Penggunaan Integral Tertentu

Bab 4. Penerapan Integral

BAB 4.

PENGGUNAAN INTEGRAL

4.1. Luas area datar

Perhatikan daerah di bawah kurva )(xfy = di antara dua garis tegak x = a

dan x = b di atas sumbu x , dengan f fungsi kontinu. Seperti pada saa

mendefinisikan integral tertentu, kita bagi interval [a,b] menjadi n sub interval dengan

lebar sama dan selanjutnya kita hampiri sub interval ke- I dengan persegi panjang

dengan lebar nabx /)( −=∆ dan tinggi )( *ixf (lihat gambar, kita boleh saja

mengambil semua titik sample berupa titik ujung, yakni ii xx =* ). Dengan demikian

jumlah Riemann

∑=

∆n

iii xxf

1)( *

merupakan hampiran luas dari daerah dibawah kurva )(xfy = tersebut.

y )(xfy =

0 a 1−ix *ix ix b x

Hampiran akan semakin baik, mendekati luas sesungguhnya, jika ∞→n .

Oleh karena itu luas daerah di bawah kurva )(xfy = di antara dua garis tegak x = a

dan x = b di atas sumbu x didefinisikan sebagai nilai limi dari jumlah luas persegi

panjang tersebut, yaitu

∫∑ =∆==∞→

b

a

n

iii

ndxxfxxfL )()(lim *

1.

Bab 4. Penerapan Integral--YUDIARI 40

Contoh 1 : Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = 2x ,sumbu x, x = 1 dan x =

3

Penyelesaian.

y xy 2=

0 1 3 x

Luasnya adalah

∫3

12 dxx = ] 8

31

2 =x satuan luas

Untuk daerah yang dibatasi oleh dua kurva )(xfy =1 dan )(xgy =2 di antara dua

garis tegak x = a dan x = b dengan f dan g kontinu dan )()( xgxf ≤ untuk

semua x pada [a,b] luasnya adalah

∫∑ −=∆−==∞→

b

a

n

iii

ndxxfxgxxfxgL )]()([)]()([lim **

1.

y y2 = g(x) L = ∫b

a(y2 – y1) dx

L y1 = f(x) atau

0 a b x L = ∫b

a[g(x) – f(x)] dx

Contoh 2 : Gambarlah dan tentukan luas daerah yang dibatasi oleh

y = sin x pada kuadran I.

Jawab :

L = ∫π

0sin x dx = 1 satuan luas


Contoh 3 : Gambarlah dan tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan y

= x

Jawab :

y y = x2 y = x

cari titik potong kedua kurva :

x2 = x

0 1 x x2 – x = 0

x = 0 dan x = 1

Jadi luasnya adalah

L = ∫1

0(x - x2) dx =

1

0

32

31

21

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − xx =

61 satuan luas.

Soal latihan 4.1:

Tentukan luas daerah yang dibatasi :

2. y = x2 + 1 dan y = 3x +1

3. y = 3x3 + 3x2 dan y = 4x

4. y = x2 – 4x + 3 , sumbu x dan garis x = 5

5. Segitiga dengan titik-titik sudut A(3,4), B(2,-3), dan C(1,0)

6. y2 = x dan y = x + 2

7. y2 = x dan y = 2-x pada kuadran I

8. y = x3 dan y = x

1. Tunjukkan bahwa jika daerah yang dibatasi oleh kura y = f(x) dan y =

g(x), x = a , dan x = b ( lihat gambar ) diputar terhadap sumbu y adalah

y

y = f(x)

[ ] dxxgxfxVbay ∫ −π= )()(2

y = g(x)

0 a b x


4.2. Volume Benda Putar

Metode cakram

(i). Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x pada [a,b] diputar

terhadap sumbu x, adalah

Volume = Luas alas x tinggi

= π r2 t

y i∆ Vx = π [f( *ix )]2 i∆ x

0 a b x ∑=

n

i 1i∆ Vx = ∑

=

n

i 1π [f( *

ix )]2 i∆ x

i∆ x

Volume sebenarnya ;

[ ] [ ]∫∑ π=∆π==∞→

b

a

n

iii

nx dxxfxxfV 2

1

2)()(lim * .

(ii). Daerah yang dibatasi oleh kurva x = g(y), sumbu y pada [c,d],

diputar terhadap sumbu y, maka

[ ]∫π=d

cy dyygV 2)( .

