1. 1. Momentos de inercia de formasgeomtricas comunesRectnguloTringuloCrculoSemicrculoCuarto de crculoElipseJO14ab1a2 b2 2Iy14a3bIx14ab3JO18r4Ix Iy116 r4JO14r4Ix Iy18r4JO12r4Ix Iy14r4Ix112bh3Ix136bh3JC112bh1b2 h2 2Iy13b3hIx13bh3Iy112b3hIx112bh3hbx'xy y'Chbx'xh3CxyrOxyOrCxyOCrxbyOaMomentos de inercia de formasgeomtricas comunesBarra delgadaIy Iz112mL2Placa rectangular delgadaPrisma rectangularDisco delgadoIy IzCilindro circularIy Iz112m13a2 L2 2Cono circularEsfera35Ix Iy Iz25ma214Iy Iz m1a2 h2 2Ix310ma2Ix12ma214mr2Ix12mr2Iz112m1a2 b2 2Iy112m1c2 a2 2Ix112m1b2 c2 2Iz112mb2Iy112mc2Ix112m1b2 c2 2Gyz LxycbGz xz aycbxxzyryLaz xxzyhaayz x
2. 2. MECNICA VECTORIALPARA INGENIEROSDinmica
3. 3. REVISIN TCNICAARGENTINARicardo Bosco Universidad Tecnolgica Nacional, Buenos AiresCOLOMBIACarlos Eduardo Muoz Rodrguez Pontificia Universidad Javeriana, BogotJaime Guillermo Guerrero Casadiego Universidad Nacional de ColombiaRubn Daro Arboleda Vlez Universidad Pontificia Bolivariana, MedellnWilson Rodrguez Caldern Universidad de la Salle, BogotMXICOAntonio Rubn Bentez Gasca Universidad VeracruzanaDanelia Hernndez Surez Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey,campus Ciudad ObregnCarlos Mellado Osuna Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey,campus La MarinaEduardo Soberanes Lugo Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus SinaloaEnrique Zamora Gallardo Universidad Anhuac, campus NorteFrancisco Tern Arvalo Instituto Tecnolgico Regional de ChihuahuaGladys Karina Ruiz Vargas Universidad Anhuac, campus NorteIgnacio Arrioja Crdenas Instituto Tecnolgico de Tuxtla Gutirrez, Chis.Ignacio Ramrez Vargas Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey,campus HidalgoJos Antonio Corona Lpez Instituto Tecnolgico de VeracruzJos Luis Carranza Santana Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica,Instituto Politcnico NacionalJuan Abugaber Francis Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica,Instituto Politcnico NacionalJuan Ocriz Castelazo Universidad Nacional Autnoma de MxicoLuis Adolfo Torres Gonzlez Universidad Iberoamericana, campus LenLuis G. Cabral Rosetti Centro Interdisciplinario de Investigacin y Docencia en Educacin Tcnica,Santiago de QuertaroMartn Daro Castillo Snchez Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica,Instituto Politcnico NacionalRal Escalante Rosas Universidad Nacional Autnoma de MxicoRal Soto Lpez Universidad de Occidente, campus Culiacn
4. 4. Novena edicinMECNICA VECTORIALPARA INGENIEROSDinmicaFERDINAND P. BEER (finado)Late of Lehigh UniversityE. RUSSELL JOHNSTON, JR.University of ConnecticutPHILLIP J. CORNWELLRose-Hulman Institute of TechnologyRevisin tcnica:Miguel ngel Ros SnchezInstituto Tecnolgico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus Estado de MxicoFelipe de Jess Hidalgo CavazosInstituto Tecnolgico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus MonterreyMXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALAMADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULOAUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHISAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO
5. 5. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo CastellanosEditor sponsor: Pablo E. Roig VzquezCoordinadora editorial: Marcela I. Rocha M.Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Ziga GutirrezSupervisor de produccin: Zeferino Garca GarcaTraductores: Jess Elmer Murrieta MurrietaGabriel Nagore CazaresMECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROSDINMICANovena edicinProhibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.DERECHOS RESERVADOS 2010 respecto a la novena edicin en espaol porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.Edificio Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma Nm. 1015, Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,Delegacin lvaro ObregnC.P. 01376, Mxico, D. F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736ISBN-13: 978-607-15-0261-2(ISBN: 970-10-6102-0 edicin anterior)Traducido de la novena edicin en ingls de: Vector mechanics for engineers. Dynamics.Copyright 2010 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.ISBN: 0-07-724916-81234567890 109876543210Impreso en Mxico Printed in Mexico
6. 6. Acerca de los autoresLos autores de esta obra con frecuencia son cuestionados acerca de c-mofue que, estando uno en Lehigh y otro en la University of Connec-ticut,empezaron a escribir sus libros juntos.La respuesta a esta pregunta es sencilla. Russ Johnston inici su ca-rreraacadmica en el departamento de ingeniera civil y mecnica deLehigh University y all conoci a Ferd Beer, quien haba comenzado atrabajar en ese departamento dos aos antes y estaba a cargo de los cur-sosde mecnica.Ferd se sinti muy complacido al descubrir que el joven contrata-dopara impartir cursos de ingeniera estructural en posgrado no sloestaba dispuesto, sino tambin ansioso por ayudarlo a reorganizar loscursos de mecnica. Ambos crean que dichos cursos deberan ensear-sea partir de unos cuantos principios bsicos, y que los distintos con-ceptosinvolucrados seran mejor comprendidos y recordados por losestudiantes si les eran presentados en forma grfica. Juntos escribieronapuntes para las clases de esttica y dinmica, a los cuales posterior-menteles agregaron problemas que supusieron interesantes para losfuturos ingenieros, y poco despus produjeron el manuscrito de la pri-meraedicin de Mecnica para ingenieros, el cual se public en juniode 1956.Al publicarse la segunda edicin de Mecnica para ingenieros y laprimera de Mecnica vectorial para ingenieros, Russ Johnston estabaen el Worcester Polytechnic Institute, y en las ediciones subsecuentes enla University of Connecticut. Mientras tanto, Ferd y Russ haban asu-midofunciones administrativas en sus respectivos departamentos yambos se dedicaban a la investigacin, la consultora, y a asesorar estu-diantesde posgrado Ferd en el rea de procesos estocsticos y vibra-cionesaleatorias, y Russ en el rea de estabilidad elstica y en diseo yanlisis estructurales. Sin embargo, su inters por mejorar la ense-anzade los cursos bsicos de mecnica no haba disminuido, y conti-nuaronimpartindolos mientras revisaban sus libros y comenzaban apreparar el manuscrito de la primera edicin de Mecnica de materiales.La colaboracin entre estos dos autores ha abarcado muchos aos ymuchas revisiones exitosas de todos sus libros, y las contribuciones de Ferdy Russ a la educacin en ingeniera los han hecho acreedores de numero-sasdistinciones y reconocimientos. Recibieron el Western Electric FundAward por parte de sus respectivas secciones regionales de la American So-cietyfor Engineering Education por su excelencia en la instruccin de es-tudiantesde ingeniera y, adems, el Distinguished Educator Award de lavii
7. 7. divisin de mecnica de esa misma asociacin. A partir de 2001, el recono-cimientodenominado New Mechanics Educator Award de la divisin demecnica ha sido nombrado en honor de Beer y Johnston.Ferdinand P. Beer. Nacido en Francia y educado en Francia y Sui-za,Ferd obtuvo una maestra en la Sorbona y un doctorado en cien-ciasen el rea de mecnica terica en la Universidad de Ginebra.Emigr a Estados Unidos despus de servir en el ejrcito francs du-rantela primera parte de la Segunda Guerra Mundial e imparti cla-sespor cuatro aos en el Williams College en el programa conjuntode ingeniera y artes Williams-MIT. Despus de su servicio en estainstitucin, Ferd ingres al profesorado de Lehigh University, dondeense durante treinta y siete aos. Ocup varios puestos, incluyen-doel de profesor distinguido de la universidad y director del departa-mentode Mecnica e Ingeniera Mecnica. En 1995 recibi el gradode Doctor honoris causa en Ingeniera por la Lehigh University.E. Russell Johnston, Jr. Nacido en Filadelfia, Russ posee un ttulo deingeniero civil de la Universidad de Delaware y un doctorado en cien-ciasen el rea de ingeniera estructural del Instituto Tecnolgico deMassachussets (MIT). Imparti clases en Lehigh University y en elWorcester Polytechnic Institute antes de ingresar al profesorado de laUniversidad de Connecticut, donde ocup el puesto de director del de-partamentode Ingeniera Civil y ense durante veintisis aos. En1991 recibi el Outstanding Civil Engineer Award, seccin Connecti-cut,que otorga la American Society of Civil Engineers.Phillip J. Cornwell. Phil posee un ttulo en Ingeniera Mecnica de laTexas Tech University, y grados de maestra y doctorado en IngenieraMecnica y aeroespacial por la Universidad de Princeton. En la actua-lidades profesor de Ingeniera Mecnica en el Instituto Rose-Hulmande Tecnologa, donde ha impartido clases desde 1989. Sus intereses ac-tualesincluyen dinmica estructural, monitoreo de la salud estructural,y educacin en ingeniera a nivel de licenciatura. En los veranos, Philtrabaja en el Laboratorio Nacional de Los lamos, donde es responsa-blede la escuela de verano de dinmica, y realiza investigacin en elrea de monitoreo de la salud estructural. Recibi un premio en edu-cacinSAE Ralph R. Teetor en 1992, el premio escolar por imparticinde clases en Rose-Hulman en 2000, y el premio por imparticin de cla-sesdel profesorado de Rose-Hulman en 2001.viii Acerca de los autores
8. 8. ContenidoPrefacio xivAgradecimientos xxLista de smbolos xxi11CINEMTICA DE PARTCULAS60111.1 Introduccin a la dinmica 602Movimiento rectilneo de partculas 60311.2 Posicin, velocidad y aceleracin 60311.3 Determinacin del movimiento de una partcula 60711.4 Movimiento rectilneo uniforme 61611.5 Movimiento rectilneo uniformemente acelerado 61711.6 Movimiento de varias partculas 618*11.7 Solucin grfica de problemas de movimiento rectilneo 630*11.8 Otros mtodos grficos 631Movimiento curvilneo de partculas 64111.9 Vector de posicin, velocidad y aceleracin 64111.10 Derivadas de funciones vectoriales 64311.11 Componentes rectangulares de la velocidady la aceleracin 64511.12 Movimiento relativo a un sistema de referenciaen traslacin 64611.13 Componentes tangencial y normal 66511.14 Componentes radial y transversal 668Repaso y resumen del captulo 11 682Problemas de repaso 686Problemas de computadora 68812CINTICA DE PARTCULAS: SEGUNDA LEY DE NEWTON69112.1 Introduccin 69212.2 Segunda ley de movimiento de Newton 69312.3 Cantidad de movimiento lineal de una partcula.Razn de cambio de la cantidad de movimiento lineal 694ix
9. 9. 12.4 Sistemas de unidades 69512.5 Ecuaciones de movimiento 69712.6 Equilibrio dinmico 69912.7 Cantidad de movimiento angular de una partcula.Razn de cambio de la cantidad de movimiento angular 72112.8 Ecuaciones de movimiento en trminos de lascomponentes radial y transversal 72312.9 Movimiento bajo una fuerza central. Conservacin de lacantidad de movimiento angular 72412.10 Ley de gravitacin de Newton 725*12.11 Trayectoria de una partcula bajo la accin de unafuerza central 736*12.12 Aplicacin en mecnica celeste 737*12.13 Leyes de Kepler del movimiento planetario 740Repaso y resumen del captulo 12 749Problemas de repaso 753Problemas de computadora 75613CINTICA DE PARTCULAS:MTODOS DE LA ENERGA Y LA CANTIDADDE MOVIMIENTO75913.1 Introduccin 76013.2 Trabajo de una fuerza 76013.3 Energa cintica de una partcula. Principio del trabajo y laenerga 76413.4 Aplicaciones del principio del trabajo y la energa 76613.5 Potencia y eficiencia 76713.6 Energa potencial 786*13.7 Fuerzas conservativas 78813.8 Conservacin de la energa 78913.9 Movimiento bajo una fuerza central conservativa.Aplicacin a la mecnica celeste 79113.10 Principio del impulso y la cantidadde movimiento 81013.11 Movimiento impulsivo 81313.12 Impacto 82513.13 Impacto central directo 82513.14 Impacto central oblicuo 82813.15 Problemas en los que interviene la energa y la cantidadde movimiento 831Repaso y resumen del captulo 13 847Problemas de repaso 853Problemas de computadora 85614SISTEMAS DE PARTCULAS85914.1 Introduccin 86014.2 Aplicacin de las leyes de Newton al movimiento de un sistemade partculas. Fuerzas efectivas 86014.3 Cantidad de movimiento lineal y angular de un sistema departculas 863x Contenido
