Luasan didefinis - Web viewSetelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami penggunaan integral tertentu dalam masalah-masalah ... Pembahasan

BAB IV

APLIKASI INTEGRAL TERTENTU

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami

penggunaan integral tertentu dalam masalah-masalah praktis.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menghitung luas suatu luasan dengan menggunakan integral

tertentu.

2. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dengan menggunakan integral

tertentu.

3. Mahasiswa dapat menentukan panjang busur suatu kurva dengan menggunakan

integral tertentu

4. Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan benda pejal dengan menggunakan

integral tertentu.

Bab IV buku ini membahas hal-hal pokok yang berkaitan dengan aplikasi integral

tertentu, antara lain: (1) luas suatu luasan, (2) volume benda putar (3) menentukan

panjang busur dan 4) luas permukaan.

Integral tertentu dengan berbagai macam sifat-sifatnya yang telah dibahas pada

pasal sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan selesaian masalah-masalah

praktis dalam kehidupan nyata. Beberapa diantara penggunaan integral yang di bahas

dalam buku ini adalah menetukan luas suatu luasan, menghitung volume benda pejal,

menentukan panjang busur suatu kurva yang telah ditentukan persamaannya, dan

menentukan luas permukaan benda putar.

Untuk memperjelas masing-masing pembahasan tentang penggunaan integral

tertentu, penulis menggunakan beberapa ilustrasi dan gambar yang diharapkan gambar

tersebut akan memudahkan pembaca untuk memahaminya. Pembahasan selengkapnya

adalah sebagai berikut:

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 105

)(xfy )(yfx

ax bx

dy

cy

Y

XX

Y

RR

4.1 Luas Suatu Luasan

Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang XOY dengan

persamaan y= f ( x ) atau x=g( y ) atau y= f ( x ) , x=g( y )yang berbatasan dengan

sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang

dapat dikelompokkan menjadi luasan positip dan luasan negatip. Luasan positip adalah

luasan dengan persamaan y= f ( x ) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas

sumbu X atau luasan dengan persamaan x=g( y ) dan sumbu-sumbu koordinat yang

terletak disebelah kanan sumbu Y . Berikut ini gambar luasan positip yang dimaksud.

Gambar 4.1

Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan y=f ( x ) dan sumbu-sumbu

koordinat yang terletak di bawah sumbu X atau luasan dengan persamaan x=g( y )

dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu Y . Berikut ini gambar

luasan negatif tersebut.


)(xfy )(yfx

ax bx dy

cy

Y

X

X

Y

R R

Y

R

)(xfy

Xax bx

Gambar 4.2

Luasan positip dan negative sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasn

juga dapat terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus,

misalnya y2=f (x ) dan y2=g( x ) . Pembahasan dalam buku ini diawali dengan

menentukan luas luasan menggunakan integral untuk daerah yang dibatasi oleh satu

kuva.

a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.

Perhatikan gambar 4.3 dibawah ini

Gambar 4.3


R sebagaimana terlihat pada gambar 4.3 adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-

kurva y= f ( x ) , x=a , x=b . Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R

dinyatakan dengan

A( R )=∫a

b

f ( x )dx

Jika luasan terletak di bawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai negatif,

karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut

dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk

A( R )=∫

a

b

− f ( x ) dx=|∫a

b

f ( x )dx|

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah

sebagai berikut :

a) Gambar luasan yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas-batasnya

dan mudah dilihat.

b) Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu X atau sumbu Y , selanjutnya bagilah luasan

dalah bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi

yang terbentuk.

c) Hampiri luas masing-masing partisi tertentu tersebut dengan menggunakan luas

persegi panjang

d) Jumlahkan luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk.

e) Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-

masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang menrupakan luas

luasan.

Contoh:

1) Segitiga ABC terletak pada XOY , titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat

kartesius yaitu A(0,0 ), A(3,0 ) dan C (3,7) . Dengan menggunakan integral tertentu

tentukan luas segitiga ABC.