(iii). Daerah yang dibatasi oleh dua kurva y1 dan y2 , maka

f2(x)

y f1(x) Vx = π ∫b

a[y2

2 – y12 ] dx

= π ∫b

a[f2

2 (x) – f12 (x) ] dx


Dan secara sama akan dipunyai

Vy = π ∫b

a[x2

2 – x12 ] dy

= π ∫b

a[g2

2 (y) – g12 (y) ] dy

Contoh 1 : Tentukan vulome yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh kurva

y = x2 + 1 , sumbu x dari x = 0 sampai x = 2 diputar

terhadap sumbu x.

Penyelesaian :

y y = x2 + 1

1

0 2 x

Vx = π ∫2

0(x2 + 1)2 dx

= π2

0

35

32

51

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++ xxx = π

15206 satuan volume

Contoh 2 : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi oleh y = x dan y = x2 diputar terhadap sumbu x .

Penyelesaian :

Dari contoh 3 bagian 4.1, maka

Vx = ∫1

0[x2 – (x2)2] dx

= [ ]1053

51

31 xx −

= 152 satuan volume

Metode Kulit


(i). Daerah Yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a dan x = b, sera sumbu x,

diputar terhadap sumbu y. Maka volume benda yang dihasilkan dapat dihitung

sebagai berikut :

a b x xi-1 xi

Interval [a.b] dibagi menjadi n bagian sub interval yaitu ; a = x0, x1, x2, … , xn= b yang

masing-masing panjangnya i∆ x = xi – xi-1. Maka jika luasan pada [xi-1, xi] diputar

mengelilingi sumbu y, maka diperoleh tabung Vi , yang volumenya adalah

Vi = π xi2 f(ti) - π xi-1

2 f(ti), dengan ti ∈[xi-1, xi]

= π (xi2 – xi-1

2) f(ti)

dan jika diambil ti = 2

1 ii xx +− , maka

Vi = π (xi2 – xi-1

2) f(ti)

= π (xi – xi-1) (xi + xi-1) f ( 21 ii xx +− )

= 2π (xi – xi-1) ( 21 ii xx +− ) f (

21 ii xx +− )

= 2π ( i∆ x) (ti) f(ti)

Sehingga diperoleh

∑=

n

i 1Vi = 2π ∑

=

n

i 1(ti) f(ti) ( i∆ x)

Sedangkan volume sesungguhnya adalah

Vy= ∞→n

lim ∑=

n

i 1(ti) f(ti) ( i∆ x)

atau

Vy = 2π ∫b

ax f(x) dx


(ii). Daerah yang dibatasi oleh dua kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x) pada [a,b]diputar

terhadap sumbu y adalah :

[ ]∫ −π=b

ay dxxgxfxV )()(2 .

Contoh 3 : Tentukan volume yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva

y = x2 – 4x + 4 dan y = 2x – 1 diputar terhadap sumbu y.

Penyelesaian :

Titik potong kedua kurva adalah

x2 – 4x + 4 = 2x – 1

x2 – 4x + 4 – 2x + 1 = 0

x2 – 6x + 5 = 0

(x – 5) ( x – 1) = 0

Jadi titik potongnya (1,1) dan (5,9).

Volumenya adalah

Vy = 2 ∫5

1π x [(2x – 1) – (x2 – 4x + 4 )] dx

= 2 ∫5

1π [– x3 + 6x2 – 5x] dx

= 2 π5

1

234

252

41

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+− xxx

= 2 π ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−−−+− }1.

251.21.

41{}5.

255.25.

41{ 234234

= 64π satuan volume


Soal Latihan 4.2 :

Selanjutnya untuk 2 – 5, tentukan volume benda putar yang dihasilkan jika daerah

yang ditentukan berikut diputar terhadap sumbu atau garis yang diberikan;

2. A diputar terhadap sumbu y dengan metode cakram dan cincin.

3. B diputar terhadap sumbu y dengan metode cakram dan cincin.

4. C diputar terhadap sumbu y dengan metode cakram dan cincin.

5. B diputar terhadap garis y = 1 dengan metode cakram dan cincin.

Tentukan volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh

6. y = x2 + 2 dan y = 3x +2 diputar terhadap sumbu x, sumbu y.

7. y2 = 1 – x2 dan y = 1 – x pada kuadran I diputar terhadap sumbu x.

8. y = x2 dan y = 1 dan x =2 diputar terhadap garis y = -3.

9. 2y = x2 dan y2 = 10 x diputar terhadap sumbu y.

10. y = x2 dari x = 0 s.d x = 2 diputar terhadap sumbu x ; sumbu y.

11. Segitiga dengan titik sudut (2,-2) , (5,1), dan (-1,4) diputar terhadap sumbu x ;

sumbu y.