10. 10. 14.4 Movimiento del centro de masa de un sistemade partculas 86414.5 Cantidad de movimiento angular de un sistema de partculasalrededor de su centro de masa 86614.6 Conservacin de la cantidad de movimiento para sistemasde partculas 86814.7 Energa cintica de un sistema de partculas 87714.8 Principio del trabajo y la energa. Conservacin de la energapara un sistema de partculas 87914.9 Principio del impulso y la cantidad de movimiento de un sistemade partculas 879*14.10 Sistemas variables de partculas 890*14.11 Corriente estacionaria de partculas 890*14.12 Sistemas que ganan o pierden masa 893Repaso y resumen del captulo 14 908Problemas de repaso 912Problemas de computadora 91615CINEMTICA DE CUERPOS RGIDOS91915.1 Introduccin 92015.2 Traslacin 92215.3 Rotacin alrededor de un eje fijo 92315.4 Ecuaciones que definen la rotacin de un cuerpo rgidoalrededor de un eje fijo 92615.5 Movimiento plano general 93615.6 Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimientoplano 93815.7 Centro instantneo de rotacin en el movimiento plano 95015.8 Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano 961*15.9 Anlisis del movimiento plano en trminos de unparmetro 96315.10 Razn de cambio de un vector con respecto a un sistema dereferencia en rotacin 97515.11 Movimiento plano de una partcula relativa a un sistemade referencia en rotacin. Aceleracin de Coriolis 977*15.12 Movimiento alrededor de un punto fijo 988*15.13 Movimiento general 991*15.14 Movimiento tridimensional de una partcula con respectoa un sistema de referencia en rotacin. Aceleracinde Coriolis 1002*15.15 Sistema de referencia en movimiento general 1003Repaso y resumen del captulo 15 1015Problemas de repaso 1022Problemas de computadora 102516MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS RGIDOS:FUERZAS Y ACELERACIONES102916.1 Introduccin 103016.2 Ecuaciones de movimiento de un cuerpo rgido 1031Contenido xi
11. 11. 16.3 Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rgido enmovimiento plano 103216.4 Movimiento plano de un cuerpo rgido. Principio dedAlembert 1033*16.5 Observacin acerca de los axiomas de la mecnica de cuerposrgidos 103416.6 Solucin de problemas que implican el movimiento de un cuerporgido 103516.7 Sistemas de cuerpos rgidos 103616.8 Movimiento plano restringido o vinculado 1055Repaso y resumen del captulo 16 1077Problemas de repaso 1079Problemas de computadora 108217MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS RGIDOS:MTODOS DE LA ENERGA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO108517.1 Introduccin 108617.2 Principio del trabajo y la energa para un cuerpo rgido 108617.3 Trabajo de las fuerzas que actan sobre un cuerporgido 108717.4 Energa cintica de un cuerpo rgido en movimientoplano 108817.5 Sistemas de cuerpos rgidos 108917.6 Conservacin de la energa 109017.7 Potencia 109117.8 Principio del impulso y la cantidad de movimiento para elmovimiento plano de un cuerpo rgido 110717.9 Sistemas de cuerpos rgidos 111017.10 Conservacin de la cantidad de movimiento angular 111017.11 Movimiento impulsivo 112417.12 Impacto excntrico 1124Repaso y resumen del captulo 17 1140Problemas de repaso 1144Problemas de computadora 114618CINTICA DE CUERPOS RGIDOS EN TRES DIMENSIONES1149*18.1 Introduccin 1150*18.2 Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rgido en tresdimensiones 1151*18.3 Aplicacin del principio del impulso y la cantidad de movimiento almovimiento tridimensional de un cuerpo rgido 1155*18.4 Energa cintica de un cuerpo rgido en tres dimensiones 1156*18.5 Movimiento de un cuerpo rgido en tres dimensiones 1169*18.6 Ecuaciones de movimiento de Euler. Extensin del principiode dAlembert al movimiento de un cuerpo rgido en tresdimensiones 1170*18.7 Movimiento de un cuerpo rgido alrededor de un puntofijo 1171*18.8 Rotacin de un cuerpo rgido alrededor de un eje fijo 1172*18.9 Movimiento de un giroscopio. ngulos de Euler 1187*18.10 Precesin estable de un giroscopio 1189xii Contenido
12. 12. *18.11 Movimiento de un cuerpo simtrico con respecto a un eje y queno se somete a ninguna fuerza 1190Repaso y resumen del captulo 18 1203Problemas de repaso 1208Problemas de computadora 121119VIBRACIONES MECNICAS121519.1 Introduccin 1216Vibraciones sin amortiguamiento 121619.2 Vibraciones libres de partculas.Movimiento armnico simple 121619.3 Pndulo simple (solucin aproximada) 1220*19.4 Pndulo simple (solucin exacta) 122119.5 Vibraciones libres de cuerpos rgidos 123019.6 Aplicacin del principio de la conservacin de la energa 124219.7 Vibraciones forzadas 1253Vibraciones amortiguadas 1263*19.8 Vibraciones libres amortiguadas 1263*19.9 Vibraciones forzadas amortiguadas 1266*19.10 Analogas elctricas 1267Repaso y resumen del captulo 19 1279Problemas de repaso 1284Problemas de computadora 1288Apndice AALGUNAS DEFINICIONES Y PROPIEDADES TILESDEL LGEBRA VECTORIAL1291Apndice BMOMENTOS DE INERCIA DE MASAS1297Apndice CFUNDAMENTOS PARA LA CERTIFICACINEN INGENIERA EN ESTADOS UNIDOS1337Crditos de fotografas 1339ndice analtico 1341Respuestas a problemas 1351Contenido xiii
13. 13. PrefacioOBJETIVOSEl objetivo principal de un primer curso de mecnica debe ser desa-rrollaren el estudiante de ingeniera la capacidad de analizar cualquierproblema en forma lgica y sencilla, y la de aplicar para su solucinunos cuantos principios bsicos perfectamente comprendidos. Se es-peraque este texto y el tomo complementario, Mecnica vectorial pa-raingenieros: Esttica, permitirn que el profesor alcance este objetivo.ENFOQUE GENERALEn la parte inicial del primer tomo se introdujo el anlisis vectorial, elcual se utiliza en la presentacin y exposicin de los principios funda-mentalesde la esttica, as como en la solucin de muchos problemas.De manera similar, el concepto de diferenciacin vectorial se introdu-ceal inicio de este volumen, y el anlisis vectorial se utiliza a lo largode la presentacin de la dinmica. Este planteamiento conduce a unaespecificacin ms concisa de los principios fundamentales de la me-cnica.Tambin hace posible analizar muchos problemas en cinemti-cay cintica que no podran resolverse mediante mtodos escalares.Sin embargo, se mantiene el nfasis en el correcto aprendizaje de losprincipios de la mecnica y en su aplicacin para resolver problemasde ingeniera, por lo que el anlisis vectorial se presenta, primordial-mente,como una herramienta til.Se introducen aplicaciones prcticas desde una etapa inicial.Una de las caractersticas del enfoque usado en estos tomos es que lamecnica de partculas se ha separado en forma clara de la mecnicade cuerpos rgidos. Este enfoque hace posible considerar aplicacionesprcticas simples en una etapa inicial y posponer la introduccin de losconceptos ms avanzados. Por ejemplo: En Esttica, la esttica de partculas se estudia primero, y el prin-cipiode equilibrio de una partcula se aplica inmediatamente a si-tuacionesprcticas que involucran slo fuerzas concurrentes. Laesttica de cuerpos rgidos se considera posteriormente, cuando yase ha hecho la presentacin de los productos escalar y vectorial dedos vectores; estos conceptos se utilizan para definir el momentode una fuerza con respecto a un punto y a un eje.xiv
14. 14. En Dinmica se observa la misma divisin. Se introducen los con-ceptosbsicos de fuerza, masa y aceleracin, de trabajo y energa,y de impulso y cantidad de movimiento, y se aplican en primerainstancia a la solucin de problemas que involucran slo partcu-las.De esta forma, los estudiantes pueden familiarizarse por s mis-moscon los tres mtodos bsicos utilizados en dinmica y apren-dersus respectivas ventajas antes de enfrentar las dificultadesasociadas con el movimiento de cuerpos rgidos.Los conceptos nuevos se presentan en trminos simples.Como este texto est diseado para un primer curso sobre dinmica,los conceptos nuevos se presentan en trminos simples y cada paso seexplica en forma detallada. Por otro lado, este enfoque alcanza una ma-durezdefinitiva al analizar los aspectos ms relevantes de los proble-masconsiderados, y al ampliar los mtodos de aplicabilidad general.Por ejemplo, el concepto de energa potencial se analiza para el casogeneral de una fuerza conservativa. Adems, el estudio del movimien-toplano de cuerpos rgidos est ideado para conducir de manera na-turalal estudio de su movimiento general en el espacio. Lo anterior secumple tanto en cinemtica como en cintica, donde el principio deequivalencia de fuerzas externas y efectivas se aplica de manera direc-taal anlisis de movimiento plano, lo que facilita la transicin al estu-diodel movimiento tridimensional.Los principios fundamentales se utilizan en el contexto deaplicaciones simples. Se enfatiza el hecho de que la mecnica es,esencialmente, una ciencia deductiva que se basa en algunos principiosfundamentales. Las derivaciones se presentan siguiendo su secuencialgica y con todo el rigor requerido a este nivel. Sin embargo, en vir-tudde que el proceso de aprendizaje es primordialmente inductivo, seconsideran primero las aplicaciones ms simples. Por ejemplo: La cinemtica de partculas (captulo 11) antecede a la cinemticade cuerpos rgidos (captulo 15). Los principios fundamentales de la cintica de cuerpos rgidos seaplican primero a la solucin de problemas bidimensionales (cap-tulos16 y 17), los cuales pueden ser visualizados con mayor faci-lidadpor los estudiantes, mientras que los problemas tridimensio-nalesse posponen hasta el captulo 18.La presentacin de los principios de la cintica se unifica.La octava edicin de Mecnica vectorial para ingenieros tiene la pre-sentacinunificada de los principios de la cintica que caracterizarona las siete ediciones anteriores. Los conceptos de cantidad de movi-mientolineal y angular se presentan en el captulo 12, de modo que lasegunda ley de Newton para el movimiento pueda presentarse no s-loen su forma convencional Fma, sino tambin como una ley querelaciona, respectivamente, la suma de fuerzas que actan sobre unapartcula y la suma de sus momentos con las razones de cambio de lacantidad de movimiento lineal y angular de la partcula. Esto hace po-sibleuna introduccin temprana del principio de conservacin de lacantidad de movimiento angular, y un anlisis ms lgico del movimien-tode una partcula bajo una fuerza central (seccin 12.9). An msimportante, este planteamiento puede extenderse sin dificultad al mo-vimientode un sistema de partculas (captulo 14) y efectuar un trata-Prefacio xv
