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Expresiones AlgebraicasExpresiones Algebraicas
• Una Una expresión algebraicaexpresión algebraica es una expresión en es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.producto, cociente, potencia y raíz.
• EjemplosEjemplos
12.
)
2)
2)
2
32
2
xxyx
c
xyxb
xyxa
Tipos de Expresiones AlgebraicasTipos de Expresiones Algebraicas
Expresiones AlgebraicasExpresiones Algebraicas
Racionales IrracionalesRacionales Irracionales
Enteras FraccionariasEnteras Fraccionarias
Expresión Algebraica RacionalExpresión Algebraica Racional
• Es racional cuando las variables no están Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicaciónafectadas por la radicación
• EjemploEjemplo
312
.2
22
y
yxx
Expresión Algebraica IrracionalExpresión Algebraica Irracional
• Es irracional cuando las variables están Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicaciónafectadas por la radicación
• EjemploEjemplo
yxx 2
Expr.Algebraica Racional EnteraExpr.Algebraica Racional Entera
• Una expresión algebraicas es racional entera Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural.multiplicación y potencia natural.
• EjemploEjemplo
542 3 yyxx
Expresión Algebraica Racional Expresión Algebraica Racional FraccionariaFraccionaria• Una expresión algebraicas racional es Una expresión algebraicas racional es
fraccionaria cuando la indeterminada aparece fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador.en algún denominador.
• EjemploEjemplo
31 2 yxx
PolinomiosPolinomios
• Son las expresiones algebraicas más Son las expresiones algebraicas más usadas.usadas.
• Sean aSean a00, a, a11, a, a22, …, a, …, ann números reales y números reales y n n
un número natural, llamaremos un número natural, llamaremos polinomio polinomio en indeterminada xen indeterminada x a toda expresión a toda expresión algebraica entera de la forma:algebraica entera de la forma:
aa00 + a + a11 x + a x + a22 x x22 + … + a + … + ann x xnn
Ejemplos de polinomiosEjemplos de polinomios
A los polinomios en indeterminada x los A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).
3
2
32
3)
31
)
xxb
xa
3
3
532)
21)
xxd
xc
TérminosTérminos
• Monomio : polinomio con un solo término.Monomio : polinomio con un solo término.• Binomio : polinomio con dos términos.Binomio : polinomio con dos términos.• Trinomio : polinomio con tres términos.Trinomio : polinomio con tres términos.
• Cada monomio aCada monomio aiixxii se llama se llama términotérmino..
• El polinomio será de El polinomio será de gradogrado n si el término de mayor n si el término de mayor grado es agrado es annxxnn con a con ann0.0.
• A aA a00 se lo llama se lo llama término independientetérmino independiente..
• A aA ann se lo llama se lo llama término principaltérmino principal. .
EjemplosEjemplos
El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llama polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x).
No se le asigna grado.
EjercicioEjercicio• Indicar cuáles de las siguientes expresiones Indicar cuáles de las siguientes expresiones
algebraicas son polinomios. En este último caso algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado.indicar su grado.
2
13)
)3)(2()
1231
)
4
3
xc
xxb
xxa
132
)
312
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52)
2
2
xxx
f
xxxe
xd
Polinomios igualesPolinomios iguales• Dos polinomios son iguales si y sólo si los Dos polinomios son iguales si y sólo si los
coeficientes de los términos de igual grado lo coeficientes de los términos de igual grado lo son.son.
• Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)
2
2
33
)2()1()(
25)12(5)()
)()(;52)()
xbcxbaxQ
xxxPb
xbaaxQxxPa
Suma de PolinomiosSuma de Polinomios
• Para sumar dos polinomios se agrupan los Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus términos del mismo grado y se suman sus coeficientes.coeficientes.