Jawab

Gambar segitiga ABC adalah


X

Y

)0,3(B)0,0(A

)7,3(C

Gambar 4.4

Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus

y− y A

x−x A=

y c − y A

xc−x A

Diperoleh persamaan

y−0x−0

=7−03−0

3 y=7 x atau y=7 x3

Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan A( R )=∫

a

b

f ( x ) dx

⇔∫0

37 x3

dx=(76

x2)0

3=( 7

69)=10 , 5

2) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva y=4−x2 dan sumbu-sumbu

koordinat.

Jawab

Luasan y=4−x2 yang dibatasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah


X2 2

Y

24 xy

R

Gambar 4.5

Tampak pada gambar 4.5 di atas luasan yang diketahui ( R )berada di atas sumbu x

sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral yaitu:

A( R )=∫a

b

f ( x )dx

⇔∫−2

2

( 4− x2 ) dx

⇔2∫0

2

(4−x2 ) dx

⇔2(4 x−13

x3)0

2

⇔2(4 . 2−13

.23)−2(4 .0−13

.03)⇔2(8−8

3 )=323


R X

Y

4x

2yx

3) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva x= y2 dan garis x=4

Gambar 4.6

Dengan cara yang sama luas luasan di atas dinyatakan dengan

∫0

4

f ( x )dx +∫0

4

− f ( x )dx

⇔∫

0

4

f ( x )dx +∫0

4

−f (x )dx

⇔∫

0

4

√ x dx +∫0

4

−(−√ x ) dx

⇔2∫

0

4

√ x dx

⇔2( 2

3x3 /2)

0

4

= 43

.8=323


R)(yfx

Y

X

c

d

Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini :

Gambar 4.7

Luasan R pada gambar 4.7 di atas dibatasi oleh kurva x=g( y ), y=c , y=d , dan x=0 .

Dengan integral tertentu luas luasan R yang berada disebelah kanan sumbu x dinyatakan

dalam bentuk

A( R )=∫c

d

g( y )dy

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu x maka integral tertentu di atas bernilai

negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut

dimutlakkan, sehingga diperoleh:

A( R )=∫c

d

−g( y )dx=|∫c

d

g( y )dy|

Contoh

1) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva x= y2 dan garis y=−2, y=2

Jawab


R X

Y

2y

2yx 2y

Luasan x= y2 dan garis y=−2, y=2 dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 4.8

Sehingga luas luasan tersebut adalah

A( R )=∫

c

d

g( y )dy

⇔∫−2

2

y2 dy

⇔2∫0

2

y2 dy

⇔2(13 y3)

0

2=

163

b. Daerah antara dua kurva

Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatsanya adalah y= f ( x )dan

y=g (x ) denganf ( x )≥g( x )pada selang [ a ,b ] . Sepertihalnya luasan yang dibatasi oleh

satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positip dan luasan

negatip. Dengan demikian aturan menentukan luas luasan dengan integral pada luasan

yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva.


X

Y

ax bx

)(xgy

)(xfy

)()( xgxf

x

Perhatikan gambar 4.9 berikut ini.

Gambar 4.9

ΔA≈ ( f ( x )−g( x )) ΔxSehingga luas luasan dinyatakan dengan:

A( R )=∫a

b

( f ( x )−g ( x ))dx

Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah kanan

sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan

A( R )=∫c

d

( f ( y )−g( y ))dy

Soal-soal

Gunakah integral tertentu untuk menentukan luas luasan berikut.

1. Luasan R dibatasi oleh kurva y=x2−2 dan

y=2 x2+x−4

2. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva y=x , y=2 x dan

y=5−x


X

Y

ba

)(xfy

3. Luasan R dibatasi oleh kurva y=√x dan y=−x+6

4. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva y=x+6 , y=x3 dan 2 y+ x=0 .

Kemudian hitunglah luasnya.

5. Luasan R dibatasi oleh kurva y2=4−x dan y

2=4−4 x

4.2 Volume Benda Putar

a. Pemutaran mengelilingi sumbu X

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh y=f ( x ) , x=a , x=b Selanjutnya R

diputar mengelilingi sumbu x . Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu x

membentuk bangun berupa benda padat (pejal). Dengan menggunakan integral tertentu

volume benda padat tersebut dapat didekati dengan menggunakan rumus:

V=π∫a

b

y2 dx.

