Calcolo Numerico - 2 - Numeri Di Macchina

NumeriNumeri didimacchinamacchina

Luca Zanni , Marco Prato

Calcolo NumericoCorsi di Laurea in Matematica e Informatica

RappresentazioneRappresentazione internainterna deidei numerinumeri

A causa della limitata lunghezza della locazione di memoriadisponibile per rappresentare i numeri, si possonorappresentare solo un intervallo limitato di numeri interi e uninsieme finito di numeri reali

I numeri rappresentabili esattamente sul calcolatore sonodetti numeri finiti o numeri di macchina

NumeriNumeri interiinteri

Sia M il numero di bits riservati per la rappresentazione di unnumero in un elaboratore

Interi positivi

Sono caratterizzati da una rappresentazione binaria con il primobit uguale a 0bit uguale a 0

Ad esempio, n = 109 su 16 bit (M = 16) ha una rappresentazioneinterna

00000000 01101101

(109)10 = (1101101)2


Il massimo numero intero positivo rappresentabile esattamentecon M bits è dato da

Nmax = 2(M-1)-1

011……………1

Esempi:

M = 16Nmax = 215-1 = 32767

M = 32Nmax = 231-1 = 2147483647


Interi negativi

Per unificare le operazioni di addizione e sottrazione si usarappresentare i numeri interi negativi nella forma complemento adue. Sia –n il numero intero negativo da rappresentare con Mbits:

- si considera la rappresentazione di n su M bits

- si invertono logicamente tutte le M cifre

- si somma 1 al risultato dell’inversione logica


Esempio: rappresentazione interna di n = -5 su M = 16 bits

- Si considera la rappresentazione di 5 su 16 bits

00000000 00000101

- Si esegue l’inversione logica delle 16 cifre

11111111 11111010

- Si somma 1 al risultato dell’inversione logica

11111111 11111011


Il minimo numero intero negativo rappresentabile esattamentecon M bits è dato da

Nmin = -2(M-1)

100……………0Esempi:Esempi:

M = 16Nmin = -215 = -32768

M = 32Nmin = -231 = -2147483648

Quando si cerca di rappresentare un numero n > Nmax o n < Nmin siparla di overflow


I numeri interi rappresentabili con M bits sono quindi

2(M-1) – 1 + 2(M-1) + 1 = 2M

Esempio: M = 4 bits

positivi negativi lo zero

Esempio: M = 4 bits

0 111 7 1 111 -10 110 6 1 110 -20 101 5 1 101 -30 100 4 1 100 -40 011 3 1 011 -50 010 2 1 010 -60 001 1 1 001 -70 000 0 1 000 -8

NumeriNumeri realireali

Sia x ≠ 0 il numero reale che si vuole rappresentare.Consideriamo il numero scritto in rappresentazione binaria, connotazione posizionale e con la prima cifra significativa (che èsempre 1) a sinistra del punto radice1:

x = (-1)s · 1.a1a2a3… · 2p

Si devono memorizzare:- s (0 se x > 0, 1 se x < 0) � 1 bit- le cifre a1a2a3… della mantissa � t bits- la caratteristica p (Emin ≤ p ≤ Emax) � l bits (la rappresentazionedi p è traslata: si rappresenta p + bias)

1: rappresentazione nel formato IEEE (Institute of Electrical and ElectronicsEngineers) standard for binary floating-point arithmetic, documento 754dell’ANSI


I bit riservati per la memorizzazione in precisione semplice (32bit) e in precisione doppia (64 bit) di un numero reali sono cosìdistribuiti:

precisione semplice

precisione doppiasemplice doppia

n. bitstl

biasEminEmax

32 (4 bytes)1238127-126127

64 (8 bytes)15211

1023-10221023


Precisione semplice

s p mantissa

32 bits

8 bits 23 bits

Precisione doppia

s p mantissa

8 bits 23 bits

64 bits

11 bits 52 bits

EsempioEsempio

Rappresentazione interna di x = (4.25)10 in precisione semplice

x = (100.01)2 = 1.0001 · 22

- s = 0 (x > 0)- le cifre della mantissa da memorizzare sono 0001- l’esponente è 2 ma si deve memorizzare in forma traslata (p +- l’esponente è 2 ma si deve memorizzare in forma traslata (p +bias)