• Ejemplo: Sumar los siguientes polinomiosEjemplo: Sumar los siguientes polinomios
P(x) = -2xP(x) = -2x44 + 5x + 5x33 – 3x + 1 – 3x + 1
Q(x) = 3xQ(x) = 3x33 – 6x – 6x22 – 5x - 2 – 5x - 2
Propiedades de la SumaPropiedades de la Suma
• AsociativaAsociativa• ConmutativaConmutativa• Existencia de elemento neutroExistencia de elemento neutro• Existencia de elemento opuestoExistencia de elemento opuesto
Resta de PolinomiosResta de Polinomios
• Para restar el polinomio Q(x) del polinomio Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x).Q(x).
P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]
• Ejemplo: Restar los siguientes polinomiosEjemplo: Restar los siguientes polinomios
P(x) = -2xP(x) = -2x44 + 5x + 5x33 – 3x + 1 – 3x + 1
Q(x) = 3xQ(x) = 3x33 – 6x – 6x22 – 5x - 2 – 5x - 2
Multiplicación de PolinomiosMultiplicación de Polinomios
• Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de términos del otro y luego se suman los términos de igual grado.igual grado.
• Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomiosEjemplo: Multiplicar los siguientes polinomios
P(x) = -2xP(x) = -2x44 + 5x + 5x33 – 3x + 1 – 3x + 1
Q(x) = 3xQ(x) = 3x33 – 6x – 6x22 – 5x – 2 – 5x – 2
P(x).Q(x) = P(x) 3xP(x).Q(x) = P(x) 3x3 3 + P(x) (-6x+ P(x) (-6x22 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2) ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)
Propiedades del ProductoPropiedades del Producto
• AsociativaAsociativa• ConmutativaConmutativa• Existencia de elemento neutro.Existencia de elemento neutro.
Algunos productos importantesAlgunos productos importantes
• (x+a)(x+a)22 =(x+a)(x+a)= x =(x+a)(x+a)= x2 2 + 2ax + a+ 2ax + a22
• (x-a)(x-a)22 =(x-a)(x-a)= x =(x-a)(x-a)= x22 -- 2ax + a2ax + a22
• (x+a)(x+a)33 = x = x33 + 3ax + 3ax22 + 3a + 3a22x + ax + a33
• (x-a)(x-a)33 = x = x33 - 3ax - 3ax22 + 3a + 3a22x - ax - a33
• (x+a)(x-a)= x(x+a)(x-a)= x22 –ax +ax-a –ax +ax-a22 = x = x22-a-a22
EjercicioEjercicio
• Escribir los desarrollos deEscribir los desarrollos de
243
232
2
31
32
)
)()
)32()
xxc
xxb
xa
323
34
3
32
21
)
)()
)32()
xxf
xxe
xd
EjercicioEjercicio: Expresar los siguientes trinomios : Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como el cubo de un binomio.como el cubo de un binomio.
93025)
4914)
144)
2
2
2
xxc
xxb
xxa
6543
23
23
81
23
68)
16128)
8126)
xxxxf
xxxe
xxxd
EjercicioEjercicio: La expresión x: La expresión x2 2 - a- a22 es una diferencia es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios.diferencias como producto de binomios.
64)
4)
361
)
100)
8
4
2
2
xd
xc
xb
xa
División de polinomiosDivisión de polinomios
• Existe una estrecha analogía entre el Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de cociente de polinomios y la división de números enteros.números enteros.
• Recordemos algunas definiciones de la Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros. división entre números enteros.
División entre números enterosDivisión entre números enteros
• En el conjunto de números enteros, si D En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y des el dividendo y d0 es el divisor, 0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que(cociente) y (r (resto) tales que
D = d . C + r 0 D = d . C + r 0 ≤ r < |d|≤ r < |d|
• Si r=0 se dice que D es divisible por d.Si r=0 se dice que D es divisible por d.
División entre números enterosDivisión entre números enteros
• Ejemplo: Realizar las siguientes Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras:divisiones enteras:
• 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues
29 = 6 . 4 + 5 y 0 29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6≤ 5 < 6
• 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues
29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6|≤ 5 < |-6|
¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?
