1/33 Validación de Series de Números de Pseudoaleatorios Mg. Samuel Oporto Díaz SIMULACION DE...

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Validación de Series de Números de Pseudoaleatorios

Mg. Samuel Oporto Díaz

SIMULACION DE SISTEMAS

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Temario  Fecha S Temario LB PC Trabajo Final  

M 05/may 1 Modelado y simulación        

M 12/may 2 Modelado y simulación     Formulación del problema   5%

M 19/may 3 Proyectos de simulación   PC1    

M 26/may 4 Generación de Números Aleatorias LB1  

M 02/jun 5 Generación de Variables Aleatorias     Descripción del sistema 10% 

M 09/jun 6 Simulación por eventos   PC2

M 16/jun 7 Colas con un servidor LB2   Modelo de colas 20% 

  23/jun 8 Colas con servidores en serie   PARCIAL    

M 30/jun 9 Colas con servidores en paralelo  LB3   Análisis de datos 20%

M 07/jul 10 Simulación de Inventarios   PC3    

M 14/jul 11 Simulación de Inventarios     Modelo en arena 20%

M 21/jul 12 Simulación de Inventarios LB4      

M 28/jul 13 Simulación de Sistemas complejos   PC4    

M 04/ago 14 Simulación de Sistemas complejos     Exposición Final 25%

M 11/ago 15 FINAL        

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Objetivo

• Exponer los conceptos básicos para realizar pruebas estadísticas de uniformidad y aleatoriedad de series de números pseudoaleatorios.

• Confirmar el grado confianza en un generador de números pseudoaleatorios.

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Tabla de Contenido Pág.

1. Objetivos 3

2. Antecedentes 4

3. Validación de Series de Números Aleatorios 8

4. Prueba de Bondad de Ajuste (distribución uniforme) 8

4.1. Prueba Ji-Cuadrado 12

4.2. Prueba Kolmogorov-Smirnov 15

5. Prueba de Aleatoriedad (independencia) 18

5.1. Prueba de las Series. 20

5.2. Prueba de las Distancias 23

6. Conclusiones. 26

7. Bibliografía 27

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Mapa Conceptual del Curso

Modeladoy

Simulación

ProyectosSimulación

GeneraciónValores deVariablesAleatorias

Simulaciónpor

Eventos

Sistema de Colas conServidores en Serie

Sistema de Colas conUn servidor

Sistemas de Colas conServidores en Paralelo

Sistemas de Inventarios

Revisión Periódica

Sistemas de Inventarios Punto

de Repedido

Sistemas Complejos: Cadena de Almacenes

Sistemas Complejos: Cadena de Producción

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Mapa Conceptual

Fenómenos FísicosProcedimientos

Matemáticos

NúmerosAleatorios

Validación deSeries de NA

VariablesU (0,1)

VariablesAleatorias

Tabla de Nros. aleatorios

Xi+1=(aXi+c) mod m

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ANTECEDENTES

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Antecedentes• Generación de Números pseudoaleatorios.

Xi+1=(aXi+c) mod m

Manual o mecánico. Tabla de

Números aleatorios

Computador

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Antecedentes• Métodos para la generación de series de

números pseudoaleatorios.– Generadores Congruenciales.– Producto Medio.– Cuadrado Medio.

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Antecedentes• Propiedades deseables de la serie de números

generados.

Distribución uniforme. Independientes entre si.

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Validación de Series de Números Pseudoaleatorios

Probar si una serie de números generados corresponde a una distribución de probabilidad supuesta y probar que los números son independientes entre sí.

• Prueba de Bondad de Ajuste.– Si cumple una distribución uniforme

• Prueba de Aleatoriedad.– Si los elementos de la serie son independientes.

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PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

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Pruebas de Bondad de Ajuste

• Probar si una serie de números pertenece a cierta distribución de la probabilidad.

• En este caso la distribución es uniforme.

• Prueba de Ji-Cuadrado.

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Prueba de Bondad de AjusteH0, los números están distribuidos uniformemente.

H1, los números no están distribuidos uniformemente.

≤

>

Prueba Ji-cuadrado• Se usa cuando se trabaja con variables

nominales (categorías o grupos).• Responder la pregunta: si las frecuencias

observadas, difiere de la frecuencia esperada.

