1. Teoría de Conjuntos

Dr. Félix Aucallanchi V.

TEORÍA DE CONJUNTOS

NOCIÓN DE CONJUNTO

• Entendemos como conjunto a una colección de cualquier tipo de objetos llamados elementos del conjunto, que está determinado por una propiedad común de quienes lo forman y enunciada por medio de un lenguaje preciso.

[Teoría de la aritmética, Peterson & Hashisaki, Ed. Limusa, 1994, México]

Ejemplos.- Son conjuntos las siguientes colecciones:

a) Los hijos de Carmela: Marlon, Rocío y Daniel.

b) Los números naturales: 1; 2; 3; ...; 20.

Notación de conjuntosUn conjunto se denota con letras mayúsculas (A; B; C; ...) y se representa mediante llaves: { }, en cuyo interior se anotan sus elementos, representados por letras minúsculas, separados por comas o punto y coma en el caso de ser números.

Ejemplo 1.- El conjunto formado por los hijos de Carmela, del ejemplo anterior, se puede denotar así:

C = {Marlon, Rocío, Daniel}Interpretación: «C es un nombre para el conjunto cuyos elementos son Marlon, Rocío y Daniel»

Ejemplo 2.- El conjunto de los números naturales del 1 al 20, se puede denotar como:

A = {1; 2; 3; ...; 20}Interpretación: «A es un nombre para el conjunto cuyos elementos son los primeros 20 números naturales no nulos»

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

a) Por extensión o en forma tabular

Ejemplo.- Determinar, por extensión, el conjunto A cuyos elementos son los números naturales impares menores que 9.

Determinar un conjunto es listar o indicar, sin ambigüedades, los términos o condiciones mediante los cuales un elemento dado es o no integrante de dicho conjunto.

Un conjunto se determina por extensión cuando se listan, o enumeran, uno a uno sus elementos, o se da una fórmula que define la secuencia de éstos.

A = 1; 3; 5; 7; 9Rpta:

b) Por comprensión o en forma constructiva

Ejemplo.- A = x | x es un dígito impar menor que 9

Un conjunto se determina por comprensión cuando se enuncia a sus elementos por medio de una propiedad o cualidad común a ellos y que le es válida únicamente a éstos.

Un conjunto por comprensión se denota así:

A = {x | x tiene cierta propiedad}

que se lee: «A es el conjunto de todos los elementos x tal que x tiene cierta propiedad»

El símbolo | (barra vertical) se lee: «tal que» y el símbolo «x» se llama variable.

Llamamos relación de pertenencia a la correspondencia que existe entre un objeto, llamado elemento, y un conjunto, de modo que el primero forma parte del segundo.

Si un objeto «x» es elemento de un conjunto A, es decir, si A tiene a «x» como uno de sus elementos, se escribe:

x A, que se lee: «x pertenece a A», o «x está en A»

Si por el contrario, un objeto «x» no es elemento de un conjunto A, es decir, si A no tiene a «x» entre sus elementos, se escribe: x A

Obsérvese que la relación de pertenencia va de un objeto a otro, donde el segundo es necesariamente un conjunto y el primero puede o no ser un conjunto.

Ejemplo.- Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {a; {b; c}}, entonces se puede afirmar que:

1 A; 2 A; 3 A; a B; {b; c} B

RELACIÓN DE PERTENENCIA

Asimismo podemos afirmar que: a A; 2 B.

CONJUNTOS ESPECIALES

CONJUNTO VACÍO

Ejemplo 2: A = { x | x < 5 x > 10 }

Representación: se denota comúnmente como: o { }.

A =

El conjunto vacío es el conjunto que no tiene elementos.

Ejemplo 1.- Sea A un conjunto cuyos elementos son los campeonatos mundiales de fútbol ganados por el Perú durante el siglo XX. Como Perú no ganó ningún campeonato en dicho periodo, este conjunto no tiene ningún elemento, luego:

A = { }, o , A =

CONJUNTO UNITARIO

Ejemplo: B = { x | 3 x 1 = 14 } B = { 5 }

Es el conjunto que posee un único elemento.

CONJUNTOS ESPECIALES

CONJUNTO UNIVERSAL

Ejemplo.- Sean los siguientes conjuntos:

A = {1; 3; 5; 7; 9} y B = {0; 2; 4; 6; 8}

Un conjunto universal o referencial se elige de manera arbitraria de acuerdo a la situación particular que se esté estudiando.

En el ejemplo anterior se ha supuesto que solo existen los conjuntos A y B.

Dados el conjunto A o más conjuntos, el conjunto universal o de referencia de A, denotado por , es otro conjunto cuyos elementos son todos los elementos de los conjuntos dados.

Construir el conjunto universal de los conjuntos A y B .

Rpta: = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

DIAGRAMAS CONJUNTISTAS

Los diagramas conjuntistas son dibujos en los que se muestran las relaciones existentes entre dos o más conjuntos.

Diagramas de Venn-Euler

Son regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos anotando, en su interior, a sus correspondientes elementos.

Se estila representar al conjunto universal mediante un rectángulo.