División de polinomiosDivisión de polinomios
• Dados los polinomiosDados los polinomios
D(x) = 6xD(x) = 6x33 – 17x – 17x22+15x-8+15x-8
d(x) = 3x – 4d(x) = 3x – 4
determinar, si es posible, dos polinomios c(x) determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales quey r(x) tales que
D(x) = d(x). C(x) + r(x) D(x) = d(x). C(x) + r(x)
de modo que el grado de r(x) sea menor que de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=Oel grado de d(x) o bien r(x)=Opp(x)(x)
-6x3 + 8x2
EjemploEjemplo
6x6x33 – 17x – 17x2 2 + 15x – 8 3x – 4+ 15x – 8 3x – 4
2x2
0x3 - 9x2+ 15x
- 3x
9x2- 12x
0x2+ 3x - 8
+ 1
-3x + 4
0x - 4
6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4
EjerciciosEjercicios
a)a) D(x) = 4xD(x) = 4x55 + 2x + 2x33 – 24x – 24x22 + 18x + 18x
d(x) = xd(x) = x22 – 3x – 3x
b)b) D(x) = 16xD(x) = 16x88 + 24x + 24x66 + 9x + 9x44
d(x) = 4xd(x) = 4x55 + 4x + 4x44 + 3x + 3x33 + 3x + 3x22
c)c) D(x) = 2xD(x) = 2x44 – 6x – 6x33 + 7x + 7x22 – 3x +2 – 3x +2
d(x) = x-2d(x) = x-2
División de PolinomiosDivisión de Polinomios
• Dados los polinomios D(x) y d(x); Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)d(x)OOpp(x), diremos que (x), diremos que d(x) divide a d(x) divide a
D(x)D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal quetal que
D(x) = d(x) . c(x)D(x) = d(x) . c(x)
EjerciciosEjercicios
• Dados los polinomios P(x) y Q(x) Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible indica si alguno de ellos es divisible por el otropor el otro
a)a) P(x) = xP(x) = x44 -2x -2x33 +x +x2 2 -5x + 1-5x + 1
Q(x) = xQ(x) = x33 + x + x22 + x + 1 + x + 1
b)b) P(x) = xP(x) = x44 +2x +2x33 +4x +4x2 2 + 8x +16+ 8x +16
Q(x) = xQ(x) = x55 - 32 - 32
Regla de Ruffini
3 -2 -5 -92
-3
División de un polinomio por otro División de un polinomio por otro de la forma (x-a)de la forma (x-a)
3x3x33 – 2x – 2x22 – 5x – 9 x – 2 – 5x – 9 x – 2- 3x- 3x33 + 6x + 6x22 3x 3x22 + 4x + 3 + 4x + 3
4x4x22 – 5x – 5x - 4x- 4x22 + 8x + 8x
3x – 93x – 9 -3x + 6-3x + 6
-3 -3 3
6
4
8
3
6
3x3x33 – 2x – 2x22 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x – 5x – 9 = ( x – 2)(3x22 + 4x + 3) + (-3) + 4x + 3) + (-3)
División de un polinomio por otro División de un polinomio por otro de la forma (x-a)de la forma (x-a)• División de P(x) = 3xDivisión de P(x) = 3x33 – 2x – 2x22 – 5x – 9 por (x-2) – 5x – 9 por (x-2)
realizada por la Regla de Ruffinirealizada por la Regla de Ruffini
3 -2 -5 -93 -2 -5 -9 2 6 8 62 6 8 6 3 4 3 -33 4 3 -3
1º operación : 3.2 -2 = 41º operación : 3.2 -2 = 4
2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 32º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3
3º operación : [3(2) 3º operación : [3(2) 22 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3
Por lo tanto 3.(2)Por lo tanto 3.(2)22 -2.(2) -2.(2)22 -5.2 -9 = -3 -5.2 -9 = -3
Raíces de un polinomioRaíces de un polinomio
• Un número real a es Un número real a es raíz de un raíz de un polinomiopolinomio P(x) si y solo si P(a) = 0 P(x) si y solo si P(a) = 0
• Ejercicio:Ejercicio:
Verifique que x=1 es raíz del polinomio Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3xP(x) = 3x22 + 2x – 5 + 2x – 5
Raíces de un PolinomioRaíces de un Polinomio
• Si un polinomio tiene coeficientes Si un polinomio tiene coeficientes enteros y enteros y aa es una raíz entera del es una raíz entera del polinomio entonces polinomio entonces a a divide al término divide al término independiente.independiente.
