Homomorfisma Dan Sifat-sifatnya

Pertemuan 21

Pengantar struktur Aljabar

89

HOMOMORFISMA DAN SIFAT-SIFATNYA

A. Pendahuluan

Modul ini membahas uraian tentang pemetaan dari suatu struktur

ring ke struktur ring yang lain. Sebagaimana telah dipelajari dalam

Teori Group, penguasaan materi dalam pertemuan ini sangat bergantung

pada penguasaan konsep pemetaan (fungsi), fungsi injektif (1-1),

surjektif (pada) dan bijektif. Selain itu, sangat diperlukan juga

penguasaan homomorfisma grup.

Pembahasan dalam pertemuan ini dimulai dari homomorfisma

yang meliputi pengertian homomorfisma, dilanjutkan pengertian

monomorfisma, epimorfisma dan lain-lain yang sangat terkait dengan

materi homomorfisma dan konsep fungsi. Diharapkan para mahasiswa

setelah mempelajari materi ini, mampu :

1. mengidentifikasi apakah suatu pemetaan (fungsi) merupakan

homomorfisma atau bukan

2. membuktikan suatu fungsi merupakan homomorfisma atau tidak.

3. mengidentifikasi suatu homomorfisma apakah merupakan

monomorfisma, epimorfisma, isomorfisma atau tidak

4. membuktikan suatu homomorfisma merupakan monomorfisma,

epimorfisma, isomorfisma

B. Pengertian Homomorfisma

Definisi 12. :

Diberikan ring R dan R’, maka Pemetaan f : R → R’ disebut

homomorfisma dari R ke R’ jika ∀a, b ∈ R berlaku :

f(a + b) = f(a) + f(b) dan f(a.b) = f(a).f(b)

Operasi pada R Operasi pada R’

Pertemuan 21


90

Homomorfisma merupakan fungsi yang mempertahankan operasi yang

disajikan dengan skema berikut :

` R f→ R’ atau R f→ R’

a → a’ a → f(a)

b → b’ b → f(b)

a + b → a’ + b’ a + b → f(a) + f(b)

a . b → a’ * b’ a . b → f(a) * f(b)

Catatan :

1. operasi pada R dan R’ tidak harus sama, baik penjumlahan maupun

pergandaannya

2. operasi pada R dan R’ sering kali tidak dinyatakan.

3. untuk membuktikan homomorfisma, haruslah dibuktikan dulu suatu

fungsi, jika belum diketahui fungsi (f : R → R’ disebut Pemetaan

atau fungsi jika (∀a, b∈ R) a = b ⇒ f(a)=f(b) ∈ R’))

Contoh 1.:

(Q,+,*) adalah ring dengan operasi penjumlahan biasa dan perkalian *

yang didefinisikan, ∀x, y∈Q, x*y = xy/2. jika didefinisikan pengaitan f

dari ring Z ke Q, sebagai berikut : ∀a∈Z, f(a) = 2a, maka tunjukkan

bahwa f adalah suatu homomorfisma.

Bukti :

Untuk membuktikan f adalah homomorfisma, maka harus ditunjukkan :

a) f fungsi : (∀a, b∈ Z) a = b ⇒ f(a)=f(b) ∈ Z

Ambil sebarang a,b ∈ Z, dengan a = b ⇒ 2a = 2b sifat dalam Z

⇒ f(a) = f(b) def. f

b) f homomorfisma : (∀a, b∈Z) i. f(a+b) = f(a) + f(b); f(ab)= f(a)*f(b)

Ambil sebarang a, b ∈ Z, maka :

Pertemuan 21


91

i. f(a+b) = 2(a+b)

= 2a + 2b

= f(a)+f(b)

def. f

sifat di Z

def. f

ii. f(a+b) = 2(ab)

= (2a)(2b)/2

= (2a)*(2b)

= f(a)*f(b)

def. f

sifat di Z

def * di Q

def. f

Contoh 2.:

Jika Z dan Q berturut-turut ring dari bilangan bulat dan ring dari

bilangan rasional terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa,

serta didefinisikan pengaitan g dari ring Z ke Q, sebagai berikut :

∀a∈Z, g(a) = 2a, maka apakah g adalah suatu homomorfisma.

a. g fungsi : bukti analog dengan contoh no. 1. a.

b. g bukan homomorfisma, karena

tidak berlaku ∀x, y∈Z, g(xy) = 2xy

≠ (2x)(2y) = g(x)g(y)

Sebagai counter example : ∃-3, 5∈ Z,

g((-3)5) = g(-15) = 2(-15) = 30 ≠ g(-3)g(5) = (-6)10 = 60

Contoh 3.

