KOMPETENSI DASARo Menggunakan sifat dan aturan tentang akar persamaan kuadrat, diskriminan, sumbu simetri, dan titik puncak grafik fungsi kuadrat dalam pemecahan masalah

INDIKATOR menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dan rumus abc menggunakan diskriminan dalam menyelesaikan masalah persamaan kuadrat menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya memenuhi kondisi tertentu menentukan sumbu simetri dan titik puncak fungsi kuadrat menggambarkan grafik fungsi kuadrat menentukan syarat fungsi kuadrat definit positif atau negatif menjelaskan kaitan persamaan kudrat dan fungsi kuadrat menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat menentukan sumbu simetri, titik puncak, sifat definit positif atau negatif fungsi kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat menentukan fungsi kuadrat yang melalui tiga titik yang tidak segaris menjelaskan karakteristik masalah yang mempunyai model matematika persamaan atau fungsi kuadrat menentukan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel persamaan atau fungsi kuadrat merumuskan persamaan atau fungsi kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah menentukan penyelesaian dari model matematika memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah

o

Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat

o

Merancang model matematika yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh

A . PERSAMAAN KUADRATAnda telah memelajari persamaan kuadrat dan cara menentukan akar-akarnya sewaktu di bangku SMP dulu. Di dalam sub bab ini anda akan diingatkan kembali bagaimana cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan menggunakan faktorisasi, manipulasi aljabar melengkapkan bentuk kuadrat dan rumus abc. Anda juga akan memelajari bagaimana cara menyelidiki sifat akar-akar persamaan kuadrat dengan menggunakan nilai Diskriminan : D = b2 4ac, bagaimana menentukan jumlah dan hasil kali kedua akar persamaan kuadrat serta bagaimana menentukan sebuah persamaan kuadrat yang telah diketahui akar-akarnya.

1. Mengenal dan Memahami Persamaan KuadratAhmad berkunjung ke rumah pamannya, Om Amir. Saat bercengkerama pamannya berkata, Ahmad, Om mau minta tolong. Apotik hidup yang Om miliki berukuran 6 x 4 m2. Om ingin menggandakan luasnya menjadi dua kali lipat dengan menambah panjang dan lebarnya sama besar. Jika Ahmad bisa bantu, nanti gitar listrik punya Om bakal jadi milik kamu. Ahmad tersentak girang. Beneran, Om ? Asyiiiiikkkkk ! Ahmad pun lantas membuat sketsa sebagai berikut :6m xm

4m

xm

Kemudian, Ahmad membuat perhitungan seperti ini : Luas mula-mula = 4 x 6 = 24 m2 Setelah diperluas menjadi = 2 x 24 = 48 m2

(6 + x)(4 + x) = 48 24 + 6x + 4x + x2 = 48 x2 + 10x 24 = 0 (x + 12)(x 2) = 0 x + 12 = 0 atau x 2 = 0 x = -12 atau x = 2

Om, Ahmad tahu ! Om harus menambah panjang dan lebar apotik hidup itu masingmasing sebesar 2 m. Ilustrasi di atas menggambarkan suatu masalah yang dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan kuadrat. Masalah seperti itu disebut problema persamaan kuadrat. Bagaimana cara kita mengenali sebuah persamaan kuadrat ? Persamaan kuadrat adalah persamaan satu peubah yang berderajat tertinggi pangkat dua (kuadrat) dan tidak

mengandung peubah berpangkat tak sebenarnya (pangkat negatif atau pangkat pecahan). Dengan demikian, kita dapat menilai apakah suatu persamaan merupakan persamaan kuadrat atau bukan, dengan melihat pangkat tertingginya; apakah berpangkat dua atau bukan. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c R, dan a { 0 {dibaca a, b dan c anggota himpunan bilangan Real dan a tidak sama dengan nol}

Huruf-huruf x, a, b dan c merupakan notasi matematika dengan y x adalah peubah (variabel) y a adalah koefisien x2 y b adalah koefisien x, dan y c adalah konstanta. Sebuah persamaan kuadrat harus memiliki a, b, dan c yang merupakan bilangan Real (R). Apakah bilangan Real itu ? Bayangkanlah seluruh bilangan yang ada di alam semesta. Sebesar apapun bilangan yang dapat kita bayangkan, atau justeru sekecil apapun, ia termasuk bilangan Real. Bilangan yang tidak real disebut bilangan imajiner. Bilangan imajiner adalah bilangan yang diperoleh dari penarikan akar terhadap bilangan negatif. Syarat lain yang harus dipenuhi oleh sebuah persamaan kuadrat adalah nilai a yang tidak sama dengan nol. Jika kita berikan nilai a = 0, maka bukan persamaan kuadrat yang kita peroleh, melainkan persamaan linier. Dapatkah kamu menjelaskan alasannya ?

Pembagian BilanganBilangan kompleks

Bilanga n Imajiner Bilanga n Bilanga n Pecahan Bilanga n Bulat Negatif

Bilanga n Real Bilanga n Bilanga n Bulat Bilanga n Cacah

Bilanga n Nol

Bilanga n Asli

Sebelum melangkah lebih jauh, kita harus mampu mengenali manakah a, b dan c dari suatu persamaan kuadrat. Beberapa contoh berikut bisa digunakan untuk membantu kamu mengenalinya. x2 x + 3 = 0 memiliki nilai a = 1, b = -1 dan c =3 17 8x2 = 0 memiliki nilai a = -8, b = 0 dan c = 17 x2 (a + 3)x a2 + 5a 3 = 0 memiliki nilai a = 1, b = -(a +3) dan c = -a2 + 5a 3

Kegiatan di kelas : DiskusiBerdasarkan contoh di atas, dapatkah anda mengenali a, b dan c dari suatu persamaan kuadrat ? Bagaimana cara anda mengenali a, b dan c ? Jelaskanlah dengan bahasa anda sendiri ! Tentukanlah nilai a, b dan c dari persamaan-persamaan kuadrat berikut ! 3x x2 = 0 x2 (2 a)x + 3a - a2 = 0 ax2 x2 + 2ax x + a2 - 3a 4 = 0 Bandingkan jawaban anda dengan jawaban teman-teman ! Diskusikanlah hasil dan kesimpulan yang kamu peroleh dengan beberapa orang temanmu !

Problema persamaan kuadrat dapat mengambil bentuk lain, selain bentuk umum di atas. Seluruh bentuk persamaan yang dapat diubah menjadi bentuk ax2 + bx + c = 0 termasuk dalam kategori problema yang dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan kuadrat. Perhatikan persamaan-persamaan berikut ! (1) (x 3)(x + 2) = 6 4 (2) 3 + = 2x x 3 1 1 !2 (3) x2 x2 Sepintas lalu ketiga persamaan di atas bukanlah problema yang dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan kuadrat. Tapi perhatikanlah apa yang bisa kita lakukan terhadap ketiga persamaan tersebut. (1) (x 3)(x + 2) = 6 x2 + 2x 3x 6 = 6 x2 x 6 = 6 x2 x 12 = 0 kita kalikan yang di dalam tanda kurung kedua ruas kemudian kita kurangi 6 diperoleh persamaan kuadrat dengan a = 1, b = -1 dan c = 12

(2) 3 +

4 = 2x kita kalikan kedua ruas dengan (x 3) x 3 3(x 3) + 4 = 2x(x 3) 3x 9 + 4 = 2x2 6x kedua ruas kemudian kita kurangi (2x2 - 6x) -2x2 + 6x + 3x 9 + 4 = 0 -2x2 + 9x 5 = 0 diperoleh persamaan kuadrat dengan a = -2, b =9 danc = -5

