53 | h a n d o u t

Indikator Pencapaian Hasil Belajar : Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam : Menghitung luas daerah dan volum dari daerah yang dibatasi suatu kurva sederhana pada suatu selang Ringkasan Materi Perkuliahan Kita review dulu konsep penjumlahan berulang yang anda miliki

294

216942423222

ii

n

inni

1)1(...321

n

inaaaia

1...21

Berikut akan diperlihatkan contoh bagaimana menghitung luas daerah dengan menggunakan gagasan limit.

Teorema :

(Rumus Jumlah Khusus ) Misalkan adalah konstanta dan bilangan bulat

positif, maka :

(a) (b)

(c) (d)

(e)

PENGGUNAAN INTEGRAL

TENTU

54 | h a n d o u t

Bagaimana anda menhitung luasan daerah berikut? Ya,,kita bisa menghitung dengan

menjumlahkan persegi-persegi yang ada, karena luasan tersebut tidak beraturan.

Begitupun pada konsep yang nanti akan kita pelajari. Kita gunakan kata ” potong-

jumlahkan-limit”

Misal akan ditentukan luas daerah R yang dibatasi oleh parabola 2)( xxfy ,

sumbu- x dan garis tegak 2x .

2)( xxfy

Benar /tdk bahwa luas daerah di

bawah kurva y= x 2 tsb , sumbu x

positif dan di atas sumbu y adalah

jumlahan dari luas persegi

panjang-persegi panjang yang kita

buat?

Bagaimana kalau kita buat persegi

panjangnya sejumlah tak hingga n,

bukankah akan mendekati luas

daerah kurva sebenarnya?

Jadi apa yang akan kita lakukan

untuk mengitung luas daerah di

atas?

Buat n buah persegi panjang Hitung luas persegipanjangmu Jumlahkan Buat pendekatan untuk n tak

hingga

55 | h a n d o u t

Misal nxxxx ...210 adalah titik-titik pada selang 2,0 demikian sehingga

panjang setiap selang bagian yang terbentuk oleh titik-titik itu adalah n

xix2

,

ni ,...,2,1

0x 1x 2x 3x 1nx nx

00x

nxx

21

nxx

422

nxx

633

.......

nnxnnx

2)1()1(1

22

n

nxnnx

Pandang persegipanjang ke- i dengan alas ixix ,1 , tinggi 21)1( ixixf sehingga

luasnya xixf )1( . Gabungan dari semua persegi panjang yang demikian membentuk

poligon dalam nD

)1( ixf

x 0x 1x 2x 1nx nx

Poligon dalam

Luas =

56 | h a n d o u t

Luas )( nDA dapat dihitung ,

23

4438

)2332(33

4

)12)(2(33

4

6)1)1(2)()(1(

38

1

2)1(38

1

222)1(

2

1

2)1(1

)1()(

nn

nnnn

nnnn

nnn

n

n

ii

n

n

i nni

n

n

iix

n

ixixfnDA

Hal yang sama juga bisa kita lakukan jika poligon ( persegi panjang ) yang kita buat

berada di luar kurva atau kita sebut penjumlahan untuk poligon luar nL

)( ixf

x 0x 1x 2x 1nx nx

Poligon luar

Luas =

57 | h a n d o u t

Jika banyaknya persegi panjang dibuat sejumlah tak hingga banyaknya ( n makin besar

), maka )( nDA akan makin mendekati )(RA . Dengan bahasa limit kita katakan

)(lim)(lim)( nnnnRADARA

23

4438

lim)(limnnn

nDAn

38

344

38

lim)(lim 2 nn

DAnnn

Coba kita cek dengan menggunakan

38

02

3

32

0

2

xdxx .............jadi apa yang dapat kita simpulkan?

TEOREMA DASAR KALKULUS

Jika kita membuat n , artinya kita membuat besar 0

Jika f adalah fungsi kontinyu pada interval [a,b] dan F adalah anti derivatif f pada [a,b],

maka b

a

aFbFdxxf )()()(

Dari teorema tersebut dapat kita aplikasikan untuk mencari luas daerah yang dibatasi

oleh kurva maupun volum benda putar.

58 | h a n d o u t

1. PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU UNTUK MENCARI LUAS DAERAH Luas Daerah Antara Kurva d SUMBU X Apabila kita mempunyai sebuah kurva seperti gambar berikut :

Bagaimanakah kita menghitung luas kurva tersebut yang dibatasi oleh kurva y = f(x),

sumbu X, garis x = a dan x = b (daerah yang diarsir).

Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita harus membuat pendekatan luas, yaitu

dengan membuat beberapa garis vertical (strip) sehingga membentuk persegi panjang.

Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan pendekatan luas daerah tersebut.

Jumlah luas persegi panjang dari x = a sampai dengan x = b dapat dinyatakan dengan :

n

i

xiyiTotalLuas1

dengan n adalah banyak persegi panjang.

n

ix

xiyiTotalLuas1

0lim

x

59 | h a n d o u t

Bentuk diatas dapat kita tuliskan sebagai bentuk integral seperti di bawah ini :

b

a

dxyL karena y = f(x)

b

a

dxxfL )( = = F(b) – F(a)

b

a

ba aFbFxFdxxf )()()]([)(

Integral yang dituliskan dalam notasi b

a

dxxf )( akan menghasilkan nilai tertentu

sehingga integral tersebut disebut dengan Integral Tertentu, a disebut batas bawah

dan b disebut batas atas integral.