15. 15. miento ms conciso y unificado de la cintica de cuerpos rgidos en dosy tres dimensiones (captulos 16 a 18).Se emplean diagramas de cuerpo libre para resolverproblemas de equilibrio y expresar la equivalencia de sistemasde fuerzas. Los diagramas de cuerpo libre se introdujeron al prin-cipiodel libro de esttica, y su importancia se enfatiz a lo largo de to-doel texto. Estos diagramas se emplean no slo para resolver proble-masde equilibrio, sino tambin para expresar la equivalencia de dossistemas de fuerzas o, de modo ms general, de dos sistemas de vec-tores.La ventaja de este enfoque se vuelve evidente en el estudio dela dinmica de cuerpos rgidos, donde se utiliza para resolver proble-mastridimensionales y bidimensionales. Se pudo lograr una compren-sinms intuitiva y completa de los principios fundamentales de la di-nmicaal poner mayor nfasis en las ecuaciones de los diagramas decuerpo libre en lugar de en las ecuaciones algebraicas estndar de mo-vimiento.Este enfoque, introducido en 1962 en la primera edicin deMecnica vectorial para ingenieros, ha obtenido a la fecha una ampliaaceptacin en Estados Unidos entre los profesores de mecnica. Porlo tanto, en la resolucin de todos los problemas resueltos de este li-bro,se prefiere su utilizacin en lugar del mtodo de equilibrio din-micoy de las ecuaciones de movimiento.Se utilizan presentaciones en cuatro colores para distinguirlos vectores. El color se ha usado no slo para mejorar la calidadde las ilustraciones, sino tambin para ayudar a los estudiantes a dis-tinguirentre los diversos tipos de vectores que pueden encontrar. Envirtud de que no haba intencin de colorear por completo este texto,en un captulo dado se utiliza el mismo color para representar el mis-motipo de vector. Por ejemplo, a lo largo del tomo de esttica, el ro-jose utiliza en forma exclusiva para representar fuerzas y pares, mien-trasque los vectores de posicin se muestran en azul y las dimensionesen negro. Esto vuelve ms fcil para los estudiantes la identificacinde las fuerzas que actan sobre una partcula o un cuerpo rgido dadoy la comprensin de los problemas resueltos y de otros ejemplos pro-porcionadosen el libro. En Dinmica, para los captulos de cintica, elrojo se usa de nuevo para fuerzas y pares, as como para fuerzas efec-tivas.El rojo tambin se utiliza para representar impulsos y cantidadesde movimiento en ecuaciones de diagramas de cuerpo libre, mientrasque el verde es utilizado para velocidades, y el azul en aceleraciones.En los dos captulos de cinemtica, donde no se involucra ninguna fuer-za,se usan azul, verde y rojo, respectivamente, para indicar desplaza-mientos,velocidades y aceleraciones.Se mantiene, en forma consistente, un cuidadoso balanceentre las unidades del SI y las unidades del sistema ingls. De-bidoa la tendencia que existe en la actualidad en el gobierno y la indus-triaestadounidenses de adoptar el Sistema Internacional de unidades(unidades mtricas SI), las unidades SI que se usan con mayor frecuen-ciaen mecnica se introducen en el captulo 1 y se emplean en todo ellibro. Aproximadamente la mitad de los problemas resueltos y un 60 porciento de los problemas de tarea estn planteados en este sistema de uni-dades,mientras que el resto se proporciona en las unidades de uso co-mnen Estados Unidos. Los autores creen que este enfoque es el quexvi Prefacio
16. 16. se adecuar mejor a las necesidades de los estudiantes, quienes, como Prefacio xviiingenieros, tendrn que dominar los dos sistemas de unidades.Tambin se debe reconocer que el uso de ambos sistemas de uni-dadessignifica algo ms que aplicar factores de conversin. Como el sis-temade unidades SI es absoluto basado en el tiempo, la longitud y lamasa, mientras el sistema ingls es gravitacional basado en el tiempo,la longitud y la fuerza, se requieren diferentes enfoques en la solucinde muchos problemas. Por ejemplo, cuando se usan las unidades SI, porlo general, un cuerpo se especifica mediante su masa expresada en kilo-gramos;en la mayora de los problemas de esttica ser necesario deter-minarel peso del cuerpo en newtons, para lo cual se requiere un clcu-loadicional. Por otro lado, cuando se aplican las unidades del sistemaingls, un cuerpo se especifica mediante su peso en libras y, en pro-blemasde dinmica, se requerir un clculo adicional para determinarsu masa en slugs (o lbs2/ft). Por tanto, los autores creen que los pro-blemasasignados a los estudiantes deben incluir ambos sistemas deunidades.En las secciones opcionales se tratan temas avanzados oespecializados. En el libro se incluye un gran nmero de seccio-nesopcionales identificadas mediante asteriscos y, por tanto, se distin-guenfcilmente de aquellas que constituyen la parte fundamental deun curso bsico de dinmica. Estas secciones pueden omitirse sin per-judicarla comprensin del resto del texto.Entre los temas cubiertos en las secciones opcionales se encuen-tranlos mtodos grficos para la resolucin de problemas de movi-mientorectilneo, trayectoria de una partcula bajo una fuerza central,desviacin de corrientes de fluido, problemas que implican propulsina chorro y cohetes, la cinemtica y la cintica de cuerpos rgidos en tresdimensiones, vibraciones mecnicas amortiguadas, y analogas elctri-cas.Estos temas adquirirn un inters particular cuando el curso de di-nmicase imparta durante el primer ao de estudios.El material presentado en el libro y la mayor parte de los proble-masno requieren conocimiento matemtico previo superior al lgebra,la trigonometra y el clculo elementales; todos los conocimientos de l-gebraelemental necesarios para comprender el texto se presentan condetalle en los captulos 2 y 3 del volumen de esttica. Sin embargo, seincluyen problemas especiales que requieren un conocimiento msavanzado de clculo, y ciertas secciones, como las 19.8 y 19.9 sobre vi-bracionesamortiguadas, slo deben asignarse cuando los estudiantesposean los fundamentos matemticos adecuados. En las partes del tex-toque utilizan el clculo elemental, se pone mayor nfasis en la apro-piadacomprensin de los conceptos matemticos bsicos incluidos queen la manipulacin de las frmulas matemticas. Al respecto, se debemencionar que la determinacin de los centroides de reas compuestasprecede al clculo de centroides por integracin, lo cual posibilita esta-blecerfirmemente el concepto de momento de un rea antes de intro-ducirel uso de integrales.Algunas definiciones y propiedades tiles de lgebra se resumen en el apndice A al fi-naldel libro, para comodidad del lector. Asimismo, las secciones 9.11 a 9.18 del volumende esttica, donde se estudian los momentos de inercia de masas, se reproducen en el apn-diceB.
17. 17. ORGANIZACIN DE LOS CAPTULOS Y CARACTERSTICASPEDAGGICASIntroduccin del captulo. Cada captulo comienza con una in-troduccinque establece el propsito y los objetivos del mismo, y enla que se describe en trminos sencillos el material que ser cubiertoy sus aplicaciones en la resolucin de problemas de ingeniera. Los nue-voslineamientos del captulo proporcionan a los estudiantes una visinprevia de los temas que ste incluye.Lecciones en el captulo. El cuerpo del texto est dividido enunidades, cada una de las cuales consiste en una o ms secciones deteora, uno o varios problemas resueltos, y una gran cantidad de pro-blemasde tarea. Cada unidad corresponde a un tema bien definidoque, por lo general, puede ser cubierto en una leccin. Sin embargo,en ciertos casos el profesor encontrar que es deseable dedicar ms deuna leccin a un tema en particular.Problemas resueltos. Los problemas resueltos se plantean demanera muy similar a la que usarn los estudiantes cuando resuelvanlos problemas que se les asignen. Por tanto, estos problemas cumplenel doble propsito de ampliar el texto y demostrar la forma de trabajoclara y ordenada que los estudiantes deben cultivar en sus propias so-luciones.Resolucin de problemas en forma independiente. Entre losproblemas resueltos y los de tarea, cada leccin incluye una seccin ti-tuladaResolucin de problemas en forma independiente. El propsitode estas secciones es ayudar a los estudiantes a organizar mentalmen-tela teora ya cubierta en el texto y los mtodos de resolucin de losproblemas resueltos, de manera que puedan resolver con mayor xitolos problemas de tarea. Adems, en estas secciones tambin se inclu-yensugerencias y estrategias especficas que les permitirn enfrentarde manera ms eficiente cualquier problema asignado.Series de problemas de tarea. La mayora de los problemasson de naturaleza prctica y deben llamar la atencin del estudiante deingeniera. Sin embargo, estn diseados para ilustrar el material presen-tadoen el texto y ayudar a los estudiantes a comprender los principios dela mecnica. Los problemas se han agrupado de acuerdo con las partesdel material que ilustran y se presentan en orden de dificultad creciente.Los problemas que requieren atencin especial estn sealados median-teasteriscos. Al final del texto se proporcionan las respuestas correspon-dientesa 70 por ciento de los problemas propuestos; y aquellos paralos cuales no se da respuesta se indican en el libro escribiendo su n-meroen cursivas.Repaso y resumen del captulo. Cada captulo finaliza con unrepaso y un resumen del material cubierto en el mismo. Las notas almargen se utilizan para ayudar al estudiante a organizar su trabajo derevisin, adems se han incluido referencias cruzadas para ayudarlos aencontrar las partes de material que requieren atencin especial.Problemas de repaso. Al final de cada captulo se incluye ungrupo de problemas de repaso. Estos problemas proporcionan a los es-tudiantesuna oportunidad adicional de aplicar los conceptos ms im-portantespresentados en el captulo.xviii Prefacio
18. 18. Problemas de computadora. Cada captulo incluye un grupo Prefacio xixde problemas diseados para ser resueltos mediante programas decomputadora. Muchos de estos problemas son importantes para el pro-cesode diseo. Por ejemplo, pueden involucrar la determinacin delmovimiento de una partcula bajo condiciones iniciales, el anlisis ci-nemticoo cintico de mecanismos en posiciones sucesivas, o la inte-gracinnumrica de diferentes ecuaciones de movimiento. El desarro-llodel algoritmo requerido para resolver un problema de mecnicadado beneficiar a los estudiantes en dos formas diferentes: 1) les ayu-dara lograr una mejor comprensin de los principios de la mecnicainvolucrados; 2) les proporcionar la oportunidad de aplicar sus habi-lidadescon la computadora a la resolucin de un problema relevantede ingeniera.MATERIALES DE APOYOEsta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen losprocesos de enseanza-aprendizaje, as como la evaluacin de los mis-mos,los cuales se otorgan a profesores que adoptan este texto para suscursos. Para obtener ms informacin y conocer la poltica de entregade estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill o enveun correo electrnico a marketinghe@mcgraw-hill.com.CONEXIN CON LA INGENIERA DE MCGRAW-HILLLa Conexin de McGraw-Hill con la Ingeniera (McGraw-HillConnect Engineering) es una plataforma de tareas y evaluacin queproporciona a los estudiantes los medios para conectarse de mejormanera con su curso, sus profesores y los conceptos importantes quenecesitarn conocer para su xito en la actualidad y en el futuro.Mediante la Conexin con la Ingeniera, los profesores puedenentregar con facilidad tareas, tests y exmenes en lnea. Losestudiantes pueden practicar habilidades importantes a su propioritmo y de acuerdo con su propio programa.La Conexin con la Ingeniera de Mecnica vectorial para inge-nierosest disponible en www.mhhe.com/beerjohnston e incluyeproblemas algortmicos del texto, presentaciones en PowerPoint, unbanco de imgenes y animaciones.OPCIONES DE LIBRO ELECTRNICOLos libros electrnicos son una forma innovadora de ahorrarle dineroa los estudiantes y al mismo tiempo crear un medio ambiente msverde. Un libro electrnico puede ahorrarle a los estudiantes cerca dela mitad del costo de un libro de texto tradicional y ofrece caracte-rsticasnicas como un poderoso dispositivo de bsqueda, textoresaltado y la capacidad de compartir notas con compaeros de claseque usan libros electrnicos.McGraw-Hill ofrece dos opciones de libros electrnicos: la com-prade un libro descargable de VitalSource o una suscripcin al librode CourseSmart. Para conocer ms acerca de las opciones de libroselectrnicos, contacte a su distribuidor McGraw-Hill o visite los sitiosde manera directa en www.vitalsource.com y www.coursesmart.com.
