Минимизација прекидачких функција

Минимизација Минимизација прекидачких прекидачких

функцијафункција

Синтеза прекидачких мрежаСинтеза прекидачких мрежа Метода МакКласкијаМетода МакКласкија Метода Карноових мапаМетода Карноових мапа Корисна колаКорисна кола

Синтеза прекидачких Синтеза прекидачких мрежамрежа

• Поступак добијања прекидачке мреже на основу задате функционалне зависности, таблице истинитости или аналитичке репрезентације функције, назива се синтеза прекидачких мрежа.

Синтеза прекидачких Синтеза прекидачких мрежамрежа

• Под минимизацијом прекидачке функције подразумевамо специјални поступак добијања оптималне реали-зације прекидачке мреже.

МакКласкијева методаМакКласкијева метода

• Импликант функције је прост ако ниједан његов део није такође импликат функције.

• Битни прости импликант покрива функцију на бар једном слогу на којем је не покрива ниједан други импликант.

МакКласкијева методаМакКласкијева метода• Метода се заснива на проналажењу

простих и битних простих имплика-ната функције.

• Битни прости импликанти у дисјунк-цији дају минималну ДНФ функције.

• Поступак минимизације се разликује за непотпуно дефинисане функције и системе функција.

МакКласкијева методаМакКласкијева методаПример: МакКласкијевом методом пронаћи све просте импликанте функције f(x1, x2, x3, x4) задате скупом децималних индекса f

(1) = {0, 2, 3, 7, 8, 12, 14}.

МакКласкијева методаМакКласкијева методаi Pi

0 0000

2 0010

8 1000

3 0011

12 1100

7 0111

14 1110

Формира се таблица у коју улазе сви бинарни индекси на којима

функција има вредност 1.

Таблица се дели на класе индекса према броју

јединица.

Класе се међусобно раздвајају

хоризонталном линијом.

МакКласкијева методаМакКласкијева метода• Од полазне таблице формира нова таблица

удруживањем бинарних индекса из суседних класа који се разликују само на једном биту. У новој таблици удружени индекси на биту на коме се разликују имају симбол "x", а у претходној таблици се удружени индекси обележавају симболом "".

• Поступак се итеративно наставља све док је удруживање могуће. Најзад, сви неудружени индекси одговарају простим импликантима.

МакКласкијева методаМакКласкијева методаi Pi

0 0000

2 0010

8 1000

3 0011

12 1100

7 0111

14 1110

i,j Pi,j

0,2 00x0

0,8 x000

2,3 001x

8,12 1x00

3,7 0x11

12,14 11x0

Нема даљих могућности за удруживање

a

b

c

d

e

f

Прости импликанти

МакКласкијева методаМакКласкијева метода• За проналажење битних простих

импликаната се формира таблица покривања.

• Може се користити поступак прецртавања или налажење функције покривања.

МакКласкијева методаМакКласкијева метода• У првом случају, у прецртаним

врстама су битни прости импликанти.

• Код другог поступка сваки од производа садржи један од довољних скупова за синтезу.

МакКласкијева методаМакКласкијева методаПример: МакКласкијевом методом пронаћи све битне просте импликанте и минималну дисјунктивну форму функције f(x1, x2, x3, x4) задате скупом децималних индекса f

(1) = {0, 2, 3, 7, 8, 12, 14}.

МакКласкијева методаМакКласкијева метода0 2 3 7 8 12 14

а * *

b * *

c * *

d * *

e * *

f * *

Таблица покривањаПроналазимо

колоне са само једном звездицом

... прецртавамо их ...

... затим, прецртавамо

врсте са прецртаним

звездицама ...

... онда и колоне са

прецртаним звездицама ...

МакКласкијева методаМакКласкијева метода

0 2 8

а * *

b * *

c *

d *

Поступак би се наставио итеративно,али сада није могуће наћи колону за

једном звездицом.

Тражимо покривене врсте или покривене колоне и прецртамо их, водећи рачуна о

оптималности.

421431432421

min

xxxxxxxxxxxx

febaf

МакКласкијева методаМакКласкијева метода0 2 3 7 8 12 14

а * *

b * *

c * *

d * *

e * *

f * *

Алтернативно, можемо да

одредимо функцију покривања

lk 2121

Функција колоне – дисјункција импликаната у чијим врстама стоји звезда

Довољни скупови за синтезу

МакКласкијева методаМакКласкијева метода0 2 3 7 8 12 14

а * *

b * *

c * *

d * *

e * *

f * *

bcdefbcefadefabef

ffddbeeccaba

))(())()((

МакКласкијева методаМакКласкијева метода

nce

1

1

Фактор економичности

Број члланова у ДНФ

Укупан број симбола у ДНФ

На основу фактора економичности закључујемо да заоптималну синтезу можемо равноправно да користимо

скупове импликаната:abef, adef и bcef.