3 4 (3) kita samakan penyebut di ruas kiri !2 x2 x2 3( x 2 ) 4( x 2 ) 2 Hati-hati saat menyamakan penyebut. ( x 2 )( x 2 ) Jangan sampai tanda kurung tertinggal ! 3 x 6 4x 8 !2 x2 4 x 14 !2 kedua ruas kemudian kita kalikan dengan (x2 4) x2 4 -x + 14 = 2x2 8 kedua ruas kemudian kita kurangi (2x2 8)

-2x2 x + 22 = 0

diperoleh persamaan kuadrat dengan a = -2, b = -1 dan c = 22

Ayo Berlatih !Latihan Kecil 1.1. Tentukan nilai a, b dan c dari persamaan-persamaan kuadrat berikut ! a. 3x 2x2 = 0 b. x2 3 = 0 c. a + bx + cx2 = 0 d. (m 1)x2 (1 m)x m2 2m = 0 e. ax2 + 2x2 + x 2ax + 1 2a a2 = 0 2. Ubahlah persamaan-persamaan berikut ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat. Kemudian tentukan nilai a, b dan c dari persamaan kuadrat yang diperoleh ! a. 7 2x2 = 5x b. 3(x2 3) = 5 8x c. (2x 3)(3x + 2) = 6x + 2 d. 6 x 3 ! 7 2x 1 1 2 e. !4 2x 4 x 4

2. Menyelesaikan Persamaan KuadratDiketahui persamaan kuadrat x2 + x 6 = 0. Jika kita subtitusikan nilai x = 2, x = -3, x = 1 dan x = -2, maka akan diperoleh 2 2 +26=0 2 (-3) + (-3) 6 = 0 2 1 +16 { 0 2 (-2) + (-2) 6 { 0 Terlihat bahwa persamaan kuadrat x2 + x 6 = 0 dipenuhi oleh x = 2 dan x = -3, namun tidak dipenuhi oleh x = 1 dan x = -2. Dengan demikian, x = 2 dan x = -3 merupakan penyelesaian persamaan kuadrat x2 + x 6 = 0, sementara x = 1 dan x = -2 bukan merupakan penyelesaian persamaan itu. Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti menentukan nilai peubah yang memenuhi persamaan kuadrat. Nilai peubah yang kita peroleh, disebut akar persamaan kuadrat. Jadi, akar-akar persamaan x2 + x 6 = 0 adalah semua nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut, yakni 2 dan -3.

Kegiatan di kelas : Mencoba sendiri, yuk !Dapatkah anda mengenali mana yang merupakan akar persamaan kuadrat dan mana yang bukan? Jelaskan bagaimana cara anda mengenalinya ! Berdasarkan pemahamanmu, o apakah 1 dan 11 akar-akar persamaan x2 12x + 11 = 0 ? o apakah -1 dan -7 akar-akar persamaan x2 + 14x + 49 = 0 ? o apakah 1 dan 11 akar-akar persamaan x2 2x + 100 = 0 ? Jika 2 merupakan akar persamaan x2 + ax + 14 = 0, maka berapa nilai a ? Jika -3 merupakan akar persamaan bx2 bx + 9 = 0, maka berapa nilai b ?

Sewaktu di bangku SMP telah anda pelajari bahwa akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan cara : 1. memfaktorkan persamaan kuadrat 2. melengkapkan bentuk kuadrat 3. menggunakan rumus akar persamaan kuadrat (rumus abc) Sekarang akan kita bahas kembali ketiga cara di atas satu demi satu untuk menyegarkan kembali ingatan.

2.1. Memfaktorkan Persamaan KuadratMemfaktorkan adalah proses kebalikan (reverse) dari mengalikan faktor. Tanpa menguasai cara mengalikan faktor, tidak akan dapat kita memfaktorkan. Jika kalian lupa bagaimana caranya, silakan menyimak contoh perkalian berikut ini :

(2x 3)(x + 5)

= 2x2 + 10x 3x 15 = 2x2 + 7x 15

Kegiatan di kelas : DiskusiJika diketahui p = 5, q = 3, maka hasil dari perkalian faktor berikut adalah :

(x p)(x + q) = Sekarang anda tentukan sendiri pasangan nilai p dan q yang baru dengan p > q; p, q bilangan asli, misalnya 2 dan 1, atau 4 dan 2, atau terserah anda. Ulangi proses perkalian faktor di atas dengan menggunakan pasangan bilangan yang anda pilih ! Amati hasil yang anda peroleh. Jika hasil perkalian faktor yang anda peroleh adalah x2 + bx + c, maka (*coret pernyataan yang salah) c positip untuk p dan q yang *berlainan tanda (+- atau -+)/ bertanda sejenis (++ atau - -)

(x + p)(x + q) = (x + 5)(x + 3) = x2 + 8x + 15 (x p)(x q) = (x + p)(x q) =

c negatip untuk p dan q yang *berlainan tanda (+- atau -+)/ bertanda sejenis (++ atau - -) b positip untuk p dan q secara berturut-turut bertanda *(++)/(- -)/(+-)/(-+) b negatip untuk p dan q secara berturut-turut bertanda *(++)/(- -)/(+-)/(-+) Diskusikanlah kesimpulan yang anda peroleh dengan beberapa temanmu !

Memfaktorkan ax2 + bx + c, dengan a = 1Persamaan kuadrat x2 + bx + c = 0 seringkali dapat diubah ke dalam bentuk perkalian faktor (x + m)(x + n) = 0. Di dalam notasi matematika, pengubahan bentuk itu dituliskan sebagai berikut : x2 + bx + c = 0 (x + m)(x + n) = 0

x2 + (m + n)x + m.n = 0

Dari kesamaan (ekivalensi) di atas dapat kita simpulkan bahwa m + n = b karena sama-sama merupakan koefisien x ; dan m x n = c karena sama-sama merupakan konstanta.Lambang adalah notasi matematika yang berarti ekivalen

Contoh :

1. x2 + 4x + 3 = 0Faktorisasi x2 + bx + c = 0 menjadi (x + m)(x + n) = 0 bernilai benar jika dan hanya jika m + n = b dan m x n = c sehingga untuk memfaktorkan persamaan x2 + 4x + 3 = 0, kita harus memecahkan teka-teki : pasangan bilangan manakah yang jumlahnya 4 dan hasil kalinya 3 ? Ya, tepat ! Pasangan bilangan itu adalah 3 dan 1, sehingga hasil faktorisasinya adalah (x + 3)(x + 1) = 0 karena 3 + 1 = 4 dan 3 x 1 = 3

2. x2 5x + 6 = 0 (x 3)(x 2) = 0 3. x2 + 3x 10 = 0 (x + 5)(x 2) = 0 4. x2 2x 8 = 0 (x 4)(x + 2) = 0

karena -3 + (-2) = -5 dan (-3) x (-2) = 6

karena 5 + (-2) = 3 dan 5 x (-2) = -10

karena -4 + 2 = -2 dan (-4) x 2 = -8

Memfaktorkan ax2 + bx + c, dengan a { 1Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 seringkali dapat diubah ke dalam bentuk perkalian faktor

1 (ax +m)(ax + n) = 0. aax2 + bx + c = 0

Di dalam notasi matematika, pengubahan

bentuk itu dituliskan sebagai berikut :

1 (ax + m)(ax + n) = 0 a 1 2 2 {a x + a(m + n)x + m.n} = 0 am.n =0 a

ax2 + (m +n)x +

Dari kesamaan (ekivalensi) di atas dapat kita simpulkan bahwa m + n = b karena samam.n sama merupakan koefisien x; sementara = c karena sama-sama merupakan a konstanta. Agar lebih sederhana, hubungan tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut : m + n = b ; sementara m.n = a.c .