Gambar 4.10


Gambar 4.11

Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu y1=f (x ), y2=g( x ) , x=a , x=b . Dengan

y1≥ y2 Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x , maka terbentuk benda pejal yang

volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

V=π∫a

b

( y12− y2

2 ) dx

Gambar 4.12


X

Y

)( yfx

dy

cy

b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh x=g( x ) , y=c , y=d Selanjutnya R

diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda

pejal. Benda tersebut volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu

yaitu: V=π∫

c

d

x2 dy.

Gambar 4.13

Gambar 4.14


Gambar 4.15

Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu x1= f ( x ) , x2=g( x ), y=c , y=d . Dengan

x1≥x2 Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu y , maka terbentuk benda pejal yang

volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

V=π∫c

d

(x12−x2

2) dy

Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar

volume adalah hasilkali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Volume dari benda

putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas

alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka

volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :

V=∫a

b

A ( x )dx

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah

diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu

metode cakram dan kulit tabung.


Metode Cakram

Misal daerah dibatasi oleh diputar dengan

sumbu putar sumbu x . Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan

memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga

cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [ a , b ] .

Misal pusat cakram (x0 ,0 )dan jari-jari r=f (x0 ) . Maka luas cakram dinyatakan :

A (x0 )=πf 2 (x0 )Oleh karena itu, volume benda putar :

V=∫a

b

π ( f ( x ))2 dx

Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan x=g( y ), x=0 , y=c dan y=d diputar

mengelilingi sumbu y maka volume benda putar :

V=∫c

d

π ( g( y ))2 dy

Bila daerah yang dibatasi oleh y=f ( x )≥0 , y=g ( x )≥0 , f ( x )≥g (x )untuk setiap

x∈ [ a , b ] , x=a dan x=b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume:

V=∫a

b

π ( f 2( x )−g2( x )) dx

Bila daerah yang dibatasi oleh x= f ( y )≥0 , x=g ( y )≥0 , f ( y )≥g ( y ) untuk setiap

y∈ [ c , d ] , y=c dan y=d diputar dengan sumbu putar sumbu y maka volume :


V=∫c

d

π ( f 2( y )−g2 ( y )) dy

Contoh :

1. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh : y=x2 dan y

2=8 xdiputar mengelilingi

a. sumbu x .

b. sumbu y

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di titik ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).

a. Pada selang [ 0,2 ] ,√8 x≥x2 .

Volume benda diputar mengelilingi sumbu x dinyatakan oleh

V=π∫0

2

( (√8 x )2−( x2)2) dx=485

π

b. Pada selang [ 0,4 ] ,√ y≥ y2

8

Volume benda diputar mengelilingi sumbu y dinyatakan oleh

V=π∫0

2

( (√ y )2−( y2

8 )2) dy=48

5π

2. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva :

y=2−x2 , y=−x dan sumbu y bila diputar mengelilingi garis y=−2

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di (−1,1 ) dan (2 ,−2 ) . Pada selang [−1,0 ] berlaku

2−x2≥−x .

Jarak kurva y=2−x2 , y=−x terhadap sumbu putar (garis y = -2) dapat

dipandang sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah (4−x ) dan

(2−x ) .


Sehingga volume benda putarnya adalah:

V=π∫−1

0

( ( 4−x2)2−(2−x )2) dx=365

π

Metode Kulit Tabung

Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda

putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode

cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit

luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit

tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.

Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut r1 dan

r2 , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :

ΔV =(πr2−πr1)h=2π rh Δr

dengan :r2−r1

2=r (rata−rata, jari− jari ) , r2−r1=Δr

Bila daerah yang dibatasi oleh y=f ( x ) , y=0 , x=a , x=b diputar mengelilingi sumbu

Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r=x dan Δr=Δx dan tinggi tabung

h=f (x ) Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah

V=∫a

b

2 π xf ( x ) dx

Misal daerah dibatasi oleh kurva

y= f ( x ) , y=g ( x ) , f ( x )≥g ( x ) , x∈ [ a , b ] , x=a dan x=bdiputar mengelilingi sumbu y .

