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SISTEMAS LINEARES
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2.4 – ANALOGIA
DEFINIÇÃO 2.17 – sistemas análogos ou analógicos são sistemas de natureza
diferentes com um mesmo modelo matemático.
Exemplos:
R
e
massa
e R.i
f m.a
Figura 2.40
DEFINIÇÃO 2.18 – sistema mecânico translacional é o que apresenta
movimento em uma única direção.
DEFINIÇÃO 2.19 – sistema mecânico rotacional é o que apresenta movimento
de rotação.
ELEMENTOS LINEARES IDEAIS – ELÉTRICOS E MECÂNICOS
1) Resistor e R.i
2) Capacitor
t t
0 0
C
1 1 1e i.dt e 0 i.dt q 0
C C C
dei C
dt
3) Indutor
t
0
die L
dt
01i e.dt
L L
4) Massa
M
ref
f
Figura 2.41
y deslocamento u velocidade a aceleração
dy
udt
2
2
2
du d ya
dt dt ;
2
2
du d yf m.a m. m
dt dt
5) Atrito Viscoso Amortecedor Viscoso
a
D
b
f
ref
Figura 2.42
D constante do amortecedor ou coeficiente de atrito
u velocidade de deslocamento de b em relação ao ponto a fixo.
6) Mola
a
k
b
f
ref
Figura 2.43
f D.u
dyf D.
dt
t
0
f k.y
f k u.dt k.y 0
K constante da mola
3
EQUAÇÕES DOS SISTEMAS MECÂNICOS
OBTENÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
DEFINIÇÃO 2.20 – JUNÇÃO em um sistema mecânico é um ponto ou conjunto
de pontos que movem-se com uma mesma velocidade. Correspondem, em geral,
às massas individuais do sistema.
PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT
“ Para qualquer corpo a soma algébrica das forças externas aplicadas e forças
resistentes ao movimento, em uma dada direção, é nula”.
ROTEIRO PARA OBTENÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO DE UM
SISTEMA MECÂNICO
1) Identificar as junções.
2) Aplicar o Princípio de D’Alembert à cada junção.
Exemplo 2.15 – Escrever as equações do sistema mecânico abaixo em função das
velocidades e dos deslocamentos
M1 M2
1u u
k1D
2D
2u
f t
XXXXX D
Figura 2.44
Observe na figura acima que na massa M1 tem-se atrito com a superfície,
coeficiente D, e a massa M2 não possui atrito - rodas.
Solução :
1) O sistema possui 3 junções : massa 1M , o ponto de velocidade u e a massa
2M ;
2) Aplicando o Princípio de D’Alembert a cada junção teremos :
4
a) Equações, ( modelo ), em função das velocidades :
Junção M1
forças resistentes D1F , DF , kF , M1F
não existe força externa nessa junção
D1 D k M1F F F F 0
t
11 1 1 1 1
0
duD .u D.u k u u .dt M 0
dt
Junção u
t
1 2 2
0
k u u .dt D . u u 0
Junção M2
22 2 2
duf t D . u u M
dt
b) Equações, ( modelo ), em função dos deslocamentos :
Junção M1 :
1 1 11 1 1D .y D.y M y k y y 0
Junção u :
2 12D y y k y y 0
Junção M2 :
2 22 2D y y M y f t
Exemplo 2.16 – Encontrar o modelo matemático do sistema abaixo, em função
das velocidades:
M1 M2
1u u
12kD12D
2u
f t
XXXXX 1D XXXXX
fu
2k
D2D
Figura 2.45
5
Solução : são 4 junções, aplicando D´Alembert a cada junção teremos :
Junção u1 : t
11 1 1 1 12 1
0
duD.u D .u M k u u .dt 0
dt
Junção u : t
12 1 12 2
0
k u u .dt D u u 0
Junção u2 :
t
212 2 2 2 2 f 2 2 f 2
0
duD u u D u D u u k u u .dt M 0
dt
Junção uf : t
f 2 2 f 2
0
f t D u u k u u .dt
O conjunto das quatro equações acima é o modelo matemático pedido.
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ANALOGIA
FORÇA- TENSÃO (f.v) e FORÇA-CORRENTE (f.i)
Considere os sistemas abaixo : circuito RLC série, sistema mecânico: massa mola
e atrito viscoso e circuito RLC paralelo. Para o circuito RLC série temos :
e
RL
C
i
Figura 2.46
t
0
di 1 1e R.i L i.dt q 0
dt C C ; q carga ( I )
Para o sistema mecânico temos :
M
XXXXXXXX
FD
k
u
Figura 2.47
t
0
duF Du M k u.dt ky 0
dt ; ( II )
Para o circuito RLC paralelo temos :
G L Ci
Figura 2.48
t
0
de 1 1i Ge C e.dt 0
dt L L ; fluxo ; ( III )
7
Comparando as expressões ( I ) , ( II ) e ( III ), obtemos a tabela abaixo :
Tabela de Analogias: f.v e f.i
Grandeza Analogia f.v Analogia f.i
F Força v Tensão i Corrente
D Coeficiente de Amortecimento R Resistência G Condutância
u Velocidade i Corrente v Tensão
M Massa L Indutância C Capacitância
K Constante da Mola 1
C Elastância
1
L Indutância Recíproca
y Deslocamento q Carga Elétrica Fluxo Magnético
CONSTRUÇÃO DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS ANÁLOGOS: f.v e f.i
Para construir os circuitos elétricos análogos f.v e f.i, observe que:
1) cada junção no sistema mecânico transforma-se em uma MALHA, (NÓ),
no sistema elétrico;
2) os elementos mecânicos que formam uma junção transformam-se em
elementos elétricos que formam a MALHA (NÓ) correspondente;
3) a aos elementos mecânicos comuns a duas junções no sistema mecânico,
corresponderão elementos elétricos comuns à duas MALHAS (NÓS), no
sistema elétrico.
