและสวน
*
e^
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 78
–z^2
เสนตงฉากคลมเฉพาะเลขกาลง 2
<Space bar>
เสนตงฉากขยายคลม 2z
/
เฉพาะบรเวณเสนตงฉากคลมเทานนทถกหาร
2↵
f z( )1
2 π⋅e
z2−
2⋅:=
หมายเหต f(z) เปนฟงกชนทชวยในการหาพนทใตโคงปกตมาตรฐาน เชน P(–1 < z < 1) = 0.6827
4.3 การลบ การคดลอก สตร ตวแปร และ ตวเลข
ใน Mathcad จะมอง สตร ตางๆ เปนบรเวณทลอมดวยกรอบสเหลยม
เมอทาการกดเมาสคางไว
แลวลากเมาสเขาไปทบรเวณของสตร
จะเหนกรอบสเหลยมคลมสตร
เมอปลอยมอกจะมกรอบสเหลยมคลมสตรทงหมด
และ มเสนตงฉากคลมสตรตวจรงภายใน
เชน ลากเมาสไปคลมสตร x + y = 17
ขณะน เราไดทาการเลอกบรเวณของสตรแลว
ขณะน เราสามารถทาการ copy , cut , paste หรอ เคลอนยายสตรได ดวยการกด
f z( )1
2 π⋅e
z2−
2⋅:=
z 4− 3.99−, 4..:=
t 1− 0.9−, 1..:=
1−
1zf z( )
⌠⌡
d 0.6827= 4 3 2 1 0 1 2 3 4
0.5
0
f z( )
f t( )
44− z t,
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 79
การกด ฟงกชนคย F2 หรอ <Ctrl> + C หมายถงการ Copy สตรหรอบรเวณทเลอกนน
ฟงกชนคย F3 หรอ <Ctrl> + X หมายถงการ Cut หรอการลบ สตรหรอบรเวณทเลอกนน
ฟงกชนคย F4 หรอ <Ctrl> + V หมายถงการ Paste สตรหรอบรเวณทเลอกไว
การเคลอนยายสตรทาไดโดยการนาเมาสไปขอบของสเหลยม เมอเรากดเมาสคางไวกจะเปนรปมอทขอบ เมอ
เราลากเมาสไป กรอบสเหลยมทคลมสตรกจะยายตามไปดวย
4.4 การแกไขเกยวกบการพมพผด
เนองจาก Mathcad จะทาการจดรปแบบการพมพใหเหมาะสมตลอดเวลา ดงนนการทเราจะทาการลบ
อกษรบางตวดวย <Backspace> หรอ <Delete> หรอการพมพแทรก <Insert> ภายในสตรอาจจะทาใหรปแบบ
ของสตรขณะนนเปลยนแปลงไป อยางไรกตามหากเรามความชานาญในการเอา Pointer ไปช ตองตาแหนงทเรา
ตองการ ลบ หรอ พมพแทรก กจะทาใหการแกไขทาไดสะดวกมากขน และทางเลอกสดทายสาหรบผทเรมตน
ใช Mathcad ขอใหพมพใหมดทสด หรอพมพอยางชาตามคาแนะนา เมอชานาญแลวคอยพมพใหเรวขน
ตวอยางการแกไขสตรจาก 2
2ze
21)z(f
−
π= เปน
4ze2)z(f −
π=
พมพ ผลบนจอภาพ
เอา Pointer ไปชทเลข 1 ของสตร
f z( )1
2 π⋅e
z2−
2⋅:=
<Backspace>
2
เอา Pointer ไปชทเลข 2 ของสตร
ในเครองหมาย
<Backspace>
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 80
<Delete>
<Delete>
เอา Pointer ไปชทเลข 2 ของสตร
ทเปนตวหาร 2z
<Backspace><Delete>
<Delete>
4↵ f z( )
2
πe z4−⋅:=
4.5 การทา Remark ใน Mathcad
ในการทางานเราสามารถเขยนคาอธบายเพอเปนหมายเหต
ประกอบสตรคานวณ และ/หรอ คาอธบายของตวโปรแกรม ตวอยางเชน
ในตวอยางน Program 1 addition เปนหมายเหตของตวโปรแกรมซง Mathcad เรยกขอมลแบบน วา Text
การพมพขอมลแบบ Text ใน Mathcad
พมพ ผลบนจอภาพ
“
Program 1 Addition
<PageDown> Program 1 addition
หมายเหต กด จะไดบรเวณสเหลยมสาหรบพมพขอความ
ในบรเวณกรอบของ Text การกด Enter คอการขนบรรทดใหมภายในกรอบ
การออกจากบรเวณของ Text ตองกด <PageDown>
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 81
4.6 การเปลยนแปลงขนาดและรปแบบของตวอกษร และ ตวเลข
การเปลยนแปลงขนาดและรปแบบตวอกษรตวเลข วธทาคลายกบการใชโปรแกรม Microsoft Word หรอ
Excell แตในโปรแกรม Mathcad จาแนกรปแบบออกเปน 3 กลมคอ
1. กลมตวเลข
2. กลมตวอกษร
3. กลมตวเลข และ ตวอกษรทอยในบรเวณของ Text
ตวอยาง ภาพจากหนาจอ Mathcad
1. Curser อยท text
2. ชองแสดงชนดเปน Normal
3. Font ของ text คอ Arial
4. ขนาดของ Font เปน 10 point
ตวอยาง ภาพจากหนาจอ Mathcad
1. Curser อยท ตวแปร a
2. ชองแสดงชนดเปน Varibles
3. Font ของ Variables คอ Time New Roman
4. ขนาดของ Font เปน 12 point
ตวอยาง ภาพจากหนาจอ Mathcad
1. Curser อยท ตวเลข
2. ชองแสดงชนดเปน Constants
3. Font ของ Constants คอ Tahoma
4. ขนาดของ Font เปน 14 point
การเปลยน Fonts หรอ ขนาดของ Fonts
ขนท 1. ใหนา pointer ไปคลกท Text, Variables หรอ Constants
ขนท 2. เลอกชนดของ Fonts เปน Time New Roman , Tahoma ตามทตองการ
ขนท 3. เลอกขนาดของ Fonts เปน 8, 10, 12, ... ตามทตองการ
ตวอยางเชน การเปลยน Text Variables และ Constants เปน Tahoma 12
Program addition
a 1:=b 2:=a b+ 3=
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 82
4.7 การหารากสมการ และผลเฉลยของระบบสมการและการควบคมความถกตอง
การคานวณเกยวกบการหารากของสมการ เชนการใชคาสง root หรอ การหาคาตอบของระบบสมการดวย
ชดคาสง Given...Find โปรแกรม Mathcad จะตรวจความถกตองวาคาตอบทไดนนถกตองมากหรอนอย โดย
การตรวจสอบคาคลาดเคลอนกบคาของ TOL และ CTOL ซงเปนตวแปรทกาหนดคาไวลวงหนาแลวเปน
0.001 ดงนนหากเราตองการความถกตองมากขนจะตองลดคาของ TOL หรอ CTOL ใหเลกลงเชนกาหนด
TOL = 0.0000001 หรอ CTOL = 0.00000001
การหารากของสมการ f(x) = 0
ขนท 1. กาหนดสตร f(x)
ขนท 2. กาหนดจดเรมตนของการประมาณคาราก
ขนท 3. กาหนดคา TOL
ขนท 4. ใชคาสง root(f(x),x)
ตวอยางการหารากของสมการ 2x – 2 = 0
พมพ ผลบนจอภาพ
f(x):x^2<Spacebar>–2↵ f x( ) x2 2−:= .
x:1↵ x 1:= .
TOL:0.1↵ TOL 0.1:= .
root(f(x),x)=↵ root f x( ) x,( ) 1.406654= .
TOL:0.000001↵ TOL 0.000001:= .
root(f(x),x)=↵ root f x( ) x,( ) 1.414214= .
หมายเหต คาจรงทถกตอง 14 ตาแหนงของรากสมการ 2x – 2 = 0 คอ 2 1.4142135623731= .
เมอเขาสโปรแกรม Mathcad ครงแรกคาของ TOL กาหนดไวเทากบ 0.001
การหาผลเฉลยของระบบสมการดวยชดคาสง Given...Find
ขนท 1. กาหนดคา TOL
ขนท 2. กาหนดจดเรมตนของการประมาณคาราก
ขนท 3. ใชคาสง Given
ขนท 4. พมพระบบสมการ
ขนท 4. ใชคาสง Find
ตวอยางการหาจดตดของเสนตรง y – x = 0 กบ วงกลม 2x + 2y = 1
พมพ ผลบนจอภาพ
CTOL:0.00001↵ CTOL 0.00001:= .
x:1↵ x 1:= .
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 83
y:1↵ y 1:= .
Given↵ Given .
y-x<Ctrl>+=0↵ x y− 0 .
x^2<Spacebar>–+y^2
<Spacebar><Ctrl>+=1↵ x2 y2
+ 1 .
Find(x,y)=↵
y
Find x y,( )0.7071054437
0.7071054437
= .
หมายเหต เมอเราลดขนาดของ CTOL ผลการคานวณจะถกตองมากขน ตวอยางเชน
หมายเหต พกดจดตดทแทจรงคอ (x = 0.707106781186547 , y = 0.707106781186547)
4.8 การบนทกแฟมขอมล Mathcad และ เรยกแฟมขอมลขนมาทางาน
เมอเรมทางานครงแรกกบ Mathcad จะเหนวาชอแฟมของงานทเราทาจะมชอทโปรแกรม Mathcad กาหนดคอ
[Untitled: 1] สมมตงานทเราทาขณะนคอ โปรแกรมการหารากสมการ
4.8.1 การบนทกแฟมขอมล
ขนท 1. คลกท File และเลอก คาสง Save
จะไดเมนยอยของการบนทกแฟม
ขนท 2. พมพชอแฟมตามทตองการเชน Findroot
CTOL 0.00001:=
x 1:=
y 1:=
Given
x y− 0
x2 y2+ 1
Find x y,( )0.707105443654304
0.707105443654304
= .
CTOL 0.0000001:=
x 1:=
y 1:=
Given
x y− 0
x2 y2+ 1
Find x y,( )0.707106776742374
0.707106776742374
= .
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathcad Mathcad – 84
ขนท 4. คลกท Save
จะเหนวา [Untitled: 1] กลายเปน [Findroot] แลว
4.8.1 การเรยกแฟมขอมลเกาขนมาทางาน
สมมตขณะนจอภาพของเราวาง
เนองจากเขามาส Mathcad ครงแรก
ขนท 1. คลกท File และเลอกคาสง Open
จะไดเมนยอยของการเปดแฟม
ขนท 2. พมพชอแฟมทตองการเปดคอ Findroot
ขนท 3. คลก Open จะไดแฟมขอมลทตองการ
หมายเหต คาสง File\New.. คาสง File\Save As.. คาสง File\Close.. มลกษณะใชงานเหมอนกบการทางาน
ทวไปของระบบ Windows
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad Mathcad – 85
บทท 5.
การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad
ในบทนจะเปนการนาคาสงตางของโปรแกรมสาเรจรป Mathcad มาใชในการเขยนโปรแกรมเพอเพม
ความสามารถในการคานวณใหมากขน แผนภมสายงานทใชในการคานวณเปนดงน
เรมตน ↓
กาหนดคาตางๆ ของตวแปร ↓
คานวณคาตางๆ ตามสตร ↓
แสดงผลการคานวณ ↓
จบการทางาน
โปรแกรมท 1. การหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดความยาวของดาน a, b, c
แนวคดของโปรแกรมภาษา Mathcad คอการนา คาสงกาหนดคา คาสงคานวณ มาประกอบกนเปนการทางาน
แบบโปรแกรม จากโปรแกรมท 1. เราสามารถจาแนกสวนของการทางานตางๆ ดงน
สวนของ INPUT คอ สวนประมวลผลคอ สวนแสดงผลคอ
Program 1. Find area of triangle
a 3:=b 4:=c 5:=
sa b+ c+
2:=
Area s s a−( )⋅ s b−( )⋅ s c−( )⋅:=
Area 6=
a 3:=b 4:=c 5:=
sa b+ c+
2:=
Area s s a−( )⋅ s b−( )⋅ s c−( )⋅:=Area 6=
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad Mathcad – 86
เมอเราเปลยนคา a, b, c ใหมกจะไดผลการคานวณใหมดงน
โปรแกรมท 2. การหาเมทรกซผกผน และ เมทรกซผกพนของ A
โปรแกรมท 3. การหารากท n ของจานวนเชงซอน
โปรแกรมท 4. การหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดพกดจดยอด 3 จด
หมายเหต ถา ( 1a , 1b ), ( 2a , 2b ), ( 3a , 3b ) เปนพกดจดยอดสามเหลยม
แลวพนทสามเหลยมเทากบ )bbaabbaadet()2
1(13131212
−−−−
a 5:=
b 12:=
c 13:=
sa b+ c+
2:=
Area s s a−( )⋅ s b−( )⋅ s c−( )⋅:=
Area 30=
Program 2. Find inverse and adjoint matrix of A
A1
5
2
9
:=
adjA A A 1−⋅:=
A 1−= A 1− 9−
5
2
1−
= adjA9
5−
2−
1
=
Program 3. Find root of complex number
ORIGIN 0:= a 81:= b 0:= i 1−:= z a b i⋅+:= n 4:= r z:=
θ arg z( ):= k 0 n 1−..:= αkθ 2 k⋅ π⋅+
n:= xk
n r cos αk( ) i sin αk( )⋅+( )⋅:=
xk
33i
-3
-3i
=k
01
2
3
=
Program 4. Find area of triangle
a1 0:= b1 0:= a2 5:= b2 0:= a3 0:= b3 12:= .
Area12
a2 a1−
a3 a1−
b2 b1−
b3 b1−
⋅:=
Area 30=
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad Mathcad – 87
โปรแกรมท 5. การหาคาเฉลย และ สวนเบยงเบนมาตรฐาน
โปรแกรมท 6. การหาระยะทางจากจด ( 0x , 0y ) ไปยงเสนตรง ax + by + c = 0
โปรแกรมท 7. การเขยนกราฟของ f(x) และ )x(f '
โปรแกรมท 8. การหาความนาจะเปน
มลกบอลทงหมด N = 20 ลก เปนสดา k = 5 ลก
หยบออกมาพรอมกน n = 4 ลก
P(x) = ความนาจะเปนทจะไดลกบอลสดา x ลกเทากบเทาใด
Program 5. Find mean and standard deviation
ORIGIN 1:=
x
2
5
7
11
15
:=n length x( ):=
i 1 n..:=
xbar1
n
i
xi∑=
n:= xbar 8= sd
1
n
i
xi( )2∑=
nxbar2−:= sd 4.561=
Program 6. Find distance from (xo,yo) to line ax+by+c = 0
a 3:= b 4:= c 10:= xo 2:= yo 5:=
distancea xo⋅ b yo⋅+ c+
a2 b2+
:= distance 7.2=
Program 8. Find Probability P(x)
C n r,( )n!
r! n r− !⋅:= N 20:= k 5:= n 4:= x 0 n..:= P x( )
C k x,( ) C N k− n x−,( )⋅
C N n,( ):=
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4
105
5101520
20
10−
f x( )
fpi x( )
45− x
Program 7. Graph of f(x) and f '(x)
f x( ) x2 4 x⋅+ 5−:= fpi x( )xf x( )d
d:=
x 5− 4.99−, 4..:=
x
01
2
3
4
= P x( )
0.28170.4696
0.2167
0.0310
0.0010
=
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad Mathcad – 88
โปรแกรมท 9. การคานวณในรปแบบการกระทาซา การหารากโดยวธของนวตน
การหารากของสมการ f(x) = 3x + 3 2x – 4x +6, 0x = 1 สตรการหารากคอ )x(f
)x(fxxn
'n
n1n −=+
โปรแกรมท 10. การคานวณคาเจาะจงและเวกเตอรเจาะจงของเมทรกซ
โปรแกรมท 11. การคานวณคาความยาวเสนโคง
การหาความยาวเสนโคง r(t) = (6 2t , 4 2 t, 3 4t ) จาก t = –1 ถง t = 2
โปรแกรมท 12. การหารากของพหนามระดบขน 2 เชนการหารากของสมการ 2x + 2x –3 = 0
Program 10. Find eigen value and eigen vector of A
A1
2
1
2
:= eigenvals A( )0
3
= eigenvec A 0,( )0.707−
0.707
= eigenvec A 3,( )0.447
0.894
=
Program 11. Find length of curve
t1 1−:= t2 2:= x t( ) 6 t2⋅:= y t( ) 4 2⋅ t3⋅:= z t( ) 3 t4⋅:=
t1
t2
tt
x t( )( )dd
2
ty t( )( )d
d
2+
tz t( )( )d
d
2+
⌠⌡
d 81=
Program 12. Find root of polynomial degree 2
a 1:= b 2:= c 3−:=
x1b− b2 4 a⋅ c⋅−−
2 a⋅:= x2
b− b2 4 a⋅ c⋅−+
2 a⋅:=
x1 3−= x2 1=
Program 9. Find root of f(x) = 0 using Newton's Method
ORIGIN 0:= f x( ) x3 3 x2⋅+ 4 x⋅− 6+:= fpi x( )
xf x( )d
d:= x0 4−:= n 0 10..:= .
xn 1+ xn
f xn( )fpi xn( )−:= n 1 5..:=
xn
-4.30000000-4.26739384
-4.26697468
-4.26697461
-4.26697461
=n
12
3
4
5
=
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad Mathcad – 89
โปรแกรมท 13. การหารากของพหนามระดบขน 3 เชนสมการ 3x – 6 2x + 3x + 10 = 0
เพราะฉะนนรากสมการคอ 5, –1, 2
โปรแกรมท 14. การหาพนทใตโคงปกตมาตรฐาน จาก z = a ถง z = b
โปรแกรมท 15. การหาสมการวงกลมทผานจด 3 จดทกาหนดให
จงหาสมการวงกลมทผานจด (3, –4), (3, 4), (4, 3)
Program 12. Find root of polynomial degree 3
ORIGIN 1:= i 1 3..:= p 6−:= q 3:= r 10:= a13
3 q⋅ p2−( )⋅:= b
127
2 p3⋅ 9 p⋅ q⋅− 27 r⋅+( )⋅:=
A
3b2
−b2
4a3
27++:= B
3b2
−b2
4a3
27+−:=
x1 A B+( )p3
−:= x1 5=
x2A B+
2
−A B−
2
3−⋅+
p3
−:= x2 1−=
x3A B+
2
−A B−
2
3−⋅−p3
−:= x3 2=
Program 14. Find area from z = a to z = b
a 1:= b 2:= f z( )1
2 π⋅e
z2
2−
⋅:= z 4− 3.99−, 4..:= t a a 0.06+, b..:=
P a b,( ) cnorm b( ) cnorm a( )−:= P a b,( ) 0.1359=
4 3 2 1 0 1 2 3 4
0.1
0.2
0.3
0.4
f z( )
f t( )
z t,
Program 15. Find circle
x2 y2+
25
25
25
x
3
3
4
y
4−
4
3
1
1
1
1
0 8− x2⋅ 8 y2
⋅− 200+ 0→ .
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathcad Mathcad – 90
สมการวงกลมทผานจด (3, –4), (3, 4), (4, 3) คอ 8− x2⋅ 8 y2
⋅− 200+ 0 .
จงหาสมการวงกลมทผานจด (1, 1), (1, –1), (–1, 1)
สมการวงกลมคอ 4− x2⋅ 4 y2
⋅− 8+ 0 .
โปรแกรมท 16. การหาสมการทรงกลมทผานจด 4 จดทกาหนดให
ตวอยาง จงหาทรงกลมทผาน 4 จดทกาหนดใหคอ (1, 2, 3), (–1, 2, 3), (1, –2, 3), (1, 2, –3)
สมการทรงกลมคอ 48 x2⋅ 48 y2
⋅+ 48 z2⋅+ 672− 0 .
ตวอยาง จงหาทรงกลมทผาน 4 จดทกาหนดใหคอ (1, 1, 1), (–1, 1, 1), (1, –1, 1), (1, 1, –1)
สมการทรงกลมคอ 8 x2⋅ 8 y2
⋅+ 8 z2⋅+ 24− 0 .
Program 15. Find circle
x2 y2+
2
2
2
x
1
1
1−
y
1
1−
1
1
1
1
1
0 4− x2⋅ 4 y2
⋅− 8+ 0→ .
Program 16. Find conic equation
x2 y2+ z2
+
14
14
14
14
x
1
1−
1
1
y
2
2
2−
2
y
3
3
3
3−
1
1
1
1
1
0 48 x2⋅ 48 y2
⋅+ 48 z2⋅ 672−+ 0→ .
Program 16. Find conic equation
x2 y2+ z2
+
3
3
3
3
x
1
1−
1
1
y
1
1
1−
1
y
1
1
1
1−
1
1
1
1
1
0 8 x2⋅ 8 y2
⋅+ 8 z2⋅ 24−+ 0→ .
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 91
บทท 6.
การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad
ในบทนจะเปนการนาความสามารถของโปรแกรมสาเรจรป MATHCAD มาใชในการคานวณเพอเสรมการ
เรยนการสอนคณตศาสตรระดบมธยมศกษาตอนปลายโดยจาแนกเนอหาคณตศาสตรตามระดบ ม.4 – ม.6
6.1 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 011
1. การคานวณเบองตน บวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลง และ การหารากท 2
2. การคานวณคาในรปแบบตาราง การกาหนดสตรฟงกชนและการคานวณคา
3. การเขยนกราฟฟงกชน
4. การเปลยนเลขฐาน 8 ฐาน 16 เปนเลขฐาน 10 และการคานวณ
5. การแยกตวประกอบพหนาม และการกระจายพหนาม
6. การหาคาตอบของสมการพหนาม
ตวอยางการคานวณ
1. การคานวณเบองตน บวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลง และ การหารากท 2
2. การคานวณคาในรปแบบตาราง การกาหนดสตรฟงกชนและการคานวณคา
3. การเขยนกราฟฟงกชน
3 4+ 7= 3 4− 1−= 3 4⋅ 12=34
0.75=
34 81= 3 1.732=5 32 2=
x 1 3..:= f x( ) x2:=
x
12
3
= x
1.00001.4142
1.7321
= f x( )
14
9
=
y
2
5
7
:= f y( )→
4
25
49
= y3→ 8
125
343
=
x 3− 2.99−, 3..:= f x( ) 2 x⋅ 3+:=
3 2 1 0 1 2 33
3
6
9
f x( )
x
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 92
4. การเปลยนเลขฐาน 8 ฐาน 16 เปนเลขฐาน 10
จากฐาน 8 เปนฐาน 10 32o 26=
จากฐาน 16 เปนฐาน 10 12h 18=
ตวอยางการคานวณหาผลบวกและผลคณ
5. การแยกตวประกอบ และ กระจาย พหนาม
6. การหาคาตอบของสมการพหนาม
6.2 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 012
1. การเขยนกราฟ วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา
2. การคานวณคาฟงกชนประกอบ
3. การเปลยนองศาเปนเรเดยน และ เรเดยนเปนองศา
4. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, sec, cosec, cot
5. กราฟของ sin, cos, tan, sec, cosec, cot
6. การหาคาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเรขาคณต และคาเฉลยฮารมอนก
ตวอยางการคานวณ
1. การเขยนกราฟ วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา
การเขยนกราฟของวงกลม (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
2h 2h+ 4= 8h 8h+ 16= 8h 9h+ 17= 12o 13h⋅ 190=
4o 4o+ 8= 5o 3o+ 8= 10h 10o+ 24= 12o 12h+ 12+ 40=
12 x3⋅ 16 x2
⋅+ 5 x⋅− 3− factor 2 x⋅ 3+( ) 2 x⋅ 1−( )⋅ 3 x⋅ 1+( )⋅→
2 x⋅ 3+( ) 2 x⋅ 1−( )⋅ 3 x⋅ 1+( )⋅ expand 12 x3⋅ 16 x2
⋅ 5 x⋅− 3−+→
3 2 1 0 1
10
5
5
10
1515
10−
f x( )
0
13− x
f x( ) 6 x3⋅ 11 x2
⋅+ 4 x⋅− 4−:=
x 3− 2.99−, 2..:=
t 0:=root f t( ) t,( ) 0.5−=
t 2:=
root f t( ) t,( ) 0.667=
x 2− 1.99−, 6..:=
y1 x( ) 3− 16 x 2−( )2−+:=
y2 x( ) 3− 16 x 2−( )2−−:=
4 2 0 2 4 6 8
8
6
4
2
22
8−
y1 x( )
y2 x( )
84− x
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 93
การเขยนกราฟของพาราโบลา y = 2x81
การเขยนกราฟของวงร 12
)1y(4
)2x( 22=
−+
+
การเขยนกราฟของไฮเพอรโบลา 14
x5
y 22=−
2. การคานวณคาฟงกชนประกอบ
3. การเปลยนองศาเปนเรเดยน และ เรเดยนเปนองศา
การเปลยน องศา เปน เรเดยน การเปลยน เรเดยน เปน องศา
x 4− 3.99−, 4..:=
y x( )18
x2⋅:=
4 2 0 2 41
1
2
33
1−
y x( )
44− x
x 4− 3.99−, 0..:=
y1 x( ) 1 2 1x 2+( )2
4−⋅+:=
y2 x( ) 1 2 1x 2+( )2
4−⋅−:=
5 4 3 2 1 0 1
2
1
1
2
3
44
2−
y1 x( )
y2 x( )
15− x
x 4− 3.99−, 4..:=
y1 x( ) 5 1x2
4+⋅:=
y2 x( ) 5− 1x2
4+⋅:=
4 2 0 2 4
6
4
2
2
4
66
6−
y1 x( )
y2 x( )
44− x
x 1 3..:= f x( ) x2 3+:= g x( ) 3 x⋅ 2+:=
x
12
3
= f x( )
47
12
= g x( )
58
11
= f g x( )( )
2867
124
= g f x( )( )
1423
38
=
degree 0 45, 90..:= radian degree( )degree
180π⋅:= .
degree
045
90
= radian degree( )
0.00000.7854
1.5708
=
radian 1 3..:= degree radian( )radianπ
180⋅:= .
radian
12
3
= degree radian( )
57.2958114.5916
171.8873
=
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 94
4. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, sec, cosec, cot
5. กราฟของ sin, cos, tan, sec, cosec, cot
6. การหาคาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเรขาคณต และคาเฉลยฮารมอนก
sinπ
3
0.866= cosπ
6
0.866= tanπ
4
1=
sin 30 deg⋅( ) 0.5= cos 45 deg⋅( ) 0.707= tan 30 deg⋅( ) 0.577=
sec π( ) 1−= cscπ
4
1.414= cotπ−
4
1−=
ORIGIN 1:=
x
2
3
5
10
:=AM
1
4
i
xi∑=
4:= GM
1
4
i
xi∏=
1
4
:= HM1
16
1
4
i
1xi
∑=
⋅
:=
AM 5= GM 4.162= HM 5.294=
x 2− π⋅ 2− π⋅ 0.001+, 2 π⋅..:=
6.28 3.14 0 3.14 6.28
1.51
0.5
0.51
1.5
sin x( )
x
6.28 3.14 0 3.14 6.28
1.51
0.5
0.51
1.5
cos x( )
x
6.28 3.14 0 3.14 6.28
5
5
tan x( )
x
6.28 3.14 0 3.14 6.28
531135
cot x( )
x
6.28 3.14 0 3.14 6.28
4
2
2
4
sec x( )
x
6.28 3.14 0 3.14 6.28
4
2
2
4
csc x( )
x
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 95
6.3 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 013
1. การคานวณคาเลขยกกาลง และ รปแบบของกรณฑ การจดรปแบบทางพชคณต
2. การเขยนกราฟของ y = xa และ y = xloga การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง
3. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตผกผน
4. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน
5. การคานวณเกยวกบเมทรกซ
ตวอยางการคานวณ
1. การคานวณคาเลขยกกาลง และ รปแบบของกรณฑ การจดรปแบบทางพชคณต
2. การเขยนกราฟของ y = xa และ y = logax การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง
หมายเหต log(x, 2) คอลอการทมฐาน 2
2 3+
2 3−9.899−=
2 3+
2 3−factor 5− 2 2
1
2⋅ 3
1
2⋅−→
12 27+ 3− 6.928= 12 27+ 3− factor 4 3
1
2⋅→
a3 b3+
a4 b4−
factora2 a b⋅− b2
+( )a b−( ) b2 a2
+( )⋅→
x 2− 1.99−, 4..:=
2 1 0 1 2 3 4
1
2
3
4
0.5x
x2 1 0 1 2 3 4
4
8
12
16
2x
x
3 2n⋅ 4 2n 2−
⋅−
2n 2n 1−−
expand 4→3 2n⋅ 4 2n 2−
⋅−
2n 2n 1−−
simplify 4→ .
x xx 0.1 0.11, 6..:=
0 1 2 3 4
4321
12
log x 2,( )
x
0 1 2 3 4
21
1234
log x1
2,
x
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 96
3. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตผกผน
4. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน
asin 1( ) 1.571= asin 1( ) 90deg= atan 1( ) 0.785= acsc 1( ) 1.571= acot 1−( ) 135deg=
acos 0.5( ) 1.047= asec 2( ) 1.047= asec 2( ) 60deg= acos 0.5( ) 1.047= asec 2( ) 1.047=
x 1− 0.99−, 1..:=
1 0.5 0 0.5 1
1.57
0.79
0.79
1.57
asin x( )
x1 0.5 0 0.5 1
1.57
3.14
acos x( )
xx 10− 9.99−, 10..:=
10 5 0 5 10
1.57
0.79
0.79
1.57
atan x( )
x10 5 0 5 10
0.79
1.57
2.36
3.14
acot x( )
x
x 10− 9.99−, 10..:=
10 5 0 5 10
1.57
0.79
0.79
1.57
acsc x( )
x10 5 0 5 10
0.79
1.57
2.36
3.14
asec x( )
x
x 1 4..:=x
12
3
4
= log x( )
00.301
0.477
0.602
= log x 2,( )
0.00001.0000
1.5850
2.0000
= 2x
24
8
16
= 0.2x
0.20000.0400
0.0080
0.0016
=
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 97
5. การคานวณเกยวกบเมทรกซ
การบวกเมทรกซ การคณเมทรกซ สเกลารคณเมทรกซ เมทรกซสลบเปลยน คากาหนดของเมทรกซ
การหาผลเฉลยของระบบสมการโดยใชกฎคราเมอร
2x + 3y = 2
5x + 8y = 1
การหาผลเฉลยของระบบสมการโดยใชคาสง Given...Find
2x + 3y = 2
5x + 8y = 1
การดาเนนการเบองตนกบเมทรกซหรอการแปลงแถวของเมทรกซ
แถวท 2 ถกบวกดวย แถวท 1 สลบกบแถวท 2 คาคงตว 10 คณแถวท 2
–2 เทาของแถวท 1
6.4 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 014
1. การบวกและลบเวกเตอร สเกลารคณเวกเตอร ผลคณเชงสเกลาร ขนาดของเวกเตอร
2. มมระหวางของสองเวกเตอร เวกเตอรหนงหนวยในทศทางแกน X และ แกน Y และ แกน Z
3. การบวกและลบจานวนเชงซอน คาสมบรณ อารกวเมนต สวนจรง และ สวนจนตภาพของจานวนเชงซอน
4. การหารากท n ของจานวนเชงซอน
5. การหาเฉลยเลขคณตและคาความแปรปรวน
6. การหาพนทใตโคงปกต
A2
5
3
8
:= B5
4
8
7
:= A 1= AT 2
3
5
8
=
A B+7
9
11
15
= A B⋅22
57
37
96
= 4 A⋅8
20
12
32
= A 1− 8
5−
3−
2
=
x
1
2
3
8
2
5
3
8
:= x 2= y
2
5
1
2
2
5
3
8
:= y 1−=
x 0:= y 0:= Given 2 x⋅ 3 y⋅+ 1
5 x⋅ 8 y⋅+ 2 Find x y,( )2
1−
=
ORIGIN 1:= i 1 2..:= j 1 2..:= .
A2
5
3
8
:=
A 1 j,( ) 4 A 1 j,( )⋅:=
A8
5
12
8
=
ORIGIN 1:= i 1 2..:= j 1 2..:=.
A2
5
3
8
:=
tempj A 1 j,( ):=
A 1 j,( ) A 2 j,( ):=
A 2 j,( ) tempj:=
A5
2
8
3
=
ORIGIN 1:= i 1 2..:= j 1 2..:=.
A2
5
3
8
:=
A 2 j,( ) A 2 j,( ) 2−( ) A 1 j,( )⋅+:=
A2
1
3
2
=
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 98
ตวอยางการคานวณ
1. การบวกและลบเวกเตอร สเกลารคณเวกเตอร ผลคณเชงสเกลาร ขนาดของเวกเตอร
2. มมระหวางของสองเวกเตอร เวกเตอรหนงหนวยในทศทางแกน X และ แกน Y และ แกน Z
3. การบวกและลบจานวนเชงซอน คาสมบรณ อารกวเมนต สวนจรง และ สวนจนตภาพของจานวนเชงซอน
4. การหารากท n ของจานวนเชงซอน
5. การหาเฉลยเลขคณตและคาความแปรปรวน
u3
4
:= v5
12
:= u v+8
16
= 4 u⋅12
16
= u v⋅ 63= u 5=
i1
0
:= j0
1
:= u 3 i⋅ 4 j⋅+:= u3
4
= u 5= 4 u⋅12
16
=
i 1−:= z 3 4 i⋅+:= w 5 12 i⋅+:= z w+ 8 16i+= z w⋅ 33− 56i+= z 5=
zw
0.101 0.041i−= arg z( ) 0.785= arg z( ) 45deg= Re w( ) 5= Im w( ) 12=
z 16−:= r z:= θ arg z( ):= k 0 3..:= x k( ) 4 r cosθ 2 k⋅ π⋅+
4
i sinθ 2 k⋅ π⋅+
4
⋅+
⋅:=
k
01
2
3
= x k( )
1.414+1.414i-1.414+1.414i
-1.414-1.414i
1.414-1.414i
=
x
2
3
5
10
:= mean x( ) 5= median x( ) 4= stdev x( ) 3.082= var x( ) 9.5=
u1
0
:= v1
1
:= angle acosu v⋅
u v⋅
:= angle 0.7854= angle 45deg= .
i
1
0
0
:= j
0
1
0
:= k
0
0
1
:= u 2 i⋅ 3 j⋅+ 6 k⋅+:= v 3 i⋅ 2− j⋅+ 6 k⋅+:= .
v
3
2−
6
= u
2
3
6
= u 7= u v×
30
6
13−
= u v⋅ 36=
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 99
6. การหาพนทใตโคงปกต
หมายเหต cnorm(k) = พนทใตโคงปกตตงแต -∞ ถง k
P(a, b) = cnorm(b) – cnorm(a) = พนทใตโคงปกตตงแต a ถง b
6.5 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 015
1. กราฟของลาดบ และการหาลมตของลาดบ
2. การหาผลบวกของอนกรม และ สตรผลบวกของอนกรม
3. การหาลมตของฟงกชน อนพนธของฟงกชนโดยใชนยามลมต
4. การหาอนพนธของฟงกชนเปนสตร และ อนพนธอนดบสง
5. การเขยนกราฟของ f, f′ 6. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล และ การหาพนทใตโคง
ตวอยางการคานวณ
1. กราฟของลาดบ และการหาลมตของลาดบ
2. การหาผลบวกของอนกรม และ สตรผลบวกของอนกรม
z 4− 3.99−, 4..:= t 0 .04, 2..:=
f z( )1
2 π⋅e
z2
2−
⋅:=
4 3 2 1 0 1 2 3 4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5.5
0
f z( )
f t( )
44− z t,
n 1 30..:=
an 11−( )n
n+:=
0 5 10 15 20 25 301
1
22
1−
an
300 n
cnorm 1( ) 0.8413= cnorm 2( ) 0.9772=
P a b,( ) cnorm b( ) cnorm a( )−:=.P 1 2,( ) 0.1359= P 0 2,( ) 0.4772= P 0 1,( ) 0.3413=
∞n1
1−( )n
n+lim
→1→
∞n
2 n⋅ 1+
3 n⋅ 3−lim→
23
→∞n
2 n2⋅ 1+
n2 3−lim→
2→ .
1
10
i
i∑=
55=
1
10
i
i2∑=
385=
1
10
i
2 i⋅ 3+( )2∑=
2290= .
1
n
i
i∑=
12
n 1+( )2⋅
12
n⋅−12
−→
1
n
i
i∑=
factor12
n⋅ n 1+( )⋅→
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 100
3. การหาลมตของฟงกชน อนพนธของฟงกชนโดยใชนยามลมต
4. การหาอนพนธของฟงกชนเปนสตร และ อนพนธอนดบสง
5. การเขยนกราฟของ f, f′
6. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล
และ การหาพนทใตโคง
1x2 x⋅ 1+lim
→3→
1x
x2 1−
x 1−lim→
2→0x
xx
lim+→
1→0x
25 x+ 5−
xlim
−→
110
→
x 3− 2.99−, 7..:= f x( ) x3 6 x2⋅− x− 30+:= t 1 1.05, 2..:=
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
20
10
40
f x( )
f t( )
x t,
1
2xf x( )
⌠⌡
d 18.25=
3
5xf x( )
⌠⌡
d 8=
1
t
xx2 x+ 1+( )⌠⌡
d13
t3⋅12
t2⋅+ t116
−+→0
t
xx x2 1+⋅⌠⌡
d13
t2 1+( )3
2⋅
13
−→
1
n
i
i2∑=
13
n 1+( )3⋅
12
n 1+( )2⋅−
16
n⋅+16
+→
1
n
i
i2∑=
factor16
n⋅ n 1+( )⋅ 2 n⋅ 1+( )⋅→ .
0h
x h+( )2 x2−
hlim→
2 x⋅→0h
x h+( )3 x3−
hlim→
3 x2⋅→
xx2d
d2 x⋅→
xx3d
d3 x2⋅→ 2x
x3d
d
26 x⋅→ .
0
4xx
⌠⌡
d 8=0
3
xx2 2+( )⌠⌡
d 15= xx⌠⌡
d12
x2⋅→ xx2 2+
⌠⌡
d13
x3⋅ 2 x⋅+→ .
x 4− 3.99−, 4..:= f x( ) 2 x3⋅ 3 x2
⋅+ 12 x⋅− 7−:= .
4 2 0 2 420
20
4060
80100120
f x( )
xf x( )d
d
x
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 101
6.6 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 016
1. การคานวณ n!, rn P , r
n C และ การกระจายทวนาม
2. กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล
3. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล
3.1 การหาคา m และ c จากสมการปกต และ ใชฟงกชนสาเรจรปของ Mathcad
3.2 กราฟของขอมลและสมการแสดงความสมพนธ y = mx + c
ตวอยางการคานวณ
1. การคานวณ n!, rn P , r
n C และ การกระจายทวนาม
2. กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล
3. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล
n 5:= r 1 n..:= nPr n r,( )n!
n r−( )!:= nCr n r,( )
n!r! n r−( )!⋅
:=
r
12
3
4
5
= r!
12
6
24
120
= nPr n r,( )
520
60
120
120
= nCr n r,( )
510
10
5
1
=
a b+( )3 expand a3 3 a2⋅ b⋅+ 3 a⋅ b2
⋅+ b3+→
a b+( )4 expand a4 4 a3⋅ b⋅+ 6 a2
⋅ b2⋅+ 4 a⋅ b3
⋅+ b4+→
a b+( )5 expand a5 5 a4⋅ b⋅+ 10 a3
⋅ b2⋅+ 10 a2
⋅ b3⋅+ 5 a⋅ b4
⋅+ b5+→
2 x⋅ y+( )5 expand 32 x5⋅ 80 x4
⋅ y⋅+ 80 x3⋅ y2
⋅+ 40 x2⋅ y3
⋅+ 10 x⋅ y4⋅+ y5
+→
ORIGIN 1:= i 1 5..:=
x
2
3
5
12
18
:= y
22
32
55
64
92
:=
0 5 10 15 20
20406080
100100
0
yi
200 xi
1
5
i
xi∑=
40=
1
5
i
xi( )2∑=
506=
1
5
i
yi∑=
265=
1
5
i
yi( )2∑=
17093=
1
5
i
xi yi⋅∑=
2839=
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 102
3.1 การหาคา m และ c จากสมการปกต
การหาคา m และ c โดยใชฟงกชนสาเรจรปของ Mathcad
3.2 กราฟของขอมลและสมการแสดงความสมพนธ y = mx + c
6.7 Mathcad กบการเฉลยขอสอบคณตศาสตร Entrance
ในหวขอนจะเปนการนาความสามารถของ Mathcad เขามาชวยหาคาตอบของขอสอบ Entrance ซงมขอสอบ
Entrance เปนจานวนมากทเราอาจจะหาคาตอบไดดวยการแทนคา คานวณคา หรอแมแตเขยนกราฟดกจะได
คาตอบ
ขอสอบคณตศาสตร 1. มนาคม 2546 ขอ 18.
0x
lim→ 3x
1 [ x1+ – x1− – )x1)(x1( 2−+ + )x1)(x1( 2−− ] มคาเทากบขอใดตอไปน
1. 0 2. 41
3. 21 4. 1
การคานวณดวย Mathcad
เพราะฉะนนตอบขอ 3.
m 0:= c 0:= Given 5 c⋅ 40 m⋅+ 26540 c⋅ 506 m⋅+ 2839
Find m c,( )3.866
22.075
=
m slope x y,( ):= m 3.866=
c intercept x y,( ):= c 22.075=
t 0 0.1, 20..:= ycap t( ) m t⋅ c+:=
0 5 10 15 20
20
40
60
80
100
yi
ycap t( )
xi t,
0x
1
x31 x+ 1 x−− 1 x+( ) 1 x2
−( )⋅− 1 x−( ) 1 x2−( )⋅+ ⋅lim
→
12
→
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 103
ขอสอบคณตศาสตร 2. มนาคม 2546 ขอ 11.
ถา xsin1
1−
+ xsin1
1+
= 8 โดยท π < x < 2
3π แลว sin x + cos2x + tan3x มคาเทากบขอใดตอไปน
1. 2
13 − 2. 2
13 +
3. 2
13 −− 4. 2
13 +−
การคานวณดวย Mathcad
เพราะฉะนนตอบขอ 3.
ขอสอบคณตศาสตร 1. มนาคม 2545 ขอ 2. 2sin− 1 + 2sin2 – 3sin2 + ... – 89sin2 + 90sin2 มคาเทากบเทาใด
การคานวณดวย Mathcad
เพราะฉะนน 2sin− 1 + 2sin2 – 3sin2 + ... – 89sin2 + 90sin2 มคาเทากบ 0.5
ขอสอบคณตศาสตร 2. มนาคม 2545 ขอ 12.
คาของ 1
47tan
23eccos
43tan
67sec
37sin4
−π
ππ+ππ เทากบขอใดตอไปน
1. 25− 2.
23−
3. 23 4.
25
การคานวณดวย Mathcad
เพราะฉะนนตอบขอ 3.
TOL 0.000001:= x π:= root1
1 sin x( )−
11 sin x( )+
+ 8− x,
240deg=
x root1
1 sin x( )−
11 sin x( )+
+ 8− x,
:=
x 240deg=
sin x( ) cos 2 x⋅( )+ tan 3 x⋅( )+ 1.366−=
3 1−
20.366=
3 1+
21.366=
3− 1−
21.366−=
3− 1+
20.366−=
1
90
n
1−( )n sin n deg⋅( )2⋅∑
=
0.5=
4sin7 π⋅
3
sec7 π⋅
6
⋅ tan3 π⋅
4
csc3 π⋅
2
⋅+
tan7 π⋅
4
1−
1.5=
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathcad Mathcad – 104
ขอสอบคณตศาสตร 1. ตลาคม 2545 ขอ 22.
กาหนดให f(x) = 2x – 2 | x | และ g(x) = 2x + 1
( fg )′(–3) + ( gf )′(3) เทากบขอใดตอไปน
1. –132 2. –84
3. 84 4. 132
การคานวณดวย Mathcad
เพราะฉะนน ( fg )′(–3) + ( gf )′(3) = –24 + 108 = 84
ขอสอบคณตศาสตร 2. ตลาคม 2545 ขอ 8.
ให x เปนจานวนจรง ซง 0 ≤ x ≤ 2π
ชวงททาให sec x – tan x > 0 และ sec x + tan x > 0 คอชวงในขอใดตอไปน
1. (0, π) 2. (2π ,
23π )
3. (0, 2π ) ∪ (π,
23π ) 4. (0,
2π ) ∪ (
23π , 2π)
การคานวณดวย Mathcad
เพราะฉะนน ชวงททาให sec x – tan x > 0 และ sec x + tan x > 0 คอ (0, 2π ) ∪ (
23π , 2π)
f x( ) x2 2 x⋅−:=
g x( ) x2 1+:=
x 3−:=xg f x( )( )d
d24−=
x 3:=xf g x( )( )d
d108=
x 0 0.001, 2 π⋅..:=
10
10
sec x( ) tan x( )−
sec x( ) tan x( )+
x
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 105
บทท 7.
การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad
ในระดบอดมศกษามปญหาทางดานการคานวณมากมาย หากนกเรยนนสต นกศกษา หรอ ผสอน ไดนา
ความสามารถของโปรแกรมสาเรจรป Mathcad มาใชในการคานวณจะทาใหเกดประโยชนอยางมาก ในบทท 7
จงนา Mathcad มาเสรมการคานวณคณตศาสตรระดบอดมศกษาจาแนกเปนกลมตางๆ ดงน
1. แคลคลส 2. สมการเชงอนพนธ 3. การวเคราะหเชงตวเลข
4. พชคณตเชงเสน 5. สถตและความนาจะเปน 6. คณตศาสตรขนสง
7.1 เสรมการคานวณแคลคลสดวย Mathcad
7.1.1 การคานวณคาลมต
7.1.2 การคานวณอนพนธ ผลการคานวณเปนสตร และ ผลการคานวณเปนตวเลข
0x
x 4+ 2−
xlim→
simplify14
→0h
1h
12 h+
12
−
⋅lim→
simplify1−
4→
0x
x sin x( )⋅
1 cos x( )−lim
+→simplify 2→
2−x
x2 1−
2 x⋅ 4+lim
+→simplify ∞→
∞x
x2 4+
x 4+lim→
simplify 1→2−x
x2 1−
2 x⋅ 4+lim
−→simplify ∞−→
xx3 x2
+ 1+( )dd
simplify 3 x2⋅ 2 x⋅+→
xx sin x( )⋅d
dsimplify sin x( ) x cos x( )⋅+→
x 1:= f x( ) x3 x2+ 1+:=
xf x( )d
d5= 2x
f x( )d
d
28=
x2 x2⋅ y3
⋅ x3+( )d
d4 x⋅ y3
⋅ 3 x2⋅+→
y2 x2⋅ y3
⋅ x3+( )d
d6 x2⋅ y2
⋅→
x x2 x2⋅ y3
⋅ x3+( )d
d
dd
4 y3⋅ 6 x⋅+→
y y2 x2⋅ y3
⋅ x3+( )d
d
dd
12 x2⋅ y⋅→
x y2 x2⋅ y3
⋅ x3+( )d
d
dd
12 x⋅ y2⋅→
y x2 x2⋅ y3
⋅ x3+( )d
d
dd
12 x⋅ y2⋅→
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 106
7.1.3 การคานวณปรพนธ ผลการคานวณเปนสตร และ ผลการคานวณเปนตวเลข
7.1.4 กราฟของฟงกชน f, f′ และ f′′
7.1.5 การหาผลบวกรมนน (Riemann sum) เชนผลบวกรมนนของ f(x) = 2x – 4x + 6 บนชวง [1, 3]
7.1.6 การแทนฟงกชนดวยพหนามเทยเลอร
อนกรมเทยเลอรของฟงกชน sin(x)
x 4− 3.999−, 4..:= f x( ) x3 x2− 4 x⋅− 4+:=
4 3 2 1 0 1 2 3 4
30
20
10
10
20
30
40
f x( )
xf x( )d
d
x
4 3 2 1 0 1 2 3 4
30
20
10
10
20
30
40
f x( )
xf x( )d
d
2xf x( )d
d
2
x
sin x( ) series x, 5, 1 x⋅16
x3⋅−→ sin x( ) series x, 6, 1 x⋅
16
x3⋅−
1120
x5⋅+→
f x( ) x2 4 x⋅− 6+:= n 10:=
a 1:= b 3:= i 1 n..:=
hb a−
n:= x0 a:= xi xi 1− h+:=
S
1
n
i
f xi( ) xi xi 1−−( )⋅∑=
:=
S 4.68=
f x( ) x2 4 x⋅− 6+:= n 100:=
a 1:= b 3:= i 1 n..:=
hb a−
n:= x0 a:= xi xi 1− h+:=
S
1
n
i
f xi( ) xi xi 1−−( )⋅∑=
:=
S 4.6668=
0
3
xx2⌠⌡
d 9=0
πxsin x( )
⌠⌡
d 2=1
t
xx2⌠⌡
d13
t3⋅13
−→
xx2⌠⌡
d simplify13
x3⋅→ xsin x( )
⌠⌡
d simplify cos x( )−→ xln x( )⌠⌡
d x ln x( )⋅ x−→ .
yxx2 y⋅⌠⌡
d⌠⌡
d16
x3⋅ y2
⋅→0
t
y0
s
xx2 y⋅⌠⌡
d⌠⌡
d16
t2⋅ s3⋅→
0
3
y0
2
xx2y⌠⌡
d⌠⌡
d 12=
a
bxf x( )
⌠⌡
d 4.667= .
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 107
อนกรมเทยเลอรของฟงกชน cos(x)
อนกรมเทยเลอรของฟงกชน arctan(x)
อนกรมเทยเลอรของฟงกชน f(x) = 2x11+
7.1.7 การกาหนดคา ฟงกชนทนยามตางกนเปนเปนชวงๆ และการเขยนกราฟ
ตวอยาง f(x) =
<≤<≤
4x232x0x
ตวอยาง f(x) =
≤<≤<≤
x4,44x2,x2x0,2
7.1.8 การเขยนกราฟในพกดเชงขว ตวอยางเชนกราฟของ r = 4cos2θ และ r = 5sinθ
0
45
90
135
180
225
270
315
543210
5
04 cos 2 θ⋅( )⋅
θ
0
45
90
135
180
225
270
315
6420
6
05 sin θ( )⋅
θ
f x( ) if x 2< x, 3,( ):= x 0 4..:= x
01
2
3
4
= f x( )
01
3
3
3
=
f x( ) if x 2< 2, if x 4< x, 4,( ),( ):=
x 1 5..:= x
12
3
4
5
= f x( )
22
3
4
4
=
1
1 x2+
series x, 5, 1 1 x2⋅− 1 x4
⋅+→1
1 x2+
series x, 7, 1 1 x2⋅− 1 x4
⋅ 1 x6⋅−+→ .
atan x( ) series x, 5, 1 x⋅13
x3⋅−→ atan x( ) series x, 7, 1 x⋅
13
x3⋅−
15
x5⋅+→ .
cos x( ) series x, 3, 112
x2⋅−→ cos x( ) series x, 5, 1
12
x2⋅−
124
x4⋅+→ .
x 0 0.01, 5..:=
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
f x( )
x
x 0 0.01, 5..:=
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
f x( )
x
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 108
7.1.9 การเขยนกราฟ 3 มต เชน กราฟของ z = 2x – 2y
7.1.10 การเขยนกราฟของสวนโคง
เชนเสนโคงทเปนรอยทางของ r(t) = (t, 2t ) บนชวง 0 < t < 2
7.1.11 การหาพนทระหวางเสนโคง
เชน การหาพนทระหวาง f(x) = 2x + x – 1 และ g(x) = 4x + 3
7.1.12 การคานวณคาความยาวสวนโคง ตวอยางเชน
การหาความยาวเสนโคง r(t) = (6 2t , 4 2 3t , 3 4t ), –1 < t < 2
คานวณโดยตรง
หรอใชสตร
3 2 1 0 1 2 3 4 55
5
10
15
2020
5−
f x( )
g x( )
53− x
t 0 0.01, 2..:= x t( ) t:= y t( ) t2:=
1−
2
tt
6 t2⋅( )dd
2
t4 2⋅ t3⋅( )d
d
2+
t3 t4⋅( )d
d
2+
⌠⌡
d 81=
x t( ) 6 t2⋅:= y t( ) 4 2⋅ t3⋅:= z t( ) 3 t4⋅:=
1−
2
tt
x t( )( )dd
2
ty t( )( )d
d
2+
tz t( )( )d
d
2+
⌠⌡
d 81=
0 1 2
123455
0
y t( )
20 x t( )
x 2− 1.9−, 2..:=
y 2− 1.9−, 2..:=
f x y,( ) x2 y2−:=
f
.
f x( ) x2 x+ 1−:= g x( ) 4 x⋅ 3+:= x 3− 2.99−, 5..:= .
x 0:= root f x( ) g x( )− x,( ) 1−=
x 5:= root f x( ) g x( )− x,( ) 4=
1−
4xg x( ) f x( )−( )
⌠⌡
d 20.833=
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 109
7.2 เสรมการคานวณเกยวกบสมการเชงอนพนธดวย Mathcad
7.2.1 กราฟของการเคลอนทแบบซมเปลฮารมอนก
7.2.2 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสน
ตวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการ dxdy – 2xy = x
สมการเชงเสน dxdy + P(x)y = Q(x) มสตรผลเฉลย y = ∫ ∫∫− C) + dx)x(Qe(e
dx)x(Pdx)x(P
เพราะวา P(x) = –2x และ Q(x) = x เพราะฉะนนผลเฉลยดวยการคานวณของ Mathcad คอ
7.2.3 การหารอนสเกยน ตวอยางเชนการหารอนสเกยนของ x xe , 2x xe
เพราะฉะนน W(x xe , 2x xe : x) = 2x x2e
7.2.4 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ
ตวอยาง กาหนดสมการเชงอนพนธ 2
2
dxyd + 3 dx
dy – 4y = 0 และ y(0) = 1, y′(0) = –5
จงหาคาของ y(1)
หมายเหต สญลกษณ ′ ใน Mathcad ทใชในการพมพ
.
y' 0( ) 5− ไดจากการพมพ <Ctrl>+F7
0 2 4 6 8 10
5
3
1
1
3
5
5−
5
x t( )
0
100 t
x t( ) 4 sin 3 t⋅π
3+
⋅:= t 0 0.001, 10..:= .
e
x2− x⋅⌠⌡
d−
xe
x2− x⋅⌠⌡
d
x( )⋅
⌠⌡
d C+
⋅ expand1−
2exp x2( ) C⋅+→ .
x ex⋅
xx ex⋅d
d
x2 ex⋅
xx2 ex⋅d
d
x2 exp x( )2⋅→
Given
2xy x( )d
d
23
xy x( )d
d⋅+ 4 y x( )⋅+ 0
y' 0( ) 5−
y 0( ) 1
y Odesolve x 3,( ):=
y 1( ) 0.518−=
0 1 2 3
1
0.5
0.5
11
1−
y x( )
30 x
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 110
7.2.5 การหาผลการแปลงลาปลาซ และ ผลการแปลงลาปลาซผกผน
7.2.6 การหาผลเฉลยเชงตวเลขของสมการเชงอนพนธดวยวธของออยเลอร (Euler’s method)
ตวอยางเชนกาหนด y′ = 1 + x และ y(0) = 1 จงหาคาประมาณของ y(1)
สตรของออยเลอร ny = 1ny − + hf( 1nx − , 1ny − ) เมอ f(x, y) = y′, 0x = 0, 0y = 1
หมายเหต สมการ y′ = 1 + x และ y(0) = 1 มผลเฉลย y(x) = x + 2x2
+ 1 และ y(1) = 2.5
7.3 เสรมการคานวณเกยวกบการวเคราะหเชงตวเลขดวย Mathcad
7.3.1 การประมาณเสนโคง y(x) ทผานจด ( 1x , 1y ), ( 2x , 2y ), ... , ( nx , ny )
จงหาสมการเสนโคง y(x) ทผานจด (3, 4), (6, 13), (8, 6), (11, 10), (15, 13) และ (17, 18)
การคานวณดวย Mathcad แบบท 1.
การคานวณดวย Mathcad แบบท 2. ใชคาสง lspline, pspline, cspline และ interp
หมายเหต lspline, pspline, cspline และ interp เปนฟงกชนสาเรจรปทใชประมาณเสนโคงเมอกาหนดจดผาน
0 2 4 6 8 10
5
3
1
1
3
5
5−
5
x t( )
0
100 t
ORIGIN 1:= i 1 6..:= t 0 0.1, 20..:=
x
3
6
8
11
15
17
:= y
4
13
6
10
13
18
:= m slope x y,( ):=
c intercept x y,( ):=
liney x( ) m x⋅ c+:=
0 5 10 15 20
5
10
15
2020
0
yi
liney t( )
200 xi t,
Vs lspline x y,( ):=
liney t( ) interp Vs x, y, t,( ):=
0 5 10 15 20
5
10
15
20
yi
liney t( )
xi t,
Vs pspline x y,( ):=
liney t( ) interp Vs x, y, t,( ):=
0 5 10 15 20
5
10
15
20
yi
liney t( )
xi t,
Vs cspline x y,( ):=
liney t( ) interp Vs x, y, t,( ):=
0 5 10 15 20
5
10
15
20
yi
liney t( )
xi t,
t2 et⋅ laplace t,
2
s 1−( )3→ sin t( ) laplace t,
1
s2 1+( )→
2
s 1−( )3invlaplace s, t2 exp t( )⋅→
1
s2 1+invlaplace s, sin t( )→ .
f x y,( ) 1 x+:= x0 0:= y0 1:= c 1:= n 10000:= i 1 n..:= hc x0−
n:=
xi xi 1− h+:= yi yi 1− h f xi 1− yi 1−,( )⋅+:= yn 2.49995=
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 111
7.3.2 การหารากของสมการ
ตวอยาง การหาราก 2x – 5 = 0
เพราะฉะนนรากสมการ 2x – 5 = 0 คอ x = 2.23607, –2.23607
การหารากของสมการ sinx – cosx = 0
เพราะฉะนนรากสมการ sinx – cosx = 0
คอ x = 0.785398 เรเดยน หรอ x = 45 องศา
7.3.3 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน และ ไมเชงเสน
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ
x + y + z = 12 2x + 2y = 25
x – y + z = 4 x + y = 7
x + y – z = 2 การคานวณดวย Mathcad
การคานวณดวย Mathcad
เพราะฉะนน x = 4, y = 3
เพราะฉะนน x = 3, y = 4, z = 5
7.3.4 การประมาณคา y(c) เมอกาหนด )y,x(fdxdy
= และผานจด ( 0x , 0y )
โดยวธของออยเลอรทปรบปรงแลวทมสตร 1ny + = ny + 2h (f( nx , ny )+ f( 1nx + , ny + hf( nx , ny ))
เมอ h = nxc 0− , 1nx + = nx + h
จงหาคาประมาณคา y(1) เมอกาหนด yxdxdy
+= และผานจด (0, 0)
หมายเหต ผลเฉลยแทจรงคอ y(x) = xe – x – 1 เพราะฉะนนคาจรง y(1) = 0.718282
7.4 เสรมการคานวณเกยวกบพชคณตเชงเสนดวย Mathcad
7.4.1 การคานวณเกยวกบเมทรกซ
f x( ) x2 5−:= x 2.5:= root f x( ) x,( ) 2.23607=
x 2.5−:= root f x( ) x,( ) 2.23607−=
A3
4
5
6
:= B4
6
7
8
:= A B+7
10
12
14
= A B⋅42
52
61
76
= A 1− 3−
2
2.5
1.5−
= A 2−=
TOL 0.000001:= x 0:= root sin x( ) cos x( )− x,( ) 0.785398= .
root sin x( ) cos x( )− x,( ) 45deg=
x 0:= y 0:= z 0:=
Given x y+ z+ 12
x y− z+ 4
x y+ z− 2
Find x y, z,( )
3
4
5
=
x 0:= y 0:=
Given x2 y2+ 25
x y+ 7
Find x y,( )4
3
=
ORIGIN 0:= f x y,( ) x y+:= x0 0:= y0 0:= c 1:= n 1000:=
hc x0−
n:= i 1 n..:= xi xi 1− h+:= i 0 n 1−..:=
yi 1+ yih2
f xi yi,( ) f xi 1+ yi h f xi yi,( )⋅+,( )+( )⋅+:= yn 0.718281= .
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 112
7.4.2 การหาผลเฉลยของระบบสมการ ตวอยางเชน การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 3y = 10
4x – 5y = –2
การคานวณดวย Mathcad
7.4.3 การหาคาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจง
ตวอยางเชน การหาคาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจง ของ A =
3104
7.4.4 การหาสมการลกษณะเฉพาะของเมทรกซ ตวอยาง การหาสมการลกษณะเฉพาะของ A =
4231
การคานวณดวย Mathcad
7.4.5 การแปลงแถวเมทรกซ
แบบท 1. แถวท 1 คณดวย –2
แบบท 2. สลบแถว 1 กบ 2
แบบท 3. แถว 1 ถกบวกดวย 5 เทา ของแถวท 2
7.4.6 การแปลงเชงเสน
ตวอยาง การหาผลการแปลงเชงเสน T(x, y, z) = (–2y – 6z, 3y + 7z, x – 2y – 5z )
7.4.7 การหามลฐานเชงตงฉากปกตของ 3R โดยใชกระบวนการของ Gram - Schmidt
ตวอยาง กาหนดมลฐาน { 1v =
111
, 2v =
110
, 3v =
100
} การคานวณดวย Mathcad มขนตอนดงน
x 0:= y 0:= Given 2 x⋅ 3 y⋅+ 10
4 x⋅ 5 y⋅− 2−
Find x y,( )2
2
=
A4
1
0
3
:= eigenvals A( )3
4
= eigenvec A 3,( )0
1
= eigenvec A 4,( )0.707
0.707
=
A1
2
3
4
:=1 λ−
2
3
4 λ−
0 2− 5 λ⋅− λ2
+ 0→
ORIGIN 1:= i 1 2..:= j 1 2..:=
A1
3
2
4
:= A 1 j,( ) A 1 j,( ) 5 A 2 j,( )⋅+:= A16
3
22
4
=
ORIGIN 1:= i 1 2..:= j 1 2..:=
A1
3
2
4
:= Tempj A 1 j,( ):= A 1 j,( ) A 2 j,( ):= A 2 j,( ) Tempj:= A3
1
4
2
=
T x y, z,( )
0
0
1
2−
3
2−
6−
7
5−
x
y
z
⋅:= T 1 0, 0,( )
0
0
1
= T 0 1, 0,( )
2−
3
2−
= T 0 0, 1,( )
6−
7
5−
=
ORIGIN 1:= i 1 2..:= j 1 2..:=
A1
3
2
4
:= A 1 j,( ) 2− A 1 j,( )⋅:= A2−
3
4−
4
=
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 113
เพราะฉะนนมลฐานเชงตงฉากปกตคอ { 1u =
577.0577.0577.0
, 2u =
−
408.0408.0816.0
, 3u =
−
707.0707.00
}
7.4.8 การหาสมการภาคตดกรวยทผานจดทกาหนดให
การหาสมการเสนตรงทผานจด (1, 2) และ (4, 5)
การคานวณดวย Mathcad
สมการเสนตรงคอ –2x + 3y – 7 = 0
การหาสมการพาราโบลาทผานจด (-1, 2), (2, 5) และ (4, 10)
การคานวณดวย Mathcad
เพราะฉะนนสมการพาราโบลาคอ
27x – 30y + 3 2x + 84 = 0
หรอ
54x – 75y + 3 2y + 192 = 0
การหาสมการวงกลมทผานจด (3, 4), (-3, 4) และ (-4, 3)
การคานวณดวย Mathcad
สมการวงกลมคอ –50 2x –50 2y + 1250 = 0
v1
1
1
1
:= v2
0
1
1
:= v3
0
0
1
:=
u1v1
v1:= u1
0.577
0.577
0.577
=
w2 v2 v2 u1⋅( ) u1⋅−:= w2
0.667−
0.333
0.333
= u2w2
w2:= u2
0.816−
0.408
0.408
=
w3 v3 v3 u2⋅( ) u2⋅− v3 u1⋅( ) u1⋅−:= w3
0
0.5−
0.5
= u3w3
w3:= u3
0
0.707−
0.707
=
x
1
4
y
3
5
1
1
1
0 2− x⋅ 3 y⋅ 7−+ 0→ .
x
1−
2
4
y
2
5
8
x2
1
4
16
1
1
1
1
0 27 x⋅ 30 y⋅− 3 x2⋅+ 84+ 0→ .
x
1−
2
4
y
2
5
8
y2
4
25
64
1
1
1
1
0 54 x⋅ 75 y⋅− 3 y2⋅+ 192+ 0→ .
x2 y2+
25
25
25
x
3−
4
3
y
4
3
4−
1
1
1
1
0 50− x2⋅ 50 y2
⋅− 1250+ 0→ .
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 114
การหาสมการไฮเพอรโบลาทผานจด (1, 1), (–1, 1), (2, -4) และ (-4, 3)
การคานวณดวย Mathcad
สมการไฮเพอรโบลาคอ –12 2x – 84 2y + 432y – 336 = 0
การหาสมการวงรทผานจด (5, 0), (–5, 0), (0, -4) และ (0, -4)
การคานวณดวย Mathcad
สมการวงรคอ 1280 2x + 2000 2y – 32000 = 0
7.5 เสรมการคานวณเกยวกบความนาจะเปนและสถตดวย Mathcad
7.5.1 การสรางตารางความนาจะเปนของตวแปรสมทวนาม
หมายเหต ฟงกชน dbinom(x, n, p) เปนฟงกชนทใหคาเทากบ b(x, n, p)
7.5.2 การสรางตารางความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง
หมายเหต ฟงกชน dpois(x, µ ) มคาเทากบ !xe xµµ− เปนฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง
µ 0.2:= x 0 2..:= p x( )e µ−
µx
⋅
x!:= x
01
2
= p x( )
0.81870.1637
0.0164
= dpois x 0.2,( )
0.81870.1637
0.0164
x2
1
1
4
16
y2
1
1
16
4
x
1
1−
2
4
y
1
1
4
2
1
1
1
1
1
0 12− x2⋅ 84 y2
⋅− 432 y⋅ 336−+ 0→ .
x2
25
25
0
0
y2
0
0
16
16
x
5
5−
0
0
y
0
0
4
4−
1
1
1
1
1
0 1280 x2⋅ 2000 y2
⋅ 32000−+ 0→ .
n 4:= p 0.2:= x 0 n..:= b x n, p,( )n!
x! n x−( )!⋅px⋅ 1 p−( )n x−
⋅:= .
x
01
2
3
4
= b x n, p,( )
0.40960.4096
0.1536
0.0256
0.0016
= dbinom x n, p,( )
0.40960.4096
0.1536
0.0256
0.0016
=
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 115
7.5.3 การเขยนกราฟของการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมตอเนอง z, t, f, 2χ
Normal distribution
Standard Normal distribution
หมายเหต X เปนตวแปรสมปกต คาเฉลย µ และ สวนเบยงเบนมาตรฐาน σ
dnorm(x, µ , σ ) = 2)x(2
1e
21 σ
µ−−
σπ
pnorm(k, µ , σ ) = dxe21
2)x(21k
σµ−−
∞−σπ∫ = P(–∞ < X < k)
qnorm(A, µ , σ ) = คาของ k ททาให pnorm(k, µ , σ ) มคาเทากบ A
t distribution
z 4− 3.99−, 4..:= f z( )1
2 π⋅e
z2
2−
⋅:=
4 3 2 1 0 1 2 3 4
f z( )
z4 3 2 1 0 1 2 3 4
dnorm z 0, 1,( )
z
µ 4:= σ 2:= x 4− 3.99−, 12..:= f x( )1
2 π⋅ σ⋅e
1
2−
x µ−
σ
2⋅
⋅:=
4 2 0 2 4 6 8 10 12
f x( )
x4 2 0 2 4 6 8 10 12
dnorm x 4, 2,( )
x
dnorm 1 4, 2,( ) 0.0648=
pnorm 4 4, 2,( ) 0.5=
qnorm 0.5 4, 2,( ) 4=
v 14:= t 5− 4.99−, 5..:=
dt 2 14,( ) 0.0595=
pt 2 14,( ) 0.9674=h t( )
Γv 1+
2
Γv2
π v⋅⋅
1t2
v+
v 1+
2−
⋅:= qt 0.9674 14,( ) 2=
h 2( ) 0.0595=
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 116
หมายเหต t เปนตวแปรสมท ระดบขนความเสร ν
dt(t, ν ) = 212
)vt1(
)2(
)21( +ν−
+πννΓ
+νΓ ฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนของตวแปรสมท
pt(k, ν ) = dt)vt1(
)2(
)21(
212k +ν−
∞−
+πννΓ
+νΓ∫ = P(–∞ < t < k)
qt(A, ν ) = คาของ k ททาให pt(k, ν ) มคาเทากบ A
Chi-square distribution
หมายเหต 2χ เปนตวแปรสมไคสแควร ระดบขนความเสร ν
dchisq(x, ν ) = 2x
2
2
ex
)2(2
1 −ν
ννΓ
ฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนของตวแปรสมไคสแควร
pchisq(k, ν ) = 2x
2
2
k
0
ex
)2(2
1 −ν
ννΓ
∫ = P(–∞ < 2χ < k)
qchisq(A, ν ) = คาของ k ททาให pchisq(k, ν ) มคาเทากบ A
v 15:= x 0 0.1, 40..:=
dchisq 10 15,( ) 0.0629=
f x( )1
2
v
2Γ
v2
⋅
x
v
21−
⋅ e
x
2−
⋅:= pchisq 10 15,( ) 0.1803=
qchisq 0.1803 15,( ) 10=
f 10( ) 0.0629=
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.02
0.04
0.06
0.08
f x( )
x0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.02
0.04
0.06
0.08
dchisq x 15,( )
x
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
h t( )
t5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
dt t 14,( )
t
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 117
F distribution
หมายเหต F เปนตวแปรสมเอฟ ระดบขนความเสร 1ν และ 2ν
dF(f, 1ν , 2ν ) = 2
21
2121
121
21
2121
)f1)(2()2(
f))(2(
ν+ν
−νν
νν
+ν
Γν
Γ
ννν+ν
Γ ฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนของตวแปรสมเอฟ
pF(k, 1ν , 2ν ) = df
)f1)(2()2(
f))(2(
221
2121
121
21
2121k
0ν+ν
−νν
νν
+ν
Γν
Γ
ννν+ν
Γ
∫ = P(–∞ < F < k)
qF(A, 1ν , 2ν ) = คาของ k ททาให pF(k, 1ν , 2ν ) มคาเทากบ A
7.5.4 การหาคาเฉลย และ ความแปรปรวนของตวแปรสมชนดตอเนอง
X เปนตวแปรสมชนดตอเนองทมฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปน f(x) = 3
x 2 เมอ –1 < x < 2
เพราะฉะนนตวแปรสม X มคาเฉลย เทากบ 1.25 และ ความแปรปรวนเทากบ 0.6375
v1 4:= v2 10:= f 0 0.005, 8..:=
dF 3 4, 10,( ) 0.0577=h f( )
Γv1 v2+
2
v1
v2
v1
2
⋅ f
v1
21−
⋅
Γv1
2
Γ
v2
2
⋅ 1v1
v2f⋅+
v1 v2+
2
⋅
:= pF 3 4, 10,( ) 0.9277=
qF 0.9277 4, 10,( ) 3=
h 3( ) 0.0577=
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.10.20.30.40.50.60.7
h f( )
f0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.10.20.30.40.50.60.7
dF f 4, 10,( )
f
f x( )x2
3:= µ
1−
2xx f x( )⋅
⌠⌡
d:= µ 1.25= variance1−
2
xx µ−( )2 f x( )⋅⌠⌡
d:= variance 0.6375=
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 118
7.5.5 การหาสมการถดถอยและสมประสทธสหสมพนธ
สมการถดถอยคอ y = a + bx = 0.25 + 8.55x
สมประสทธสหสมพนธคอ 0.98043
7.5.6 การเขยนแผนภาพกระจายขอมลไดหลายๆ แบบ
แผนภาพการกระจายของขอมล
สเกลบนแกน (X, Y) และ (lnY, lnX)
แผนภาพการกระจายของขอมล สเกลบนแกน (lnX, Y) และ (lnY, X)
7.6 เสรมการคานวณเกยวกบคณตศาสตรขนสงดวย Mathcad
7.6.1 การหาสตรของฟงกชนทนยามในพจนของปรพนธ
7.6.2 การหาสตรอนพนธของฟงกชนทนยามในพจนของปรพนธ
ORIGIN 1:= i 1 8..:=
x
150
235
432
511
645
759
834
915
:= y
10
12
15
23
32
34
36
38
:=
4.5 5 5.5 6 6.5 72
3
4
ln yi( )
ln xi( )4.5 5 5.5 6 6.5 7
2
3
4
ln yi( )
ln xi( )
4.5 5 5.5 6 6.5 7
10
20
30
40
yi
ln xi( )0 200 400 600 800 1000
2
3
4
ln yi( )
xi
x
x2
t1
1 t2+
⌠⌡
d atan x2( ) atan x( )−→
1
xtt
⌠⌡
d12
x2⋅
12
−→
x 1
xtt
⌠⌡
ddd
x→x
x
x2
t1
1 t2+
⌠⌡
ddd
2x
1 x4+( )
⋅1
1 x2+( )
−→
x
1
3
5
7
9
:= y
14
23
35
64
79
:=
a intercept x y,( ):= a 0.2500=
b slope x y,( ):= b 8.5500=
r corr x y,( ):= r 0.9804=
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 119
7.6.3 กราฟของฟงกชนแกมมา (Gamma function) และการคานวณคา
7.6.4 ฟงกชนเบสเซล (Bessel function) และ กราฟของฟงกชนเบสเซล
หมายเหต J0(x) คอ ฟงกชนเบสเซลอนดบ 0, J1(x) คอ ฟงกชนเบสเซลอนดบ 1, Jn(v, x) คอ ฟงกชน
เบสเซลอนดบ v
7.6.5 การหาอนพนธอนดบสง และ อนพนธยอย
7.6.6 การหาพหนามเลอจองด )x(Pn อนดบตางๆ จากสตรโรดรกส )x(Pn = n2n
n
n )1x(dxd
!n21 −
7.6.7 การหาสมประสทธ 0a , na , nb ของอนกรมฟเรยร
x 0.1 0.101, 5..:=Γ 2( ) 1= Γ 3( ) 2= π 1.772454=
0 1 2 3 4 5
510152025
Γ x( )
x
Γ12
1.772454= Γ32
0.886227=
Γ12
π
1
2→ Γ
32
12π
1
2⋅→
x 0 0.01, 10..:= J0 0( ) 1= J1 0( ) 0= Jn 1 0,( ) 0= Jn 2 0,( ) 0=
0 2 4 6 8 10
1.51
0.5
0.51
1.5
J0 x( )
x
0 2 4 6 8 10
1.51
0.5
0.51
1.5
J1 x( )
x
0 2 4 6 8 10
1.51
0.5
0.51
1.5
Jn 1 x,( )
x
0 2 4 6 8 10
1.51
0.5
0.51
1.5
Jn 2 x,( )
x
1
21 1!⋅ xx2 1−( )d
d⋅ x→
1
22 2!⋅2x
x2 1−( )2d
d
2⋅
32
x2⋅
12
−→
3xx4( )d
d
324 x⋅→
x yy x⋅( )2 x y⋅( )2
+ dd
dd
8 y⋅ x⋅→
x yln x2 y2
+( )( )dd
dd
4−y
x2 y2+( )2
⋅ x⋅→ .x y
sin x( ) cos y( )⋅( )dd
dd
cos x( )− sin y( )⋅→
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathcad Mathcad – 120
ตวอยาง f(x) = x และ f(x + 2π) = f(x)
ตวอยาง f(x) = 2x และ f(x + 2π) = f(x)
การเขยนกราฟของ f(x) และ อนกรมฟเรยรทหาได
7.6.8 การคานวณปรพนธตามเสนโคง
การหาคา ∫C
dz)z(f เมอ f(z) = z, C เปนเสนโคง z(t) = t + i 2t , 1 < t < 2
การหาคา ∫C
dz)z(f เมอ f(z) = z, C เปนเสนโคง z(t) = cost + isint , 4π < t < 2
π
3.14 1.57 0 1.57 3.14
3.14
1.57
1.57
3.14π
π−
f x( )
S n x( )
ππ− x
i 1−:= z t( ) t i t2⋅+:= f z( ) z:=
1
2
tf z t( )( )tz t( )d
d
⋅⌠⌡
d 6− 7i+=
i 1−:= z t( ) cos t( ) i sin t( )⋅+:= f z( ) z:=
π
4
π
2tf z t( )( )
tz t( )d
d
⋅
⌠⌡
d 0.5− 0.5i−=
f x( ) x:=1π π−
πxf x( )
⌠⌡
d⋅ expand 0→1π π−
πxf x( ) cos n x⋅( )⋅
⌠⌡
d⋅ expand 0→ .
1π π−
πxf x( ) sin n x⋅( )⋅
⌠⌡
d⋅ expand2
π n2⋅
sin n π⋅( )⋅2n
cos n π⋅( )⋅−→
f x( ) x2:=
1π π−
πxf x( )
⌠⌡
d⋅ expand23π
2⋅→
1π π−
πxf x( ) sin n x⋅( )⋅
⌠⌡
d⋅ expand 0→ .
1π π−
πxf x( ) cos n x⋅( )⋅
⌠⌡
d⋅ expand 2π
n⋅ sin n π⋅( )⋅
4
π n3⋅
sin n π⋅( )⋅−4
n2cos n π⋅( )⋅+→
f x( ) x:= ORIGIN 0:= n 0 5..:=
.a01π π−
πxf x( )
⌠⌡
d⋅:= an1π π−
πxf x( ) cos n x⋅( )⋅
⌠⌡
d⋅:= bn1π π−
πxf x( ) sin n x⋅( )⋅
⌠⌡
d⋅:=
Sn x( )a0
21
5
n
an cos n x⋅( )⋅ bn sin n x⋅( )⋅+( )∑=
+:=
บทนา
Mathematica โปรแกรมสาเรจรป Mathematica เปนโปรแกรมทมชอเสยงมากและเปนโปรแกรมทมความสามารถใน
การคานวณสง รปแบบการใชงานตองพมพคาสงผานบรรทดทเรยกวา line in [..] ผลของการคานวณทไดจะ
แสดงออกมาทบรรทด line out [..] การใชงานโดยทวไปผใชตองจดจาคาสงทตองการได หรอจะให
โปรแกรมแสดงแถบเครองมอของคาสงใหปรากฏบนจอภาพตลอดเวลากได ในการใชงานโปรแกรม
Mathematica ความสามารถในการทางานบางอยาง เชนงานทางดาน Graphics จะจาแนกเปนโปรแกรมยอย
เรยกวา Package ซงเราตองเรยกโปรแกรมยอยนนขนมากอนจงจะใชงานทางดาน Graphics ได
ในการใช Package เชนการเรยก Package Graphics ตองพมพ <<Graphics `Graphics` จงจะใชคาสง
ในกลมของการเขยนกราฟได แตในการใชงานจรงเนองจากแปนพมพบางแปนพมพไมสามารถพมพสญลกษณ
backquote character (`) จงขอแนะนาวธพมพคาสงเรยกใช Package ดงน
วธท 1. พมพ $Packages แลวกด <Shift>+↵
ผลบนจอภาพจะไดสญลกษณ backquote character (`) ท Out[1] ใหเลอนเมาสไป copy สญลกษณ
backquote character (`) ทไดไวใชงานตอไปเมอตองการพมพ backquote character (`)
วธท 2. คลกท Help เมอไดเมนของ Help แลวใหเลอก Add–on \ Standard Package \ Graphics \
Graphics จะไดคาอธบายตาง ๆ ของการใช Package Graphics ใหทาการ copy คาวา Graphics`Graphics` มา
paste ทบรรทด line in เพอใชในการเรยก Package Graphics ตอไป
ความสามารถทเหมอนและแตกตางจาก Mathcad เชน
• Mathematica แสดงผลทศนยมไดหลายตาแหนงตามตองการแต Mathcad แสดงผลไดสงสด 15 ตาแหนง
• การปรบเปลยนรปแบบการแสดงผลของกราฟ ตองใชคาสงในการกาหนดคา ไมเหมอนกบ Mathcad ทม
เมนของการปรบเปลยนรปแบบกราฟ
• มแถบเครองมอในการคานวณ สามารถนาแถบเครองมอมาแสดงบนจอภาพไดเหมอนกน
• สามารถขอคาอธบายของคาสง ดวยการพมพ ? ตามดวยคาสงทตองการรความหมาย แลวกด Enter
สารบญ บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica......................................... 1 – 10
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica....................................................... 11 – 34
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica............................................................... 35 – 50
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica........................................ 51 – 62
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathematica............................................. 63 – 68
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathematica..................................... 69 – 78
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica.............................................. 79 – 94
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica Mathematica - 1
บทท 1.
ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Mathematica
ในบทน เปนการนาความสามารถเบองตนของโปรแกรมสาเรจรป Mathematica ทาไดมาใหดกอนเพอผอาน
จะไดเหนความสามารถทางการคานวณทสาคญของโปรแกรมสาเรจรป Mathematica ในสวนของการพมพ
คาสง การเขาสโปรแกรม Mathmatica และการประยกตตาง ๆ จะกลาวในบทตอไป
เนองจากลกษณะการทางานของโปรแกรม Mathematica มบรรทดของคาสงทเราตองพมพคาสงของการ
คานวณเขาไป เรยกวา line In ln[n] := ... โปรแกรม Mathematica จงจะแสดงผลการคานวณ ในบรรทดถดไป
เรยกวา line out Out[n] = ... ดงนน การยกตวอยางความสามารถตาง ๆ จงขอนาผลการคานวณทปรากฎบน
จอภาพ ซงมทงบรรทด line in (In[n] :=) และ line out (Out[n]=)
1. การคานวณเบ องตน บวก ลบ คณ หาร และเลขยกกาลง
2. สามารถกาหนดการแสดงผลการคานวณใหเปนทศนยมไดหลายตาแหนง
แสดงคาของ π เปนเลขทศนนม 5 ตาแหนง แสดงคาของ π เปนเลขทศนยม 20 ตาแหนง
3. มฟงกชนทางคณตศาสตรใหใชมากมาย
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica Mathematica - 2
หมายเหต E หมายถง คา e มคาประมาณเทากบ 2.71828
Log[a, x] หมายถง log ฐาน a ของ x
Log[x] หมายถง log ฐาน e ของ x
4. มความสามารถในการกาหนดฟงกชนใชงานได
หมายเหต f[x_] คอ การกาหนดสตรของฟงกชน f(x)
5. สามารถกาหนดเซตของจานวน และสามารถคานวณสมาชกภายในเซตได
หมายเหต เซตของตวเลขเปนชนดของตวแปรแบบหนงใน Mathematica ซงเรยกวาตวแปรแบบ list
6. สามารถเปลยนหนวยการคานวณไดโดยงาย
หมายเหต ถาไมกาหนดหนวยของมมฟงกชนตรโกณมตใน Mathematica จะคดหนวยของมมเปนเรเดยน
การระบหนวยใหพมพ Degree ตอทายตวเลข
การเตมจดทายตวเลขจะทาใหผลการคานวณแสดงคาเปนเลขทศนยม
7. ความสามารถในการแสดงหนวยของผลการคานวณ
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica Mathematica - 3
8. สามารถเขยนกราฟไดหลายรปแบบ
8.1 กราฟในระบบพกดมมฉาก
8.2 กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล
8.3 กราฟในระบบพกดเชงขว
8.4 กราฟของสมการพาราเมตรก เชนการเคลอนทแบบโปรเจคไทล
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica Mathematica - 4
8.5 กราฟพนผวใน 3 มต
8.6 กราฟของสมการพาราเมตรกใน 3 มต เชนการเคลอนทแบบบนไดเวยน หรอ สปรง
8.7 กราฟพนผวใน 3 มต หรอพนผวทเกดจากการหมน
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica Mathematica - 5
9. การคานวณในรปแบบเลขฐานตาง ๆ
2^^10101 หมายถงจานวน 10101 ฐาน 2
รปแบบทวไป b^^xx...x หมายถง xx...x ฐาน b
หมายถงการเปลยน 21 ฐาน 10 เปนจานวนใบระบบฐาน 2
รปแบบทวไป BaseForm[N, b]
คอการเปลยนจาก N ฐาน 10 เปน จานวนในระบบฐาน b
ตวอยางอน ๆ เชน
10. การคานวณในรปแบบเวกเตอร
11. การคานวณในรปแบบเมทรกซ
12. การคานวณจานวนเชงซอน
หมายเหต การพมพสญลกษณ i ใหพมพ <Ecs>ii<Ecs>
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica Mathematica - 6
13. การหาผลบวกอนกรมกาลง อนกรมจากด อนกรมอนนต และผลคณของลาดบ
14. การคานวณคาสถตเบ องตน
15. การหาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลในรปแบบ y = mx + c
หมายเหต ผลของคาสง Regress จะใหคา m = 0.995349 และ c = 106.109 นอกจากนนยงทาการ
วเคราะหขอมลทางสถตใหดวย เราสามารถใชคาสง Regress วเคราะหสมการความสมพนธในรปแบบอน ๆ ได
อกเชน หาความสมพนธ y = a 2x + bx + c
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica Mathematica - 7
16. ความสามารถในการจดรปพชคณต การแยกตวประกอบ การกระจายพหนาม
17. ความสามารถในการหา อนพนธ อนพนธอนดบสง อนพนธยอย แบบเปนสตร และ เปนคาตวเลข
การหาอนพนธเปนสตรและคาตวเลข อนพนธอนดบสง อนพนธยอย
หมายเหต D[f[x], x] คอ )x(fdxd และ D[f[x], {x, n}] คอ )x(f
dxd
n
n และ ]y,x[fy,x∂ คออนพนธยอย
18. ความสามารถในการหาปรพนธ เปนสตร และ เปนคาตวเลข
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica Mathematica - 8
19. ความสามารถในการหาคาลมต
หมายเหต Limit[f[x] , x→ a] คอ )x(flimax→
Limit[f[x] , x→ a, Direction → 1] คอ )x(flimax −→
Limit[f[x] , x→ a, Direction → –1] คอ )x(flimax +→
20. ความสามารถในการคานวณเปนโปรแกรม
โปรแกรมหาพนทสามเหลยมเมอรความยาวทงสามดาน
21. ความสามารถในการหารากของสมการ f(x) = 0
หมายเหต FindRoot[f[x]==0, {x, a}] คอการหารากของ f(x) = 0 จดเรมตนของการประมาณคาท x = a
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica Mathematica - 9
22. ความสามารถในการหาผลเฉลยของระบบสมการ
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน 2x + y = 4, 9x – 4y = 1
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการไมเชงเสน 2x + 2y = 1, x – y = 0
23. ความสามารถในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ
การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ y′= 2x
การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนเอกพนธ y′′ + y = 0
การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนไมเอกพนธ y′′ + y = 2x
การหาผลเฉลยสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนไมเอกพนธ y′′ + y = 2x และ y′(0) = –1, y(0) = 2
การหาผลเฉลยระบบสมการเชงอนพนธ x′ = x – y + 2
y′ = -x + y – 5
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Mathematica Mathematica - 10
การหาผลเฉลยระบบสมการเชงอนพนธ x′ = x – y + 2
y′ = -x + y – 5
x(0) = 1, y(0) = –1
24. มฟงกชนสาหรบการคานวณเกยวกบจานวนเตมเชน หรม. ครน. การแยกตวประกอบจานวนเตม
หมายเหต 10! = 82 43 25 7
25. สามารถหาผลการแปลงลาปลาซและผลการแปลงลาปลาซผกผนได
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 11
บทท 2.
การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica
ในบทนจะเรยนร เกยวกบการนาโปรแกรมสาเรจรป Mathematica เขามาทางาน และการคานวณเบองตน
กบคาสงของ Mathematica
หมายเหต โปรแกรม Mathematica ทใชในขณะนคอ Mathematica 4
สาหรบ Version อน ๆ เชน Mathematica 3 หรอ Mathematica 2 จะมการใชงานทใกลเคยงกน
2.1 การเรยกโปรแกรม Mathematica ขนมาใชงาน
ขนท 1. เปดเครองคอมพวเตอร
ขนท 2. รอจนจอภาพขนขอมลตาง ๆ ครบ
ดงตวอยางเชนในภาพ
ขนท 3. คลกทปม จะไดเมน
ขนท 4. คลกท All Programs และเลอนเมาสไปท Mathematica 4 จะไดเมนยอยเปนดงน
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 12
ขนท 5. เลอกโปรแกรม Mathematica 4
หลงจากคลก Mathematica 4 แลว
บนจอภาพจะขน Logo ของ Mathematica 4
ดงรป
หลงจากนนจะเขาสโปรแกรม Mathematica
ซงจะปรากฏหนาจอดงน
1. แสดง Window ของการทางาน Mathematica 4
2. แสดงชอแฟมขอมลของ Mathematica ทกาลงทางาน (เมอเขามาครงแรกจะมชอเปน Untitled-1)
3. เมนบารของการทางานตาง ๆ เชน เปด-ปด แฟมขอมล สงพมพงาน
4. แสดง Window ยอยของการทางานใน Mathematica (Window ยอยขณะนมชอวา Untitled-1)
5. บรเวณของการทางานทางดานการคานวณตาง ๆ ของ Mathematica
6. แถบเครองมอของการคานวณเบองตน
7. แถบเครองมอของการคานวณเบองตน
หมายเหต เมอเขามาครงแรกแถบเครองมอของการคานวณเบองตนทแสดงออกมาอาจไมเหมอนกบรปขางน
การนาแถบเครองมอของการคานวณตาง ๆ ขนมา ทาไดโดยเลอกเมน File\Palettes\
และเลอกแถบเครองมอทตองการ เชน แถบเครองมอ BasicCalculations, แถบเครองมอ BasicInput, ...
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 13
ตวอยางของแถบเครองมอเชน
AlgebraicManipulation BasicCalculations BasicInput
2.2 การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica
รปแบบการทางานดวยคาสงตาง ๆ ของ Mathematica มบรรทดของการรบคาหรอคาสง และมบรรทดของการ
แสดงผล ตวอยางเชน การหาผลบวก 1 + 2 เมอเราพมพ 1 + 2 เสรจแลวกด <Shift > + ↵ โปรแกรมจะทา
การคานวณ แลวขนบรรทดใหม แลวแสดงผลการคานวณให ดงน
หมายเหต กด ↵ เปนการขนบรรทดใหม
การกด <Shift >+↵ (กด Shift คางไวแลวกด Enter) คอการสงใหโปรแกรมทาการคานวณ
เพอใหเขาใจการใชงานงายขน การใชงานโปรแกรม Mathematica จะขอเขยนในรปแบบตาราง โดยมตาราง
ชองท 1 หมายถงการพมพผานทางแปนพมพ ตารางในชองท 2 เปนผลทเกดจากการคานวณของ
Mathematica และสงเกดขนจากผลการคานวณและการจดรปแบบการแสดงผลบนจอภาพทม
ln[n] := .....................