Untuk memudahkan proses faktorisasi , ada tiga hal yang harus kita lakukan 1. Kumpulkan setiap suku peubah dan konstanta di ruas kiri sehingga diperoleh bentuk umum ax2 + bx + c = 0. 2. Pastikan nilai a, b dan c merupakan bilangan bulat dengan perbandingan paling sederhana. 3. Jadikan a selalu bernilai positif. Jika a bernilai negatif, kalikan kedua ruas dengan 1. Secara praktis, ini berarti mengubah tanda seluruh suku menjadi lawannya (positif menjadi negatif dan negatif menjadi positif)

Contoh :

1. 2x2 + 7x 4 = 0Faktorisasi ax2 + bx + c = 0 menjadi

1 (x + m)(x + n) = 0 bernilai benar jika a

dan hanya jika m + n = b dan m x n = a x c sehingga untuk memfaktorkan persamaan 2x2 + 7x 4 = 0 kita harus memecahkan teka-teki : pasangan bilangan manakah yang jumlahnya 7 dan hasil kalinya -8 ? (Ingat, hasil kali 2 dengan -4 adalah -8) Ya, tepat ! Pasangan bilangan itu adalah 8 dan -1, sehingga hasil faktorisasinya adalah 1 2 ( 2 x 8 )( 2 x 1) ! 0 karena 8 + (-1) = 7 dan 8 x (-1) = -8

2.

9x2 12x 12 = 0

3x2 4x 4 = 0 1 3 ( 3 x 6 )( 3 x 2 ) ! 0

kita bagi kedua ruas dengan 3 agar lebih mudah untuk difaktorkan karena 6 + 2 = -4 dan (-6) x 2 = 3 x (-4) kita kalikan seluruh suku dengan (-1) karena 10 + 6 = 16 dan 10 x 6 = 4 x 15 kita bagi seluruh suku dengan (-2) karena -4 + (-1) = -5 dan (-4) x (-1) = 2 x 2

3. 4x2 16x 15 = 0 4x2 + 16x + 15 = 0 1 4 ( 4 x 10 )( 4 x 6 ) ! 0 2 4. 4x + 10x 4 = 0 2x2 5x +2 = 0 1 ( 2 x 4 )( 2 x 1 ) ! 0 2

Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dari Hasil FaktorisasiSalah satu sifat yang berlaku pada sistem bilangan Real adalah Perkalian A.B = 0, jika dan hanya jika, A = 0 atau B = 0. Dengan menggunakan sifat tersebut, kita dapat menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat yang telah difaktorkan. Untuk memperoleh gambaran yang lebih jelas, perhatikan contoh berikut ini. 1. x2 + 3x 10 = 0 (x + 5)(x 2) = 0 Karena hasil kali antara (x + 5) dengan (x 2) sama dengan nol, maka x + 5 = 0 atau x 2 = 0 x = -5 atau x = 2 2. 4x2 + 10x 4 = 0 2x2 5x +2 = 0kita bagi seluruh suku dengan (-2)

1 ( 2 x 4 )( 2 x 1 ) ! 0 2 2x 4 = 0 atau 2x 1 = 0 2x = 4 atau 2x = 1 x = 2 atau x =

ingat, adalah konstanta sehingga tidak mungkin sama dengan nol

Ayo Berlatih !Latihan Kecil 2.Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan cara memfaktorkan ! 6. 2x2 7x + 6 = 0 1. x2 7x + 12 = 0 2 7. 4x2 + 16x + 15 = 0 2. x + 8x + 12 = 0 2 8. 4x2 + 23x + 15 = 0 3. x 7x 18 = 0 2 9. 4x2 + 17x + 15 = 0 4. x + 8x 48 = 0 10. -6x2 + 15x + 36 = 0 5. x2 20x + 96 = 0

Dalam Autobiographical notes (Catatan Autobiografi)-nya, Einsten mengenang saat mendapat gagasan penting pertama yang membawanya kepada Teori relativitas pada usia 16 tahun ketika dia sedang melamun. Sebagai seorang anak laki-laki, Einstein mempunyai seorang paman kesayangan yang bernama Jakob yang biasa mengajarkan matematika. Aljabar adalah ilmu yang menyenangkan, Ujar Jakob suatu kali. Kita pergi berburu seekor binatang kecil yang namanya tidak kita ketahui, jadi kita menyebutnya x. Ketika kita menjerat sasaran kita, kita menangkapnya dan memberinya nama yang benar. Kata-kata Paman Jakob tetap melekat dalam diri Einstein hingga akhir hayatnya. Kata-kata ini menaungi sikapnya terhadap matematika dan masalah ilmiah. Bagi Einstein, matematika dan masalah ilmiah selalu tampak lebih sebagai teka-teki atau permainan daripada pekerjaan. Einstein dapat berkonsentrasi pada pelajaran matematika seperti berkonsentrasinya anak-anak dalam bermain. (dikutip dari buku QUANTUM BUSSINES )

2.2. Melengkapkan Bentuk KuadratDapatkah anda memfaktorkan persamaan kuadrat berikut ini? (1) x2 8x + 5 = 0 (2) x2 + 2x 1 = 0 (3) 2x2 + 8x + 3 = 0 Apakah anda merasa kesulitan untuk mencari faktor-faktor yang tepat ? Memfaktorkan merupakan cara yang paling sederhana untuk menyelesaikan sebuah persamaan kuadrat. Sayangnya, tidak semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan. Persamaan kuadrat dalam ilustrasi di atas harus diselesaikan dengan cara yang lain. Salah satu cara yang dapat digunakan adalah dengan jalan melengkapkan bentuk kuadrat. Prinsip dasarnya adalah melengkapi persamaan kuadrat yang hendak kita selesaikan sedemikian rupa sehingga mengandung bentuk kuadrat sempurna. Bentuk-bentuk : 22, (5x)2, (x 3)2, (3x + 1)2 adalah beberapa contoh bentuk kuadrat sempurna. Masihkah kalian ingat cara mengkuadratkan secara langsung yang telah dipelajari sewaktu di SMP dulu?

(A s B)2 = A2 s 2 AB + B2contoh : k (x + 3)2k (x 2)2

= x2 + 2 .3.x + 32 = x2 + 6x + 9 = x2 2.2.x + 22 = x2 4x + 4

k (2x 3)2 = (2x)2 2.3.(2x) + 32 = 4x2 12x + 9

Nah, Jika kita kuadratkan bentuk (x + p), dengan p sebarang bilangan Real, maka akan diperoleh (x + p)2 = x2 + px + (p)2 Perhatikan bentuk umum persamaan kuadrat yang diperoleh! Nilai konstantanya adalah (p)2, sementara nilai koefisien x adalah p. Artinya, konstanta bentuk umum persamaan kuadrat sempurna adalah kuadrat setengah koefisien x , atau c = (b)2 .

Tiga buah persamaan kuadrat yang ditanyakan pada awal sub bab ini, dapat diselesaikan dengan melengkapi bentuk kuadrat seperti berikut (1) x2 8x + 5 = 0 x2 8x = -5 ruas kiri dibuat tidak mengandung konstanta x2 8x + (-4)2 = -5 + (-4)2 ruas kiri kita lengkapi agar menjadi bentukkuadrat sempurna. Ruas kanan kita tambah bilangan yang sama agar tidak mengubah nilai persamaan.

(x 4)2 = 11 x 4 = s 11 x = 4 s 11

Harap perhatikan ! x2 = 9, dipenuhi oleh nilai x = 3 dan x = -3. Berbeda halnya dengan x =

9 , hanya

dipenuhi oleh x = 3. Dengan penalaran yang sama; jika (x 4)2 = 11, maka nilai x 4 adalah11 dan - 11

(2) x2 + 2x 1 = 0 x2 + 2x = 1 x2 + 2x + 12

ruas kiri dibuat tidak mengandung konstanta

= 1 + 12

(x + 1)2 = 2 x+1 = s 2 x =-1 s 2(3)

ruas kiri kita lengkapi agar menjadi bentuk kuadrat sempurna. Ruas kanan kita tambah bilangan yang sama agar tidak mengubah nilai persamaan.