Ejemplo.- El siguiente es un diagrama de Venn-Euler de los conjuntos A, B, C y su conjunto universal :

1

6 54 3

2AU B

C

Diagrama de Carroll

Este diagrama es un recurso gráfico que consiste en un plano dividido en rectángulos, en el que cada región representa a un conjunto con dos o más características.

Ejemplo.- Sea el siguiente diagrama de Carroll:

Inclusión

La inclusión de un conjunto en otro conjunto es la relación según la cual todos los elementos del primero pertenecen al segundo.

Sobre la base de este tipo de relación se establecen dos definiciones:

Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A está incluido en B, o A es un subconjunto de B, y se denota como A B.

Simbólicamente: A B ( x A, x B)

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

: Significa “si, y solo si”

A. Subconjunto

Ejemplo 1.- Sean los conjuntos P = {1; 3; 5} y Q = {1; 2; 3; 4; 5}

Como todo elemento de P también pertenece a Q concluimos que P es subconjunto de Q y se denota: P Q

P1 3

245

Q

Ejemplo 2.- ¿Es el conjunto R = {2; 3; 4} un subconjunto del conjunto S = {4; 3; 2}?

En efecto, todo elemento de R: 2; 3 ó 4, también pertenece a S.

R S

R S3

2

4

Obsérvese que, en este ejemplo, también podemos decir que S está incluido en R.

Rpta. SÍ

Se establece que A es subconjunto propio de B, denotado por A B, si todo elemento de A es elemento de B, y existe al menos un elemento de B que no le pertenece a A.

La condición de existencia: «al menos un elemento de B no le pertenece a A» significa que el conjunto B no está incluido en A.

Ejemplo.- ¿Es el conjuntos: M = {1; 2; 3} un subconjunto propio de N = {0; 1; 2; 3}?

Se puede reconocer que todos los elementos de M son también los elementos de N, pero N tiene al menos un elemento, el 0, que no le pertenece al conjunto M.

Luego M es subconjunto propio de N, lo cual denotaremos así:

M N y N Mo

M N

1 0

M N

23

B. Subconjunto Propio

Rpta. SÍ

En adelante, al referirnos a subconjunto y subconjunto propio, emplearemos la misma notación: , en el entendido que se reconoce, desde ahora, la diferencia entre ellos.

Propiedades de la Inclusión de Conjuntos

1ro. Todo conjunto está incluido en si mismo.

A se cumple que: A A

2do. El conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto e inclusive en él mismo.

A se cumple que: A

Obsérvese que si A = , entonces se cumple que:

.

OJO

Dos conjuntos A y B se llaman iguales, denotado como A = B, si cada elemento de A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A.

Simbólicamente: A = B A B y B A

Igualdad de Conjuntos

Dos conjuntos A y B se llaman comparables si se cumple que uno de los conjuntos es subconjunto del otro.

Simbólicamente: A B o B A

Conjuntos Comparables

Dos conjuntos A y B se llaman disjuntos si se cumple que ninguno de los conjuntos es subconjunto del otro.

Simbólicamente: A B o B A

Conjuntos Disjuntos

Si una misma letra, número u objeto aparece más de una vez en cualquier lista de los elementos de un conjunto será considerado como solamente una letra, un número o un objeto, respectivamente.

Ejemplo.- D = {a, b, a, a}

En este ejemplo, la letra «a» aparece tres veces en la lista de los elementos del conjunto D. Para nuestro propósito el conjunto D tiene solamente dos elementos diferentes.

Por lo tanto: D = {a, b}

OJO

Ejemplo 1.- Sean los conjuntos: D = {a, b, a, a} y E = {a, b}. Se observa que cada elemento del conjunto D está en el conjunto E y cada elemento del conjunto E está en el conjunto D, por lo tanto:

D = E

A = {x | (x3)(x4)(x5) = 0}

B = {x N | 2 < x < 6} ?

A = {3; 4; 5}

B = {3; 4; 5} A = B

Ejemplo 2.- ¿Son A y B dos conjuntos iguales:

Ejemplo 3.- ¿Son o no comparables los conjuntos: A = {a, b} y B = {a, b, c} ?

Porque uno de ellos, en este caso A, es un subconjunto del otro, B.

Rpta. SÍ

Ejemplo 4.- ¿Son disjuntos los conjuntos: A = {a, b, c} y B = {1; 2; 3; 4}?

Ejemplo 5.- ¿Son disjuntos los conjuntos: R = {a, b, c} y S= {c, d, e, f}?

Rpta: SÍ

Se observa que ningún elemento de A está en B y ninguno de B está en A:

A y B son conjuntos disjuntos.

Puesto que «c» está en R y en S concluimos que R y S no son disjuntos.

Rpta: NO

CONCLUSIÓN:Si A y B son dos conjuntos entonces solo es posible que sean:

Observación:Como todo conjunto está contenido en sí mismo, se dice que dos conjuntos iguales también son conjuntos comparables

5

2 7

CONJUNTOS COMPARABLES

A

B 5

2 7

CONJUNTOS IGUALES

A

B

5 2

7

CONJUNTOS DISJUNTOS

A

B

A B A BA = B

Conjuntos No Disjuntos Conjuntos No Comparables

Clases de conjuntos

Conjunto finito

Un conjunto es finito cuando se puede listar exhaustivamente sus elementos en algún orden y en consecuencia contarlos uno a uno hasta alcanzar el último.