Diberikan pengaitan h dari Z ke Zn (ring dari bilangan bulat modulo n.):

∀x∈Z, h(x) = r = sisa x/n, artinya x = kn + r atau r = x – kn , untuk

suatu k ∈ Z dan 0 ≤ r < n. buktikan bahwa h homomorfisma

Bukti :

a. h merupakan fungsi : bukti sebagai latihan mahasiswa

b. h homomorfisma : ∀x, y∈Z maka x = pn + r dan y = qn + s, untuk

suatu p, q ∈ Z. Ini berarti bahwa h(x) = r, h(y) = s ∈ Zn, 0≤ r< n dan

0≤ s <n maka r+s, rs ∈ Zn. kita tahu bahwa r, s, r+s, rs∈ Z, sehingga

∃t, u∈Z berlaku r + s = tn + v dan rs = un + w, dengan 0≤ v < n dan

0≤w<n. (r, s ∈ Zn maka r+s = v, rs = w ∈ Zn)

Pertemuan 21


92

i. x + y = (pn + r) + (qn + s) ii. xy = (pn + r)(qn + s)

= (p+q)n + (r+s) = (pqn)n + (ps)n + (qr)n + rs

= (p+q)n + tn +v = [(pqn)+(ps)+(qr)]n + un + w

= (p+q+t)n + v = [(pqn)+(ps)+(qr)+u]n + w

= p*n + v = q*n + w

Tampak dari i., bahwa h(x+y) = v = r+s = h(x)+h(y), dari ii. diperoleh :

h(xy) = w = rs = h(x)h(y).

Jadi h adalah homomorfisma

C. Monomorfisma, Epimorfisma dan Isomorfisma

Sebelum membahas materi ini, perlu diingatkan kembali beberapa hal

yang berkaitan dengan pemetaan (fungsi), yaitu:

Definisi 13. :

a. fungsi f disebut onto/pada/surjektif jika f(G) = G’ atau dengan kata

lain : (∀a’∈ G’)(∃a ∈ G) sehingga a’ = f(a).

b. fungsi f disebut injektif (1–1) jika (∀a, b ∈ G) f(a) = f(b) ⇒ a = b

c. fungsi f disebut bijektif (korespondensi 1–1) jika f injektif dan

surjektif

mahasiswa akan kesulitan memahami materi isomorfisma tanpa faham

definisi 13. di atas (sudah dipelajari dalam Logika Matematika dan

Himpunan). Oleh karenanya mahasiswa harus banyak berlatih untuk

menganalisa fungsi-fungsi apakah 1-1, pada atau tidak, barulah

mengikuti definisi berikut :

Definisi 14.:

1. suatu homomorfisma dari R ke R’ yang injektif (1-1) disebut

monomorfisma.

2. suatu homomorfisma dari R ke R’ yang surjektif (pada/onto) disebut

epimorfisma.

Pertemuan 21


93

3. suatu homomorfisma dari R ke R’ yang bijektif (injektif dan

surjektif) disebut isomorfisma.

4. suatu homomorfisma dari R ke R’ dengan R = R’ disebut

endomorfisma (suatu homomorfisma dari suatu ring R ke ring R itu

sendiri)

5. endomorfisma yang bijektif disebut automorfisma.

6. Jika terdapat suatu homomorfisma dari R ke R’ maka dikatakan R

dan R’ homomorfik

7. Jika terdapat suatu isomorfisma dari R ke R’ maka dikatakan R dan

R’ isomorfik, dinotasikan R ~ R’

Coba perhatikan kembali 2 contoh homomorfisma di atas (contoh 1.

dan 3.), selidiki apakah merupakan epimorfisma, monomorfisma,

isomorfisma atau bukan.

Tugas Kelompok :

Buatlah 2 buah homomorfisma dengan syarat tipe berbeda, yaitu: bukan

epimorfisma dan bukan monomorfisma, monomorfisma tetapi tidak

epimorfisma, epimorfisma tetapi bukan monomorfisma, atau

isomorfima. (ditulis di plastic transparansi untuk dipresentasikan)

Tugas Mandiri :

Mempelajari sifat-sifat sederhana homomorfisma ring, silakan

dibandingkan dengan sifat-sifat sederhana dari homomorfisma group.

Documents

Homomorfisma Dan Sifat-sifatnya