2x2 + 8x + 3 = 0 x2 + 4x + 3 = 0 2

kedua ruas kita kalikan dengan

x2 + 4x = (x + 2 )2 = x+2 = s x = -2 s

3 2

x2 + 4x + 22 = - 3 + 22 2 2 2 2

Ayo Berlatih !Latihan Kecil 3.Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan cara melengkapkan bentuk persamaan kuadrat ! 1. 2. 3. 4. x2 x2 x2 x2 + 8x 48 = 0 20x + 96 = 0 20x + 80 = 0 + 6x + 8 = 0 5. 6. 7. 8. x2 + 4x + 12 = 0 x2 3x 6 = 0 4x2 + 16x + 15 = 0 2x2 + 12x + 14 = 0

Menggunakan Rumus Akar Persamaan Kuadrat

Kalian telah memelajari cara melengkapkan bentuk kuadrat untuk penarikan akar persamaan yang tidak dapat difaktorkan. Bagaimana ? Apakah kalian merasa cara itu praktis dan mudah digunakan ? Tepat. Cara tersebut memang kurang praktis penggunaannya. Hal inilah yang membuat seorang matematikawan muslim bernama Muhammad bin Musa Al Khawarizmi merumuskan sebuah formula penarikan akar persamaan kuadrat. Rumus akar persamaan kuadrat tersebut kemudian dikenal sebagai rumus Al Khawarizmi. Pada perkembangan selanjutnya, rumus tersebut lebih dikenal sebagai rumus abc. Diambil dari komponen-komponen rumus tersebut. Kita bisa menapak tilas pemikiran Al Khawarizmi dengan cara melengkapkan bentuk umum persamaan kuadrat seperti yang telah kita lakukan pada sub bab sebelum ini. ax2 + b x + c = 0 c b x2 + x = 0 a a b c x2 + x = a a

x2 +

b b b c x + = + a a 2a 2a 2

2

2

b b2 c x = + a 2a 4a 2

x

b b 2 4ac = 2a 4a 2b = 2a s b 2 4ac 2a

2

x + x =

bs

b 2 4ac 2a b s b 2 4ac 2a

Rumus akar persamaan kuadrat : x1,2 !

Contoh : Kita akan menentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini : 1. 3x2 - 5x 2 = 0 Persamaan kuadrat di atas memiliki nilai a = 3, b = -5 dan c = -2, makax 1 ,2 ! x1,2 ! ( 5 ) s ( 5 ) 2 4.3.( 2 ) 2.3

5 s 49 6 5 7 5 7 atau x 2 ! x 1! 6 61 x1 = 2 atau x2 = - 3

2. 4x + 3 = 2x2 kita ubah persamaan ke dalam bentuk umum -2x2 + 4x + 3 = 0 Persamaan kuadrat di atas memiliki nilai a = -2, b = 4 dan c = 3, makax 1 ,2 ! x1,2 ! 4 s 4 2 4.( 2 ).3 2.( 2 ) 4 s 40 4kalian tentu masih ingat bahwa 40 ! 4 . 10 ! 2 10

x 1!

4 2 10 4 2 10 atau x 2 ! 4 4

x1 = 1 10

atau x2 = 1 + 10

3.

3

3(x 3) + 4 = 2x(x 3) 3x 9 + 4 = 2x2 6x -2x + 9x 5 = 0Persamaan kuadrat di atas memiliki nilai a = -2, b = 9 dan c = -5.x 1 ,2 ! x 1,2 ! x 1,2 ! 9 s 9 2 4.( 2 ).( 5 ) 2.( 2 ) 9 s 41 4 9 41 9 41 atau x1,2 ! 4 4

4 ! 2x x3

kita ubah persamaan ke dalam bentuk umum

Ayo Berlatih !Latihan Kecil 4.Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan rumus akar persamaan kuadrat !

1. 2. 3. 4. 5.

x2 + 8x 48 = 0 -x2 + 10x + 96 = 0 x2 21x + 80 = 0 x2 + 6x + 8 = 0 x2 + 10x + 12 = 0

6. 7. 8. 9. 10.

3x2 2x 5 = 0 4x2 + 16x + 15 = 0 2x2 + 12x + 14 = 0 5x2 x 6 = 0 -2x2 3x + 6 = 0

Sebagian besar problema Matematika di dunia saat ini harus diselesaikan dengan pernyataan Matematika bentuk persamaan. Prinsipnya adalah bagaimana menentukan nilai dari sesuatu yang tidak diketahui tanpa mengubah keseimbangan persamaan. Nilai yang tidak diketahui itu dimisalkan dengan huruf tertentu yang disebut peubah (variabel). Persamaan adalah dasar dari Aljabar. Pada abad ke-9, seorang cendikiawan Arab bernama Muhammad bin Musa Al-Khawarizmi menulis sebuah artikel berjudul Al-jabr wal Muqabalah. Artikel termasyhur ini telah dibaca oleh ribuan matematikawan di seluruh penjuru dunia dan memberikan sumbangan luar biasa terhadap kemajuan dunia Matematika dan Sains. Penemuan beliau yang fenomenal antara lain adalah angka nol dan rumus abc.

3. Menentukan Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Marilah kita simak kembali rumus akar persamaan kuadrat yang telah kita gunakan sebelum ini.

x1,2 !

b s b 2 4ac 2a

Menurut anda, bagian manakah dari rumus di atas yang membuat nilai x1 berbeda dengan x2 ? Betul, tanda s berbeda.b 2 4ac pada rumus tersebut yang membuat nilai x1 dan x2

Apakah nilai x1 selalu berbeda dengan nilai x2 ? Sekarang, gunakanlah rumus tersebut untuk menentukan nilai x1 dan x2 dari persamaan kuadrat x2 6x + 9 = 0. Sudahkah anda menghitungnya ? Bagaimana dengan nilai x1 dan x2 yang diperoleh ? Benar. Nilai x1 dan x2 yang kita peroleh sama besar. Dua akar real yang sama besar itu biasa disebut sebagai akar kembar. Jika anda perhatikan dengan teliti, maka anda pasti mengetahui bahwa x1 dan x2 sama besar karena nilai di dalam tanda akar, yakni b2 4ac, sama dengan nol. Selanjutnya, kita coba untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat x2 2x + 5 = 0. Tentu, dengan menggunakan rumus yang sama. Apakah anda dapat menentukan nilai kedua akarnya ? Jika anda belum akrab dengan bilangan khayal, maka anda akan bermasalah dengan b2 4ac yang ternyata bernilai negatif, yakni sama dengan -16. Kita sama-sama mengetahui bahwa tidak ada bilangan real yang diperoleh dari penarikan akar terhadap bilangan negatif. Kesimpulan apakah yang dapat kita ambil ? Ya, nilai b2 4ac dapat digunakan untuk membedakan jenis akar persamaan kuadrat : apakah berupa dua akar real

berlainan, apakah berupa akar kembar, atau apakah tidak memiliki akar real. Selanjutnya, nilai b2 4ac disebut sebagai Diskriminan atau disingkat D saja. Jika anda mengenal politik diskriminasi sebagai politik yang membedakan hak suatu golongan dengan golongan lainnya, maka Diskriminan D = b2 4ac membedakan jenis-jenis akar persamaan kuadrat. Nilai Diskriminan dapat juga kita gunakan untuk meramalkan apakah kedua akar persamaan kuadrat merupakan bilangan rasional atau bilangan irrasional. Jika D adalah bilangan kuadrat sempurna seperti 1 = 12, 4 = 22, 9 = 32, atau 144 = 122, maka akar real yang kita peroleh akan merupakan bilangan rasional. Bagaimana jika D bukan merupakan bilangan kuadrat sempurna ?Jika D = k2, maka akar real yang diperoleh adalah bilangan rasional Jika D { k2, maka akar real yang diperoleh adalah bilangan irrasional

Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang berlainan

D = b2 4ac

Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki akar real kembar

Jika D > 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real

Contoh : 1. Tentukanlah jenis-jenis akar dari persamaan-persamaan kuadrat berikut ini ! a. 7x2 12x + 5 = 0 b. 4x2 + 12x 5 = 0 c. 4x2 12x + 9 = 0 d. 8x2 + 8x + 9 = 0 2. Tentukanlah nilai m agar persamaan kuadrat 2x2 + (m + 3)x + 3. 4. 5.1 2

m + 3 = 0 memiliki

6.

akar kembar! Tentukanlah nilai m agar persamaan kuadrat 3mx2 6mx + 3m 5 = 0 memiliki dua akar real berlainan. Tentukanlah nilai m agar persamaan kuadrat mx2 (2m + 3)x + m 1 = 0 tidak memiliki akar real. Persamaan kuadrat mx2 + (m + 2)x m + 1 = 0 selalu memiliki dua akar real berlainan untuk setiap nilai m yang diberikan; syaratnya m merupakan bilangan real. Buktikanlah ! 2x 2 5 x 3 Tentukanlah nilai real yang mungkin dari pecahan ! x 2 2 x 1

Jawab :

1. Kita tidak perlu terlebih dahulu mencari akar-akar persamaan kuadrat untuk menentukan jenisnya. Kita cukup menghitung nilai diskriminannya saja. a. 7x2 12x + 5 = 0, memiliki D = (-12)2 4.7.5 = 144 140 = 4 = 22 . Karena diskriminannya merupakan bilangan positif bentuk kuadrat sempurna, maka persamaan memiliki 2 akar bilangan rasional yang berbeda b. 4x2 + 12x 5 = 0, memiliki D = (12)2 4.4.(-5) = 144 + 80 = 224 . Karena diskriminannya merupakan bilangan positif bukan bentuk kuadrat sempurna, maka persamaan memiliki 2 akar bilangan real yang berbeda (bilangan real yang irrasional) c. 4x2 12x + 9 = 0, memiliki D = (-12)2 4.4.9 = 144 144 = 0 . Karena diskriminannya sama dengan nol, maka persamaan memiliki akar kembar. d. 8x2 + 8x + 9 = 0, memiliki D = 82 4.8.9 = 64 288 = -124 . Karena diskriminannya merupakan bilangan negatif, maka persamaan tidak memiliki akar bilangan real. 2. Syarat agar 2x2 + (m + 3)x +1 2

m + 3 = 0 memiliki akar kembar adalah D =

0,

D = b2 4ac 1 = (m + 3)2 4.2.( 2 m + 3) = m2 + 6m + 9 4m 24 = m2 + 2m 15 Karena D = 0, maka m2 + 2m 15 = 0 (m + 5)(m 3) = 0 m = -5 atau m = 3 memiliki dua akar real berlainan adalah

3. Syarat agar D > 0,

3mx2 6mx + 3m 5 = 0 b2 4ac (-6m)2 4.3m.(3m 5) 36m2 36m2 + 60m 60m

D = = = =

Karena D > 0, maka 60m > 0 m > 0,

4. Syarat agar mx2 (2m + 3)x + m 1 = 0 D = b2 4ac = {-(2m + 3)}2 4m(m 1) = 4m2 + 12m + 9 4m2 + 4m = 16m + 9 Karena D < 0, maka 16m + 9 < 0 16m < -9 m<

tidak memiliki akar real adalah D < 0,

9 16

5. Syarat agar mx2 + (m + 2)x m + 1 = 0 selalu memiliki dua akar real yang berlainan adalah diskriminannya selalu bernilai posiitif untuk setiap nilai m real yang diberikan. D = b2 - 4ac = (m + 2)2 4.m.(-m + 1) = m2 + 4m + 4 + 4m2 4m = 5m2 + 4 Karena nilai m2 u 0, maka pastilah nilai nilai m real yang diberikan. 6. Misalkan nilai2x 2 5 x 3 x 2 2 x 12

D = 5m2 + 4 selalu positif untuk setiap

= p, maka

2x2 + 5x + 3 = px2 2px + p (p 2)x2 (2p + 5)x + p 3 = 0

Nilai p real dari p = yang real.

2x 5 x 3 x 2 2 x 1

, akan diperoleh bila kita mensubstitusikan nilai x

Nilai x yang real akan diperoleh bila persamaan kuadrat (p 2)x2 (2p + 5)x + p 3 = 0 memiliki akar-akar real. Agar persamaan kuadrat tersebut memiliki akar-akar yang real, nilai diskriminannya D harus lebih besar dari nol. D = b2 - 4ac = {-(2p + 5)}2 4(p 2)(p 3) = 4p2 + 20p + 25 4(p2 5p + 6) = 4p2 + 20p + 25 4p2 + 20p 24 = 40p + 1 D 40p + 1 40p p uu 0 u 0 u -1 - 140

Ayo Berlatih !Latihan Kecil 5.1. Tentukanlah jenis akar masing-masing persamaan kuadrat berikut ! (Apakah dua akar rasional berlainan, atau dua akar real irrasional berlainan, atau akar kembar, atau sama sekali tidak memiliki akar real.) e. 9x2 + 6x + 1 = 0 a. 2x2 4x + 1 = 0 2 f. -9x2 + 12x 4 = 0 b. 3x + 3x + 2 = 0 g. x2 + 6x 16 = 0 c. x2 5x 3 = 0 h. 2x2 + 5x + 4 = 0 d. 3x2 + 8x + 5 = 0

2. Seluruh persamaan kuadrat berikut memiliki akar kembar. Tentukanlah nilai p yang memenuhi, berikut akar kembarnya ! a. (p + 1)x2 12x + 18 = 0 b. 3x2 + 6px + 3p2 2p + 10 = 0 c. (p 3)x2 2(p 1)x + p + 3 = 0 d. 3x2 + 5px + 2p2 + 3 = 0 3. Seluruh persamaan kuadrat berikut memiliki dua akar real yang berlainan. Tentukanlah nilai p yang memenuhi ! a. 3x2 + 12x 3p + 15 = 0 b. 2x2 + 4px + 2p2 3p + 9 = 0 c. (p 1)x2 + (4p 8)x + 4p 10 = 0 d. 3x2 4px + p2 + 1 = 0 4. Seluruh persamaan kuadrat berikut tidak memiliki akar real. Tentukanlah nilai p yang memenuhi ! a. 2x2 16x + 3x + 8 = 0 b. 2x2 + (4p + 4)x + 2p2 + 2p + 4 = 0 c. (p + 1)x2 + (4p 2)x + 4p 5 = 0 d. x2 + (p + 6)x + 2p + 17 = 0 5. Buktikanlah bahwa persamaan kuadrat mx2 (3m + 2)x + 2m + 3 = 0 selalu memiliki dua akar real yang berbeda untuk setiap nilai m real ! 6. Buktikanlah bahwa persamaan kuadrat x2 (2m 3)x + 2m2 3m + 3 = 0 selalu tidak memiliki akar real untuk setiap nilai m real ! 7. Buktikanlah bahwa persamaan kuadrat x2 + (m 2)x + 3m = 15 selalu memiliki akar rasional untuk setiap nilai m rasional ! 4x 2 8 x 5 8. Tentukan batas-batas nilai pecahan untuk setiap nilai x real yang x 1 diberikan !

4. Operasi Aljabar pada Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Ketika kita melakukan operasi aljabar terhadap akar-akar suatu persamaan kuadrat, tidak jarang kita disulitkan oleh akar-akar persamaan yang bukan merupakan bilangan cantik. Misalnya persamaan 2x2 7x + 4 = 0, nilai kedua akarnya adalah7 17 dan 4

7 17 . Cobalah untuk menghitung hasil kalinya ! Merepotkan, bukan ? Untunglah kita 4 dapat melakukan operasi aljabar terhadap akar-akar suatu persamaan kuadrat tanpa harus menghitung nilai kedua akarnya itu sendiri.