Метода Карноових мапаМетода Карноових мапа• Карно (Maurice Karnaugh) је раних

50-тих измислио алтернативни начин за превођење истинитосне таблице у оптималну ДНФ функције.

• Карноова мапа функције од n променљивих има 2n ћелија.

Метода Карноових мапаМетода Карноових мапа• Поступак минимизације састоји се

у удруживању максималног броја суседних ћелија у групе од по 2k ћелија (k = 0, 1, 2, …).

Метода Карноових мапаМетода Карноових мапаx1 x2 f

0 0 m0

0 1 m1

1 0 m2

1 1 m3

x1

x2 0 1

0 m0 m2

1 m1 m3

Функција од 2 променљиве

Карноова мапа функције од 2 променљиве.

x2

x1 0 1

0 m0 m1

1 m2 m3

... може и овако ...

Метода Карноових мапаМетода Карноових мапа• Очигледно је да се суседни минтермови

(у истој врсти или истој колони) разликују на једном месту па се на њих може применити закон сажимања.

x1

x2 0 1

0 1

1 1 1

21 xxf

Ћелије које садрже нуле се не попуњавају

због прегледности

Метода Карноових мапаМетода Карноових мапаx1 x2 x3 f

0 0 0 m0

0 0 1 m1

0 1 0 m2

0 1 1 m3

1 0 0 m4

1 0 1 m5

1 1 0 m6

1 1 1 m7

x2 x3

x1 00 01 11 10

0 m0 m1 m3 m2

1 m4 m5 m7 m6

Обратите пажњу на редослед

ознака

Метода Карноових мапаМетода Карноових мапа• Ћелије носе ознаке које су

разликују само на једном месту – Грејов код!

Метода Карноових мапаМетода Карноових мапа• Суседност ћелија!

Метода Карноових мапаМетода Карноових мапа

x2 x3

x1 00 01 11 10

0 1 1

1 1 1

3xf

Метода Карноових мапаМетода Карноових мапа x3 x4

x1 x2 00 01 11 10

00 m0 m1 m3 m2

01 m4 m5 m7 m6

11 m12 m13 m15 m14

10 m8 m9 m11 m10

Карноова мапа функције са четири

променљиве.

Метода Карноових мапаМетода Карноових мапаКарноова мапа функције од 4

променљиве је у ствари изрезана површина торуса!

Метода Карноових мапаМетода Карноових мапа

x3 x4

x1 x2 00 01 11 10

00 1 1 1

01 1 1 1

11 1 1 1

10 1 1

42413 xxxxxf

Метода Карноових мапаМетода Карноових мапа• Шта са непотпуно дефинисаним

функцијама?

x3 x4

x1 x2 00 01 11 10

00 * 1 1 *

01 * 1

11 1

10 1

4321 xxxxf

Корисна колаКорисна кола• Мултиплексери

0a

1

0 0

0 01 1

1 1

xox1

00 01 11 10

x0

x1

z

Улазни подаци

aадреса извора

Излаз података

a) б)

Сл. 1. Мултиплексер типа 2-у-1: (a) Карноова мапа; (б) имплементација логичког кола.

Корисна колаКорисна кола• Демултиплексери

Сл. 2. Демултиплексер типа 1-у-4: (a) Логички симбол;

z0

z1

z2

z3

D0

D1

D2

D3

x

Q0 Q1

улаз

одредишта

Адресни улази (адреса одредишта)

Корисна колаКорисна колаАдресни улази Улаз Излази

Q0 Q1 X z0 z1 z2 z3

0 0 0 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 1

0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 1 0 1

1 0 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 0

1 1 1 1 1 1 1

Сл. 2. Демултиплексер типа 1-у-4: (б) истинитосна таблица.

Корисна колаКорисна кола

Сл. 2. Демултиплексер типа 1-у-4: (в) дијаграм кола.

z0

z1

z2

z3

x

Q0

Q1

Q0 Q10Q 1Q

Корисна колаКорисна кола• Декодери – добијају се када код

демултиплексера адресни улази промене места са улазним сигналом.

Сл. 3. Декодер 2-у-4.

D0

D1

D2

D3

x

Q0Q0 Q1Q1

Q0

Q1

Enable

улази

излази

Корисна колаКорисна кола• Кола са три стања – осим

уобичајених стања могу бити и у стању високе импедансе.

x y

e(Enable)

x e y

0 0 Z

0 1 1

1 0 Z

1 1 0

Корисна колаКорисна кола

x y

d

(Disable)

x d y

0 0 0

0 1 Z

1 0 1

1 1 Z