• Ejercicio: Calcular las raíces de Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2xP(x) = 2x3 3 - 2x- 2x2 2 - 16x + 24- 16x + 24
Ejercicio: Calcular las raíces deEjercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x P(x) = 2x3 3 - 2x- 2x2 2 - 16x + 24 - 16x + 24 • Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe
ser divisor de 24.ser divisor de 24.• Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)
2x2x33 – 2x – 2x22 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x – 16x + 24 = ( x – 2)(2x22 + 2x -12) + 2x -12)
Ver x=2 también es raíz de
2x2 + 2x -12
2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)
EjercicioEjercicio
• Calcular las raíces deCalcular las raíces de
P(x) = xP(x) = x44 - x - x33 - 6x - 6x22 + 4x + 8 + 4x + 8
P(x) = (x-2)2 (x+1) (x+2)
Resolver la siguiente Resolver la siguiente ecuaciónecuación
0)2(
1)2()2)(2)(2(
)2)(1()2(
0)2)(2)(4(
846
02
12
14
2
2
22
234
22
xxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxx
Soluciones de la Ecuación Soluciones de la Ecuación FraccionariaFraccionaria
Fracción algebraica• La Tierra y la Luna se La Tierra y la Luna se
atraen una a otra con atraen una a otra con una fuerza una fuerza FF que es que es directa-mente directa-mente proporcional al proporcional al producto de sus producto de sus masas masas mm11 y y mm22 e e inversamente inversamente proporcional al proporcional al cuadrado de la cuadrado de la distancia distancia dd entre entre ellas.ellas.
1 22
m mF G
d
1 22
m m
d
es una fracción algebraica
Una fracción algebraica es una expresión de la forma p y q son polinomios, y p se llama el numerador y q se llama el deno-minador de la fracción.
Ejemplo
son fracciones algebraicas
2
2 3,
2 1
x
x x
2 3
4 2 2 4
3
6 9
x y
x x y y
La mecanización de fracciones algebraicas es similar a la mecanización de fracciones comunes aritméticas, por lo que se recordará enseguida la mecanización aritmética de fracciones comunes.
Nota
,p
q en donde
Revisión de las operaciones con Revisión de las operaciones con fracciones comunesfracciones comunes
38 38 19 2
57 57 19 3
Para simplificar una fracción común, se divide el numerador y el denomi-nador entre el máximo común divisor (mcd) de ambos.
Ejemplo
Simplificar la fracción
Solución
El mcd de 38 y 57 es 19. Entonces se simplifica así:
38
57
38 38 19 2
57 57 19 3
38
57
Locadia viaja en un tren a 24 km por hora, y observa que otro tren estacionado en una vía paralela a la vía por la que viaja, pasa ante ella en 10 segundos. ¿Qué longitud tiene el tren estacionado?
Ejemplo
Solución
km 24 km24
h h
24 1000m 20 m
3600seg 3 seg
La velocidad en metros por segundo del tren en el cual viaja Locadia, se obtiene así:
Por tanto la longitud del tren estacionado, se determina como sigue:
20 m 10 seg 66 m
3 seg
Ejemplo
Solución
Dado que la pipa 1 tarda 20 minutos en llenar el depósito,
entonces llena parte del depósito en 1 minuto.
Dado que la pipa 2 tarda 30 minutos en llenar el depósito,
entonces llena parte del depósito en 1 minuto.
En una gasolinera hay dos pipas llenando el depósito de gasolina. La pipa 1 lo llena en 20 minutos y la pipa 2 en 30
minu tos. Si durante el tiempo de llenado se consume
del depósito por hora, ¿en cuánto tiempo se llena el depósito con las dos pipas llenando juntas?