19. 19. xx Prefacio AGRADECIMIENTOSLos autores desean agradecer de manera especial a Dean Updike, deLehigh University, quien verific completamente las soluciones y res-puestasde todos los problemas de esta edicin, y despus prepar lassoluciones del Manual para el instructor y de soluciones adicional altexto.Es un placer reconocer el trabajo de Dennis Ormond de Fine LineIllustrations por las artsticas ilustraciones que contribuyen en granmedida a la efectividad del texto.Los autores agradecen a las diferentes empresas que proporcionaronfotografas para esta edicin. Tambin desean reconocer el esfuerzo de-terminadoy la paciencia de Sabina Dowell, quien seleccion las fotogra-fas.Un agradecimiento adicional para los miembros de la organizacinMcGraw-Hill por su apoyo y dedicacin en preparar esta nueva edicin.Por ltimo, los autores expresan su gratitud por los numerosos co-mentariosy sugerencias proporcionados por los usuarios de las edicionesanteriores de Mecnica vectorial para ingenieros.E. Russell Johnston, Jr.Phillip J. Cornwell
20. 20. xxiLista de smbolosa, a Aceleracina Constante; radio; distancia; eje semimayor de la elipsea, a Aceleracin del centro de masaaBA Aceleracin de B relativa al sistema de referencia en traslacin con AaP Aceleracin de P relativa al sistema de referencia en rotacin ac Aceleracin de CoriolisA, B, C, . . . Reacciones en soportes y conexionesA, B, C, . . . PuntosA reab Ancho; distancia; eje semimenor de la elipsec Constante; coeficiente de amortiguamiento viscosoC Centroide; centro instantneo de rotacin; capacitanciad Distanciaen, et Vectores unitarios a lo largo de la normal y la tangenteer, e Vectores unitarios en las direcciones radial y transversale Coeficiente de restitucin; base de los logaritmos naturalesE Energa mecnica total; voltajef Funcin escalarff Frecuencia de vibracin forzadafn Frecuencia naturalF Fuerza; fuerza de friccing Aceleracin de la gravedadG Centro de gravedad; centro de masa; constante de gravitacinh Momento angular por masa unitariaHO Momento angular alrededor del punto OHG Razn de cambio de la cantidad de movimiento angular HG con respecto a unsistema de referencia de orientacin fija(HG)Gxyz Razn de cambio de la cantidad de movimiento angular HG con respecto a unsistema de referencia en rotacin Gxyzi, j, k Vectores unitarios a lo largo de los ejes de coordenadasi CorrienteI, Ix, . . . Momentos de inerciaI Momento centroidal de inerciaIxy, . . . Productos de inerciaJ Momento polar de inerciak Constante de resortekx, ky, kO Radio de girok Radio de giro centroidall LongitudL Cantidad de movimiento linealL Longitud; inductanciam Masam Masa por unidad de longitudM Par; momentoMO Momento alrededor del punto OMRO Momento resultante alrededor del punto OM Magnitud de par o momento; masa de la TierraMOL Momento alrededor del eje OLn Direccin normal
21. 21. N Componente normal de la reaccinO Origen de coordenadasP Fuerza; vectorPRazn de cambio del vector P con respecto a un sistema de referencia deorientacin fijaq Razn de flujo de masa; carga elctricaQ Fuerza; vectorQRazn de cambio del vector Q con respecto a un sistema de referencia deorientacin fija(Q)Oxyz Razn de cambio del vector Q con respecto al sistema de referencia Oxyzr Vector de posicinrBA Vector de posicin de B relativo a Ar Radio; distancia; coordenada polarR Fuerza resultante; vector resultante; reaccinR Radio de la Tierra; resistencias Vector de posicins Longitud de arcot Tiempo; espesor; direccin tangencialT FuerzaT Tensin; energa cinticau Velocidadu VariableU Trabajov, v Velocidadv Rapidezv, v Velocidad del centro de masavBA Velocidad de B relativa al sistema de transferencia en traslacin con AvP Velocidad de P relativa al sistema de referencia en rotacin V Producto vectorialV Volumen; energa potencialw Carga por unidad de longitudW, W Peso; cargax, y, z Coordenadas rectangulares; distanciasx, y, z Derivadas temporales de las coordenadas x, y, zx, y, z Coordenadas rectangulares del centroide, centro de gravedad o centro de masa,Aceleracin angular, ,ngulos Peso especfico Elongacin Excentricidad de seccin cnica o de rbita Vector unitario a lo largo de una lnea Eficiencia Coordenada angular; ngulo euleriano; ngulo; coordenada polar Coeficiente de friccinDensidad; radio de curvatura Periodon Periodo de vibracin libre
22. 22. ngulo de friccin; ngulo euleriano; ngulo de fase; nguloDiferencia de fase ngulo euleriano,Velocidad angularf Frecuencia circular de vibracin forzadan Frecuencia circular natural Velocidad angular del sistema de referenciaxxii Lista de smbolos
23. 23. El movimiento del transbordador espacialse describe en trminos de su posicin,velocidad y aceleracin. Al aterrizar,el piloto debe considerar la velocidaddel viento y el movimiento relativo deltransbordador con respecto al viento. Elestudio del movimiento se conoce comocinemtica y es el objeto de estudio en estecaptulo.600
24. 24. CAPTULO11Cinemtica de partculas601
25. 25. 60211.1. INTRODUCCIN A LA DINMICALos captulos 1 al 10 se dedicaron a la esttica, esto es, al anlisis de loscuerpos en reposo. Ahora se inicia el estudio de la dinmica, parte de lamecnica que se refiere al anlisis de los cuerpos en movimiento.En tanto que el estudio de la esttica se remonta al tiempo de losfilsofos griegos, la primera contribucin importante a la dinmica larealiz Galileo (1564-1642). Los experimentos de Galileo en cuerposuniformemente acelerados llevaron a Newton (1642-1727) a formular susleyes de movimiento fundamentales.La dinmica incluye:1. La cinemtica, la cual corresponde al estudio de la geometradel movimiento. Se utiliza para relacionar el desplazamiento,la velocidad, la aceleracin y el tiempo, sin hacer referencia ala causa del movimiento.2. La cintica, que es el estudio de la relacin que existe entrelas fuerzas que actan sobre un cuerpo, su masa y el movi-mientode este mismo. La cintica se utiliza para predecir elmovimiento ocasionado por fuerzas dadas, o para determinarlas fuerzas que se requieren para producir un movimiento es-pecfico.Los captulos 11 al 14 abordan la dinmica de partculas; en el ca-ptulo11 se considera la cinemtica de partculas. El uso de la pala-brapartculas no significa que el estudio se restringir a pequeoscorpsculos, sino que en estos primeros captulos el movimiento decuerpos posiblemente tan grandes como automviles, cohetes oaviones ser considerado sin tomar en cuenta su tamao. Al afirmarque los cuerpos se analizan como partculas, se entiende que slo se vaa considerar su movimiento como una unidad completa, y se ignoracualquier rotacin alrededor de su propio centro de masa. Sin embar-go,hay casos en los que dicha rotacin no es despreciable; entonces nopueden considerarse como partculas. Este tipo de movimiento se ana-lizaen los captulos finales, en los que se trata la dinmica de cuerposrgidos.En la primera parte del captulo 11 se estudia el movimientorectilneo de una partcula; esto es, se determina la posicin, velocidady aceleracin de una partcula en todo instante conforme sta se muevea lo largo de una lnea recta. Primero, se emplean mtodos generalesde anlisis para estudiar el movimiento de una partcula; despus seconsideran dos casos particulares importantes, a saber, el movimientouniforme y el movimiento uniformemente acelerado de una partcula(secciones 11.4 y 11.5). En la seccin 11.6, se aborda el movimientosimultneo de varias partculas, y se presenta el concepto de movi-mientorelativo de una partcula con respecto a otra. La primera partede este captulo concluye con un estudio de mtodos grficos de anli-sisy su aplicacin en la solucin de diversos problemas que implican elmovimiento rectilneo de partculas (secciones 11.7 y 11.8).En la segunda parte de este captulo se analiza el movimiento deuna partcula cuando sta se mueve a lo largo de una trayectoriacurva. Puesto que la posicin, velocidad y aceleracin de una par-tculase definen como cantidades vectoriales, el concepto de la deri-vadade una funcin vectorial se presenta en la seccin 11.10 y seaade a las herramientas matemticas. Despus se estudian las apli-CAPTULO 11 CINEMTICADE PARTCULAS11.1 Introduccin a la dinmica11.2 Posicin, velocidad y aceleracin11.3 Determinacin del movimientode una partcula11.4 Movimiento rectilneo uniforme11.5 Movimiento rectilneouniformemente acelerado11.6 Movimiento de varias partculas11.7 Solucin grfica de problemasde movimiento rectilneo11.8 Otros mtodos grficos11.9 Vector de posicin, velocidady aceleracin11.10 Derivadas de funcionesvectoriales11.11 Componentes rectangulares de lavelocidad y la aceleracin11.12 Movimiento relativo a un sistemade referencia en traslacin11.13 Componentes tangencialy normal11.14 Componentes radial y transversal
26. 26. caciones en las que el movimiento de una partcula se define median- 11.2. Posicin, velocidad y aceleracin 603te las componentes rectangulares de su velocidad y aceleracin; eneste punto se analiza el movimiento de un proyectil (seccin 11.11).En la seccin 11.12 se estudia el movimiento de una partcula enrelacin con el sistema de referencia en traslacin. Por ltimo, se ana-lizael movimiento curvilneo de una partcula en trminos de com-ponentesque no sean las rectangulares. Las componentes tangencialy normal de la velocidad y la aceleracin de una partcula se presen-tanen la seccin 11.13 y las componentes radial y transversal de suvelocidad y aceleracin en la seccin 11.14.MOVIMIENTO RECTILNEO DE PARTCULAS11.2. POSICIN, VELOCIDAD Y ACELERACINUna partcula que se mueve a lo largo de una lnea recta se dice quese encuentra en movimiento rectilneo. En cualquier instante dado t,la partcula ocupar cierta posicin sobre la lnea recta. Para definir laposicin P de la partcula se elige un origen fijo O sobre la direccinpositiva a lo largo de la lnea. Se mide la distancia x desde O hasta P,y se marca con un signo ms o menos, dependiendo de si P se alcanzadesde O al moverse a lo largo de la lnea en la direccin positiva o enla negativa, respectivamente. La distancia x, con el signo apropiado, de-finepor completo la posicin de la partcula, y se denomina como lacoordenada de la posicin de la partcula. Por ejemplo, la coordenadade la posicin correspondiente a P en la figura 11.1a) es x5 m; lacoordenada correspondiente a P en la figura 11.1b) es x2 m.Cuando se conoce la coordenada de la posicin x de una partculapara cualquier valor de tiempo t, se afirma que se conoce el movi-mientode la partcula. El itinerario del movimiento puede expresar-seen forma de una ecuacin en x y t, tal como x6t2t3, o en unagrfica de x en funcin de t, como se indica en la figura 11.6. Las uni-dadesque se usan con mayor frecuencia para medir la coordenada dela posicin x son el metro (m) en el sistema de unidades SI y el pie (ft)en el sistema de unidades ingls. El tiempo t suele medirse en segun-dos(s).Considere la posicin P ocupada por la partcula en el tiempo t yla coordenada correspondiente x (figura 11.2). Considere tambin laposicin P ocupada por la partcula en un tiempo posterior t t; lacoordenada de la posicin P puede obtenerse sumando a la coorde-nadax de P el pequeo desplazamiento x, el cual ser positivo onegativo segn si P est a la derecha o a la izquierda de P. La veloci-dadpromedio de la partcula sobre el intervalo de tiempo t se defi-necomo el cociente entre el desplazamiento x y el intervalo detiempo t:Velocidad promedio x tCf. Seccin 1.3.Figura 11.1Figura 11.2OOPxxa)b)1 mPxx1 mOPxP'x(t) (t + t) xFotografa 11.1 El movimiento de este vehculosolar se describe mediante su posicin, velocidady aceleracin.