Pada gambar , A menyatakan daerah

xy =2 , dan y = 1, B menyatakan daerah

yang dibatasi oleh kurva 2xy = , dan

xy =2 , dan C daerah yang dibatasi oleh

kurva 2xy = , sumbu x ,dan x = 1.

1. Tentukan luas masing-masing

daerah A, B, dan C.

yang dibatasi oleh sumbu y , kurva

y

1 (1,1)

A

B

C

0 1 x


4.3 Panjang Busur

Akan dihitung panjang busur AB dari kurva y = f(x) pada [a,b]

y= f(x)

P1 Pi-1 Pi B = Pn

A=P0

0 a x1 …xi-1 xi b x

Diambil partisi P={a = x0, x1, x2, … , xn = b } pada [a,b], sehingga terdapat titik

A=P0 P1, … , Pn = B yang terletak pada kurva. Panjang busur AB didekati oleh

jumlah panjang n buah tali busur P0 , P1, … ,Pn-1 , Pn , yaitu :

∑=

n

i 1

22 )()( yx ii ∆+∆ atau ∑=

n

i 12

2

)()(1

xy

i

i

∆∆

+ . xi∆

Untuk 0→P atau n→ ∞ diperoleh

Panjang busur AB adalah :

S = ∞→n

lim ∑=

n

i 12

2

)()(1

xy

i

i

∆∆

+ xi∆

atau

S = ∫b

a

2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

dxdy dx

Secara sama untuk kurva x = g(y) pada [c,d], dapat dicari

S = ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

d

c dydx

2

1 dy

Contoh 1 : Tentukan panjang busur kurva y = x + 2 dari x = 1 sampai x = 4

Penyelesaian :

Panjangnya


S = ∫ +4

1

211 dx

= [ ]412 x = 3 2 satuan panjang.

Soal Latihan 4.3 :

1. Tentukan panjang busur y = ½ x2 pada [1,3]

2. Tentukan keliling daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = x dan y = ½ x.

3. Dengan menggunakan integral tentukan panjang sisi-sisi segitiga yang titik-titik

sudutnya(-2,2), (3,4), dan (2,-3).

4.4 Nilai rata-rata fungsi

Nilai rata-rata dari sebanyak n bilangan nyyy ,...,, 21 adalah

nyyy

y n+++=

...21 .

Tetapi bagaimana jika ingin menghitung nilai rata-rata fungsi )(xfy = , bxa ≤≤ .

Untuk mengetaahui nilai rata-rata fungsi tersebut, kita bagi [a,b] menjadi n selang

bagian, yaitu ],],...[,[],,[ nn xxxxxx 12110 − dengan panjang setiap selang bagian ke-i

sama, yaitu nabx /)( −=∆ . Misalkan titik sampel *ix ],[ ii xx 1−∈ , maka rata-rata

bilangan )(),...,(),( ***nxfxfxf 21 adalah

nxfxfxf n )(...)()( *** +++ 21 . Karena

nabx /)( −=∆ , maka dapat kita tulis xabn ∆−= )( sehingga nilai rata-rata menjadi

[ ]xxfxxfxxfab

xab

xfxfxfn

n ∆++∆+∆−

=

∆−

+++)(...)()(

)()(...)()( ***

***21

21 1

= ∑=

∆−

n

ii xxf

ab 1

1 )( *

Selanjutnya nilai rata-rata f pada interval [a,b] didefinisikan sebagai

∞→=

nf lim ∫∑ −

=∆− =

b

a

n

ii dxxf

abxxf

ab)()( * 11

1.


Contoh 1: Tentukan nilai rata-rata fungsi 12 += xxf )( pada interval [1,3].

Penyelesaian :

∫∫ =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=+

−=

−=

3

1

3

1

32

316

3211

1311 xxdxxdxxf

abf

b

a)()( .

Diperoleh teorema berikut.

Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral. Jika f fungsi kontinu pada [a,b] maka

terdapat sebuah bilangan c pada [a,b] sedemikian sehingga ))(()( abcfdxxfb

a−=∫ .

Contoh 2 : Karena 12 += xxf )( kontinu pada interval [1,3], maka terdapat c pada

[1,3] sedemikian sehingga ∫ −=+3

1

2 131 ))(()( cfdxx .

Pada kasus ini, c dapat ditemukan secara eksplisit. Dari contoh 1 kita ketahui bahwa

f(c) = frata-rata = 3

16 . Jadi c2 + 1 = 3

16 atau c2 = 3

13 . Dengan demikian c yang memenuhi

teorema nilai rata-rata untuk integral adalah c =3

13 .

Documents

Penggunaan Integral Tertentu