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- 1. Momentos de inercia de formasgeomtricas
comunesRectnguloTringuloCrculoSemicrculoCuarto de
crculoElipseJO14ab1a2 b2 2Iy14a3bIx14ab3JO18r4Ix Iy116 r4JO14r4Ix
Iy18r4JO12r4Ix Iy14r4Ix112bh3Ix136bh3JC112bh1b2 h2
2Iy13b3hIx13bh3Iy112b3hIx112bh3hbx'xy
y'Chbx'xh3CxyrOxyOrCxyOCrxbyOaMomentos de inercia de
formasgeomtricas comunesBarra delgadaIy Iz112mL2Placa rectangular
delgadaPrisma rectangularDisco delgadoIy IzCilindro circularIy
Iz112m13a2 L2 2Cono circularEsfera35Ix Iy Iz25ma214Iy Iz m1a2 h2
2Ix310ma2Ix12ma214mr2Ix12mr2Iz112m1a2 b2 2Iy112m1c2 a2 2Ix112m1b2
c2 2Iz112mb2Iy112mc2Ix112m1b2 c2 2Gyz LxycbGz xz aycbxxzyryLaz
xxzyhaayz x
- 2. MECNICA VECTORIALPARA INGENIEROSDinmica
- 3. REVISIN TCNICAARGENTINARicardo Bosco Universidad Tecnolgica
Nacional, Buenos AiresCOLOMBIACarlos Eduardo Muoz Rodrguez
Pontificia Universidad Javeriana, BogotJaime Guillermo Guerrero
Casadiego Universidad Nacional de ColombiaRubn Daro Arboleda Vlez
Universidad Pontificia Bolivariana, MedellnWilson Rodrguez Caldern
Universidad de la Salle, BogotMXICOAntonio Rubn Bentez Gasca
Universidad VeracruzanaDanelia Hernndez Surez Instituto Tecnolgico
y de Estudios Superiores de Monterrey,campus Ciudad ObregnCarlos
Mellado Osuna Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
Monterrey,campus La MarinaEduardo Soberanes Lugo Instituto
Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus
SinaloaEnrique Zamora Gallardo Universidad Anhuac, campus
NorteFrancisco Tern Arvalo Instituto Tecnolgico Regional de
ChihuahuaGladys Karina Ruiz Vargas Universidad Anhuac, campus
NorteIgnacio Arrioja Crdenas Instituto Tecnolgico de Tuxtla
Gutirrez, Chis.Ignacio Ramrez Vargas Instituto Tecnolgico y de
Estudios Superiores de Monterrey,campus HidalgoJos Antonio Corona
Lpez Instituto Tecnolgico de VeracruzJos Luis Carranza Santana
Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica,Instituto
Politcnico NacionalJuan Abugaber Francis Escuela Superior de
Ingeniera Mecnica y Elctrica,Instituto Politcnico NacionalJuan
Ocriz Castelazo Universidad Nacional Autnoma de MxicoLuis Adolfo
Torres Gonzlez Universidad Iberoamericana, campus LenLuis G. Cabral
Rosetti Centro Interdisciplinario de Investigacin y Docencia en
Educacin Tcnica,Santiago de QuertaroMartn Daro Castillo Snchez
Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica,Instituto
Politcnico NacionalRal Escalante Rosas Universidad Nacional Autnoma
de MxicoRal Soto Lpez Universidad de Occidente, campus Culiacn
- 4. Novena edicinMECNICA VECTORIALPARA
INGENIEROSDinmicaFERDINAND P. BEER (finado)Late of Lehigh
UniversityE. RUSSELL JOHNSTON, JR.University of ConnecticutPHILLIP
J. CORNWELLRose-Hulman Institute of TechnologyRevisin tcnica:Miguel
ngel Ros SnchezInstituto Tecnolgico y de EstudiosSuperiores de
Monterrey, campus Estado de MxicoFelipe de Jess Hidalgo
CavazosInstituto Tecnolgico y de EstudiosSuperiores de Monterrey,
campus MonterreyMXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALAMADRID
NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULOAUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL
NUEVA DELHISAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO
- 5. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo
CastellanosEditor sponsor: Pablo E. Roig VzquezCoordinadora
editorial: Marcela I. Rocha M.Editor de desarrollo: Edmundo Carlos
Ziga GutirrezSupervisor de produccin: Zeferino Garca
GarcaTraductores: Jess Elmer Murrieta MurrietaGabriel Nagore
CazaresMECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROSDINMICANovena
edicinProhibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por
cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.DERECHOS
RESERVADOS 2010 respecto a la novena edicin en espaol
porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary of
The McGraw-Hill Companies, Inc.Edificio Punta Santa FeProlongacin
Paseo de la Reforma Nm. 1015, Torre APiso 17, Colonia Desarrollo
Santa Fe,Delegacin lvaro ObregnC.P. 01376, Mxico, D. F.Miembro de
la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm.
736ISBN-13: 978-607-15-0261-2(ISBN: 970-10-6102-0 edicin
anterior)Traducido de la novena edicin en ingls de: Vector
mechanics for engineers. Dynamics.Copyright 2010 by The McGraw-Hill
Companies, Inc. All rights reserved.ISBN: 0-07-724916-81234567890
109876543210Impreso en Mxico Printed in Mexico
- 6. Acerca de los autoresLos autores de esta obra con frecuencia
son cuestionados acerca de c-mofue que, estando uno en Lehigh y
otro en la University of Connec-ticut,empezaron a escribir sus
libros juntos.La respuesta a esta pregunta es sencilla. Russ
Johnston inici su ca-rreraacadmica en el departamento de ingeniera
civil y mecnica deLehigh University y all conoci a Ferd Beer, quien
haba comenzado atrabajar en ese departamento dos aos antes y estaba
a cargo de los cur-sosde mecnica.Ferd se sinti muy complacido al
descubrir que el joven contrata-dopara impartir cursos de ingeniera
estructural en posgrado no sloestaba dispuesto, sino tambin ansioso
por ayudarlo a reorganizar loscursos de mecnica. Ambos crean que
dichos cursos deberan ensear-sea partir de unos cuantos principios
bsicos, y que los distintos con-ceptosinvolucrados seran mejor
comprendidos y recordados por losestudiantes si les eran
presentados en forma grfica. Juntos escribieronapuntes para las
clases de esttica y dinmica, a los cuales posterior-menteles
agregaron problemas que supusieron interesantes para losfuturos
ingenieros, y poco despus produjeron el manuscrito de la
pri-meraedicin de Mecnica para ingenieros, el cual se public en
juniode 1956.Al publicarse la segunda edicin de Mecnica para
ingenieros y laprimera de Mecnica vectorial para ingenieros, Russ
Johnston estabaen el Worcester Polytechnic Institute, y en las
ediciones subsecuentes enla University of Connecticut. Mientras
tanto, Ferd y Russ haban asu-midofunciones administrativas en sus
respectivos departamentos yambos se dedicaban a la investigacin, la
consultora, y a asesorar estu-diantesde posgrado Ferd en el rea de
procesos estocsticos y vibra-cionesaleatorias, y Russ en el rea de
estabilidad elstica y en diseo yanlisis estructurales. Sin embargo,
su inters por mejorar la ense-anzade los cursos bsicos de mecnica
no haba disminuido, y conti-nuaronimpartindolos mientras revisaban
sus libros y comenzaban apreparar el manuscrito de la primera
edicin de Mecnica de materiales.La colaboracin entre estos dos
autores ha abarcado muchos aos ymuchas revisiones exitosas de todos
sus libros, y las contribuciones de Ferdy Russ a la educacin en
ingeniera los han hecho acreedores de numero-sasdistinciones y
reconocimientos. Recibieron el Western Electric FundAward por parte
de sus respectivas secciones regionales de la American So-cietyfor
Engineering Education por su excelencia en la instruccin de
es-tudiantesde ingeniera y, adems, el Distinguished Educator Award
de lavii
- 7. divisin de mecnica de esa misma asociacin. A partir de 2001,
el recono-cimientodenominado New Mechanics Educator Award de la
divisin demecnica ha sido nombrado en honor de Beer y
Johnston.Ferdinand P. Beer. Nacido en Francia y educado en Francia
y Sui-za,Ferd obtuvo una maestra en la Sorbona y un doctorado en
cien-ciasen el rea de mecnica terica en la Universidad de
Ginebra.Emigr a Estados Unidos despus de servir en el ejrcito
francs du-rantela primera parte de la Segunda Guerra Mundial e
imparti cla-sespor cuatro aos en el Williams College en el programa
conjuntode ingeniera y artes Williams-MIT. Despus de su servicio en
estainstitucin, Ferd ingres al profesorado de Lehigh University,
dondeense durante treinta y siete aos. Ocup varios puestos,
incluyen-doel de profesor distinguido de la universidad y director
del departa-mentode Mecnica e Ingeniera Mecnica. En 1995 recibi el
gradode Doctor honoris causa en Ingeniera por la Lehigh
University.E. Russell Johnston, Jr. Nacido en Filadelfia, Russ
posee un ttulo deingeniero civil de la Universidad de Delaware y un
doctorado en cien-ciasen el rea de ingeniera estructural del
Instituto Tecnolgico deMassachussets (MIT). Imparti clases en
Lehigh University y en elWorcester Polytechnic Institute antes de
ingresar al profesorado de laUniversidad de Connecticut, donde ocup
el puesto de director del de-partamentode Ingeniera Civil y ense
durante veintisis aos. En1991 recibi el Outstanding Civil Engineer
Award, seccin Connecti-cut,que otorga la American Society of Civil
Engineers.Phillip J. Cornwell. Phil posee un ttulo en Ingeniera
Mecnica de laTexas Tech University, y grados de maestra y doctorado
en IngenieraMecnica y aeroespacial por la Universidad de Princeton.
En la actua-lidades profesor de Ingeniera Mecnica en el Instituto
Rose-Hulmande Tecnologa, donde ha impartido clases desde 1989. Sus
intereses ac-tualesincluyen dinmica estructural, monitoreo de la
salud estructural,y educacin en ingeniera a nivel de licenciatura.
En los veranos, Philtrabaja en el Laboratorio Nacional de Los
lamos, donde es responsa-blede la escuela de verano de dinmica, y
realiza investigacin en elrea de monitoreo de la salud estructural.
Recibi un premio en edu-cacinSAE Ralph R. Teetor en 1992, el premio
escolar por imparticinde clases en Rose-Hulman en 2000, y el premio
por imparticin de cla-sesdel profesorado de Rose-Hulman en
2001.viii Acerca de los autores
- 8. ContenidoPrefacio xivAgradecimientos xxLista de smbolos
xxi11CINEMTICA DE PARTCULAS60111.1 Introduccin a la dinmica
602Movimiento rectilneo de partculas 60311.2 Posicin, velocidad y
aceleracin 60311.3 Determinacin del movimiento de una partcula
60711.4 Movimiento rectilneo uniforme 61611.5 Movimiento rectilneo
uniformemente acelerado 61711.6 Movimiento de varias partculas
618*11.7 Solucin grfica de problemas de movimiento rectilneo
630*11.8 Otros mtodos grficos 631Movimiento curvilneo de partculas
64111.9 Vector de posicin, velocidad y aceleracin 64111.10
Derivadas de funciones vectoriales 64311.11 Componentes
rectangulares de la velocidady la aceleracin 64511.12 Movimiento
relativo a un sistema de referenciaen traslacin 64611.13
Componentes tangencial y normal 66511.14 Componentes radial y
transversal 668Repaso y resumen del captulo 11 682Problemas de
repaso 686Problemas de computadora 68812CINTICA DE PARTCULAS:
SEGUNDA LEY DE NEWTON69112.1 Introduccin 69212.2 Segunda ley de
movimiento de Newton 69312.3 Cantidad de movimiento lineal de una
partcula.Razn de cambio de la cantidad de movimiento lineal
694ix
- 9. 12.4 Sistemas de unidades 69512.5 Ecuaciones de movimiento
69712.6 Equilibrio dinmico 69912.7 Cantidad de movimiento angular
de una partcula.Razn de cambio de la cantidad de movimiento angular
72112.8 Ecuaciones de movimiento en trminos de lascomponentes
radial y transversal 72312.9 Movimiento bajo una fuerza central.