27. 27. 604 Cinemtica de partculas Si se usan unidades del SI, x se expresa en metros y t en segundos,la velocidad promedio se expresa consecuentemente en metros porsegundo (m/s). Si se recurre a las unidades de uso comn en EstadosUnidos, x se expresa en pies y t en segundos; la velocidad promediose expresar entonces en pies por segundo (ft/s).La velocidad instantnea v de la partcula en el instante t se obtie-nede la velocidad promedio al elegir intervalos t y desplazamientosx cada vez ms cortos:Velocidad instantneavlmty0La velocidad instantnea se expresa tambin en m/s o ft/s. Observandoque el lmite del cociente es igual, por definicin, a la derivada de x conrespecto a t, se escribev(11.1)La velocidad v se representa mediante un nmero algebraico quepuede ser positivo o negativo. Un valor positivo de v indica que xaumenta, esto es, que la partcula se mueve en la direccin positiva(figura 11.3a); un valor negativo de v indica que x disminuye, es decir,que la partcula se mueve en direccin negativa (figura 11.3b). La mag-nitudde v se conoce como la rapidez de la partcula.Considere la velocidad v de la partcula en el tiempo t y tambinsu velocidad vv en un tiempo posterior tt (figura 11.4). Laaceleracin promedio de la partcula sobre el intervalo de tiempo t serefiere como el cociente de v y t:Aceleracin promedio Si se utilizan las unidades del SI, v se expresa en m/s y t en segun-dos;la aceleracin promedio se expresar entonces en m/s2. Si serecurre a las unidades de uso comn en Estados Unidos, v se expre-saen ft/s y t en segundos; la aceleracin promedio se expresa enton-cesen ft/s2.La aceleracin instantnea a de la partcula en el instante t seobtiene de la aceleracin promedio al escoger valores de t y v cadavez ms pequeos:Aceleracin instantneaalmty0v tv tdxdtx tFigura 11.3P P' v + vFigura 11.4Como se ver en la seccin 11.9, la velocidad es en realidad una cantidad vectorial. Sinembargo, puesto que aqu se considera el movimiento rectilneo de una partcula, en elcual la velocidad de la misma tiene una direccin conocida y fija, slo es necesario espe-cificarel sentido y la magnitud de la velocidad; esto puede llevarse a cabo de manera con-venienteutilizando una cantidad escalar con un signo ms o menos. Lo mismo se cumplepara la aceleracin de una partcula en movimiento rectilneo.a)Pb)Pxxv0v0(t) (t + t)xv
28. 28. La aceleracin instantnea se expresa tambin en m/s2 o ft/s2. El lmi- 11.2. Posicin, velocidad y aceleracin 605te del cociente, el cual es por definicin la derivada de v con respectoa t, mide la razn de cambio de la velocidad. Se escribedvdta(11.2)o, con la sustitucin de v de (11.1),d2xdt2a(11.3)La aceleracin a se representa mediante un nmero algebraico quepuede ser positivo o negativo. Un valor positivo de a indica que lavelocidad (es decir, el nmero algebraico v) aumenta. Esto puedesignificar que la partcula se est moviendo ms rpido en la direc-cinpositiva (figura 11.5a) o que se mueve ms lentamente en ladireccin negativa (figura 11.5b); en ambos casos, v es positiva. Unvalor negativo de a indica que disminuye la velocidad; ya sea que lapartcula se est moviendo ms lentamente en la direccin positiva(figura 11.5c) o que se est moviendo ms rpido en la direccinnegativa (figura 11.5d).Figura 11.5El trmino desaceleracin se utiliza en algunas ocasiones para re-ferirsea a cuando la rapidez de la partcula (esto es, la magnitud dev) disminuye; la partcula se mueve entonces con mayor lentitud. Porejemplo, la partcula de la figura 11.5 se desacelera en las partes b yc; en verdad se acelera (es decir, se mueve ms rpido) en las partesa y d.Es posible obtener otra expresin para la aceleracin eliminando ladiferencial dt en las ecuaciones (11.1) y (11.2). Al resolver (11.1) paradt, se obtiene dtdxv; al sustituir en (11.2), se escribedvdxav (11.4)Vase la nota al pie, pgina 604.vPxP'v'a0a)xvP' Pv'a0b)xvP P'v'a0c)xvP' Pv'a0d)
29. 29. 606 Cinemtica de partculas Ejemplo. Considere la partcula que se mueve en una lnea rectay suponga que su posicin est definida por la ecuacinx6t2t3donde t se expresa en segundos y x en metros. La velocidad de v encualquier tiempo t se obtiene al diferenciar x con respecto a tdx dtv 12t3t2La aceleracin a se obtiene al diferenciar otra vez con respecto a t:dv dta 126tLa coordenada de la posicin, la velocidad y la aceleracin se hangraficado contra t en la figura 11.6. Las curvas obtenidas se cono-cencomo curvas de movimiento. Recurdese, sin embargo, que lapartcula no se mueve a lo largo de ninguna de estas curvas; la par-tculase mueve en una lnea recta. Puesto que la derivada de unafuncin mide la pendiente de la curva correspondiente, la pendientede la curva x-t en cualquier tiempo dado es igual al valor de v enese tiempo y la pendiente de la curva v-t es igual al valor de a. Puestoque a0 en t2 s, la pendiente de la curva v-t debe ser cero ent2 s; la velocidad alcanza un mximo en este instante. Adems,puesto que v0 en t0 y t4 s la tangente a la curva x-t debeser horizontal para ambos de estos valores de t.Un estudio de las tres curvas de movimiento de la figura 11.6muestra que el movimiento de la partcula desde t0 hasta t puede dividirse en cuatro etapas:1. La partcula inicia desde el origen, x0, sin velocidad perocon una aceleracin positiva. Bajo esta aceleracin, gana unavelocidad positiva y se mueve en la direccin positiva. De t 0 a t2 s, x, v y a son todas positivas.2. En t2 s, la aceleracin es cero; la velocidad ha alcanzadosu valor mximo. De t2 s a t4 s, v es positiva, pero a esnegativa. La partcula an se mueve en direccin positiva, perocada vez ms lentamente; la partcula se est desacelerando.3. En t4 s, la velocidad es cero; la coordenada de la posicinx ha alcanzado su valor mximo. A partir de ah, tanto v comoa son negativas; la partcula se est acelerando y se mueve enla direccin negativa con rapidez creciente.4. En t6 s, la partcula pasa por el origen; su coordenada x esen ese caso cero, en tanto que la distancia total recorrida desdeel principio del movimiento es de 64 m. Para valores mayoresde t que 6 s, x, v y a sern todas negativas. La partcula con-tinamovindose en la direccin negativa, alejndose de O,cada vez ms rpido. x(m)v(m/s)2436Figura 11.6t (s)t (s)t (s)3224168012224466012a(m/s2)12012242 4 6
30. 30. 11.3. Determinacin del movimiento 607de una partcula 11.3. DETERMINACIN DEL MOVIMIENTODE UNA PARTCULAEn la seccin anterior se afirma que el movimiento de una partculaes conocido si se sabe la posicin de la partcula para todo valor deltiempo t. En la prctica, sin embargo, un movimiento rara vez se de-finepor medio de una relacin entre x y t. Con mayor frecuencia, lascondiciones del movimiento se especificarn por el tipo de acelera-cinque posee la partcula. Por ejemplo, un cuerpo en cada libretendr una aceleracin constante, dirigida hacia abajo e igual a 9.81m/s2, o 32.2 ft/s2; una masa unida a un resorte que se ha estirado ten-druna aceleracin proporcional a la elongacin instantnea delresorte, medida desde la posicin de equilibrio, etc. En general, laaceleracin de la partcula puede expresarse como una funcin deuna o ms de las variables x, v y t. Para determinar la coordenada dela posicin x en trminos de t, ser necesario efectuar dos integracio-nessucesivas.Se considerarn tres clases comunes de movimiento:1. af(t). La aceleracin es una funcin dada de t. Al resolver(11.2) para dv y sustituir f(t) por a, se escribedva dtdvf(t) dtAl integrar ambos miembros, se obtiene la ecuacin dv f(t) dtque define v en trminos de t. Sin embargo, debe notarseque una constante arbitraria se introducir como resultadode la integracin. Esto se debe al hecho de que hay muchosmovimientos que corresponden a la aceleracin dada a f(t). Para definir en forma nica el movimiento de la partcu-la,es necesario especificar las condiciones iniciales del movi-miento,esto es, el valor de v0 de la velocidad y el valor x0 dela coordenada de la posicin en t0. Al sustituir las inte-gralesindefinidas por integrales definidas con los lmitesinferiores correspondientes a las condiciones iniciales t0 yvv0 y los lmites superiores correspondientes a tt y v v, se escribevv0dvt0f(t) dtvv0t0f(t) dtlo cual produce v en trminos de t.La ecuacin (11.1) puede resolverse ahora para dx,dxv dty la expresin que se acaba de obtener sea sustituida por v.Ambos miembros se integran despus, el miembro izquierdocon respecto a x desde xx0 hasta xx, y el miembro de-bee76985_
31. 31. 608 Cinemtica de partculas recho respecto a t desde t0 hasta tt. La coordenada dela posicin x se obtiene de ese modo en trminos de t; el mo-vimientoest completamente determinado.Dos casos particulares importantes se estudiarn con grandetalle en las secciones 11.4 y 11.5: el caso en el que a0,que corresponde a un movimiento uniforme, y en el que a constante, que corresponde a un movimiento uniformementeacelerado.2. af(x). La aceleracin se da en funcin de x. Al reordenar laecuacin (11.4) y sustituir f(x) para a, se escribev dva dxv dvf(x) dxPuesto que cada miembro contiene slo una variable, se puedeintegrar la ecuacin. Denotando de nuevo mediante v0 y x0,respectivamente, los valores iniciales de la velocidad y la co-ordenadade la posicin, se obtienevv0v dvxx0f(x) dx12v212v20 xx0f(x) dxla cual produce v en trminos de x. A continuacin se resuel-ve(11.1) para dt,dt dxvy se sustituye por v la expresin que acaba de obtenerse. Ambosmiembros pueden integrarse entonces para obtener la relacindeseada entre x y t. Sin embargo, en muchos casos esta ltimaintegracin no puede llevarse a cabo de manera analtica y deberecurrirse a un mtodo de integracin numrico.3. af(v). La aceleracin es una funcin dada de v. Es posiblesustituir f(v) por a en (11.2) u (11.4) para obtener cualquierade las relaciones siguientes:ddf(v)vt ddf(v)vvx d(vdtfv) dx vdv)f(vLa integracin de la primera ecuacin producir una rela-cinentre v y t; la integracin de la segunda ecuacin ori-ginaruna relacin entre v y x. Cualquiera de estas relacionespuede utilizarse junto con la ecuacin (11.1) para obtenerla relacin entre x y t que caracteriza el movimiento de lapartcula.