Maka volume benda putar

V=∫a

b

2 πx ( f ( x )−g (x )) dx

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x= f ( y ) , x=0 , y=c , y=d

diputar mengelilingi sumbu y , maka volume =


V=∫c

d

2 πy ( f ( y )) dy

Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh

x= f ( y ) , x=g ( y ) , f ( y )≥g( y ) , y∈ [ c , d ] , dan y=c dan y=d diputar mengelilingi

sumbu x . Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

V=∫c

d

2 πy ( f ( y )−g( y )) dx

Contoh :

1. Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama dibawah

parabola

Jawab

y=2−x2 dan di atas parabola y=x2

diputar mengelilingi sumbu y .

V=2 π∫0

1

x [ (2−x2 )−x2 ] dx=π

Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian yaitu :

pada selang 0≤ y≤1 dibatasi x=√2− y dan sumbu y sedang pada selang

dibatasi 1≤ y≤2

dan sumbu y . Oleh karena itu volume =

V=π∫0

1

(√ y )2 dx+π∫1

2

(√2− y )2 dy=π

2. Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh y=1−x2 , sumbux

dan sumbu y bila diputar mengelilingi garis x = 1

Jawab


BPn

2P

Y

X

)(xfy iP

jP

APo

1P

Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda

pejal, (1−x2 )dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ), ( 1 + x ).

Oleh karena itu,

volume benda putar :

V=2 π∫−1

0

(1+x ) (1−x2) dx= 56

π

4.3 Panjang Busur

Gambar 4.16

Pada gambar 4.16, AB adalah suatu bagian kurva y=f ( x ) . Berdasarkan

definisi, AB merupakan limit penjumlahan dari panjang sekumpulan tali busur

AP1 , P1 P2 ,P3 P4 , . .. Pn−2 Pn−1 , Pn−1 B yang menghubungkan titik-titik pada busur itu. Jika

banyaknya titik-titik pada kurva y=f ( x )banyaknya menuju tak hingga maka panjang

tiap tali busur tersebut menuju nol.

Selanjutnya jika A( a , c )dan B(b ,d )sebarang dua titik pada kurva y= f ( x )dengan

turunan y= f ( x ) adalah y '= f ' ( x )yang masing-masing kontinu pada interval

a≤x≤b maka panjang tali busur dinyatakan oleh


s=∫AB

ds

=∫a

b

√1+(dydx )

2dx

Dengan cara yang sama, jika A( a , c )dan B(b , d )dua titik pada kurva yang

persamaannya dinyatakan dengan x=f ( y ) dengan x= f ( y ) turunannya adalah

x '=f ' ( y )yang masing-masing kontinu pada c≤ y≤d maka panjang busur AB

dinyatakan oleh

s=∫AB

ds

=∫c

d

√1+(dxdy )

2dy

Apabila persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik

{x=f ( t )¿ ¿¿¿Dan jika syarat kontinuitasnya dipenuhi maka panjang tali busur AB dinyatakan oleh:

s=∫AB

ds

=∫t1

t 2

√(dxdt )

2+(dy

dt )2du

Contoh

1) Gunakan dengan teknik integral untuk menentukan panjang ruas garis y=2 x+3

antara titik (1,5) dan (3,9). Bandingkan hasilnya dengan menggunakan rumus jarak.

Jawab

Karena y=2 x+3 diperoleh

dydx

=2 sehingga


s=∫1

3

√1+(dydx )

2dx

⇔∫1

3

√1+(2 )2 dx

⇔ (√5 x )13=3√5−1√5=2√5

Dengan menggunakan rumus jarak yang menghubungkan dua titik

|AB|=√( X B −X A )2+(Y B−Y A)2

|AB|=√(3−1 )2+(9−5 )2

¿√4+16=√20=2√5Kedua cara memberikan hasil yang sama.

2) Tentukan panjang tali busur AB pada kurva y2=8 x2

jika A(0,0 ) dan B(1,2)

Jawab

Karena y2=8 x2

maka 2 y dy

dx=16 x

atau

dydx

=16 x√8 x2

dan berubah dari x=0 dan

x=1 sehingga

s=∫0

1

√1+(dydx )

2dx

⇔∫0

1

√1+(16 x√8 x2 )

2dx

⇔∫0

1

√1+(32 ) dx

=( x √33 )01

=(√33 )


3) Tentukan panjang tali busur AB pada kurva x=3 y3/2−1 untuk 0≤ y≤4 .