Mari kita bermain-main kembali dengan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Katakanlah x1 ! b b 2 4ac b b 2 4ac dan x 2 ! . Apa yang terjadi jika kita 2a 2a jumlahkan x1 dengan x2 ? Bagaimana pula dengan hasil kali x1 dengan x2 ?

Jawabannya akan kita peroleh bersama melalui penurunan berikut ini. x1 + x2 =b b 2 4ac b b 2 4ac 2a 2a

b b 2 4ac ( b b 2 4ac ) 2a 2b = 2a b = a

=

x1 . x2 = =

b

b 2 4ac b b 2 4ac . 2a 2a 4a 2

( b b 2 4 ac )( b b 2 4 ac )

pembilang merupakanperkalian sekawan

= = = =

( b ) ( b 4ac ) 4a 2 b ( b 4ac ) 4 a2 b 2 b 2 4ac 4a 2 4ac2 2

2

2

2

4a 2 c = a

x1 + x2 =

b a

dan

x1.x2 =

c a

Dengan rumus yang telah kita turunkan ini, kita dapat menghitung hasil kali kedua akar persamaan 2x2 7x + 4 = 0 yang ada di awal sub bab ini dengan mudah. Kita tinggal c 4 = = 2. Mudah sekali, bukan ? menggunakan rumus hasil kali x1 . x2 = a 2

Kegiatan di kelas : Mencoba sendiri, yuk !Penurunan secara aljabar yang telah kita lakukan di awal sub bab ini memberikan b c jumlah x1 + x2 = dan hasil kali x1.x2 = . Gunakanlah penurunan seperti di a a atas untuk menentukan selisih x1 x2 = D D atau x 2 x1 ! . a a Samakah hasil yang telah kamu peroleh ? Jika belum, periksalah setiap langkah yang telah kamu kerjakan. Adakah yang harus diperbaiki ?

Hasil yang semestinya kalian peroleh adalah x1 x 2 !

Selain operasi-operasi dasar seperti jumlah, hasil kali dan selisih, kita pun dapat melakukan operasi aljabar yang lebih kompleks terhadap akar-akar suatu persamaan kuadrat. Syaratnya adalah operasi aljabar tersebut harus dapat kita urai menjadi bentuk kombinasi dari operasi-operasi dasar. Berikut adalah beberapa contoh operasi aljabar yang dapat kita urai menjadi bentuk kombinasi dari operasi-operasi dasar :

x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1.x2 ingat bahwa (x1 + x2)2 = x12 + 2x1x2 + x22 2 2 (x1 x2) = (x1 + x2) 4x1.x2 ingat bahwa (x1 x2)2 = x12 2x1x2 + x22 2 2 x1 x2 = (x1 + x2) (x1 x2) perkalian sekawan (a + b)(a b) = a2 b2 x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1.x2(x1 + x2) x13 x23 = (x1 x2)3 + 3x1.x2(x1 x2) x12.x2 + x1.x22 = x1.x2(x1 + x2) kita gunakan hukum distributif x14 + x24 = (x12 + x22)2 2(x1.x2)2 kita gunakan pemisalan x12= a dan x22= b 1 1 x x2 kita samakan penyebut ! 1 x1 x 2 x 1 .x 2x1 x x x2 2 ! 1 x2 x1 x1 x 22 2

kita samakan penyebut

Apakah hanya itu saja operasi aljabar yang dapat kita urai ? Jawabnya adalah : bukan hanya itu. Masih ada operasi aljabar yang lain. Bagaimana cara kita menandainya ? Salah satu ciri yang dapat kita gunakan adalah bentuk yang simetris. Contoh : Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat 2x2 6x + 3 = 0, maka tentukan nilai dari g. (2x1 + 3)(2x2 + 3) a. x1 + x2 b. x1.x2 1 1 h. 2 2 c. x1 x2 x1 x2 d. x12 + x22 e. x13 + x23 f. x13.x2 + x1.x23 Jawab : a. b. c.b 6 = =3 a 2 c 3 = x1.x2 = a 2

x1 + x2 =

x1 x2 =

d. x12 + x22 e. f.

( 6 ) 2 4.2.3 D 36 24 12 2 3 ! ! ! ! ! a 2.2 4 4 4 = (x1 + x2)2 2x1.x2 = 32 2. 3 = 9 3 = 6 23 2

1 2

3

x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1.x2(x1 + x2) = 33 3. x13.x2 + x1.x23 = x1.x2(x12 + x22) = x1.x2 {(x1 + x2)2 2x1.x2} = 3 (32 2. 3 ) 2 2 = =3 2 3 2

.3 = 27 -

27 2

=

54 27 = 2

27 2

(9 3) .6

=9 g. (2x1 + 3)(2x2 + 3) = 4x1.x2 6x1 6x2 + 9 = 4x1.x2 6(x1 + x2) + 9 = 4. 3 6. 3 2 = 6 18 = -12

h.

1 x12

1 x22

=

x1 x 2 x 1 .x 22 2

2

2

!

( x1 x 2 ) 2 2 x1 x 2 ( x1 x 2 )2

!

3 2 2. 3 2 ( )3 2 2

!

939 4

4 ! 6. 9 !

8 3

1. Kita akan sering berhadapan depan dengan beberapa istilah seperti jumlah kuadrat, kuadrat jumlah, selisih kuadrat, kuadrat selisih, jumlah kebalikan, dan kebalikan jumlah. Misalnya jumlah kuadrat akar-akar : apakah x12 + x22 ? Ataukah (x1 + x2)2 ? Salah satu cara termudah untuk menafsirkannya adalah dengan menyisipkan kata dari sehingga dibaca jumlah dari kuadrat, yakni x12 + x22. 2 kuadrat jumlah dibaca kuadrat dari jumlah: (x1 + x2) 2 2 selisih kuadrat dibaca selisih dari kuadrat: x1 x2 2 kuadrat selisih dibaca kuadrat dari selisih: (x1 x2) 1 1 jumlah kebalikan dibaca jumlah dari kebalikan: x1 x 2

kebalikan jumlah dibaca kebalikan dari jumlah:

1 x1 x 2

2. Beberapa contoh istilah lain yang mungkin akan dihadapi Salah satu akarnya 3 kali akar lain : x1 = 3x2 Salah satu akarnya 3 lebih besar dari akar lain : x1 = x2 + 3 Salah satu akarnya 3 lebih kecil dari akar lain : x1 = x2 3 b Kedua akarnya berlawanan : x1 + x2 = 0 sehingga ! 0 b = 0. a c ! 1 c = a. Kedua akarnya berkebalikan : x 1 .x 2 ! 1 sehingga a c Salah satu akarnya sama dengan nol : x1.x2 = 0 ! 0 a c b " 0 dan x1 + x2 > 0 " 0 Kedua akarnya positif : x1.x2 > 0 a a c b Kedua akarnya negatif : x1.x2 > 0 0 " 0 dan x1 + x2 < 0 a a c 0 Kedua akarnya berlainan tanda : x1.x2 < 0 a

Contoh :

1. Jika salah satu akar persamaan kuadrat x2 (2m -3)x + 3 = 0 adalah dua lebih kecil dari akar lainnya, dan diketahui kedua akar persamaan kuadrat tersebut bernilai negatif, maka nilai m yang memenuhi adalah 2. Selisih kuadrat akar-akar persamaan 2x2 6x + 2k + 1 = 0 adalah 6. Nilai k adalah (soal UMPTN 98) 3. Jika kuadrat selisih akar-akar persamaan x2 + ax 4 = 0 adalah 8a, maka nilai a adalah (adaptasi soal UMPTN 97)

Jawab :

1. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x2 (2m -3)x + 3 = 0 adalah dan . Ada tiga informasi yang bisa kita gunakan : = 2 karena salah satu akar dua lebih kecil dari akar lainnya b ( 2m 3 ) + = ! = 2m 3 a 1 c 3 =3 . = ! a 1 Kita gunakan persamaan 1 dan persamaan 3 terlebih dahulu : ( 2) = 3 subtitusi persamaan 1 ke persamaan 3 2 2 3=0 ( 3)( + 1) = 0 = 3 atau = -1 kita ambil nilai yang bernilai negatif, yakni = -1 Subtitusi nilai ke dalam persamaan 1 : = 2 = -1 2 = -3 Subtitusi nilai dan ke dalam persamaan 2 : + = 2m 3 -3 + (-1) = 2m 3 m = - 2. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat 2x2 6x + 2k + 1 = 0 adalah tiga informasi yang bisa kita gunakan : 2 2 =6 ingat kiat praktis : selisih dari kuadrat b 6 = 3 + = ! a 2 c 2k 1 . = ! a 2 Terlebih dahulu kita uraikan persamaan 1 : 2 2 =6 ( + )( ) = 6 3( ) = 6 kita subtitusikan nilai dari persamaan 2 =2 persamaan 4 Kita eliminasikan persamaan 2 dengan persamaan 4 : + =3 + =3 =2+ =2 2 =5 2 =1 = = 52 Kita subtitusikan nilai 2k 1 . = 2 5 1 2k 1 . ! 2 2 2 5 2k 1 ! 4 2 8k + 4 = 10 8k = 6 3 k= 4 dan ke dalam persamaan 3 : dan

. Ada

3. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x2 + ax 4 = 0 adalah dan informasi yang bisa kita gunakan : ( )2 = 8a ingat kiat praktis : kuadrat dari selisih b a + = ! = -a a 1

. Ada tiga

c 4 = -4 ! a 1 Kita ubah persamaan 1 sehingga mengandung bentuk-bentuk dari persamaan 2 dan persamaan 3 : ( )2 = 8a ( + )2 4 = 8a (-a)2 4(-4) = 8a a2 8a + 16 = 0 (a 4)2 = 0 a=4

.

=

Ayo Berlatih !Latihan Kecil 6.1. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat 3x2 12x + 2 = 0, maka tentukan nilai dari f. x13 + x23 a. x1 + x2 g. x14 + x24 b. x1.x2 h. x12.x2 + x1.x22 c. x1 x2 2 2 i. x13.x2 + x1.x23 d. x1 + x2 j. (3x1 + 5)(3x2 + 5) e. x12 x22 2. Jika E dan F merupakan akar-akar persamaan kuadrat x2 7x + 3 = 0, maka tentukan nilai dari c. E - F a. E + F b. E.F d. E3 - F3 3. Jika E dan F merupakan akar-akar persamaan kuadrat x2 5x + 5 = 0, maka tentukan nilai dari a. E + F 1 1 2 e. 2 b. E.F E F 1 1 2 c. E F2 E F f. F E E F d. 1 1 g. F E E 1 F 1 4. Jika E dan F merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka nyatakanlah dalam a, b dan c nilai-nilai dari a. E + F c. E2 + F2 b. E.F d. E3 + F3 5. Persamaan kuadrat x2 12x + (5m 3) = 0, salah satu akarnya dua kali akar yang lain. Tentukanlah nilai m yang memenuhi, dan kedua akar tersebut! 6. Persamaan kuadrat x2 10x + (7m + 4) = 0, salah satu akarnya dua lebihnya dari akar yang lain. Tentukanlah nilai m yang memenuhi, dan kedua akar tersebut ! 7. Persamaan kuadrat x2 12x + 3m = 4, perbandingan kedua akarnya adalah 1 : 5. Tentukanlah nilai m yang memenuhi, berikut kedua akarnya ! 8. Salah satu akar persamaan x2 mx 27 = 0 adalah kuadrat akar yang lain. Hitung nilai m yang memenuhi, berikut kedua akarnya !

9. Jumlah kebalikan akar-akar persamaan x2 3ax + (a 1) = 0 adalah 2. hitung nilai a dan akar-akar persamaan kuadrat tersebut ! 10. Akar-akar persamaan x2 2ax + (6a 5) = 0 adalah E dan F. Jika E2 + F2 = 26, tentukan nilai a yang memenuhi ! 11. Akar-akar persamaan x2 5x + (a 1) = 0 adalah E dan F. Jika E2 F2 = 5, tentukan nilai a yang memenuhi, berikut nilai E dan F! 12. Tentukan nilai p agar salah satu akar persamaan x2 + 6px + p2 p = 6 sama dengan nol ! 13. Tentukan nilai p agar salah satu akar persamaan x2 + (6p + 10)x = 4 sama dengan nol ! 14. Persamaan ax2 (a + 7)x a + 6 = 0 mempunyai akar-akar berkebalikan. Tentukan nilai a yang memenuhi berikut kedua akarnya ! 15. Akar-akar persamaan x2 4x + (6a 5) = 0 adalah E dan F. Tentukan nilai a yang memenuhi. Berapakah nilai akar-akarnya ?

5. Menyusun Persamaan KuadratKita telah memelajari cara menyelesaikan sebuah persamaan kuadrat. Menyelesaikan sebuah persamaan kuadrat berarti menentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Jika kita mengetahui nilai-nilai a, b dan c dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka kita dapat menentukan akar-akarnya, yakni x1 dan x2, dengan cara memfaktorkan, atau melengkapkan kuadrat, atau dengan menggunakan rumus abc. Sekarang kita akan memelajari bagaimana melakukan hal yang sebaliknya, yakni bagaimana menyusun sebuah persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui.1. faktorisasi 2. melengkapkan kuadrat 3. rumus abc

Persamaan Kuadrat : ax2 + bx + c = 0

Akar-akar Persamaan Kuadrat : x1 dan x2

Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 yang akar-akarnya adalah x1 dan x2, memiliki b c jumlah x1 + x2 = dan hasil kali x1.x2 = . Jika a = 1, maka akan kita peroleh jumlah a a x1 + x2 = -b dan hasil kali x1.x2 = c. Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 akan memiliki b = -(x1 + x2) dan c = x1.x2, untuk a = 1.

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah:

x2 (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

a=1

b=-(x1+x2)

c=x1.x2

Contoh : 1. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah a. -3 dan 5 b. 1 +2 dan 1 2

2. Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat 2x2 8x + 5 = 0. Tentukanlah persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar : a. 2p dan 2q p q d. p2 + q2 dan b. 3p 2 dan 3q 2 q p 2 2 c. p dan q

Jawab : 1. a. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya -3 dan 5 adalah : x2 (-3 + 5)x + (-3).5 = 0 x2 2x 15 = 0 b. kita hitung dulu nilai b dan c, untuk nilai a = 1 : -b = (1 + c = (1 +2 ) + (1 2 )(1 2 ) = 2, sehingga b = -2 2 dan 1 2 2 ) = 12 ( 2 )2 = 1 2 = -1

Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1 + x2 2x -1 = 0

adalah :