และ Out[n]= .....................
การคานวณดวยโปรแกรม Mathematica
1. การหาผลบวก 45.25 + 17.5
พมพ ผลบนจอภาพ
45.25+17.5<Shift >+↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 14
2. การหาผลหาร 547
พมพ ผลบนจอภาพ
47/5.<Shift>+↵
มจด . ทายเลข 5 จะแสดงผลการคานวณ
47/5<Shift>+↵
ไมมจด . ทายเลข 4 จะแสดงเปนเศษสวน
3. การหาผลคณของ 15 กบ 32
พมพ ผลบนจอภาพ
15*32<Shift>+↵
4. การคานวณเลขยกกาลง 34 และ 4e
พมพ ผลบนจอภาพ
4^3<Shift>+↵
E^4.<Shift>+↵
หมายเหต E = 2.718281828
E^4<Shift>+↵
ไมมจด . ทายเลข 4 จะแสดงเปนการยกกาลง
5. การคานวณโดยใชฟงกชนทางคณตศาสตร log(2), ln(2), sin( π6
), 3 , 5 32 และ 5!
พมพ ผลบนจอภาพ
Log[2]<Shift>+↵
หมายเหต Log[x] คอ lnx
//N เปนการบงคบใหแสดงผลเปนตวเลข
Log[10, 2]<Shift>+↵
หมายเหต Log[10, x] คอ แสดงคา xlog10
ไมม //N จะแสดงผลเปนการจดรปพชคณต
Log[10, 2]//N<Shift>+↵
หมายเหต Log[10, x] คอ แสดงคา xlog10
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 15
Sin[Pi/3]<Shift>+↵
การหารากท 2 ม 2 วธ
วธท 1.
Sqrt[3]//N<Shift>+↵ วธท 2.
<Ctrl>+2
หมายเหต คลกสญลกษณ จากแถบ
เครองมอ BasicInput กได
3
→ หมายเหต กดแปนลกศร จะสงเกตเหนวา
curser เลอนออกไปนอกเครองหมาย Root
//N<Shift>+↵
การหารากท n
คลกสญลกษณ จากแถบเครองมอ
BasicInput
32
Tab
5<Shift>+↵
การหาคา 5! แฟกทอเรยล
5!<Shift>+↵
6. การกาหนดคาใหกบตวแปร, การกาหนดสตรฟงกชน
พมพ ผลบนจอภาพ
x:=4<Shift>+↵
หมายเหต := คอการกาหนดคาใหกบตวแปร
f[x_]:=x^2<Shift>+↵
หมายเหต f[x_]:= เปนการกาหนดสตร
f[x]<Shift>+↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 16
f[3]<Shift>+↵
f[x]/.x->4<Shift>+↵
7. การหาคาอนทกรล dx)x(fb
a∫ ตวอยางเชน dx)4x( 2
4
1
+∫
พมพ ผลบนจอภาพ
f[x_]:=x^2+4<Shift>+↵ วธท 1.
Integrate[f[x], {x, 0, 1}]<Shift>+↵ วธท 2.
คลกสญลกษณ จากแถบเครองมอ
BasicInput
1<Tab>
4<Tab>
f[x]<Tab>
x<Shift>+↵
2.3 การเขยนกราฟของฟงกชน
ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) = 2x – 3x + 7 บนชวง [–8, 8]
พมพ ผลบนจอภาพ
f[x_]:=x^2-3*x+7<Shift>+↵
Plot[f[x], {x, -8, 8}]<Shift>+↵
หมายเหต
คาสง Plot[f[x], {x, a, b}]
คอการเขยนกราฟ y = f(x)
บนชวง [a, b]
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 17
หมายเหต โปรแกรม Mathematica สามารถจดรปแบบการแสดงผลของกราฟไดหลายลกษณะเชน
เลอกกาหนดสเกลทแกน X และ แกน Y มเสนตาขายชวยในการประมาณคา
2.4 การกาหนดคาและการคานวณเกยวกบเมทรกซ
ตวอยาง การกาหนด A =
−
−3524 และ B =
3152
พมพ ผลบนจอภาพ
การกาหนดเมทรกซแบบท 1.
A=
คลกสญลกษณ จากแถบ
เครองมอ BasicInput
4<Tab>
หมายเหต การกด Tab ทาให
Curser กระโดดไปตาแหนงถดไป
–2<Tab>–5<Tab>3<Shift>+↵
ในทานองเดยวกน
กาหนดเมทรกซ B
เรยกโปรแกรม
การทางานเกยวกบเมทรกซ คอ
<<LinearAlgebra'Matrixmanipula
tion'<Shift>+↵
MatrixForm[A]<Shift>+↵
หมายเหต MatrixFrom[A] เปน
คาสงกาหนดการแสดงผลใน
รปแบบเมทรกซ
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 18
การคานวณคาของเมทรกซ A + B, 4A, 2A , AB, 1A− , TA , det(A)
พมพ ผลบนจอภาพ
MatrixForm[A+B]<Shift>+↵
MatrixForm[4*A]<Shift>+↵
MatrixForm[MatrixPower[A,2]]
<Shift>+↵
MatrixForm[A.B]<Shift>+↵
MatrixForm[Inverse[A]]
<Shift>+↵
Det[A]<Shift>+↵
MatrixForm[Tranpose[A]]
<Shift>+↵
การกาหนดดรรชนลาง (subscript) สาหรบอางองใชงานกบสมาชกของเมทรกซ
พมพ ผลบนจอภาพ
MatrixForm[A]<Shift>+↵
คลกสญลกษณ จากแถบ
เครองมอ BasicInput
A<Tab>
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 19
1,1<Shift>+↵
การกาหนดเมทรกซแบบท 2.
พมพ ผลบนจอภาพ
A={{4,–2},{5,3}}<Shift>+↵
ในกรณทเมทรกซมมตใหญ ใหกาหนดในรปแบบของเซตดงน
A = {{ 11a , 12a , ... , m1a }, { 21a , 22a , ... , m2a }, ... , { 1na , 2na , ... , nma }}
ตวอยางเชน การกาหนด A =
5123211430215421
2.5 การกาหนดคาและการคานวณเกยวกบเวกเตอร
สาหรบขอมลทอยในรปแบบของเวกเตอรเชน u =
−
43 และ v =
21
พมพ ผลบนจอภาพ
u={–3,4}<Shift>+↵
MatrixForm[u]<Shift>+↵
v={1,2}<Shift>+↵
MatrixForm[v]<Shift>+↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 20
การหาคา u + v, 4u, vu ⋅ , | u |
พมพ ผลบนจอภาพ
MatrixForm[u+v]<Shift>+↵
MatrixForm[4*u]<Shift>+↵
MatrixForm[u.v]<Shift>+↵
การหาขนาดของเวกเตอร u
Sqrt[u.u]<Shift>+↵
2.6 การกาหนดขอมล
ตวอยางขอมลคอ x = 2, 3, 5, 7, 8, 15
พมพ ผลบนจอภาพ
<<Statistics`DescriptiveStatistics`
<Shift>+↵
หมายเหต คาสงเรยก Package หรอโปรแกรมประยกต
ทางดานสถตของ Mathematica ขนมาใชงาน
x={2,3,5,7,8,15}<Shift>+↵
Mean[x]<Shift>+↵
Median[x]<Shift>+↵
Variance[x]<Shift>+↵
Length[x]<Shift>+↵
StandardDeviation[x]<Shift>+↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 21
คลกสญลกษณ จากแถบ
เครองมอ BasicInput
x<Tab>
1<Shift>+↵
ใน Mathematica มฟงกชนทชวยคานวณคาทางดานสถตของขอมล เชน
Mean[x] = คาเฉลยเลขคณตของขอมลใน x Median[x] = มธยฐานของขอมลใน x
Variance[x] = ความแปรปรวน(ตวอยาง) x Length[x] = จานวนขอมลใน x
StandardDeviation[x} = สวนเบยงเบนมาตรฐาน(ตวอยาง) x
2.7 การกาหนดขอมลในรปแบบตวแปร 2 มต
ตวอยางเชนตองการกาหนดขอมลเปน
พมพ ผลบนจอภาพ
<<Statistics`LinearRegres
sion`<Shift>+↵
หมายเหต คาสงเรยก Package ทางดาน Linear Regression ของ
Mathematica ขนมาใชงาน
data={3,12},{5,15},{9,
21},{12,32}}
<Shift>+↵
MatrixForm[data]
<Shift>+↵
การเขยนแผนภาพการกระจาย
ListPlot[data]
เปนคาสงใหเขยนกราฟแผนภาพ
การกระจายของขอมล
ListPlot[data,
PlotStyl→{PointSize[0.025]}]
เปนการเพมขนาดของจด
x y 3 12 5 15 9 21
12 32
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 22
2.8 การคานวณคาเกยวกบผลบวกในรปแบบ ∑
ตวอยาง การหาคาของ ∑=
10
1 ii , ∑
=
10
1 i
2i , )5i4(i 10
1 i
2∑=
−−
พมพ ผลบนจอภาพ
วธท 1. ใชคาสง Sum
Sum[i,{i,1,10}]<Shift>+↵
Sum[i^2,{i,1,10}]<Shift>+↵
Sum[i^2–4*i–5,{i,1,10}]
<Shift>+↵ วธท 2. ใชสญลกษณผลบวก
คลกสญลกษณ จากแถบ
เครองมอ BasicInput
i<Tab>
1<Tab>
10<Tab>
i<Shift>+↵
หมายเหต ถาตองการหาคา
∑=
10
1 i
2i ใหพมพ i^2<Tab>
2.9 การคานวณคาปรพนธ dx)x(fb
a∫
ตวอยางการหาคาของ dxx2
1
0∫
พมพ ผลบนจอภาพ
วธท 1. ใชคาสง Integrate
Integrate[x^2,{x,0,1}]
<Shift>+↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 23
วธท 2.
คลกสญลกษณ จากแถบ
เครองมอ BasicInput
0<Tab>
4<Tab>
x^2<Tab>
x<Shift>+↵
2.10 การคานวณคาอนพนธ )x(fdxd หรอ )x(f
dxd
n
n
ตวอยาง การคานวณ )x(fdxd เมอ f(x) = 2x ท x = 1 และ )x(f
dx
d2
2 เมอ f(x) = 4x ท x = 2
พมพ ผลบนจอภาพ
วธท 1.
D[x^2,x]<Shift>+↵
หมายเหต D[f[x], x] เปนคาสงคานวณสตร f′(x)
D[x^2,x]/.x->1<Shift>+↵
หมายเหต D[f[x], x] /.x→a เปนคาสงคานวณคา f′(a)
D[x^4,{x,2}]<Shift>+↵
หมายเหต D[f[x], {x, n}] เปนคาสงหาสตร )n(f (x)
D[x^4,{x,2}]/.x->2<Shift>+↵
หมายเหต D[f[x], {x, n}] /.x→a คาสงหาคา )n(f (a)
วธท 2.
คลกสญลกษณ จากแถบ
เครองมอ BasicInput
x<Tab>
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 24
x^2<Shift>+↵
คลกสญลกษณ แลวพมพ
x<Tab>x^2/.x->1<Shift>+↵
2.11 การกาหนดหนวยใหกบผลการคานวณ
พมพ ผลบนจอภาพ
การกาหนดหนวยของมม
Sin[90]<Shift>+↵
หมายเหต ฟงกชนตรโกณมต Sin, Cos, Tan, Sec, ...
ถาไมระบหนวยจะคดหนวยเปนเรดยน
Sin[90Degree]<Shift>+↵
หมายเหต การกาหนดองศา ใหพมพ Degree ทายตวเลข
ArcSin[1.]<Shift>+↵
หมายเหต คาของ ArcSin, ArcCos, ArcTan, ...
ถาไมระบหนวยจะคดหนวยเปนเรเดยน
ArcSin[1.]/Degree<Shift>+↵
การกาหนดหนวยแบบอน ๆ เชน Meter, Hour, ....
<<Miscellaneous`Units`
<Shift>+↵
หมายเหต คาสงเรยก Package ทางดานการกาหนด
เกยวกบหนวยของ Mathematica ขนมาใชงาน s:=10800Meter;t:=3Hour;
v:=s/t<Shift>+↵
v<Shift>+↵
Convert[v,Centimeter/Second]
<Shift>+↵
หมายเหต Convert[x, หนวย] กาหนดการแสดงหนวย
ของ x ตามทตองการ
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 25
2.12 การคานวณในรปแบบของเลขฐานอนๆ
พมพ ผลบนจอภาพ
BaseForm[9,2]<Shift>+↵
8^^2+8^^17<Shift>+↵
หมายเหต 12 ฐาน 8 บวก 17 ฐาน 8 ได 25 ฐาน 10
16^^2*16^^10<Shift>+↵
หมายเหต 2 ฐาน 16 คณ 11 ฐาน 16 ได 32 ฐาน 10
หมายเหต BaseForm[x, b] คอการแสดงผลของ x ในรปแบบตวเลขฐาน b และ b^^x คอจานวน x ฐาน b
2.13 การหาผลบวกในรปแบบ ∑=
n
1 iix , ∑
=
n
1 iiy , ∑
=
n
1 i
2ix ,...
ตวอยางขอมลเชน
พมพ ผลบนจอภาพ
x:={2,3,6,9}<Shift>+↵
y:={12,15,14,19}<Shift>+↵
{x[[1]],y[[1]]}<Shift>+↵
หมายเหต x[[i]] คอ ix
Sum[x[[i]],{i,1,4}]<Shift>+↵
หมายเหต Sum[F[i],{i,a,b}] = ∑=
b
a iF(i)
Sum[x[[i]]^2,{i,1,4}]
<Shift>+↵ Sum[x[[i]]*y[[i]],{i,1,4}]
<Shift>+↵
x y 2 12 3 15 6 14 9 19
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 26
การใช และ
คลกสญลกษณ จากแถบ
เครองมอ BasicInput
i<Tab>1<Tab>4<Tab>
คลกสญลกษณ จากแถบ
เครองมอ BasicInput x<Tab>
i<Shift>+↵
ในทานองเดยวกนจะได
2.14 การสรางตารางฟงกชน
ตวอยางเชนการสรางตาราง
Table[{x, f(x)}, {x, a, b, d}}
เปนการทาตารางของอนดบ {x, f(x)}, x เปลยนคาจาก a ถง b
โดยมคาเพมขนครงละ d
TableForm[...] เปนการสงใหแสดงผลแบบแนวตง
พมพ ผลบนจอภาพ
Table[{x,2*x+4},
{x,1,4,1}]<Shift>+↵ TableForm[
Table[{x,2*x+4},
{x,1,4,1}]]
<Shift>+↵
x f(x) = 2x + 4 1 6 2 8 3 10 4 12
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 27
หมายเหต ในกรณทคา x เพมไมเทากนเชน x = 2, 5, 7, 12 สามารถคานวณในรปแบบตารางไดดงน
2.15 การคานวณคาเกยวกบจานวนเชงซอน
ตวอยาง z = 3 + 4i, w = 5 – 9i จะได z + w = 8 – 5i, | z | = 5, z = 3 – 4i, 1z− = 253 + 25
4 i
พมพ ผลบนจอภาพ
z:=3+4<Esc>ii<Esc><Shift>+↵
หมายเหต กด <Esc>ii<Esc> จะไดสญลกษณ i = 1−
w:=5-9<Esc>ii<Esc>
<Shift>+↵
z+w<Shift>+↵
Abs[z]<Shift>+↵
Conjugate[z]<Shift>+↵
z^-1<Shift>+↵
2.16 การหารากของสมการ f(x) = 0
ตวอยาง การหารากของสมการ 2x – 2 = 0
พมพ ผลบนจอภาพ
FindRoot[x^2-2==0,{x,1}]
<Shift>+↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 28
FindRoot[x^2-2==0,{x,–1}]
<Shift>+↵
Solve[x^2-2==0,x]<Shift>+↵
Solve[x^2-2==0,x]//N
<Shift>+↵
หมายเหต FindRoot[f[x] == 0, {x, 0x }] เปนคาสงทใชหารากของสมการ f(x) = 0 โดยวธของนวตน
โดยมจดเรมตนของการประมาณคาเปน 0x
Solve[f[x] == 0, x] เปนคาสงทใชหารากของสมการ f(x) = 0
2.17 การหาผลเฉลยของระบบสมการ
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 3y = 8
x + y = 3
พมพ ผลบนจอภาพ
FindRoot[{2*x+3*y==8,
x+y==3,{x,0},{y,0}]
<Shift>+↵
FindRoot[{x^2+y^2==25,
3*x+4*y==0,{x,0},{y,0}]
<Shift>+↵
หมายเหต FindRoot[{equation1,equation2, ... , {x, 0x }, {y, 0y }, ....] เปนคาสงทใชหาผลเฉลยของ
ระบบสมการ โดยวธของนวตน โดยมจดเรมตนของการประมาณคาของ x, y เปน 0x , 0y , ...
ตวอยางการหาผลเฉลยของระบบสมการไมเชงเสนเชน
การหาจดตดของวงกลม 2x + 2y = 25 และเสนตรง 3x + 4y = 0
2.18 การคานวณคา rn C และ nPr r
n P
สตร rn C =
)!rn(!r!n−
สามารถกาหนดเปนสตรในโปรแกรม Mathematica ไดดงน
พมพ ผลบนจอภาพ
nCr[n_,r_]:=n!/(r!*(n-r)!)
<Shift>+↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 29
nCr[5,1]<Shift>+↵
nCr[5,2]<Shift>+↵
nPr[n_,r_]:=n!/(n-r)!
<Shift>+↵
nPr[5,1]<Shift>+↵
nPr[5,2]<Shift>+↵
2.19 การคานวณทใหผลลพธเปนสตร
โปรแกรม Mathematica สามารถคานวณและแสดงผลออกมาในรปแบบของสตรไดเชน
การกระจายพหนาม (x – 1)(x + 2) กระจายไดเปน 2x + x – 2
การแยกตวประกอบ 4x – 2 2x – 3x – 2 แยกตวประกอบไดเปน (x – 2)(x + 1)( 2x + x + 1)
การแสดงผลเปนเศษสวนอยางตา 1511
125
43
+ จดรปเปน 23
15
การหาอนพนธเปนสตร dxd 2x ผลการหาอนพนธคอ 2x
การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4( +∫ ผลการคานวณเปนสตรคอ 2 2x + 7x
สามารถหาคาลมตเปนสตรได ตวอยางเชน 1x
lim→
( 2x + kx ) หาคาลมตไดเปน k + 1
ตวอยาง การกระจายสตรพหนาม (x – 1)(x + 2)
พมพ ผลบนจอภาพ
Expand[(x-1)*(x+2)]
<Shift>+↵
หมายเหต คาสง Expand[...] ใชกระจายสตรพหนาม หรอฟงกชนตาง ๆ
ตวอยาง การแยกตวประกอบ 4x – 2 2x – 3x – 2
พมพ ผลบนจอภาพ
Factor[x^4-2*x^2-3*x-2]
<Shift>+↵
หมายเหต คาสง Factor[...] ใชแยกตวประกอบพหนาม หรอฟงกชนตาง ๆ
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 30
ตวอยาง การแสดงผลเปนเศษสวนอยางตา 1511
125
43
+ จดรปเปน 23
15
พมพ ผลบนจอภาพ
Simplify[(3/4)/((5/12)+(11/
15))]<Shift>+↵
หมายเหต คาสง Simplify[...] ใชในการจดรปทางพชคณตเชน ทาเปนเศษสวนอยางตา
ตวอยาง การหาสตรอนพนธ dxd 2x
พมพ ผลบนจอภาพ
D[x^2]<Shift>+↵
D[x^2,{x,2}]<Shift>+↵
หมายเหต คาสง D[f(x)] ใชหาอนพนธอนดบท 1
คาสง D[f(x), {x, k}] ใชหาอนพนธอนดบท k เทยบกบตวแปร x
ตวอยาง การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4( +∫
พมพ ผลบนจอภาพ
Integrate[4*x+7,x]<Shift>+↵
หมายเหต คาสง Integrate[f(x), x] ใชหาสตรอนทเกรตของ f(x)
ตวอยาง การหาคาลมต 1x
lim→
( 2x + kx)
พมพ ผลบนจอภาพ
Limit[x^2+k*x,x->1]
<Shift>+↵
เมอกด -> บนจอภาพจะเปนลกศร →
ตวอยางการคานวณ
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 31
2.20 การหาสตรเทยเลอรของฟงกชน
ตวอยางการหาอนกรมเทยเลอรของ sin(x) และ ln(x)
พมพ ผลบนจอภาพ
Series[Sin[x],{x,0,5}]
<Shift>+↵
Series[Sin[x],{x,0,8}]
<Shift>+↵
Series[Log[x],{x,1,3}]
<Shift>+↵
หมายเหต คาสง Series[f(x), {x, a, k}] ใชหาพหนามเทยเลอรดกรไมเกน k ของ f(x) รอบจด x = a
2.21 การหาผลการแปลงลาปลาซและผลการแปลงลาปลาซผกผน
ตวอยางเชน L{sin(x)} = 1s
12 +
และ 1L− {1s
12 +
} = sin(x)
พมพ ผลบนจอภาพ
LaplaceTransform[Sin[x],
x,s]<Shift>+↵
InverseLaplaceTransform[
1/(s^2+1),s,x]<Shift>+
↵
หมายเหต คาสง LaplaceTransform[f[x]], x, s] ใหผลเปนสตร F(s) ทเปนผลการแปลงลาปลาซของ f(x)
คาสง InverseLaplaceTransform[F[s], s, x] ใหผลเปนสตร f(x) ทเปนผลการแปลงลาปลาซผกผนของ F(s)
2.22 การแยกเศษสวนยอย
ตวอยางเชน การแยกเศษสวน )1x(x1+
ออกเปน x1 – 1x
1+
พมพ ผลบนจอภาพ
Apart[1/(x*(x+1))]<Shift>+↵
หมายเหต คาสง Apart[f[x]] จะทาการกระจายสตรของ f(x) เมอ f(x) เปนเศษสวนของพหนาม ออกเปน
ผลบวกของเศษสวนยอย
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 32
ตวอยางอน ๆ เชน )x1)(x1(
12x4x2xx2
234
++
+−+− แยกไดเปน –2 + x + x110+
+ 2x1x74
+
−
หมายเหต คาสง Together[f[x]] จะทาการจดรปผลบวกของพหนามและเศษสวนของพหนาม ใหออกมาเปน
รปแบบ เศษสวนของพหนาม )x(q)x(p ตวอยางเชน
2.23 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ และ ระบบสมการเชงอนพนธ
ตวอยาง การหาผลเฉลยสมการเชงอนพนธ y′ = 2x
พมพ ผลบนจอภาพ
DSolve[y'[x]==x^2,y[x],x]
<Shift>+↵
ผลเฉลยคอ y = 3x3
+ 1c
หมายเหต คาสง Dsolve[สมการเชงอนพนธ, y[x] ตวแปรตาม, x ตวแปรอสระ]
y′[x] คอ dxdy , y′′[x] คอ 2
2
dxyd , ...
ตวอยาง การหาผลเฉลยสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนเอกพนธ y′′ + y = 0
พมพ ผลบนจอภาพ
DSolve[y''[x]+y[x]==0,y[x],x]
<Shift>+↵
ผลเฉลยคอ y = 2c cos(x) - 1c sin(x)
ตวอยาง การหาผลเฉลยสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนไมเอกพนธ y′′ + y = 2x
พมพ ผลบนจอภาพ
DSolve[y''[x]+yx]==x^2
,y[x],x]<Shift>+↵
ผลเฉลยคอ y = –2 + 2x + 2c cos(x) - 1c sin(x)
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 33
ตวอยาง การหาผลเฉลยสมการเชงอนพนธ y′′ + y = 2x และ y′(0) = –1, y(0) = 2
พมพ DSolve[{y''[x]+y[x]==x^2,y'[0]==-1,y[0]==2},y[x],x]<Shift>+↵
ผลบนจอภาพ
ผลเฉลยคอ y = –2 + 2x + 4cos(x) - sin(x)
หมายเหต คาสง Dsolve[{สมการเชงอนพนธ, เงอนไข 1, เงอนไข 1, .... }, y[x], x] ใชหาผลเฉลยของ
สมการเชงอนพนธทมเงอนไขเรมตน
ตวอยาง การหาผลเฉลยระบบสมการเชงอนพนธ x′ = x – y + 2
y′ = -x + y – 5
พมพ
DSolve[{x'[t]==x[t]-y[t]+2,y'[t]==-x[t]+y[t]-5},{x[t],y[t]},t]<Shift>+↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต คาสง Dsolve[{สมการเชงอนพนธ 1, สมการเชงอนพนธ 2, .... }, x[t], y[x], t] ใชหาผลเฉลยของ
ระบบสมการเชงอนพนธทม x, y เปนตวแปรตาม และ t เปนตวแปรอสระ
ตวอยาง การหาผลเฉลยระบบสมการเชงอนพนธ x′ = x – y + 2
y′ = -x + y – 5
x(0) = 1, y(0) = –1
พมพ
DSolve[{x'[t]==x[t]-y[t]+2,y'[t]==-x[t]+y[t]-5,x[0]==1,y[0]==-1},{x[t],y[t]},t]
<Shift>+↵
ผลบนจอภาพ
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Mathematica Mathematica – 34
2.24 ฟงกชนเกยวกบจานวนเตมเชน หรม. ครน. การแยกตวประกอบจานวนเตม
การหาตวประกอบของจานวนเตม
พมพ ผลบนจอภาพ
FactorInteger[100]<Shift>+↵
FactorInteger[10!]<Shift>+↵
หมายเหต คาสง FactorInteger[x] จานวนตวประกอบทเปนจานวนเฉพาะของจานวนเตม x
ตวอยางจากผลการคานวณเชน 100 = 22 25 และ 10! = 82 43 25 17
การหา หรม.
พมพ ผลบนจอภาพ
GCD[40,32]<Shift>+↵
GCD[40,32,64,96]<Shift>+↵
หมายเหต คาสง GCD[a, b, c, ...] ใชในการหา หรม. ของ a, b, c, ...
การหา ครน.
พมพ ผลบนจอภาพ
LCM[40,32]<Shift>+↵
LCM[40,32,64,96]<Shift>+↵
หมายเหต คาสง LCM[a, b, c, ...] ใชในการหา ครน. ของ a, b, c, ...
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica Mathematica – 35
บทท 3.
การเขยนกราฟดวย Mathematica
โปรแกรม Mathematica มความสามารถในการเขยนกราฟทใชงานในคณตศาสตรระดบนกเรยน และ
กราฟสาหรบเนอหาคณตศาสตรระดบอดมศกษา ไดหลายแบบ เชน กราฟในระบบพกดมมฉาก กราฟ 2 มต
กราฟ 3 มต กราฟเชงขว ในบทน จะศกษาการใชคาสงเพอเขยนกราฟรปแบบตางๆ เพอใหไดรปของกราฟทม
ทงความเหมาะสม และ ความสวยงาม
ตวอยางของกราฟบางรปแบบทโปรแกรมสาเรจรป Mathematica ทาไดเชน
กราฟในพกดมมฉาก 2 มต กราฟพ นผว 3 มต
f(x) = 2x - 3x – 7 f(x, y) = 2x – 2y
กราฟในพกดเชงขว กราฟเสนโคงใน 3 มต
r = 4cos(2t) r(t) = (2sint, 3cost, πt )
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
20
40
60
80
-2-1
01
2-2
-1
0
12
-4-2024
-2-1
01
2
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
-2-1
01
2
-2
0
2
01
2
3
4
-2-1
01
2
-2
0
2
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica Mathematica – 36
3.1 การเขยนกราฟในระบบพกดมมฉาก 2 มต
ตวอยาง การเขยนกราฟ y = 2x - 3x – 7
พมพ Plot[x^2-3*x-7, {x, -8, 8}]<Shift>+↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต Plot[f[x], {x, a, b}] เปนคาสง plot กราฟ y = f(x) บนชวง [a, b]
ตวอยาง การเขยนกราฟ y = 2x - 3x – 7 และ y = 2x
พมพ Plot[{2*x+3, x^2-4}, {x, -5, 5}]<Shift>+↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต Plot[{f[x], g[x], ....}, {x, a, b}] เปนคาสง plot กราฟ y = f(x) และ y = g(x) บนชวง [a, b]
3.2 การเขยนกราฟของแผนภาพการกระจายของขอมล
ตวอยางของขอมลเชน
พมพ ผลบนจอภาพ
<<Graphics`Graphics`↵
เปนคาสงเรยก package Graphics ขนมาทางาน
พมพ ListPlot[{{2,4},{5,10},{7,25},{11,32},{15,38}}]<Shift>+↵
ผลบนจอภาพ
x y 2 4 5 10 7 25 11 32 15 38
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica Mathematica – 37
หมายเหต ListPlot[{ 1y , 2y , ...}] ใช เขยนกราฟคลาดบ (i, iy ) , i = 1, 2, 3, ... , n
ListPlot[{{ 1x , 1y }, { 2x , 2y }, ...}] ใช เขยนกราฟคลาดบ ( ix , iy ) , i = 1, 2, 3, ... , n
3.3 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก 2 มต
ตวอยาง การเขยนกราฟของสมการ x(t) = 80t และ y(t) = –16 2t + 80t บนชวง 0 < t < 5
พมพ ParametricPlot[{80*t,-16*t^2+80*t},{t,0,5}]<Shift>+↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต ParametricPlot[{x(t), y(t)}, {t, a, b}] เปนคาสง plot กราฟของ r(t) = (x(t), y(t)) บน
ชวงเวลา t ตงแต a ถง b
ParametricPlot[{{x(t), y(t)}, {f(t), g(t)}, ...}, {t, a, b}]
เปนคาสง plot กราฟของ (x(t), y(t)), (f(t), g(t)), .. บนชวงเวลา t ตงแต a ถง b
ตวอยางการเขยนกราฟพาราเมตรก 2 เสน
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica Mathematica – 38
3.4 การเขยนกราฟในระบบพกดพกดเชงขว
ตวอยางการเขยนกราฟ r = 4cos(2t)
พมพ ผลบนจอภาพ
<<Graphics`Graphics`↵
เปนคาสงเรยก package Graphics ขนมาทางาน
พมพ PolarPlot[4*Cos[2*t],{t,0,2*Pi}]<Shift>+↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต PolarPlot[r(t), {t, a, b}] เขยนกราฟเชงขว r(t) บนชวง [a, b]
PolarPlot3D[{ 1r (t), 2r (t), ... }, {t, a, b}] เขยนกราฟเชงขว 1r (t), 2r (t), ... บนชวง [a, b]
ตวอยางเชน
3.5 การเขยนกราฟในระบบพกดมมฉาก 3 มต
3.5.1 กราฟพนผว 3 มต
ตวอยางการเขยนกราฟพนผว z = 2x – 2y บนชวง [–2, 2] × [–2, 2]
พมพ ผลบนจอภาพ
<<Graphics`Graphics`↵
เปนคาสงเรยก package Graphics ขนมาทางาน
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica Mathematica – 39
พมพ Plot3D[x^2-y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]<Shift>+↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต Plot3D[{f(x, y), {x, a, b}, {y, c,d}] เขยนกราฟพนผว z = f(x, y) บนชวง [a, b] × [c, d]
3.5.2 การเขยนกราฟแบบ contour
ตวอยาง การเขยนกราฟแบบ contour ของพนผว z = 2x – 2y บนชวง [–2, 2] × [–2, 2]
พมพ ContourPlot[x^2-y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]<Shift>+↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต ContourPlot[{f(x, y), {x, a, b}, {y, c, d}]
เปนคาสงเขยนกราฟแบบ contour ของพนผว z = f(x, y) บนชวง [a, b] × [c, d]
3.5.3 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก 3 มต r(t) = (x(t), y(t), z(t))
ตวอยาง การเขยนกราฟของสมการ x(t) = sin(t), y(t) = cos(t) และ z(t) = 4t บนชวง 0 < t < 2π
พมพ ParametricPlot3D[{Sin[t],Cos[t],t/4},{t,0,2*Pi}]<Shift>+↵
ผลบนจอภาพ
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica Mathematica – 40
หมายเหต ParametricPlot3D[{x(t), y(t), z(t)}, {t, a, b}]
เปนคาสง plot กราฟของ r(t) = (x(t), y(t), z(t)) บนชวงเวลา t ตงแต a ถง b
3.5.4 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก 3 มต แบบ 2 ตวแปร
ตวอยาง การเขยนกราฟของสมการ
x(t, u) = cost(3 + cosu), y(t, u) = sint(3 + cosu), z(t, u) = sinu บนชวง 0 < t < 2π และ 0 < u < 2π
พมพ ParametricPlot3D[{Cos[t]*(3+Cos[u]),Sin[t]*(3+Cos[u]),Sin[u]},{t,0,2*Pi
},{u,0,2*Pi}]<Shift>+↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต ParametricPlot3D[{x(t, u), y(t, u), z(t, u)}, {t, a, b}, {u, c, d}]
เปนคาสงเขยนกราฟของพนผว (x(t, u), y(t, u), z(t, u)) บนชวง [a, b] × [c, d]
ตวอยางของการเขยนกราฟทมการกาหนดรปแบบตาง ๆ เพอใหไดรปกราฟทเหมาะสมและสวยงามมากขน
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica Mathematica – 41
3.6 การเขยนกราฟของฟงกชนทนยามสตรตางกนในแตละชวง
ตวอยาง การเขยนกราฟ f(x) =
≥−<−
1x ,x21x ,1x2
ขนท 1. กาหนดสตร f(x)
พมพ f[x_]:=2*x-1/;x<1↵
f[x_]:=2-x/;x>=1<Shift>+↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต /; เปนการกาหนดโดเมนของสตร f(x)
พมพ >= โปรแกรม Mathematica จะจดรปเปน ≥
พมพ <= โปรแกรม Mathematica จะจดรปเปน ≤
ขนท 2. การเขยนกราฟ
พมพ Plot[f[x],{x,-1,3}]<Shift>+↵
ผลบนจอภาพ
ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) =
<≤≤−
−<−
x2,22x2,x
2x,2
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica Mathematica – 42
3.7 คาสงทใชในการปรบปรงรปแบบของกราฟ
ลกษณะ หนาท คา Default
PlotRange กาหนดขอบเขตของพสยในการเขยนกราฟ Automatic
AspectRatio กาหนดสดสวน ความสงตอความกวางของกราฟ Automatic
Frame กาหนดใหมกรอบลอมรอบกราฟ False
FrameLabel กาหนดใหมคาอธบายทกรอบ FrameLable{xlabel,
ylabel} หรอ FrameLable{text1, text2, text3,
text4} เปนคาอธบายทกรอบของรปโดยเรมทใต
กรอบและหมนตามเขมนาฬกาไปดานถดไปของกรอบ
None
Axes กาหนดใหมการแสดงแกน X, Y, Z ในกราฟ Automatic
AxesLabel กาหนดใหมคาอธบายทแกน X, แกน Y ซงกาหนดได
โดย {xlabel, ylabel}
None
AxesOrigin กาหนดจดตดแกนวาตองการใหตดกนทจดใด Automatic
FrameTicks กาหนดใหมการขด scale ทกรอบของกราฟ
หมายเหต ตองกาหนดใหมกรอบกอนใชคาสงน
Automatic
GridLines กาหนดใหมเสน grid ภายในกรอบของกราฟ Automatic
DisplayFunction กาหนดใหมการแสดงกราฟหรอเกบไวโดยไมแสดงผล
DisplayFunction $DisplayFunction แสดงกราฟ
DisplayFunction Identity ไมแสดงกราฟ
$Display
Function
PlotLabel กาหนดชอกราฟ None
PlotStyle กาหนดลกษณะของการเขยน
เชน PointSize[n] กาหนดขนาดของจดท plot
Automatic
PlotJoined กาหนดใหมการโยงเสนตรงระหวางจดหรอไม False
Ticks กาหนดใหมขด scale ทแกน X และ แกน Y Automatic
AxesLabel การแสดงคาอธบายประกอบทแกน None
Boxed กาหนดใหมกรอบเปนรปกลองลอมรอบกราฟ True
FaceGrids การแสดงเสน grid บนสวน box None
HiddenSurface การแสดงพนผวใหมลกษณะเปน solid True
Lighting การแสดงพนผวทมสใหมแสง True
Mesh การแสดงพนผวทมลกษณะเปนรางแห True
Shading กาหนดการแรเงาพนผว True
ViewPoint กาหนดวาจะมองกราฟในมมใด {1.3, -2.4, 2}
หมายเหต การกาหนดคาใหกบ Option ตาง ๆ เชน Frame → True
การพมพสญลกษณลกศร ใหพมพ -> โปรแกรม Mathematica จะเปลยนเปนลกศร → ใหเอง
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica Mathematica – 43
ตวอยางท 1. การใช PlotRange กาหนดพสยของการ Plot กราฟ
เมอกาหนด PlotRange → {0, 1} ทาใหการ Plot กราฟคาของ y = sinx ในบรเวณ 0 ≤ y ≤ 1 เทานน
ตวอยางท 2. การใช AspectRatio กาหนดสดสวน ความสงตอความกวาง ของกราฟ
ตวอยางท 3. การใช Frame, PlotLabel, FrameLabel, RotateLabel, Axes และ AxesOrigin
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica Mathematica – 44
ตวอยางท 4. การกาหนดใหมการขดบนแกนตามตาแหนงทตองการดวยคาสง Ticks
ตวอยางท 5. การกาหนดใหมการขดบนแกนตามตาแหนงทตองการดวยคาสง Ticks และลากเสนกรดตาม
ตาแหนงทตองการดวยคาสง GridLines
ตวอยางท 6. การกาหนดคาเกยวกบ Shading, PlotPoints, Mesh, FaceGrids และ AxesLabel
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica Mathematica – 45
ตวอยางท 7. การเขยนกราฟหลายกรอบพรอมกน
line 1. เลอกใช package ของการเขยนกราฟ
line 2. สงใหเขยนกราฟรปแรก แตไมตองแสดงผลของกราฟ และ เกบไวในตวแปร graph1
line 3. สงใหเขยนกราฟรปท 2 แตไมตองแสดงผลของกราฟ และ เกบไวในตวแปร graph2
line 4. สงใหเขยนกราฟรปท 3 แตไมตองแสดงผลของกราฟ และ เกบไวในตวแปร graph3
line 5. สงใหเขยนกราฟรปท 4 แตไมตองแสดงผลของกราฟ และ เกบไวในตวแปร graph4
line 6. Show[GraphicsArray[....]] เปนการแสดงผลของกราฟ
หมายเหต
Show[GraphicsArray[{g1, g2, g3, ...}] แสดงกราฟ g1, g2, g3, ... เปนแถวตามแนวนอน
Show[GraphicsArray[{{g1}, {g2}, {g3}, ...}] แสดงกราฟ g1, g2, g3, ... เปนแถวตามแนวดง
Show[GraphicsArray[{{g1, g2}, {g3, g4}, ...}] แสดงกราฟ g1, g2, g3, ... ในรปแบบตาราง
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica Mathematica – 46
ตวอยางท 8. การกาหนดคาเกยวกบจดทใชในการเขยนกราฟ เชนขนาดของจด
ตวอยางท 9. การเขยนกราฟแบบโยงเสนระหวางจดโดยใช PlotJointd → True
ตวอยางท 10. กาหนด f(x) = xsinx บนชวง [0, π] การเขยนกราฟ f(x), f′(x) และ f′′(x) พรอมกน
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica Mathematica – 47
3.8 การเขยนกราฟของฟงกชนทนยามโดยนยหรอกราฟของความสมพนธ
ตวอยางการเขยนกราฟของวงร 16x2
+ 9y2
= 1
พมพ ผลบนจอภาพ
<<Graphics`ImplicitPlot`↵
เปนคาสงเรยก package ImplicitPlot ขนมาทางาน
พมพ ImplicitPlot[{x^2/16+y^2/9==1},{x,-6,6},{y,-4,4}]<Shift>+↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต
ImplicitPlot[f(x, y), {x, a, b}, {y, c, d}] เขยนกราฟความสมพนธ f(x, y) บนชวง [a, b] × [c, d]
ImplicitPlot[{ 1f (x, y), 2f (x, y), ...}, {x, a, b}, {y, c, d}] เขยนกราฟความสมพนธ 1f (x, y),
2f (x, y), ... บนชวง [a, b] × [c, d]
ตวอยางการเขยนกราฟไฮเพอรโบลา 16x2
– 9y2
= 1
การเขยนกราฟของวงกลม 2x + 2y = 16 และไฮเพอรโบลา 16x2
– 9y2
= 1
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica Mathematica – 48
3.9 การเขยนกราฟของสมการและการแลเงาในบรเวณทตองการ
ตวอยางการเขยนกราฟและแรเงาพนทระหวางเสนโคง y = 2x – x – 4 กบ y = x + 4
พมพ ผลบนจอภาพ
<<Graphics`FilledPlot`↵ เปนคาสงเรยก package FilledPlot ขนมาทางาน
พมพ FilledPlot[{x^2-x-4,x+4},{x,-2,4},Fills->GrayLevel[0.7]]<Shift>+↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต
FilledPlot[{f(x), g(x)}, {x, a , b}] เขยนกราฟ f(x) และ g(x) บนชวง [a, b] และแรเงาพนทดวย
Fills→GrayLevel[0.7]] เปนการกาหนดความเขมของสดาในการแรเงา
ตวอยางการเขยนกราฟและแรเงาพนทระหวางเสนโคง y = sinx และ y = cosx บนชวง [0, 45π ]
ตวอยางการเขยนกราฟและแรเงาพนทระหวางเสนโคง y = 4 – 2x บนชวง [–2, 2]
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica Mathematica – 49
3.10 การเขยนกราฟของพ นผวทเกดจากการหมนเสนโคง
ตวอยางการเขยนกราฟพนผวทเกดจากการหมน เสนโคง y = x บนชวง [0, 1] รอบแกน X
พมพ ผลบนจอภาพ
<<Graphics
`SurfaceOfRevolution`↵
คาสงเรยก package SurfaceOfRevolution ขนมาทางาน
พมพ SurfaceOfRevolution[x,{x,0,1},RevolutionAxis->{1,0,0}]<Shift>+↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต
SurfaceOfRevolution[f(x), {x, a, b}, RevolutionAxis → {1, 0, 0}] เปนคาสงเขยนกราฟพนผวทเกดจาก
การหมนเสนโคง y = f(x) บนชวง [a, b]
RevolutionAxis → {1, 0, 0}] รอบแกน X , RevolutionAxis → {0, 1, 0}] รอบแกน Y
ตวอยางการเขยนกราฟพนผวทเกดจากการหมน เสนโคง y = 2sinx บนชวง [0, 2π] รอบแกน X
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Mathematica Mathematica – 50
ตวอยางการเขยนกราฟพนผวทเกดจากการหมน เสนโคง y = 2cosx บนชวง [0, 4π] รอบแกน X
ตวอยางการเขยนกราฟพนผวทเกดจากการหมน เสนโคง y = 2cosx บนชวง [0, 4π] รอบแกน Z
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica Mathematica – 51
บทท 4.
การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica
ในบทนจะเปนการใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรมสาเรจรป Mathematica เชนการพมพสตร การนาสตร
เกากลบมาใชใหม การอางถงผลลพธเพอนากลบมาใชใหม การบนทกแฟม การเปลยนแปลงขนาดตวแปร
ตวเลข การใชงาน window ตาง ๆ ของ Mathematica
4.1 การกาหนดผลการคานวณใหแสดงผลลพธตามทตองการ
โปรแกรม Mathematica สามารถกาหนดการแสดงผลการคานวณไดหลายแบบเชน
ตวอยางการคานวณ คาอธบาย
เมอไมกาหนดเงอนไขการแสดงผล
โปรแกรมจะแสดงผลในรปแบบ
เศษสวน
ม . ทายสตร เปนการบงคบให
แสดงผลเปนเลขทศนยม
ม //N ทายสตร เปนการบงคบให
แสดงผลเปนเลขทศนยม
N[ สตร, k] คาสงแสดงผลเปนเลข
ทศนยมทมเลขนยสาคญ k ตว
NumberForm[ สตร, k] คาสงแสดงผล
เปนเลขทศนยมทมเลขนยสาคญ k ตว
ScientificForm[x, k]
แสดงผลเปน N × m10 โดย N ม
ตวเลขนยสาคญ k ตว
EngineeringForm[x, k] แสดงผลเปน
N × m10 โดย N มตวเลขนยสาคญ k
ตว และ 3 หาร m ลงตว
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica Mathematica – 52
4.2 การนาผลการคานวณเกามาใชใน Line input ใหม
การนาผลการคานวณเกาทเคยคานวณไวแลวกลบมาใชใหม มวธทาดงน
วธท 1. ใชการอางถงดวยสญลกษ %, %%, %%% , ... และ %k
% ผลการคานวณลาสดยอนหลง 1 ขนตอน
%% ผลการคานวณลาสดยอนหลง 2 ขนตอน
%%% ผลการคานวณลาสดยอนหลง 3 ขนตอน
:
%k ผลการคานวณจาก Output ตวท k
ตวอยางเชน
ใน Input line[3] 5 + % คอการบวก 5 ดวยผลลพธลาสดจาก Out[2]
ใน Input line[4] 35 + %% คอการบวก 5 ดวยผลลพธยอนหลง 2 ขนตอน
ซงเปนผลทไดจาก Out[2]
ใน Input line[5] 5 + %2 คอการบวก 5 ดวยผลลพธจาก Out[2]
วธท 2. ใชการอางถงดวย Out[k] หมายถงผลการคานวณใน Out[k]
ตวอยางเชน
ใน Input line[5] 5 + Out[1] คอการบวก 5 ดวยผลลพธทไดจาก Out[1]
4.3 การ copy สตร และ การ paste สตร
การทางานใน window notebook ของ Mathematica มสงตาง ๆ ทเกดขนระหวางการทางาน จากตวอยาง
ตอไปน มบรเวณทสาคญดงน
1. สญลกษณทบอกวาเรากาลงทางานใน Window notebook ของ Mathematica
2. ชอแฟมขอมล notebook(*.nb) ของ Mathematica ในตวอยางนชอวา test.nb
ในกรณทเขาใหมและยงไมไดบนทกแฟม Mathematica จะตงชอชวคราววา Untitled
3. การนาแฟมเกามาแกไข หากยงไมไดบนทก Mathematica จะเตอนเราดวยเครองหมายดอกจนเหนอชอ
4. Line Input[...] เปนบรเวณทเราพมพคาสงตาง ๆ เพอการคานวณ
5. สญลกษณวงเลบทคลม Line Input[...] ภายในสญลกณแบบน เราสามารถแกไขสตรในบรรทดนนและสง
คานวณใหมได (หมายเหต เมอแกไขและสงคานวณ Mathematica จะถอวา Input Line นนเปน Input
Line ใหมลาสด ขอใหสงเกตทหมายเลข Input Line[...])