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Prueba Ji-Cuadrado

• Tomar la serie de N números.• Dividir la serie en k intervalos. k ≈ N½

• Calcular Ei = N/k

• Calcular Oi = (cantidad de #s por intervalo)

• Calcular

• Si se acepta H0

No hay diferencia significativa entre la cantidad de números de cada intervalo

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Prueba Ji-Cuadrado

kk-1k-2intervalo

frec

uenc

ia

1717 /33/33

Ejemplo0.7652 0.7901 0.4916 0.99280.3492 0.8097 0.1627 0.12500.8049 0.5645 0.4522 0.38990.5697 0.9609 0.1487 0.95630.3276 0.8017 0.1573 0.27370.3632 0.6963 0.8135 0.06190.1676 0.7821 0.7564 0.26610.8413 0.1599 0.7215 0.41600.3629 0.2594 0.8972 0.38670.2400 0.6831 0.0994 0.80860.3109 0.9862 0.3321 0.32630.3975 0.9909 0.0856 0.27400.4400 0.9476 0.1294 0.48020.4927 0.3358 0.6776 0.53190.6355 0.7604 0.8767 0.16580.4103 0.0824 0.4875 0.9297

N = 64k = 10

X2 = 8.50

X2(9, 5%) = 16.92

X2 < X2(9, 5%)

0

2

4

6

8

10

12

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1818 /33/33

PRUEBAS DE ALEATEORIEDAD(INDEPENDENCIA)

1919 /33/33

Prueba de Aleatoriedad (independencia)

• Probar si los elementos de una serie de números no estas correlacionados.

• Prueba de las Series.• Prueba de las Distancias

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Prueba de las series

• Tomar una muestra de tamaño N• Dividir un cuadrado de lado 1 en n2 celdas.

• Formar los pares ordenados (Ui, Ui+1), N pares

• Calcular Eij = N / n2

• Calcular Oij = (cantidad de #s por celda)

• Calcular

• Si se acepta H0

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Prueba de las series

3/n

4/n

1/n

2/n

8/n

1

5/n

7/n

3/n 4/n1/n 2/n 8/n 15/n 7/n

Ejemplon U1 U21 0.7652 0.34922 0.3492 0.80493 0.8049 0.56974 0.5697 0.32765 0.3276 0.36326 0.3632 0.16767 0.1676 0.84138 0.8413 0.36299 0.3629 0.240010 0.2400 0.310911 0.3109 0.397512 0.3975 0.440013 0.4400 0.492714 0.4927 0.635515 0.6355 0.410316 0.4103 0.7901....

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 11 3 3 2 4 3

0.8 1 2 2 2 30.6 2 3 2 1 30.4 4 5 2 1 40.2 2 3 3 2 2

0.2 0.4 0.6 0.8 11 0.08 0.08 0.12 0.81 0.08

0.8 0.95 0.12 0.12 0.12 0.080.6 0.12 0.08 0.12 0.95 0.080.4 0.81 2.33 0.12 0.95 0.810.2 0.12 0.08 0.08 0.12 0.12

X2 = 9.4375

X2(24,5%) = 36.41

Oij =

Oij - Eij =

0.2 0.4 0.6 0.8 11 2.56 2.56 2.56 2.56 2.568 2.56 2.56 2.56 2.56 2.56

0.6 2.56 2.56 2.56 2.56 2.564 2.56 2.56 2.56 2.56 2.56

0.2 2.56 2.56 2.56 2.56 2.56

Eij =

0.2 0.4 0.6 0.8 11 0.44 0.44 -0.6 1.44 0.44

0.8 -1.6 -0.6 -0.6 -0.6 0.440.6 -0.6 0.44 -0.6 -1.6 0.440.4 1.44 2.44 -0.6 -1.6 1.440.2 -0.6 0.44 0.44 -0.6 -0.6

(Oij – Eij)2 = Eij

N = 64n = 5

X2 < X2(24, 5%)

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Prueba de las distancias

• Calcular la tabla.

• Calcular

• Si se acepta H0

i Pi Oi Ei

0 θ FO0 ΣOi*θ

1 (1-θ)θ FO1 ΣOi*(1-θ)θ

2 (1-θ)2θ FO2 ΣOi*(1-θ)2θ

3 (1-θ)3θ FO3 ΣOi*(1-θ)3θ

. . . .n . . .

i ≥ n (1-θ)n FOi≥n ΣOi*(1-θ)n

1 ΣOi ΣOi

n

Donde:i es el tamaño del huecon es el tamaño del hueco más grande que se desea contar

n

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Bibliografía• Simulación. Métodos y Aplicación. D. Rios, S. Rios y

J. Martín. 2000.

• Simulación. Sheldom M. Ross. 1999. 2da. Edición.

• Simulación de Sistemas Discretos. J. Barceló. 1996

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PREGUNTAS

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Samuel Oporto Díaz

soporto@wiphala.nethttp://www.wiphala.net/oporto/

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