Conservacin de lacantidad de movimiento angular 72412.10 Ley de
gravitacin de Newton 725*12.11 Trayectoria de una partcula bajo la
accin de unafuerza central 736*12.12 Aplicacin en mecnica celeste
737*12.13 Leyes de Kepler del movimiento planetario 740Repaso y
resumen del captulo 12 749Problemas de repaso 753Problemas de
computadora 75613CINTICA DE PARTCULAS:MTODOS DE LA ENERGA Y LA
CANTIDADDE MOVIMIENTO75913.1 Introduccin 76013.2 Trabajo de una
fuerza 76013.3 Energa cintica de una partcula. Principio del
trabajo y laenerga 76413.4 Aplicaciones del principio del trabajo y
la energa 76613.5 Potencia y eficiencia 76713.6 Energa potencial
786*13.7 Fuerzas conservativas 78813.8 Conservacin de la energa
78913.9 Movimiento bajo una fuerza central conservativa.Aplicacin a
la mecnica celeste 79113.10 Principio del impulso y la cantidadde
movimiento 81013.11 Movimiento impulsivo 81313.12 Impacto 82513.13
Impacto central directo 82513.14 Impacto central oblicuo 82813.15
Problemas en los que interviene la energa y la cantidadde
movimiento 831Repaso y resumen del captulo 13 847Problemas de
repaso 853Problemas de computadora 85614SISTEMAS DE
PARTCULAS85914.1 Introduccin 86014.2 Aplicacin de las leyes de
Newton al movimiento de un sistemade partculas. Fuerzas efectivas
86014.3 Cantidad de movimiento lineal y angular de un sistema
departculas 863x Contenido
- 10. 14.4 Movimiento del centro de masa de un sistemade
partculas 86414.5 Cantidad de movimiento angular de un sistema de
partculasalrededor de su centro de masa 86614.6 Conservacin de la
cantidad de movimiento para sistemasde partculas 86814.7 Energa
cintica de un sistema de partculas 87714.8 Principio del trabajo y
la energa. Conservacin de la energapara un sistema de partculas
87914.9 Principio del impulso y la cantidad de movimiento de un
sistemade partculas 879*14.10 Sistemas variables de partculas
890*14.11 Corriente estacionaria de partculas 890*14.12 Sistemas
que ganan o pierden masa 893Repaso y resumen del captulo 14
908Problemas de repaso 912Problemas de computadora 91615CINEMTICA
DE CUERPOS RGIDOS91915.1 Introduccin 92015.2 Traslacin 92215.3
Rotacin alrededor de un eje fijo 92315.4 Ecuaciones que definen la
rotacin de un cuerpo rgidoalrededor de un eje fijo 92615.5
Movimiento plano general 93615.6 Velocidad absoluta y velocidad
relativa en el movimientoplano 93815.7 Centro instantneo de rotacin
en el movimiento plano 95015.8 Aceleraciones absoluta y relativa en
el movimiento plano 961*15.9 Anlisis del movimiento plano en
trminos de unparmetro 96315.10 Razn de cambio de un vector con
respecto a un sistema dereferencia en rotacin 97515.11 Movimiento
plano de una partcula relativa a un sistemade referencia en
rotacin. Aceleracin de Coriolis 977*15.12 Movimiento alrededor de
un punto fijo 988*15.13 Movimiento general 991*15.14 Movimiento
tridimensional de una partcula con respectoa un sistema de
referencia en rotacin. Aceleracinde Coriolis 1002*15.15 Sistema de
referencia en movimiento general 1003Repaso y resumen del captulo
15 1015Problemas de repaso 1022Problemas de computadora
102516MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS RGIDOS:FUERZAS Y
ACELERACIONES102916.1 Introduccin 103016.2 Ecuaciones de movimiento
de un cuerpo rgido 1031Contenido xi
- 11. 16.3 Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rgido
enmovimiento plano 103216.4 Movimiento plano de un cuerpo rgido.
Principio dedAlembert 1033*16.5 Observacin acerca de los axiomas de
la mecnica de cuerposrgidos 103416.6 Solucin de problemas que
implican el movimiento de un cuerporgido 103516.7 Sistemas de
cuerpos rgidos 103616.8 Movimiento plano restringido o vinculado
1055Repaso y resumen del captulo 16 1077Problemas de repaso
1079Problemas de computadora 108217MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS
RGIDOS:MTODOS DE LA ENERGA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO108517.1
Introduccin 108617.2 Principio del trabajo y la energa para un
cuerpo rgido 108617.3 Trabajo de las fuerzas que actan sobre un
cuerporgido 108717.4 Energa cintica de un cuerpo rgido en
movimientoplano 108817.5 Sistemas de cuerpos rgidos 108917.6
Conservacin de la energa 109017.7 Potencia 109117.8 Principio del
impulso y la cantidad de movimiento para elmovimiento plano de un
cuerpo rgido 110717.9 Sistemas de cuerpos rgidos 111017.10
Conservacin de la cantidad de movimiento angular 111017.11
Movimiento impulsivo 112417.12 Impacto excntrico 1124Repaso y
resumen del captulo 17 1140Problemas de repaso 1144Problemas de
computadora 114618CINTICA DE CUERPOS RGIDOS EN TRES
DIMENSIONES1149*18.1 Introduccin 1150*18.2 Cantidad de movimiento
angular de un cuerpo rgido en tresdimensiones 1151*18.3 Aplicacin
del principio del impulso y la cantidad de movimiento almovimiento
tridimensional de un cuerpo rgido 1155*18.4 Energa cintica de un
cuerpo rgido en tres dimensiones 1156*18.5 Movimiento de un cuerpo
rgido en tres dimensiones 1169*18.6 Ecuaciones de movimiento de
Euler. Extensin del principiode dAlembert al movimiento de un
cuerpo rgido en tresdimensiones 1170*18.7 Movimiento de un cuerpo
rgido alrededor de un puntofijo 1171*18.8 Rotacin de un cuerpo
rgido alrededor de un eje fijo 1172*18.9 Movimiento de un
giroscopio. ngulos de Euler 1187*18.10 Precesin estable de un
giroscopio 1189xii Contenido
- 12. *18.11 Movimiento de un cuerpo simtrico con respecto a un
eje y queno se somete a ninguna fuerza 1190Repaso y resumen del
captulo 18 1203Problemas de repaso 1208Problemas de computadora
121119VIBRACIONES MECNICAS121519.1 Introduccin 1216Vibraciones sin
amortiguamiento 121619.2 Vibraciones libres de partculas.Movimiento
armnico simple 121619.3 Pndulo simple (solucin aproximada)
1220*19.4 Pndulo simple (solucin exacta) 122119.5 Vibraciones
libres de cuerpos rgidos 123019.6 Aplicacin del principio de la
conservacin de la energa 124219.7 Vibraciones forzadas
1253Vibraciones amortiguadas 1263*19.8 Vibraciones libres
amortiguadas 1263*19.9 Vibraciones forzadas amortiguadas 1266*19.10
Analogas elctricas 1267Repaso y resumen del captulo 19
1279Problemas de repaso 1284Problemas de computadora 1288Apndice
AALGUNAS DEFINICIONES Y PROPIEDADES TILESDEL LGEBRA
VECTORIAL1291Apndice BMOMENTOS DE INERCIA DE MASAS1297Apndice
CFUNDAMENTOS PARA LA CERTIFICACINEN INGENIERA EN ESTADOS
UNIDOS1337Crditos de fotografas 1339ndice analtico 1341Respuestas a
problemas 1351Contenido xiii
- 13. PrefacioOBJETIVOSEl objetivo principal de un primer curso
de mecnica debe ser desa-rrollaren el estudiante de ingeniera la
capacidad de analizar cualquierproblema en forma lgica y sencilla,
y la de aplicar para su solucinunos cuantos principios bsicos
perfectamente comprendidos. Se es-peraque este texto y el tomo
complementario, Mecnica vectorial pa-raingenieros: Esttica,
permitirn que el profesor alcance este objetivo.ENFOQUE GENERALEn
la parte inicial del primer tomo se introdujo el anlisis vectorial,
elcual se utiliza en la presentacin y exposicin de los principios
funda-mentalesde la esttica, as como en la solucin de muchos
problemas.De manera similar, el concepto de diferenciacin vectorial
se introdu-ceal inicio de este volumen, y el anlisis vectorial se
utiliza a lo largode la presentacin de la dinmica. Este
planteamiento conduce a unaespecificacin ms concisa de los
principios fundamentales de la me-cnica.Tambin hace posible
analizar muchos problemas en cinemti-cay cintica que no podran
resolverse mediante mtodos escalares.Sin embargo, se mantiene el
nfasis en el correcto aprendizaje de losprincipios de la mecnica y
en su aplicacin para resolver problemasde ingeniera, por lo que el
anlisis vectorial se presenta, primordial-mente,como una
herramienta til.Se introducen aplicaciones prcticas desde una etapa
inicial.Una de las caractersticas del enfoque usado en estos tomos
es que lamecnica de partculas se ha separado en forma clara de la
mecnicade cuerpos rgidos. Este enfoque hace posible considerar
aplicacionesprcticas simples en una etapa inicial y posponer la
introduccin de losconceptos ms avanzados. Por ejemplo: En Esttica,
la esttica de partculas se estudia primero, y el prin-cipiode
equilibrio de una partcula se aplica inmediatamente a
si-tuacionesprcticas que involucran slo fuerzas concurrentes.
Laesttica de cuerpos rgidos se considera posteriormente, cuando
yase ha hecho la presentacin de los productos escalar y vectorial
dedos vectores; estos conceptos se utilizan para definir el
momentode una fuerza con respecto a un punto y a un eje.xiv
- 14. En Dinmica se observa la misma divisin. Se introducen los
con-ceptosbsicos de fuerza, masa y aceleracin, de trabajo y
energa,y de impulso y cantidad de movimiento, y se aplican en
primerainstancia a la solucin de problemas que involucran slo
partcu-las.De esta forma, los estudiantes pueden familiarizarse por
s mis-moscon los tres mtodos bsicos utilizados en dinmica y
apren-dersus respectivas ventajas antes de enfrentar las
dificultadesasociadas con el movimiento de cuerpos rgidos.Los
conceptos nuevos se presentan en trminos simples.Como este texto
est diseado para un primer curso sobre dinmica,los conceptos nuevos
se presentan en trminos simples y cada paso seexplica en forma
detallada. Por otro lado, este enfoque alcanza una
ma-durezdefinitiva al analizar los aspectos ms relevantes de los
proble-masconsiderados, y al ampliar los mtodos de aplicabilidad
general.Por ejemplo, el concepto de energa potencial se analiza
para el casogeneral de una fuerza conservativa. Adems, el estudio
del movimien-toplano de cuerpos rgidos est ideado para conducir de
manera na-turalal estudio de su movimiento general en el espacio.