Jawab

Karena x=3 y3/2−1 maka

dxdy

=92 √ y

sehingga

S=∫c

d

√1+( dxdy )

2dy

⇔∫0

4

√1+( 92 √ y)

2dy

⇔∫0

4

√1+814

y dy

Dengan menggunakan substitusi .

Misal m=√1+

814

ydiperoleh

m2=1+814

y sehingga

2mdm=814

dy

Karena y=0 maka m=1 dan

Karena y=4 maka m=√90

Sehingga

⇔∫0

4

√1+814

y dy=∫1

√90

m( 8m81

dm)= 881 ( 1

3m3)

1

√90

= 881 (30√90−1

3 )4) Tentukan panjang tali busur pada kurva 24 xy=x4+8 antara x=1 dan x=2

Jawab

Karena 24 xy=x4+8 maka 24 ( xdy+ ydx )=4 x3dx

Atau (24 x ) dy=( 4 x3−24 y ) dx sehingga diperoleh


dydx

= 4 x3−24 y24 x

=24 x3−24( x4+8

24 x )24 x

= x4−168 x3

Karena y berubah dari x=1 dan x=2 sehingga

s=∫1

2

√1+( dydx )

2dx

⇔∫1

2 √1+( x4−168 x2 )dy

\

⇔∫1

2 √ 164 ( x4+16

x2 )2

dx

⇔∫1

218 (x2+16

x2 )dx

⇔ 18 ( 1

3x3−32

x )1

2

⇔ 18 ( 8

3−16)−1

8 ( 13−32)=1

8 (553 )=55

24

5) Tentukan panjang tali busur pada kurva x=1+t , y=2+3 t , 0≤t≤1

Jawab

Karena x=1+t maka

dxdt

=1 dan karena y=2+3 t maka

dydt

=3

Sehingga diperoleh

s=∫AB

ds

=∫t1

t 2

√(dxdt )

2+(dy

dt )2dt

⇔∫0

1

√ (1 )2+(3 )2 dt


⇔∫0

1

√10 dt

⇔ (t √10 )01=√10

Soal-soal

Tentukan panjang tali busur yang ditunjukkan oleh

1)y=2

3( x2+1 )3/2

antara x=1 dan x=2

2) y=( 4−x2/3)3/2 antara x=1 dan x=8

3) x=3 y3/2−1 antara y=0dan y=4

4) 6 xy=x4+3 antara x=1 dan x=2

5)x=3 t2+2 , y=2 t3−1

2, 1≤t≤4

6)x=4 sin t , y=4 cos t−5,0≤t≤ π

2

4.4 Luas Permukaan Benda Putar

Jika sebuah luasan R yang terbatas bidang XOY mengelilingi salah satu sumbu pada

bidangnya maka lintasan kurva tersebut membentuk benda pejal yang permukaannya

dapat ditentukan luasnya dengan menggunakan integral ternntu

Perhatikan gambar berikut.

R adalah suatu luasan yang dibatasai oleh kurva y= f ( x ) , x=a , x=b diputar

mengelilingi sumbu x


X

X)(xfy

R

ax bx

X

X)(xfy

Rax bx bx

Gambar 4.17

Selanjutnya R sebagaimana gambar di atas di atas diputar mengelilingi sumbu sehingga

terbentuk benda pejal

Gambar 4.18


Gambar 4.18 di atas berupa kerucut terpancung yang mempunyai jari-jari alas r1 dan r2

Dengan tinggi t. Luas permukaan kerucut terpancung tersebut adalah

A=2 π (rerata jari− jari )( tinggi )atau

A=2 π (r1+r2

2 ) t

Selanjutnya andaikan y= f ( x ) , a≤x≤b dengan cara membuat partisi [a,b] menjadi n

bagian dengan menggunakan a=xo<x1< x 2 <x3<. ..<xn−1<xn . Dengan demikian

kurva yang terbagi terdiri atas n bagian. Andaikan Δsi menyatakan panjang potongan

ke−i dan andaikan y i adalah sebuah titik pada potongan Δsi . Karena pita potongan

diputar mengelilingi sumbu x maka luas pita tersebut dapat dihampiri oleh

Ai=2 πy i Δsi . Apabila luas semua potongan pita dijumlahkan denganΔxi →0diperoleh

luas permukaan benda pejal dan ditunjukkan dengan limit partisi sebagai berikut:

