mtodo de integracion
La poblacin de la comunidad lomas del sur ltima etapa, ubicado
en nuevo Chimbote. Se incrementa a una tasa proporcional al nmero
de personas presente en el tiempo t. en 5 aos se duplica la
poblacin inicial . Se sabe que la poblacin es de 5711 despus de
tres aos.
a) Cul fue la poblacin inicial?.b) Cul ser la poblacin en 15
aos?.c) con que rapidez crece la poblacin en t = 15?.
Solucin:Sea:
t : tiempo, medido en aos.P : poblacin presente en el tiempo t.:
poblacin inicial.k : constante de proporcionalidad. = : tasa de
crecimiento de la poblacin.
De tal manera que:
= KP ln P = Kt + C P(t) = P(t) = P(t) = C - - - - - - - - -
(1)
- - - - - - - - - (2)
Se sustituye (2) en (1):
= C
= C - - - - - - - - - - (3)
cuando (3) en (1):
P(t) = - - - - - - - (4) la poblacin se duplica en 5 aos, esto
es:
2
2 =
ln(2) = 5K
k = - - - - - - - - (5)
cuando se reemplaza (5) en (4) :
p(t) = - - - - - - - (6)
la poblacin es de 5711 - - - - - - - - (7)
Se sustituye (7) en (6):
= = 5 711
= 5 711
= 3 767.85
= 3 768 habitantes - - - - - - - - - - - (8)
Ahora se sustituye (7) en (6):
= 3 768 - - - - - - - - - - (9)
= 3 768
= 30 144 habitantes - - - - - - - (10)
= KP - - - - - - - - - (11)
Se sustituye (5) y (10) en (11):
= (30 144)
= 4 178.85
= 4 179
Respuesta: la poblacin inicial de la comunidad lomas del sur,
ltima etapa era de 3 768 personas, al cabo de 15 aos se increment a
30 144 y creciendo con una rapidez de 4 179 personas / ao en t =
15.
mtodo exponencial
El crecimiento de una ciudad, es proporcional al nmero de
habitantes que hay en un instante cualquiera. si la poblacin
inicial es de 3 768, y al cabo de 3 aos es de 5 711. a) Cunto
tardara en duplicarse? b) Qu poblacin habr en 15 aos?
Solucin: = KP =
= 3 768 habitantes
t = 3 aos P = 5 711 habitantes
a) t = ? P = 7 536 habitantesb) P = ? t = 15 aos
calcular K :
5 711 = 3 768 = ln(1.516) = 3K K = K = 0.13869 = 3 768
a) 7 536 = 3 768 2 = ln (2) = ln ln (2) = 0.13869 t
b) Para t = 15 aos P =?
= 3 768 P = 3 768 = 3 768 P = 3 768 * (8.0077)P = 30 173.01P =
30 173 habitantes
Respuesta: la poblacin inicial de la comunidad lomas del sur,
ltima etapa era de 3 768 personas, al cabo de 15 aos se increment a
30 173 habitantes.
mtodo DE LOS INCREMENTOS VARIABLES
El crecimiento de una ciudad, es proporcional al nmero de
habitantes que hay en un instante cualquiera. si la poblacin
inicial es de 3 768. A) Qu poblacin habr en 15 aos?
Solucin:
AoP
19893768--
20003969201-
2010400233-168
2014401512-20
247 -188
D e : (1)
De : (2)
5396 hab.mtodo ARITMETICO
El crecimiento de una ciudad, es proporcional al nmero de
habitantes que hay en un instante cualquiera. si la poblacin
inicial es de 3 768.
Solucin:
Ao.r
19893768---
200039692011118.273
201040022342111.143
20144015247259.88
14
= 4015+(14*15) = 4225 hab.
mtodo GEOMETRICO
El crecimiento de una ciudad, es proporcional al nmero de
habitantes que hay en un instante cualquiera. si la poblacin
inicial es de 3 768.
SOLUCION:
Ao.r
19893768--
20003969111.005
20104002211
20144015251
1.0017
mtodo DE CURVA NORMAL LOGISTICA
El crecimiento de una ciudad, es proporcional al nmero de
habitantes que hay en un instante cualquiera. si la poblacin
inicial es de 3 768.
Solucin:
AoP
19893768
20003969
20104002
2014-
3768*4002 6.51 * 10.58* ok!!
9768 + 4002 2*(3969) 7770 7938 ok!!
a= a= -2.753
b = b = b =
mtodo PARABOLICO
El crecimiento de una ciudad, es proporcional al nmero de
habitantes que hay en un instante cualquiera. si la poblacin
inicial es de 3 768.
Solucin:
AoP X
19893768
2000396911
2010400221
2014401525
3768 = A + B(0) + C() A = 3768
3969 = 3768 + B(11) + C() 3969 3768 = B(11) + C() 201 = B(11) +
C() ------------- (1) 4002 = 3768 + B(21) + C() 4002 3768 = B(21) +
C() 234 = B(21) + C() ------------- (2)Desarrollando (1) y (2):201
= B(11) + C() 234 = B(21) + C() *(- 0.5238095)201 = B(11) + C()
-123 = -B(11) + C (105)
C = 4.88B = 113.62