Ejemplo.- ¿Es finito el conjunto de letras del abecedario?

Como los elementos de : A = {a, b, c, ..., z} se pueden listar hasta el último, concluimos que A es un conjunto finito.

Conjunto infinito

Un conjunto es infinito cuando no se pueden listar exhaustivamente sus elementos en algún orden y en consecuencia no posee un último elemento.

Ejemplo.- ¿Es el conjunto de los números naturales, , un conjunto infinito?Como = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; ...}, se observa que no es posible alcanzar el último elemento de este conjunto, luego N es un conjunto infinito.

Cardinal de un conjunto

El cardinal de un conjunto A, denotado como n(A), es el número natural que indica la cantidad de elementos diferentes que tiene dicho conjunto.

Ejemplo 1.- Sea el conjunto A = {a, b, c, d, e, f}, entonces su cardinal n(A) se obtiene así:

a) A = { }

Puesto que A es un conjunto que no presenta elementos, es decir, es un conjunto vacío, se propone que: n(A) = 0. En adelante se aplicará:

n() = 0

Ejemplo 2.- Determinar el cardinal de los siguientes conjuntos:

b) B = {x | 3 < x < 5}

Sabiendo que el símbolo < significa «menor que», concluimos que 4 es el único número natural que verifica la condición dada, luego: B = {4}, y por consiguiente:

n(B) = 1.

c) C = {}

En este caso el conjunto C tiene un elemento, este elemento es el conjunto vacío, por consiguiente se trata de un conjunto unitario y se cumple que:

n(C) = 1

d) D = {x |x es un miembro del equipo de fútbol profesional que está jugando en cancha}

Dado que un equipo de fútbol profesional, jugando en cancha, está constituido de 11 jugadores, se concluye que:

n(D) = 11.

Conjunto de conjuntos

Definición.- El conjunto de conjuntos, llamado también clase o familia de conjuntos, es el que tiene por elementos a otros conjuntos.

[Teoría de conjuntos y temas afines, Ph. D. Seymour Lipschutz, Ed. McGraw Hill, 1969, México]

Ejemplo 1.- Sea C el conjunto cuyos elementos son: {a, b}, {a, c} y {d}. Luego podemos escribir el conjunto de conjuntos C así:C = {{a, b}, {a, c}, {d}}

Observación.- En teoría es posible que un conjunto tenga entre sus elementos algunos que sean a su vez conjuntos y otros que no lo sean, pero en las aplicaciones de la Teoría de Conjuntos este caso se presenta rara vez.

Ejemplo 2.- El conjunto: D = {{0; 1}; {1}; 2; 3}, es una familia de conjuntos

Conjunto Potencia

Definición.- Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia de A, denotado como P(A), a la familia de conjuntos cuyos elementos son todos los subconjuntos de A.

Debemos recordar que en la lista de todos los subconjuntos de un conjunto está el conjunto vacío.

Ejemplo 1.- Sea A = {a; b}, determinar su conjunto potencia.

Rpta: P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}}

Obsérvese que se han listado los conjuntos de ninguno, uno y dos elementos.

Ejemplo 2.- Dado: A = {1; 2; 3} mediante combinaciones determinar todos los subconjuntos de A.

– Conjunto sin elementos = 1:

– Conjuntos de 1 elemento = 3: {1}, {2}, {3}

– Conjuntos de 2 elementos = 3: {1; 2}, {2; 3}, {1; 3}

– Conjunto de 3 elementos = 1: {1; 2; 3}

A partir de los subconjuntos de A se puede construir el conjunto potencia de A:

Obsérvese que n(A) = 3 y n[P(A)] = 8, cumpliéndose que: 8 = 23

Asimismo 7 son los subconjuntos propios y 1 es el conjunto propio. 7 = 23 - 1 ; 8 = 7 + 1

Subconjuntos propios de A A

P(A) = , 1 , 2 , 3 , 1; 2 , 2; 3 , 1; 3 , 1; 2; 3

En general, si n(A) es el cardinal del conjunto A, entonces el cardinal del conjunto potencia de A, denotado como n[P(A)], y el número de subconjuntos propios de A, denotado como sA, están dados por:

( )( ) 2n An P A

( )2 1n AAs

( ) 1An P A s

Números Naturales ( ) ={0; 1;2;3;4;5;....}

Números Enteros ( ) ={...;-2;-1;0;1;2;....}

Números Racionales () ={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}

Números Irracionales ( ) ={...; ;....}2; 3;

Números Reales ( )={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3

12

15

12

43

Números Complejos ( )={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2; 31

2

EJEMPLOS:

Expresar por extensión los siguientes conjuntos:

A ) 2P x x 9 0

B )

C )

D ) T x (3x 4)(x 2) 0

E ) B x I (3x 4)(x 2) 0

2Q x x 9 0 2F x x 9 0

P={3}

Q={-3;3}

F = { }

4T

3

B 2

RESPUESTAS