Lo anterior secumple tanto en cinemtica como en cintica, donde el
principio deequivalencia de fuerzas externas y efectivas se aplica
de manera direc-taal anlisis de movimiento plano, lo que facilita
la transicin al estu-diodel movimiento tridimensional.Los
principios fundamentales se utilizan en el contexto deaplicaciones
simples. Se enfatiza el hecho de que la mecnica es,esencialmente,
una ciencia deductiva que se basa en algunos
principiosfundamentales. Las derivaciones se presentan siguiendo su
secuencialgica y con todo el rigor requerido a este nivel. Sin
embargo, en vir-tudde que el proceso de aprendizaje es
primordialmente inductivo, seconsideran primero las aplicaciones ms
simples. Por ejemplo: La cinemtica de partculas (captulo 11)
antecede a la cinemticade cuerpos rgidos (captulo 15). Los
principios fundamentales de la cintica de cuerpos rgidos seaplican
primero a la solucin de problemas bidimensionales (cap-tulos16 y
17), los cuales pueden ser visualizados con mayor faci-lidadpor los
estudiantes, mientras que los problemas tridimensio-nalesse
posponen hasta el captulo 18.La presentacin de los principios de la
cintica se unifica.La octava edicin de Mecnica vectorial para
ingenieros tiene la pre-sentacinunificada de los principios de la
cintica que caracterizarona las siete ediciones anteriores. Los
conceptos de cantidad de movi-mientolineal y angular se presentan
en el captulo 12, de modo que lasegunda ley de Newton para el
movimiento pueda presentarse no s-loen su forma convencional Fma,
sino tambin como una ley querelaciona, respectivamente, la suma de
fuerzas que actan sobre unapartcula y la suma de sus momentos con
las razones de cambio de lacantidad de movimiento lineal y angular
de la partcula. Esto hace po-sibleuna introduccin temprana del
principio de conservacin de lacantidad de movimiento angular, y un
anlisis ms lgico del movimien-tode una partcula bajo una fuerza
central (seccin 12.9). An msimportante, este planteamiento puede
extenderse sin dificultad al mo-vimientode un sistema de partculas
(captulo 14) y efectuar un trata-Prefacio xv
- 15. miento ms conciso y unificado de la cintica de cuerpos
rgidos en dosy tres dimensiones (captulos 16 a 18).Se emplean
diagramas de cuerpo libre para resolverproblemas de equilibrio y
expresar la equivalencia de sistemasde fuerzas. Los diagramas de
cuerpo libre se introdujeron al prin-cipiodel libro de esttica, y
su importancia se enfatiz a lo largo de to-doel texto. Estos
diagramas se emplean no slo para resolver proble-masde equilibrio,
sino tambin para expresar la equivalencia de dossistemas de fuerzas
o, de modo ms general, de dos sistemas de vec-tores.La ventaja de
este enfoque se vuelve evidente en el estudio dela dinmica de
cuerpos rgidos, donde se utiliza para resolver
proble-mastridimensionales y bidimensionales. Se pudo lograr una
compren-sinms intuitiva y completa de los principios fundamentales
de la di-nmicaal poner mayor nfasis en las ecuaciones de los
diagramas decuerpo libre en lugar de en las ecuaciones algebraicas
estndar de mo-vimiento.Este enfoque, introducido en 1962 en la
primera edicin deMecnica vectorial para ingenieros, ha obtenido a
la fecha una ampliaaceptacin en Estados Unidos entre los profesores
de mecnica. Porlo tanto, en la resolucin de todos los problemas
resueltos de este li-bro,se prefiere su utilizacin en lugar del
mtodo de equilibrio din-micoy de las ecuaciones de movimiento.Se
utilizan presentaciones en cuatro colores para distinguirlos
vectores. El color se ha usado no slo para mejorar la calidadde las
ilustraciones, sino tambin para ayudar a los estudiantes a
dis-tinguirentre los diversos tipos de vectores que pueden
encontrar. Envirtud de que no haba intencin de colorear por
completo este texto,en un captulo dado se utiliza el mismo color
para representar el mis-motipo de vector. Por ejemplo, a lo largo
del tomo de esttica, el ro-jose utiliza en forma exclusiva para
representar fuerzas y pares, mien-trasque los vectores de posicin
se muestran en azul y las dimensionesen negro. Esto vuelve ms fcil
para los estudiantes la identificacinde las fuerzas que actan sobre
una partcula o un cuerpo rgido dadoy la comprensin de los problemas
resueltos y de otros ejemplos pro-porcionadosen el libro. En
Dinmica, para los captulos de cintica, elrojo se usa de nuevo para
fuerzas y pares, as como para fuerzas efec-tivas.El rojo tambin se
utiliza para representar impulsos y cantidadesde movimiento en
ecuaciones de diagramas de cuerpo libre, mientrasque el verde es
utilizado para velocidades, y el azul en aceleraciones.En los dos
captulos de cinemtica, donde no se involucra ninguna fuer-za,se
usan azul, verde y rojo, respectivamente, para indicar
desplaza-mientos,velocidades y aceleraciones.Se mantiene, en forma
consistente, un cuidadoso balanceentre las unidades del SI y las
unidades del sistema ingls. De-bidoa la tendencia que existe en la
actualidad en el gobierno y la indus-triaestadounidenses de adoptar
el Sistema Internacional de unidades(unidades mtricas SI), las
unidades SI que se usan con mayor frecuen-ciaen mecnica se
introducen en el captulo 1 y se emplean en todo ellibro.
Aproximadamente la mitad de los problemas resueltos y un 60
porciento de los problemas de tarea estn planteados en este sistema
de uni-dades,mientras que el resto se proporciona en las unidades
de uso co-mnen Estados Unidos. Los autores creen que este enfoque
es el quexvi Prefacio
- 16. se adecuar mejor a las necesidades de los estudiantes,
quienes, como Prefacio xviiingenieros, tendrn que dominar los dos
sistemas de unidades.Tambin se debe reconocer que el uso de ambos
sistemas de uni-dadessignifica algo ms que aplicar factores de
conversin. Como el sis-temade unidades SI es absoluto basado en el
tiempo, la longitud y lamasa, mientras el sistema ingls es
gravitacional basado en el tiempo,la longitud y la fuerza, se
requieren diferentes enfoques en la solucinde muchos problemas. Por
ejemplo, cuando se usan las unidades SI, porlo general, un cuerpo
se especifica mediante su masa expresada en kilo-gramos;en la
mayora de los problemas de esttica ser necesario deter-minarel peso
del cuerpo en newtons, para lo cual se requiere un
clcu-loadicional. Por otro lado, cuando se aplican las unidades del
sistemaingls, un cuerpo se especifica mediante su peso en libras y,
en pro-blemasde dinmica, se requerir un clculo adicional para
determinarsu masa en slugs (o lbs2/ft). Por tanto, los autores
creen que los pro-blemasasignados a los estudiantes deben incluir
ambos sistemas deunidades.En las secciones opcionales se tratan
temas avanzados oespecializados. En el libro se incluye un gran
nmero de seccio-nesopcionales identificadas mediante asteriscos y,
por tanto, se distin-guenfcilmente de aquellas que constituyen la
parte fundamental deun curso bsico de dinmica. Estas secciones
pueden omitirse sin per-judicarla comprensin del resto del
texto.Entre los temas cubiertos en las secciones opcionales se
encuen-tranlos mtodos grficos para la resolucin de problemas de
movi-mientorectilneo, trayectoria de una partcula bajo una fuerza
central,desviacin de corrientes de fluido, problemas que implican
propulsina chorro y cohetes, la cinemtica y la cintica de cuerpos
rgidos en tresdimensiones, vibraciones mecnicas amortiguadas, y
analogas elctri-cas.Estos temas adquirirn un inters particular
cuando el curso de di-nmicase imparta durante el primer ao de
estudios.El material presentado en el libro y la mayor parte de los
proble-masno requieren conocimiento matemtico previo superior al
lgebra,la trigonometra y el clculo elementales; todos los
conocimientos de l-gebraelemental necesarios para comprender el
texto se presentan condetalle en los captulos 2 y 3 del volumen de
esttica. Sin embargo, seincluyen problemas especiales que requieren
un conocimiento msavanzado de clculo, y ciertas secciones, como las
19.8 y 19.9 sobre vi-bracionesamortiguadas, slo deben asignarse
cuando los estudiantesposean los fundamentos matemticos adecuados.
En las partes del tex-toque utilizan el clculo elemental, se pone
mayor nfasis en la apro-piadacomprensin de los conceptos matemticos
bsicos incluidos queen la manipulacin de las frmulas matemticas. Al
respecto, se debemencionar que la determinacin de los centroides de
reas compuestasprecede al clculo de centroides por integracin, lo
cual posibilita esta-blecerfirmemente el concepto de momento de un
rea antes de intro-ducirel uso de integrales.Algunas definiciones y
propiedades tiles de lgebra se resumen en el apndice A al fi-naldel
libro, para comodidad del lector. Asimismo, las secciones 9.11 a
9.18 del volumende esttica, donde se estudian los momentos de
inercia de masas, se reproducen en el apn-diceB.
- 17. ORGANIZACIN DE LOS CAPTULOS Y
CARACTERSTICASPEDAGGICASIntroduccin del captulo. Cada captulo
comienza con una in-troduccinque establece el propsito y los
objetivos del mismo, y enla que se describe en trminos sencillos el
material que ser cubiertoy sus aplicaciones en la resolucin de
problemas de ingeniera. Los nue-voslineamientos del captulo
proporcionan a los estudiantes una visinprevia de los temas que ste
incluye.Lecciones en el captulo. El cuerpo del texto est dividido
enunidades, cada una de las cuales consiste en una o ms secciones
deteora, uno o varios problemas resueltos, y una gran cantidad de
pro-blemasde tarea. Cada unidad corresponde a un tema bien
definidoque, por lo general, puede ser cubierto en una leccin. Sin
embargo,en ciertos casos el profesor encontrar que es deseable
dedicar ms deuna leccin a un tema en particular.Problemas
resueltos. Los problemas resueltos se plantean demanera muy similar
a la que usarn los estudiantes cuando resuelvanlos problemas que se
les asignen. Por tanto, estos problemas cumplenel doble propsito de
ampliar el texto y demostrar la forma de trabajoclara y ordenada
que los estudiantes deben cultivar en sus propias
so-luciones.Resolucin de problemas en forma independiente. Entre
losproblemas resueltos y los de tarea, cada leccin incluye una
seccin ti-tuladaResolucin de problemas en forma independiente. El
propsitode estas secciones es ayudar a los estudiantes a organizar
mentalmen-tela teora ya cubierta en el texto y los mtodos de
resolucin de losproblemas resueltos, de manera que puedan resolver
con mayor xitolos problemas de tarea. Adems, en estas secciones
tambin se inclu-yensugerencias y estrategias especficas que les
permitirn enfrentarde manera ms eficiente cualquier problema
asignado.Series de problemas de tarea. La mayora de los
problemasson de naturaleza prctica y deben llamar la atencin del
estudiante deingeniera. Sin embargo, estn diseados para ilustrar el
material presen-tadoen el texto y ayudar a los estudiantes a
comprender los principios dela mecnica. Los problemas se han
agrupado de acuerdo con las partesdel material que ilustran y se
presentan en orden de dificultad creciente.Los problemas que
requieren atencin especial estn sealados median-teasteriscos. Al
final del texto se proporcionan las respuestas correspon-dientesa
70 por ciento de los problemas propuestos; y aquellos paralos
cuales no se da respuesta se indican en el libro escribiendo su
n-meroen cursivas.Repaso y resumen del captulo. Cada captulo
finaliza con unrepaso y un resumen del material cubierto en el
mismo. Las notas almargen se utilizan para ayudar al estudiante a
organizar su trabajo derevisin, adems se han incluido referencias
cruzadas para ayudarlos aencontrar las partes de material que
requieren atencin especial.Problemas de repaso. Al final de cada
captulo se incluye ungrupo de problemas de repaso. Estos problemas
proporcionan a los es-tudiantesuna oportunidad adicional de aplicar
los conceptos ms im-portantespresentados en el captulo.xviii
Prefacio
- 18. Problemas de computadora. Cada captulo incluye un grupo
Prefacio xixde problemas diseados para ser resueltos mediante
programas decomputadora. Muchos de estos problemas son importantes
para el pro-cesode diseo. Por ejemplo, pueden involucrar la
determinacin delmovimiento de una partcula bajo condiciones
iniciales, el anlisis ci-nemticoo cintico de mecanismos en
posiciones sucesivas, o la inte-gracinnumrica de diferentes
ecuaciones de movimiento. El desarro-llodel algoritmo requerido
para resolver un problema de mecnicadado beneficiar a los
estudiantes en dos formas diferentes: 1) les ayu-dara lograr una
mejor comprensin de los principios de la mecnicainvolucrados; 2)
les proporcionar la oportunidad de aplicar sus habi-lidadescon la
computadora a la resolucin de un problema relevantede
ingeniera.MATERIALES DE APOYOEsta obra cuenta con interesantes
complementos que fortalecen losprocesos de enseanza-aprendizaje, as
como la evaluacin de los mis-mos,los cuales se otorgan a profesores
que adoptan este texto para suscursos. Para obtener ms informacin y
conocer la poltica de entregade estos materiales, contacte a su
representante McGraw-Hill o enveun correo electrnico a
marketinghe@mcgraw-hill.com.CONEXIN CON LA INGENIERA DE
MCGRAW-HILLLa Conexin de McGraw-Hill con la Ingeniera
(McGraw-HillConnect Engineering) es una plataforma de tareas y
evaluacin queproporciona a los estudiantes los medios para
conectarse de mejormanera con su curso, sus profesores y los
conceptos importantes quenecesitarn conocer para su xito en la
actualidad y en el futuro.Mediante la Conexin con la Ingeniera, los
profesores puedenentregar con facilidad tareas, tests y exmenes en
lnea. Losestudiantes pueden practicar habilidades importantes a su
propioritmo y de acuerdo con su propio programa.La Conexin con la
Ingeniera de Mecnica vectorial para inge-nierosest disponible en
www.mhhe.com/beerjohnston e incluyeproblemas algortmicos del texto,
presentaciones en PowerPoint, unbanco de imgenes y
animaciones.OPCIONES DE LIBRO ELECTRNICOLos libros electrnicos son
una forma innovadora de ahorrarle dineroa los estudiantes y al
mismo tiempo crear un medio ambiente msverde. Un libro electrnico
puede ahorrarle a los estudiantes cerca dela mitad del costo de un
libro de texto tradicional y ofrece caracte-rsticasnicas como un
poderoso dispositivo de bsqueda, textoresaltado y la capacidad de
compartir notas con compaeros de claseque usan libros
electrnicos.McGraw-Hill ofrece dos opciones de libros electrnicos:
la com-prade un libro descargable de VitalSource o una suscripcin
al librode CourseSmart. Para conocer ms acerca de las opciones de
libroselectrnicos, contacte a su distribuidor McGraw-Hill o visite
los sitiosde manera directa en www.vitalsource.com y
www.coursesmart.com.