Jadi dari bukti di atas dapat diketahui bahwa integral tertentu dapat kita gunakan untuk

menghitung luas daerah suatu kurva dengan sumbu koordinat yang dibatasi oleh dua

buah garis.

Besar luas daerah yang ditunjukkan pada gambar bernilai negatif, sebab hasil kali

perkalian f(x) dan x adalah negatif. Karena luas daerah selalu bernilai positif, maka :

b

a

dxxfL )(

60 | h a n d o u t

Contoh :

Hitunglah luas daerah di bawah sumbu X yang dibatasi oleh kurva y = 4 – 2x, sumbu X

dan garis x = 4

Jawab :

4

2O X

Y

4y = 4 - 2x

Daerah yang diarsir berada di bawah sumbu X, maka luasnya :

4)48()1616(

)22.4()44.4(

4

)24(

)24(

22

4

22

4

2

4

2

xx

dxx

dxxL

Jadi, luasnya adalah 4 satuan luas

LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU Y

Lalu bagaimana dengan luas daerah kurva tertutup yang dibatasi sumbu Y ?

O X

Y x=f(y)

a

b

61 | h a n d o u t

Bagaimanakah kita menghitung luas kurva tersebut yang dibatasi oleh kurva x = f(y),

sumbu Y, garis y = a dan y = b (daerah yang diarsir) ? Permasalahan ini tidak jauh

berbeda dengan luasan kurva yang dibatasi sumbu x. Hanya saja batas atas dan batas

bawah kurva adalah koordinat di sumbu y

O X

Y x=f(y)

a

b

Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita harus membuat pendekatan luas, yaitu

dengan membuat beberapa garis vertikal (strip) sehingga membentuk persegi panjang.

Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan pendekatan luas daerah tersebut.

n

iy

yixiTotalLuas1

0lim

Bentuk diatas dapat kita tuliskan sebagai bentuk integral seperti di bawah ini :

b

a

dyxL

Contoh 3: hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2, sumbu Y, garis y = 1

dan garis y = 2

Jawab :

Y

2

1

O

x = y2

X

62 | h a n d o u t

31

2

31

38

)1.31

()2.31

(

31

33

2

1

3

2

1

2

y

dyyL

Jadi luasnya adalah 31

2 satuan luas.

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA DAN SUMBU X

Misalkan :

f dan g adalah fungsi yang kontinyu di [a,b] dan f(x) ≥ g(x) dalam interval tersebut,

dengan syarat y1 = f(x) dan y2 = g(x) tidak saling berpotongan pada [a,b] seperti pada

gambar (fungsi f dan g non negatif)

tampak pada gambar bahwa luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g dalam [a,b]

adalah :

L = (luas daerah f) – (luas daerah g)

b

a

b

a

dxxgdxxfL )()(

b

a

dxxgxfL ))()((

63 | h a n d o u t

Contoh : Hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 3x dan y = 2x + 2

Jawab :

Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut, sebagai batas atas dan

batas bawahnya

x2 + 3x = 2x + 2

x2 + x – 2 = 0

(x + 2)(x – 1) = 0

x = -2 atau x = 1

Jadi, batas-batasnya adalah x = -2 dan x = 1

1

2

O X

Y

-2 -1-3

21

1

2

32

1

2

2

1

2

2

438

2431

21

2

31

21

2

)2(

)]3()22[(

xxx

dxxx

dxxxxL

Jadi luasnya 214 satuan luas

64 | h a n d o u t

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA DAN SUMBU Y

Misalkan :

f dan g adalah fungsi yang kontinyu di [a,b] dan f(y) ≥ g(y) dalam interval tersebut,

dengan syarat x1 = f(y) dan x2 = g(y) tidak saling berpotongan pada [a,b] seperti pada

gambar (fungsi f dan g non negatif)

g(y)f(y)

b

O X

Y

a

tampak pada gambar bahwa luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g dalam [a,b]

adalah :

L = (luas daerah f) – (luas daerah g)

b

a

b

a

dyygdyyfL )()(

b

a

dyygyfL ))()((

Contoh : hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva x = 4 - y, garis x = y dan sumbu X

Jawab :

Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut sebagai batas atas dan

bawahnya

y = 4 - y

2y = 4

y = 2

Jadi, batas-batasnya adalah y = 0 (karena berbatasan dengan sumbu X) dan y = 2

65 | h a n d o u t

Y

2

x = 4 - y

O

x = y

X

4

0048

4

)24(

)]()4[(

2

02

2

0

2

0

yy

dyy

dyyyL

Jadi luasnya 4 satuan luas

PENGGUNAAN INTEGRALTENTU UNTUK MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTAR

Dalam bahasan ini kita mencoba untuk mencoba untuk menghitung volume benda putar

tersebut dengan metode integral.

Perhatikan bangun-bangun di bawah ini :

Setelah kita putar 3600 bagaimanakah bentuknya ? mari kita lihat.

Untuk menghitung volume benda pejal, langkah-langkah yang digunakan tetap sama

yakni potong, hampiri dan integralkan