1
12
1
20
1
30
1
12
1 1 1 +
20 30 720 36 24 1
=720
59
720
Finalmente, el tiempo en minutos que tardan en llenar el depósito las dos pipas juntas, se calcula así:
1 720 = 12.2
59 59720
Dado que se consume del depósito por hora, entonces en
un minuto se consume del depósito. Por tanto, lo
que las dos pipas juntas llenan del depósito por minuto se calcula como sigue:
1 1 1 +
20 30 720 36 24 1
=720
59
720
1 720 = 12.2
59 59720
1
12
1 12 1 =
60 720
2 1 3 1 =
2 1 3 1
a b b
a c c
2 3 1
=2 3 1
a b
a c
1
1
b
c
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.
Por ejemplo: Simplificar
Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3, ,
Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos.
2
2
33
6
x x y
x x y
x x y 3
x y
.2. x .x x y 2
x y
x
Simplificar
Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de simplificar hay que factorizarlo.
En este caso el método adecuado es sacar factor común así
3
2 3
x
x x
3 3 2
2 3 2 1
x x x
x x x x
2
.x
x 11
x
xx
Simplificar las siguientes fracciones algebraicas
1. Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador, basta dividir numerador y denominador por los factores comunes
2.
3. En esta fracción aparece una suma en el numerador y otra en el denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos sacar factor común en el numerador e en el denominador
2
3
15 3.5
25
a
a
2.a
5.5 2.a
3
5. aa
3
4 2
212
18
xy
x y
.2.3. x 2. y .
2
y
.3.3. x 3 2. .x y3
2
3
y
x
2x x
yx y
2 1x xx x
yx y
1y x x
y
2
1
2 1
x
x x
1. aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar, pero el denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una suma.
22
1 1 1
2 1 1
x x x
x x x
1x 1
11 xx
2
1
1
x
x
1. aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una diferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferencia
2
1 1
1
x x
x
1x 1
11 xx
Multiplicación y división de Multiplicación y división de Fracciones AlgebraicasFracciones Algebraicas• MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONESMULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES• Procedimiento para multiplicar fracciones Procedimiento para multiplicar fracciones
cuyo producto es irreduciblecuyo producto es irreducible• Multiplicar los numeradores, obteniéndose el Multiplicar los numeradores, obteniéndose el
numerador del producto.numerador del producto.• Multiplicar los denominadores, obteniéndose Multiplicar los denominadores, obteniéndose
el denominador del productoel denominador del producto
55
21
115
73
11
7
5
3
Ejemploa)
r
x
r
x
r
x
3
5
3
55
3b)
cad
ac
cad
ca
cad
ca
8
63
24
797
2
9
4c)
dy
cx
yd
xc
y
xc
d 5
2
5
2
5
2d)
ab
cxy
ab
cxy
ab
cxy
153535 e)
24
53
24
53
2
53
4
ar
ra
ar
ra
a
r
r
af)
• Procedimiento para multiplicar fracciones Procedimiento para multiplicar fracciones cuyo producto se puede simplificarcuyo producto se puede simplificar
• Descomponer en factores los polinomios que Descomponer en factores los polinomios que figuran en los numeradores y denominadores.figuran en los numeradores y denominadores.
• Dividir por los factores comunes del Dividir por los factores comunes del numerador y denominador.numerador y denominador.
• Multiplicar los factores restantes.Multiplicar los factores restantes.
12712
968por
352
4562
2
2
2
xx
xx
xx
xx
1
12
1344332
12344332
3443132
32341243
12712352
968456
12712
968
352
45622
22
2
2
2
2
x
x
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
xx
Multiplica
SOLUCIÓN:
• DIVISIÓN DE FRACCIONESDIVISIÓN DE FRACCIONES• Para dividir una fracción se multiplica Para dividir una fracción se multiplica
por la fracción recíprocapor la fracción recíproca
127
472
39
142
2
2
2
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
3
21
3
12
412
43
33
1212
472
127
39
14
11
11
1
1
2
2
2
2
1
62
2
x
xx
21
3
2211
123
41
16
4
1
1
6
1
4
1
622
2
22
22
2
2
xx
x
xxxx
xxx
xx
xxx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
EjemploDividir
Como se ha indicado, invertimos el divisor y luego procedemos como en la multiplicación.