- 19. xx Prefacio AGRADECIMIENTOSLos autores desean agradecer de
manera especial a Dean Updike, deLehigh University, quien verific
completamente las soluciones y res-puestasde todos los problemas de
esta edicin, y despus prepar lassoluciones del Manual para el
instructor y de soluciones adicional altexto.Es un placer reconocer
el trabajo de Dennis Ormond de Fine LineIllustrations por las
artsticas ilustraciones que contribuyen en granmedida a la
efectividad del texto.Los autores agradecen a las diferentes
empresas que proporcionaronfotografas para esta edicin. Tambin
desean reconocer el esfuerzo de-terminadoy la paciencia de Sabina
Dowell, quien seleccion las fotogra-fas.Un agradecimiento adicional
para los miembros de la organizacinMcGraw-Hill por su apoyo y
dedicacin en preparar esta nueva edicin.Por ltimo, los autores
expresan su gratitud por los numerosos co-mentariosy sugerencias
proporcionados por los usuarios de las edicionesanteriores de
Mecnica vectorial para ingenieros.E. Russell Johnston, Jr.Phillip
J. Cornwell
- 20. xxiLista de smbolosa, a Aceleracina Constante; radio;
distancia; eje semimayor de la elipsea, a Aceleracin del centro de
masaaBA Aceleracin de B relativa al sistema de referencia en
traslacin con AaP Aceleracin de P relativa al sistema de referencia
en rotacin ac Aceleracin de CoriolisA, B, C, . . . Reacciones en
soportes y conexionesA, B, C, . . . PuntosA reab Ancho; distancia;
eje semimenor de la elipsec Constante; coeficiente de
amortiguamiento viscosoC Centroide; centro instantneo de rotacin;
capacitanciad Distanciaen, et Vectores unitarios a lo largo de la
normal y la tangenteer, e Vectores unitarios en las direcciones
radial y transversale Coeficiente de restitucin; base de los
logaritmos naturalesE Energa mecnica total; voltajef Funcin
escalarff Frecuencia de vibracin forzadafn Frecuencia naturalF
Fuerza; fuerza de friccing Aceleracin de la gravedadG Centro de
gravedad; centro de masa; constante de gravitacinh Momento angular
por masa unitariaHO Momento angular alrededor del punto OHG Razn de
cambio de la cantidad de movimiento angular HG con respecto a
unsistema de referencia de orientacin fija(HG)Gxyz Razn de cambio
de la cantidad de movimiento angular HG con respecto a unsistema de
referencia en rotacin Gxyzi, j, k Vectores unitarios a lo largo de
los ejes de coordenadasi CorrienteI, Ix, . . . Momentos de inerciaI
Momento centroidal de inerciaIxy, . . . Productos de inerciaJ
Momento polar de inerciak Constante de resortekx, ky, kO Radio de
girok Radio de giro centroidall LongitudL Cantidad de movimiento
linealL Longitud; inductanciam Masam Masa por unidad de longitudM
Par; momentoMO Momento alrededor del punto OMRO Momento resultante
alrededor del punto OM Magnitud de par o momento; masa de la
TierraMOL Momento alrededor del eje OLn Direccin normal
- 21. N Componente normal de la reaccinO Origen de coordenadasP
Fuerza; vectorPRazn de cambio del vector P con respecto a un
sistema de referencia deorientacin fijaq Razn de flujo de masa;
carga elctricaQ Fuerza; vectorQRazn de cambio del vector Q con
respecto a un sistema de referencia deorientacin fija(Q)Oxyz Razn
de cambio del vector Q con respecto al sistema de referencia Oxyzr
Vector de posicinrBA Vector de posicin de B relativo a Ar Radio;
distancia; coordenada polarR Fuerza resultante; vector resultante;
reaccinR Radio de la Tierra; resistencias Vector de posicins
Longitud de arcot Tiempo; espesor; direccin tangencialT FuerzaT
Tensin; energa cinticau Velocidadu VariableU Trabajov, v Velocidadv
Rapidezv, v Velocidad del centro de masavBA Velocidad de B relativa
al sistema de transferencia en traslacin con AvP Velocidad de P
relativa al sistema de referencia en rotacin V Producto vectorialV
Volumen; energa potencialw Carga por unidad de longitudW, W Peso;
cargax, y, z Coordenadas rectangulares; distanciasx, y, z Derivadas
temporales de las coordenadas x, y, zx, y, z Coordenadas
rectangulares del centroide, centro de gravedad o centro de
masa,Aceleracin angular, ,ngulos Peso especfico Elongacin
Excentricidad de seccin cnica o de rbita Vector unitario a lo largo
de una lnea Eficiencia Coordenada angular; ngulo euleriano; ngulo;
coordenada polar Coeficiente de friccinDensidad; radio de curvatura
Periodon Periodo de vibracin libre
- 22. ngulo de friccin; ngulo euleriano; ngulo de fase;
nguloDiferencia de fase ngulo euleriano,Velocidad angularf
Frecuencia circular de vibracin forzadan Frecuencia circular
natural Velocidad angular del sistema de referenciaxxii Lista de
smbolos
- 23. El movimiento del transbordador espacialse describe en
trminos de su posicin,velocidad y aceleracin. Al aterrizar,el
piloto debe considerar la velocidaddel viento y el movimiento
relativo deltransbordador con respecto al viento. Elestudio del
movimiento se conoce comocinemtica y es el objeto de estudio en
estecaptulo.600
- 24. CAPTULO11Cinemtica de partculas601
- 25. 60211.1. INTRODUCCIN A LA DINMICALos captulos 1 al 10 se
dedicaron a la esttica, esto es, al anlisis de loscuerpos en
reposo. Ahora se inicia el estudio de la dinmica, parte de
lamecnica que se refiere al anlisis de los cuerpos en movimiento.En
tanto que el estudio de la esttica se remonta al tiempo de
losfilsofos griegos, la primera contribucin importante a la dinmica
larealiz Galileo (1564-1642). Los experimentos de Galileo en
cuerposuniformemente acelerados llevaron a Newton (1642-1727) a
formular susleyes de movimiento fundamentales.La dinmica incluye:1.
La cinemtica, la cual corresponde al estudio de la geometradel
movimiento. Se utiliza para relacionar el desplazamiento,la
velocidad, la aceleracin y el tiempo, sin hacer referencia ala
causa del movimiento.2. La cintica, que es el estudio de la relacin
que existe entrelas fuerzas que actan sobre un cuerpo, su masa y el
movi-mientode este mismo. La cintica se utiliza para predecir
elmovimiento ocasionado por fuerzas dadas, o para determinarlas
fuerzas que se requieren para producir un movimiento es-pecfico.Los
captulos 11 al 14 abordan la dinmica de partculas; en el ca-ptulo11
se considera la cinemtica de partculas. El uso de la
pala-brapartculas no significa que el estudio se restringir a
pequeoscorpsculos, sino que en estos primeros captulos el
movimiento decuerpos posiblemente tan grandes como automviles,
cohetes oaviones ser considerado sin tomar en cuenta su tamao. Al
afirmarque los cuerpos se analizan como partculas, se entiende que
slo se vaa considerar su movimiento como una unidad completa, y se
ignoracualquier rotacin alrededor de su propio centro de masa. Sin
embar-go,hay casos en los que dicha rotacin no es despreciable;
entonces nopueden considerarse como partculas. Este tipo de
movimiento se ana-lizaen los captulos finales, en los que se trata
la dinmica de cuerposrgidos.En la primera parte del captulo 11 se
estudia el movimientorectilneo de una partcula; esto es, se
determina la posicin, velocidady aceleracin de una partcula en todo
instante conforme sta se muevea lo largo de una lnea recta.
Primero, se emplean mtodos generalesde anlisis para estudiar el
movimiento de una partcula; despus seconsideran dos casos
particulares importantes, a saber, el movimientouniforme y el
movimiento uniformemente acelerado de una partcula(secciones 11.4 y
11.5). En la seccin 11.6, se aborda el movimientosimultneo de
varias partculas, y se presenta el concepto de movi-mientorelativo
de una partcula con respecto a otra. La primera partede este
captulo concluye con un estudio de mtodos grficos de anli-sisy su
aplicacin en la solucin de diversos problemas que implican
elmovimiento rectilneo de partculas (secciones 11.7 y 11.8).En la
segunda parte de este captulo se analiza el movimiento deuna
partcula cuando sta se mueve a lo largo de una trayectoriacurva.
Puesto que la posicin, velocidad y aceleracin de una par-tculase
definen como cantidades vectoriales, el concepto de la deri-vadade
una funcin vectorial se presenta en la seccin 11.10 y seaade a las
herramientas matemticas. Despus se estudian las apli-CAPTULO 11
CINEMTICADE PARTCULAS11.1 Introduccin a la dinmica11.2 Posicin,
velocidad y aceleracin11.3 Determinacin del movimientode una
partcula11.4 Movimiento rectilneo uniforme11.5 Movimiento
rectilneouniformemente acelerado11.6 Movimiento de varias
partculas11.7 Solucin grfica de problemasde movimiento
rectilneo11.8 Otros mtodos grficos11.9 Vector de posicin,
velocidady aceleracin11.10 Derivadas de funcionesvectoriales11.11
Componentes rectangulares de lavelocidad y la aceleracin11.12
Movimiento relativo a un sistemade referencia en traslacin11.13
Componentes tangencialy normal11.14 Componentes radial y
transversal
- 26. caciones en las que el movimiento de una partcula se define
median- 11.2. Posicin, velocidad y aceleracin 603te las componentes
rectangulares de su velocidad y aceleracin; eneste punto se analiza
el movimiento de un proyectil (seccin 11.11).En la seccin 11.12 se
estudia el movimiento de una partcula enrelacin con el sistema de
referencia en traslacin. Por ltimo, se ana-lizael movimiento
curvilneo de una partcula en trminos de com-ponentesque no sean las
rectangulares. Las componentes tangencialy normal de la velocidad y
la aceleracin de una partcula se presen-tanen la seccin 11.13 y las
componentes radial y transversal de suvelocidad y aceleracin en la
seccin 11.14.MOVIMIENTO RECTILNEO DE PARTCULAS11.2. POSICIN,
VELOCIDAD Y ACELERACINUna partcula que se mueve a lo largo de una
lnea recta se dice quese encuentra en movimiento rectilneo. En
cualquier instante dado t,la partcula ocupar cierta posicin sobre
la lnea recta. Para definir laposicin P de la partcula se elige un
origen fijo O sobre la direccinpositiva a lo largo de la lnea. Se
mide la distancia x desde O hasta P,y se marca con un signo ms o
menos, dependiendo de si P se alcanzadesde O al moverse a lo largo
de la lnea en la direccin positiva o enla negativa,
respectivamente. La distancia x, con el signo apropiado, de-finepor
completo la posicin de la partcula, y se denomina como lacoordenada
de la posicin de la partcula. Por ejemplo, la coordenadade la
posicin correspondiente a P en la figura 11.1a) es x5 m;
lacoordenada correspondiente a P en la figura 11.1b) es x2 m.Cuando
se conoce la coordenada de la posicin x de una partculapara
cualquier valor de tiempo t, se afirma que se conoce el
movi-mientode la partcula. El itinerario del movimiento puede
expresar-seen forma de una ecuacin en x y t, tal como x6t2t3, o en
unagrfica de x en funcin de t, como se indica en la figura 11.6.
Las uni-dadesque se usan con mayor frecuencia para medir la
coordenada dela posicin x son el metro (m) en el sistema de
unidades SI y el pie (ft)en el sistema de unidades ingls. El tiempo
t suele medirse en segun-dos(s).Considere la posicin P ocupada por
la partcula en el tiempo t yla coordenada correspondiente x (figura
11.2). Considere tambin laposicin P ocupada por la partcula en un
tiempo posterior t t; lacoordenada de la posicin P puede obtenerse
sumando a la coorde-nadax de P el pequeo desplazamiento x, el cual
ser positivo onegativo segn si P est a la derecha o a la izquierda
de P. La veloci-dadpromedio de la partcula sobre el intervalo de
tiempo t se defi-necomo el cociente entre el desplazamiento x y el
intervalo detiempo t:Velocidad promedio x tCf. Seccin 1.3.Figura
11.1Figura 11.2OOPxxa)b)1 mPxx1 mOPxP'x(t) (t + t) xFotografa 11.1
El movimiento de este vehculosolar se describe mediante su posicin,
velocidady aceleracin.