32. 32. PROBLEMA RESUELTO 11.1La posicin de una partcula que se mueve a lo largo de una lnea recta estdefinida por la relacin xt36t215t40, donde x se expresa en piesy t en segundos. Determine a) el tiempo al cual la velocidad ser cero, b) laposicin y la distancia recorrida por la partcula en ese tiempo, c) la acelera-cinde la partcula en ese tiempo, d) la distancia recorrida por la partculadesde t4 s hasta t6 s.SOLUCINLas ecuaciones de movimiento sonxt36t215t40 (1)vddxt3t2 12t15 (2)ddavt6t12 (3)a) Tiempo en el cual v0. Se fija v0 en (2):3t212t150 t1 s y t5 sSlo la raz t5 s corresponde a un tiempo despus de que el movimientose ha iniciado: para t5 s, v0, la partcula se mueve en direccin nega-tiva;para t 5 s, v 0, la partcula se mueve en direccin positiva.b) Posicin y distancia recorrida cuando v0. Al sustituir t 5 s en (1), se tienex5(5)36(5)215(5)40 x560 ftLa posicin inicial en t0 fue x040 ft. Puesto que v 0 durante el in-tervalot0 a t5 s se tieneDistancia recorridax5x060 ft40 ft100 ftDistancia recorrida100 ft en la direccin negativac) Aceleracin cuando v0. Se sustituye t5 s en (3):a56(5)12 a518 ft/s2d) Distancia recorrida desde t4 s hasta t6 s. La partcula semueve en la direccin negativa desde t4 s hasta t5 s y en direccinpositiva desde t5 s hasta t6 s; por lo tanto, la distancia recorrida du-rantecada uno de estos intervalos de tiempo se calcular por separado.De t4 s a t5 s: x560 ftx4(4)36(4)215(4)4052 ftDistancia recorridax5x460 ft(52 ft)8 ft 8 ft en la direccin negativaDe t5 s a t6 s: x560 ftx6(6)36(6)215(6)4050 ftDistancia recorridax6x550 ft(60 ft)10 ft 10 ft en la direccin positivaLa distancia total recorrida desde t4 s hasta t6 s es de 8 ft10 ft 18 ft609x (ft)40060v(ft/s)t (s)t (s)t (s)0a(ft/s2)180+5+5+2 +5
33. 33. PROBLEMA RESUELTO 11.2Una pelota se lanza con una velocidad de 10 m/s dirigida verticalmente haciaarriba desde una ventana ubicada a 20 m sobre el suelo. Si se sabe que la ace-leracinde la pelota es constante e igual a 9.81 m/s2 hacia abajo, determinea) la velocidad v y la elevacin y de la pelota sobre el suelo en cualquier tiem-pot, b) la elevacin ms alta que alcanza la pelota y el valor correspondientede t, c) el tiempo en el que la pelota golpea el suelo y la velocidad corres-pondiente.Dibuje las curvas v-t y y-t.SOLUCINa) Velocidad y elevacin. El eje y que mide la coordenada de la po-sicin(o elevacin) se elige con su origen O sobre el suelo y su sentido po-sitivohacia arriba. El valor de la aceleracin y los valores iniciales de v y yson como se indica. Al sustituir a en advdt y observar que en t0, v0 10 m/s, se tieneddvta9.81 m/s2vv010dvt09.81 dt[v]v10[9.81t]t0v109.81tv109.81t (1)Al sustituir v en vdydt y observar que en t0, y020 m, se tieneddytv109.81tyy020dyt0(109.81t) dt[y]y20[10t4.905t2]t0y2010t4.905t2y2010t4.905t2 (2)b) Mxima elevacin. Cuando la pelota alcanza su mxima eleva-cin,se tiene v0. Al sustituir en (1), se obtiene109.81t0 t1.019 sAl sustituir t1.019 s en (2), se tieney2010(1.019)4.905(1.019)2 y25.1 mc) La pelota golpea el suelo. Cuando la pelota golpea el suelo, setiene y0. Al sustituir en (2), se obtiene2010t4.905t20 t1.243 s y t3.28 sSlo la raz t3.28 s corresponde a un tiempo despus de que el movi-mientose ha iniciado. Al considerar este valor de t en (1), se tienev109.81(3.28)22.2 m/s v22.2 m/sw610yOv0 = +10 m/sa = 9.81 m/s2y0 = +20 mv(m/s)Curva velocidad-tiempot(s)0y(m)3.283.2822.225.11.019Curvaposicin-tiempo1.01910200t(s)Pendiente = a = 9.81 m/s2Pendiente = v0 = 10 m /sPendiente = v = 22.2 m /s
34. 34. PROBLEMA RESUELTO 11.3El mecanismo de freno que se usa para reducir el retroceso en ciertos tiposde caones consiste esencialmente en un mbolo unido a un can que semueve en un cilindro fijo lleno de aceite. Cuando el can retrocede con unavelocidad inicial v0, el mbolo se mueve y el aceite es forzado a travs de losorificios en el mbolo, provocando que este ltimo y el can se desacelerena una razn proporcional a su velocidad; esto es, akv. Exprese a) v entrminos de t, b) x en trminos de t, c) v en trminos de x. Dibuje las curvasdel movimiento correspondiente.SOLUCINa) v trminos de t. Al sustituir kv por a en la expresin fundamen-talque define a la aceleracin, advdt, se escribeddkvvtdv vk dt vv0dvvk t0dtv0ln kt vv0ektvb) x en trminos de t. Al sustituir la expresin que acaba de obte-nersepara v en vdxdt, se escribeddv0ektxtx0dxv0 t0ekt dtvkx0[ekt]tvk00(ekt1)vkx0(1ekt)c) v en trminos de x. Mediante la sustitucin kv para a en avdv/dx, se escribeddkvvvx dvk dxvv0dvk x0dxvv0kx vv0kxComprobacin. La parte c) podra haberse resuelto al eliminar t delas respuestas obtenidas para las partes a) y b). Este mtodo alternativo puedeutilizarse como una comprobacin. De la parte a) se obtiene ektvv0; alsustituir en la respuesta de la parte b), se obtienevvx(1ekt)1 vv0kx (comprobacin)0v0kv0k611mboloAceitevv0O txv0kO tvv0v0kO x
35. 35. RESOLUCIN DE PROBLEMASEN FORMA INDEPENDIENTEEn los problemas de esta leccin se pide determinar la posicin, la velocidad o laaceleracin de una partcula en movimiento rectilneo. En cada problema, es impor-tanteidentificar tanto la variable independiente (por lo comn t o x) y qu es lo quese pide (por ejemplo, la necesidad de expresar v como una funcin de x). Se reco-miendaempezar cada problema escribiendo tanto la informacin dada como un enun-ciadosimple de lo que se va a determinar.1. Obtencin de v(t) y a(t) para una x(t) dada. Como se explic en la seccin11.2, la primera y segunda derivadas de x con respecto a t son respectivamente igua-lesa la velocidad y a la aceleracin de la partcula [ecuaciones (11.1) y (11.2)]. Si lavelocidad y la aceleracin tienen signos opuestos, la partcula puede llegar al reposoy despus moverse en la direccin opuesta [problema resuelto 11.1]. As, cuando secalcula la distancia total recorrida por una partcula, se debe determinar primero sila partcula lleg al reposo durante el intervalo de tiempo especificado. Al construirun diagrama similar al del problema resuelto 11.1 que muestra la posicin y la velo-cidadde la partcula y cada instante crtico (vvmx, v0, etc.), se contar conuna ayuda para visualizar el movimiento.2. Obtencin de v(t) y x(t) para una a(t) dada. La solucin de problemas deeste tipo se analiz en la primera parte de la seccin 11.3. Se recurre a las condicio-nesiniciales, t0 y vv0, como los lmites inferiores de las integrales en t y v,pero es posible utilizar cualquier otro estado conocido (por ejemplo, tt1, vv1).Adems, si la funcin a(t) contiene una constante desconocida (por ejemplo, la cons-tantek si akt), primero se debe determinar la constante al sustituir un conjuntode valores conocidos de t y a en la ecuacin que define a a(t).3. Obtencin de v(x) y x(t) para una a(x) dada. ste es el segundo caso con-sideradoen la seccin 11.3. Los lmites inferiores de integracin pueden ser los decualquier estado conocido (por ejemplo, xx1, vv1). Adems, puesto que v vmx cuando a0, las posiciones donde ocurren los valores mximos de la veloci-dadse determinan con facilidad al escribir a(x)0 y al resolver para x.4. Obtencin de v(x), v(t) y x(t) para una a(v) dada. ste es el ltimo casoque se abord en la seccin 11.3; las tcnicas de solucin apropiadas para problemasde este tipo se ilustran en el problema resuelto 11.3. Todos los comentarios genera-lescorrespondientes a los casos anteriores tambin se aplican en esta situacin. Elproblema resuelto 11.3 proporciona un resumen de cmo y cundo utilizar las ecua-cionesvdxdt, advdt y av dvdx.612
36. 36. 613Problemas11.1 El movimiento de una partcula est definido por la relacinx1.5t4 30t25t10, donde x y t se expresan en metros y segundos,respectivamente. Determine la posicin, la velocidad y la aceleracin de lapartcula cuando t = 4 s.11.2 El movimiento de una partcula est definido por la relacinx = 12t3 18t22t5, donde x y t se expresan en metros y segundos, res-pectivamente.Determine la posicin y la velocidad cuando la aceleracin dela partcula es igual a cero.11.3 El movimiento de una partcula est definido por la relacinx = 53t3 52t230t8x, donde x y t se expresan en pies y segundos, res-pectivamente.Determine el tiempo, la posicin y la aceleracin cuandov0.11.4 El movimiento de una partcula est definido por la relacin x 6t2 840 cos t, donde x y t se expresan en pulgadas y segundos, res-pectivamente.Determine la posicin, la velocidad y la aceleracin de la par-tculacuando t6 s.11.5 El movimiento de una partcula est definido por la relacinx6t4 2t3 12t23t3, donde x y t se expresan en metros y segun-dos,respectivamente. Determine el tiempo, la posicin y la velocidad cuandoa0.11.6 El movimiento de una partcula est definido por la relacinx2t3 15t224t4, donde x se expresa en metros y t en segundos.Determine a) cundo la velocidad es cero, b) la posicin y la distancia totalviajada hasta ese momento cuando la aceleracin es cero.11.7 El movimiento de una partcula est definido por la relacinxt3 6t236t40, donde x y t se expresan en pies y segundos, res-pectivamente.Determine a) cundo la velocidad es cero, b) la velocidad, laaceleracin y la distancia total viajada cuando x0.11.8 El movimiento de una partcula est definido por la relacinxt3 9t224t8, donde x y t se expresan en pulgadas y segundos, res-pectivamente.Determine a) cundo la velocidad es cero, b) la posicin y ladistancia total recorrida cuando la aceleracin es cero.11.9 La aceleracin de una partcula se define mediante la relacina8 m/s2. Si se sabe que x20 m cuando t4 s y x4 m cuandov16 m/s, determine a) el tiempo cuando la velocidad es cero, b) la velo-cidady la distancia total recorrida cuando t11 s.Las respuestas a todos los problemas cuyo nmero est en tipo recto (como en 11.1)se presentan al final del libro. No se dan las respuestas a los problemas con nmeros enitlicas (como en 11.7).
37. 37. 614 Cinemtica de partculas 11.10 La aceleracin de una partcula es directamente proporcionalal cuadrado del tiempo t. Cuando t0, la partcula est en x24 m. Sise sabe que en t6 s, x96 m y v18 m/s, exprese x y v en trminosde t.11.11 La aceleracin de una partcula es directamente proporcionalal tiempo t. Cuando t0, la velocidad de la partcula es v16 in./s. Si sesabe que v15 in./s, y que x20 in. cuando t1 s, determine la velo-cidad,la posicin y la distancia total recorrida cuando t7 s.11.12 La aceleracin de una partcula est definida por la relacinakt2. a) Si se sabe que v32 ft/s cuando t0 y que v32 ft/scuando t4 s, determine la constante k. b) Escriba las ecuaciones de mo-vimiento,sabiendo tambin que x0 cuando t4 s.11.13 La aceleracin de una partcula se define mediante la relacinaA 6t2, donde A es constante. En t0, la partcula inicia en x8 mcon v0. Si se sabe que t1 s y v30 m/s, determine a) los tiempos enlos que la velocidad es cero, b) la distancia total recorrida por la partculacuando t5 s.11.14 Se sabe que desde t2 s hasta t10 s, la aceleracin de unapartcula es inversamente proporcional al cubo del tiempo t. Cuando t 2 s, v 15 m/s y cuando t10 s, v0.36 m/s. Si se sabe que la partcu-laest dos veces ms lejos del origen cuando t2 s que cuando t 10 s, determine a) la posicin de la partcula cuando t2 s y cuandot10 s, b) la distancia total recorrida por la partcula desde t2 s has-tat10 s.11.15 La aceleracin de una partcula est definida por la relacinak/x. Se ha determinado experimentalmente que v15 ft/s cuando x 0.6 ft y que v9 ft/s cuando x1.2 ft. Determine a) la velocidad de lapartcula cuando x1.5 ft, b) la posicin de la partcula en la que su velo-cidades cero.11.16 Una partcula que inicia desde el reposo en x1 ft se acelerade forma que la magnitud de su velocidad se duplica entre x2 ft y x8 ft.Si se sabe que la aceleracin de la partcula est definida por la relacinak[x (A/x)], determine los valores de las constantes A y k si la partculatiene una velocidad de 29 ft/s cuando x16 ft.11.17 Una partcula oscila entre los puntos x40 mm y x160 mmcon una aceleracin ak(100 x), donde a y x se expresan en mm/s2 y mm,respectivamente, y k es una constante. La velocidad de la partcula es de18 mm/s cuando x100 mm y es cero cuando x40 mm y cuandox160 mm. Determine a) el valor de k, b) la velocidad cuando x120 mm.11.18 Una partcula parte desde el reposo en el origen y recibe unaaceleracin ak(x4)2, donde a y x se expresan en m/s2 y m, respectiva-mente,y k es una constante. Si se sabe que la velocidad de la partcula esde 4 m/s cuando x8 m, determine a) el valor de k, b) la posicin de lapartcula cuando v4.5 m/s, c) la velocidad mxima de la partcula.11.19 Una pieza de equipo electrnico que est rodeada por materialde empaque se deja caer de manera que golpea el suelo con una velocidadde 4 m/s. Despus del impacto, el equipo experimenta una aceleracin deakx, donde k es una constante y x es la compresin del material de em-paque.Si dicho material experimenta una compresin mxima de 20 mm,vFigura P11.19 determine la aceleracin mxima del equipo.