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica Mathematica – 53
6. สญลกษณวงเลบทคลม Line Input[...] และ Output Line[...] ชดเดยวกน โดยจาแนกยอยเปน
7. สวนของ Input Line
8. สวนของ Output Line (หมายเหต ในสวนของ Output Line จะแกไขสตรไมได)
การ Copy สตรมขนตอนดงน
ขนท 1. คลกเมาสทวงเลบหมายเลข 5.
จะขนแถบสดาดงรป
ทาการ copy โดยการกด <Ctrl> + C
ขนท 2. คลกเมาสในทวาง ๆ ใตบรรทด Out[2]
กด <Ctrl> + V จะเปน paste สงทเรา copy ไวเพอจะไดทาการแกไขเปน Input Line ใหมตอไป
4.3 การบนทกแฟม Notebook.nb
จากตวอยางการทางานใน Window Notebook
การ save แฟมขอมลมขนตอนดงน
ขนท 1. คลกคาสง File
ขนท 2. เลอกคาสงยอย Save
จะไดเมนยอยของการบนทกแฟมขอมล
ขนท 3. พมพชอแฟมเชน Newfile แลวคลกแปน Save
4.4 การเปดแฟม Notebook.nb
ขณะทางานใน Window Notebook
การเปดแฟมขอมลมขนตอนดงน
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica Mathematica – 54
ขนท 1. คลกคาสง File
ขนท 2. เลอกคาสงยอย Open
จะไดเมนยอยของการเปดแฟมขอมล
ขนท 3. พมพชอแฟมเชน Newfile แลวคลกแปน Open
จะไดแฟมเกาทบนทกไวเพอจะไดทางานตอไป
ขอสงเกต ตรงหมายเลข 1. และ 2. ไมมคาวา Ln[...] และ Out[...] เหตผลกคอ เมอเปดแฟม Notebook เขา
มาใหม โปรแกรม Mathematica ยงไมเตมหมายเลข Input Line และ Output Line ให
การสงใหโปรแกรมทเปดขนมาใหม ทาการคานวณใหมมขนตอนดงน
ขนท 1. กด <Ctrl> + A
เพอเลอกคานวณใหมทงแฟม
ขนท 2. คลกทเมน Kernel
เลอกเมนยอย Evaluation
เลอกเมนยอยของ Evaluation คอ Evaluate Cells
จอภาพจะเปลยนแปลงไปเปนดงน
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica Mathematica – 55
4.5 ฟงกชนทางคณตศาสตรและฟงกชนอน ๆ ทสาคญ
โปรแกรม Mathematica มฟงกชนทางคณตศาสตรดงน
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
Abs[x] คาสมบรณของ x หรอ คาสมบรณของจานวนเชงซอน a + bi
หมายเหต กด <Esc>ii<Esc> จงจะไดสญลกษณ
Arg[a + bi] คาอารกวเมนตของจานวนเชงซอน a + bi
Re[z], Im[z]
Conjugate[z]
สวนจรง สวนจนตภาพ และ คาสงยค ของ z
Exp[x] เอกซโพเนนเชยลฟงกชน ( xe )
Ceiling[x] จานวนเตมทเลกทสดทมคามากกวาหรอเทากบ x
Round[x] การปดเศษจานวนจรง x ใหเปนตวเลขจานวนเตมทใกลทสด
Floor[x] จานวนเตมทใหญทสดทมคานอยกวาหรอเทากบ x
Log[x] Log[x] คอ ln(x) คาลอกาลทมฐาน e
Log[b, x] xlogb คาลอกาลทมฐาน b
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica Mathematica – 56
Mod[x, y] เศษเหลอจากการหาร x ดวยจานวนเตม y
Sign[x] เทากบ +1 ถา x > 0 และเทากบ –1 ถา x < 0
Sqrt[x] รากท 2 ของ x
Sin[x], Cos[x]
Tan[x], Sec[x]
Csc[x], Cot[x]
ฟงกชนตรโกณมต
ArcSin[x]
ArcCos[x]
ArcTan[x]
ArcSec[x]
ArcCsc[x]
ArcCot[x]
ฟงกชนตรโกณมตผกผน
Sinh[x], Cosh[x]
Tanh[x], Sech[x]
Csch[x], Coth[x]
ฟงกชนไฮเพอรโบลก
ArcSinh[x]
ArcCosh[x]
ArcTanh[x]
ArcSech[x]
ArcCsch[x]
ArcCoth[x]
ฟงกชนไฮเพอรโบลกผกผน
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica Mathematica – 57
คาสงเกยวกบการจดรปพชคณต
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
Apart[f(x)] เขยนเศษสวนของพหนามในรปแบบผลบวกของเศษสวนยอย
Together[f(x)] รวมเทอมผลบวกของเศษสวนยอยใหอยในรปพหนาม )x(q
)x(p
Simplify[f(x)] จดรปแบบพชคณตใหเปนรปแบบอยางงาย
Expand[f(x)]
ExpandAll[f(x)]
กระจายสตรของฟงกชน
Expand[f(x), Trig -> True] กระจายสตรของฟงกชนตรโกณมต
กระจายสตรของฟงกชนทกเทอมทปรากฏ
ComplexExpand
[f(x)]
กระจายสตรของฟงกชนเชงซอน
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica Mathematica – 58
Collect[f(x)] จดรปแบบพชคณตโดยการกระจายตามพจนของตวแปรทกาหนด
Factor[f(x)] แยกตวประกอบ
Factor[f(x),Trig -> True] แยกตวประกอบฟงกชนตรโกณมต
Cancel[f(x)] หาผลหารของพหนาม
Denominator[f(x)] ใชในการหาพหนามสวนทเปนตวสวนของ f(x)
Numerator[f(x)] ใชในการหาพหนามสวนทเปนตวเศษของ f(x)
คาสงเกยวกบผลบวก และ ผลคณ
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
1. Sum[f(i), {i, a, b}]
2. Sum[f(i), {i, a, b, c}]
3. Sum[f(i, j), {i, a, b,
c}, {j, d, e, k}]
1. หาผลรวม f(i) โดย i เปลยนคา จาก a ถง b
2. หาผลรวม f(i) โดย i เปลยนคา จาก a ถง b เพมคาครงละ c
3. หาผลรวม f(i, j)
โดย i เปลยนคา จาก a ถง b เพมคาครงละ c
และ j เปลยนคาจาก d ถง e เพมคาครงละ k
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica Mathematica – 59
1. Product[f(x), {x,a,b}
2. Product[f(x),{x,a,b,c}
3. Product[f(x, y),
{x, a, b, c}, {j, d, e, k}
1. หาคณ f(x) โดย x เปลยนคา จาก a ถง b
2. หาผลคณ f(x) โดย x เปลยนคา จาก a ถง b เพมคาครงละ c
3. หาผลคณ f(x, y)
โดย x เปลยนคา จาก a ถง b เพมคาครงละ c
และ y เปลยนคาจาก d ถง e เพมคาครงละ k
คาสงเกยวกบ ฟงกชน ลมต อนพนธ และ อนทเกรต
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
f[x_]:=....
f[x]/.x→a
f[a]
f[x_]:=......เปนการกาหนดสตรฟงกชน
คานวณคา f(a) (หมายเหต → ไดจากการพมพ – และ >)
f[a] คาสงคานวณคา f(a)
Composition[f, g, ...][x]
Nest[f, x, n]
ฟงกชนประกอบของ f, g, ...
ฟงกชนประกอบ ( f...ff )(x) n ครง
ตวอยางเชน
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica Mathematica – 60
Limit[f[x], x→a]
Limit[f[x], x→a ,
Direction→–1]
Limit[f[x], x→a ,
Direction→1]
หมายถง )x(flimax→
, )x(flimax +→
, )x(flimax −→
ตามลาดบ
1. f′[x], f′′[x], f′′′[x], ...
2. D[f, x]
3. D[f, {x, k}]
4. Dt[f, x]
1. f′(x), f′′(x), f′′′(x), ... ตามลาดบ
2. อนพนธ หรออนพนธยอยของ f เทยบกบ x
3. อนพนธ หรออนพนธยอยอนดบ k ของ f เทยบกบ x
4. คาอนพนธของฟงกชนนยามโดยนย
หมายเหต dxdyyx3xy2)yx(dx
d 22332 +=
1. Integrate[f[x], x]
2. Integrate[f[x],{x,a,b}]
3.
NIntegrate[f[x],{x,a,b}]
1. fdx∫
2. dx)x(fb
a∫
3. การประมาณคา dx)x(fb
a∫
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica Mathematica – 61
คาสงเกยวกบการคานวณคณตศาสตรขนสง
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
LaplaceTransform[f[x], x,
s]
ผลการแปลงลาปลาซของ F(s)
InverseLaplaceTransform
[F[s], s, x]
ผลการแปลงลาปลาสผกผนของ F(s)
Series[f[x], {x, a, n}] พหนามเทยเลอรของ f รอบจด x = a ดกรไมเกน n
คาสงในการหารากสมการ และ ผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
Solve[equ1==equ2]
Solve[{equ1==equ2,
equ3==equ4,...}]
หารากของสมการ equ1 = equ2
หาผลเฉลยของระบบสมการ equ1 = equ2, equ3 = equ4, ...
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Mathematica Mathematica – 62
NSolve[equ1==equ2]
NSolve[{equ1==equ2,
equ3==equ4,...}]
หารากของสมการ equ1 = equ2
หาผลเฉลยของระบบสมการ equ1 = equ2, equ3 = equ4, ...
NRoots[equ1==equ2, x] หารากของสมการ equ1 = equ2
FindRoot[equ1==equ2,
{x, 0x }]
หารากของสมการพหนาม equ1 = equ2 โดยมจดเรมตนของการ
ประมาณคารากท x = 0x
Reduce[equ1==equ2] คนหาความเปนไปไดของผลเฉลยของสมการ
Eliminate[equ1==equ2
&& equ1==equ2, ตวแปร
ทตองการ]
ขจดตวแปรอน ๆ ทงไปจากระบบสมการ ใหเหลอไวเฉพาะตว
แปรทตองการ
DSolve[equ1,y[x],x] หาผลเฉลยของสมการเชง
อนพนธ
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathematica Mathematica – 63
บทท 5.
การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathematica
จากแผนภมสายงาน
เรมตน ↓
กาหนดคาตางๆ ของตวแปร ↓
คานวณคาตางๆ ตามสตร ↓
แสดงผลการคานวณ ↓
จบการทางาน
เราสามารถนามาประยกตกบการคานวณทางคณตศาสตรไดหลายแบบเชน
โปรแกรมหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดความยาวดาน a, b และ c
โปรแกรมหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดพกดจดยอด 3 จด
โปรแกรมหารากสมการ f(x) = 0 โดยวธของนวตน
โปรแกรมหาผลเฉลยเชงตวเลขของสมการเชงอนพนธ โดยวธของออยเลอร
โปรแกรมท 1. การหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดความยาวของดาน a, b, c
สวนของ INPUT คอ การกาหนดคา a, b, c
สวนประมวลผล คอ การคานวณคา s และ area
สวนแสดงผล คอ การพมพคา area
ขนตอนการเขยนโปรแกรมมดงน
ขนท 1. เขาสการทางานของ Mathematica
(หมายเหต เพอใหผลของการพมพ
และขอความทปรากฏ เหมอนกบคาแนะนา
ในหนงสอขณะน ขอใหปดการทางานของ
Mathematica กอน แลวจงเขามาใหม)
ขนท 2. พมพโปรแกรม ดวยคาสงตาง ๆ ตามทตองการ
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathematica Mathematica – 64
พมพ ผลบนจอภาพ
a:=3;↵
หมายเหต 1. กด ↵ เพอขน
บรรทดใหม โดยไมคานวณ
2. สญลกษญ ln[..] ยงไมม
เพราะวายงไมไดสงคานวณ
ขอสงเกต 1. ม * ทชอ Untiled-1*
2. Curser รอทบรรทดถดไป โดยยงไมคานวณ
b:=4;↵
c:=5;↵
s:=(a+b+c)/2;↵
area:=Sqrt[s*(s–a)*(s–b)*(s–
c)];↵
area<Shift>+↵
ขอสงเกต
1. ln[2] คอ b:=4;
ln[3] คอ c:=5;
:
ln[6] คอ area
ไมแสดงสญลกษญ line in ออกมา
ผลการคานวณทได คอ area มคาเทากบ 6
ทดลองเปลยนคา a, b, c ใหมเปน a:=5, b:=12, c:=13 แลวกด <Shift>+↵ จะไดผลการคานวณใหมดงน
ขอสงเกต 1. ไดผลการคานวณใหมเปน area = 30
2. หมายเลขของ Line In และ Line Out เปลยนแปลงไปจากเดม
การบนทกโปรแกรม
ขนท 1. คลกทคาสง File\Save
ขนท 2. เลอกบนทกชอตามตองการ (สมมตตองการบนทกชอเปน Findarea)
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathematica Mathematica – 65
เมอเรา Save โปรแกรมแลว ชอชวคราว Untiled–1 จะเปลยนเปน Findarea.nb ตอไปขอใหปดการทางานของ
โปรแกรม Mathematica แลวกลบเขามาใหมอกครง เพอทดลองนาโปรแกรมเกากลบมาทางาน
ขนท 1. เปดแฟมโปรแกรมดวยคาสง
File\Open
จะไดเมนยอยของการเปดแฟมขอมล
ขนท 2. พมพชอ Findarea เสรจแลวคลก Open
แกไขคา a, b, c ใหมเชน a:=10, b:=8, c:=6 แลวกด <Shift>+↵ จะไดผลการคานวณใหมดงน
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathematica Mathematica – 66
โปรแกรมท 2. การหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดพกดจดยอด 3 จด
หมายเหต เมอกาหนดจดยอดของสามเหลยม ABC มาให A( 0x , 0y ), B( 1x , 1y ), C( 2x , 2y )
พนทสามเหลยม = 21 | det(
02020101
yyxxyyxx
−−−− )| = 2
1 |( 1y – 0y )( 2x – 0x ) – ( 1x – 0x )( 2y – 0y )|
โปรแกรมการหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดพกดจดยอด 3 จด
คาสงตาง ๆ ทควรทราบเพอใชในการเขยนโปรแกรมของ Mathematica
คาสง รปแบบและหนาท
Print[...] ใชพมพ ขอความ ตวแปร
Do Do[คาสง, {imax}] ทางานทกาหนดซา imax ครง
Do[คาสง(i), {i, imax}] ทางานทกาหนดซาตามคาของ i ตงแต 1 ถง
imax และ i เพมคาครงละ 1
Do[คาสง(i), {i, imax, d}] ทางานทกาหนดซาตามคาของ i ตงแต 1 ถง
imax และ i เพมคาครงละ d
Do[คาสง(i, j), {i, imax}, {j, jmax] ทางานทกาหนดซาตามคาของ i
ตงแต 1 ถง imax และ i เพมคาครงละ 1 และ j ตงแต 1 ถง jmax และ j
เพมคาครงละ 1
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathematica Mathematica – 67
While While[เงอนไข 1., คาสง 1.]
ถา เงอนไข 1. เปนจรง ใหทางานตามคาสง 1.
For For[start, test, incr, body]
start การกาหนดคาตวแปรเรมตน
test เงอนไขในการทางาน ถา เงอนไข เปนเทจ ใหออกจากลป For
incr การเพมคาของตวแปร
body กลมคาสงของการทางาน
If If[test, command1, command2] เมอ test คอ เงอนไข
ถา เงอนไข test เปนจรง ใหทา command1
ถา เงอนไข test เปนเทจ ใหทา command2
โปรแกรมท 3. การหาราก f(x) = 0 โดยใชสตรของนวตน )x(f
)x(fxxn
'n
n1n −=+ เมอกาหนดคาเรมตน 0x
ตวอยาง การหารากของสมการ f(x) = 2x – 2, 0x = 1
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Mathematica Mathematica – 68
ผลการทางานของโปรแกรม
เปรยบเทยบกบ 2 คอ
โปรแกรมท 4. การหาผลเฉลยเชงตวเลขของสมการเชงอนพนธ dxdy = f(x, y) เมอกาหนด y( 0x ) = 0y
การหาคาประมาณของ y(c) โดยวธของออยเลอร
ตวอยาง dxdy = xy และ y(1) = 1 จงหาคาประมาณของ y(1.5)
ผลการทางานของโปรแกรม
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathematica Mathematica – 69
บทท 6.
การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathematica
ในบทนจะเปนการนาความสามารถของ Mathematica มาใชในการคานวณเพอเสรมการเรยนการสอน
คณตศาสตรระดบมธยมศกษาตอนปลายโดยจาแนกเนอหาคณตศาสตรตามระดบ ม. 4 – ม. 6
6.1 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 011
1. การคานวณเบองตน บวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลง และ การหารากท 2
2. การคานวณคาในรปแบบตาราง การกาหนดสตรฟงกชนและการคานวณคา
3. การเขยนกราฟฟงกชน
4. การเปลยนเลขฐาน 8 ฐาน 16 เปนเลขฐาน 10 และการคานวณ
5. การแยกตวประกอบพหนาม และการกระจายพหนาม
6. การหาคาตอบของสมการพหนาม
ตวอยางการคานวณ
1. การคานวณเบองตน บวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลง และ การหารากท 2
2. การคานวณคาในรปแบบตาราง การกาหนดสตรฟงกชนและการคานวณคา
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathematica Mathematica – 70
3. การเขยนกราฟฟงกชน
4. การเปลยนตวเลขในฐานตาง ๆ ระหวาง เลขฐาน 2 ฐาน 16 และ เลขฐาน 10
5. การแยกตวประกอบ และ กระจาย พหนาม
6. การหาคาตอบของสมการพหนาม เชนการหารากของ 2x – 2 = 0
6.2 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 012
1. การเขยนกราฟ วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา
2. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, sec, cosec, cot
3. กราฟของ sin, cos, tan, sec, cosec, cot
4. การหา คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน ความแปรปรวน สวนเบยงเบนมาตรฐาน
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathematica Mathematica – 71
ตวอยางการคานวณ
1. การเขยนกราฟ วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา
การเขยนกราฟของวงกลม 2x + (y + 3) 2 = 16
การเขยนกราฟของพาราโบลา x = 2y
การเขยนกราฟของวงร 19y
16x 22
=+
การเขยนกราฟของไฮเพอรโบลา 14x
9y 22
=−
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathematica Mathematica – 72
2. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, sec, cosec, cot
3. กราฟของ sin, cos, tan, sec, cosec, cot
4. การหา คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน ความแปรปรวน สวนเบยงเบนมาตรฐาน
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathematica Mathematica – 73
6.3 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 013
1. การเขยนกราฟของ y = xa และ y = xloga การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง
2. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมตผกผน
3. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน
4. การคานวณเกยวกบเมทรกซ
ตวอยางการคานวณ
1. การคานวณคา การเขยนกราฟของ y = xa และ y = alog x การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง
2. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมตผกผน
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathematica Mathematica – 74
3. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน
4. การคานวณเกยวกบเมทรกซ
การบวกเมทรกซ การคณเมทรกซ สเกลารคณเมทรกซ คากาหนดของเมทรกซ
การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 3y = 2
5x + 8y = 1
หมายเหต ถา x เคยมการกาหนดคาไวแลว ตองใชคาสง Clear[x] เพอยกเลกตวแปร x
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathematica Mathematica – 75
6.4 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 014
1. การบวกและลบเวกเตอร สเกลารคณเวกเตอร ผลคณเชงสเกลาร ขนาดของเวกเตอร
2. การบวกและลบจานวนเชงซอน คาสมบรณ อารกวเมนต สวนจรง และ สวนจนตภาพของจานวนเชงซอน
3. การหาคาสถตของขอมล
ตวอยางการคานวณ
1. การบวกและลบเวกเตอร สเกลารคณเวกเตอร ผลคณเชงสเกลาร ขนาดของเวกเตอร
2. การบวกและลบจานวนเชงซอน คาสมบรณ อารกวเมนต สวนจรง และ สวนจนตภาพของจานวนเชงซอน
3. การหาคาสถตของขอมล
6.5 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 015
1. การหาลมตของลาดบ การหาผลบวกของอนกรม และ สตรผลบวกของอนกรม
2. การหาลมตของฟงกชน และอนพนธของฟงกชน และ อนพนธอนดบสง และ การเขยนกราฟของ f, f′ 3. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล และการหาพนทใตโคง
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathematica Mathematica – 76
ตวอยางการคานวณ
1. การหาลมตของลาดบ การหาผลบวกของอนกรม และ สตรผลบวกของอนกรม
หมายเหต สญลกษณ → ไดจากการพมพ –>
สญลกษณ ∞ ไดจากการพมพ \[Infinity]
หรอ <Esc>inf<Esc>
2. การหาลมตของฟงกชน อนพนธของฟงกชน และ อนพนธอนดบสง และ การเขยนกราฟของ f, f′
3. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล และการหาพนทใตโคง
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathematica Mathematica – 77
6.6 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 016
1. การคานวณ n!, rn P , r
n C และ การกระจายทวนาม
2. กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล
3. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล
ตวอยางการคานวณ
1. การคานวณ n!, rn P , r
n C และ การกระจายทวนาม
2. กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล
ตวอยางขอมลเชน
x y 2 3 4 7 9 12 10 15 14 22
3. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล
สมการแสดงความสมพนธของขอมลคอ y = 1.50647x + 0.049596
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Mathematica Mathematica – 78
6.7 Mathematica กบการเฉลยขอสอบคณตศาสตร Entrance
ขอสอบ Entrance สามารถหาคาตอบไดดวยโปรแกรม Mathematica ตวอยางเชน
ขอสอบคณตศาสตร 1. มนาคม 2546 ขอ 18.
0x
lim→ 3x
1 [ x1+ – x1− – )x1)(x1( 2−+ + )x1)(x1( 2−− ] มคาเทากบขอใดตอไปน
1. 0 2. 41
3. 21 4. 1
การคานวณดวย Mathematica
เพราะฉะนนตอบขอ 3.
ขอสอบคณตศาสตร 2. มนาคม 2546 ขอ 11.
ถา xsin1
1−
+ xsin1
1+
= 8 โดยท π < x < 2
3π แลว sin x + cos2x + tan3x มคาเทากบขอใดตอไปน
1. 2
13 − 2. 2
13 +
3. 2
13 −− 4. 2
13 +−
การคานวณดวย Mathematica
เพราะฉะนนตอบขอ 3.
ขอสอบคณตศาสตร 1. มนาคม 2545 ขอ 2. 2sin− 1 + 2sin2 – 3sin2 + ... – 89sin2 + 90sin2 มคาเทากบเทาใด
การคานวณดวย Mathematica
เพราะฉะนน 2sin− 1 + 2sin2 – 3sin2 + ... – 89sin2 + 90sin2 มคาเทากบ 0.5
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica Mathematica – 79
บทท 7.
การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica
ในระดบอดมศกษามปญหาทางดานการคานวณมากมาย หากนกเรยนนสต นกศกษา หรอ ผสอน ไดนา
ความสามารถของโปรแกรมสาเรจรป Mathematica มาใชในการคานวณกจะทาใหเกดประโยชนอยางมาก ใน
บทนจงไดยกตวอยางการคานวณทางคณตศาสตรระดบอดมศกษา จาแนกเปนกลมตางๆ ดงน
1. แคลคลส 2. สมการเชงอนพนธ 3. การวเคราะหเชงตวเลข
4. พชคณตเชงเสน 5. สถตและความนาจะเปน 6. คณตศาสตรขนสง
7.1 เสรมการคานวณแคลคลสดวย Mathematica
7.7.1 การคานวณคาลมต
7.7.2 การหาอนพนธ อนพนธอนดบสง และ อนพนธยอย
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica Mathematica – 80
7.1.3 การคานวณปรพนธ ผลการคานวณเปนสตร และ ผลการคานวณเปนตวเลข
7.1.4 กราฟของฟงกชน f, f′ และ f′′
7.1.5 การหาผลบวกรมนน (Riemann sum) เชนผลบวกรมนนของ f(x) = 2x – 4x + 6 บนชวง [1, 3]
เพราะฉะนน คาของ dx)6x4x( 23
1
+−∫ = 4.666666
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica Mathematica – 81
7.1.6 การแทนฟงกชนดวยพหนามเทยเลอร เชน พหนามเทยเลอรของ sin(x), arctan(x), cos(x), ln(x)
7.1.7 การเขยนกราฟในพกดเชงขว ตวอยางเชนกราฟของ r = 4cos(2t) และ r = 1 + cost, r = sin(t)
7.1.8 การเขยนกราฟของสวนโคง เชนเสนโคงทเปนรอยทางเดนของ r(t) = (t, 2t ) บนชวง 0 < t < 5
7.1.9 การเขยนกราฟ 3 มต เชน กราฟของ z = 2x – 2y
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica Mathematica – 82
7.1.10 การเขยนกราฟของรอยทางเดนใน 3 มต
7.1.11 การเขยนกราฟแบบแรเงาและการหาพนท
7.1.12 การเขยนกราฟของอาณาบรเวณทเกดจากการหมนและการหาปรมาตรและพนทผว
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica Mathematica – 83
หมายเหต การหมนเสนโคง f(x) = 2)2x(4 −− บนชวง [0, 4] รอบแกน X
จะไดอาณาบรเวณเปนทรงกลมรศม r = 2
ปรมาตรทเกดจากการหมน = dx)]x(f[4
0
2∫π = 332π (สตรปรมาตรทรงกลม = 2r3
4 π = 332π )
พนทผวทเกดจากการหมน = dx)]x(f[1)x(f24
0
2'∫ +π = 16π (สตรพนทผวทรงกลม = 4π 2r = 16π)
7.1.13 การหาคาตาสดของฟงกชน ตวอยางเชนการหาคาตาสดของ f(x) = 2x + 2x – 3
เพราะฉะนน f(–1) = –4 เปนคาตาสด
หมายเหต FindMinimun[f, {x, a}] เปนคาสงหาคาตาสดของ f(x) รอบ ๆ จด x = a
7.2 เสรมการคานวณเกยวกบสมการเชงอนพนธดวย Mathematica
7.2.1 กราฟของการเคลอนทแบบซมเปลฮารมอนก
7.2.2 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสน
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ dtdx – 2xt = t
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ x′′ + 4x = 0
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica Mathematica – 84
7.2.3 การหาผลการแปลงลาปลาซ และ ผลการแปลงลาปลาซผกผน
ตวอยางเชน L{sin(x)} = 2s11+
และ 1L− { 2s11+
} = sinx
7.3 เสรมการคานวณเกยวกบการวเคราะหเชงตวเลขดวย Mathematica
7.3.1 การประมาณเสนโคง y(x) ทผานจด ( 1x , 1y ), ( 2x , 2y ), ... , ( nx , ny )
ตวอยาง จงหาพหนามทผานจด (1, 2), (2, 5), (3, 13), (4, 20)
เพราะฉะนนพหนามทผานจด (1, 2), (2, 5), (3, 13), (4, 20) คอ 10 – 231 x + 2
17 2x – 3x
ตวอยาง จงหาพหนามทผานจด (2, 5), (5, 7), (7, 10), (9, 12), (11, 15)
เพราะฉะนนพหนามทผานจด 5 จดทกาหนดใหคอ 12169 – 216
1841 x + 54133 2x – 216
55 3x + 1081 4x
7.3.2 การหารากของสมการ
ตวอยาง การหารากของสมการ 2x – 5 = 0
ตวอยาง การหารากของสมการ sinx – cosx = 0
เพราะฉะนนรากสมการ sinx – cosx = 0 คอ 0.785398 = 4π
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica Mathematica – 85
7.3.3 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน และ ไมเชงเสน
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ x + y + z = 12
x – y + z = 4
x + y – z = 2
เพราะฉะนนผลเฉลยคอ x = 3, y = 4 และ z =5
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 2y = 25
x + y = 7
รากของสมการคอ (3, 4) และ (4, 3)
7.3.4 การประมานคา y(c) เมอกาหนด )y,x(fdxdy
= และผานจด ( 0x , 0y )
โดยวธของออยเลอรทปรบปรงแลวทมสตร 1ny + = ny + 2h (f( nx , ny )+ f( 1nx + , ny + hf( nx , ny ))
เมอ h = nxc 0− , 1nx + = nx + h
จงหาคาประมานคา y(1) เมอกาหนด yxdxdy
+= และผานจด (0, 0)
หมายเหต ผลเฉลยแทจรงคอ y(x) = xe – x – 1 เพราะฉะนนคาจรง y(1) = 0.718282
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica Mathematica – 86
7.4 เสรมการคานวณเกยวกบพชคณตเชงเสนดวย Mathematica
7.4.1 การคานวณเกยวกบเมทรกซ
7.4.2 การหาคาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจง ของเมทรกซ
ตวอยาง การหาสมการลกษณะเฉพาะ คาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจงของเมทรกซ A =
3104
คาเจาะจงคอ 3, 4 โดยมเวกเตอรเจาะจงเปน (0, 1) และ (1, 1) ตามลาดบ
7.4.3 การหาเมทรกซลดรปเปนขนแบบแถวทสมมลกบ A
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica Mathematica – 87
7.4.4 การหามลฐานเชงตงฉากปกตของ 3R โดยใชกระบวนการของ Gram - Schmidt
ตวอยาง กาหนดมลฐาน { 1v =
111
, 2v =
110
, 3v =
100
}
เพราะฉะนนมลฐานเชงตงฉากปกตคอ { 1u =
577.0577.0577.0
, 2u =
−
408.0408.0816.0
, 3u =
−
707.0707.00
}
7.4.5 การแปลงเมทรกซ A ใหเปนเมทรกซเฉยง (Orthogonal Diagonalization)
เพราะฉะนน เมอกาหนด A =
1221 จะไดวา P =
−
−−707107.0707107.0707107.0707107.0 จะไดวา TP AP =
−1003
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica Mathematica – 88
7.5 เสรมการคานวณเกยวกบความนาจะเปนและสถตดวย Mathematica
7.5.1 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมทวนาม
หมายเหต ฟงกชน b(x, n, p) = xnx )p1(p)!xn(!x!n −−−
เปนฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมทวนาม
7.5.2 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง
หมายเหต ฟงกชน p(x, µ ) มคาเทากบ !xe xµµ− เปนฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง
7.5.3 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมปกต
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica Mathematica – 89
หมายเหต f( 0x , µ , σ ) = 2)x(
e21 σ
µ−−
σπ
cmf( 0x , µ , σ ) = P(X < 0x ) เมอ X เปนตวแปรสมปกต คาเฉลย µ สวนเบยงเบนมาตรฐาน σ
7.5.4 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมท ระดบขนความเสร v
หมายเหต f(t, ν ) = 212
)t1()
2(
)2
1( +ν−
ν+
πννΓ
+νΓ
cmf( 0t , ν ) = P(t < 0t ) เมอ t เปนตวแปรสมท ระดบขนความเสร ν
7.5.5 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมไคสแควร ระดบขนความเสร v
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica Mathematica – 90
หมายเหต 2χ เปนตวแปรสมไคสแควร ระดบขนความเสร ν
f(x, ν ) = 2x
2
2
ex
)2(2
1 −ν
ννΓ
เปนฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปน และ cmf(k, ν ) = P( 2χ < k)
7.5.6 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมเอฟ ระดบขนความเสร 1ν และ 2ν
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica Mathematica – 91
หมายเหต F เปนตวแปรสมเอฟ ระดบขนความเสร 1ν และ 2ν มฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปน
f(f, 1ν , 2ν ) = 2
21
2121
121
21
2121
)f1)(2()2(
f))(2(
ν+ν
−νν
νν
+ν
Γν
Γ
ννν+ν
Γ และ cmf(k, 1ν , 2ν ) = P(F < k)
7.5.7 การหาสมการถดถอย และสมประสทธสหสมพนธ r และ การเขยนแผนภาพกระจายขอมล
ตวอยางขอมลจากตาราง
สมการถดถอยคอ y = 0.25 + 8.55x และ สมประสทธสหสมพนธคอ r = 961243.0 = 0.98043
7.5.8 กราฟของแผนภาพการกระจายบนกราฟสเกล log
ตวอยางขอมลเชน
x y 1 14 3 23 5 35 7 64 9 79
x y 150 10 235 12 432 15 511 23 645 32 579 34 834 36 915 38
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica Mathematica – 92
กราฟบนสเกล (x, y), (logx, logy), (x, logy) คอ
7.6 เสรมการคานวณเกยวกบคณตศาสตรขนสงดวย Mathematica
7.6.1 การหาสตรของฟงกชนทนยามในพจนของปรพนธ
ความหมายคอ tdtx
1∫ = 2x2
1 + 21
ความหมายคอ dtt1
12
2x
x +∫ = )x(tan)x(tan 121 −− −
7.6.2 การหาสตรอนพนธของฟงกชนทนยามในพจนของปรพนธ
ตวอยางการหาคา dxd ( tdt
x
1∫ ) = x
ตวอยางการหาคา dxd dt
t11
2
2x
x +∫ = 4x1
x2+
– 2x11+
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica Mathematica – 93
7.6.3 กราฟของฟงกชนแกมมา (Gamma function) และการคานวณคาฟงกชนแกมมา
7.6.4 ฟงกชนเบสเซล (Bessel function) และ กราฟของฟงกชนเบสเซล
หมายเหต BesselJ[v, x] คอ ฟงกชนเบสเซลชนดท 1 อนดบ v
BesselY[v, x] คอ ฟงกชนเบสเซลชนดท 2 อนดบ v
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Mathematica Mathematica – 94
7.6.5 การหาอนพนธอนดบสง และ อนพนธยอย
อนพนธอนดบสง x24)x(dxd 4
3
3=
อนพนธยอย 32342
2yx12)yx(
x=
∂∂
อนพนธยอย yx6)yx(y
4342
2=
∂∂
อนพนธยอย 22342
3yx36)yx(
xy=
∂∂∂
7.6.6 การหาพหนามเลอจองด )x(Pn
บทนาMATLAB
โปรแกรมสาเรจรป MATLAB เปนโปรแกรมทมความสามารถในการคานวณมาก เชนทาการคานวณในรปแบบของเครองคดเลขหรอคานวณในรปแบบโปรแกรมประยกตใชงาน ความสามารถในการเขยนโปรแกรมประยกตใชงานของ MATLAB สามารถนาไปทดแทนโปรแกรมภาษาคอมพวเตอร เชน เบสก ซฟอรแทรน จาวา ปาสคาล เนองจากโปรแกรม MATLAB มโครงสรางภาษาสาหรบการเขยนโปรแกรมครบสมบรณเชน การวนลบ การตรวจสอบเงอนไข นอกจากนน MATLAB ยงมฟงกชนและคาสงสาเรจรปทางดานคณตศาสตรใหใชงานมากกวาภาษา เบสก ซ ฟอรแทรน จาวา ปาสคาล
การใชงานของโปรแกรม MATLAB โดยทวไปจะม Window ตาง ๆ ขนมาอานวยความสะดวกในการทางานเชน Command window Window history Window directory ซงผใชงานจะเลอกเปดทก window หรอเลอกเปดเฉพาะ window ทตองการใชงานกไดความสามารถในการคานวณทสาคญเชน• MATLAB แสดงผลการคานวณไดทงแบบเปนคาตวเลขและสตร• ในการคานวณเพอใหผลลพธเปนสตร เชนการหาอนพนธ การอนทเกรต ตองใชคาสงให syms ตามดวยชอ
ตวแปรทตองการประมวลผลเปนสตร• การปรบเปลยนรปแบบการแสดงผลของกราฟม Window Figure เฉพาะสาหรบการแสดงผลทางดานการ
เขยนกราฟ การเปลยนแปลงคาตางของกราฟสามารถสงโดยใชคาสงหรอใชเมนของ Window Figure กได• มคาสงในการเขยนโปรแกรมเชน if–then–else, for, while เหมาะสาหรบเขยนโปรแกรมประยกตใชงาน• สามารถเขยนกราฟพนผวไดเรวมากเชน พมพ ezsurf('x^2-y^2') กจะไดกราฟของพนผวรปอานมา• มเครองมอ และโปรแกรมยอย ทสนนสนนการเขยนโปรแกรมประยกตใชงาน• คาสง help ... จะเปนผชวยเหลอทดในการอธบายคาสงตาง ๆ ของ MATLAB เชน หากตองการรความ
หมายของฟงกชน tan ใหพมพ help tan แลวกด Enter จะไดคาอธบายของฟงกชน tan
สารบญบทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม MATLAB............................................ 1 – 10บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB.......................................................... 11 – 30บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB.................................................................. 31 – 46บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB........................................... 47 – 62บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ MATLAB................................................ 63 – 72บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย MATLAB........................................ 73 – 80บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB................................................ 81 – 90
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม MATLAB MATLAB – 1
บทท 1.
ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม MATLAB
ในบทนจะเปนการนาความสามารถตาง ๆ ทโปรแกรมสาเรจรป MATLAB ทาได มานาเสนอใหดกอน
เพอผอานจะไดเหนความสามารถทางการคานวณทสาคญของโปรแกรมสาเรจรป MATLAB ในสวนของการ
พมพคาสง การเขาสโปรแกรม MATLAB และการประยกตตาง ๆ จะกลาวในบทตอไป
1. การคานวณเบ องตน บวก ลบ คณ หาร
หมายเหต >> เปนตาแหนงท MATLAB รอรบคาสงของการคานวณ ผลการคานวณคอ ans =
2. สามารถเลอกแสดงผลการคานวณเปนทศนยมไดหลายตาแหนง
3. มฟงกชนทางคณตศาสตรใหเลอกใชมากมาย
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม MATLAB MATLAB – 2
หมายเหต 1. asin คอ arcsin, acos คอ arccos, atan คอ arctan
2. log10 คอ ลอการทมฐาน 10 และ log คอ ลอการทมฐาน e
3. การหาคา sin, cos, tan, ... สามารถคานวณไดทงหนวยองศาและเรเดยน
4. ความสามารถทจะกาหนดสตรของฟงกชนใชงานเองได
หมายเหต การกาหนดสตรฟงกชน เขยนวธทาไวทบทท 2.
5. สามารถสรางตารางคานวณคาของฟงกชนไดโดยงาย
6. สามารถเปลยนหนวยของการคานวณได
7. ความสามารถในการคานวณเกยวกบพหนาม
ตวอยางเชน พหนาม p(x) = 2x + 2x – 3 ใน MATLAB จะแทนดวย p = [1 2 –3]
พหนาม q(x) = 2x + 5x + 6 ใน MATLAB จะแทนดวย q = [1 5 6]
การบวกพหนาม p + q ได ans = 2 7 3
หมายความวา p(x) + q(x) = 2 2x + 7x + 3
ผลของคาสง roots(p) แปลวา รากของสมการ p(x) = 0 คอ –3, 1
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม MATLAB MATLAB – 3
8. ความสามารถในการเขยนกราฟไดหลายแบบ
8.1 กราฟในระบบพกดมมฉาก
ตวอยาง กราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [–5, 5]
8.2 สามารถเขยนกราฟไดหลายเสนพรอมกน
ตวอยาง กราฟของ f(x) = 2x + 3 กบ g(x) = 2x – 4 บนชวง [–5, 5]
8.3 กราฟแบบคลาดบ
ตวอยาง กราฟของขอมล นาหนกและสวนสง
น าหนก ความสง
53 156 58 165 55 162 60 170 62 165 68 173
8.4 กราฟแทง (Bar graph) ของขอมลทางสถต
ตวอยาง กราฟของขอมล คะแนน และ ความถ
คะแนน ความถ
1 15 2 35 3 40 4 10
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม MATLAB MATLAB – 4
8.5 กราฟในระบบพกดเชงขว
ตวอยาง กราฟรปหวใจ r = 3 + 2sinθ, กราฟรปกลบกหลาบ r = 2cos2θ
8.6 กราฟในระบบพกด 3 มต เชนกราฟพนผว กราฟ contour
ตวอยาง กราฟพนผวไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด หรอพนผวรปอานมา f(x, y) = 2x – 2y
8.7 สามารถปรบเปลยนรปแบบของกราฟใหเหมาะสมกบการใชงาน
ตวอยาง กราฟของ f(x) = 3x + 2x – 9x – 9 บนชวง [–4, 4]
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม MATLAB MATLAB – 5
8.8 สามารถเขยนกราฟไดหลายรปพรอมกน บนกรอบทตางกน
ตวอยาง กราฟของอนพนธอนดบตาง ๆ ของฟงกชน f(x) = 4x บนชวง [–4, 4]
8.9 สามารถเขยนกราฟวงกลมได ตวอยางเชน
9. สามารถคานวณตวเลขในระบบฐานตาง ๆ ได
การเปลยนแปลงคาระหวางเลขฐาน 10 กบ เลขฐาน 2 ตวอยางเชน 1012 = 21100
การเปลยนแปลงคาระหวางเลขฐาน 10 กบ เลขฐาน 16 ตวอยางเชน 1020 = 1614
10. การคานวณเกยวกบเวกเตอร
MATLAB สามารถหาผลบวก ผลตาง dot product cross product และ ขนาดของเวกเตอรได
การกาหนดเวกเตอร
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม MATLAB MATLAB – 6
การคานวณคา u + v , 4u, vu ⋅ , | u |
11. การคานวณเกยวกบเมทรกซ
MATLAB สามารถหาผลบวก ผลคณ อนเวอรสเมทรกซ คากาหนดของเมทรกซ
12. การคานวณจานวนเชงซอน
MATLAB สามารถหาผลบวก ผลตาง อนเวอรส คาสมบรณของจานวนเชงซอนได
13. การหาผลบวกในรปแบบผลบวก ∑
ตวอยาง การหาผลบวกของตวเลขเชน ∑=
10
1 x x , ∑
=
10
1 x
2x , ∑=
10
1 x )1x(x +
ตวอยาง x = 2, 3, 7, 12, 16 การหาผลบวก ∑=
5
1 iix , ∑
=
5
1 i
2ix
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม MATLAB MATLAB – 7
14. การคานวณคาสถตเบ องตน
ตวอยาง การหาคาสถตเบองตนของขอมล 2, 3, 7, 12, 16
หมายเหต mean = คาเฉลย median = มธยฐาน
var = ความแปรปรวน = 1n
)xx( 2i
n
1 i−
−∑= std = สวนเบยงเบนมาตรฐาน = )xvar(
15. สามารถหาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมล
ตวอยาง กาหนดขอมล นาหนก (x) กบสวนสง (y)
x เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรตาม
จากผลการคานวณ ความสมพนธเชงเสนตรง y = 0.9953x + 106.1093
จากผลการคานวณ ความสมพนธในรปแบบพหนามดกรสองคอ y = –0.0488 2x + 6.9017x – 71.3066
16. ความสามารถในการจดรปพชคณต การแยกตวประกอบ การกระจายพหนาม
16.1 การกระจายพหนาม
ตวอยาง
16.2 การแยกตวประกอบ
ตวอยาง
น าหนก ความสง
53 156 58 165 55 162 60 170 62 165 68 173
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม MATLAB MATLAB – 8
17. ความสามารถในการหาอนพนธ
การหาอนพนธอนดบตาง ๆ ของ f(x) = 4x
18. ความสามารถในการหาปรพนธ
การหาปรพนธเปนคาตวเลข เชนการหาคา dxx 1
0
2∫
การหาปรพนธเปนสตร เชนการหาคา dxx 2∫
19. สามารถหาคาลมตได
การหาคาลมต 0x
lim→
2x + x + 1 การหาคาลมต 1x
lim→
2x + x + 1
20. ความสามารถในการคานวณเปนโปรแกรม
ตวอยาง โปรแกรมหาพนทสามเหลยมเมอรความยาวทงสามดาน
ผลการทางานของโปรแกรม
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม MATLAB MATLAB – 9
21. ความสามารถในการหารากของสมการ f(x) = 0
ตวอยาง การหารากของสมการ 2x - 2 = 0
เพราะฉะนนรากสมการคอ x = 1.4142 และ x = –1.4142
หมายเหต f = [1 0 -2] หมายถงพหนาม f(x) = 1 2x + 0x + (–2) ซงคอ f(x) = 2x – 2
คาสง roots(f) เปนคาสงหารากของสมการ f(x) = 0
ตวอยาง การหารากของสมการ sinx - cosx = 0
เพราะฉะนน รากสมการ sinx - cosx = 0 คอ x = 4π
22. ความสามารถในการหาผลเฉลยของระบบสมการ
22.1 การหาผลเฉลยระบบสมการเชงเสน
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ
2x + y = 4
9x – 4y = 1
เพราะฉะนนผลเฉลยของระบบสมการคอ x = 1, y = 2
22.2 การหาผลเฉลยระบบสมการไมเชงเสน
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 2y = 25 และ 3x – 4y = 0
เพราะฉะนนจดตดของวงกลม 2x + 2y = 25
กบเสนตรง 3x – 4y = 0
คอ (x, y) = (4, 3), (–4, –3)
23. ความสามารถในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ
23.1 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ x′ – x = 0
เพราะฉะนนผลเฉลยคอ x(t) = 1c te
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม MATLAB MATLAB – 10
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ x′′ + x = 0
เพราะฉะนนผลเฉลยคอ x(t) = 1c sin(t) + 2c cos(t)
23.2 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ x′ – y′ = sin(t)
x′ + 2y′ = cos(t)
ผลเฉลยคอ x(t) = 1c – 32 cos(t) + 3
1 sin(t) และ y(t) = 2c + 31 cos(t) + 3
1 sin(t)
24. สามารถหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชนได
ตวอยาง การหาสตรเทยเลอรของ sin(x)
เพราะฉะนนพหนามเทยเลอรดกร 5 ของ sin(x) คอ x – 61 3x + 120
1 5x + ...
