038-2.4-ANALOGIA

1

2.4 – ANALOGIA

DEFINIÇÃO 2.17 – sistemas análogos ou analógicos são sistemas de natureza

diferentes com um mesmo modelo matemático.

Exemplos:

R

e

massa

e R.i

f m.a

Figura 2.40

DEFINIÇÃO 2.18 – sistema mecânico translacional é o que apresenta

movimento em uma única direção.

DEFINIÇÃO 2.19 – sistema mecânico rotacional é o que apresenta movimento

de rotação.

ELEMENTOS LINEARES IDEAIS – ELÉTRICOS E MECÂNICOS

1) Resistor e R.i

2) Capacitor

t t

0 0

C

1 1 1e i.dt e 0 i.dt q 0

C C C

dei C

dt

3) Indutor

t

0

die L

dt

01i e.dt

L L

4) Massa

M

ref

f

Figura 2.41

y deslocamento u velocidade a aceleração

dy

udt

2

2

2

du d ya

dt dt ;

2

2

du d yf m.a m. m

dt dt

5) Atrito Viscoso Amortecedor Viscoso

a

D

b

f

ref

Figura 2.42

D constante do amortecedor ou coeficiente de atrito

u velocidade de deslocamento de b em relação ao ponto a fixo.

6) Mola

a

k

b

f

ref

Figura 2.43

f D.u

dyf D.

dt

t

0

f k.y

f k u.dt k.y 0

K constante da mola

3

EQUAÇÕES DOS SISTEMAS MECÂNICOS

OBTENÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

DEFINIÇÃO 2.20 – JUNÇÃO em um sistema mecânico é um ponto ou conjunto

de pontos que movem-se com uma mesma velocidade. Correspondem, em geral,

às massas individuais do sistema.

PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT

“ Para qualquer corpo a soma algébrica das forças externas aplicadas e forças

resistentes ao movimento, em uma dada direção, é nula”.

ROTEIRO PARA OBTENÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO DE UM

SISTEMA MECÂNICO

1) Identificar as junções.

2) Aplicar o Princípio de D’Alembert à cada junção.

Exemplo 2.15 – Escrever as equações do sistema mecânico abaixo em função das

velocidades e dos deslocamentos

M1 M2

1u u

k1D

2D

2u

f t

XXXXX D

Figura 2.44

Observe na figura acima que na massa M1 tem-se atrito com a superfície,

coeficiente D, e a massa M2 não possui atrito - rodas.

Solução :

1) O sistema possui 3 junções : massa 1M , o ponto de velocidade u e a massa

2M ;

2) Aplicando o Princípio de D’Alembert a cada junção teremos :

4

a) Equações, ( modelo ), em função das velocidades :

Junção M1

forças resistentes D1F , DF , kF , M1F

não existe força externa nessa junção

D1 D k M1F F F F 0

t

11 1 1 1 1

0

duD .u D.u k u u .dt M 0

dt

Junção u

t

1 2 2

0

k u u .dt D . u u 0

Junção M2

22 2 2

duf t D . u u M

dt

b) Equações, ( modelo ), em função dos deslocamentos :

Junção M1 :

1 1 11 1 1D .y D.y M y k y y 0

Junção u :

2 12D y y k y y 0

Junção M2 :

2 22 2D y y M y f t

Exemplo 2.16 – Encontrar o modelo matemático do sistema abaixo, em função

das velocidades:

M1 M2

1u u

12kD12D

2u

f t

XXXXX 1D XXXXX

fu

2k

D2D

Figura 2.45

5

Solução : são 4 junções, aplicando D´Alembert a cada junção teremos :

Junção u1 : t

11 1 1 1 12 1

0

duD.u D .u M k u u .dt 0

dt

Junção u : t

12 1 12 2

0

k u u .dt D u u 0

Junção u2 :

t

212 2 2 2 2 f 2 2 f 2

0

duD u u D u D u u k u u .dt M 0

dt

Junção uf : t

f 2 2 f 2

0

f t D u u k u u .dt

O conjunto das quatro equações acima é o modelo matemático pedido.

6

ANALOGIA

FORÇA- TENSÃO (f.v) e FORÇA-CORRENTE (f.i)

Considere os sistemas abaixo : circuito RLC série, sistema mecânico: massa mola

e atrito viscoso e circuito RLC paralelo. Para o circuito RLC série temos :

e

RL

C

i

Figura 2.46

t

0

di 1 1e R.i L i.dt q 0

dt C C ; q carga ( I )

Para o sistema mecânico temos :

M

XXXXXXXX

FD

k

u

Figura 2.47

t

0

duF Du M k u.dt ky 0

dt ; ( II )

Para o circuito RLC paralelo temos :

G L Ci

Figura 2.48

t

0

de 1 1i Ge C e.dt 0

dt L L ; fluxo ; ( III )

7

Comparando as expressões ( I ) , ( II ) e ( III ), obtemos a tabela abaixo :

Tabela de Analogias: f.v e f.i

Grandeza Analogia f.v Analogia f.i

F Força v Tensão i Corrente

D Coeficiente de Amortecimento R Resistência G Condutância

u Velocidade i Corrente v Tensão

M Massa L Indutância C Capacitância

K Constante da Mola 1

C Elastância

1

L Indutância Recíproca

y Deslocamento q Carga Elétrica Fluxo Magnético

CONSTRUÇÃO DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS ANÁLOGOS: f.v e f.i

Para construir os circuitos elétricos análogos f.v e f.i, observe que:

1) cada junção no sistema mecânico transforma-se em uma MALHA, (NÓ),

no sistema elétrico;

2) os elementos mecânicos que formam uma junção transformam-se em

elementos elétricos que formam a MALHA (NÓ) correspondente;

3) a aos elementos mecânicos comuns a duas junções no sistema mecânico,

corresponderão elementos elétricos comuns à duas MALHAS (NÓS), no

sistema elétrico.