01000000 10001000 00000000 00000000

caratteristica mantissa

p 0 0 0 0 0 0 1 0

bias (127) 0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0 1

segno


Numero positivo più piccolo rappresentabile in precisione semplice:

xmin = 1.00…0 · 2-126 ~ 1.17 · 10-38

00000000 10000000 00000000 00000000

Numero positivo più grande rappresentabile in precisione semplice:Numero positivo più grande rappresentabile in precisione semplice:

xmax = 1.11…1 · 2127 ~ 3.40 · 1038

01111111 01111111 11111111 11111111

Precisione doppia:

xmin = 1.00…0 · 2-1022 ~ 2.22 · 10-308 , xmax = 1.11…1 · 21023 ~ 1.7 · 10308

OsservazioneOsservazione

Il valore di p corrispondente alla configurazione degli l bit inprecisione semplice è il seguente:

configurazione degli 8 bit p00000000 (*)00000001 -126 (Emin)00000010 -125

mantissa con tutti bit nulli:rappresentazione di 0

mantissa con bit non nulli:rappresentazione dei00000010 -125

011111110 -1011111111 010000000 110000001 2

11111110 127 (Emax)11111111 (**)

rappresentazione deinumeri denormalizzati

mantissa con tutti bit nulli:rappresentazione di Inf

mantissa con bit non nulli:rappresentazione di Nan

ErroreErrore didi rappresentazionerappresentazione

Rappresentando un numero reale x = ±m·βp su un calcolatore (con tbit a disposizione per la mantissa), si presenta uno dei seguentiquattro casi:

1. x può essere rappresentato in modo esatto (numero dimacchina)

2. x è, in valore assoluto, più piccolo del più piccolo numero2. x è, in valore assoluto, più piccolo del più piccolo numeropositivo rappresentabile (p < Emin). In questo caso si verifica ununderflow e generalmente si assume 0 come valoreapprossimato di x (con eventuale segnalazione di warning)

3. x è, in valore assoluto, più grande del più grande numeropositivo rappresentabile (p > Emax). In questo caso si verifica unoverflow, x viene approssimato con ±∞ a seconda del segno e ilsistema arresta il calcolo

ErroreErrore didi rappresentazionerappresentazione

Rappresentando un numero reale x = ±m·βp su un calcolatore (con tbit a disposizione per la mantissa), si presenta uno dei seguentiquattro casi:

4. la caratteristica è rappresentabile in modo esatto (Emin ≤ p ≤Emax), ma la mantissa m di x non è rappresentabile con t cifre.In questo caso il numero x = ±a1a2a3…·βp viene approssimato conIn questo caso il numero x = ±a1a2a3…·βp viene approssimato conil numero di macchina x’ = ±m’·βp , con

<

≥+

=

=

+

+

−

βaa

βaβa

aaaa

aaa

m

tt

t

t

t

tt

t

2

1 se

2

1 se

....0

....0

'

1

1

21

21

arrotondamento

troncamento

EsempiEsempi

- β = 10, t = 4tr(x) = 0.3478·103

x = 0.347821·103

rd(x) = 0.3478·103

tr(x) = 0.3478·103

x = 0.347891·103

rd(x) = 0.3479·103rd(x) = 0.3479·103

- β = 2, t = 4tr(x) = 0.1011·210

x = 0.101101·210

rd(x) = 0.1011·210

tr(x) = 0.1011·210

x = 0.101110·210

rd(x) = 0.1100·210

PrecisionePrecisione didi macchinamacchina

TeoremaTeorema

Siano x un numero reale non nullo, x’ approssimazione di macchinadi x. L’errore relativo che si commette approssimando x con x’ è

=≤

−

≡−

−

t

t

xβ

β

epsepsx

xxε

1

1

1 ,'

arrotondamento

troncamento

−tβx 1

2arrotondamento

La quantità eps è detta precisione di macchina ed è definita comeil più piccolo numero di macchina che sommato a 1 restituisce comenumero di macchina un numero maggiore di 1

Su calcolatore la precisione di macchina è data da:

21-(23+1) = 2-23 ~ 1.19·10-7 (32 bit)eps =

21-(52+1) = 2-52 ~ 2.22·10-16 (64 bit)

N.B.: il +1 corrisponde allacifra a sinistra del puntoradice che, essendo sempre 1,non viene memorizzata