A= lim|P|→0

∑i=1

n

2 πy i Δsi

A=∫a

b

2π yds

=2 π∫a

b

y √1+(dydx )

2dx

Dengan cara yang sama jika luasan diputar mengelilingi sumbu y dalam batasan garis

y=c dan y=d maka luas permukaannya dinyatakan dengan

A=∫c

d

2 π xds

=2 π∫c

d

x √1+(dxdy )

2

dy


xy 6Y

Y

X X1x 1x

xy 6

R

Jika persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik

x= f ( t ) , y=g ( t )dengan a≤t≤b maka luas permukaan benda pejal dinyatakan oleh

rumus

A=∫a

b

2π yds

=2 π∫a

b

g( t )√(dxdt )

2

+(dydt )

2

dt

Contoh soal

1) Luasan R dibatasi oleh kurva y=6 x , x=0 , x=1 diputar mengelilingi sumbu x .

Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih

dahulu menggambar benda putarnya.

Gambar 4.19

Karena y=6 x maka

dydx

=6


Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas

dapat ditentukan dengan rumus:

A=∫a

b

2π yds

=2 π∫0

1

y √1+(dydx )

2dx

=2 π∫0

1

6 x √1+(6 )2dx

=2 π∫0

1

6 x √37 dx

=12√37 π (1

2x2)

0

1

=12√37 π (12 )=6√37 π

2) Luasan R dibatasi oleh kurva y=x2 , y=0 , y=1 diputar mengelilingi sumbu y.

dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih


Jawab


X X

YY

2xy 1

Gambar 4.20

Karena y=x2 maka x=√ y sehingga

dxdy

= 12√ y



A=∫a

b

2 π xds

⇔2 π∫0

1

√ y √1+( dxdy )

2dy

⇔2 π∫0

1

√ y √1+( 12√ y )

2dy

⇔2 π∫0

1

√ y √1+( 12√ y )

2

dy

⇔2 π∫0

1

√ y √ 4 y+14 y

dy

⇔2 π∫0

112 √ y √ 4 y+1

ydy


X

Y Y

X

⇔π∫0

1

√4 y+1 dy

⇔π ( 23

. 14

(4 y+1 )32 )

0

1

= π

6(5√5−1 )

3) Kurva y=√25−x2 ,−2≤x≤3 diputar mengelilingi sumbu x, tentukan luas

permukaan benda pejal dengan terlebih dahulu menggambarkan.

Jawab

Gambar 4.21

Karena y=√25−x2maka diperoleh

dydx

=− x√25−x2



A=∫a

b

2 π yxds

⇔2 π∫0

1

√25−x2√1+( dydx )

2dx


⇔2 π∫0

1

√25−x2√1+( −x√25−x2 )

2

dy

⇔2 π∫0

1

√25−x2√1+( x2

25−x2 )dx

⇔2 π∫−2

3

√25−x2√2525−x2 dx

⇔10 π (x )−23

=10 π (3−(−2))=50 π

Soal-soal

1) Sebuah luasan R dibatasi kurva y= x3

3,1≤x≤√7

diputar mengelilingi sumbu x,

dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu

menggambar benda putarnya.

2) Sebuah luasan R dibatasi kurva y= x6+2

8 x2 ,1≤x≤3 diputar mengelilingi sumbu x,

dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu

menggambar benda putarnya.

3) Sebuah luasan R dibatasi kurva x+ y=3 , x=0 , y=0 dan diputar mengelilingi

sumbu y, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih


4) Sebuah luasan R dibatasi kurva x=√9−x2 ,−3≤x≤3 dan diputar mengelilingi

sumbu y, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih


5) Luasan R dibatasi oleh fungsi parametrik dan diputar menglilingi sumbu x.

Tentukan luas permukaannya.

a) x=t , y=t2 ,0≤t≤1

b) x=1−t2 , y=2t ,0≤t≤1


c) x=cos t , y=sin t ,0≤t≤1


Documents

Luasan didefinis - Web viewSetelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami penggunaan integral tertentu dalam masalah-masalah ... Pembahasan