38. 38. 11.20 Con base en observaciones experimentales, la aceleracin deuna partcula est definida por la relacin a(0.1sen x/b), donde a yx se expresan en m/s2 y metros, respectivamente. Si se sabe que b0.8 my que v1 m/s cuando x0, determine a) la velocidad de la partculacuando x1 m, b) la posicin de la partcula en la que su velocidad esmxima, c) la velocidad mxima.11.21 A partir de x0, sin velocidad inicial, la aceleracin de unapartcula est definida por la relacin a0.8 v2 49, donde a y v seexpresan en m/s2 y m/s, respectivamente. Determine a) la posicin de la par-tculacuando v24 m/s, b) la rapidez de la partcula cuando x40 m.11.22 La aceleracin de una partcula est definida por la relacinakv, donde k es una constante. Si se sabe que en t0, x0 yv81 m/s y que v36 m/s cuando x18 m, determine a) la velocidadde la partcula cuando x20 m, b) el tiempo requerido para que la partculaquede en reposo.11.23 La aceleracin de una partcula se define mediante la relacina0.8v, donde a se expresa en in./s2 y v en in./s. Si se sabe que cuandot0 la velocidad es de 40 in./s, determine a) la distancia que recorrer lapartcula antes de quedar en reposo, b) el tiempo requerido para que la par-tculaquede en reposo, c) el tiempo requerido para que la velocidad de lapartcula se reduzca a 50 por ciento de su valor inicial.11.24 Una bola de boliche se deja caer desde una lancha, de maneraque golpea la superficie del lago con una rapidez de 25 ft/s. Si se supone quela bola experimenta una aceleracin hacia abajo a10 0.9v2 cuando esten el agua, determine la velocidad de la bola cuando golpea el fondo dellago.11.25 La aceleracin de una partcula se define mediante la relacina0.4(1 kv), donde k es una constante. Si se sabe que en t0 la partculaparte desde el reposo con x4 m, y que cuando t15 s, v4 m/s,determine a) la constante k, b) la posicin de la partcula cuando v6 m/s,c) la velocidad mxima de la partcula.11.26 Una partcula se proyecta hacia la derecha desde la posicinx0 con una velocidad inicial de 9 m/s. Si la aceleracin de la partcula sedefine mediante la relacin a0.6v3/2, donde a y v se expresan en m/s2y m/s, respectivamente, determine a) la distancia que habr recorrido lapartcula cuando su velocidad sea de 4 m/s, b) el tiempo cuando v1 m/s,c) el tiempo requerido para que la partcula recorra 6 m.11.27 Con base en observaciones, la velocidad de un atleta puedeaproximarse por medio de la relacin v7.5(10.04x)0.3, donde v y x seexpresan en mi/h y millas, respectivamente. Si se sabe que x0 cuandot0, determine a) la distancia que ha recorrido el atleta cuando t1 h,b) la aceleracin del atleta en ft/s2 cuando t0, c) el tiempo requerido paraque el atleta recorra 6 mi.11.28 Datos experimentales indican que en una regin de la corrientede aire que sale por una rejilla de ventilacin, la velocidad del aire emitidoest definido por v0.18v0/x, donde v y x se expresan en m/s y metros, res-pectivamente,y v0 es la velocidad de descarga inicial del aire. Para v03.6m/s, determine a) la aceleracin del aire cuando x2 m, b) el tiempo re-queridopara que el aire fluya de x1 a x3 m.Problemas 61530 ftFigura P11.24vFigura P11.27vxFigura P11.28
39. 39. 616 Cinemtica de partculas 11.29 La aceleracin debida a la gravedad a una altura y sobre la su-perficiede la Tierra puede expresarse comoa 32.2[1(y20.9 106)]2donde a y y se expresan en ft/s2 y pies, respectivamente. Utilice esta expresinpara calcular la altura que alcanza un proyectil lanzado verticalmente haciaarriba desde la superficie terrestre si su velocidad inicial es a) 1 800 ft/s,b) 3 000 ft/s, c) 36 700 ft/s.11.30 La aceleracin debida a la gravedad de una partcula que caehacia la Tierra es agR2/r2, donde r es la distancia desde el centro dela Tierra a la partcula, R es el radio terrestre y g es la aceleracin de la gra-vedaden la superficie de la Tierra. Si R3 960 mi, calcule la velocidad deescape, esto es, la velocidad mnima con la cual una partcula debe proyec-tarsehacia arriba desde la superficie terrestre para no regresar a la Tierra.(Sugerencia: v0 para r.)11.31 La velocidad de una partcula es vv0[1 sen(t/T)]. Sise sabe que la partcula parte desde el origen con una velocidad inicial v0,determine a) su posicin y su aceleracin en t3T, b) su velocidad promediodurante el intervalo de t0 a tT.11.32 La velocidad de una corredera se define mediante la relacinvvsen(wnt
40. 40. ). Si se denota la velocidad y la posicin de la correderaen t0 con v0 y x0, respectivamente, y se sabe que el desplazamiento m-ximode la corredera es 2x0, demuestre que a) v(v20 x202n)2x0n, b) elvalor mximo de la velocidad ocurre cuando xx0[3(v0x0n)2]2.11.4. MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEEl movimiento rectilneo uniforme es un tipo de movimiento en lnearecta que a menudo se encuentra en las aplicaciones prcticas. En estemovimiento, la aceleracin a de una partcula es cero para todo valorde t. En consecuencia, la velocidad v es constante, y la ecuacin (11.1)se transforma en vconstantedxdtLa coordenada de posicin x se obtiene cuando se integra esta ecua-cin.Al denotar mediante x0 el valor inicial de x, se escribexx0dxv t0dtxx0vtxx0vt (11.5)Esta ecuacin puede utilizarse slo si la velocidad de la partcula esconstante.PFigura P11.29Figura P11.30yRPr
41. 41. 11.5. MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTEACELERADOEl movimiento rectilneo uniformemente acelerado es otro tipo comnde movimiento. En ste, la aceleracin a de la partcula es constante, yla ecuacin (11.2) se convierte enddvtaconstanteLa velocidad v de la partcula se obtiene al integrar esta ecuacin:vv0dva t0dtvv0atvv0at (11.6)donde v0 es la velocidad inicial. Al sustituir por v en (11.1), se escribeddxtv0atAl denotar mediante x0 el valor inicial de x e integrar, se tienexx0dxt0(v0at) dt12at2xx0v0t12at2 (11.7)xx0v0tTambin se puede recurrir a la ecuacin (11.4) y escribirddvv a constantev dva dxx Al integrar ambos lados, se obtienevv0v dva xx0dx12(v2v20)a(xx0)v2v20 2a(xx0) (11.8)Las tres ecuaciones que se han deducido ofrecen relaciones tilesentre la coordenada de posicin, la velocidad y el tiempo en el casodel movimiento uniformemente acelerado, al sustituir los valores apro-piadosde a, v0 y x0. El origen O del eje x debe definirse primero y es-cogerseuna direccin positiva a lo largo del eje; esta direccin se usarpara determinar los signos de a, v0 y x0. La ecuacin (11.6) relacionav y t y debe utilizarse cuando se desee que el valor de v correspondaa un valor determinado de t, o de manera inversa. La ecuacin (11.7)11.5. Movimiento rectilneo 617uniformemente acelerado
42. 42. 618 Cinemtica de partculas relaciona a x y t; la ecuacin (11.8) relaciona a v y x. Una aplicacinimportante del movimiento uniformemente acelerado es el movimientode un cuerpo en cada libre. La aceleracin de un cuerpo en cada li-bre(usualmente denotada mediante g) es igual a 9.81 m/s2 o 32.2 ft/s2.Es importante recordar que las tres ecuaciones anteriores puedenutilizarse slo cuando se sabe que la aceleracin de la partcula es cons-tante.Si la aceleracin de la partcula es variable, su movimiento sedebe determinar a partir de las ecuaciones fundamentales (11.1) a(11.4) segn los mtodos sealados en la seccin 11.3.11.6. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTCULASCuando varias partculas se mueven de manera independiente a lolargo de la misma lnea, es posible escribir ecuaciones de movimientoindependientes para cada partcula. Siempre que sea factible, el tiem-podebe registrarse a partir del mismo instante inicial para todas laspartculas, y es necesario medir los desplazamientos desde el mismoorigen y en la misma direccin. En otras palabras, deben usarse un soloreloj y una sola cinta mtrica.Movimiento relativo de dos partculas. Considere dos partcu-lasA y B que se mueven a lo largo de la misma lnea recta (figura 11.7).Si las coordenadas de posicin xA y xB se miden desde el mismo ori-gen,la diferencia xBxA define la coordenada de posicin relativa deB con respecto a A y se denota por medio de xBA. Se escribexBAxBxA o xBxAxBA (11.9)De manera independiente de las posiciones de A y B con respecto alorigen, un signo positivo para xBA significa que B est a la derecha deA, y un signo negativo indica que B se encuentra a la izquierda de A.La razn de cambio xBA se conoce como la velocidad relativa deB con respecto a A y se denota por medio de vBA. Al diferenciar (11.9),se escribevBAvBvA o vBvAvBA (11.10)Un signo positivo de vBA significa que a partir de A se observa que Bse mueve en direccin positiva; un signo negativo indica, segn seobserva, que sta se mueve en direccin negativa.La razn de cambio de vBA se conoce como la aceleracin relati-vade B con respecto a A y se denota mediante aBA. Al diferenciar(11.10), se obtieneaBAaBaA o aBaAaBA (11.11)Movimientos dependientes. Algunas veces, la posicin de unapartcula depender de la posicin de otra o de varias partculas. En eseAdvierta que el producto de los subndices A y BA que se usa en el miembro izquierdode las ecuaciones (11.9), (11.10) y (11.11) es igual al subndice B utilizado en el miembrodel lado izquierdo.xO A BxAxB/AxBFigura 11.7Fotografa 11.2 En esta gra de embarcaderose utilizan mltiples cables y poleas.