EjemploDividir
Fracciones compuestasFracciones compuestas
• Las fracciones compuestas son Las fracciones compuestas son aquellas cuyo numerador y/o aquellas cuyo numerador y/o denominador son fraccionesdenominador son fracciones
Ejemplo: ; ;
• También se pueden presentar fracciones También se pueden presentar fracciones compuestas que contenga en su numerador compuestas que contenga en su numerador y/o denominador operaciones, las cuales y/o denominador operaciones, las cuales deben desarrollarse en primer lugar para deben desarrollarse en primer lugar para luego resolver como los casos anteriormente luego resolver como los casos anteriormente dados.dados.
Ejemplo:
Adición y Sustracción de Adición y Sustracción de Fracciones AlgebraicasFracciones Algebraicas• Adición o sustracción de expresiones Adición o sustracción de expresiones
racionales con denominadores comunes.racionales con denominadores comunes.• ProcedimientoProcedimiento• Poner el denominador común y sumar Poner el denominador común y sumar
algebraicamente los numeradores.algebraicamente los numeradores.• Reducir la fracción que resulte.Reducir la fracción que resulte.• Al sumar algebraicamente los numeradores Al sumar algebraicamente los numeradores
encerrar cada polinomio numerador en un encerrar cada polinomio numerador en un paréntesis precedido del signo que paréntesis precedido del signo que corresponde a su fracción.corresponde a su fracción.
Ejemplo
315
5
15
472
15
4
15
7
15
2
3
1
aaaaaaaa
3
3
33
3
93
3
925
3
92
3
5
aaaaaaa
b)
c)
• Adición o sustracción de expresiones Adición o sustracción de expresiones racionales con denominadores distintos.racionales con denominadores distintos.
• Para sumar o restar fracciones con Para sumar o restar fracciones con denominadores diferentes, primero las denominadores diferentes, primero las convertimos a fracciones que tengan el convertimos a fracciones que tengan el mismo denominador. Cuando los mismo denominador. Cuando los denominadores son opuesto multiplicamos denominadores son opuesto multiplicamos una de ellas por 1, escrito en la forma , para una de ellas por 1, escrito en la forma , para obtener un común denominador.obtener un común denominador.
Ejemplo: Sumar
Cuando los denominadores de dos o más fracciones son distintos, en ocasiones es necesario multiplicar una o más fracciones por 1, escrito en la forma adecuada, para obtener un común denominador.
xy
y
yx
x
1
1
1
yx
yx
yx
y
yx
x
xy
y
yx
x
xy
y
yx
x
xy
y
yx
xSOLUCIÓN:
EjemploEfectúa la siguiente operación:
yx
x
yx
y
yx
xyx
4663
222
3
yxyx
xyx
yxyx
yxy
yxyx
xyx
yx
x
yx
y
yx
xyx
12
33
12
22
12
84
4663
2 223
22
3
yxyx
yxyxx
yxyx
xyxyxyxyx
12
2334
12
332284
223
223
2
1
23
1
4
2222
xx
x
xxx
x
122 xxx
212
443
212
2222
212
212112
221
21
212
21
122
12
21
1
12
1
22
2
2
1
23
1
4
2
222
222
xxx
xx
xxx
xxxxx
xxx
xxxxx
xxx
xx
xxx
x
xxx
xx
xx
x
xxxx
x
xx
x
xxx
x
12
23
212
223
212
443 2
xx
x
xxx
xx
xxx
xx
Hacer las operaciones indicadas
SOLUCIÓN: Factorizamos cada denominador para encontrar el MCD=
En este caso se puede simplificar el resultado final
