Lic. Henry Chero Valdivieso (Docente de Matemática)

PRODUCTO CARTESIANO Y RELACIONES

Universidad Los Ángeles de ChimboteFacultad de Educación y Humanidades

Lic. Henry Chero Valdivieso (Docente de Matemática)

Ejemplo (1) : Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b}, A x B consta de

los 6 pares de la lista

(1, a) (2, a) (3, a)(1, b) (2, b) (3, b)

Sean A y B conjuntos no vacíos elSean A y B conjuntos no vacíos el Producto cartesianoProducto cartesianoentre A y B es un conjunto de “pares ordenados”donde la primera componente pertenece a A y la segunda componente pertenece a B y se denota por A x B.

A x B = {(a,b) / a ∈ A y b ∈ A }

¿Qué es un producto cartesiano?

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Producto cartesiano

B

A

Los pares ordenados (a, b) ∈ A × B se pueden representar como puntos que corresponden al cruce de columnas que representan los elementos de A y filas que representan los elementos de B.

Ejemplo: La representación gráfica de los pares del ejemplo anterior se muestra a continuación.

(1,a)

2 3

a

b (1,b) (2,b)

(2,a)

(3,b)

(3,a)

1

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¡¡Para reflexionar!!1) En general, ¿será cierto que A x B = B x A?2) Si A y B son finitos ¿qué podemos decir de A x B?

Respuestas:

• No son iguales ... Por ejemplo sean los conjuntos A = {a, b, c} ^ B = {1, 2}

A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b, 2), (c, 1), (c,2) } B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2, a), (2, b), (2,c) }

2) A x B= A. B ….. ¿Puedes decir por qué? …..

Además A. B = B. A= B x A Entonces A x B= B x A

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B

1

2

3

0

Ejemplo (2)

• Sean A = {1, 2, 3} y B = {0, 1, 2, 3}. Haz una lista de los elementos de A x B.

• Representa gráficamente al subconjunto

R = { (a, b) ∈ A x B / a + b ≤ 3}

1 2 3 A0

Nos interesan algunos Nos interesan algunos subconjuntos del productosubconjuntos del producto

cartesianocartesiano

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¿Qué es una relación binaria?Sean A y B conjuntos no vacíos Una relación R Una relación R de A en Bde A en B es cualquier subconjunto de A x B. En particular, cualquier subconjunto de A x A es una relación binaria en Arelación binaria en A.

Ejemplo (3): Sea U = {a, e, i, o, u}, A = {a, o} y B = { i, u}

A x B = {(a,i), (a,u), (o,i), (o,u)}

Son relaciones de A en B:

1) Ø 2) {(a,i), (a,u)}3) {(a, i)} 4) A x B

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Notación:• Si (a,b) (a,b) ∈∈ R R decimos que “a está relacionado

con b” y lo denotamos por a R b.a R b.

Ejemplos:

1) En N definimos la relación R así: “a R b sii a es el doble de b”. Algunos elementos de la relación son: (2, 1), (8, 4), (2500, 1250), (120, 60)

2) En N se define la relación R por: “x R y si x divide a y” Entonces: 1 R 2, 2 R 2, 2 R 6, 2 R 18, 3 R 18, 3 R 21, 3 R 3, ....

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Conteo de relaciones:

Sean A y B conjuntos finitos y no vacíos ¿podemos determinar el número de relaciones entre A y B?

Sí !. Supongamos |A|=m y |B|=n. Sabemos que |AxB|=m.n, por lo tanto, | (AxB)| = 2℘ m.n

Entonces pueden definirse hasta 2m.n relaciones incluyendo Ø.

Ejemplo:Ejemplo: Si A = {1, 2, 3} y B = {-1, -2} entonces hay 64 relaciones de A en B.

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A continuación se le sugiere resolver una serie de ejercicios en los que tendrá la oportunidad de aplicar el contenido repasado.

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“Cuatro consejos para estudiar matemáticas)