Exemplo 2.17 – Construir os circuitos elétricos análogos f.v e f.i do sistema
mecânico da Figura 2.44:
Solução 1: Analogia f.v
t
11 1 1 1 1
0
di 1R .i R.i L i i .dt 0
dt C Junção M1
t
2 2 1
0
1R . i i i i .dt 0
C Junção u
8
22 2 2
die t R . i i L
dt Junção M2
O circuito elétrico análogo f.v é :
eR
1R
1i C 2Ri 2i
2L
1L
Figura 2.49
Solução 2: Analogia f.i
t
11 1 1 1 1
0
de 1G .e G.e C e e .dt 0
dt L Junção M1
t
2 2 1
0
1G . e e e e .dt 0
L Junção u
22 2 2
dei t G . e e C
dt Junção M2
O circuito elétrico análogo f.i é :
i t1G G 1C
L 2G
2C
1e 2ee
Figura 2.50
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SISTEMAS MECÂNICOS ROTACIONAIS
De modo análogo aos sistemas translacionais iremos considerar agora os sistemas
rotacionais. Sejam:
deslocamento angular (rad) ; velocidade angular (rad/s)
aceleração angular (rad/ s2) ; J momento de Inércia (Kg.m
2)
Logo :
d
dt e
d
dt
ELEMENTOS MECÂNICOS
1) Massa M : Torque de Inércia : TM
2
M 2
d dT J. J. J.
dt dt
2) Amortecedor Viscoso ou Atrito Viscoso : Torque de amortecimento : TD
D
dT D. D.
dt
D constante do amortecedor ou coeficiente de atrito viscoso
DDT
M1
XXXXX 1D
DT
Figura 2.51: (a) – (b)
3) Mola: Torque da Mola : (Efeito Torção) : kT
t
k
0
T k .dt k. 0 ; k constante da mola
kT
Figura 2.52
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Do mesmo modo que fizemos para os sistemas translacionais, vejamos como
obter as equações de um sistema mecânico rotacional.
OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES DE UM SISTEMA MECÂNICO
ROTACIONAL
Para a obtenção das equações de um sistema mecânico rotacional, aplicaremos o
princípio de D’Alembert a cada junção. No caso de sistemas rotacionais, junção é
um conjunto de pontos que giram com uma mesma velocidade angular.
Princípio de D’Alembert :
“Para qualquer corpo a soma algébrica dos torques externos aplicados e torques
resistentes ao movimento de rotação é nula”.
Exemplo 2.18 – Encontrar o modelo matemático do sistema abaixo em função da
velocidade angular :
M
XX
X
Tk
D
Figura 2.53
Solução
1) Identificar as junções
2) Aplicar D’Alembert
1) Neste exemplo temos uma única junção : a massa M
2) Aplicando o princípio de D’Alembert :
Torque Externo: T
Torques Resistentes: MT , kT e DT : então temos :
t
0
dT D J k .dt k. 0
dt
que é o modelo matemático pedido.
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ANALOGIA
TORQUE- TENSÃO (T.v) e TORQUE-CORRENTE (T.i)
Da mesma forma que fizemos para os sistemas mecânicos translacionais, vamos
considerar os sistemas : circuito RLC série, o sistema mecânico translacional e o
circuito RLC paralelo. Para o circuito RLC temos :
e
RL
C
i
Figura 2.54
t
0
di 1 1e R.i L i.dt q 0
dt C C ; q carga ( I )
Para o sistema mecânico temos :
XXXXXXXXD
k T
Figura 2.55
t
0
dT D J k .dt k 0
dt ; ( II )
Para o circuito RLC paralelo temos :
G L Ci
Figura 2.56
t
0
de 1 1i Ge C e.dt 0
dt L L ; fluxo ( III )
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Comparando as expressões ( I ) , ( II ) e ( III ), obtemos a tabela abaixo :
Tabela de Analogias: T.v e T.i
Grandeza Analogia f.v Analogia f.i
T Torque v Tensão i Corrente
D Coeficiente de Amortecimento R Resistência G Condutância
Velocidade Angular i Corrente v Tensão
J Momento de Inércia L Indutância C Capacitância
K Constante da Mola de Torção 1
C Elastância
1
L Indutância Recíproca
Deslocamento Angular q Carga Elétrica Fluxo Magnético
CONSTRUÇÃO DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS ANÁLOGOS: T.v e T.i
Para construir os circuitos elétricos análogos T.v e T.i, observe que:
1) cada junção no sistema mecânico transforma-se em um MALHA, (NÓ), no
sistema elétrico;
2) os elementos mecânicos que formam uma junção transformam-se em
elementos elétricos que formam a MALHA (NÓ) correspondente;
3) aos elementos mecânicos comuns à duas junções no sistema mecânico,
corresponderão elementos elétricos comuns à duas MALHAS (NÓS), no
sistema elétrico.
EXEMPLO : ( FAZER COMO EXECÍCIO )