25. สามารถหาผลการแปลงลาปลาซ และ ผลการปลงลาปลาซผกผนได
ตวอยาง การหาผลการแปลงลาปลาซของ f(x) = sin(x)
เพราะฉะนน L{sinx)} = 1s
12 +
ตวอยาง การหาผลการแปลงลาปลาซผกผนของ F(s) = 1s
12 +
เพราะฉะนน 1L− {1s
12 +
} = sin(x)
ความสามารถอน ๆ และการสงใหโปรแกรม MATLAB ทางานและการประยกตเขาสเนอหาทางคณตศาสตร
ในระดบ ม. ปลาย และ มหาวทยาลย ขอใหศกษาจากบทตอไป
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 11
บทท 2.
การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB
ในบทนจะเรยนร เกยวกบการนาโปรแกรมสาเรจรป MATLAB เขามาทางาน การพมพสตร คาสง การ
กาหนดฟงกชน และการทางานเบองตนกบคาสงตาง ๆ ของ MATLAB
2.1 การเรยกโปรแกรม MATLAB ขนมาใชงาน
1. เปดเครองคอมพวเตอร
2. รอจนจอภาพขน เมน icon ตาง ๆ ครบสมบรณ
คลกทปม Start จะมเมนใหเลอก
คลกทเมน All Programs จะมเมนยอยใหเลอก
คลกท MATLAB 6.5 จะขนเมนยอยใหเลอก
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 12
คลกท MATLAB 6.5 จอภาพจะขน Logo
ของ MATLAB และจะเขาสการทางานของ MATLAB
หมายเหต โปรแกรม MATLAB
ทใชในขณะนคอ MATLAB version 6.5 Release 13
Logo ของ MATLAB อาจแตกตางกนใน Version อนๆ
เมอเขาสการทางานของโปรแกรม MATLAB
เรยบรอยแลวจอภาพจะเปนดงน
1. แสดงวาเขามาทางานในหนาตางของ MATLAB
2. แถบเครองมอในการทางานเชน File เปดปดแฟมขอมล Edit คดลอกหรอลบทง
3. แสดงกลมของโปรแกรมยอย หรอโปรแกรมประยกตทมใหใชงานใน MATLAB
4. แสดงคาสงตาง ๆ ทสงให MATLAB ทางาน
5. Command Window เปนบรเวณทเราทางานดวยคาสงตาง ๆ ของ MATLAB
6. Prompt ของ MATLAB เปนตาแหนงทพมพคาสงให MATLAB ทาการคานวณ
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 13
(หมายเหต โปรแกรม MATLAB เปนโปรแกรมชนดทพมพคาสงทตาแหนง >> ... )
7. แสดง directory ปจจบนท MATLAB ทางานดวย
เชนเปนทเกบแฟมขอมลทเราบนทกไว
8. แสดงจานวนของหนวยความจาหรอ ขนาดของตวแปรตาง ๆ
ใน MATLAB ทใชในขณะนน
9. ทปม Start ของ MATLAB มเมนยอยในการเรยกความสามารถตาง ๆ
ของ MATLAB ขนมาใชงาน
หมายเหต
1. การเขามาใน MATLAB ครงแรกจอภาพอาจแตกตางจากขางตนน เนองจากอาจมการปด window บางตว
ไปแลวโดยผใชโปรแกรมกอนหนานน
2. หากตองการ Window ชนดใดของ MATLAB
ใหเลอกทคาสง View
และเลอกคาสงยอยของเมน View ตามตองการ เชน
ถาตองการใหแสดง Window Command History
ใหคลกท Command History จะเกดเครองหมาย ถก หนา Command History และ MATLAB จะแสดง
window ของ Command History ออกมา
3. ในกรณทตองการแสดงทง 5 windows ยอยใหเลอก
View \ Desktop Layout \ Five Panel จะไดจอภาพเหมอนขางตน
4. การทางานสวนใหญจะทาใน Command Window โดยการเลอก Command Window Only
2.2 การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB
โปรแกรมสาเรจรป MATLAB เปนโปรแกรมทชวยในดานการคานวณทางคณตศาสตร โดยพมพคาสงตาง ๆ
ทเครองหมาย >> ..... ของ MATLAB ใน Command Window
ตวอยางเชนการหาผลบวก 45.25 + 17.5
ทาไดโดยการพมพ 45.25 + 17.5 ↵ ผลบนจอภาพ MATLAB คอ
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 14
คาแนะนาในการใชงานโปรแกรม MATLAB จะเขยนในรปแบบตารางโดยท ตารางชองท 1 หมายถงการพมพ
ผานทางแปนพมพ ตารางในชองท 2 เปนผลทเกดจากการคานวณของ MATLAB และ การจดรปแบบการ
พมพของ MATLAB ในการใชงานเบองตนขอใหทดลองพมพชา ๆ และ ดผลการคานวณและการจดรปแบบ
ผลลพธของ MATLAB ในตารางแสดงผลลพธของการคานวณเบองตน
การคานวณดวยโปรแกรม MATLAB
1. การหาผลบวก 45.25 + 17.5
พมพ ผลบนจอภาพ
45.25+17.5↵
2. การหาผลหาร 547
พมพ ผลบนจอภาพ
47/5↵
3. การหาผลคณของ 15 กบ 32
พมพ ผลบนจอภาพ
15*32↵
4. การคานวณเลขยกกาลง 34 และ 4e
พมพ ผลบนจอภาพ
4^3↵
exp(1)^4↵
5. การคานวณโดยใชฟงกชนทางคณตศาสตร log2, ln2, sin(6π ), 3 , 5 32 , 5!
พมพ ผลบนจอภาพ
log10(2)↵
หมายเหต log10 คอ log ฐาน 10
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 15
log(2)↵
หมายเหต log คอ log ฐาน e
sin(pi/6)↵
หมายเหต pi เปนคาคงตวของ MATLAB ม
คาเทากบ π
3^0.5↵
factorial(5)↵
32^(1/5)↵
6. การกาหนดคาใหกบตวแปร และ การกาหนดสตรฟงกชน
การกาหนดฟงกชนโดยใชโปรแกรม MATLAB file.m ตวอยางเชน โปรแกรม f.m กาหนดสตร f(x) = 2x
ขนตอนการกาหนดสตร
ขนท 1. เรยก MATLAB Editor
โดยการคลกทปม Start ของ MATLAB
ขนท 2. เลอก Desktop Tools
ขนท 3. เลอก Editor
เมอคลกท Editor
จะได window ของการเขยนโปรแกรม
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 16
พมพ function y=f(x);↵
พมพ y=x.^2;
การ save โปรแกรม
ขนท 4. การ save โปรแกรม เลอกคาสง File \ Save
บนทกชอแฟมเปน f
เสรจแลวคลกปม Save
การเรยกฟงกชนทกาหนดสตรไวแลวคอ f(x) = 2x
ในโปรแกรม f.m
พมพ ผลบนจอภาพ
x=4;↵
f(x)↵
x=[1;2;3];↵
f(x)↵
7. การหาคาอนทกรล dx)x(fb
a∫ ตวอยางเชน dx)4x( 2
4
1
+∫
พมพ ผลบนจอภาพ
syms x↵
int(x.^2+4,1,4)↵
หมายเหต syms เปนการกาหนดตวแปรทตองการคานวณในรปแบบสญลกษณ
2.3 การเขยนกราฟของฟงกชน
ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) = 2x – 3x – 7 บนชวง [–8, 8]
พมพ ผลบนจอภาพ
x=-8:0.1:8;↵
หมายเหต เครองหมาย ; เปนการ
กาหนดวา ไมตองแสดงผลของ
คาสงทกาหนดน
รปแบบ x = a : d : b หมายถงตวแปร x มคาตงแต a ถง
b โดยมการเพมคาครงละ d
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 17
y=x.^2-3*x-7;↵
หมายเหต ตวแปร x เปนตวแปรมตการยกกาลงสองตอง
ใชรปแบบ x.^2
plot(x,y)↵
หมายเหต เนองจากคาสงกอนหนา
นม ; ปดทายคาสง เมอมาถงคาสง
plot(x,y) โปรแกรม MATLAB
จงทาการประมวลผล 3 คาสง
พรอมกนตามลาดบคอ
x=-8:0.1:8;
y=x.^2-3*x-7;
และ plot(x,y)
หมายเหต โปรแกรม MATLAB สามารถจดรปแบบการแสดงผลของกราฟไดหลายลกษณะเชน
มสเกลทแกน X และ แกน Y และม grid line กราฟแบบ scale log
2.4 การกาหนดคาและการคานวณเกยวกบเมทรกซ
ตวอยาง การกาหนด A =
−
−3524 และ B =
3152
พมพ ผลบนจอภาพ
A=[4,-2;-5,3]↵
หมายเหต , หรอ ชองวาง คอการ
จาแนก หลก ; คอการจาแนกแถว
B=[2,5;1,3]↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 18
การคานวณคาของเมทรกซ A + B, AB, 4A, 2A , 1A− , TA , det(A)
พมพ ผลบนจอภาพ
A+B↵
A*B↵
4*A↵
A^2↵
A^–1↵
หมายเหต inv(A) จะได 1A−
A'↵
det(A)↵
การกาหนดดรรชนลาง (subscript) สาหรบอางองใชงานกบสมาชกของเมทรกซ
พมพ ผลบนจอภาพ
A(1,1)↵
A(1,1)+A(2,2)↵
หมายเหต A(i, j) คอ ija ของเมทรกซ A = nmij]a[ ×
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 19
2.5 การกาหนดคาและการคานวณเกยวกบเวกเตอร
ตวอยางเชน u =
−
43 และ v =
21 และการหาคา u + v, 4u, vu ⋅ และ | u |
พมพ ผลบนจอภาพ
u=[-3;4]↵
v=[1;2]↵
u+v↵
4*u↵
dot(u,v)↵
norm(u)↵
2.6 การกาหนดขอมล
สาหรบขอมลทอยในรปแบบของเวกเตอรเชน x =
1587532
พมพ ผลบนจอภาพ
x=[2;3;5;7;8;15]↵
mean(x)↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 20
median(x)↵
std(x)↵
var(x)↵
ใน MATLAB มฟงกชนทชวยคานวณคาทางดานสถตของขอมลดงน
mean(x) = คาเฉลยเลขคณตของขอมลใน x median(x) = มธยฐานของขอมลใน x
var(x) = ความแปรปรวน(ตวอยาง) x std(x) = สวนเบยงเบนมาตรฐาน(ตวอยาง) x
max(x) = คาสงสดของขอมลใน x min(x) = คาตาสดของขอมลใน x
range(x) = พสยของขอมลใน x
การกาหนดขอมลแบบแถวทาไดดงน
พมพ ผลบนจอภาพ
x=[2,3,5,7,8,15]↵
mean(x)↵
x(4)↵
2.7 การกาหนดขอมลในรปแบบเมทรกซ
ตวอยางเชนตองการกาหนดขอมล
พมพ ผลบนจอภาพ
xy=[3,12;5,15;9,21;12,32]↵
x y 3 12 5 15 9 21 12 32
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 21
x=xy(:,1);↵
x↵
y=xy(:,2);↵
y↵
2.8 การคานวณคาเกยวกบผลบวกในรปแบบ ∑
การหาคาของ ∑=
10
1 x x , ∑
=
10
1 x
2 x , )5x4(x 10
1 x
2∑=
−−
พมพ ผลบนจอภาพ
syms x↵
symsum(x,1,10)↵
symsum(x^2,1,10)↵
symsum(x^2-4*x-5,1,10)↵
2.9 การคานวณคาปรพนธ dx)x(fb
a∫
ตวอยางการหาคาของ dxx2
1
0∫ และ dxx2
3
3∫−
พมพ ผลบนจอภาพ
syms x↵
int(x^2,0,1)↵
int(x^2,-3,3)↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 22
2.10 การคานวณคาอนพนธ )x(fdxd หรอ )x(f
dxd
n
n
ตวอยาง การคานวณ 4xdxd และ 4
3
3x
dxd
พมพ ผลบนจอภาพ
syms x↵
diff(x^4)↵
diff(x^4,3)↵
หมายเหต diff(f(x), k) คอ
อนพนธอนดบท k ของ f(x)
2.11 การกาหนดหนวยใหกบผลการคานวณ
พมพ ผลบนจอภาพ
sin(30)↵
หมายเหต ขณะนคอมพวเตอรจะคดเปนหนวย เรเดยน
degree=pi/180;↵
sin(30*degree)↵
หมายเหต 30*degree คอ 30 องศา
asin(0.5)↵
หมายเหต ขณะนผลลพธมหนวยเปน เรเดยน
degree=180/pi;↵
asin(0.5)*degree↵
2.12 การคานวณในรปแบบของเลขฐานอนๆ
hex2dec('x') เปลยนเลขฐาน 16 เปนเลขฐาน 10 ตวอยางเชน 1016 2317 →
dec2hex(x) เปลยนเลขฐาน 10 เปนเลขฐาน 16 ตวอยางเชน 1610 1732 →
dec2bin(x) เปลยนเลขฐาน 10 เปนเลขฐาน 2 ตวอยางเชน 210 110012 →
bin2dec('x') เปลยนเลขฐาน 2 เปนเลขฐาน 10 ตวอยางเชน 102 121100 →
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 23
พมพ ผลบนจอภาพ
hex2dec('17')↵
dec2hex(23)↵
dec2bin(12)↵
bin2dec('1100')↵
2.13 การหาผลบวกในรปแบบ ∑=
n
1 iix
ตวอยาง กาหนดขอมลจากตาราง
การหาคาของ ∑=
4
1 ii x , ∑
=
4
1 iiy , ∑
=
4
1 i
2i x , ∑
=
4
1 i
2iy , ∑
=
4
1 iiiy x
พมพ ผลบนจอภาพ
x=[2 3 6 9];↵
y=[12 15 14 19];↵
sum(x)↵
sum(y)↵
sum(x.^2)↵
sum(y.^2)↵
sum(x.*y)↵
x y 2 12 3 15 6 14 9 19
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 24
2.14 การสรางตารางฟงกชน
การคานวณคา f(x) = 2x + 4, x = 1, 2, 3, 4 ในรปแบบตาราง
พมพ ผลบนจอภาพ
x=[1;2;3;4]↵
2*x+4↵
f(x)=2*x+4;↵
f(x)↵
2.15 การคานวณคาเกยวกบจานวนเชงซอน
ตวอยาง z = 3 + 4i, w = 5 – 9i การหาคา z + w, zw, | z |, Arg(z), Re(z), Im(z) และ z
พมพ ผลบนจอภาพ
z=3+4*i↵
w=5–9*i↵
z+w↵
z*w↵
abs(z)↵
angle(z)↵
หมายเหต angle(z) คอคา
อารกวเมนตของ z
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 25
real(z)↵
imag(z)↵
cong(z)↵
2.16 การหารากของสมการ f(x) = 0 ตวอยางเชน การหารากของสมการ 2x – 2 = 0
พมพ ผลบนจอภาพ
f=[1 0 -2]↵
roots[f]↵
2.17 การหาผลเฉลยของระบบสมการ ตวอยางเชน การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 3y = 8
x + y = 3
พมพ ผลบนจอภาพ
[x y] =
solve('2*x+3*y=8','x+y=3')↵
2.18 การคานวณคา rn C และ nPr r
n P
rn C =
)!rn(!r!n−
กาหนดเปนสตรในโปรแกรม nCr.m ไดดงน
พมพ ผลบนจอภาพ
nCr(5,1)↵
nCr(5,2)↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 26
rn P = )!rn(
!n−
กาหนดเปนสตรในโปรแกรม nPr.m ไดดงน
nPr(5,1)↵
nPr(5,2)↵
2.19 การคานวณทใหผลลพธเปนสตร
โปรแกรม MATLAB สามารถคานวณและแสดงผลออกมาในรปแบบของสตรไดเชน
การกระจายพหนาม (x – 1)(x + 2) กระจายไดเปน 2x + x – 2
การแยกตวประกอบ 4x – 2 2x – 3x – 2 แยกตวประกอบไดเปน (x – 2)(x + 1)( 2x + x + 1)
การหาอนพนธเปนสตร dxd 2x ผลการหาอนพนธคอ 2x
การหาอนพนธอนดบสงเชน 3
3
dxd 4x ผลการหาอนพนธคอ 24x
การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4( +∫ ผลการคานวณเปนสตรคอ 2 2x + 7x
สามารถหาคาลมตได 1x
lim→
( 2x + 2x + 4) หาคาลมตไดเปน 7
ตวอยาง การกระจายสตรพหนาม (x – 1)(x + 2) สามารถเลอกคานวณได 2 แบบคอ
พมพ ผลบนจอภาพ
syms x↵
expand((x-1)*(x-2))↵
syms x↵
f=(x+1)*(x-3);↵
expand(f)↵
ตวอยาง การแยกตวประกอบ 4x – 2 2x – 3x – 2 เลอกคานวณได 2 แบบคอ
พมพ ผลบนจอภาพ
syms x↵
factor(x^4-2*x^2-3*x–2)↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 27
syms x↵
f=x^4-2*x^2-3*x–2;↵
factor(f)↵
ตวอยาง การหาอนพนธเปนสตร dxd 2x เลอกคานวณได 2 แบบคอ
syms x↵
diff(x^2)↵
syms x↵
f=x^2;↵
diff(f)↵
ตวอยาง การหาอนพนธอนดบสงเชน 3
3
dxd 4x เลอกคานวณได 2 แบบคอ
syms x↵
diff(x^4,3)↵
syms x↵
f=x^4,3;↵
diff(f,3)↵
ตวอยาง การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4( +∫ เลอกคานวณได 2 แบบคอ
พมพ ผลบนจอภาพ
syms x↵
int(4*x+7)↵
syms x↵
f=4*x+7;↵
int(f)↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 28
ตวอยาง การหาคาลมต 0x
lim→
( 2x + 2x + 4) และ 1x
lim→
( 2x + 2x + 4) เลอกคานวณได 2 แบบคอ
พมพ ผลบนจอภาพ
syms x↵
limit(x^2+2*x+4)↵
syms x↵
f= x^2+2*x+4;↵
limit(f)↵
syms x↵
limit(x^2+2*x+4,1)↵
syms x↵
f= x^2+2*x+4;↵
limit(f,1)↵
2.20 การคานวณคณตศาสตรขนสง
2.20.1 การหาผลการแปลงลาปลาซ เชนผลการแปลงลาปลาซของ f(t) = sint มวธทาได 2 แบบ
พมพ ผลบนจอภาพ
syms t↵
laplace(sin(t))↵
syms t↵
f=sin(t)↵
laplace(f)↵
2.20.2 การหาผลการแปลงลาปลาซผกผน
ตวอยางเชนผลการแปลงลาปลาซผกผนของ F(s) = 1s
12 +
มวธทาได 2 แบบ
พมพ ผลบนจอภาพ
syms s↵
ilaplace(1/(s^2+1))↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 29
syms s↵
F=1/(s^2+1);↵
ilaplace(F))↵
2.20.3 การหาสตรเทยเลอรของฟงกชน เชนการหาสตรเทยเลอรของ sinx มวธทาได 2 แบบ
พมพ ผลบนจอภาพ
syms x↵
taylor(sin(x),5);↵
syms x↵
f=sin(x);↵
taylor(f,5);↵
syms x↵
f=sin(x);↵
taylor(f,8)↵
2.20.4 การแยกเศษสวนยอยดวยโปรแกรม MATLAB
3x4x6xx5x2
2
23
+−−+− สามารถแยกเปนผลบวก 2x + 3 + 3x
3−
+ 1x4−
พมพ ผลบนจอภาพ
a=[1 -4 3];↵
b=[2 -5 1 -6];↵
[r,p,k]=rersidue(b,a)↵
a = เวกเตอรของสมประสทธพหนามตวสวน
b = เวกเตอรของสมประสทธพหนามตวเศษ
[r, p, k] = residue(b, a) จะทาการหารยาวและใหคา
k = เวกเตอรของสมประสทธสวนทเปนพหนาม
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป MATLAB MATLAB – 30
p =
m
21
p:
pp
และ r =
m
21
r:rr
เปนคาทสอดคลองกนซงหมายถง 1
1px
r−
+ 2
2px
r−
+ ... + m
mpx
r−
การกระจาย 2x + 3 + 3x3−
+ 1x4−
เปน 3x4x
6xx5x22
23
+−−+− ทาไดดวยคาสง [b, a] = residue(r, p, k)
พมพ ผลบนจอภาพ
k=[2 3];↵
r=[3 4 ];↵
p=[3 1];↵
[b,a]=rersidue(r,p,k)↵
2.20.5 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ y′ – 4y = 4 และ y(0) = 1
พมพ ผลบนจอภาพ
dsolve('Dy–4y=4','t(0)=1')↵
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ y′′ + 4y = t และ y(0) = 1, y′(0) = –2
พมพ dsolve('D2y+4*y=t','y(0)=1','Dy(0)=–2')↵
ผลบนจอภาพ
รปแบบคาสง dslove('สมการ', 'เงอนไข', 'เงอนไข', ...) Dy หมายถง dtdy , D2y หมายถง 2
2
dt
yd
2.20.6 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ x′ + y′ = sin(t), x′ – y′ = cos(t)
พมพ dsolve('Dx+Dy=sin(t)','Dx-Dy=cos(t)')↵
ผลบนจอภาพ
บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB MATLAB – 31
บทท 3.
การเขยนกราฟดวย MATLAB
การเขยนกราฟในรปแบบตาง ๆ มประโยชนมากในการศกษาทางคณตศาสตร โปรแกรม MATLAB
สามารถชวยในการเขยนกราฟไดหลายรปแบบ เชน กราฟในระบบพกดมมฉาก 2 มต และ 3 มต กราฟพกด
เชงขว กราฟพนผว ในบทนจะเปนทางานเกยวกบการเขยนกราฟรปแบบตางๆ เพอใหไดรปของกราฟทมความ
สวยงาม และถกตองตามความตองการในการใชงานทางคณตศาสตร
ตวอยางของกราฟบางรปแบบทโปรแกรมสาเรจรป MATLAB ทาไดเชน
กราฟในพกดมมฉาก 2 มต กราฟพ นผว 3 มต
กราฟในพกดเชงขว กราฟแทง
บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB MATLAB – 32
3.1 การเขยนกราฟในระบบพกดมมฉาก 2 มต
ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10] โดยใชคาสง plot
พมพ ผลบนจอภาพ
x=0:0.1:10;↵
y=2*x+3;↵
plot(x,y)↵
หมายเหต MATLAB จะแสดง
ภาพของกราฟใน Window ใหม
เรยกวา Window Figure และ
ภาพใน Window นสามารถ
แกไขรปแบบ และบนทกเปน
แฟมขอมลแบบกราฟไดโดยใช
คาสง File, Save
หมายเหต plot(x, y) เปนคาสงเขยนกราฟของเสนโคงหรอฟงกชน y = f(x)
ตวอยาง การเขยนกราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [0, 10] โดยใชคาสง ezplot
พมพ ผลบนจอภาพ
ezplot('2*x+3',[0,10])↵
หมายเหต ezplot('f(x)', [a, b]) เปนคาสงเขยนกราฟของ f(x) บนชวง [a, b]
บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB MATLAB – 33
ตวอยาง การเขยนกราฟ 2 ฟงกชนโดเมนเดยวกน
ตวอยาง การเขยนกราฟ 2 ฟงกชนทมโดเมนตางกน
3.2 การเขยนกราฟขนบนได
การเขยนกราฟแบบขนบนไดของขอมล
พมพ ผลบนจอภาพ
x=[15 35 40 10];↵
stairs(x)↵
หมายเหต stairs(x) เปนคาสงเขยนกราฟขนบนไดของขอมลใน x
stairs(x, f(x)) เปนคาสงเขยนกราฟขนบนไดของเสนโคง y = f(x)
ตวอยางเชน การเขยนกราฟแบบขนบนไดของ f(x) = sin(x) เมอ x = 0, 0.5, 1.0, 1.5, ... , 4π
No X 1 15 2 35 3 40 4 10
บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB MATLAB – 34
กราฟทไดคอ
3.3 การเขยนกราฟแบบ histogram
กราฟแบบ histogram เปนกราฟแสดงการแจกแจงความถของขอมล
hist(x, y) เปนคาสงแจกแจงความถของขอมลจาก x ตามคาทกาหนดจาก y แลวแสดงผลในรปแบบกราฟ
ตวอยางเชน การแจกแจงความถและกราฟของคะแนนสอบจากขอมล 1, 4, 1, 1, 2, 2, 3, 2 , 2 และ 3
พมพ ผลบนจอภาพ
data=[1 4 1 1 2 2 3 2 2 3];↵
grade=[1 2 3 4];↵
hist(data,score)↵
หมายเหต hist(x) จะนาขอมลใน x มาแจกแจงความถและเขยนกราฟ
ตวอยางเชน
กราฟทไดคอ
3.4 การเขยนกราฟวงกลม
การเขยนกราฟวงกลมของขอมล
No X 1 15 2 35 3 40 4 10
บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB MATLAB – 35
พมพ ผลบนจอภาพ
x=[15 35 40 10];↵
pie(x)↵
หมายเหต pie(x) เปนคาสงเขยนกราฟวงกลมของขอมลใน x
pie(x, explode) เปนคาสงเขยนกราฟวงกลมของขอมลใน x
และดงชนทกาหนดออกมา
โดยกาหนด explode = [d d d ...]
d = 0 หรอ d = 1 โดยท d = 1 หมายถงใหดงชนนนออกมา
ตวอยางเชน
pie3(x, explode) เปนคาสงเขยนกราฟวงกลมของขอมลใน x
และดงชนทกาหนดออกมาโดยแสดงภาพเปนรปแบบ 3 มต
ตวอยางเชน
หมายเหต pie(x, x == min(x)) ดงชนทมคาตาสดออกมา pie(x, x == max(x)) ดงชนทมคาสงสดออกมา
3.5 การเขยนกราฟแทง (Bar graph) ของขอมลทางสถต
ตวอยาง การเขยนกราฟของขอมล คะแนน และ ความถ
พมพ ผลบนจอภาพ
score=[1 2 3 4];↵
freq=[15 35 40 10];↵
bar(score,freq)↵
score frequency 1 15 2 35 3 40 4 10
บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB MATLAB – 36
หมายเหต bar(x, y) เปนคาสงเขยนกราฟแทงโดยมแกนนอนเปนขอมล x และ ขอมล y เปนแกนตง
ตวอยาง การเขยนกราฟแทงโดยระบคาเฉพาะขอมล y
หมายเหต โปรแกรม MATLAB จะกาหนดขอมล x เปน [1 2 3 ...]
3.6 การเขยนกราฟของแผนภาพการกระจายของขอมล
ตวอยางของขอมลเชน
พมพ ผลบนจอภาพ
x=[53 58 55 60 62 68];↵
y=[156 165 162 170 165 173];↵
plot(x,y,'*')↵
หมายเหต plot(x, y, '*') เปนคาสง plot กราฟแบบจดของคลาดบ ( ix , iy ) โดย plot ดวยสญลกษณท
กาหนดใน '...' ในตวอยางนคอ plot จดดวย *
x y 53 156 58 165 55 162 60 170 62 165 68 173
บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB MATLAB – 37
3.7 การเขยนกราฟในระบบพกดเชงขว
ตวอยาง การเขยนกราฟ r = 2cos(2t)
พมพ ผลบนจอภาพ
t=0:0.1:2*pi;↵
r=2*cos(2*t);↵
polar(t,r)↵
หมายเหต polar(r, t) เปนคาสง plot กราฟแบบในระบบพกดเชงขว
ตวอยาง การเขยนกราฟ r = 4cos(t)
พมพ ผลบนจอภาพ
ezpolar('4*cos(t)',[0,2*pi])↵
หมายเหต ezpolar('r(t)', [a, b]) เปนคาสง plot กราฟพกดเชงขว r(t) บนชวง [a, b]
3.8 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก
3.8.1 กราฟพาราเมตรก 2 มต
ตวอยาง การเขยนกราฟของเสนโคงทมสมการพาราเมตรก x(t) = 80t และ y(t) = –16 2t + 80t
บนชวง 0 < t < 5 ขนตอนการเขยนกราฟของเสนโคงทมสมการพาราเมตรกเปนดงน
พมพ ezplot('80*t','-16*t^2+80*t',[0,5])↵
บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB MATLAB – 38
ผลบนจอภาพ
หมายเหต ezplot('x(t)', 'y(t)', [a, b]) เปนคาสง plot กราฟ r(t) = (x(t), y(t)) บนชวง [a, b]
3.8.2 กราฟพาราเมตรก 3 มต
ตวอยาง การเขยนกราฟของเสนโคงทมสมการพาราเมตรก x(t) = cost, y(t) = sint และ z(t) = 4t
บนชวง 0 < t < 2π
พมพ ezplot3('cos(t)','sin(t)','t/4',[0,2*pi])↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต
ezplot3('x(t)', 'y(t)', 'z(t)', [a, b]) เปนคาสงเขยนกราฟ r(t) = (x(t), y(t), z(t)) บนชวง [a, b]
บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB MATLAB – 39
3.9 การเขยนกราฟพ นผว 3 มต และกราฟแบบ contour
ตวอยาง การเขยนกราฟพนผว f(x, y) = 2x – 2y บนชวง [–2, 2] × [–2, 2] และกราฟ contour
แบบท 1. ขนตอนการทางานมดงน
1. กาหนดสตรฟงกชน z = 2x – 2y
2. กาหนดโดเมน x เปน [–2, 2]
3. กาหนดโดเมน y เปน [–2, 2]
4. สรางเมทรกซของการเขยนกราฟดวยคาสง meshgrid เพอเปนโดเมนของฟงกชน z
5. เขยนกราฟพนผว ดวยคาสง surf(z)
6. เขยนกราฟ contour ดวยคาสง contour(z)
พมพ ผลบนจอภาพ
z=x.^2-y.^2;↵
x=-2:0.1:2;↵
y=-2:0.1:2;↵
[x,y]=meshgrid(x,y)↵
surf(z)↵
contour(z)↵
บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB MATLAB – 40
หมายเหต surf(z) เปนคาสงเขยนกราฟของพนผว z ทคานวณไดจากโดเมน [a, b] × [c, d]
contour(z) เปนคาสงเขยนกราฟแบบ contour ของพนผว z ทคานวณไดจากโดเมน [a, b] × [c, d]
แบบท 2. ใชคาสง ezsurf, ezcontour และ ezsurfc
ezsurf('f(x, y)', [a b c d]) เปนคาสงเขยนกราฟพนผว z = f(x, y) บนชวง [a, b] × [c, d]
ezcontour('f(x, y)', [a b c d]) เปนคาสงเขยนกราฟ contour ของพนผว z = f(x, y) บนชวง [a, b] × [c, d]
เพราะฉะนนการเขยนกราฟของ f(x, y) = 2x – 2y บนชวง [–2, 2] × [–2, 2] ทาไดดงน
คาสง ezsurfc('f(x, y)', [a b c d]) เขยนกราฟพนผวและ contour พรอมกน ของ z = f(x, y)
บนชวง [a, b] × [c, d]
ตวอยางเชน
บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB MATLAB – 41
3.10 การปรบรปแบบกราฟใหสวยงาม
3.10.1 การกาหนดลกษณะของเสนกราฟ
การเขยนกราฟมการกาหนด รปแบบเสน เครองหมาย และส ดงน
สญลกษณ ส สญลกษณ เครองหมาย สญลกษณ รปแบบเสน
r Red . จด : เสนจด
g Green o วงกลม - เสนทบ
b Blue + บวก -. เสนประและเสนจด
c Cyan x กากบาท - - เสนประ
m Magenta * ดอกจน
y Yellow s สเหลยมจตรส
k Black d รปขาวหลามตด
w White v สามเหลยมลาง
ตวอยางเชน
โปรแกรม MATLAB จะเขยนกราฟเปนเสนทบสนาเงน กราฟเปนเสน –. สเขยว
และ plot เปนจดสเหลยมจตรส
3.10.2 คาอธบายประกอบ เสนกราฟ และ แกนพกดตาง ๆ
คาสง ความหมายของคาสง
title('ขอความ') เขยนคาอธบายประกอบภาพของกราฟ
title(x, y,'ขอความ') เขยนคาอธบายประกอบภาพของกราฟ ทตาแหนง (x, y)
xlabel('ขอความ') เขยนคาอธบายประกอบแกน X
ylabel('ขอความ') เขยนคาอธบายประกอบแกน Y
zlabel('ขอความ') เขยนคาอธบายประกอบแกน Z
title(x, y,'ขอความ') เขยนคาอธบาย ทตาแหนง (x, y)
legend(text1, text2, ...) เขยนคาอธบายประกอบเสนของกราฟ
บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB MATLAB – 42
ตวอยางเชน
3.10.3 คาสงในการปรบคาตาง ๆ บนแกนพกด และการตเสนกรด
คาสง ความหมายของคาสง
grid on, grid off เขยนเสนกรดหรอยกเลกการเขยนเสนกรด
axis on, axis off อนญาต หรอไมอนญาต ใหกาหนดคาตาง ๆ เกยวกบแกน
เชน การตเสนกรด
axis square กาหนดใหกรอบในการเขยนกราฟเปนสเหลยมจตรส
axis([xmin xmax ymin ymax])
กาหนดคาสงสด และ ตาสดของแกน X และ แกน Y
axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax])
กาหนดคาสงสด และ ตาสดของแกน X แกน Y และ แกน Z
ตวอยางเชน
บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB MATLAB – 43
3.10.4 การเขยนกราฟหลายรปใน window เดยวกนและการกาหนด window แสดงกราฟ
คาสง ความหมายของคาสง
figure(n) สงเปด Window Figure ท n การเขยนกราฟรปตอไปจะปรากฏ
ใน Window Figure ลาสดทเปด
subplot(m, n, k) แบง Window ออกเปนกรอบยอย m แถว n หลก
กาหนดการเขยนกราฟใน Window ยอยรปท k
close(n) สงปด Window Figure ท n
close all สงปด Window Figure ทก window figure
ตวอยางเชน
3.10.5 กราฟบนสเกลลอการทม
คาสง ความหมายของคาสง
plot(x, y) เขยนกราฟ (x, y) โดยใชสเกลปกต (x, y)
semilogx(x, y) เขยนกราฟโดยใชสเกลลอการทมเฉพาะแกน X
semilogy(x, y) เขยนกราฟโดยใชสเกลลอการทมเฉพาะแกน Y
loglog(x, y) เขยนกราฟโดยใชสเกลลอการทม ทงแกน X และ แกน Y
ตวอยางเชน
กราฟทไดคอ
บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB MATLAB – 44
3.11 การปรบปรงรปแบบของกราฟโดยใชเมนของ Window Figure
เมนยอยทมใน Window Figure สามารถนามาชวย
ในการปรบปรงรปแบบของกราฟไดเชน สรางหนาตาง
รปภาพใหม การบนทกภาพ การนาภาพเกามาแกไข
การเพมตวอกษร เสนตรง และการหมนภาพ เพอดมม
มองตาง ๆ ของภาพ เมนยอยตาง ๆ มหนาทดงน
icon ความหมายของคาสง
เปด Window Figure ใหมเพอเขยนกราฟ
การเปดแฟมของกราฟทเคยบนทกไว
บนทกกราฟทเขยนไวเปนแฟมขอมล
พมพกราฟลงกระดาษ
เมนยอยของการแกไขกราฟ
insert text พมพขอความแทรกลงบนกราฟ
insert arrow เพมลกศรบนบรเวณของกราฟ
insert line เพมเสนบนหนาตางรปภาพ
การขยายภาพโดย คลกท icon น กอนแลวจงไปคลกเมาสบนภาพทตองการขยาย
การยอภาพโดย คลกท icon น กอนแลวจงไปคลกเมาสบนภาพทตองการยอ
การหมนภาพโดย คลกท icon น กอนแลวจงไปคลกเมาสบนภาพทตองการหมน
ตวอยางของกราฟ ทมการเพมเตมขอความ ลกศรและเสนตรง
เมน View มเมนยอยทสาคญคอ
เมน Figure Toolbar ชวยในการปรบปรงคณภาพของกราฟ
เมน Camera Toolbar เปนเมนชวยในการปรบเปลยนมมองของกราฟ
บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB MATLAB – 45
การใชเมน camera ทาไดโดยการเลอก icon ทตองการ เชนการหมน การเลอน การพลกภาพ แลวจงนาเมาส
ไปคลกทรปของกราฟ
ตวอยางของภาพทไดซงเกดจากการหมนภาพจากเมนยอย ของเมน Camera
เมนยอย Insert ใชในการปรบปรงกราฟโดยมเมนยอยทาหนาทดงน
X Label, Y Label, Z Label, Title ใชพมพคาอธบายเกยวกบ แกนตาง ๆ และคาอธบายรป
Legend, Colorbar ใชเขยนคาอธบายเกยวกบเสนของกราฟและสของกราฟ
Arrow, Line, Text ใชเพมเตม ลกศร เสนตรง และขอความในกราฟ
Axes, Light ใชในการเพมแกน หรอปรบความสวางของภาพ
ตวอยางเชน
บทท 3. การเขยนกราฟดวย MATLAB MATLAB – 46
เมนยอย Edit เลอกจากเมน หรอคลก icon
เมนน ใชในการแกไขตาง ๆ เชน
Copy Figure ใช copy กราฟเพอนาใชใน Window figure อน ๆ
Figure Properties ใชแกไขภาพ
เชน สของกราฟ การ plot เสนกราฟแบบตางๆ
Current Object Properties แกไขเฉพาะบรเวณทเลอกไวดวย icon
เมนยอย Figure Properties และ Current Object Properties คอ
จากเมนยอยน เราสามารถ เปลยนสของกราฟไดโดยเลอกเมนยอย Color
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB MATLAB – 47
บทท 4.
การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB
ในบทน เปนการใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรมสาเรจรป MATLAB เชน การทางานใน Command
Window การกาหนดทศนยม ตวแปร ฟงกชน และตวแปรทสาคญทางคณตศาสตร
4.1 การกาหนดคาตางๆ ในการแสดงผลเกยวกบตวเลข
โปรแกรม MATLAB สามารถแสดงผลการคานวณของตวเลขไดหลายแบบ โดยใชคาสง format ดงน
format short แสดงตวเลขทศนยม 4 ตาแหนง
format long แสดงตวเลขทศนยม 14 ตาแหนง
format short e แสดงตวเลขในลกษณะ N × k10 โดยท N เปนทศนยม 4 ตาแหนง
format long e แสดงตวเลขในลกษณะ N × k10 โดยท N เปนทศนยม 14 ตาแหนง
format bank แสดงตวเลขทศนยม 2 ตาแหนง
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB MATLAB – 48
format rat
แสดงตวเลขในลกษณะตวเลขเศษสวน
4.2 สญลกษณพเศษและ การกาหนดตวแปรจานวนใน MATLAB
เครองหมายหรอสญลกษณทใชในโปรแกรม MATLAB
เครองหมาย ความหมายและตวอยางการใชงาน
( )
[ ]
subscripts
กาหนดขอมลเวกเตอร หรอ เมทรกซ
=
;
↵
กาหนดคา
รอการคานวณ หรอใชในการคนคาสง
สงคานวณ
,
;
แยกสมาชกในแถวของเมทรกซ
แยกแถวของเมทรกซ
% เปนการทา remark ของโปรแกรม
ตวแปรจานวนใน MATLAB จะเกบขอมลตวเลขในรปแบบเมทรกซ คอจาแนกเปนแถวและหลก ตวอยางเชน
การกาหนดคา ความหมาย
กาหนดคา 1 คาใหกบตวแปร x
กาหนดคาของตวแปร x เปนเมทรกซ 1 แถว 3 หลก
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB MATLAB – 49
กาหนดคาของตวแปร x เปนเมทรกซ 1 แถว 3 หลก
การเวนชองวางหรอคนดวย , มผลเหมอนกน
กาหนดคาของตวแปร x เปนเมทรกซ 3 แถว 1 หลก
การเวนดวย ; หมายถงการขนแถวใหม
กาหนดคาของตวแปร x เปนเมทรกซ 2 แถว 2 หลก
การเวนชองวาง แปลวาอยแถวเดยวกน
การเวนดวย ; หมายถงการขนแถวใหม
การกาหนด x = a : d : b หมายถง x มคาเปนเวกเตอร
x = [a, a + d, a+ 2d, ... ตวสดทายมคาไมเกน b]
4.3 การคานวณเบ องตน
การคานวณเกยวกบตวเลข และ ตวแปรใน MATLAB มหลายแบบดงน
การดาเนนงาน ตวดาเนนการ ตวอยาง
การบวก +
การลบ –
การคณ *
การคณเชงสมาชก .*
การหารทางขวา /
a/b = ba
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB MATLAB – 50
การหารทางซาย \
a\b = b 1a−
การหารเชงสมาชก ./
การยกกาลง ^
การยกกาลงเชงสมาชก .^
หมายเหต ในกรณท A, B เปนเมทรกซจตรส A\B = 1A− B แต A/B = A 1B− ตวอยางเชน
4.4 ตวแปรทสาคญทางคณตศาสตรของ MATLAB ทมการกาหนดคาไวแลว
โปรแกรม MATLAB มการกาหนดคาใหกบตวแปรเฉพาะ ดงน
ตวแปร ความหมายและตวอยางการใชงาน
pi คาคงท pi ซงเทากบ π = 3.1415926
i หรอ j สญลกษณแทน 1−
inf ∞
NaN NaN = Not – a – Number คอจานวนทไมสามารถระบคาได
clock ใหคา ป-เดอน-วน-ชวโมง-นาท และวนาท
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB MATLAB – 51
date ฟงกชนทใหบอกคา วน-เดอน-ป ตวอยางเชน
ans ตวแปรผลการคานวณลาสด ในกรณทไมไดกาหนดชอตวแปรของผลลพธ
4.5 การแกไขเกยวกบการพมพผด
ในการพมพคาสงตาง ๆ เมอพมพผดและ enter ไปแลวเราสามารถนาคาสงเกาทงหมดทพมพกลบมาแกไข
ใหมได โดยการกดแปนลกศร
การกดลกศร 1 ครง จะเปนเรยกคาสงเกาทเคยพมพไวใหเราทาการแกไข
4.6 Window ตาง ๆ ของ MATLAB
จากเมนบารของ MATLAB โดยใชคาสง View \ Desktop Layout จะไดเมนยอยของการเลอก window
ในทน ขอใหเลอกเมนยอย Five Panel
จอภาพจะกลายเปนดงน
1. Lanuch Pad เปน window ทแสดง
โปรแกรมประยกต และโปรแกรมตวอยาง
ของ MATLAB
2. Command History เปน window ททาการ
บนทกคาสง ตวแปร ตาง ๆ ทไดสงไวจาก
Command Window
3. Workspace เปน window ทแสดงใหเหน
วาไดมการใชตวแปร และหนวยความจาท
ไดใชไปแลว
4. Current Directory เปน window ทแสดงทเกบของโปรแกรมตาง ๆ ทผใช MATLAB สรางไวเชน แฟม
รปภาพ แฟมโปรแกรม
5. Command Window เปน window ทผใชโปรแกรม MATLAB สงใหโปรแกรมทาการคานวณคาตาง ๆ
ตวอยางของการเปลยนแปลงในแตละ window ขณะทผใช MATLAB กาลงทางาน
ตวอยางเชน จากการทางานใน Command Window ตอไปน
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB MATLAB – 52
1. กาหนดคา x = [1 2 3]
ใน Command Window
2. ใน Window Workspace
จะแสดงวามการใชตวแปร x ขนาด 1 × 3
3. ใน Command History
จะบนทกคาสง ทสงไวใน Command Window
4.7 ฟงกชนทางคณตศาสตรและฟงกชนอน ๆ ทสาคญ
ฟงกชนทางคณตศาสตร
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
abs(x) คาสมบรณของ x หรอ คาสมบรณของจานวนเชงซอน a + bi
angle(a + bi) คาอารกวเมนตของจานวนเชงซอน a + bi
real(a + bi)
imag(a + bi)
สวนจรง และสวนจนตภาพของจานวนเชงซอน
ceil(x) จานวนเตมทเลกทสดทมคามากกวาหรอเทากบ x
conj(a + bi) คา conjugate ของตวเลขเชงซอน a + bi
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB MATLAB – 53
exp(x) ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล xe
fix(x) การปดเศษจานวนจรง x ใหเปนตวเลขจานวนเตมทเขาใกล 0 มากทสด
floor(x) จานวนเตมทใหญทสดทมคานอยกวาหรอเทากบ x
log(x) ln(x) คาลอกาลทมฐาน e
log10(x) log(x) คาลอกาลทมฐาน 10
mod(x, y) เศษเหลอจากการหาร x ดวยจานวนเตม y
dot(u, v)
norm(u)
ผลคณเชงสเกลารของ u และ v, ขนาดของเวกเตอร u
rem(x, y) เศษทเหลอจากการหาร x ดวย y
round(x) การปดเลขจานวนทศนยม x ใหเปนจานวนเตม
sign(x) เทากบ +1 ถา x > 0 และเทากบ –1 ถา x< 0
sqrt(x) square root ของ x
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB MATLAB – 54
sin(x), cos(x)
tan(x), csc(x)
sec(x), cot(x)
ฟงกชนตรโกณมต
asin(x), acos(x)
atan(x), asec(x)
acsc(x),acot(x)
ฟงกชนตรโกณมตผกผน
sinh(x), cosh(x)
tanh(x), csch(x)
sech(x), coth(x)
ฟงกชนไฮเพอรโบลก
asinh(x)
acosh(x)
atanh(x)
acsch(x)
asech(x)
acoth(x)
ฟงกชนไฮเพอรโบลกผกผน
ฟงกชนเกยวกบเมทรกซ
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
zeros(n)
zeros(m, n)
zeros(size(A))
เมทรกซศนยมต n × n, เมทรกซศนยมต m × n,
เมทรกซศนยมตเดยวกบ A
ones(n)
ones(m, n)
ones(size(A))
เมทรกซมต n × n ทสมาชกทกตวเปน 1
เมทรกซมต m × n ทสมาชกทกตวเปน 1
เมทรกซทสมาชกทกตวเปน 1 และมตเดยวกบ A
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB MATLAB – 55
eye(n)
eye(m, n)
eye(size(A))
เมทรกซเอกลกษณมต n × n
เมทรกซ m × n ทสมาชกในแนวทแยงมมเปน 1 นอกนนเปน 0
เมทรกซทสมาชกในแนวทแยงมมเปน 1 นอกนนเปน 0 และมมตเหมอน
A
det(A), inv(A)
trace(A)
diag(A)
rank(A), poly(A)
คากาหนดของเมทรกซ A, อนเวอรสของเมทรกซ A
ผลบวกแนวทแยงมมของเมทรกซ A
สมาชกในแนวทแยงมมของเมทรกซ A
คาลาดบชนของ A, พหนามลกษณะเฉพาะของ A
eig(A)
[V, D] = eig(A)
eig(A) คอคาเจาะจงของเมทรกซ A
V คอเวกเตอรเจาะจงของเมทรกซ A
D คอเมทรกซทมแนวทแยงมมเปนคาเจาะจงของเมทรกซ A
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB MATLAB – 56
ฟงกชนเกยวกบพหนาม
หมายเหต p = [ na 1na − ... 1a 0a ] หมายถงพหนาม na nx + 1na −1nx − + ... + 1a x + 0a
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
1. polyder(p)
2. polyval(p, a)
3. [q, p]
= polyder(a, b)
1. อนพนธของพหนาม p(x), 2. คาของฟงกชนพหนาม p(a)
3. อนพนธของ )x(b)x(a มคาเปน )x(p
)x(q
ตวอยางเชน p(x) = 2 2x + x + 4, p(3) = 25, p′(x) = 4x + 1
ความหมายคอ dxd ( 1x
2xx2
−++ ) =
1x2x3x2x
2
2
+−−−
conv(p, q) ผลคณพหนาม p(x)q(x) ตวอยางเชน p(x) = x + 2, q(x) = 3x + 4,
p(x)q(x) = 3 2x + 10x + 8
deconv(p, q) ผลลพธของการหารพหนาม p(x) ดวย q(x)
ความหมายคอ 2x3x
5x51x2x3x
3x4x2x22
23
++++−=
+++++
roots(p)
fzero(f, a)
roots(p) = รากของพหนาม p(x) = 0
fzero(f, x) = รากของ f(x) = 0 โดยมคาเรมตนท a
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB MATLAB – 57
poly(v)
poly(A)
พหนาม p(x) ทมรากเปนสมาชกของเวกเตอร v
พหนามลกษณะเฉพาะของเมทรกซ A
คาสงเกยวกบการจดรปแบบพชคณตของฟงกชน
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
expand(f)
factor(f)
collect(f)
simplify(f)
กระจายสตร
แยกตวประกอบ
กระจายสตร
จดรปแบบพชคณตใหมรปแบบอยางงาย
pretty(f)
poly2sym(p)
sym2poly(p)
แสดงสตรของพหนาม
เปลยนเวกเตอรของสมประสทธเปนพหนาม
เปลยนพหนามเปนเวกเตอรสมประสทธ
[a, b, k]
= residue(p, q) การแยกเศษสวนพหนาม )x(q
)x(p เปนเศษสวนยอย
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB MATLAB – 58
ความหมายคอ
x1 + 1x
2−
+ 1x3+
+ 2x + 3 = xx
1x4x4x3x23
234
−−−++
[p, q]
= residue(a, b, k) จดรปผลบวกของเศษสวนยอยเปน )x(q
)x(p
xx1x4x4x3x2
3
234
−−−++ = x
1 + 1x2−
+ 1x3+
+ 2x + 3
โดยการคานวณของ MATLAb
คาสงเกยวกบแคลคลส
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
sum(x)
symsum(f(n))
symsum(f(n),a,b)
ผลบวกสมาชกใน x
หาผลรวม f(n) จาก 1 ถง n, หาผลรวม f(n) จาก a ถง b
limit(f)
limit(f, a)
limit(f, h, a)
limit(f, n, inf)
limit(f,x,a,'left')
limit(f,x,a,'right')
)x(flim0x→
, )x(flimax→
, )h ,x(flimah→
, )n(flimn ∞→
, )x(flimax −→
,
)x(flimax +→
ตามลาดบ
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB MATLAB – 59
diff(f), diff(f, k)
diff(f, x)
diff(f, x, k)
หมายถง dxdf , k
k
dxfd , x
f∂∂ และ k
k
xf
∂∂ ตามลาดบ
int(f)
int(f, a, b)
int(f, t)
int(f, t, a, b)
หมายถง fdx∫ , dx)x(fb
a∫ , fdt∫ , fdt
b
a∫ ตามลาดบ
laplace(f)
laplace(f, t)
laplace(f, x, t)
ผลการแปลงลาปลาซ F(s)
ผลการแปลงลาปลาซ F(t)
ผลการแปลงลาปลาซเทยบกบตวแปร x
ilaplace(F)
ilaplace(F, x)
ilaplace(F, s, x)
ผลการแปลงลาปลาซผกผน f(t)
ผลการแปลงลาปลาซ f(x)
ผลการแปลงลาปลาซผกผนเทยบกบตวแปร s
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB MATLAB – 60
taylor(f, k) พหนามเทยเลอรของ f ดกรไมเกน k
solve(f)
solve('f(x)=0')
solve('eq1', 'eq2',
...)
solve(f) หาผลเฉลยของสมการ f(x) = 0
solve(f) หาผลเฉลยของสมการ f(x) = 0
solve('eq1', 'eq2', ...) หาผลเฉลยของระบบสมการ
หรอ
dsolve รปแบบ dsolve('สมการ', 'เงอนไข 1', 'เงอนไข 2',...)
ใชหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB MATLAB – 61
คาสงเกยวกบการวเคราะหเชงตวเลข
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
polyfit(x, y, k)
polyfit(y, k)
polyval(p, x)
corrcoef(x, y)
หาฟงกชนพหนามดกร k ทแสดงสมการความสมพนธระหวางตวแปร
อสระ x กบ ตวแปรตาม y
หมายถง polyfit(x, y, k) เมอ x = 1, 2, 3, ... , n
polyval(p, x) คาของพหนาม p ทจด x
สมประสทธสหสมพนธของตวแปร x และ y
หมายเหต สมการแสดงความสมพนธคอ y = 0.7569x + 3.0972
สมประสทธสหสมพนธของตวแปร x และ y มคา 0.7926
หมายเหต y(7) = 0.7569(7) + 3.0972 = 8.3958
หมายเหต สมการแสดงความสมพนธคอ
y(x) = 0.0306 2x + 0.1328x + 5.5404 และ y(7) = 7.9708
interp1(x, y, ix ) ประมาณคาในชวง iy ของคา ix ทสอดคลองกบความสมพนธระหวาง
ขอมล x และ y โดยการประมาณความสมพนธระหวาง 2 จดใด ๆ ของ
ขอมลดวยเสนตรง (linear interpolation)
หมายเหต
interp1(x, y, ix ,'linear') เหมอนกบ interp1(x, y, ix )
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม MATLAB MATLAB – 62
spline(x, y, ix ) ประมาณคาในชวง iy ของคา ix ทสอดคลองกบความสมพนธระหวาง
ขอมล x และ y โดยการประมาณความสมพนธระหวาง 4 จดใด ๆ ของ
ขอมลดวยพหนามดกร 3
หมายเหต interp1(x, y, ix ,'spline') เหมอนกบ spline(x, y, ix )
interp2 interp2(x, y, z, ix , iy , 'วธ')
ประมาณคาในชวงของ z = f(x, y) ทสอดคลองกบความสมพนธระหวาง
ขอมล (x, y, z) โดยการประมาณความสมพนธดวยวธตาง ๆ เชน
'linear' วธ linear interpolation
'spline' วธ spline interpolation
ตวอยางจากขอมล (x, y, z) จากตารางขอมล
x y
3 5 9
5 2 3 5 7 5 3 5 8 8 9 9
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ MATLAB MATLAB – 63
บทท 5.
การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ MATLAB
โปรแกรมทเขยนขนมาโดยใชคาสงตาง ๆ ของ MATLAB ทเราจะศกษาในบทน เรยกวาโปรแกรม M-
file(*.m) โปรแกรมในรปแบบ M-file น เปนไดทงโปรแกรมประยกตใชงาน และ โปรแกรมกาหนดสตร
ฟงกชน
การสรางโปรแกรมในทน ขอเรมตนจาก Command Window
การเขาส Window ของการสรางโปรแกรม แบบท 1.
หมายเลข 1. คลกเพอเปด Window ของการสรางโปรแกรมใหม
หมายเลข 2. คลกเพอเปดแฟมโปรแกรมเกาทสรางไว ใน Window ของการสรางโปรแกรม
การเขาส Window ของการสรางโปรแกรม แบบท 2.
ขนท 1. คลกท Start....................... หมายเลข 3.
ขนท 2. เลอก Desktop Tools........... หมายเลข 4.
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ MATLAB MATLAB – 64
ขนท 3. เลอก Editor...................... หมายเลข 5.
window ของการเขยนโปรแกรมเปนดงน
การทางานในรปแบบของโปรแกรมทสาคญของ MATLAB คอโปรแกรมฟงกชน และ โปรแกรมประยกต
5.1 การสรางโปรแกรมฟงกชน
1. พมพ function y=f(x);↵ เปนการกาหนดวาโปรแกรมน เปน โปรแกรมฟงกชน
2. y=x.^2; y เปนตวแปรเพอสงคาทคานวณไดใหกบ f(x)
x.^2 เปนสตรในเทอมของตวแปร x ทตองการคานวณคา
3. บนทกโปรแกรมมชอเปน f การ save ใหคลกท หรอใชสงผานคาสง File \ Save
และพมพชอ f
ตวอยางการเรยกใชงานฟงกชน f.m ทเรากาหนดสตรไว
ในทน ขอใหกลบไปทางานท Command Window
โดยการเลอก เมน View \ Desktop Layout \ Command Window Only
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ MATLAB MATLAB – 65
เมอกลบไปท Command Window จอภาพจะเปนดงน
ตวอยางการคานวณทมการเรยกใชฟงกชน f เชน
ตวอยางโปรแกรมคานวณคา
rn = )!rn( !r
!n−
การเรยกใชฟงกชน nCr(n, r)
ตวอยางของโปรแกรมฟงกชน 2 ตวแปร h(a, b) = ( 2a + 2b – 1, a – b)
การเรยกใชฟงกชน 2 ตวแปร h
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ MATLAB MATLAB – 66
5.2 การสรางโปรแกรมโดยใชภาษาคาสงของ MATLAB เพอประยกตใชงาน
จาก Window ของการเขยนโปรแกรม
เราสามารถพมพคาสงของโปรแกรมตาง ๆ ตามตองการได ตวอยางเชน
คาสง
เราสามารถพมพเปนโปรแกรมและบนทกไวในชอ pro_bargraph
การบนทกโปรแกรม แบบท 1.
1. คลกคาสง File
2. เลอก Save สาหรบโปรแกรมทเคยบนทกแลว
หรอโปรแกรมทเขยนขนมาใหม
เลอก Save As สาหรบโปรแกรมเกาทตองการบนทกในชอใหม
3. พมพชอ pro_bargraph
4. คลก Save
การบนทกโปรแกรม แบบท 2.
1. คลกคาสง Debug
2. เลอก Save and Run (หรอกด F5)
3. ถาเปนโปรแกรมใหมจะตองบนทก
แฟมชอ pro_bargraph กอน
เสรจแลวโปรแกรมจงจะทางานตอไป
ถาเปนโปรแกรมทเคยบนทกไวแลว โปรแกรมจะทาการบนทกในชอเดม แลวจงทางานตอไป
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ MATLAB MATLAB – 67
หมายเหต ในกรณทโปรแกรมเกาถกแกไขและยงไมไดบนทก จะมดอกจนเตอนเหนอชอ
การสงใหโปรแกรมทางาน
แบบท 1. กดแปนฟงกชน F5
แบบท 2. เลอกเมน Debug \ Save and Run
แบบท 3. สงในทางานดายคาสง run ใน Command Window
ผลการทางานของโปรแกรม pro_bargraph.m คอ
ตวอยางของโปรแกรม pro_plotsincos.m
ผลของการ run โปรแกรม pro_plotsincos.m
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ MATLAB MATLAB – 68
คาสงทสาคญในการเขยนโปรแกรมภาษา MATLAB
คาสง รปแบบและหนาท
% ใชทาหมายเหตของโปรแกรม ตวอยางเชน
input ชอตวแปร = input('ขอความ') ใชรบคาของขอมล ตวอยางเชน
disp
display
disp('ขอความ'), display('ขอความ')
disp(ตวแปร), display(ตวแปร)
ใชแสดงผล ขอความ และตวแปร
ตวอยางเชน
fprintf
หมายเหต
\n เปนสญลกษณ
ใหขนบรรทดใหม
fprintf('ขอความ รปแบบการแสดงผล', ตวแปร)
%f แสดงผลเปนเลขจานวนจรงตามปกต ตวอยางเชน
%10.2f ใชชองวาง 10 ชอง แสดงผล 2 ตาแหนง
%e แสดงผลเปนเลขยกกาลง ตวอยางเชน
% 10.4e ใชชองวาง 10 ชอง แสดงผล 4 ตาแหนง
%g แสดงผลตามความเหมาะสมของคาตวเลข
ตวอยางเชน
if เงอนไข c1
ชดคาสง 1
end
คาสงการประมวลผลแบบมเงอนไข
ถา เงอนไข c1 เปนจรง ใหทางานตามคาสงในชดคาสง 1
ถา เงอนไข c1 เปนเทจ ใหไปทางานคาสงทอยใต end
ตวอยางเชน
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ MATLAB MATLAB – 69
if เงอนไข c1
ชดคาสง 1
else
ชดคาสง 2
end
คาสงการประมวลผลแบบมเงอนไข
ถา เงอนไข c1 เปนจรง ใหทางานตามคาสงในชดคาสง 1
ถา เงอนไข c1 เปนเทจ ใหทางานตามคาสงในชดคาสง 2
ตวอยางเชน
for x = a : b : c
ชดคาสง 1
end
หมายเหต
\n เปนสญลกษณ
ใหขนบรรทดใหม
ทางานวนลปตามคาของตวแปร x โดย x มคาเรมตน a และมคาเพมขน
ครงละ c และจะออกจากลปเมอ x มคามากกวา b ตวอยางเชน
ผลของการ run โปรแกรมคอ
while เงอนไข c1
ชดคาสง 1
end
คาสงการประมวลผลแบบมเงอนไข
ถา เงอนไข c1 เปนจรง ใหทางานตามคาสงในชดคาสง 1
ถา เงอนไข c1 เปนเทจ ใหออกจากลปของการทางาน
ตวอยางเชน
ตวอยางการ run โปรแกรม
run ชอโปรแกรม
ชอโปรแกรม
สงใหโปรแกรมทางานดวยการใชคาสง run หรอพมพเฉพาะชอโปรแกรม
ตวอยางเชน
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ MATLAB MATLAB – 70
การเขยนโปรแกรมประยกตใชงานจาก แผนภมสายงาน
เรมตน ↓
กาหนดคาตางๆ ของตวแปร ↓
คานวณคาตางๆ ตามสตร ↓
แสดงผลการคานวณ ↓
จบการทางาน
โปรแกรมท 1. การหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดความยาวของดาน a, b, c
แนวคดของโปรแกรมภาษา MATLAB คอการนาคาสงกาหนดคา คาสงคานวณ มาประกอบกนเปนการทางาน
แบบโปรแกรม จากโปรแกรมท 1. เราสามารถจาแนกสวนของการทางานตางๆ ดงน
สวนของ INPUT คอ สวนประมวลผลคอ สวนแสดงผลคอ
การ run โปรแกรมใน Command Window
>> run area
จอภาพจะขนขอความ a = ... รอใหเราใสคา a
ใหใสคา 3 แลวกด enter
ในทานองเดยวกนใสคา b = 4 และ c = 5 จะไดคาพนท Area = 6
โปรแกรมท 2. การหาเมทรกซผกผน และ เมทรกซผกพนของ A
โปรแกรม การทางานของโปรแกรม
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ MATLAB MATLAB – 71
โปรแกรมท 3. การหารากท n ของจานวนเชงซอน
การทางานของโปรแกรม
โปรแกรมท 4. การหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดพกดจดยอด 3 จด
หมายเหต ถา ( 1a , 1b ), ( 2a , 2b ), ( 3a , 3b ) เปนพกดจดยอดสามเหลยม
แลว พนทสามเหลยมเทากบ )bbaabbaadet()2
1(13131212
−−−−
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ MATLAB MATLAB – 72
โปรแกรม การทางานของโปรแกรม
โปรแกรมท 5. การหาระยะทางจากจด ( 0x , 0y ) ไปยงเสนตรง ax + by + c = 0
โปรแกรม การทางานของโปรแกรม
โปรแกรมท 6. การคานวณในรปแบบการกระทาซา การหารากโดยวธของนวตน
การหารากของสมการ f(x) = 3x + 3 2x – 4x + 6, 0x = 1 สตรการหารากคอ )x(f
)x(fxxn
'n
n1n −=+
ผลการ run โปรแกรมจะไดรากของสมการคอ
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย MATLAB MATLAB – 73
บทท 6.
การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย MATLAB
เนอหาในบทนจะนาความสามารถของโปรแกรมสาเรจรป MATLAB มาใชในการคานวณเพอเสรมการ
เรยนการสอนคณตศาสตรระดบมธยมศกษาตอนปลายโดยจาแนกเนอหาคณตศาสตรตามระดบ ม. 4 – ม. 6
6.1 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 011
1. การคานวณเบองตน บวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลง และ การหารากท 2
2. การคานวณคาในรปแบบตาราง การกาหนดสตรฟงกชนและการคานวณคา
3. การเขยนกราฟฟงกชน
4. การเปลยนตวเลขในฐานตาง ๆ ระหวาง เลขฐาน 2 เลขฐาน 16 และ เลขฐาน 10
5. การแยกตวประกอบพหนาม และการกระจายพหนาม
6. การหาคาตอบของสมการพหนาม
ตวอยางการคานวณ
1. การคานวณเบองตน บวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลง และ การหารากท 2
2. การคานวณคาในรปแบบตาราง การกาหนดสตรฟงกชนและการคานวณคา
3. การเขยนกราฟฟงกชน
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย MATLAB MATLAB – 74
4. การเปลยนตวเลขในฐานตาง ๆ ระหวาง เลขฐาน 2 เลขฐาน 16 และ เลขฐาน 10
5. การแยกตวประกอบ และ การกระจายพหนาม
6. การหารากของสมการพหนาม เชนการหารากของ 2x – 3x – 4 = 0
หมายเหต [1 –3 –4] หมายถง พหนาม 2x – 3x – 4
roots([1 –3 –4]) เปนคาสงหารากของพหนาม
2x – 3x – 4 = 0
6.2 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 012
1. การเขยนกราฟ วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา
2. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, sec, cosec, cot
3. กราฟของ sin, cos, tan, sec, cosec, cot
4. การหาคาเฉลยเลขคณต
ตวอยางการคานวณ
1. การเขยนกราฟ วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา
การเขยนกราฟของวงกลม 2x + (y + 3) 2 = 16
การเขยนกราฟของพาราโบลา y = 2x81
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย MATLAB MATLAB – 75
การเขยนกราฟของวงร 16x2
+ 1y2
= 1
การเขยนกราฟของไฮเพอรโบลา 4y2
– 9x2
= 1
2. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, sec, cosec, cot
3. กราฟของ sin, cos, tan, sec, cosec, cot
กราฟ y = sinx
กราฟ y = cosx
4. การหาคาเฉลยเลขคณต
6.3 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 013
1. การเขยนกราฟของ y = xa และ y = xloga การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง
2. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมตผกผน
3. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน
4. การคานวณเกยวกบเมทรกซ และการหาผลเฉลยของระบบสมการ
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย MATLAB MATLAB – 76
ตวอยางการคานวณ
1. การเขยนกราฟของ y = xa และ y = logax การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง
กราฟ y = xe
กราฟ y = lnx
2. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมตผกผน
3. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน
กราฟ y = arcsinx
กราฟ y = arccosx
4. การคานวณเกยวกบเมทรกซ
การบวกเมทรกซ การคณเมทรกซ สเกลารคณเมทรกซ คากาหนดของเมทรกซ
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย MATLAB MATLAB – 77
การหาผลเฉลยของระบบสมการ
2x + 2y = 25
3x – 4y = 0
ผลเฉลยคอ (4, 3), (–4, –3)
6.4 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 014
1. การบวกและลบเวกเตอร สเกลารคณเวกเตอร ผลคณเชงสเกลาร ขนาดของเวกเตอร
2. การบวกและลบจานวนเชงซอน คาสมบรณ อารกวเมนต สวนจรง และ สวนจนตภาพของจานวนเชงซอน
3. การหาคาเฉลยเลขคณตและคาความแปรปรวน
ตวอยางการคานวณ
1. การบวกและลบเวกเตอร สเกลารคณเวกเตอร ผลคณเชงสเกลาร ขนาดของเวกเตอร
2. การบวกและลบจานวนเชงซอน คาสมบรณ อารกวเมนต สวนจรง และ สวนจนตภาพของจานวนเชงซอน
3. การหาคาเฉลยเลขคณตและคาความแปรปรวน
6.5 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 015
1. การหาลมตของลาดบ การหาผลบวกของอนกรม และ สตรผลบวกของอนกรม
2. การหาลมตของฟงกชน และอนพนธของฟงกชน และ อนพนธอนดบสง
3. การเขยนกราฟของ f, f′ 4. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย MATLAB MATLAB – 78
ตวอยางการคานวณ
1. การหาลมตของลาดบ การหาผลบวกของอนกรม และ สตรผลบวกของอนกรม
2. การหาลมตของฟงกชน อนพนธของฟงกชน และ อนพนธอนดบสง
3. การเขยนกราฟของ f, f′
4. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล
6.6 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 016
1. การคานวณ n!, rn P , r
n C และ การกระจายทวนาม
2. กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล
3. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย MATLAB MATLAB – 79
ตวอยางการคานวณ
1. การคานวณ n!, rn P , r
n C และ การกระจายทวนาม
2. กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล
3. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล
สมการแสดงความสมพนธของขอมลคอ y = 3.3x – 1.7
6.7 MATLAB กบการเฉลยขอสอบคณตศาสตร Entrance
ในหวขอนจะเปนการนาความสามารถของ MATLAB เขามาชวยหาคาตอบของขอสอบ ซงมขอสอบ Entrance
หลายขอทเราหาคาตอบไดดวยการแทนคา คานวณคา หรอแมแตเขยนกราฟดกจะไดคาตอบ
ขอสอบคณตศาสตร 1. มนาคม 2546 ขอ 18.
0x
lim→ 3x
1 [ x1+ – x1− – )x1)(x1( 2−+ + )x1)(x1( 2−− ] มคาเทากบขอใดตอไปน
1. 0 2. 41
3. 21 4. 1
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย MATLAB MATLAB – 80
การคานวณดวย MATLAB
เพราะฉะนนตอบขอ 3.
ขอสอบคณตศาสตร 2. มนาคม 2546 ขอ 11.
ถา xsin1
1−
+ xsin1
1+
= 8 โดยท π < x < 2
3π แลว sin x + cos2x + tan3x มคาเทากบขอใดตอไปน
1. 2
13 − 2. 2
13 +
3. 2
13 −− 4. 2
13 +−
การคานวณดวย MATLAB
เพราะฉะนนตอบขอ 3.
ขอสอบคณตศาสตร 1. มนาคม 2545 ขอ 2. 2sin− 1 + 2sin2 – 3sin2 + ... – 89sin2 + 90sin2 มคาเทากบเทาใด
การคานวณดวย MATLAB
เพราะฉะนน 2sin− 1 + 2sin2 – 3sin2 + ... – 89sin2 + 90sin2 มคาเทากบ 0.5
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB MATLAB – 81
บทท 7.
การคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB
ในระดบอดมศกษามปญหาทางดานการคานวณมากมาย หากนกเรยนนสต นกศกษา หรอ ผสอน ไดนา
ความสามารถของโปรแกรมสาเรจรป MATLAB มาใชในการคานวณกจะทาใหเกดประโยชนอยางมาก ในบทน
จงไดยกตวอยางการคานวณทางคณตศาสตรระดบอดมศกษา จาแนกเปนกลมตางๆ ดงน
1. แคลคลส 2. สมการเชงอนพนธ 3. การวเคราะหเชงตวเลข
4. พชคณตเชงเสน 5. สถตและความนาจะเปน 6. คณตศาสตรขนสง
7.1 เสรมการคานวณแคลคลสดวย MATLAB
7.1.1 การคานวณคาลมต
7.1.2 การหาอนพนธ อนพนธอนดบสง และ อนพนธยอย
7.1.3 การคานวณปรพนธ ผลการคานวณเปนสตร และ ผลการคานวณเปนตวเลข
บทท 7. เสรมการคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB MATLAB – 82
7.1.4 กราฟของฟงกชน f, f′ และ f′′
7.1.5 การหาผลบวกรมนน (Riemann sum)
เชนผลบวกรมนนของ f(x) = 2x – 4x + 6 บนชวง [1, 3]
คาของ dx)6x4x( 23
1
+−∫ = 4.666666
7.1.6 การแทนฟงกชนดวยพหนามเทยเลอร เชน พหนามเทยเลอรของ sin(x), arctan(x), cos(x), xe
7.1.7 การเขยนกราฟในพกดเชงขว
ตวอยางเชนกราฟของ r = 4cos(2t)
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB MATLAB – 83
7.1.8 การเขยนกราฟ 3 มต
เชน กราฟของ z = 2x – 2y
7.1.9 การเขยนกราฟของสวนโคง
เชนเสนโคงทสมการพาราเมตรก
r(t) = (t, 2t ) บนชวง 0 < t < 5
7.2 เสรมการคานวณเกยวกบสมการเชงอนพนธดวย MATLAB
7.2.1 กราฟของการเคลอนทแบบซมเปลฮารมอนก
7.2.2 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสน
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ dtdx – 2xt = t
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ x′′ + 4x = 0
7.2.3 การหาผลการแปลงลาปลาซ และ ผลการแปลงลาปลาซผกผน
ตวอยางเชน L{sin(t)} = 2s11+
และ 1L− { 2s11+
} = sint
บทท 7. เสรมการคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB MATLAB – 84
7.3 เสรมการคานวณเกยวกบการวเคราะหเชงตวเลขดวย MATLAB
7.3.1 การประมาณเสนโคง y(x) ทผานจด ( 1x , 1y ), ( 2x , 2y ), ... , ( nx , ny )
จงหาสมการเสนโคง y(x) ทผานจด (3, 4), (6, 13), (8, 6), (11, 10), (15, 13) และ (17, 18)
7.3.2 การประมาณคาภายในชวงจากขอมล ( 1x , 1y ), ( 2x , 2y ), ... , ( nx , ny )
ตวอยางขอมล
โดยวธ linear interpolation y(10) = 15.7
โดยวธ spline interpolation y(10) = 15.9301
7.3.3 การหารากของสมการ ตวอยาง การหารากของสมการ 2x – 5 = 0
p = [1 0 –5] หมายถงพหนาม 2x – 5
roots(p) เปนคาสงหารากของ p(x) = 0
ราก 2x – 5 = 0 คอ x = 2.2361, –2.361
การหารากของสมการ sinx – cosx = 0
เพราะฉะนนรากสมการ sinx – cosx = 0 คอ 4π
7.3.4 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน และ ไมเชงเสน
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ x + y + z = 12
x – y + z = 4
x + y – z = 2
x y 2 3 5 5 7 9
11 18 15 22
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB MATLAB – 85
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการไมเชงเสน 2x + 2y = 25
x + y = 7
ผลเฉลยของระบบสมการคอ (3, 4) และ (4, 3)
7.3.5 การประมาณคา y(c) เมอกาหนด )y,x(fdxdy
= และผานจด ( 0x , 0y )
โดยวธของออยเลอรทปรบปรงแลวทมสตร 1ny + = ny + 2h (f( nx , ny )+ f( 1nx + , ny + hf( nx , ny )))
เมอ h = nxc 0− , 1nx + = nx + h
จงหาคาประมาณคา y(1) เมอกาหนด yxdxdy
+= และผานจด (0, 0)
หมายเหต ผลเฉลยแทจรงคอ y(x) = xe – x – 1 เพราะฉะนนคาจรง y(1) = 0.718282
7.4 เสรมการคานวณเกยวกบพชคณตเชงเสนดวย MATLAB
7.4.1 การคานวณเกยวกบเมทรกซ
บทท 7. เสรมการคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB MATLAB – 86
7.4.2 การหาคาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจง และสมการลกษณะเฉพาะของเมทรกซ
ตวอยาง การหาคาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจง และสมการลกษณะเฉพาะของเมทรกซ A =
3104
สมการลกษณะเฉพาะของเมทรกซ A =
3104 คอ 2λ – 7 λ + 12 = 0
คาเจาะจงคอ 3, 4 โดยมเวกเตอรเจาะจงเปน (0, 1) และ (0.7071, 0.7071) ตามลาดบ
7.4.3 การหาคาลาดบชนของ A และ เมทรกซลดรปเปนขนแบบแถวทสมมลกบ A
7.4.4 การหามลฐานเชงตงฉากปกตของ 3R โดยใชกระบวนการของ Gram - Schmidt
ตวอยาง กาหนดมลฐาน { 1v =
111
, 2v =
110
, 3v =
100
}
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB MATLAB – 87
เพราะฉะนนมลฐานเชงตงฉากปกตคอ { 1u =
577.0577.0577.0
, 2u =
−
408.0408.0816.0
, 3u =
−
707.0707.00
}
7.5 เสรมการคานวณเกยวกบความนาจะเปนและสถตดวย MATLAB
7.5.1 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมทวนาม
หมายเหต ฟงกชน binopdf(x, n, p) เปนฟงกชนทใหคาเทากบ b(x, n, p) = xnx )p1(p)!xn(!x!n −−−
7.5.2 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง
หมายเหต ฟงกชน poisspdf(x, µ ) มคาเทากบ !xe xµµ− เปนฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง
7.5.3 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมปกต
หมายเหต normpdf( 0x , µ , σ ) = 2)x(
e21 σ
µ−−
σπ
normcdf( 0x , µ , σ ) = P(X < 0x ) เมอ X เปนตวแปรสมปกต คาเฉลย µ สวนเบยงเบนมาตรฐาน σ
norminv(p, µ , σ ) หมายถงคา 0x ททาให p = P(X < 0x )
7.5.4 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมท ระดบขนความเสร v
หมายเหต tpdf(t, ν ) = 212
)t1()
2(
)2
1( +ν−
ν+
πννΓ
+νΓ
tcdf( 0t , ν ) = P(t < 0t ) เมอ t เปนตวแปรสมท ระดบขนความเสร ν
tinv(p, ν ) หมายถงคา 0t ททาให p = P(t < 0t )
7.5.5 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมไคสแควร ระดบขนความเสร v
บทท 7. เสรมการคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB MATLAB – 88
หมายเหต 2χ เปนตวแปรสมไคสแควร ระดบขนความเสร ν chi2pdf(x, ν ) = 2x
2
2
ex
)2(2
1 −ν
ννΓ
chi2cdf(k, ν ) = P( 2χ < k) chi2inv(p, ν ) หมายถงคา k ททาให chicdf(k, ν ) มคาเทากบ A
7.5.6 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมเอฟ ระดบขนความเสร 1ν และ 2ν
หมายเหต F เปนตวแปรสมเอฟ ระดบขนความเสร 1ν และ 2ν
fpdf(f, 1ν , 2ν ) = 2
21
2121
121
21
2121
)f1)(2()2(
f))(2(
ν+ν
−νν
νν
+ν
Γν
Γ
ννν+ν
Γ
fcdf(k, 1ν , 2ν ) = P(F < k), finv(p, 1ν , 2ν ) หมายถงคา k ททาให fcdf(k, 1ν , 2ν ) มคาเทากบ A
7.5.7 การหาสมการถดถอยและสมประสทธสหสมพนธ และ การเขยนแผนภาพกระจายขอมล
ตวอยางขอมล
ผลการคานวณ สมการถดถอยคอ y = 0.25 + 8.55x และ สมประสทธสหสมพนธคอ 0.98043
7.5.8 กราฟของแผนภาพการกระจายบนกราฟสเกล log ตวอยางขอมลเชน
กราฟบนสเกล (x, y)
x y 1 14 3 23 5 35 7 64 9 79
x y 150 10 235 12 432 15 511 23 645 32 579 34 834 36 915 38
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB MATLAB – 89
กราฟบนสเกล (logx, y) กราฟบนสเกล (x, logy) กราฟบนสเกล (logx, logy)
7.6 เสรมการคานวณเกยวกบคณตศาสตรขนสงดวย MATLAB
7.6.1 การหาสตรของฟงกชนทนยามในพจนของปรพนธ
ตวอยางการหาคา
tdtx
1∫ = 2x2
1 + 21
dtt1
12
2x
x +∫ = )x(tan)x(tan 121 −− −
7.6.2 การหาสตรอนพนธของฟงกชนทนยามในพจนของปรพนธ
ตวอยางการหาคา
dxd ( tdt
x
1∫ ) = x
dxd dt
t11
2
2x
x +∫ = 4x1
x2+
– 2x11+
7.6.3 กราฟของฟงกชนแกมมา (Gamma function) และการคานวณคาฟงกชนแกมมา
บทท 7. เสรมการคานวณระดบอดมศกษาดวย MATLAB MATLAB – 90
7.6.4 ฟงกชนเบสเซล (Bessel function) และ กราฟของฟงกชนเบสเซล
หมายเหต besselj(v, x) คอ ฟงกชนเบสเซลชนดท 1 อนดบ v
7.6.5 การหาอนพนธอนดบสง และ อนพนธยอย
อนพนธอนดบสง x24)x(dxd 4
3
3=
อนพนธยอย 32342
2yx12)yx(
x=
∂∂
อนพนธยอย yx6)yx(y
4342
2=
∂∂
อนพนธยอย 22342
3yx36)yx(
xy=
∂∂∂
7.6.6 การหาพหนามเลอจองด )x(Pn อนดบตางๆ จากสตรโรดรกส )x(Pn = n2n
n
n )1x(dxd
!n21 −
บทนา
Maple โปรแกรมสาเรจรป Maple เปนโปรแกรมทมความสามารถในการคานวณสงและนยมใชงานกนมากอก
โปรแกรมหนง สามารถคานวณแบบเครองคดเลข หรอจะใชในการเขยนโปรแกรมประยกตใชงานกได
โปรแกรมในกลมของโปรแกรมสาเรจรปทง 4 โปรแกรมในหนงสอเลมน อาจกลาวไดวา Mathematica และ
Maple มความใกลเคยงในรปแบบการใชงานมากทสด ถาผอานใช Mathematica เปนมากอนกจะใชงาน
Maple ไดงายขน ในทานองเดยวกน ถาใช Maple เปนกจะใชงาน Mathematica ไดงายขนเหมอนกน
ความสามารถทเหมอนหรอแตกตางระหวาง Maple กบโปรแกรมอน ๆ สรปไดดงน
• Maple แสดงผลทศนยมไดหลายตาแหนงตามตองการดวยคาสง Digits = n
• คาสงการทางานของ Maple ตองพมพท prompt ทมรปแบบเปน >...
• การคานวณบางอยางเชนการทางานทางดาน Graphics ตองมการเรยก Package หรอโปรแกรมยอยสาหรบ
การทางานนนขนมากอน เชนใช คาสง with(plots) เรยก Package ของการเขยนกราฟ คาสง with(linalg)
เรยก Package ของการคานวณเกยวกบเวกเตอร เมทรกซ
อยากร วา Maple ม Package อะไรบางใหพมพ ?Package จะไดรายชอของ Package ทงหมด ของ Maple
• การปรบเปลยนรปแบบการแสดงผลของกราฟ ใชคาสง หรอ คลกทรปกราฟกจะมเมนบารของการ
ปรบเปลยนรปแบบกราฟขนมาใหเราใชในการปรบเปลยนรปแบบของกราฟ
• สามารถขอความชวยเหลอจากโปรแกรมไดอยางรวดเรว เชนสงสยความหมายของคาสง plot กใหพมพ
?plot แลวกด Enter กจะไดคาอธบายตาง ๆ ของคาสง plot
• มคาสงทผสอนวชาแคลคลสตองชอบ เชน กราฟแสดงพนทใตโคงทแสดงความหมายของ ผลบวกรมนน
ผลบวกลาง ผลบวกบน ผลบวกจดกงกลาง และ คาสงคานวณคาผลบวกตาง ๆ
• มคาสงทผสอนวชาพชคณตเชงเสนตองชอบ เชน การแปลงแถวของเมทรกซ การแปลงหลกของเมทรกซ
การหาเมทรกซลดรปเปนขนแบบแถว
• มกลมคาสงสาหรบการเขยนโปรแกรมเชน if–then–else, for, while เหมอนโปรแกรมอน ๆ
สารบญ บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Maple............................................. 1 – 8
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple............................................................ 9 – 28
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple.................................................................... 29 – 44
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Maple............................................ 45 – 56
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Maple.................................................. 57 – 64
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Maple.......................................... 65 – 74
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple................................................... 75 – 92
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Maple Maple – 1
บทท 1.
ความสามารถเบ องตนของโปรแกรม Maple
ในบทนจะเปนการนาความสามารถตาง ๆ ทโปรแกรมสาเรจรป Maple ทาไดมานาเสนอใหดกอนเพอ
ผอานจะไดเหนความสามารถทางการคานวณทสาคญของโปรแกรมสาเรจรป Maple ในสวนของการพมพคาสง
การเขาสโปรแกรม Maple และการประยกตตาง ๆ จะกลาวในบทตอไป
1. การคานวณเบ องตน บวก ลบ คณ หาร
หมายเหต > เปนตาแหนงท Maple รอรบคาสงของการคานวณ โดยทผลการคานวณจะแสดงในบรรทดตอไป
1.2 สามารถเลอกแสดงผลการคานวณเปนทศนยมไดหลายตาแหนง
หมายเหต คาสง Digits := k
กาหนดแสดงผลตวเลขนยสาคญ k ตว
เมอเขามาครงแรกจะแสดงผล 10 ตว
3. มฟงกชนทางคณตศาสตรใหเลอกใชมากมาย
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Maple Maple – 2
หมายเหต 1. log, ln หมายถงลอการทมฐาน e
2. คาฟงกชน ของจานวนเตมหรอเศษสวน
Maple จะแสดงผลเปนการจดรปแบบพชคณตหรอแสดงผลเปนเลขเศษสวนตามความเหมาะสม
3. คาฟงกชนทกาหนดคาเปนเลขจานวนจรง (มจดทศนยม) Maple จะแสดงผลเปนเลขทศนยม
4. ความสามารถทจะกาหนดสตรของฟงกชนใชงานเองได
5. การคานวณคาในรปแบบตาราง
6. สามารถแสดงหนวยผลลพธของการคานวณได
7. ความสามารถเกยวกบพหนาม เชน การบวก การหาราก การแยกตวประกอบ การกระจายพหนาม
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Maple Maple – 3
หมายเหต roots(r) = [[1, 3], [2, 1], [3, 1]]
หมายถงพหนาม r(x) = 0 มราก 1 ซา 3 ตว ราก 2 ซา 1 ตว ราก 3 ซา 1 ตว
8. ความสามารถในการเขยนกราฟไดหลายแบบ
8.1 กราฟในระบบพกดมมฉาก
ตวอยาง กราฟของ f(x) = 2x + 3 บนชวง [–5, 5]
8.2 สามารถเขยนกราฟไดหลายเสนพรอมกน
ตวอยาง กราฟของ f(x) = 2x + 3 กบ g(x) = 2x – 4 บนชวง [–5, 5]
8.3 สามารถเขยนกราฟแบบคลาดบ
ตวอยาง กราฟของขอมล นาหนกและสวนสง
น าหนก ความสง
53 156 58 165 55 162 60 170 62 165 68 173
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Maple Maple – 4
8.4 กราฟแทง (Bar graph) ของขอมลทางสถต
ตวอยาง การเขยนกราฟของขอมล คะแนน และ ความถ จากตาราง
8.5 กราฟในระบบพกดเชงขว เชนกราฟรปหวใจ r = 3 + 2sinθ
8.6 สามารถเขยนกราฟพนผว 3 มต เชนกราฟพนผวไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด f(x, y) = 2x – 2y
9. การเปลยนแปลงจานวนในเลขฐานตางๆ
การเปลยนแปลงคาระหวางเลขฐาน 10 กบ เลขฐาน 2 ตวอยางเชน 1043 = 2101011
คะแนน ความถ
0 – 1 15 1.1 – 2.0 35 2.1 – 3.0 25
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Maple Maple – 5
การเปลยนแปลงคาระหวางเลขฐาน 10 กบ เลขฐาน 16 ตวอยางเชน 10291 = 16123
10. การคานวณในรปแบบเวกเตอร
Maple สามารถหาผลบวก ผลตาง dot product cross product และ ขนาดของเวกเตอรได
11. การคานวณในรปแบบเมทรกซ
Maple สามารถหาผลบวก ผลคณ อนเวอรสเมทรกซ คากาหนดของเมทรกซได
12. การคานวณจานวนเชงซอน
Maple สามารถหาผลบวก ผลตาง อนเวอรส คาสมบรณของจานวนเชงซอนได
13. การหาผลบวกในรปแบบผลบวก ∑
ตวอยาง การหาผลบวกของตวเลข ∑=
10
1 ii, ∑
=
10
1 i
2i , ∑=
n
1 i
2i
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Maple Maple – 6
14. การคานวณคาสถตเบ องตน ตวอยางการหาคาสถตเบองตนของขอมล 2, 3, 7, 12, 16
15. สามารถหาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมล
ตวอยาง กาหนดขอมล นาหนก (x) กบสวนสง (y)
x เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรตาม
16. ความสามารถในการจดรปพชคณต การแยกตวประกอบ การกระจายพหนาม
17. ความสามารถในการหาอนพนธ เชนการหาอนพนธของ f(x) = 4x
18. ความสามารถในการหาปรพนธ การหาปรพนธเปนคาตวเลข เชนการหาคา dxx 1
0
2∫
หมายเหต คาสง Int แสดงผลเปนสญลกษณการปรพนธ แต คาสง int แสดงผลการคานวณคาทได
น าหนก ความสง
45 162 50 174 55 178 60 182
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Maple Maple – 7
19. สามารถหาคาลมตได การหาลมต 1x
lim→
2x + x + 1 และลมตทางซาย ทางขวา ของ x|x| ท x = 0
หมายเหต คาสง Limit แสดงผลเปนสญลกษณลมต แต คาสง limit แสดงผลการคานวณคาทได
20. ความสามารถในการคานวณเปนโปรแกรม
ตวอยาง โปรแกรมหาพนทสามเหลยมเมอรความยาวทงสามดาน
21. ความสามารถในการหารากของสมการ f(x) = 0
ตวอยาง การหารากของสมการ 2x - 2 = 0
22. ความสามารถในการหาผลเฉลยของระบบสมการ
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน x + y = 1
x – y = 3
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการไมเชงเสน 2x + 2y = 25
3x – 4y = 0
บทท 1. ความสามารถเบองตนของโปรแกรม Maple Maple – 8
23. การหาผลการแปลงลาปลาซ และผลการแปลงลาปลาซผกผน
เชนผลการแปลงลาปลาซ L{sint} = 1s
12 +
และ ผลการแปลงลาปลาซผกผน 1L− {1s
12 +
} = sint
24. การหาสตรเทยเลอรของฟงกชน เชนการหาสตรเทยเลอรของ sinx, cosx
25. การแยกเศษสวนยอย
2xx
x2
3
−− สามารถแยกเปนผลบวกยอยไดเปน x + 1 + )2x(3
8−
+ )1x(31+
26. การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ เชนการหาผลเฉลยของสมการ dxdy – 4y = 0
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการ dxdy – 4y – 4= 0 และ y(0) = 1
27. การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการ dtdy – x + y = 0
dtdx + x – 4y = 0
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 9
บทท 2.
การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple
ในบทนจะเรยนร เกยวกบการนาโปรแกรมสาเรจรป Maple เขามาทางาน และการทางานเบองตนกบคาสง
ของ Maple
หมายเหต โปรแกรม Maple ทใชในขณะนคอ Maple 8 ถาเปน version อน ๆ เชน Maple 3, Maple 6 จะม
ลกษณะใชงานทใกลเคยงกน
2.1 การเรยกโปรแกรม Maple ขนมาใชงาน
1. เปดเครองคอมพวเตอร
2. รอจนจอภาพขน รปภาพ ขอความและ icon ตาง ๆ ครบ
คลกทปม Start จะมเมนใหเลอก
คลกทเมน All Programs จะมเมนยอยใหเลอก
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 10
คลกท Maple 8 จะขนเมนยอยใหเลอก
คลกท Maple 8 จะเขาสการทางานของโปรแกรม Maple
หมายเหต Logo ของ Maple อาจแตกตางกนใน version อนๆ
เมอเขาสการทางานของโปรแกรม Maple เรยบรอยแลวจอภาพจะเปนดงน
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 11
1. แสดงวาเขามาทางานในหนาตางของ Maple 8
2. แสดงชอแฟมทกาลงทางานเมอมการบนทกแฟมหรอนาแฟมเดมกลบมาใช
แตถาเปนการเขามาทางานครงแรกชอแฟมทกาหนดใหมชอวา Untiled(1)
3. แถบเครองมอในการทางานเชน File เปดปดแฟมขอมล Edit คดลอกหรอลบทง
4. แถบเครองมอ icon ของการทางานตาง ๆ เชน บนทกแฟม การพมพ การเปดแฟมใหม
5. บรเวณบรรทดของการรบคาสงตาง ๆ ในการทางานของโปรแกรม Maple
6. ตาแหนงเรมตนของการพมพคาสงในการคานวณตาง ๆ ซงตองพมพท Maple prompt (>)
2.2 การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple
โปรแกรมสาเรจรป Maple เปนโปรแกรมทชวยในดานการคานวณทางคณตศาสตร ทสามารถใชงานไดงายเชน
การหาผลบวกของ 45.25 + 17.5
1. ใหพมพ 45.25 + 17.5 ;
2. แลวกด ↵ จะไดผลลพธทนท ผลบนจอภาพ Maple คอ
หมายเหต รปแบบการพมพคาสง ตองม ; (semi colon ปดทายคาสง แลวจงกด Enter ↵)
การใชงานโปรแกรม Maple จะเขยนในรปแบบตารางโดยท ตารางชองท 1 หมายถงการพมพผานทาง
แปนพมพ ตารางในชองท 2 เปนผลทเกดจากการคานวณของ Maple และ การจดรปแบบการพมพของ Maple
ในการใชงานครงแรกของผอาน ขอใหพมพชา ๆ และ ดผลของการจดรปแบบของ Maple
การคานวณดวยโปรแกรม Maple
1. การหาผลบวก 45.25 + 17.5
พมพ ผลบนจอภาพ
45.25+17.5;↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 12
2. การหาผลหาร 1245
พมพ ผลบนจอภาพ
45/12;↵
หมายเหต จานวนเตมหารกน maple จะ
แสดงผลเปนเศษสวนอยางตา
45/12.;↵
หมายเหต จานวนเตมหารดวยจานวนจรง(ตว
เลขทม . ) maple จะแสดงผลเปนเลขทศนยม
3. การหาผลคณของ 15 กบ 32
พมพ ผลบนจอภาพ
15*32;↵
4. การคานวณเลขยกกาลง 34 และ 4e
พมพ ผลบนจอภาพ
4^3;↵
exp(4);↵
หมายเหต exp(x) เมอ x เปนจานวนเตม
maple จะแสดงผลเปนการจดรปพชคณต
exp(4.);↵
หมายเหต exp(x) เมอ x เปนจานวนจรง (ตว
เลขทมจด . ) maple จะแสดงคาทคานวณได
5. การคานวณโดยใชฟงกชนทางคณตศาสตร log2, ln2, sin(6π ), 3 , 5 32 , 5!
พมพ ผลบนจอภาพ
log10(2.);↵
หมายเหต log10 หมายถงลอการทมฐาน 10
ln(2.);↵
หมายเหต log, ln หมายถงลอการทมฐาน e
sin(Pi/6);↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 13
sqrt(2.);↵
root(32,5);↵
หมายเหต root(x, n) = n x
5!;↵
6. การกาหนดคาใหกบตวแปร, การกาหนดสตรฟงกชน
พมพ ผลบนจอภาพ
f:=x->x^2;↵
หมายเหต รปแบบ f:=x -> expression
f:=x เปนการกาหนดวา f เปนฟงกชนของ x
-> กาหนดสตรใหเปน
expression สตรในเทอมของ x
f(2);↵
x:=4;↵
หมายเหต รปแบบ x:=....
สญลกษณ := เปนการกาหนดคาใหกบตวแปร
f(x);↵
7. การหาคาอนทกรล dx)x(fb
a∫ ตวอยางเชน dx)4x( 2
4
1
+∫
พมพ ผลบนจอภาพ
Int(x^2,x);↵
หมายเหต คาสง Int(f(x), x) จะไดสญลกษณของปรพนธ
คาสง int(f(x), x) จะไดผลการคานวณ หรอสตรทคานวณได
คาสง Int(f(x), x=a..b) จะไดสญลกษณของปรพนธ dx)x(fb
a∫
คาสง int(f(x), x=a..b) จะไดผลการคานวณคาของปรพนธ dx)x(fb
a∫
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 14
Int(x^2,x);↵
Int(x^2,x=0..1);↵
int(x^2,x=0..1);↵
2.3 การเขยนกราฟของฟงกชน
ตวอยางเชนการเขยนกราฟของ f(x) = 2x – 3x – 7 บนชวง [–8, 8]
พมพ ผลบนจอภาพ
plot(x^2-3*x-7,x=-8..8);↵
หมายเหต plot(f(x), x = a .. b)
เปนคาสงเขยนกราฟ y = f(x) บน
ชวง [a, b]
2.4 การกาหนดคาและการคานวณเกยวกบเมทรกซ
ตวอยาง การกาหนด A =
−
−3524 และ B =
3152
พมพ ผลบนจอภาพ
with(linalg):↵ หมายเหต with(linalg) เปนคาสงเรยกโปรแกรมคานวณ
เกยวกบเมทรกซของ Maple มาใชงาน
คาสงกาหนดเมทรกซ A = nmij]a[ × คอ
A:=<< 11a , 21a , ... , 1ma >|< 12a , 22a , ... , 2ma >| ... |< n1a , n2a , ... , mna >>
A:=<<4,-5>|<-2,3>>;↵
B:=<<2,1>|<5,3>>;↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 15
การคานวณคาของเมทรกซ A + B, AB, 4A, 2A , 1A− , TA , det(A)
พมพ ผลบนจอภาพ
A+B;↵
A.B;↵
หมายเหต สญลกษณ (.) จดแทน
การคณเมทรกซกบเมทรกซ
4*A;↵
A^2;↵
A^(–1);↵
หมายเหต inverse(A) ใชหา 1A−
ไดเหมอนกบ A^(–1)
det(A)↵
transpose(A);↵
การกาหนดดรรชนลาง (subscript) สาหรบอางองใชงานกบสมาชกของเมทรกซ
พมพ ผลบนจอภาพ
A[1,1];↵
หมายเหต A[i, j] คอ ija ของเมทรกซ A = nmij]a[ ×
การอางอง แถว และ หลกของเมทรกซ
พมพ ผลบนจอภาพ
with(LinearAlgbra);↵
A:=<<4,-5>|<-2,3>>;↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 16
Column(A,1);↵
Row(A,1);↵
Row(A,1)+2*Row(A,2);↵
2.5 การกาหนดคาและการคานวณเกยวกบเวกเตอร
ตวอยางเชน u =
−
43 และ v =
21 และการหาคา u + v, 4u, vu ⋅ และ | u |
พมพ ผลบนจอภาพ
with(LinearAlgebra):↵ หมายเหต with(linearalgebra) เปนคาสงเรยกโปรแกรม
คานวณเกยวกบพชคณตเชงเสนของ Maple มาใชงาน
คาสงกาหนด เวกเตอร u = ( 1a , 2a , ... , na ) คอ v:=< 1a , 2a , ... , na >
u:=<–3,4>;↵
v:=<1,2>;↵
u+v;↵
4*u↵
u.v;↵
หมายเหต สญลกษณ (.)
แทนการ dot ของเวกเตอร
norm(u,2)↵
2.6 การกาหนดขอมล ตวอยางขอมลเชน x = 2, 3, 5, 7, 8, 15
พมพ ผลบนจอภาพ
with(stats):↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 17
หมายเหต with(stats) เปนคาสงเรยกโปรแกรมคานวณ
เกยวกบสถตของ Maple มาใชงาน
x:=[2,3,5,7,8,15];↵
x[2];↵
หมายเหต ขอมลตวท i แทนดวย x[i]
describe[range](x);↵
คาสงแสดงคา ตาสด .. สงสดของขอมล
describe[mean](x);↵
describe[median](x);↵
describe[variance](x);↵
describe
[standarddeviation](x);↵
ใน Maple มฟงกชนทชวยคานวณคาทางดานสถตของขอมลดงน
describe[mean](x) = คาเฉลยเลขคณตของขอมล describe[median](x) = มธยฐานของขอมล
describe[variance](x) = ความแปรปรวนของขอมล(ประชากร)
describe[standarddeviation](x) = สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล(ประชากร)
describe[range](x) = แสดงคา ตาสด ... สงสด ของขอมล
2.7 การกาหนดขอมล 2 ตวแปรและการเขยนแผนภาพการกระจาย
ตวอยางขอมล
พมพ ผลบนจอภาพ
with(stats):↵
x:=[3,5,9,12];↵
y:=[12,15,21,32];↵
x y 3 12 5 15 9 21 12 32
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 18
statplots[scatterplot](x,y);↵
2.8 การคานวณคาเกยวกบผลบวกในรปแบบ ∑ ตวอยางเชน การหาคาของ ∑=
10
1 ii , ∑
=
10
1 i
2i , ∑=
n
1 ii
พมพ ผลบนจอภาพ
add(i,i=1..10);↵
คาสง add( ix ,i=a..b) เปนการหาผลบวก i
b
a ix∑
=
sum( ix ,i=a..b) เปนการหาผลบวก i
b
a ix∑
= ไดเปนผลการคานวณ หรอ เปนสตร
Sum( ix ,i=a..b) เปนคาสงแสดงผลในรปแบบสญลกษณผลบวก
add(i^2,i=1..10);↵
sum(i,i=1..10);↵
sum(i,i=1..n);↵
Sum(i,i=1..n);↵
2.9 การคานวณคาปรพนธจากดเขตและปรพนธไมจากดเขต และปรพนธ 2 ตวแปร
ตวอยางเชน การหาคาของ dxx21
0∫ , dxx2
2t
t∫ , dxdx)yx( 2∫ ∫ และ dxdy)yx( 2
2
1
3
0∫ ∫
พมพ ผลบนจอภาพ
int(x^2,x=0..1);↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 19
int(x^2,x=t..t^2);↵
int(int(y*x^2,x),y);↵
int(int(y*x^2,x=0..3),y=1..2)
;↵
2.10 การคานวณคาอนพนธ อนพนธรวม และ อนพนธยอย
ตวอยาง การคานวณ 4xdxd , 4
2
2x
dxd และ )xy(xy
422
∂∂∂
พมพ ผลบนจอภาพ
Diff(x^4,x);↵
diff(x^4,x);↵
คาสง Diff(f(x), x) คาสงแสดงรปแบบอนพนธ หรออนพนธยอย
diff(f(x), x) คาสงคานวณคาอนพนธและอนพนธยอย และแสดงผลเปนสตร
D(f) คาสงคานวณอนพนธ หรอ อนพนธรวม และแสดงผลเปนสตร
D(f)(a) คาสงคานวณคาอนพนธท x = a
Diff(y^2*x^4,x,y);↵
diff(y^2*x^4,x,y);↵
f:=x->x^4;↵
D(f);↵
D(f)(–2);↵
D(D(f));↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 20
D(D(f))(2);↵
D(y^2*x^2);↵
ความหมายคอ dxxy4dyyx2)xy(d 32442 +=
2.11 การกาหนดหนวยใหกบผลการคานวณ
พมพ ผลบนจอภาพ
sin(30.0);↵
หมายเหต ขณะนคอมพวเตอรจะคดเปนหนวย เรเดยน
degrees:=evalf(Pi/180.);↵
หมายเหต เปนการกาหนดหนวย
degrees ไวใชงาน
sin(30*degrees);↵
arctan(1.);↵
ผลการคานวณทไดมหนวยเปน เรเดยน
arctan(1.)*(1/degrees);↵
ผลการคานวณทไดมหนวยเปน องศา
2.12 การคานวณในรปแบบของเลขฐานอน ๆ
พมพ ผลบนจอภาพ
convert(18,hex);↵
convert(18,octal);↵
คาสง convert(n, hex) เปลยนเลข 10n เปนเลขฐาน 16
convert(n, binary) เปลยนเลข 10n เปนเลขฐาน 2
convert(n, base, k) เปลยนเลข 10n เปนเลขฐาน k (แสดงคาในแตละหลกสลบกบแบบแรก)
convert(“xxxx”, decimal, hex) เปลยนเลขฐาน 16 เปนเลขฐาน 10
convert(“xxxx”, decimal, octal) เปลยนเลขฐาน 8 เปนเลขฐาน 10
convert(“xxxx”, decimal, binary) เปลยนเลขฐาน 2 เปนเลขฐาน 10
convert(“xxxx”, decimal, k) เปลยนเลขฐาน k เปนเลขฐาน 10
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 21
convert(18,binary);↵
convert(18,base,2);↵
convert(“12”,decimal,hex);↵
convert(“10010”,decimal,
2);↵
convert(“10010”,decimal,
binary);↵
convert(“22”,decimal,octal);↵
2.13 การหาผลบวกในรปแบบ ∑=
n
1 iix
ตวอยาง การหาคาของ ∑=
4
1 ii x , ∑
=
4
1 iiy , ∑
=
4
1 i
2i x , ∑
=
4
1 i
2iy , ∑
=
4
1 iiiy x จากขอมล
พมพ ผลบนจอภาพ
x:=[2,3,6,9];↵
y:=[12,15,14,19];↵
sum(x[i],i=1..4);↵
sum(y[i],i=1..4);↵
sum(x[i]^2,i=1..4);↵
sum(y[i]^2,i=1..4);↵
sum(x[i]*y[i],i=1..4);↵
2.14 การสรางตารางฟงกชน
การคานวณคา f(x) = 2 2x + 4, x = 2, 3, 5 ในรปแบบตาราง
พมพ ผลบนจอภาพ
x:=[2,3,5]:↵
x y 2 12 3 15 6 14 9 19
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 22
f:=x->2*x^2+4;↵
พมพ
for i from 1 to 3 do;↵ บรรทดแรกของโปรแกรม เรมคาสง for
printf(“%10.1f %20.2f”,x[i],f(x[i]));↵ บรรทดท 2 ของโปรแกรม
od;↵ บรรทดท 3 ของโปรแกรม จบคาสง for
ผลบนจอภาพ
คาอธบายเพมเตม for i from a to b do
ชดคาสง
od
เปนชดคาสงของการทางานเปนลบ โดยตวแปร i เปลยนคาจาก a ถง b
printf คอคาสงพมพ โดยมรปแบบกาหนดการพมพตวเลขเชน
รปแบบ %10.1f หมายถงเตรยมชองวาง 10 ทแลวพมพเลขทศนยม 1 ตาแหนง
%n.kf หมายถงเตรยมชองวาง n ทแลวพมพเลขทศนยม k ตาแหนง
\n เปนคาสงขนบรรทดใหมกอนพมพ
2.15 การคานวณคาเกยวกบจานวนเชงซอน
ตวอยาง z = 3 + 4i, w = 5 – 9i การหาคา z + w, zw, | z |, อารกวเมนตของ z, Re(z), Im(z) และ z
พมพ ผลบนจอภาพ
z:=3+4*I:↵
หมายเหต I = 1−
w:=5–9*I;↵
z+w;↵
4*z;↵
z.w;↵
หมายเหต . แทนการคณของ
จานวนเชงซอนกบจานวนเชงซอน
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 23
abs(z);↵
conjugate(z);↵
argument(z);↵
Re(z);↵
Im(z);↵
2.16 การหารากของสมการ f(x) = 0
ตวอยาง การหารากของสมการ 2x – 2 = 0
พมพ ผลบนจอภาพ
solve({x^2-2=0});↵
2.17 การหาผลเฉลยของระบบสมการ
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 3y = 8
x + y = 3
พมพ ผลบนจอภาพ
solve({2*x+3*y=8,x+y=3});↵
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 2y = 25
3x – 4y = 0
พมพ ผลบนจอภาพ
solve({x^2+y^2=25,
3*x-4*y=0});↵
2.18 การคานวณคา rn C และ nPr r
n P
rn C =
)!rn(!r!n−
พมพ ผลบนจอภาพ
nCr:=(n,r)->n!/((r!)*(n-r)!);↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 24
nCr(5,2);↵
rn P = )!rn(
!n−
nPr:=(n,r)->n!/(n-r)!;↵
nPr(5,2);↵
2.19 การคานวณทใหผลลพธเปนสตร
โปรแกรม Maple สามารถคานวณและแสดงผลออกมาในรปแบบของสตรไดเชน
การกระจายพหนาม (x – 1)(x + 2) กระจายไดเปน 2x + x – 2
การแยกตวประกอบ 4x – 2 2x – 3x – 2 แยกตวประกอบไดเปน (x – 2)(x + 1)( 2x + x + 1)
การหาอนพนธเปนสตร dxd 2x ผลการหาอนพนธคอ 2x
การหาอนพนธอนดบสง 3
3
dxd 4x ผลการหาอนพนธคอ 24x
การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4( +∫ ผลการคานวณเปนสตรคอ 2 2x + 7x
การหาคาลมต 1x
lim→
( 2x + 2x + 4) หาคาลมตไดเปน 7
ตวอยาง การกระจายสตรพหนาม (x – 1)(x + 2)
พมพ ผลบนจอภาพ
expand((x-1)*(x-2));↵
ตวอยาง การแยกตวประกอบ 4x – 2 2x – 3x – 2
พมพ ผลบนจอภาพ
factor(x^4-2*x^2-3*x–2);↵
ตวอยาง การหาอนพนธเปนสตร dxd 2x
diff(x^2,x);↵
ตวอยาง การหาอนพนธอนดบสง 3
3
dxd 4x
diff(x^4,x,x,x);↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 25
ตวอยาง การหาปรพนธเปนสตร dx)7x4( +∫
พมพ ผลบนจอภาพ
int(4*x+7,x);↵
ตวอยาง การหาคาลมต 1x
lim→
( 2x + 2x + 4), −→0x
lim x|x| และ
+→0xlim x
|x|
พมพ ผลบนจอภาพ
limit(x^2+2*x+4,x=1)↵
limit(abs(x)/x,x=0,left);↵
limit(abs(x)/x,x=0,right);↵
2.20 การคานวณคณตศาสตรขนสง
2.20.1 การหาผลการแปลงลาปลาซ เชนผลการแปลงลาปลาซของ f(t) = sint
พมพ ผลบนจอภาพ
with(inttrans):↵ หมายเหต with(inttrans) เปนคาสงเรยกโปรแกรม
คานวณเกยวกบผลการแปลงลาปลาซมาใชงาน
laplace(sin(t),t,s);↵
2.20.2 การหาผลการแปลงลาปลาซผกผน เชนผลการแปลงลาปลาซผกผนของ F(s) = 1s
12 +
พมพ ผลบนจอภาพ
with(inttrans):↵
invlaplace(1/(s^2+1),s,t);↵
2.20.3 การหาสตรเทยเลอรของฟงกชน เชนการหาสตรเทยเลอรของ sinx
พมพ ผลบนจอภาพ
taylor(sin(x),x,5);↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 26
series(sin(x),x,5);↵
taylor(sin(x),x,8);↵
2.20.4 การแยกเศษสวนยอยดวยโปรแกรม Maple
2xx
x2
3
−− สามารถแยกเปนผลบวกยอย x + 1 + )2x(3
8−
+ )1x(31+
ดวยคาสง convert
พมพ convert(x^3/(x^2-x-2),parfrac,x);↵
ผลบนจอภาพ
การกระจาย x + 1 + )2x(38−
+ )1x(31+
เปน )2x)(1x(x3
−+ ไดดวยคาสง factor
พมพ factor(x+1+8/(3*(x-2))+1/(3*(x+1)));↵
ผลบนจอภาพ
2.20.5 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการ dxdy – 4y = 0
พมพ dsolve(diff(y(x),x)-4*y(x)=0);↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต คาสง dsolve(สมการ), dsolve([สมการ 1, สมการ 2, ...]) , dsolve({สมการ 1, สมการ 2, ...})
เปนคาสงชวยในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธและผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ
โดยม diff(y[x], x) = dtdy , diff(y[x], x, x) = 2
2
dx
yd และ diff(y[x], x$k) หมายถงอนพนธ k
k
dx
yd
การคานวณแบบท 2. คอ
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 27
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ dxdy – 4y = 4
พมพ dsolve(diff(y(x),x)-4*y(x) = 4);↵
ผลบนจอภาพ
แบบท 2.
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ dxdy – 4y = 4 และ y(0) = 1
พมพ dsolve([diff(y(x),x)-4*y(x))=4,y(0)=1]);↵
ผลบนจอภาพ
แบบท 2.
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ 2
2
dx
yd + 4y = 0
พมพ dsolve(diff(y(x),x,x)+4*y(x)=0);↵
ผลบนจอภาพ
แบบท 2.
2.20.6 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ dtdy – x + y = 0
dtdx + x – 4y = 0
พมพ dsolve([diff(y(t),t)-x(t)+y(t)=0,diff(x(t),t)-x(t)+y(t)=0]);↵
บทท 2. การใชโปรแกรมสาเรจรป Maple Maple – 28
ผลบนจอภาพ
แบบท 2.
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ dtdy – x + y = t
dtdx + x – 4y = 2
พมพ dsolve({diff(y(t),t)-x(t)+y(t)=t,diff(x(t),t)+x(t)–4y(t)=2});↵
ผลบนจอภาพ
แบบท 2.
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ dtdy – x + y = t
dtdx + x – 4y = 2, x(0) = 2 และ y(0) = 3
พมพ dsolve({diff(y(t),t)-x(t)+y(t)=t,diff(x(t),t)+x(t)–4*y(t)=2,x(0)=2,y(0)=3});↵
ผลบนจอภาพ
แบบท 2.
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple Maple – 29
บทท 3.
การเขยนกราฟดวย Maple
โปรแกรม Maple สามารถเขยนกราฟไดหลายรปแบบ เชน กราฟในระบบพกดมมฉาก 2 มต และ 3 มต
กราฟพกดเชงขว กราฟพนผว ในบทนจะเปนทางานเกยวกบเขยนกราฟรปแบบตางๆ เพอใหไดรปของกราฟท
มความสวยงาม และถกตองตามหลกคณตศาสตร
ตวอยางของกราฟบางรปแบบทโปรแกรมสาเรจรป Maple ทาไดเชน
กราฟในพกดมมฉาก 2 มต กราฟพนผว 3 มต z = 2x – 2y
y = 2x + 3, y = 2x – 4
กราฟในพกดเชงขว r = 4sin2t กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple Maple – 30
3.1 การเขยนกราฟในระบบพกดมมฉาก 2 มต
ตวอยาง การเขยนกราฟของ y = 2x + 3 บนชวง [–4, 4] โดยใชคาสง plot
พมพ ผลบนจอภาพ
plot(2*x+3,x=-4..4);↵
หมายเหต plot(f(x), x = a .. b) เปนคาสงเขยนกราฟ y = f(x) บนชวง [a, b]
ตวอยาง การเขยนกราฟของ y = 2x + 3 และ y = 2x – 4 บนชวง [–4, 4]
พมพ ผลบนจอภาพ
plot({2*x+3,x^2–4}, x=-
4..4);↵
หมายเหต plot({f(x), g(x)}, x = a .. b) เปนคาสงเขยนกราฟ y = f(x) และ y = g(x) บนชวง [a, b]
การเขยนกราฟโดยกาหนดสตรฟงกชนไวกอนทาไดดงน
3.2 การเขยนกราฟแจกแจงความถ กราฟแทง
ตวอยางขอมลเชน
ชวงคะแนน ความถ
0 – 1.0 15 1.1 – 2.0 35 2.1 – 3.0 40 3.1 – 4.0 10
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple Maple – 31
พมพ with(stats):↵
ผลบนจอภาพ
(หมายเหต เรยกโปรแกรมทางานทางดานสถตขนมาใชงาน)
พมพ data:=[Weight(0..1.0,15),Weight(1.1..2.0,35),
Weight(2.1..3.0,40),Weight(3.1..4.0,10)];↵
ผลบนจอภาพ
พมพ statplots[histogram](data);↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต with(stats): เปนคาสงเรยกโปรแกรมทางานทางดานสถตขนมาใชงาน
Weight(a .. b, f) เปนคาสงกาหนดความถของชวงคะแนน (a – b)
statplots[histogram](data) เปนคาสงเขยนกราฟแจกแจงความถของขอมล
ตวอยางการเขยนกราฟ histogram ของขอมล 1, 4, 1, 1,2. 2, 3, 2 , 2 และ 3
(1) เรยก package stats (2) กาหนดขอมล (3) กาหนดชวงคะแนนทใชในการแจกแจงความถ
(4) ทาการแจกแจงความถของขอมล data ดวยชวงคะแนน interval โดยใชคาสง transform (5) เขยนกราฟ
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple Maple – 32
3.3 การเขยนกราฟของแผนภาพการกระจายของขอมล
ตวอยางของขอมลเชน
พมพ ผลบนจอภาพ
with(stats):↵
x:=[53,58,55,60,62,68];↵
y:=[156,165,162,170,165,
173];↵
statplots[scatterplot](x,y);↵
3.4 การเขยนกราฟในระบบพกดเชงขว ตวอยาง การเขยนกราฟ r = 4sin(2t)
พมพ plot(4*sin(2*t),t=0..2*Pi,coords=polar);↵
ผลบนจอภาพ
ตวอยาง การเขยนกราฟ โดยกาหนดสตรฟงกชนกอน และการเขยนกราฟ 2 เสนบนสเกลเดยวกน
x y 53 156 58 165 55 162 60 170 62 165 68 173
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple Maple – 33
3.5 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรก
3.5.1 กราฟพาราเมตรก 2 มต ตวอยางเชน การเขยนกราฟของเสนโคงทมสมการพาราเมตรก
x(t) = 80t และ y(t) = –16 2t + 80t บนชวง 0 < t < 5
พมพ plot([80*t,-16*t^2+80*t,t=0..5]);↵
ผลบนจอภาพ
3.5.2 กราฟพาราเมตรก 3 มต
ตวอยางเชน กราฟของสมการพาราเมตรก x(t) = cost, y(t) = sint และ z(t) = 4t บนชวง 0 < t < 2π
พมพ ผลบนจอภาพ
with(plots):↵
x:=t->2*sin(t);↵
y:=t->2*cos(t);↵
z:=t->t/4;↵
พมพ spacecurve([x(t),y(t),z(t)],t=0..4*Pi,axes=BOXED,colour=black);↵
ผลบนจอภาพ
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple Maple – 34
หมายเหต spacecurve เปนคาสงเขยนกราฟใน 3 มต
colour = ... เปนคาสงกาหนดสของกราฟ
axes = BOXED เปนคาสงกาหนดใหแสดงกรอบของสเกลแกน XYX
3.6 การเขยนกราฟพ นผว 3 มต และกราฟแบบ contour
ตวอยาง การเขยนกราฟพนผว f(x, y) = 2x – 2y บนชวง [–2, 2] × [–2, 2] และกราฟ contour
พมพ ผลบนจอภาพ
with(plots):↵ พมพ plot3d(x^2-y^2,x=-2..2,y=-3..3,axes=BOXED);↵
ผลบนจอภาพ
พมพ contourplot3d(x^2-y^2,x=-2..2,y=-3..3,axes=BOXED,style=CONTOUR,
orientation=[90,0],colour=black);↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต contourplot3d เปนคาสงเขยนกราฟ contour
style = .... เปนคาสงกาหนดรปแบบการ plot
orientation = .... เปนคาสงกาหนดมมมอง ของกราฟทได
คาแนะนา ในกรณทคาสงและเงอนไขมขอความมาก ควรขนบรรทดใหมดวยการกด <Shift>+↵
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple Maple – 35
3.7 การเขยนกราฟของความสมพนธ ตวอยาง การเขยนของวงร 25x2
+ 16y2
= 1
พมพ ผลบนจอภาพ
with(plots):↵
พมพ implicitplot(x^2/25+y^2/16=1,x=-5..5,y=-4..4,scaling=CONSTRAINED);↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต implicitplot เปนคาสงเขยนกราฟของความสมพนธ
3.8 การเขยนกราฟสนามเวกเตอร
ตวอยาง การเขยนกราฟฟงกชนคาเวกเตอร F(x, y) = (x + y, x – y) บนชวง [-1, 1] × [–2, 2]
พมพ ผลบนจอภาพ
with(plots):↵
พมพ fieldplot([x+y,x-y],x=-1..1,y=-2..2);↵
ผลบนจอภาพ
ตวอยาง การเขยนกราฟฟงกชน F(x, y, z) = (x + y, x – y, z) บนชวง [0, 1] × [0, 2] × [0, 1]
พมพ ผลบนจอภาพ
with(plots):↵ พมพ
fieldplot3d([x+y,x-y,z],x=0..1,y=0..2,z=0..1,axes=FRAMED,colour=black);↵
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple Maple – 36
ผลบนจอภาพ
หมายเหต fieldplot, fieldplot3d เปนคาสงเขยนกราฟของสนามเวกเตอร
3.9 การเขยนกราฟของ gradient vector
ตวอยาง การเขยนกราฟ gradient ของฟงกชน f(x, y) = 2x y บนชวง [-2, 2] × [–1, 1]
และการเขยนกราฟ gradient ของฟงกชน f(x, y, z) = 2x + yz บนชวง [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]
พมพ ผลบนจอภาพ
with(plots):↵
พมพ gradplot(x^2*y,x=-2..2,y=-1..1);↵
ผลบนจอภาพ
พมพ gradplot3d(x^2+y*z,x=0..1,y=0..1,z=0..1,axes=FRAMED,colour=black);↵
ผลบนจอภาพ
หมายเหต gradplot, gradplot3d เปนคาสงเขยนกราฟของ graddient vector field
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple Maple – 37
3.10 การปรบรปแบบกราฟใหสวยงาม
โปรแกรม Maple มคาสงในการปรบรปแบบของการเขยนกราฟไดหลายลกษณะ โดยมคาสงทสาคญและนยม
ใชงานดงตอไปน
คาสง หนาทและตวอยางการใชงาน
colour กาหนดสของเสนกราฟ เชน colour = black, colour = red
thichness กาหนดความหนาของเสนกราฟ เชน thickness = 1, 2 , 3, ...
style
symbol
numpoints
symbolsize
style กาหนดรปแบบการเขยนกราฟแบบ line, point, patch, patchnogrid
symbol กาหนดสญลกษณการ plot จดเชน box([]). circle(o)
numpoints กาหนดจานวนจดในการ plot
symbolsize กาหนดขนาดของ symbol ในการเขยนกราฟ
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple Maple – 38
linestyle กาหนดรปแบบของเสน เชน linestyle = SOLID, DOT, DASH, DASHDOT
filled กาหนดการแรเงาระหวางเสนโคงกบแกน X
axes กาหนดลกษณะของแกนพกด เปน FRAME BOXED NORMAL หรอ NONE
coords กาหนดพกดในการเขยนกราฟ เชน coords = polar เปนการเขยนกราฟเชงขว
title
legend
titlefont
labelfont
labels
label
directions
title= .... ใชแสดงคาอธบายประกอบกราฟ
legend=..... ใชแสดงคาอธบายประกอบเสนกราฟ
titlefont = [font, style, size] กาหนดรปแบบตวอกษรของ title
labelfont = [font, style, size] กาหนดรปแบบตวอกษรของ label
label = [textx, texty] เขยนคาอธบายประกอบแกน
labeldirections = [(HV), (HV)] ทศทางของการเขยนคาอธบายประกอบแกน
HORIZONTAL, VERTICAL
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple Maple – 39
tickmarks
xtickmarks
ytickmarks
tickmarks = [m, n] กาหนดจานวนขดบอกสเกลบนแกน X และ แกน Y
xtickmarks = m กาหนดจานวนขดบอกสเกลบนแกน X
ytickmarks = n กาหนดจานวนขดบอกสเกลบนแกน Y
view view=[xmin..xmax,ymin..ymax] กาหนดขอบเขตของการแสดงกราฟ
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple Maple – 40
discont สงใหเขยนกราฟของฟงกชนทนยามเปนชวงใหถกตองตามหลกคณตศาสตร
grid grid = [nx, ny] กาหนดจานวนเสน grid ของการเขยนกราฟพนผว หรอ contour
contours contours = จานวนเสนในกราฟแบบ contour
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple Maple – 41
gridstyle gridstyle = rectangular ตเสน grid เปนรปสามเหลยม
gridstyle = triangular ตเสน grid เปนรปสเหลยม
orientation orientation = [theta, phi] กาหนดการหมนของภาพทตองการ
scaling scaling = UNCONSTRAINED ไมควบคมอตราสวนของสเกล
คา default คอ scaling = UNCONSTRAINED
scaling = CONSTRAINED ควบคมอตราสวนของสเกลใหเทากน
จะเหนไดวาสดสวนของแกน X และ แกน Y เทากน
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple Maple – 42
ตวอยางกราฟในรปแบบตาง ๆ
ตวอยางท 1. กราฟของเสนโคง y = f(x), y= f′(x) และ y= f′′(x)
ตวอยางท 2. กราฟของพนผว 4z = 2x + 2y และ 4z = 1 – 2x – 2 2y บนชวง [–1, 1] × [–1, 1]
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple Maple – 43
ตวอยางท 3. การเขยนกราฟบนสเกล (x, y), (x, logy), (logx, y), (logx, logy)
3.11 การปรบรปแบบกราฟใหสวยงามโดยใช icon ของคาสงทเมนบาร
เพอใหเขาการใชงานของคาสง Format กราฟจาก icon ของคาสงทเมนบารขอใหเขยนกราฟรปน กอน เพอเปน
ตวอยางในการศกษาคาสง
1. พมพคาสง with(plots): เพอเรยก package ของการเขยนกราฟ
2. คาสงเขยนกราฟพนผวรปอานมา
3. เมอ Maple เขยนกราฟเสรจแลว curser จะรอคาสงตาง ๆ ตอไป
4. เมนปกตกอนทเราจะทาการ Format กราฟ
บทท 3. การเขยนกราฟดวย Maple Maple – 44
การเรยกเมนของการ Format กราฟใหนาเมาสมาคลกทรปกราฟ จอภาพและเมนจะเปลยนแปลงไปเปนดงน
เมนบารตรงหมายเลข 4
จะเปนเมนของการ Format
กราฟเชน
1. กาหนดองศาของการหมนรอบแกนแนวดง
2 กาหนดองศาของมมกมหรอมมเงยในการมองภาพ
3. เลอกรปแบบของการเขยนกราฟในลกษณะตาง ๆ
4. เลอกรปแบบของการแสดงแกนพกดของกราฟในรปแบบตาง ๆ
ตวอยางของการ Format กราฟแบบตาง ๆ เชน
1. กาหนดองศาของการหมน
รอบแกนแนวดง 30 องศา
2 กาหนดองศาของมมกม
หรอมมเงย 30 องศา
3. เลอกรปแบบ
ของการเขยนกราฟแบบรางแห
4. เลอกรปแบบของ
การแสดงแกนพกดแบบ Boxed
หมายเหต การหมนกราฟสามารถ
ทาไดโดยการนาเมาสไปคลกทรป
แลวใชการเลอนเมาส แทนการหมน
ของกราฟ
หมายเหต สาหรบกราฟ 2 มตเมอนาเมาสมาคลกทรปกราฟ จะไดเมนยอยของการ Format กราฟเหมอนกน
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Maple Maple – 45
บทท 4.
การใชงานเบ องตนเกยวกบโปรแกรม Maple
การคานวณทางคณตศาสตรโดยใชโปรแกรม Maple เชนใชเปนเครองคดเลข ชวยในการเขยนกราฟ หา
รากสมการ การคานวณตาง ๆ เหลาน โปรแกรม Maple จะสามารถทาได แตเพอความสะดวกในการทางาน
เราควรจะศกษาการใชงานในระดบพนฐานตาง ๆ เชนการพมพสตร การนาสตรเกากลบมาใชใหม การอางถง
ผลลพธเพอนากลบมาใชใหม การบนทกแฟมขอมล และคาสงสาเรจรปทางคณตศาสตรทสาคญ
4.1 การกาหนดใหแสดงผลลพธตามทตองการ
เมอเขามาสการทางานโปรแกรม Maple ครงแรก
ในการคานวณคาตาง ๆ ควรมความร พนฐานในการใชงานดงน
1. สตรการคานวณทพมพเสรจแลวเมอตองการให Maple ทาการคานวณตองพมพ ;↵
2. ถากด ↵ โปรแกรมจะไมทาการคานวณ
3. ในกรณทตองการขนบรรทดใหมภายในคาสง ใหพมพ <Shift>+↵
4. การสงให Maple คานวณสตรทพมพ แตไมตองแสดงผลของคาสงนน
ทาไดดวยการกด :↵
กรณอน ๆ ของการใชงานขออธบายในรปแบบของตารางดงน (ถาผอานพมพตามดวยกจะเขาใจมากขน)
ตวอยางการคานวณ คาอธบาย
ในกรณทจานวนเตมหารกน โปรแกรม
Maple จะแสดงผลในรปแบบเศษสวน
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Maple Maple – 46
หมายเหต เมอเขาครงแรก Maple จะแสดงผล เปน
เลขนยสาคญ 10 ตว
เพราะวา 9. ไมเปนจานวนเตม Maple
จงแสดงผลเปนเลขทศนยม
เพราะวา 20. ไมเปนจานวนเตม
Maple จงแสดงผลเปนเลขทศนยม
กาหนดใหแสดงเลขนยสาคญ 5 ตว
เพราะวาเราสงใหแสดงผลดวยเลข
นยสาคญ 5 ตว จงไดผล 2.2222
เพราะวาเราพมพ :↵ โปรแกรมทาตามคาสง แตไม
พมพผลของคาสงททาออกมาให
กาหนดการแสดงผลดวยตวเลข
นยสาคญ 10 ตาแหนงเหมอนคา
default ตามปกตของ Maple
แสดงผลเลขนยสาคญ 10 ตว
ตามปกตแลว
ตวเลขทมคามากเกนไป จะแสดงผล
เปนเลขยกกาลง
ตวเลขทมคานอยเกนไป จะแสดงผล
เปนเลขยกกาลง
ขอแตกตางระหวางการกาหนดคาดวย := และ =
ตวอยางการคานวณ คาอธบาย
กาหนดคาใหกบตวแปร x มคาเปน
จานวนเตม 2
เพราะวา x มคาเปนจานวนเตมผลการ
คานวณจงแสดงในรปสญลกษณ
กาหนดคาใหกบตวแปร x มคาเปน
จานวนจรง 2.
เพราะวา x มคาเปนจานวนจรง ผลการ
คานวณจงแสดงในรปตวเลข
คาสงน ไมใชการกาหนดคาของ y
เพราะวา y ไมมคา จงไมมผลการ
คานวณ แตไดผลในรปแบบสมการ
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Maple Maple – 47
4.2 การแทรกบรรทดคาสง การลบบรรทดคาสง และการ copy บรรทดคาสง
การนาผลการคานวณเกาทเคยคานวณไวแลวกลบมาใชใหม (สมมตผลการคานวณบนจอภาพเปนดงน)
ตาแหนงท 1.
เปนตาแหนงสาหรบพมพคาสงการทางานบรรทดตอไป
เราตองการแทรกบรรทดคาสงทตาแหนง 3.
มวธทาดงน
ขนท 1. คลกเมาสทเสน [ ตรงหมายเลข 2.
ผลบนจอภาพจะเหนวาขอบของเสน [ จะหนาขน
ขนท 2. กด ↵ จะไดบรรทดคาสงใหมดงน
คาสงคานวณใหมไดตามตองการเชน 5!;↵ จะไดผลดงน
การลบบรรทดคาสง มขนตอนดงน
(สมมตตองการลบบรรทดคาสงหมายเลข 4. ทง)
ขนท 1. คลกเมาสทเสน [ ตรงหมายเลข 4.
ผลบนจอภาพจะเหนวาขอบของเสน [ จะหนาขน
ขนท 2. กด <Ctrl> + <Delete>
บรรทดคาสงตรงหมายเลข 4. จะหายไปดงรป
ใหคลกเมาสตรงหมายเลข 1. เพอคานวณคาอน ๆ ตอไป
การ copy บรรทดคาสง
(สมมตตองการ copy บรรทดคาสงหมายเลข 5.
มาแทนบรรทดคาสงหมายเลข 1.)
ขนท 1. คลกเมาสทเสน [ ตรงหมายเลข 5.
ผลบนจอภาพจะเหนวาขอบของเสน [ จะหนาขน
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Maple Maple – 48
ขนท 2. กด <Ctrl> + C เพอ copy
ขนท 3. คลกเมาสทบรรทดตรงหมายเลข 1. แลวกด <Ctrl> + V เพอ paste จะไดผลดงน
4.3 การบนทกแฟม
จากตวอยางการทางานขางตน การ save แฟมขอมลมขนตอนดงน
ขนท 1. คลกคาสง File
ขนท 2. เลอกคาสงยอย Save
จะไดเมนยอยของการบนทกแฟมขอมล
ขนท 3. พมพชอแฟมเชน Newfile แลวคลกแปน Save
4.4 การเปดแฟมขอมล
ขณะทางานใน Window ของ Maple
การเปดแฟมขอมลมขนตอนดงน
ขนท 1. คลกคาสง File
ขนท 2. เลอกคาสงยอย Open
จะไดเมนยอยของการเปดแฟมขอมล
ขนท 3. พมพชอแฟมเชน Newfile แลวคลกแปน Open
จะไดแฟมเกาทบนทกไวเพอจะไดทางานตอไป
4.5 ฟงกชนทางคณตศาสตรและฟงกชนอน ๆ ทสาคญ
โปรแกรม Maple มฟงกชนทางคณตศาสตรทสาคญดงน
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
abs(x) คาสมบรณของ x หรอ คาสมบรณของจานวนเชงซอน a + bi
หมายเหต I หมายถง 1−
Re(z),
Im(z)argument(z)
conjugate(z)
สวนจรง สวน จนตภาพ ของจานวนเชงซอน z
คาอารกวเมนตของจานวนเชงซอน z
คาสงยค ของ z
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Maple Maple – 49
exp(x) เอกซโพเนนเชยลฟงกชน ( xe )
trunc(x) ปดเศษของจานวนจรง x ใหเปนจานวนเตมดานทมคาเขาใกล 0
frac(x) จานวนตรรกยะทตดสวนของจานวนเตมทงไป
ceil(x) จานวนเตมทเลกทสดทมคามากกวาหรอเทากบ x
round(x) การปดเศษจานวนจรง x ใหเปนตวเลขจานวนเตมทใกลทสด
floor(x) จานวนเตมทใหญทสดทมคานอยกวาหรอเทากบ x
ln(x)
log(x)
log10(x)
log[b](x)
ln(x) คาลอกาลทมฐาน e
log(x) คาลอกาลทมฐาน e
log10(x) คาลอกาลทมฐาน 10
log[b](x) คาลอกาลทมฐาน b
a mod b
modp(a, b)
mods(a, b)
เศษเหลอจากการหาร a ดวยจานวนเตม b
เศษเหลอจากการหาร a ดวยจานวนเตม b (เศษทมคาเปนบวก)
เศษเหลอจากการหาร a ดวยจานวนเตม b (เศษทมคาเปนลบ)
sign(พหนาม)
signum(x)
เทากบ +1 ถา สมประสทธนา na > 0 และเทากบ –1 ถา na < 0
เทากบ +1 ถา x > 0 และเทากบ –1 ถา x < 0
และ signum(0)= 0, sign(0) = 0
sqrt(x) รากท 2 ของ x
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Maple Maple – 50
sin(x), cos(x)
tan(x), sec(x)
csc(x), cot(x)
ฟงกชนตรโกณมต
arcsin(x)
arccos(x)
arctan(x)
arcsec(x)
arccsc(x)
arccot(x)
ฟงกชนตรโกณมตผกผน
sinh(x), cosh(x)
tanh(x), sech(x)
csch(x), coth(x)
ฟงกชนไฮเพอรโบลก
arcsinh(x)
arccosh(x)
arctanh(x)
arcsech(x)
arccsch(x)
arccoth(x)
ฟงกชนไฮเพอรโบลกผกผน
คาสงของการจดรปพชคณต
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
convert, parfrac convert(f(x), parfrac, x)
เขยนเศษสวนของพหนาม f(x) ในรปแบบผลบวกของเศษสวนยอย
simplify(f(x)) จดรปแบบพชคณตใหเปนรปแบบอยางงาย
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Maple Maple – 51
combine(f(x)) จดรปแบบใหเปนรปแบบอยางงาย
expand(f(x)) กระจายสตรของฟงกชน
collect(f, x) จดรปแบบพชคณตโดยการกระจายตามพจนของตวแปรทกาหนด
factor(f(x)) แยกตวประกอบ
denom(f(x))
numer(f(x))
ใชในการหาพหนามสวนของ f(x)
ใชในการหาพหนามทเปนเศษของ f(x)
คาสงเกยวกบผลบวก และ ผลคณ
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
sum
Sum
add
sum คานวณหาผลรวม
Sum แสดงการคานวณในรปแบบสญลกษณ
add คานวณหาผลรวม
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Maple Maple – 52
product(f(i), i = a .. b)
Product(f(i), i = a .. b)
mul(f(i), i = a .. b)
หาผลคณ f(i) โดย i เปลยนคา จาก a ถง b
สญลกษณผลคณ f(i) โดย i เปลยนคา จาก a ถง b
หาผลคณ f(i) โดย i เปลยนคา จาก a ถง b
คาสงเกยวกบ ฟงกชน ลมต อนพนธ และ อนทเกรต
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
f:=x–>...
f(a)
f:=x–>......เปนการกาหนดสตรฟงกชน
คาของ f(a)
limit(f(x), x = a)
limit(f(x), x = a,
right)limit(f(x), x = a,
left)
limit(f(x), x = infinity)
limit(f(x), x = –infinity)
หมายถง )x(flimax→
, )x(flimax +→
, )x(flimxah −→
, )x(flimx ∞→
,
)x(flimx −∞→
ตามลาดบ
Diff(f, x)
Diff(f, x, x)
Diff(f, x$k)
Diff(f, x, y, ..)
diff(f, x)
อนพนธ หรออนพนธยอยของ f เทยบกบ x
อนพนธ หรออนพนธยอยอนดบ 2 ของ f เทยบกบ x
อนพนธ หรออนพนธยอยอนดบ k ของ f เทยบกบ x
อนพนธ หรออนพนธยอยของ f เทยบกบ x, y, ...