Exemplo 2.17 – Construir os circuitos elétricos análogos f.v e f.i do sistema

mecânico da Figura 2.44:

Solução 1: Analogia f.v

t

11 1 1 1 1

0

di 1R .i R.i L i i .dt 0

dt C Junção M1

t

2 2 1

0

1R . i i i i .dt 0

C Junção u

8

22 2 2

die t R . i i L

dt Junção M2

O circuito elétrico análogo f.v é :

eR

1R

1i C 2Ri 2i

2L

1L

Figura 2.49

Solução 2: Analogia f.i

t

11 1 1 1 1

0

de 1G .e G.e C e e .dt 0

dt L Junção M1

t

2 2 1

0

1G . e e e e .dt 0

L Junção u

22 2 2

dei t G . e e C

dt Junção M2

O circuito elétrico análogo f.i é :

i t1G G 1C

L 2G

2C

1e 2ee

Figura 2.50

9

SISTEMAS MECÂNICOS ROTACIONAIS

De modo análogo aos sistemas translacionais iremos considerar agora os sistemas

rotacionais. Sejam:

deslocamento angular (rad) ; velocidade angular (rad/s)

aceleração angular (rad/ s2) ; J momento de Inércia (Kg.m

2)

Logo :

d

dt e

d

dt

ELEMENTOS MECÂNICOS

1) Massa M : Torque de Inércia : TM

2

M 2

d dT J. J. J.

dt dt

2) Amortecedor Viscoso ou Atrito Viscoso : Torque de amortecimento : TD

D

dT D. D.

dt

D constante do amortecedor ou coeficiente de atrito viscoso

DDT

M1

XXXXX 1D

DT

Figura 2.51: (a) – (b)

3) Mola: Torque da Mola : (Efeito Torção) : kT

t

k

0

T k .dt k. 0 ; k constante da mola

kT

Figura 2.52

10

Do mesmo modo que fizemos para os sistemas translacionais, vejamos como

obter as equações de um sistema mecânico rotacional.

OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES DE UM SISTEMA MECÂNICO

ROTACIONAL

Para a obtenção das equações de um sistema mecânico rotacional, aplicaremos o

princípio de D’Alembert a cada junção. No caso de sistemas rotacionais, junção é

um conjunto de pontos que giram com uma mesma velocidade angular.

Princípio de D’Alembert :

“Para qualquer corpo a soma algébrica dos torques externos aplicados e torques

resistentes ao movimento de rotação é nula”.

Exemplo 2.18 – Encontrar o modelo matemático do sistema abaixo em função da

velocidade angular :

M

XX

X

Tk

D

Figura 2.53

Solução

1) Identificar as junções

2) Aplicar D’Alembert

1) Neste exemplo temos uma única junção : a massa M

2) Aplicando o princípio de D’Alembert :

Torque Externo: T

Torques Resistentes: MT , kT e DT : então temos :

t

0

dT D J k .dt k. 0

dt

que é o modelo matemático pedido.

11

ANALOGIA

TORQUE- TENSÃO (T.v) e TORQUE-CORRENTE (T.i)

Da mesma forma que fizemos para os sistemas mecânicos translacionais, vamos

considerar os sistemas : circuito RLC série, o sistema mecânico translacional e o

circuito RLC paralelo. Para o circuito RLC temos :

e

RL

C

i

Figura 2.54

t

0

di 1 1e R.i L i.dt q 0

dt C C ; q carga ( I )

Para o sistema mecânico temos :

XXXXXXXXD

k T

Figura 2.55

t

0

dT D J k .dt k 0

dt ; ( II )

Para o circuito RLC paralelo temos :

G L Ci

Figura 2.56

t

0

de 1 1i Ge C e.dt 0

dt L L ; fluxo ( III )

12

Comparando as expressões ( I ) , ( II ) e ( III ), obtemos a tabela abaixo :

Tabela de Analogias: T.v e T.i

Grandeza Analogia f.v Analogia f.i

T Torque v Tensão i Corrente

D Coeficiente de Amortecimento R Resistência G Condutância

Velocidade Angular i Corrente v Tensão

J Momento de Inércia L Indutância C Capacitância

K Constante da Mola de Torção 1

C Elastância

1

L Indutância Recíproca

Deslocamento Angular q Carga Elétrica Fluxo Magnético

CONSTRUÇÃO DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS ANÁLOGOS: T.v e T.i

Para construir os circuitos elétricos análogos T.v e T.i, observe que:

1) cada junção no sistema mecânico transforma-se em um MALHA, (NÓ), no

sistema elétrico;

2) os elementos mecânicos que formam uma junção transformam-se em

elementos elétricos que formam a MALHA (NÓ) correspondente;

3) aos elementos mecânicos comuns à duas junções no sistema mecânico,

corresponderão elementos elétricos comuns à duas MALHAS (NÓS), no

sistema elétrico.

EXEMPLO : ( FAZER COMO EXECÍCIO )