43. 43. caso se dice que los movimientos son dependientes. Por ejemplo, laposicin del bloque B en la figura 11.8 depende de la posicin del blo-queA. Puesto que la cuerda ACDEFG es de longitud constante, ypuesto que las longitudes de las porciones de cuerda CD y EF alre-dedorde las poleas permanecen constantes, se concluye que la suma delas longitudes de los segmentos AC, DE y FG es constante. Al observarque la longitud del segmento AC difiere de xA slo por una constante yque, de manera similar, las longitudes de los segmentos DE y FGdifieren de xB nicamente por una constante, se escribexA2xBconstantela cual recibe el nombre de ecuacin de ligadura.Puesto que slo una de las dos coordenadas xA y xB pueden elegir-sede manera arbitraria, se afirma que el sistema que se presenta en lafigura 11.8 tiene un grado de libertad. De la relacin entre las coorde-nadasde posicin xA y xB se deduce que xA presenta un incrementoxA, esto es, si el bloque A desciende una cantidad xA, la coordenadaxB recibir un incremento xB12xA. En otras palabras, el bloqueB ascender la mitad de la misma cantidad; lo anterior puede verificar-secon facilidad de modo directo de la figura 11.8.x x C AEn el caso de los tres bloques de la figura 11.9, se puede observarde nuevo que la longitud de la cuerda que pasa por las poleas es cons-tantey, en consecuencia, las coordenadas de posicin de los tres blo-quesdeben satisfacer la siguiente relacin:2xA2xBxCconstantePuesto que es posible elegir de manera arbitraria dos de las coordena-das,se afirma que el sistema que se muestra en la figura 11.9 tiene dosgrados de libertad.Cuando la relacin que existe entre las coordenadas de posicin devarias partculas es lineal, se cumple una relacin similar entre las velo-cidadesy entre las aceleraciones de las partculas. En el caso de los blo-quesde la figura 11.9, por ejemplo, se diferencia dos veces la ecuacinobtenida y se escribe2 ddxtA 2 dxtBddxtCd0 o 2vA2vBvC02 ddvtA 2 dvtBddvtCd0 o 2aA2aBaC0ABC xBxAxBABC DGE FFigura 11.8Figura 11.911.6. Movimiento de varias partculas 619
44. 44. PROBLEMA RESUELTO 11.4Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 12 metrosen el pozo de un elevador con una velocidad inicial de 18 m/s. En el mismoinstante un elevador de plataforma abierta pasa por el nivel de 5 m, movin-dosehacia arriba con una velocidad constante de 2 m/s. Determine a) cun-doy dnde golpea al elevador, b) la velocidad relativa de la pelota con res-pectoal elevador cuando sta lo golpea.SOLUCINMovimiento de la pelota. Puesto que la pelota tiene una aceleracinconstante, su movimiento es uniformemente acelerado. Al colocar el origende O del eje y a nivel del suelo, es decir su direccin positiva hacia arriba,encontramos que la posicin inicial es y012 m, la velocidad inicial co-rrespondea v018 m/s, y la aceleracin equivale a a9.81 m/s2. Sus-tituyendoestos valores en las ecuaciones para movimiento uniformementeacelerado, se escribevBv0at vB189.81t (1)yBy0v0t12at2 yB1218t4.905t2 (2)Movimiento del elevador. Puesto que el elevador tiene una veloci-dadconstante, su movimiento es uniforme. Al ubicar el origen O en el niveldel suelo y elegir la direccin positiva hacia arriba, se observa que y05m y se escribevE2 m/s (3)yEy0vE t yE52t (4)La pelota golpea el elevador. Se usaron el mismo tiempo t y elmismo origen O al escribir las ecuaciones de movimiento tanto de la pelotacomo del elevador. Se observa en la figura que cuando la pelota golpea elelevador,yEyB (5)Al sustituir para yE y yB en (2) y (4) en (5), se tiene52t1218t4.905t2t0.39 s y t3.65 sSlo la raz t3.65 s corresponde a un tiempo despus de que se ha inicia-doel movimiento. Al sustituir este valor en (4), se obtieneyE52(3.65)12.30 mElevacin desde el suelo12.30 mLa velocidad relativa de la pelota con respecto al elevador esvBEvBvE(189.81t)2169.81tCuando la pelota golpea al elevador en el tiempo t3.65 s, se tienevBE169.81(3.65) vBE19.81 m/sEl signo negativo significa que desde el elevador se observa que la pelota semueve en el sentido negativo (hacia abajo).620t = tv0 = 18 m/sy0 = 12 mt = 0yBa = 9.81 m/s2vE = 2 m/sOt = tyEy0 = 5 mOyB yEOt = 0
45. 45. PROBLEMA RESUELTO 11.5El collarn A y el bloque B estn conectados por medio de un cable que pasapor tres poleas C, D y E, como se indica. Las poleas C y E se mantienen fijas,en tanto que B est unida a un collarn que se jala hacia abajo con una velo-cidadconstante de 3 in./s. En t0, el collarn A empieza a moverse haciaabajo desde la posicin K con una aceleracin constante y sin velocidad ini-cial.Si se sabe que la velocidad del collarn A es 12 in./s cuando ste pasa porel punto L, determine el cambio de la elevacin, la velocidad y la aceleracindel bloque B cuando el collarn A pasa por L.SOLUCINMovimiento del collarn A. Se sita el origen O en la superficie ho-rizontalsuperior y se elige la direccin positiva hacia abajo. Se observa quecuando t0, el collarn A est en la posicin K y (vA)00. Puesto que vA 12 in./s y xA(xA)08 in., cuando el collarn pasa por L, se escribev2A(vA)20 2aA[xA(xA)0] (12)202aA(8)aA9 in./s2El tiempo en el cual el collarn A alcance el punto L se obtiene al escribirvA(vA)0aAt 1209t t 1.333 sMovimiento de la polea D. Recordando que la direccin positiva eshacia abajo, se escribeaD0 vD3 in./s xD(xD)0vDt(xD)03tCuando el collarn A llega a L, en t1.333 s, se tienexD(xD)03(1.333)(xD)04En consecuencia, xD(xD)04 in.Movimiento del bloque B. Hay que observar que la longitud totaldel cable ACDEB difiere de la cantidad (xA2xDxB) slo por una cons-tante.Puesto que la longitud del cable es constante durante el movimiento,esta cantidad tambin debe permanecer constante. De tal modo, conside-randolos tiempos t0 y t1.333 s, se escribexA2xDxB(xA)02(xD)0(xB)0 (1)[xA(xA)0]2[xD(xD)0][xB(xB)0]0 (2)Sin embargo, se sabe que xA(xA)08 in. y xD(xD)04 in.; al sustituirestos valores en (2), se obtiene82(4)[xB(xB)0]0 xB(xB)016 in.De tal modo: El cambio en la elevacin de B16 in.xAl diferenciar (1) dos veces, se obtienen ecuaciones que relacionan las velo-cidadesy las aceleraciones de A, B y D. Al sustituir las velocidades y acele-racionesde A y D en t1.333 s, se tienevA2vDvB0: 122(3)vB0vB18 in./s vB18 in./sxaA2aDaB0: 92(0)aB0aB9 in./s2 aB9 in./s2x621C EKLABD8 in.AOLKDC EABD8 in.xAaA(xA)0xA xBxDvA = 12 in./sO(xD)0xDvD = 3 in./sO
46. 46. RESOLUCIN DE PROBLEMASEN FORMA INDEPENDIENTEEn esta leccin se obtuvieron las ecuaciones que describen el movimiento rectilneouniforme (velocidad constante) y el movimiento rectilneo uniformemente acelerado(aceleracin constante). Tambin se present el concepto de movimiento relativo.Las ecuaciones para el movimiento relativo [ecuaciones (11.9) a (11.11)] pueden apli-carsea los movimientos independientes o dependientes de cualesquiera de las par-tculasque se mueven a lo largo de la misma recta.A. Movimiento independiente de una o ms partculas. La solucin de pro-blemasde este tipo debe organizarse del modo siguiente:1. Iniciar la solucin listando la informacin proporcionada, elaborando un di-bujodel sistema y seleccionando el origen y la direccin positiva del eje de coorde-nadas[problema resuelto 11.4]. Siempre es ventaja tener una representacin visualde problemas de este tipo.2. Escribir las ecuaciones que describen los movimientos de las diversas par-tculas,as como aquellas que describen cmo se relacionan estos movimientos [ecua-cin(5) del problema resuelto 11.4].3. Definir las condiciones iniciales, esto es, especifique el estado del sistema co-rrespondientea t0. Esto es en especial importante si los movimientos de las par-tculasse inician en tiempos diferentes. En tales casos, es posible recurrir a cuales-quierade los dos enfoques.a) Sea t0 el tiempo cuando las partculas empiezan a moverse. Se debe de-terminarentonces la posicin inicial x0 y la velocidad inicial v0 de cada una de lasdems partculas.b) Sea t0 el tiempo en el que empieza a moverse la primera partcula. En esecaso, en cada una de las ecuaciones que describen el movimiento de otra partcula,se reemplaza t por tt0, donde t0 es el tiempo en el cual esa partcula especficaempieza a moverse. Es importante reconocer que las ecuaciones que se obtienen deesta manera slo son vlidas para tt0.622
47. 47. B. Movimiento dependiente de dos o ms partculas. En problemas de este tipolas partculas del sistema estn conectadas entre s, por lo general mediante cuerdaso cables. El mtodo de solucin de estos problemas es similar al del grupo de pro-blemasprecedente, salvo que en este caso no ser necesario describir las conexionesfsicas entre las partculas. En los siguientes problemas, la conexin la proporcionauno o ms cables. Para cada cable se tendrn que escribir ecuaciones similares a lasltimas tres ecuaciones de la seccin 11.6. Se sugiere el siguiente procedimiento:1. Hacer un bosquejo del sistema y seleccionar un sistema de coordenadas, in-dicandode manera clara el sentido positivo para cada uno de los ejes coordenados.Por ejemplo, en el problema resuelto 11.5 las longitudes se miden hacia abajo a par-tirdel soporte horizontal superior. De tal modo, se concluye que estos desplaza-mientos,velocidades y aceleraciones, los cuales tienen valores positivos, estn dirigi-doshacia abajo.2. Escribir la ecuacin (de ligadura) que describe la represin impuesta porcada cable sobre el movimiento de las partculas implicadas. Al diferenciar dos vecesesta ecuacin, se obtendrn las relaciones correspondientes entre velocidades y ace-leraciones.3. Si varias direcciones de movimiento estn implicadas, se debe seleccionarun eje de coordenadas y un sentido positivo para cada una de estas direcciones. Tam-binse debe intentar ubicar los orgenes de sus ejes de coordenadas, de modo quelas ecuaciones de restricciones sean lo ms simples posible. Por ejemplo, en el pro-blemaresuelto 11.5 es ms fcil definir las diversas coordenadas, midindolas haciaabajo desde el soporte superior, que hacerlo hacia arriba desde el soporte inferior.Por ltimo, se debe recordar que el mtodo de anlisis que se describe en estaleccin y las ecuaciones correspondientes nicamente pueden utilizarse para par-tculasque se mueven con movimiento rectilneo uniforme o uniformemente acele-rado.623
48. 48. Problemas11.33 Una automovilista entra a una carretera a 45 km/h y acelerauniformemente hasta 99 km/h. De acuerdo con el odmetro del automvil,la conductora sabe que recorri 0.2 km mientras aceleraba. Determine a) laaceleracin del automvil, b) el tiempo que se requiere para alcanzar 99 km/h.11.34 Un camin recorre 220 m en 10 s mientras se desacelera a unarazn constante de 0.6 m/s2. Determine a) su velocidad inicial, b) su veloci-dadfinal, c) la distancia recorrida durante los primeros 1.5 s.62411.35 Si se supone una aceleracin uniforme de 11 ft/s2 y se sabe quela rapidez de un automvil cuando pasa por A es de 30 mi/h, determinea) el tiempo requerido para que el automvil llegue a B, b) la rapidez delautomvil cuando pasa por B.11.36 Un grupo de estudiantes lanza un cohete a escala en direccinvertical. Con base en los datos registrados, determinan que la altitud delcohete fue de 89.6 ft en la parte final del vuelo en la que el cohete an tenaimpulso, y que el cohete aterriza 16 s despus. Si se sabe que el paracadasde descenso no pudo abrir y que el cohete descendi en cada libre hasta elsuelo despus de alcanzar la altura mxima, y suponiendo que g32.2 ft/s2,determine a) la rapidez v1 del cohete al final del vuelo con impulso, b) la al-turamxima alcanzada por el cohete.11.37 Un atleta en una carrera de 100 m acelera de manera unif