หมายเหต Diff จะไดผลเปนสญลกษณของอนพนธ
ditt จะไดผลเปนสตรของอนพนธหรอคาตวเลข
อนพนธ หรออนพนธยอยของ f เทยบกบ x
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Maple Maple – 53
diff(f, x, x)
diff(f, x$k)
diff(f, x, y, ..)
อนพนธ หรออนพนธยอยอนดบ 2 ของ f เทยบกบ x
อนพนธ หรออนพนธยอยอนดบ k ของ f เทยบกบ x
อนพนธยอย
D(f)
D[i](f)
D(f)(a)
(D@@k)(f)
ดฟเฟอเรนเชยลของ f
D[i](f) = ดฟเฟอเรนเชยลของ f เทยบกบตวแปรลาดบท i
และ D[](f) คอ f
ดฟเฟอเรนเชยลของ f ท x = a
ดฟเฟอเรนเชยล )k(D (f)
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Maple Maple – 54
Int(f, x)
Int(f, x = a .. b)
int(f,x)
int(f, x = a .. b)
Int(f, x) แสดงผลเปนสญลกษณอนทเกรต fdx∫
Int(f, x = a .. b) แสดงผลเปนสญลกษณอนทเกรต dx)x(fb
a∫
int(f,x) แสดงผลเปนสตร, int(f, x = a ..b ) = dx)x(fb
a∫
คาสงคณตศาสตรขนสง
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
laplace(f(t), t, s)
invlaplace(F(s), s, t)
หมายเหต
ตองมการเรยก package
with(inttrans):
ผลการแปลงลาปลาซของ f(t)
ผลการแปลงลาปลาซผกผนของ F(s)
taylor(f, x = a, k)
series(f, x = a, k)
พหนามเทยเลอรของ f รอบจด x = a ดกรไมเกน k
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Maple Maple – 55
คาสงในการหารากสมการ และ ผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
RootOf(f, x)
RootOf(f, x, a)
RootOf(f, x, a..b)
allvalues(RootOf(f, x))
allvalues(RootOf(f, x,
a..b))
รากของสมการ f(x) = 0
รากของสมการ f(x) = 0 ทประมาณจากคาเรมตน a
รากของสมการ f(x) = 0 บนชวง (a, b)
แสดงคารากของสมการ f(x) = 0
แสดงคารากของสมการ f(x) = 0 บนชวง (a, b)
1. solve(eq1=eq2)
2. solve(eq1=eq2, x)
3. solve({eq1=eq2,
eq3=eq4, ...})
4. fsolve(eq = eq2, x)
หาผลเฉลยของสมการ eq1 = eq2
หาคา x จากของสมการ eq1 = eq2
หาผลเฉลยของระบบสมการ eq1 = eq2, eq3 = eq4, ...
หาผลเฉลยของสมการ eq1 = eq2
บทท 4. การใชงานเบองตนเกยวกบโปรแกรม Maple Maple – 56
dsolve(equ1)
dsolve({equ1, equ2, ..})
หาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ
หาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ
คาสงประมวลผล
ฟงกชน ความหมายและตวอยางการใชงาน
eval ประมวลผลโดยการแทนคา
evalf(x, n) ประมวลผลคาตวเลขโดยการแทนคา และแสดงผลดวยตวเลข
นยสาคญ n ตว
evalm ประมวลผล และแสดงผลในรปเมทรกซ
evalc ประมวลผลจานวนเชงซอน
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Maple Maple – 57
บทท 5.
การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Maple
การทางานใน Maple มลกษณะของการทางานทใกลเคยงกน ของ สตรคลายฟงกชน ฟงกชนจรงทเรานยาม
สตรตามความหมายทางคณตศาสตร ฟงกชนทนยามสตรในรปแบบโปรแกรม และ โปรแกรมประยกตใชงาน
ตวอยางการกาหนดสตรคลายฟงกชน f:= สตรในเทอมของตวแปร
ตวอยางการคานวณ ความหมายและคาอธบาย
การกาหนดแบบน
หมายความวาตวแปร f มคาเปนพหนาม
ตวแปร f นสามารถทาการ แยกตวประกอบ
หาอนพนธ ทาการอนทเกรตได
หรอจะคานวณคา f เมอ x = 2 กได แตตอง
ใช evalf เขามาชวย
แตพอจะคานวณในความหมายของฟงกชน
ทางคณตศาสตร f(2) จะไมสามารถทาได
ตวอยางการกาหนดสตรฟงกชน f:= x –> ... สตรในเทอมของตวแปร
ตวอยางการคานวณ ความหมายและคาอธบาย
การกาหนดแบบน
มหมายความวา f เปนฟงกชนทางคณตศาสตร
การแยกตวประกอบ factor(f) จะทาไมได
ตองใช factor(f(x)) จงจะใชได
การหาอนพนธกตองพมพในความหมายของ
ฟงกชนคอ diff(f(x), x)
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Maple Maple – 58
การอนทเกรต ตองพมพในความหมายของ
ฟงกชนคอตองอางสตรในรปแบบ f(x) เสมอ
เพราะวา f(x) มความหมายเปนฟงกชน
เพราะฉะนน f(t) จงเปน 2t + 2t – 3
และ f(sin(t)) จงเปน )t(sin2 + 2sin(t) – 3
และ f(3) มคาเปน 12
หมายเหต การเปลยนฟงกชน จากรปแบบ f:= ... ใหเปนฟงกชนในรปแบบ f:=x->... ใชคาสง unapply
หาคา f(2) ไมไดเพราะวายงเปนตวแปร f ทมคาเปนสตร
ฟงกชน 2x + 2x – 3
หาคา f(2) ไดแลว เพราะวาขณะน f เปนฟงกชน 2x + 2x – 3
ตวอยางการกาหนด ฟงกชนทนยามสตรในรปแบบโปรแกรม
ตวอยางการคานวณ ความหมายและคาอธบาย
การกาหนดฟงกชนในรปแบบ
f:= proc.......
.....
.....end
ฟงกชน f ทไดจะเหมอนกบการกาหนด
f:=x-> x^2 + 2x – 3
การคานวณ diff, int, factor และ การคานวณ
คาตาง ๆ จะมผลเหมอนกน
หมายเหต การกาหนดฟงกชน f:=proc...end นยมใชกบฟงกชนทมโครงสรางซบซอน หรอตองการให f
ทางานคลาย ๆ กบโปรแกรมยอยทเรยกวา procedure
ตวอยาง ฟงกชนหาคาสงสด – ตาสด
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Maple Maple – 59
ตวอยาง ฟงกชนทนยามเปนชวง เชน f(x) =
>≤
2x,x2x,x
3
2
หมายเหต การกาหนดฟงกชนทนยามเปนชวงสามารถใชคาสง piecewise
การเขยนโปรแกรมโดยใชคาสงตาง ๆ ของ Maple จากแผนภมสายงาน
เรมตน ↓
กาหนดคาตางๆ ของตวแปร ↓
คานวณคาตางๆ ตามสตร ↓
แสดงผลการคานวณ ↓
จบการทางาน
โปรแกรมท 1. การหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดความยาวของดาน a, b, c
สวนของ INPUT คอ การกาหนดคา a, b, c
สวนประมวลผล คอ การคานวณคา s และ area
สวนแสดงผล คอ การพมพคา area
ขนตอนการเขยนโปรแกรมมดงน
ขนท 1. เขาสการทางานของ Maple
ขนท 2. พมพโปรแกรม ดวยคาสงตาง ๆ ตามทตองการ
พมพ ผลบนจอภาพ
a:=3:<Shift>↵
หมายเหต 1. กด <Shift>↵
เพอขนบรรทดใหม โดยไมคานวณ
จะเหนวา Curser รอทบรรทดถดไป โดยยงไมคานวณ
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Maple Maple – 60
b:=4:<Shift>↵
c:=5:<Shift>↵
s:=(a+b+c)/2:<Shift>↵
area:=sqrt(s*(s–a)*(s–b)*(s–
c)):<Shift>↵
printf(“area = %10.4f”,area);↵
ผลการคานวณทได คอ area มคาเทากบ 6
ทดลองเปลยนคา a, b, c ใหมเปน a:=5, b:=12, c:=13 แลวกด ↵ จะไดผลการคานวณใหมดงน
การบนทกโปรแกรม
ขนท 1. คลกทคาสง File\Save
ขนท 2. เลอกบนทกชอตามตองการ (สมมตตองการบนทกชอเปน Findarea)
เมอเรา Save โปรแกรมแลว ชอชวคราว Untiled–1 จะเปลยนเปน Findarea.nb ตอไปขอใหปดการทางานของ
โปรแกรม Maple แลวกลบเขามาใหมอกครง เพอทดลองนาโปรแกรมเกากลบมาทางาน
ขนท 1. เปดแฟมโปรแกรมดวยคาสง File\Open จะไดเมนยอยของการเปดแฟมขอมล
ขนท 2. พมพชอ Findarea เสรจแลวคลก Open
แกไขคา a, b, c ใหมเชน a:=10, b:=8, c:=6 แลวกด ↵ จะไดผลการคานวณใหมดงน
โปรแกรมท 2. การหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดพกดจดยอด 3 จด
หมายเหต เมอกาหนดจดยอดของสามเหลยม ABC มาให A( 0x , 0y ), B( 1x , 1y ), C( 2x , 2y )
พนทสามเหลยม = 21 | det(
02020101
yyxxyyxx
−−−− )| = 2
1 |( 1y – 0y )( 2x – 0x ) – ( 1x – 0x )( 2y – 0y )|
โปรแกรมการหาพนทสามเหลยมเมอกาหนดพกดจดยอด 3 จด เปนดงน
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Maple Maple – 61
คาสงตาง ๆ ทควรทราบเพอใชในการเขยนโปรแกรมของ Maple
คาสง รปแบบและหนาท
printf
ใชพมพ ขอความ
ใชพมพ ขอความ และ ตวแปร ตวอยางเชน
หมายเหต
%n.df เปนรปแบบการพมพ เลขนยสาคญ n ตว และทศนยม d ตาแหนง
for...
from ...
by...
to...
while...
do
...
end do
for ตวแปรเรมตน เชน i
from คาเรมตนของตวแปรในลบ for
by คาเพมขนสาหรบตวแปร i (ถาไมม by i จะเพมคาทละ 1)
to คาของตวแปรสนสด เชน 12 แปลวาลป for หยดทางานเมอ i > 12
while เงอนไข ถาเงอนไขน เปนเทจ แลวลป for หยดทางาน
do
กลมของคาสงทตองการทางานในลป for
end do จบการทางานของลป for
ตวอยางท 1.
ไมมคาสง by เพราะฉะนนตวแปร i มคาเพมครงละ 1
ตวอยางน ไมมการตรวจสอบเงอนไขของการทางาน while
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Maple Maple – 62
ตวอยางท 2.
มคาสง by กาหนดใหตวแปร i มคาเพมครงละ 2
และไมมการตรวจสอบเงอนไขของการทางาน while
ตวอยางท 3.
มคาสง by กาหนดใหตวแปร i
มคาเพมครงละ 2
มการตรวจสอบเงอนไขของการทางาน while
เพราะฉะนนโปรแกรมจงหยดทางานเมอ i มคา
ถง 7 และหยดทางานเมอ i เทากบ 9
คาสง รปแบบและหนาท
1. if cond1 then comm1 fi
2. if cond1 then comm1
else comm2 fi
3. if cond1 then comm1
elif cond2 then comm3
else comm2 fi
1. ถา เงอนไข cond1 เปนจรง ใหทา comm1
2. ถา เงอนไข cond1 เปนจรง ใหทา comm1
ถา เงอนไข cond1 เปนเทจ ใหทา comm2
3. ถา เงอนไข cond1 เปนจรง ใหทา comm1
ถา เงอนไข cond1 เปนเทจ และ cond2 เปนจรง
ใหทา comm3
ถา เงอนไข cond1 เปนเทจ และ cond2 เปนเทจ
ใหทา comm2
ตวอยางเชน
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Maple Maple – 63
โปรแกรมท 3. การหาราก f(x) = 0 โดยใชสตรของนวตน )x(f
)x(fxxn
'n
n1n −=+ เมอกาหนดคาเรมตน 0x
ตวอยาง การหารากของสมการ f(x) = 2x – 2, 0x = 1
ผลการคานวณคอ
เปรยบเทยบกบ 2 = 1.4142135623730950488
โปรแกรมท 4. การหาผลเฉลยเชงตวเลขของสมการเชงอนพนธ dxdy = f(x, y) เมอกาหนด y( 0x ) = 0y
การหาคาประมาณของ y(c) โดยวธของออยเลอร
ตวอยาง dxdy = xy และ y(1) = 1 จงหาคาประมาณของ y(1.5)
บทท 5. การเขยนโปรแกรมดวยคาสงของ Maple Maple – 64
ผลการทางานของโปรแกรม
เพราะฉะนนคาประมาณของ y(1.5) คอ 1.7616392640
ถาตองการความถกตองมากขน ตองลดขนาดของ h ใหเลกลงเชน h = 0.01, 0.001, ...
หมายเหต การหาคาจรงของ y(1.5) เมอ dxdy = xy และ y(1) = 1
ผลของคาสง dsolve จะไดคาตอบ y(x) = 212x
e−
และ y(1.5) = 1.868245957
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Maple Maple – 65
บทท 6.
การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Maple
ในบทนจะเปนการนาความสามารถของ Maple มาใชในการคานวณเพอเสรมการเรยนการสอนคณตศาสตร
ระดบมธยมศกษาตอนปลายโดยจาแนกเนอหาคณตศาสตรตามระดบ ม. 4 – ม. 6
6.1 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 011
1. การคานวณเบองตน บวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลง และ การหารากท 2
2. การคานวณคาในรปแบบตาราง การกาหนดสตรฟงกชนและการคานวณคา
3. การเขยนกราฟฟงกชน
4. การเปลยนเลขฐาน 8 เลขฐาน 16 เปนเลขฐาน 10 และการคานวณ
5. การแยกตวประกอบพหนาม และการกระจายพหนาม
6. การหาคาตอบของสมการพหนาม
ตวอยางการคานวณ
1. การคานวณเบองตน บวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลง และ การหารากท 2
2. การคานวณคาในรปแบบตาราง การกาหนดสตรฟงกชนและการคานวณคา
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Maple Maple – 66
3. การเขยนกราฟฟงกชน
4. การเปลยนตวเลขในฐานตาง ๆ ระหวาง เลขฐาน 2 เลขฐาน 16 และ เลขฐาน 10
5. การแยกตวประกอบ และ กระจายพหนาม
6. การหาคาตอบของสมการพหนาม เชนการหารากของ 2x – 2 = 0
6.2 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 012
1. การเขยนกราฟ วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา
2. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, sec, cosec, cot
3. กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = sinx, y = cosx
4. การหาคาสถตเบองตนเชน คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน ความแปรปรวน สวนเบยงเบนมาตรฐาน
ตวอยางการคานวณ
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Maple Maple – 67
1. การเขยนกราฟ วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา
การเขยนกราฟของวงกลม 2x + (y + 3) 2 = 16
การเขยนกราฟของพาราโบลา 2y = x
การเขยนกราฟของวงร 11y
16x 22
=+
การเขยนกราฟของไฮเพอรโบลา 14x
9y 22
=−
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Maple Maple – 68
2. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมต sin, cos, tan, sec, cosec, cot
3. กราฟของฟงกชนตรโกณมต เชน y = sinx, y = cosx
4. การหาคาสถตของขอมล
6.3 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 013
1. การคานวณคา และ การเขยนกราฟของ y = xa และ y = xloga การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง
2. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมตผกผน
3. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน
4. การคานวณเกยวกบเมทรกซ
ตวอยางการคานวณ
1. การคานวณคา และ การเขยนกราฟของ y = xa และ y = alog x การทาตารางคา log และ เลขยกกาลง
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Maple Maple – 69
2. การคานวณคาฟงกชนตรโกณมตผกผน
3. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Maple Maple – 70
4. การคานวณเกยวกบเมทรกซ
การบวกเมทรกซ การคณเมทรกซ สเกลารคณเมทรกซ คากาหนดของเมทรกซ
การหาผลเฉลยของระบบสมการ 2x + 3y = 2
5x + 8y = 1
การแปลงแถวเมทรกซ โดยใชคาสง with(LinearAlgebra) เรยก package การคานวณเกยวกบการแปลงแถว
RowOperation(A, i, k) คอแถวท i ถกคณดวยคาคงตว k
RowOperation(A, [i, j], inplace = true) คอการสลบแถว i กบ j
RowOperation(A, [i, j], k) คอแถวท i ถกบวกดวย k เทาของแถวท j
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Maple Maple – 71
6.4 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 014
1. การบวกและลบเวกเตอร สเกลารคณเวกเตอร ผลคณเชงสเกลาร ขนาดของเวกเตอร
2. การบวกและลบจานวนเชงซอน คาสมบรณ อารกวเมนต สวนจรง และ สวนจนตภาพของจานวนเชงซอน
3. การหาคาสถตของขอมล
ตวอยางการคานวณ
1. การบวกและลบเวกเตอร สเกลารคณเวกเตอร ผลคณเชงสเกลาร ขนาดของเวกเตอร
2. การบวกและลบจานวนเชงซอน คาสมบรณ อารกวเมนต สวนจรง และ สวนจนตภาพของจานวนเชงซอน
3. การหาคาสถตของขอมล
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Maple Maple – 72
6.5 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 015
1. การหาลมตของลาดบ การหาผลบวกของอนกรม และ สตรผลบวกของอนกรม
2. การหาลมตของฟงกชน และอนพนธของฟงกชน และ อนพนธอนดบสง และ การเขยนกราฟของ f, f′ 3. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล และ การหาพนทใตโคง
ตวอยางการคานวณ
1. การหา ลาดบ ลมตของลาดบ ผลบวกของอนกรม และ สตรผลบวกของอนกรม
32
2n31n2lim
n=
++
∞→
210n(ni
n
1 i
+=∑=
43
)2n(n1
n
1 i=
+∑=
2. การหาลมตของฟงกชน อนพนธของฟงกชน และ อนพนธอนดบสง และ การเขยนกราฟของ f, f′
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Maple Maple – 73
3. การหาคาอนทกรล การหาสตรอนทกรล และการหาพนท
6.6 เสรมการคานวณคณตศาสตร ค. 016
1. การคานวณ n!, rn P , r
n C และ การกระจายทวนาม
2. กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล
3. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล
ตวอยางการคานวณ
1. การคานวณ n!, rn P , r
n C และ การกระจายทวนาม
2. กราฟแผนภาพการกระจายของขอมล ตวอยางขอมลเชน
x y 2 3 4 7 9 12 10 15 14 22
บทท 6. การคานวณคณตศาสตร ม. ปลาย ดวย Maple Maple – 74
3. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล
สมการแสดงความสมพนธของขอมลคอ y = 464699 x + 464
23 = 1.50647x + 0.049596
6.7 Maple กบการเฉลยขอสอบคณตศาสตร Entrance
ขอสอบคณตศาสตร 1. มนาคม 2546 ขอ 18.
0x
lim→ 3x
1 [ x1+ – x1− – )x1)(x1( 2−+ + )x1)(x1( 2−− ] มคาเทากบขอใดตอไปน
1. 0 2. 41
3. 21 4. 1
การคานวณดวย Maple
เพราะฉะนนตอบขอ 3.
ขอสอบคณตศาสตร 2. มนาคม 2546 ขอ 11.
ถา xsin1
1−
+ xsin1
1+
= 8 โดยท π < x < 2
3π แลว sin x + cos2x + tan3x มคาเทากบขอใดตอไปน
1. 2
13 − 2. 2
13 +
3. 2
13 −− 4. 2
13 +−
การคานวณดวย Maple
เพราะฉะนนตอบขอ 3.
ขอสอบคณตศาสตร 1. มนาคม 2545 ขอ 2. 2sin− 1 + 2sin2 – 3sin2 + ... – 89sin2 + 90sin2 มคาเทากบเทาใด
การคานวณดวย Maple
เพราะฉะนน 2sin− 1 + 2sin2 – 3sin2 + ... – 89sin2 + 90sin2 มคาเทากบ 0.5
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 75
บทท 7.
เสรมการคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple
ในระดบอดมศกษามปญหาทางดานการคานวณมากมาย หากนกเรยน นสต นกศกษา หรอ อาจารยผสอน
ไดนาความสามารถของโปรแกรมสาเรจรป Maple มาใชในการคานวณกจะทาใหเกดประโยชนอยางมาก ในบท
นจงไดยกตวอยางการคานวณทางคณตศาสตรระดบอดมศกษา จาแนกเปนกลมตางๆ ดงน
1. แคลคลส 2. สมการเชงอนพนธ 3. การวเคราะหเชงตวเลข
4. พชคณตเชงเสน 5. สถตและความนาจะเปน 6. คณตศาสตรขนสง
7.1 เสรมการคานวณแคลคลสดวย Maple
7.1.1 การคานวณคาลมต
7.1.2 การหาอนพนธ อนพนธอนดบสง และ อนพนธยอย
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 76
7.1.3 การคานวณปรพนธ ผลการคานวณเปนสตร และ ผลการคานวณเปนตวเลข
7.1.4 กราฟของฟงกชน f, f′ และ f′′
7.1.5 การหาผลบวกรมนน (Riemann sum) เชนผลบวกรมนนของ f(x) = 2x – 4x + 6 บนชวง [1, 3]
หมายเหต คาของ dx)6x4x( 23
1
+−∫ = 314
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 77
7.1.6 การแทนฟงกชนดวยพหนามเทยเลอร เชน พหนามเทยเลอรของ sin(x), arctan(x), cos(x), ln(x)
7.1.7 การเขยนกราฟในพกดเชงขว ตวอยางเชนกราฟของ r = 4cos(2t) และ r = 1 + cost, r = sin(t)
7.1.8 การเขยนกราฟสมการพาราเมตรก เชนกราฟของ r(t) = (t, 2t ) บนชวง 0 < t < 5
7.1.9 การเขยนกราฟ 3 มต เชน กราฟของ z = 2x – 2y
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 78
7.1.10 การเขยนกราฟของสมการพาราเมตรกใน 3 มต
7.1.11 การเขยนกราฟแบบแรเงาและการหาพนท
7.1.12 การหา dxdy ของฟงกชนทนยามโดยนย ตวอยางเชน ความสมพนธ 2x + 2y - xy + 4x - 2y = 0
เพราะฉะนน dxdy = 2xy2
4yx2++−+−
หมายเหต subs เปนคาสงใหแทนคาทกาหนดลงในสมการหรอสตรทตองการ
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 79
7.1.13 การประมาณคาอนทกรลโดยใชผลบวกรมนน จาแนกเปนผลบวกซาย (left sum) ผลบวกขวา (right
sum) และ ผลบวกจดกงกลาง (middle sum) ตวอยางเชน กาหนดให f(x) = 2x + 4 บนชวง [1, 5]
1. กาหนดฟงกชน
2. เรยก package การเขยนกราฟ
3. เรยก package student
4. คาสง leftbox(f(x), x=a..b, n)
เขยนกราฟแทงแสดง
พนทใตโคง y = f(x) บนชวง [a, b]
โดยแบงชองยอยออกเปน n สวน
และใชความสงของแทงสเหลยม
จากคาฟงกชนของจดทางซายของชวงยอย
5. leftsum(f(x), x=a..b, n) เปนคาสงหาผลบวก
ของพนทสเหลยมทงหมดทเกดจาก
คาสง leftbox(f(x), x=a..b, n)
6. คาสง middletbox(f(x), x=a..b, n) เขยนกราฟแทงแสดงพนทใตโคง y = f(x) บนชวง [a, b] โดยแบง
ชองยอยออกเปน n สวน และใชความสงของแทงสเหลยมจากคาฟงกชนของจดกงกลางของชวงยอย
7. middlesum(f(x), x=a..b, n) เปนคาสงหาผลบวกของพนทสเหลยมทงหมดทเกดจากคาสง
middlebox(f(x), x=a..b, n)
8. คาสง rightbox(f(x), x=a..b, n) เขยนกราฟแทงแสดงพนทใตโคง y = f(x) บนชวง [a, b] โดยแบงชอง
ยอยออกเปน n สวน และใชความสงของแทงสเหลยม จากคาฟงกชนของจดทางขวาของชวงยอย
9. rightsum(f(x), x=a..b, n) เปนคาสงหาผลบวกของพนทสเหลยมทงหมดทเกดจากคาสง
rightbox(f(x), x=a..b, n)
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 80
7.2 เสรมการคานวณเกยวกบสมการเชงอนพนธดวย Maple
7.2.1 กราฟของการเคลอนทแบบซมเปลฮารมอนก
7.2.2 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ dtdx – 2tx = t
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ x′′ + 4x = 0
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ y′′ + 4y′ - 5y = 2 + x3e + sin(x)
ตวอยาง การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ y′′ = xsinx, y′(0) = 2, y(0) = –1 อยางเปนขนเปนตอน
แตละขนตอนมความหมายดงน
1. solution1 ไดจากการอนทเกรต
xsinx แตไมมคาคงตว
2. เพราะวา y′(0) = 2
เพราะฉะนนแทนคา x = 0
ใน solution1 จะไดวา
yprime ตองมคาเทากบ 2
3. แสดงสตรของ y′(x)
4. solution1 ไดจากการอนทเกรต
sinx - xcosx + 2 แตไมมคาคงตว
5. เพราะวา y(0) = –1 เพราะฉะนนแทนคา x = 0 ใน solution2 จะไดวา y ตองมคาเทากบ -1
6. พมพสตรของ y ทตองการ
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 81
7.2.3 การหาผลการแปลงลาปลาซ และ ผลการแปลงลาปลาซผกผน
ตวอยางเชน L{sin(x)} = 1s
12 +
และ 1L− {1s
12 +
} = sinx
7.3 เสรมการคานวณเกยวกบการวเคราะหเชงตวเลขดวย Maple
7.3.1 การประมาณเสนโคง y(x) ทผานจด ( 1x , 1y ), ( 2x , 2y ), ... , ( nx , ny )
ตวอยาง จงหาพหนามทผานจด (1, 2), (2, 5), (3, 13), (4, 20)
เพราะฉะนนพหนามทผานจด (1, 2), (2, 5), (3, 13), (4, 20) คอ – 3x + 217 2x – 2
31 x + 10
ตวอยาง จงหาพหนามทผานจด (2, 3), (4, 5), (7, 12), (9, 15)
เพราะฉะนนพหนามทผานจด 3 จดทกาหนดใหคอ 154 2x – 5
3 x + 1547
7.3.2 การหารากของสมการ
ตวอยาง การหารากของสมการ 2x – 5 = 0
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 82
ตวอยาง การหารากของสมการ sinx – cosx = 0
7.3.3 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน และ ไมเชงเสน
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนโดยใชคาสง solve
x + y + z = 12
x – y + z = 4
x + y – z = 2
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนโดยใชคาสง linsolve
x – 2y = 1
2x – y = 5
หมายเหต คาสง linsolve(A, B) เปนคาสง
หาผลเฉลยของระบบสมการ AX = B
เพราะฉะนน ผลเฉลยของระบบสมการคอ x = 3, y = 1
การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน
โดยวธของเกาส-จอรแดน
x – 2y = 1
2x – y = 5
หมายเหต คาสง augment(A, B)
เปนคาสงรวมเมทรกซ A และ B ของระบบสมการ AX = B
ใหกลายเปนเมทรกซแตงเตม
คาสง gaussjord เปนคาสงหาเมทรกซลดรปเปนขนแบบแถว
เพราะฉะนนจากเมทรกซลดรปทได จะไดวา x = 3, y = 1
ตวอยาง การหาผลเฉลยของระบบสมการไมเชงเสน 2x + 2y = 25
x + y = 7
เพราะฉะนนผลเฉลยของสมการคอ (3, 4) และ (4, 3)
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 83
7.3.4 การประมานคา y(c) เมอกาหนด )y,x(fdxdy
= และผานจด ( 0x , 0y )
โดยวธของออยเลอรทปรบปรงแลวทมสตร 1ny + = ny + 2h (f( nx , ny )+ f( 1nx + , ny + hf( nx , ny ))
เมอ h = nxc 0− , 1nx + = nx + h
จงหาคาประมานคา y(1) เมอกาหนด yxdxdy
+= และผานจด (0, 0)
หมายเหต ผลเฉลยแทจรงคอ y(x) = xe – x – 1 เพราะฉะนนคาจรง y(1) = 0.718282
7.4 เสรมการคานวณเกยวกบพชคณตเชงเสนดวย Maple
7.4.1 การคานวณเกยวกบเมทรกซ
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 84
7.4.2 การหาคาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจง ของเมทรกซ
ตวอยาง การหาสมการลกษณะเฉพาะ คาเจาะจง และ เวกเตอรเจาะจงของเมทรกซ A =
3104
คาเจาะจงคอ 4 มการซา 1 ครง
และมเวกเตอรเจาะจงเปน (0, 1)
คาเจาะจงคอ 3 มการซา 1 ครง
และมเวกเตอรเจาะจงเปน (1, 1)
7.4.3 การหาเมทรกซลดรปเปนขนแบบแถวทสมมลกบ A , rank(A) มลฐานของปรภมเวกเตอรแถว มลฐาน
ของปรภมเวกเตอรหลก
7.4.4 การหาเมทรกซลดรปเปนขนแบบแถวทสมมลกบเมทรกซ A ตวอยางเชน A =
524115341263421
หมายเหต คาสง gaussjord(A) และ rref(A) ใชหาเมทรกซลดรปทสมมลกบ A
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 85
7.4.5 การแปลงแถวเมทรกซ และการแปลงหลกเมทรกซ
RowOperation(A, i, k) คอการแปลงแถว คาคงตว k คณแถวท i
RowOperation(A, [i, j], c)
คอการแปลงแถว แถวท i ถกบวกดวย c เทาของแถวท j
RowOperation(A, [i, j]) คอการแปลงแถว สลบแถว i กบ j
ในทานองเดยวกน
ColumnOperation(A, i, k)
คอการแปลงหลก คาคงตว k คณหลก i
ColumnOperation(A, [i, j], c)
คอการแปลงหลก หลกท i ถกบวกดวย c เทาของหลกท j
ColumnOperation(A, [i, j])
คอการแปลงหลก สลบหลกท i กบ หลกท j
นอกจากนนยงมคาสง swaprow(A, i, j) สลบแถวท i กบ แถวท j
addrow(A, j, i, c) แถวท i ถกบวกดวย c เทาของแถวท j
mulrow(A, i, k) คาคงตว k คณแถวท i
swapcol(A, i, j) สลบหลกท i กบ หลกท j
addcol(A, j, i, c) หลกท i ถกบวกดวย c เทาของหลกท j
mulcol(A, i, k) คาคงตว k คณหลกท i
7.4.6 การหามลฐานเชงตงฉากปกตของ 3R
โดยใชกระบวนการของ Gram - Schmidt
ตวอยาง กาหนดมลฐาน { 1v =
111
, 2v =
110
, 3v =
100
}
เพราะฉะนนมลฐานเชงตงฉากปกตคอ { 1u =
577.0577.0577.0
, 2u =
−
408.0408.0816.0
, 3u =
−
707.0707.00
}
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 86
7.4.7 การหาเมทรกซ P ททาให 1P− AP เปนเมทรกซเฉยง (Orthogonal Diagonalization)
ตวอยางเชน A =
1221
โดยการใชคาสง jordan(A, 'P')
จะได P =
− 21
21
21
21
จะไดวา 1P− AP =
−
3001
ในกรณทเราตองการใหเมทรกซ P
เปนเมทรกซเชงตงฉากปกตใหทาตอ
โดยการแปลงทกหลกของ P ใหเปนเวกเตอรหนวย
เพราะฉะนนเลอกให P =
−2
12
12
12
1
จะไดวา TP AP =
−
3001
7.5 เสรมการคานวณเกยวกบความนาจะเปนและสถตดวย Maple
7.5.1 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมทวนาม
หมายเหต binomial(n, r) = )!rn( !r1n−
ฟงกชน b(x, n, p) = xnx )p1(p)!xn( !x!n −−−
เปนฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมทวนาม
7.5.2 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง
หมายเหต ฟงกชน p(x, µ ) มคาเทากบ !xe xµµ− เปนฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมปวสซง
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 87
7.5.3 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมปกต
หมายเหต f( 0x , µ , σ ) = 2)x(
e21 σ
µ−−
σπ
F( 0x , µ , σ ) = P(X < 0x ) เมอ X เปนตวแปรสมปกต คาเฉลย µ สวนเบยงเบนมาตรฐาน σ
zval(A, µ , σ ) = คาของ 0z ททาให P(z < 0z ) มคาเทากบ A
7.5.4 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมท ระดบขนความเสร v
หมายเหต f(t, ν ) = 212
)t1()
2(
)2
1( +ν−
ν+
πννΓ
+νΓ
F( 0t , ν ) = P(t < 0t ) เมอ t เปนตวแปรสมท ระดบขนความเสร ν
tval(A, ν ) = คาของ 0t ททาให P(t < 0t ) มคาเทากบ A
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 88
7.5.5 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมไคสแควร ระดบขนความเสร v
หมายเหต f(x, ν ) = 2x
2
2
ex
)2(2
1 −ν
ννΓ
เปนฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมไคสแควร 2χ
ระดบขนความเสร ν และ F(k, ν ) = P( 2χ < k)
chival(A, ν ) = คาของ 0x ททาให P(x < 0x ) มคาเทากบ A
7.5.6 การคานวณคาความนาจะเปนของตวแปรสมเอฟ ระดบขนความเสร 1ν และ 2ν
หมายเหต F เปนตวแปรสมเอฟ ระดบขนความเสร 1ν และ 2ν มฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปน
f(f, 1ν , 2ν ) = 2
21
2121
121
21
2121
)f1)(2()2(
f))(2(
ν+ν
−νν
νν
+ν
Γν
Γ
ννν+ν
Γ และ F(k, 1ν , 2ν ) = P(F < k)
fval(A, 1ν , 2ν ) คอคาของ k ททาให P(F < k) มคาเทากบ A
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 89
7.5.7 การหาสมการถดถอย และ การเขยนแผนภาพกระจายขอมล ตวอยางขอมลจากตาราง
สมการถดถอยเชงเสน คอ y = 41 + 20
171 x
สมการถดถอยในรปแบบพหนามดกรสองคอ y = 5629 + 35
118 x + 5629 2x
แผนภาพการกระจายของขอมลคอ
7.5.8 กราฟของแผนภาพการกระจายบนกราฟสเกล log
ตวอยางขอมลเชน กราฟบนสเกล (x, y) คอ
x y 1 14 3 23 5 35 7 64 9 79
x y 150 10 235 12 432 15 511 23 645 32 579 34 834 36 915 38
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 90
กราฟบนสเกล (x, logy) คอ
กราฟบนสเกล (logx, logy) คอ
กราฟบนสเกล (logx, y) คอ
7.6 เสรมการคานวณเกยวกบคณตศาสตรขนสงดวย Maple
7.6.1 การหาสตรของฟงกชนทนยามในพจนของปรพนธ
ความหมายคอ tdtx
1∫ = 2x2
1 + 21
ความหมายคอ dtt1
12
2x
x +∫ = )x(tan)x(tan 121 −− −
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 91
7.6.2 การหาสตรอนพนธของฟงกชนทนยามในพจนของปรพนธ
ตวอยางการหาคา dxd ( tdt
x
1∫ ) = x
ตวอยางการหาคา dxd dt
t11
2
2x
x +∫ = 4x1
x2+
– 2x11+
7.6.3 กราฟของฟงกชนแกมมา (Gamma function) และการคานวณคาฟงกชนแกมมา
7.6.4 ฟงกชนเบสเซล (Bessel function) และ กราฟของฟงกชนเบสเซล
บทท 7. การคานวณระดบอดมศกษาดวย Maple Maple – 92
หมายเหต BesselJ(v, x) คอ ฟงกชนเบสเซลชนดท 1 อนดบ v
BesselY(v, x) คอ ฟงกชนเบสเซลชนดท 2 อนดบ v
7.6.5 การหาอนพนธอนดบสง และ อนพนธยอย
อนพนธอนดบสง x24)x(dxd 4
3
3=
อนพนธยอย 32342
2yx12)yx(
x=
∂∂
อนพนธยอย yx6)yx(y
4342
2=
∂∂
อนพนธยอย 22342
3yx36)yx(
xy=
∂∂∂
7.6.6 การหาพหนามเลอจองด )x(Pn
กราฟของพหนามเลอรจองด
ฟงกชนและคาสงทสาคญ
Mathematics Mathcad Mathematica MATLAB Maple
π = 3.141592654 <Ctrl+Shift>+P Pi pi Pi, pi
i = 1− i, j , <Esc>ii<Esc> i I
x , n x x , n x Sqrt[x], x , n x sqrt(x) sqrt(x)
e = 2.7182818, xe xe , exp(x) E^x, Exp[x] exp(x) exp(x)
n! n! Factorial[n], n! factorial(n) factorial(n), n!
การกาหนดสตร f(x) f(x):=... f[x_]:=... สราง f.m file f:=x->...
ลอการทม ฐาน 10 log(x) Log[10, x] log(x) log10(x)
ลอการทม ฐาน e ln(x) Log[x] log10(x) log(x), ln(x)
sin(x) sin(x) Sin[x] sin(x) sin(x)
cos(x) cos(x) Cos[x] cos(x) cos(x)
tan(x) tan(x) Tan[x] tan(x) tan(x)
sec(x) sec(x) Sec[x] sec(x) sec(x)
cosec(x) csc(x) Csc[x] csc(x) csc(x)
cot(x) cot(x) Cot[x] cot(x) cot(x)
arcsin(x) asin(x) ArcSin[x] asin(x) arcsin(x)
arccos(x) acos(x) ArcCos[x] acos(x) arccos(x)
arctan(x) atan(x) ArcTan[x] atan(x) arctan(x)
arcsec(x) asec(x) ArcSec[x] asec(x) arcsec(x)
arccosec(x) acsc(x) ArcCsc[x] acsc(x) arccsc(x)
arccot(x) acot(x) ArcCot[x] acot(x) arccot(x)
คาสมบรณ | x | Abs[x] abs(x) abs(x)
อารกวเมนตของ z arg(z) Arg[z] angle(z) argument(z)
สวนจรงของ z Re(z) Re[z] real(z) Re(z)
สวนจนตภาพของ z Im(z) Im[z] imag(z) Im(z)
สงยคของ z z Conjugate[z] conj(z) conjugate(z)
det(A) | A | Det[A] det(A) det(A)
เมทรกซ 1A− A^-1 Inverse[A] inv(A), A^-1 inverse(A)
คาเจาะจงของ A eigenvals(A) Eigenvalues[A] [V, D] = eig(A) eigenvalues(A)
เวกเตอรเจาะจงของ A eigenvecs(A) Eigenvectors[A] [V, D] = eig(A) eigenvectors(A)
ขนาดของเวกเตอร u | u | Sqrt[u.u] norm(u) norm(u, 2)
u dot v u*v, yx ⋅ u.v, Dot[u, v] dot(u, v) u.v
DotProduct(u, v)
u cross v ( vu × ) yx × , <Ctrl>+8 Cross[u, v] cross(u, v) CrossProduct(u,v)
ฟงกชนและคาสงทสาคญ
Mathematics Mathcad Mathematica MATLAB Maple
ผลบวก Σ
Sum sum, symsum Sum, sum, add
ผลคณ Π
Product prod product, Product
ลมต Limit limit limit
อนพนธ D, Dt diff Diff, diff, D
อนทกรล Integrate int Int, int
อนกรมเทยเลอร series Series taylor series, taylor
ผลการแปลงลาปลาซ laplace LaplaceTransform laplace laplace
ผลการแปลง
ลาปลาซผกผน
invlaplace InverseLaplaceTra
nsform
ilaplace invlaplace
ฟงกชนแกมมา Γ(x) Gamma[x] gamma(x) GAMMA(x)
ฟงกชนเบสเซล J0, J1, Jn
Y0, Y1, Yn
BesselJ, BesselY bessej, bessely BesselJ, BesselY
ฟงกชนเลอจองด leg(n, x) LegendreP[n, z] legendre LegendreP
กราฟบนระนาบ XY Plot plot, ezplot plot
กราฟพกดเชงขว PolarPlot polar, ezpolar polarplot
กราฟ 3 มต Plot3D surf, ezsurf plot3d
กราฟ contour
ContourPlot
ContourPlot3D
contour, ezsurfc contourplot
contourplot3d
กราฟ scatter 3 มต Plot3D ezplot3 scatterplot
กราฟของ
สมการองตวแปรเสรม ParametricPlot
ParametricPlot3D
ezplot plot
spacecurve
การจดรปพชคณต simplify Simplify simplify, collect simplify
การกระจาย expand Expand expand expand
การแยกตวประกอบ factor Factor factor factor
การแยกเศษสวนยอย parfrac Apart residue convert
การหารากของสมการ root, lsolve, Find,
polyroots
Solve, FindRoot,
NRoots
solve, roots, fzero solve, fsolve,
rsolve, RootOf,
allvalues
การหาผลเฉลยของ
ระบบสมการ
Given-Find,
lsolve
Solve, NSolve solve, linsolve solve, linsolve
การหาผลเฉลยของ
สมการเชงอนพนธ
odesolve DSolve dsolve dsolve
หนงสอคมอเลมนเขยนเพอใหผอานทกทานสามารถใชโปรแกรมสาเรจรปทางดานการคานวณทม
ความสามารถสงมากในปจจบนได เชน พมพคาสงเพอคานวณคาทางคณตศาสตร เขยนกราฟของ
ฟงกชน โปรแกรมทกโปรแกรมมความสามารถทางดานการคานวณทสาคญเชน
• ทาการคานวณแบบเครองคดเลข
• กาหนดสตรของฟงกชนใชงานเองได
• เขยนกราฟไดหลายแบบ
• คานวณ เวกเตอร เมทรกซ จานวนเชงซอน
• แยกตวประกอบ และ กระจายสตร พหนามและฟงกชน
• คานวณคา ผลบวกอนกรม ลมต อนพนธ ปรพนธ
• หาผลเฉลยของสมการและผลเฉลยของระบบสมการ
• หาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธ
• หาสตรเทยเลอร และ อนกรมของฟงกชน
• หาผลการแปลงลาปลาซ ฟงกชนเลอจองด ฟงกชนเบสเซล
โปรแกรมสาเรจรปทง 4 โปรแกรม มกลมของคาสงทสนบสนนการเขยนโปรแกรมประยกตใชงาน
เพอทผอานจะไดนาโปรแกรมประยกตไปแกปญหาทางดานคณตศาสตรทตองการได
จดจาหนายโดย ศนยหนงสอจฬาลงกรณมหาวทยาลย ถนนพญาไท เขตปทมวน กรงเทพฯ 10330
ศาลาพระเกยว โทร. 0 – 2218 – 7000 โทรสาร. 0 – 2255 – 4441
สยามสแควร โทร. 0 – 2218 – 9888 โทรสาร. 0 – 2254 – 9495
สาขา ม.นเรศวร จ.พษณโลก โทร. 0 – 5526 – 0162 – 5 โทรสาร. 0 – 5526 – 0165
CALL CENTER 0 – 2255 – 4433 http://www.chulabook.com
Recommended