- 27. 604 Cinemtica de partculas Si se usan unidades del SI, x se
expresa en metros y t en segundos,la velocidad promedio se expresa
consecuentemente en metros porsegundo (m/s). Si se recurre a las
unidades de uso comn en EstadosUnidos, x se expresa en pies y t en
segundos; la velocidad promediose expresar entonces en pies por
segundo (ft/s).La velocidad instantnea v de la partcula en el
instante t se obtie-nede la velocidad promedio al elegir intervalos
t y desplazamientosx cada vez ms cortos:Velocidad
instantneavlmty0La velocidad instantnea se expresa tambin en m/s o
ft/s. Observandoque el lmite del cociente es igual, por definicin,
a la derivada de x conrespecto a t, se escribev(11.1)La velocidad v
se representa mediante un nmero algebraico quepuede ser positivo o
negativo. Un valor positivo de v indica que xaumenta, esto es, que
la partcula se mueve en la direccin positiva(figura 11.3a); un
valor negativo de v indica que x disminuye, es decir,que la
partcula se mueve en direccin negativa (figura 11.3b). La
mag-nitudde v se conoce como la rapidez de la partcula.Considere la
velocidad v de la partcula en el tiempo t y tambinsu velocidad vv
en un tiempo posterior tt (figura 11.4). Laaceleracin promedio de
la partcula sobre el intervalo de tiempo t serefiere como el
cociente de v y t:Aceleracin promedio Si se utilizan las unidades
del SI, v se expresa en m/s y t en segun-dos;la aceleracin promedio
se expresar entonces en m/s2. Si serecurre a las unidades de uso
comn en Estados Unidos, v se expre-saen ft/s y t en segundos; la
aceleracin promedio se expresa enton-cesen ft/s2.La aceleracin
instantnea a de la partcula en el instante t seobtiene de la
aceleracin promedio al escoger valores de t y v cadavez ms
pequeos:Aceleracin instantneaalmty0v tv tdxdtx tFigura 11.3P P' v +
vFigura 11.4Como se ver en la seccin 11.9, la velocidad es en
realidad una cantidad vectorial. Sinembargo, puesto que aqu se
considera el movimiento rectilneo de una partcula, en elcual la
velocidad de la misma tiene una direccin conocida y fija, slo es
necesario espe-cificarel sentido y la magnitud de la velocidad;
esto puede llevarse a cabo de manera con-venienteutilizando una
cantidad escalar con un signo ms o menos. Lo mismo se cumplepara la
aceleracin de una partcula en movimiento rectilneo.a)Pb)Pxxv0v0(t)
(t + t)xv
- 28. La aceleracin instantnea se expresa tambin en m/s2 o ft/s2.
El lmi- 11.2. Posicin, velocidad y aceleracin 605te del cociente,
el cual es por definicin la derivada de v con respectoa t, mide la
razn de cambio de la velocidad. Se escribedvdta(11.2)o, con la
sustitucin de v de (11.1),d2xdt2a(11.3)La aceleracin a se
representa mediante un nmero algebraico quepuede ser positivo o
negativo. Un valor positivo de a indica que lavelocidad (es decir,
el nmero algebraico v) aumenta. Esto puedesignificar que la
partcula se est moviendo ms rpido en la direc-cinpositiva (figura
11.5a) o que se mueve ms lentamente en ladireccin negativa (figura
11.5b); en ambos casos, v es positiva. Unvalor negativo de a indica
que disminuye la velocidad; ya sea que lapartcula se est moviendo
ms lentamente en la direccin positiva(figura 11.5c) o que se est
moviendo ms rpido en la direccinnegativa (figura 11.5d).Figura
11.5El trmino desaceleracin se utiliza en algunas ocasiones para
re-ferirsea a cuando la rapidez de la partcula (esto es, la
magnitud dev) disminuye; la partcula se mueve entonces con mayor
lentitud. Porejemplo, la partcula de la figura 11.5 se desacelera
en las partes b yc; en verdad se acelera (es decir, se mueve ms
rpido) en las partesa y d.Es posible obtener otra expresin para la
aceleracin eliminando ladiferencial dt en las ecuaciones (11.1) y
(11.2). Al resolver (11.1) paradt, se obtiene dtdxv; al sustituir
en (11.2), se escribedvdxav (11.4)Vase la nota al pie, pgina
604.vPxP'v'a0a)xvP' Pv'a0b)xvP P'v'a0c)xvP' Pv'a0d)
- 29. 606 Cinemtica de partculas Ejemplo. Considere la partcula
que se mueve en una lnea rectay suponga que su posicin est definida
por la ecuacinx6t2t3donde t se expresa en segundos y x en metros.
La velocidad de v encualquier tiempo t se obtiene al diferenciar x
con respecto a tdx dtv 12t3t2La aceleracin a se obtiene al
diferenciar otra vez con respecto a t:dv dta 126tLa coordenada de
la posicin, la velocidad y la aceleracin se hangraficado contra t
en la figura 11.6. Las curvas obtenidas se cono-cencomo curvas de
movimiento. Recurdese, sin embargo, que lapartcula no se mueve a lo
largo de ninguna de estas curvas; la par-tculase mueve en una lnea
recta. Puesto que la derivada de unafuncin mide la pendiente de la
curva correspondiente, la pendientede la curva x-t en cualquier
tiempo dado es igual al valor de v enese tiempo y la pendiente de
la curva v-t es igual al valor de a. Puestoque a0 en t2 s, la
pendiente de la curva v-t debe ser cero ent2 s; la velocidad
alcanza un mximo en este instante. Adems,puesto que v0 en t0 y t4 s
la tangente a la curva x-t debeser horizontal para ambos de estos
valores de t.Un estudio de las tres curvas de movimiento de la
figura 11.6muestra que el movimiento de la partcula desde t0 hasta
t puede dividirse en cuatro etapas:1. La partcula inicia desde el
origen, x0, sin velocidad perocon una aceleracin positiva. Bajo
esta aceleracin, gana unavelocidad positiva y se mueve en la
direccin positiva. De t 0 a t2 s, x, v y a son todas positivas.2.
En t2 s, la aceleracin es cero; la velocidad ha alcanzadosu valor
mximo. De t2 s a t4 s, v es positiva, pero a esnegativa. La
partcula an se mueve en direccin positiva, perocada vez ms
lentamente; la partcula se est desacelerando.3. En t4 s, la
velocidad es cero; la coordenada de la posicinx ha alcanzado su
valor mximo. A partir de ah, tanto v comoa son negativas; la
partcula se est acelerando y se mueve enla direccin negativa con
rapidez creciente.4. En t6 s, la partcula pasa por el origen; su
coordenada x esen ese caso cero, en tanto que la distancia total
recorrida desdeel principio del movimiento es de 64 m. Para valores
mayoresde t que 6 s, x, v y a sern todas negativas. La partcula
con-tinamovindose en la direccin negativa, alejndose de O,cada vez
ms rpido. x(m)v(m/s)2436Figura 11.6t (s)t (s)t
(s)3224168012224466012a(m/s2)12012242 4 6
- 30. 11.3. Determinacin del movimiento 607de una partcula 11.3.
DETERMINACIN DEL MOVIMIENTODE UNA PARTCULAEn la seccin anterior se
afirma que el movimiento de una partculaes conocido si se sabe la
posicin de la partcula para todo valor deltiempo t. En la prctica,
sin embargo, un movimiento rara vez se de-finepor medio de una
relacin entre x y t. Con mayor frecuencia, lascondiciones del
movimiento se especificarn por el tipo de acelera-cinque posee la
partcula. Por ejemplo, un cuerpo en cada libretendr una aceleracin
constante, dirigida hacia abajo e igual a 9.81m/s2, o 32.2 ft/s2;
una masa unida a un resorte que se ha estirado ten-druna aceleracin
proporcional a la elongacin instantnea delresorte, medida desde la
posicin de equilibrio, etc. En general, laaceleracin de la partcula
puede expresarse como una funcin deuna o ms de las variables x, v y
t. Para determinar la coordenada dela posicin x en trminos de t,
ser necesario efectuar dos integracio-nessucesivas.Se considerarn
tres clases comunes de movimiento:1. af(t). La aceleracin es una
funcin dada de t. Al resolver(11.2) para dv y sustituir f(t) por a,
se escribedva dtdvf(t) dtAl integrar ambos miembros, se obtiene la
ecuacin dv f(t) dtque define v en trminos de t. Sin embargo, debe
notarseque una constante arbitraria se introducir como resultadode
la integracin. Esto se debe al hecho de que hay muchosmovimientos
que corresponden a la aceleracin dada a f(t). Para definir en forma
nica el movimiento de la partcu-la,es necesario especificar las
condiciones iniciales del movi-miento,esto es, el valor de v0 de la
velocidad y el valor x0 dela coordenada de la posicin en t0. Al
sustituir las inte-gralesindefinidas por integrales definidas con
los lmitesinferiores correspondientes a las condiciones iniciales
t0 yvv0 y los lmites superiores correspondientes a tt y v v, se
escribevv0dvt0f(t) dtvv0t0f(t) dtlo cual produce v en trminos de
t.La ecuacin (11.1) puede resolverse ahora para dx,dxv dty la
expresin que se acaba de obtener sea sustituida por v.Ambos
miembros se integran despus, el miembro izquierdocon respecto a x
desde xx0 hasta xx, y el miembro de-bee76985_
- 31. 608 Cinemtica de partculas recho respecto a t desde t0
hasta tt. La coordenada dela posicin x se obtiene de ese modo en
trminos de t; el mo-vimientoest completamente determinado.Dos casos
particulares importantes se estudiarn con grandetalle en las
secciones 11.4 y 11.5: el caso en el que a0,que corresponde a un
movimiento uniforme, y en el que a constante, que corresponde a un
movimiento uniformementeacelerado.2. af(x). La aceleracin se da en
funcin de x. Al reordenar laecuacin (11.4) y sustituir f(x) para a,
se escribev dva dxv dvf(x) dxPuesto que cada miembro contiene slo
una variable, se puedeintegrar la ecuacin. Denotando de nuevo
mediante v0 y x0,respectivamente, los valores iniciales de la
velocidad y la co-ordenadade la posicin, se obtienevv0v dvxx0f(x)
dx12v212v20 xx0f(x) dxla cual produce v en trminos de x. A
continuacin se resuel-ve(11.1) para dt,dt dxvy se sustituye por v
la expresin que acaba de obtenerse. Ambosmiembros pueden integrarse
entonces para obtener la relacindeseada entre x y t. Sin embargo,
en muchos casos esta ltimaintegracin no puede llevarse a cabo de
manera analtica y deberecurrirse a un mtodo de integracin
numrico.3. af(v). La aceleracin es una funcin dada de v. Es
posiblesustituir f(v) por a en (11.2) u (11.4) para obtener
cualquierade las relaciones siguientes:ddf(v)vt ddf(v)vvx d(vdtfv)
dx vdv)f(vLa integracin de la primera ecuacin producir una
rela-cinentre v y t; la integracin de la segunda ecuacin
ori-ginaruna relacin entre v y x. Cualquiera de estas
relacionespuede utilizarse junto con la ecuacin (11.1) para
obtenerla relacin entre x y t que caracteriza el movimiento de
lapartcula.