2. p dan q adalah akar-akar persamaan 2x2 8x + 5 = 0. Dengan menggunakan rumus 5 jumlah dan hasil kali, kita peroleh p + q = 4 dan p.q = . 2 a. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2p dan 2q adalah : x2 (2p + 2q)x + (2p)(2q) = 0 x2 2(p + q)x + 4pq = 0 5 x2 2.4.x + 4( ) = 0 2 x2 8x + 10 = 0 b. kita hitung dulu nilai b dan c, untuk nilai a = 1 : -b = (3p 2) + (3q 2) = 3(p + q) 4 = 3.4 4 = 12 4 = 8, sehingga b = -8 5 5 c = (3p 2)(3q 2) = 9pq 6(p + q) + 4 = 9. 6.4 + 4 = 2 2 Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3p 2 dan 3q 2 adalah : 5 x2 8x + =0 kedua ruas kita kalikan dengan 2 2 2 2x 16x + 5 = 0 c. kita hitung dulu nilai b dan c, untuk nilai a = 1 : 5 -b = p2 + q2 = (p + q)2 2pq = 42 2. = 16 5 = 11, sehingga b = -11 2 5 25 c = p2.q2 = (pq)2 = ( )2 = 2 4 Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya p2 dan q2 adalah : 25 =0 kedua ruas kita kalikan dengan 4 x2 11x + 4 4x2 44x + 25 = 0

d. Karena masing-masing akar persamaan yang baru merupakan bentuk simetris dari akar persamaan yang lama, maka kita hitung dulu nilai akar-akar persamaan yang baru : 5 x1 = (p2 + q2) = (p + q)2 2pq = 42 2. = 16 5 = 11 2 4 2 2. 5 11 p q 22 p2 q 2 ( p q ) 2 2 pq 2 x2 = = = = = 5 = q p 5 pq pq 5 2 2 Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya p2 + q2 dan x2 (11 +2 22 5

p q adalah ; q p

)x + 11.

22 5

=0

kedua ruas kita kalikan dengan 5

5x (55 + 22)x + 11.22 = 0 5x2 77x + 242 = 0

Kegiatan di kelas : Diskusi

Beberapa persamaan kuadrat mempunyai akar yang dapat dinyatakan di dalam akar-akar persamaan kuadrat yang lain. Jika persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki akar-akar E dan F , maka mungkin akan kita temui soal-soal seperti ini : Tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya tiga kali akarakar persamaan ax2 + bx + c = 0! (Ini berarti, kita harus mencari persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 3 E dan 3 F ) Tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya lima lebih besar daripada akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0! (Ini berarti, kita harus mencari persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah E + 5 dan F +5) Tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0! (Ini berarti, kita harus mencari 1 1 dan ) persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah F E Tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0! (Ini berarti, kita harus mencari persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah E 2 dan F 2) Tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 E 3 dan 2F 3 ! Perhatikan beberapa contoh problema persamaan kuadrat di atas. Persamaanpersamaan tersebut akar-akarnya dinyatakan dalam akar-akar persamaan kuadrat yang lain. Jelaskan ciri-ciri persamaan kuadrat yang memenuhi kriteria seperti di atas ! Diskusikan hasil yang anda peroleh dengan beberapa temanmu !

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dapat dinyatakan di dalam akar-akar persamaan yang lain, dapat ditentukan dengan cara yang lebih praktis. Perhatikan contoh soal berikut ini :

Jika x1 dan x2, akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + x 2 = 0, maka persamaan yang akar-akarnya

1 1 1 dan 1 adalah x1 x2

A. B. C. D. E.

2y2 3y + 1 = 0 2y2 5y + 1 = 0 2y2 + 3y + 1 = 0 4y2 5y 3 = 0 4y2 + 5y 3 = 0 (soal SPMB 2002)

Perhatikan dengan teliti soal di atas ! Akar-akar persamaan kuadrat yang baru dapat dinyatakan di dalam akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + x 2 = 0. Jika akar-akar persamaan baru adalah y1 dan y2, maka dapat kita nyatakan hubungan antara nilai x dengan y, yakni y1 =

1 1 1 dan y2 = 1. x1 x2y=

1 1. x Kemudian kita lakukan manipulasi aljabar agar x dinyatakan dalam y. Hasilnya kita substitusikan kepada persamaan kuadrat lama untuk memeroleh persamaan kuadrat yang baru. Contoh soal SPMB di atas dapat kita selesaikan dengan cara berikut :

Kita hilangkan indeks dari persamaan akar tersebut sehingga diperoleh

1 1 x xy = 1 + x xy x = 1 x(y 1) = 1 1 x ! y 1

y=

kedua ruas kita kalikan dengan x

inilah hasil invers fungsi

Persamaan kuadrat yang baru dapat diperoleh dengan mensubtitusikannya terhadap persamaan kuadrat awal : 2x2 + x 2 = 0 1 1 2 kedua ruas kita kalikan dengan (y 1)2 2!0 y 1 y 1 2 + (y 1) 2(y 1)2 = 0 2 + y 1 2(y2 -2y + 1) = 0 2 + y 1 2y2 + 4y 2 = 0 -2y2 + 5y 1 = 0 2y2 5y + 1 = 0 jawabannya adalah B2

Apakah anda sudah memahami cara ini? Jika belum, silakan menyimak contoh berikut ini : Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat 2x2 8x + 5 = 0. Tentukanlah persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar : a. 2p dan 2q b. 3p 2 dan 3q 2 Jawab : a. Soal ini bisa kita nyatakan dalam kalimat : Persamaan kuadrat baru yang akarakarnya dua kali akar-akar persamaan 2x2 8x + 5 = 0. Dalam notasi 1 matematika bisa kita tuliskan x = 2x. Hasil invers fungsinya adalah x = 2 x' . Kemudian kita subtitusikan x pada persamaan kuadrat yang lama :

2(

1 2

x' )2 8(

1 2

x' ) + 5 = 0 tanda ( ) kita hilangkan

x 8x + 10 = 0

1 2. 4 .x2 4x + 5 = 1 2 x 4x + 5 = 0 2 2

0kedua ruas kita kalikan 2

b.

x = 3x 2 3x = x + 2 x' 2 x= inilah hasil invers fungsi 3 Hasil invers ini kita subtitusikan pada persamaan kuadrat yang lama: x' 2 x' 2 2 8 3 + 5 = 0 3 x 2 4x 4 x 2 8 2 +5=0 9 3 2(x2 + 4x +4) 24(x + 2) + 45 = 0 2x2 + 8x + 8 24x 48 + 45 = 0 2x2 16x + 5 = 0kedua ruas kita kalikan 92

Ayo Berlatih !Latihan Kecil 7.1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut 2 3 a. 3 dan 5 e. 5 dan 5 b. -1 dan 7 f. 1 dan 3 3 c. -4 dan -3 1 d. 2 dan 3 2. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut 1 a. m dan -2m d. 2 5 dan 1 5 2 b. (2m + n) dan (2m n) 2 1 3 dan 2 1 3 e. 3 2 3 2 c. (2 + 3 ) dan (2 3 )

3. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 6x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya f. 5x1 dan 5x2 a. (x1 + 1) dan (x2 + 1) 1 1 b. (x1 + 5) dan (x2 + 5) g. 2 x1 dan 2 x2 c. (x1 2) dan (x2 2) h. 2 x1 dan 2 x2 3 3 d. (x1 3) dan (x2 3) e. 3x1 dan 3x2 4. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 4x 1 = 0 adalah E dan F. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya

a. (2E + 1) dan (2F + 1) b. (3E - 2) dan (3F - 2) 1 1 c. ( 2 E - 3) dan ( 2 F - 3)

d. (

3 4

E + 2) dan (

3 4

F + 2)

5. Akar-akar persamaan kuadrat x2 5x + 3 = 0 adalah E dan F. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya a. b. c.1 E 1 2 E 1 3 5E 2

dan dan dan

1 F 1 2 F 1 3 5F 2

d. e. f.

1 1

1 E 1 3E

dan 1

1 F 1 3F

dan 1 dan

2 3 E

2 3 F

6. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 4x + 3 = 0 adalah E dan F. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1 1 a. E2 dan F2 e. dan 2 b. E3 dan F3 E2 F c. E2F dan F2E 1 1 f. dan 3 d. E3F dan F3E 3E F

7. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x + 2 = 0 adalah E dan F. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya a.E F dan F E E F F E

b. (E2 + F2) dan