06 congruencia de triangulos, semejanza de triangulos, teorema de tales y de pitagoras

GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA PLANASUnidad II. propiedades de congruencia y semejanza

de triángulos

Congruencia de TriángulosCriterios de Congruencia de Triángulos

Congruencia de triángulosDos triángulos son congruentes cuando sus ángulos y sus lados

son congruentes.Es decir, dos triángulos son congruentes, si sus tres lados y sus

tres ángulos tienen respectivamente las mismas medidas.

triáng. ABC ≡ triáng. A’B'C’ si y sólo si

1. AB ≡ A’B’2. BC ≡ B’C’3. CA ≡ C’A’4. áng. A ≡ áng. A’5. áng. B ≡ áng. B’6. áng. C ≡ áng. C’

Criterios de congruencia de triángulos

Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de 3 pares de elementos.

Primer criterio de congruencia:

LLL

LLL

Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.

a ≡ a’b ≡ b’c ≡ c’

→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Segundo criterio de congruencia:

LAL

LAL

Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.

b ≡ b’c ≡ c’α ≡ α’

→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Tercer criterio de congruencia:

ALA

ALA

Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.

b ≡ b’α ≡ α’β ≡ β’

→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA PLANASUnidad II. propiedades de congruencia y semejanza

de triángulos

Semejanza de TriángulosTeorema de Tales

Teorema de Pitágoras

Semejanza de Triángulos

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

Criterios de semejanza de triángulos

Para determinar si dos triángulos dados son semejantes bastaría con comprobar si verifican estas condiciones. Pero existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos.

Primer criterio de Semejanza:

DOS ANGULOS IGUALES

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

Segundo criterio de Semejanza:

LADOS PROPORCIONALES

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

Tercer criterio de Semejanza:

dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre

ellos igual

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

¿Congruentes? ¿Semejantes? ¿Ninguno?

Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?.

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?

Teorema de Tales

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son

proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Teorema de Tales en un Triangulo

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

hip

b

a

hip2 = a2 + b2