- 32. PROBLEMA RESUELTO 11.1La posicin de una partcula que se
mueve a lo largo de una lnea recta estdefinida por la relacin
xt36t215t40, donde x se expresa en piesy t en segundos. Determine
a) el tiempo al cual la velocidad ser cero, b) laposicin y la
distancia recorrida por la partcula en ese tiempo, c) la
acelera-cinde la partcula en ese tiempo, d) la distancia recorrida
por la partculadesde t4 s hasta t6 s.SOLUCINLas ecuaciones de
movimiento sonxt36t215t40 (1)vddxt3t2 12t15 (2)ddavt6t12 (3)a)
Tiempo en el cual v0. Se fija v0 en (2):3t212t150 t1 s y t5 sSlo la
raz t5 s corresponde a un tiempo despus de que el movimientose ha
iniciado: para t5 s, v0, la partcula se mueve en direccin
nega-tiva;para t 5 s, v 0, la partcula se mueve en direccin
positiva.b) Posicin y distancia recorrida cuando v0. Al sustituir t
5 s en (1), se tienex5(5)36(5)215(5)40 x560 ftLa posicin inicial en
t0 fue x040 ft. Puesto que v 0 durante el in-tervalot0 a t5 s se
tieneDistancia recorridax5x060 ft40 ft100 ftDistancia recorrida100
ft en la direccin negativac) Aceleracin cuando v0. Se sustituye t5
s en (3):a56(5)12 a518 ft/s2d) Distancia recorrida desde t4 s hasta
t6 s. La partcula semueve en la direccin negativa desde t4 s hasta
t5 s y en direccinpositiva desde t5 s hasta t6 s; por lo tanto, la
distancia recorrida du-rantecada uno de estos intervalos de tiempo
se calcular por separado.De t4 s a t5 s: x560
ftx4(4)36(4)215(4)4052 ftDistancia recorridax5x460 ft(52 ft)8 ft 8
ft en la direccin negativaDe t5 s a t6 s: x560
ftx6(6)36(6)215(6)4050 ftDistancia recorridax6x550 ft(60 ft)10 ft
10 ft en la direccin positivaLa distancia total recorrida desde t4
s hasta t6 s es de 8 ft10 ft 18 ft609x (ft)40060v(ft/s)t (s)t (s)t
(s)0a(ft/s2)180+5+5+2 +5
- 33. PROBLEMA RESUELTO 11.2Una pelota se lanza con una velocidad
de 10 m/s dirigida verticalmente haciaarriba desde una ventana
ubicada a 20 m sobre el suelo. Si se sabe que la ace-leracinde la
pelota es constante e igual a 9.81 m/s2 hacia abajo, determinea) la
velocidad v y la elevacin y de la pelota sobre el suelo en
cualquier tiem-pot, b) la elevacin ms alta que alcanza la pelota y
el valor correspondientede t, c) el tiempo en el que la pelota
golpea el suelo y la velocidad corres-pondiente.Dibuje las curvas
v-t y y-t.SOLUCINa) Velocidad y elevacin. El eje y que mide la
coordenada de la po-sicin(o elevacin) se elige con su origen O
sobre el suelo y su sentido po-sitivohacia arriba. El valor de la
aceleracin y los valores iniciales de v y yson como se indica. Al
sustituir a en advdt y observar que en t0, v0 10 m/s, se
tieneddvta9.81 m/s2vv010dvt09.81 dt[v]v10[9.81t]t0v109.81tv109.81t
(1)Al sustituir v en vdydt y observar que en t0, y020 m, se
tieneddytv109.81tyy020dyt0(109.81t)
dt[y]y20[10t4.905t2]t0y2010t4.905t2y2010t4.905t2 (2)b) Mxima
elevacin. Cuando la pelota alcanza su mxima eleva-cin,se tiene v0.
Al sustituir en (1), se obtiene109.81t0 t1.019 sAl sustituir t1.019
s en (2), se tieney2010(1.019)4.905(1.019)2 y25.1 mc) La pelota
golpea el suelo. Cuando la pelota golpea el suelo, setiene y0. Al
sustituir en (2), se obtiene2010t4.905t20 t1.243 s y t3.28 sSlo la
raz t3.28 s corresponde a un tiempo despus de que el movi-mientose
ha iniciado. Al considerar este valor de t en (1), se
tienev109.81(3.28)22.2 m/s v22.2 m/sw610yOv0 = +10 m/sa = 9.81
m/s2y0 = +20 mv(m/s)Curva
velocidad-tiempot(s)0y(m)3.283.2822.225.11.019Curvaposicin-tiempo1.01910200t(s)Pendiente
= a = 9.81 m/s2Pendiente = v0 = 10 m /sPendiente = v = 22.2 m
/s
- 34. PROBLEMA RESUELTO 11.3El mecanismo de freno que se usa para
reducir el retroceso en ciertos tiposde caones consiste
esencialmente en un mbolo unido a un can que semueve en un cilindro
fijo lleno de aceite. Cuando el can retrocede con unavelocidad
inicial v0, el mbolo se mueve y el aceite es forzado a travs de
losorificios en el mbolo, provocando que este ltimo y el can se
desacelerena una razn proporcional a su velocidad; esto es, akv.
Exprese a) v entrminos de t, b) x en trminos de t, c) v en trminos
de x. Dibuje las curvasdel movimiento correspondiente.SOLUCINa) v
trminos de t. Al sustituir kv por a en la expresin fundamen-talque
define a la aceleracin, advdt, se escribeddkvvtdv vk dt vv0dvvk
t0dtv0ln kt vv0ektvb) x en trminos de t. Al sustituir la expresin
que acaba de obte-nersepara v en vdxdt, se escribeddv0ektxtx0dxv0
t0ekt dtvkx0[ekt]tvk00(ekt1)vkx0(1ekt)c) v en trminos de x.
Mediante la sustitucin kv para a en avdv/dx, se escribeddkvvvx dvk
dxvv0dvk x0dxvv0kx vv0kxComprobacin. La parte c) podra haberse
resuelto al eliminar t delas respuestas obtenidas para las partes
a) y b). Este mtodo alternativo puedeutilizarse como una
comprobacin. De la parte a) se obtiene ektvv0; alsustituir en la
respuesta de la parte b), se obtienevvx(1ekt)1 vv0kx
(comprobacin)0v0kv0k611mboloAceitevv0O txv0kO tvv0v0kO x
- 35. RESOLUCIN DE PROBLEMASEN FORMA INDEPENDIENTEEn los
problemas de esta leccin se pide determinar la posicin, la
velocidad o laaceleracin de una partcula en movimiento rectilneo.
En cada problema, es impor-tanteidentificar tanto la variable
independiente (por lo comn t o x) y qu es lo quese pide (por
ejemplo, la necesidad de expresar v como una funcin de x). Se
reco-miendaempezar cada problema escribiendo tanto la informacin
dada como un enun-ciadosimple de lo que se va a determinar.1.
Obtencin de v(t) y a(t) para una x(t) dada. Como se explic en la
seccin11.2, la primera y segunda derivadas de x con respecto a t
son respectivamente igua-lesa la velocidad y a la aceleracin de la
partcula [ecuaciones (11.1) y (11.2)]. Si lavelocidad y la
aceleracin tienen signos opuestos, la partcula puede llegar al
reposoy despus moverse en la direccin opuesta [problema resuelto
11.1]. As, cuando secalcula la distancia total recorrida por una
partcula, se debe determinar primero sila partcula lleg al reposo
durante el intervalo de tiempo especificado. Al construirun
diagrama similar al del problema resuelto 11.1 que muestra la
posicin y la velo-cidadde la partcula y cada instante crtico (vvmx,
v0, etc.), se contar conuna ayuda para visualizar el movimiento.2.
Obtencin de v(t) y x(t) para una a(t) dada. La solucin de problemas
deeste tipo se analiz en la primera parte de la seccin 11.3. Se
recurre a las condicio-nesiniciales, t0 y vv0, como los lmites
inferiores de las integrales en t y v,pero es posible utilizar
cualquier otro estado conocido (por ejemplo, tt1, vv1).Adems, si la
funcin a(t) contiene una constante desconocida (por ejemplo, la
cons-tantek si akt), primero se debe determinar la constante al
sustituir un conjuntode valores conocidos de t y a en la ecuacin
que define a a(t).3. Obtencin de v(x) y x(t) para una a(x) dada.
ste es el segundo caso con-sideradoen la seccin 11.3. Los lmites
inferiores de integracin pueden ser los decualquier estado conocido
(por ejemplo, xx1, vv1). Adems, puesto que v vmx cuando a0, las
posiciones donde ocurren los valores mximos de la veloci-dadse
determinan con facilidad al escribir a(x)0 y al resolver para x.4.
Obtencin de v(x), v(t) y x(t) para una a(v) dada. ste es el ltimo
casoque se abord en la seccin 11.3; las tcnicas de solucin
apropiadas para problemasde este tipo se ilustran en el problema
resuelto 11.3. Todos los comentarios genera-lescorrespondientes a
los casos anteriores tambin se aplican en esta situacin. Elproblema
resuelto 11.3 proporciona un resumen de cmo y cundo utilizar las
ecua-cionesvdxdt, advdt y av dvdx.612
- 36. 613Problemas11.1 El movimiento de una partcula est definido
por la relacinx1.5t4 30t25t10, donde x y t se expresan en metros y
segundos,respectivamente. Determine la posicin, la velocidad y la
aceleracin de lapartcula cuando t = 4 s.11.2 El movimiento de una
partcula est definido por la relacinx = 12t3 18t22t5, donde x y t
se expresan en metros y segundos, res-pectivamente.Determine la
posicin y la velocidad cuando la aceleracin dela partcula es igual
a cero.11.3 El movimiento de una partcula est definido por la
relacinx = 53t3 52t230t8x, donde x y t se expresan en pies y
segundos, res-pectivamente.Determine el tiempo, la posicin y la
aceleracin cuandov0.11.4 El movimiento de una partcula est definido
por la relacin x 6t2 840 cos t, donde x y t se expresan en pulgadas
y segundos, res-pectivamente.Determine la posicin, la velocidad y
la aceleracin de la par-tculacuando t6 s.11.5 El movimiento de una
partcula est definido por la relacinx6t4 2t3 12t23t3, donde x y t
se expresan en metros y segun-dos,respectivamente. Determine el
tiempo, la posicin y la velocidad cuandoa0.11.6 El movimiento de
una partcula est definido por la relacinx2t3 15t224t4, donde x se
expresa en metros y t en segundos.Determine a) cundo la velocidad
es cero, b) la posicin y la distancia totalviajada hasta ese
momento cuando la aceleracin es cero.11.7 El movimiento de una
partcula est definido por la relacinxt3 6t236t40, donde x y t se
expresan en pies y segundos, res-pectivamente.Determine a) cundo la
velocidad es cero, b) la velocidad, laaceleracin y la distancia
total viajada cuando x0.11.8 El movimiento de una partcula est
definido por la relacinxt3 9t224t8, donde x y t se expresan en
pulgadas y segundos, res-pectivamente.Determine a) cundo la
velocidad es cero, b) la posicin y ladistancia total recorrida
cuando la aceleracin es cero.11.9 La aceleracin de una partcula se
define mediante la relacina8 m/s2. Si se sabe que x20 m cuando t4 s
y x4 m cuandov16 m/s, determine a) el tiempo cuando la velocidad es
cero, b) la velo-cidady la distancia total recorrida cuando t11
s.Las respuestas a todos los problemas cuyo nmero est en tipo recto
(como en 11.1)se presentan al final del libro. No se dan las
respuestas a los problemas con nmeros enitlicas (como en
11.7).
- 37. 614 Cinemtica de partculas 11.10 La aceleracin de una
partcula es directamente proporcionalal cuadrado del tiempo t.
Cuando t0, la partcula est en x24 m. Sise sabe que en t6 s, x96 m y
v18 m/s, exprese x y v en trminosde t.11.11 La aceleracin de una
partcula es directamente proporcionalal tiempo t. Cuando t0, la
velocidad de la partcula es v16 in./s. Si sesabe que v15 in./s, y
que x20 in. cuando t1 s, determine la velo-cidad,la posicin y la
distancia total recorrida cuando t7 s.11.12 La aceleracin de una
partcula est definida por la relacinakt2. a) Si se sabe que v32
ft/s cuando t0 y que v32 ft/scuando t4 s, determine la constante k.
b) Escriba las ecuaciones de mo-vimiento,sabiendo tambin que x0
cuando t4 s.11.13 La aceleracin de una partcula se define mediante
la relacinaA 6t2, donde A es constante. En t0, la partcula inicia
en x8 mcon v0. Si se sabe que t1 s y v30 m/s, determine a) los
tiempos enlos que la velocidad es cero, b) la distancia total
recorrida por la partculacuando t5 s.11.14 Se sabe que desde t2 s
hasta t10 s, la aceleracin de unapartcula es inversamente
proporcional al cubo del tiempo t. Cuando t 2 s, v 15 m/s y cuando
t10 s, v0.36 m/s. Si se sabe que la partcu-laest dos veces ms lejos
del origen cuando t2 s que cuando t 10 s, determine a) la posicin
de la partcula cuando t2 s y cuandot10 s, b) la distancia total
recorrida por la partcula desde t2 s has-tat10 s.11.15 La
aceleracin de una partcula est definida por la relacinak/x. Se ha
determinado experimentalmente que v15 ft/s cuando x 0.6 ft y que v9
ft/s cuando x1.2 ft. Determine a) la velocidad de lapartcula cuando
x1.5 ft, b) la posicin de la partcula en la que su velo-cidades
cero.11.16 Una partcula que inicia desde el reposo en x1 ft se
acelerade forma que la magnitud de su velocidad se duplica entre x2
ft y x8 ft.Si se sabe que la aceleracin de la partcula est definida
por la relacinak[x (A/x)], determine los valores de las constantes
A y k si la partculatiene una velocidad de 29 ft/s cuando x16
ft.11.17 Una partcula oscila entre los puntos x40 mm y x160 mmcon
una aceleracin ak(100 x), donde a y x se expresan en mm/s2 y
mm,respectivamente, y k es una constante. La velocidad de la
partcula es de18 mm/s cuando x100 mm y es cero cuando x40 mm y
cuandox160 mm. Determine a) el valor de k, b) la velocidad cuando
x120 mm.11.18 Una partcula parte desde el reposo en el origen y
recibe unaaceleracin ak(x4)2, donde a y x se expresan en m/s2 y m,
respectiva-mente,y k es una constante. Si se sabe que la velocidad
de la partcula esde 4 m/s cuando x8 m, determine a) el valor de k,
b) la posicin de lapartcula cuando v4.5 m/s, c) la velocidad mxima
de la partcula.11.19 Una pieza de equipo electrnico que est rodeada
por materialde empaque se deja caer de manera que golpea el suelo
con una velocidadde 4 m/s. Despus del impacto, el equipo
experimenta una aceleracin deakx, donde k es una constante y x es
la compresin del material de em-paque.Si dicho material experimenta
una compresin mxima de 20 mm,vFigura P11.19 determine la aceleracin
mxima del equipo.
- 38. 11.20 Con base en observaciones experimentales, la
aceleracin deuna partcula est definida por la relacin a(0.1sen
x/b), donde a yx se expresan en m/s2 y metros, respectivamente. Si
se sabe que b0.8 my que v1 m/s cuando x0, determine a) la velocidad
de la partculacuando x1 m, b) la posicin de la partcula en la que
su velocidad esmxima, c) la velocidad mxima.11.21 A partir de x0,
sin velocidad inicial, la aceleracin de unapartcula est definida
por la relacin a0.8 v2 49, donde a y v seexpresan en m/s2 y m/s,
respectivamente. Determine a) la posicin de la par-tculacuando v24
m/s, b) la rapidez de la partcula cuando x40 m.11.22 La aceleracin
de una partcula est definida por la relacinakv, donde k es una
constante. Si se sabe que en t0, x0 yv81 m/s y que v36 m/s cuando
x18 m, determine a) la velocidadde la partcula cuando x20 m, b) el
tiempo requerido para que la partculaquede en reposo.11.23 La
aceleracin de una partcula se define mediante la relacina0.8v,
donde a se expresa en in./s2 y v en in./s. Si se sabe que cuandot0
la velocidad es de 40 in./s, determine a) la distancia que recorrer
lapartcula antes de quedar en reposo, b) el tiempo requerido para
que la par-tculaquede en reposo, c) el tiempo requerido para que la
velocidad de lapartcula se reduzca a 50 por ciento de su valor
inicial.11.24 Una bola de boliche se deja caer desde una lancha, de
maneraque golpea la superficie del lago con una rapidez de 25 ft/s.
Si se supone quela bola experimenta una aceleracin hacia abajo a10
0.9v2 cuando esten el agua, determine la velocidad de la bola
cuando golpea el fondo dellago.11.25 La aceleracin de una partcula
se define mediante la relacina0.4(1 kv), donde k es una constante.
Si se sabe que en t0 la partculaparte desde el reposo con x4 m, y
que cuando t15 s, v4 m/s,determine a) la constante k, b) la posicin
de la partcula cuando v6 m/s,c) la velocidad mxima de la
partcula.11.26 Una partcula se proyecta hacia la derecha desde la
posicinx0 con una velocidad inicial de 9 m/s. Si la aceleracin de
la partcula sedefine mediante la relacin a0.6v3/2, donde a y v se
expresan en m/s2y m/s, respectivamente, determine a) la distancia
que habr recorrido lapartcula cuando su velocidad sea de 4 m/s, b)
el tiempo cuando v1 m/s,c) el tiempo requerido para que la partcula
recorra 6 m.11.27 Con base en observaciones, la velocidad de un
atleta puedeaproximarse por medio de la relacin v7.5(10.04x)0.3,
donde v y x seexpresan en mi/h y millas, respectivamente. Si se
sabe que x0 cuandot0, determine a) la distancia que ha recorrido el
atleta cuando t1 h,b) la aceleracin del atleta en ft/s2 cuando t0,
c) el tiempo requerido paraque el atleta recorra 6 mi.11.28 Datos
experimentales indican que en una regin de la corrientede aire que
sale por una rejilla de ventilacin, la velocidad del aire
emitidoest definido por v0.18v0/x, donde v y x se expresan en m/s y
metros, res-pectivamente,y v0 es la velocidad de descarga inicial
del aire. Para v03.6m/s, determine a) la aceleracin del aire cuando
x2 m, b) el tiempo re-queridopara que el aire fluya de x1 a x3
m.Problemas 61530 ftFigura P11.24vFigura P11.27vxFigura P11.28
- 39. 616 Cinemtica de partculas 11.29 La aceleracin debida a la
gravedad a una altura y sobre la su-perficiede la Tierra puede
expresarse comoa 32.2[1(y20.9 106)]2donde a y y se expresan en
ft/s2 y pies, respectivamente. Utilice esta expresinpara calcular
la altura que alcanza un proyectil lanzado verticalmente
haciaarriba desde la superficie terrestre si su velocidad inicial
es a) 1 800 ft/s,b) 3 000 ft/s, c) 36 700 ft/s.11.30 La aceleracin
debida a la gravedad de una partcula que caehacia la Tierra es
agR2/r2, donde r es la distancia desde el centro dela Tierra a la
partcula, R es el radio terrestre y g es la aceleracin de la
gra-vedaden la superficie de la Tierra. Si R3 960 mi, calcule la
velocidad deescape, esto es, la velocidad mnima con la cual una
partcula debe proyec-tarsehacia arriba desde la superficie
terrestre para no regresar a la Tierra.(Sugerencia: v0 para
r.)11.31 La velocidad de una partcula es vv0[1 sen(t/T)]. Sise sabe
que la partcula parte desde el origen con una velocidad inicial
v0,determine a) su posicin y su aceleracin en t3T, b) su velocidad
promediodurante el intervalo de t0 a tT.11.32 La velocidad de una
corredera se define mediante la relacinvvsen(wnt
- 40. ). Si se denota la velocidad y la posicin de la correderaen
t0 con v0 y x0, respectivamente, y se sabe que el desplazamiento
m-ximode la corredera es 2x0, demuestre que a) v(v20 x202n)2x0n, b)
elvalor mximo de la velocidad ocurre cuando xx0[3(v0x0n)2]2.11.4.
MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEEl movimiento rectilneo uniforme es un
tipo de movimiento en lnearecta que a menudo se encuentra en las
aplicaciones prcticas. En estemovimiento, la aceleracin a de una
partcula es cero para todo valorde t. En consecuencia, la velocidad
v es constante, y la ecuacin (11.1)se transforma en
vconstantedxdtLa coordenada de posicin x se obtiene cuando se
integra esta ecua-cin.Al denotar mediante x0 el valor inicial de x,
se escribexx0dxv t0dtxx0vtxx0vt (11.5)Esta ecuacin puede utilizarse
slo si la velocidad de la partcula esconstante.PFigura P11.29Figura
P11.30yRPr
- 41. 11.5. MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTEACELERADOEl
movimiento rectilneo uniformemente acelerado es otro tipo comnde
movimiento. En ste, la aceleracin a de la partcula es constante,
yla ecuacin (11.2) se convierte enddvtaconstanteLa velocidad v de
la partcula se obtiene al integrar esta ecuacin:vv0dva
t0dtvv0atvv0at (11.6)donde v0 es la velocidad inicial. Al sustituir
por v en (11.1), se escribeddxtv0atAl denotar mediante x0 el valor
inicial de x e integrar, se tienexx0dxt0(v0at) dt12at2xx0v0t12at2
(11.7)xx0v0tTambin se puede recurrir a la ecuacin (11.4) y
escribirddvv a constantev dva dxx Al integrar ambos lados, se
obtienevv0v dva xx0dx12(v2v20)a(xx0)v2v20 2a(xx0) (11.8)Las tres
ecuaciones que se han deducido ofrecen relaciones tilesentre la
coordenada de posicin, la velocidad y el tiempo en el casodel
movimiento uniformemente acelerado, al sustituir los valores
apro-piadosde a, v0 y x0. El origen O del eje x debe definirse
primero y es-cogerseuna direccin positiva a lo largo del eje; esta
direccin se usarpara determinar los signos de a, v0 y x0. La
ecuacin (11.6) relacionav y t y debe utilizarse cuando se desee que
el valor de v correspondaa un valor determinado de t, o de manera
inversa. La ecuacin (11.7)11.5. Movimiento rectilneo
617uniformemente acelerado
- 42. 618 Cinemtica de partculas relaciona a x y t; la ecuacin
(11.8) relaciona a v y x. Una aplicacinimportante del movimiento
uniformemente acelerado es el movimientode un cuerpo en cada libre.
La aceleracin de un cuerpo en cada li-bre(usualmente denotada
mediante g) es igual a 9.81 m/s2 o 32.2 ft/s2.Es importante
recordar que las tres ecuaciones anteriores puedenutilizarse slo
cuando se sabe que la aceleracin de la partcula es cons-tante.Si la
aceleracin de la partcula es variable, su movimiento sedebe
determinar a partir de las ecuaciones fundamentales (11.1) a(11.4)
segn los mtodos sealados en la seccin 11.3.11.6. MOVIMIENTO DE
VARIAS PARTCULASCuando varias partculas se mueven de manera
independiente a lolargo de la misma lnea, es posible escribir
ecuaciones de movimientoindependientes para cada partcula. Siempre
que sea factible, el tiem-podebe registrarse a partir del mismo
instante inicial para todas laspartculas, y es necesario medir los
desplazamientos desde el mismoorigen y en la misma direccin. En
otras palabras, deben usarse un soloreloj y una sola cinta
mtrica.Movimiento relativo de dos partculas. Considere dos
partcu-lasA y B que se mueven a lo largo de la misma lnea recta
(figura 11.7).Si las coordenadas de posicin xA y xB se miden desde
el mismo ori-gen,la diferencia xBxA define la coordenada de posicin
relativa deB con respecto a A y se denota por medio de xBA. Se
escribexBAxBxA o xBxAxBA (11.9)De manera independiente de las
posiciones de A y B con respecto alorigen, un signo positivo para
xBA significa que B est a la derecha deA, y un signo negativo
indica que B se encuentra a la izquierda de A.La razn de cambio xBA
se conoce como la velocidad relativa deB con respecto a A y se
denota por medio de vBA. Al diferenciar (11.9),se escribevBAvBvA o
vBvAvBA (11.10)Un signo positivo de vBA significa que a partir de A
se observa que Bse mueve en direccin positiva; un signo negativo
indica, segn seobserva, que sta se mueve en direccin negativa.La
razn de cambio de vBA se conoce como la aceleracin relati-vade B
con respecto a A y se denota mediante aBA. Al diferenciar(11.10),
se obtieneaBAaBaA o aBaAaBA (11.11)Movimientos dependientes.
Algunas veces, la posicin de unapartcula depender de la posicin de
otra o de varias partculas. En eseAdvierta que el producto de los
subndices A y BA que se usa en el miembro izquierdode las
ecuaciones (11.9), (11.10) y (11.11) es igual al subndice B
utilizado en el miembrodel lado izquierdo.xO A BxAxB/AxBFigura
11.7Fotografa 11.2 En esta gra de embarcaderose utilizan mltiples
cables y poleas.
- 43. caso se dice que los movimientos son dependientes. Por
ejemplo, laposicin del bloque B en la figura 11.8 depende de la
posicin del blo-queA. Puesto que la cuerda ACDEFG es de longitud
constante, ypuesto que las longitudes de las porciones de cuerda CD
y EF alre-dedorde las poleas permanecen constantes, se concluye que
la suma delas longitudes de los segmentos AC, DE y FG es constante.
Al observarque la longitud del segmento AC difiere de xA slo por
una constante yque, de manera similar, las longitudes de los
segmentos DE y FGdifieren de xB nicamente por una constante, se
escribexA2xBconstantela cual recibe el nombre de ecuacin de
ligadura.Puesto que slo una de las dos coordenadas xA y xB pueden
elegir-sede manera arbitraria, se afirma que el sistema que se
presenta en lafigura 11.8 tiene un grado de libertad. De la relacin
entre las coorde-nadasde posicin xA y xB se deduce que xA presenta
un incrementoxA, esto es, si el bloque A desciende una cantidad xA,
la coordenadaxB recibir un incremento xB12xA. En otras palabras, el
bloqueB ascender la mitad de la misma cantidad; lo anterior puede
verificar-secon facilidad de modo directo de la figura 11.8.x x C
AEn el caso de los tres bloques de la figura 11.9, se puede
observarde nuevo que la longitud de la cuerda que pasa por las
poleas es cons-tantey, en consecuencia, las coordenadas de posicin
de los tres blo-quesdeben satisfacer la siguiente
relacin:2xA2xBxCconstantePuesto que es posible elegir de manera
arbitraria dos de las coordena-das,se afirma que el sistema que se
muestra en la figura 11.9 tiene dosgrados de libertad.Cuando la
relacin que existe entre las coordenadas de posicin devarias
partculas es lineal, se cumple una relacin similar entre las
velo-cidadesy entre las aceleraciones de las partculas. En el caso
de los blo-quesde la figura 11.9, por ejemplo, se diferencia dos
veces la ecuacinobtenida y se escribe2 ddxtA 2 dxtBddxtCd0 o
2vA2vBvC02 ddvtA 2 dvtBddvtCd0 o 2aA2aBaC0ABC xBxAxBABC DGE FFigura
11.8Figura 11.911.6. Movimiento de varias partculas 619
- 44. PROBLEMA RESUELTO 11.4Una pelota se lanza verticalmente
hacia arriba desde una altura de 12 metrosen el pozo de un elevador
con una velocidad inicial de 18 m/s. En el mismoinstante un
elevador de plataforma abierta pasa por el nivel de 5 m,
movin-dosehacia arriba con una velocidad constante de 2 m/s.
Determine a) cun-doy dnde golpea al elevador, b) la velocidad
relativa de la pelota con res-pectoal elevador cuando sta lo
golpea.SOLUCINMovimiento de la pelota. Puesto que la pelota tiene
una aceleracinconstante, su movimiento es uniformemente acelerado.
Al colocar el origende O del eje y a nivel del suelo, es decir su
direccin positiva hacia arriba,encontramos que la posicin inicial
es y012 m, la velocidad inicial co-rrespondea v018 m/s, y la
aceleracin equivale a a9.81 m/s2. Sus-tituyendoestos valores en las
ecuaciones para movimiento uniformementeacelerado, se escribevBv0at
vB189.81t (1)yBy0v0t12at2 yB1218t4.905t2 (2)Movimiento del
elevador. Puesto que el elevador tiene una veloci-dadconstante, su
movimiento es uniforme. Al ubicar el origen O en el niveldel suelo
y elegir la direccin positiva hacia arriba, se observa que y05m y
se escribevE2 m/s (3)yEy0vE t yE52t (4)La pelota golpea el
elevador. Se usaron el mismo tiempo t y elmismo origen O al
escribir las ecuaciones de movimiento tanto de la pelotacomo del
elevador. Se observa en la figura que cuando la pelota golpea
elelevador,yEyB (5)Al sustituir para yE y yB en (2) y (4) en (5),
se tiene52t1218t4.905t2t0.39 s y t3.65 sSlo la raz t3.65 s
corresponde a un tiempo despus de que se ha inicia-doel movimiento.
Al sustituir este valor en (4), se obtieneyE52(3.65)12.30 mElevacin
desde el suelo12.30 mLa velocidad relativa de la pelota con
respecto al elevador esvBEvBvE(189.81t)2169.81tCuando la pelota
golpea al elevador en el tiempo t3.65 s, se tienevBE169.81(3.65)
vBE19.81 m/sEl signo negativo significa que desde el elevador se
observa que la pelota semueve en el sentido negativo (hacia
abajo).620t = tv0 = 18 m/sy0 = 12 mt = 0yBa = 9.81 m/s2vE = 2 m/sOt
= tyEy0 = 5 mOyB yEOt = 0
- 45. PROBLEMA RESUELTO 11.5El collarn A y el bloque B estn
conectados por medio de un cable que pasapor tres poleas C, D y E,
como se indica. Las poleas C y E se mantienen fijas,en tanto que B
est unida a un collarn que se jala hacia abajo con una
velo-cidadconstante de 3 in./s. En t0, el collarn A empieza a
moverse haciaabajo desde la posicin K con una aceleracin constante
y sin velocidad ini-cial.Si se sabe que la velocidad del collarn A
es 12 in./s cuando ste pasa porel punto L, determine el cambio de
la elevacin, la velocidad y la aceleracindel bloque B cuando el
collarn A pasa por L.SOLUCINMovimiento del collarn A. Se sita el
origen O en la superficie ho-rizontalsuperior y se elige la
direccin positiva hacia abajo. Se observa quecuando t0, el collarn
A est en la posicin K y (vA)00. Puesto que vA 12 in./s y xA(xA)08
in., cuando el collarn pasa por L, se escribev2A(vA)20 2aA[xA(xA)0]
(12)202aA(8)aA9 in./s2El tiempo en el cual el collarn A alcance el
punto L se obtiene al escribirvA(vA)0aAt 1209t t 1.333 sMovimiento
de la polea D. Recordando que la direccin positiva eshacia abajo,
se escribeaD0 vD3 in./s xD(xD)0vDt(xD)03tCuando el collarn A llega
a L, en t1.333 s, se tienexD(xD)03(1.333)(xD)04En consecuencia,
xD(xD)04 in.Movimiento del bloque B. Hay que observar que la
longitud totaldel cable ACDEB difiere de la cantidad (xA2xDxB) slo
por una cons-tante.Puesto que la longitud del cable es constante
durante el movimiento,esta cantidad tambin debe permanecer
constante. De tal modo, conside-randolos tiempos t0 y t1.333 s, se
escribexA2xDxB(xA)02(xD)0(xB)0 (1)[xA(xA)0]2[xD(xD)0][xB(xB)0]0
(2)Sin embargo, se sabe que xA(xA)08 in. y xD(xD)04 in.; al
sustituirestos valores en (2), se obtiene82(4)[xB(xB)0]0 xB(xB)016
in.De tal modo: El cambio en la elevacin de B16 in.xAl diferenciar
(1) dos veces, se obtienen ecuaciones que relacionan las
velo-cidadesy las aceleraciones de A, B y D. Al sustituir las
velocidades y acele-racionesde A y D en t1.333 s, se tienevA2vDvB0:
122(3)vB0vB18 in./s vB18 in./sxaA2aDaB0: 92(0)aB0aB9 in./s2 aB9
in./s2x621C EKLABD8 in.AOLKDC EABD8 in.xAaA(xA)0xA xBxDvA = 12
in./sO(xD)0xDvD = 3 in./sO
- 46. RESOLUCIN DE PROBLEMASEN FORMA INDEPENDIENTEEn esta leccin
se obtuvieron las ecuaciones que describen el movimiento
rectilneouniforme (velocidad constante) y el movimiento rectilneo
uniformemente acelerado(aceleracin constante). Tambin se present el
concepto de movimiento relativo.Las ecuaciones para el movimiento
relativo [ecuaciones (11.9) a (11.11)] pueden apli-carsea los
movimientos independientes o dependientes de cualesquiera de las
par-tculasque se mueven a lo largo de la misma recta.A. Movimiento
independiente de una o ms partculas. La solucin de pro-blemasde
este tipo debe organizarse del modo siguiente:1. Iniciar la solucin
listando la informacin proporcionada, elaborando un di-bujodel
sistema y seleccionando el origen y la direccin positiva del eje de
coorde-nadas[problema resuelto 11.4]. Siempre es ventaja tener una
representacin visualde problemas de este tipo.2. Escribir las
ecuaciones que describen los movimientos de las diversas
par-tculas,as como aquellas que describen cmo se relacionan estos
movimientos [ecua-cin(5) del problema resuelto 11.4].3. Definir las
condiciones iniciales, esto es, especifique el estado del sistema
co-rrespondientea t0. Esto es en especial importante si los
movimientos de las par-tculasse inician en tiempos diferentes. En
tales casos, es posible recurrir a cuales-quierade los dos
enfoques.a) Sea t0 el tiempo cuando las partculas empiezan a
moverse. Se debe de-terminarentonces la posicin inicial x0 y la
velocidad inicial v0 de cada una de lasdems partculas.b) Sea t0 el
tiempo en el que empieza a moverse la primera partcula. En esecaso,
en cada una de las ecuaciones que describen el movimiento de otra
partcula,se reemplaza t por tt0, donde t0 es el tiempo en el cual
esa partcula especficaempieza a moverse. Es importante reconocer
que las ecuaciones que se obtienen deesta manera slo son vlidas
para tt0.622
- 47. B. Movimiento dependiente de dos o ms partculas. En
problemas de este tipolas partculas del sistema estn conectadas
entre s, por lo general mediante cuerdaso cables. El mtodo de
solucin de estos problemas es similar al del grupo de
pro-blemasprecedente, salvo que en este caso no ser necesario
describir las conexionesfsicas entre las partculas. En los
siguientes problemas, la conexin la proporcionauno o ms cables.
Para cada cable se tendrn que escribir ecuaciones similares a
lasltimas tres ecuaciones de la seccin 11.6. Se sugiere el
siguiente procedimiento:1. Hacer un bosquejo del sistema y
seleccionar un sistema de coordenadas, in-dicandode manera clara el
sentido positivo para cada uno de los ejes coordenados.Por ejemplo,
en el problema resuelto 11.5 las longitudes se miden hacia abajo a
par-tirdel soporte horizontal superior. De tal modo, se concluye
que estos desplaza-mientos,velocidades y aceleraciones, los cuales
tienen valores positivos, estn dirigi-doshacia abajo.2. Escribir la
ecuacin (de ligadura) que describe la represin impuesta porcada
cable sobre el movimiento de las partculas implicadas. Al
diferenciar dos vecesesta ecuacin, se obtendrn las relaciones
correspondientes entre velocidades y ace-leraciones.3. Si varias
direcciones de movimiento estn implicadas, se debe seleccionarun
eje de coordenadas y un sentido positivo para cada una de estas
direcciones. Tam-binse debe intentar ubicar los orgenes de sus ejes
de coordenadas, de modo quelas ecuaciones de restricciones sean lo
ms simples posible. Por ejemplo, en el pro-blemaresuelto 11.5 es ms
fcil definir las diversas coordenadas, midindolas haciaabajo desde
el soporte superior, que hacerlo hacia arriba desde el soporte
inferior.Por ltimo, se debe recordar que el mtodo de anlisis que se
describe en estaleccin y las ecuaciones correspondientes nicamente
pueden utilizarse para par-tculasque se mueven con movimiento
rectilneo uniforme o uniformemente acele-rado.623
- 48. Problemas11.33 Una automovilista entra a una carretera a 45
km/h y acelerauniformemente hasta 99 km/h. De acuerdo con el
odmetro del automvil,la conductora sabe que recorri 0.2 km mientras
aceleraba. Determine a) laaceleracin del automvil, b) el tiempo que
se requiere para alcanzar 99 km/h.11.34 Un camin recorre 220 m en
10 s mientras se desacelera a unarazn constante de 0.6 m/s2.
Determine a) su velocidad inicial, b) su veloci-dadfinal, c) la
distancia recorrida durante los primeros 1.5 s.62411.35 Si se
supone una aceleracin uniforme de 11 ft/s2 y se sabe quela rapidez
de un automvil cuando pasa por A es de 30 mi/h, determinea) el
tiempo requerido para que el automvil llegue a B, b) la rapidez
delautomvil cuando pasa por B.11.36 Un grupo de estudiantes lanza
un cohete a escala en direccinvertical. Con base en los datos
registrados, determinan que la altitud delcohete fue de 89.6 ft en
la parte final del vuelo en la que el cohete an tenaimpulso, y que
el cohete aterriza 16 s despus. Si se sabe que el paracadasde
descenso no pudo abrir y que el cohete descendi en cada libre hasta
elsuelo despus de alcanzar la altura mxima, y suponiendo que g32.2
ft/s2,determine a) la rapidez v1 del cohete al final del vuelo con
impulso, b) la al-turamxima alcanzada por el cohete.11.37 Un atleta
en una carrera de 100 m acelera de manera unif