OperazioniOperazioni tratra interiinteri didi macchinamacchina

Addizione tra interi di macchina

Siano x’ e y’ due numeri interi rappresentabili su M bit. Si possonoavere due casi:

1. la somma z = x’ + y’ richiede M cifre � la sua rappresentazionedi macchina z’ coincide con zdi macchina z’ coincide con z

Esempio: M = 5, x’ = 10101, y’ = 00111 � z = 11100 � z’ = z

2. la somma z = x’ + y’ richiede M+1 cifre � la suarappresentazione di macchina z’ coincide con un numero congruo az modulo 2M (ovvero, z - z’ = k · 2M, con k numero intero). In questocaso si dice che l’addizione ha provocato un traboccamento

Esempio: M = 5, x’ = 10101, y’ = 01101 � z = 100010� z’ = 00010


Sottrazione tra interi di macchina

Siano x’ e y’ due numeri interi rappresentabili su M bit.L’operazione z = x’ - y’ viene eseguita come la somma di x’ con ilcomplemento a due di y’

Esempi:

- M = 4, x’ = 0010, y’ = 0011 � z = 0010 – 0011 = 0010 + 1101 = 1111

� z’ = z

- M = 4, x’ = 0101, y’ = 0011 � z = 0101 – 0011 = 0101 + 1101 = 10010

� z’ = 0010


Moltiplicazione tra interi di macchina

Siano x’ e y’ due numeri interi rappresentabili su M bit.L’operazione z = x’ * y’ può essere ricondotta ad una sequenza diaddizioni e di spostamenti a destra della stringa delle cifre

Per il calcolo si utilizzano due accumulatori A e B; l’accumulatore APer il calcolo si utilizzano due accumulatori A e B; l’accumulatore Aè formato da M bit mentre l’accumulatore B è composto da dueparti, la prima di M+1 bit (che chiameremo R) e la seconda di M bit.Il numero di macchina x’ viene memorizzato in A mentre y’ nellaseconda parte di B. In R si memorizza il numero r inizializzato a 0

Seguiamo il procedimento con un esempio pratico



Esempio: M = 6, x’ = 000011, y’ = 000101

A 000011 B 0000000 000101

Si calcola 1*x’+r (1 è la cifra di y’ associata a 20) e il risultato lo si memorizza in R

A 000011 B 0000011 000101

R

A 000011 B 0000011 000101

Si esegue uno spostamento di un bit verso destra in B

A 000011 B 0000001 100010

Si calcola 0*x’+r (0 è la cifra di y’ associata a 21) e il risultato lo si memorizza in R

A 000011 B 0000001 100010

Si esegue uno spostamento di un bit verso destra in B

A 000011 B 0000000 110001

passopasso 11

passopasso 22



A 000011 B 0000000 110001

Ripetendo i passi precedenti si ottiene

A 000011 B 0000011 110001 1*x’ + r

A 000011 B 0000001 111000 spostamento a destra

R

passopasso 33

passopasso 66

passopasso 55

passopasso 44A 000011 B 0000001 111000 0*x’ + r


A 000011 B 0000000 111100 0*x’ + r


A 000011 B 0000000 011110 0*x’ + r


Dopo M passi, in B è memorizzato z = x’ * y’ e nella seconda parte di B la sua rappresentazione di macchina z’

passopasso 11



Esempio: M = 3 , β = 10, x’ = 215, y’ = 162

A 215 B 0000 162

A 215 B 0430 162 2*x’ + r

passopasso 33

passopasso 22


A 215 B 1333 016 6*x’ + r


A 215 B 0348 301 1*x’ + r



Divisione tra interi di macchina

Siano x’ e y’ due numeri interi rappresentabili su M bit.L’operazione z = x’ / y’ può essere ricondotta ad una sequenza disottrazioni e di spostamenti a sinistra della stringa delle cifre

Per il calcolo si utilizzano due accumulatori A e B; l’accumulatore APer il calcolo si utilizzano due accumulatori A e B; l’accumulatore Aè formato da M bit mentre l’accumulatore B è composto da dueparti, entrambe di M bit (che chiameremo R e Q). Il numero dimacchina y’ viene memorizzato in A mentre x’ in R. In Q simemorizza il numero q inizializzato a 0

Anche in questo caso seguiamo il procedimento con un esempiopratico



Esempio: M = 6, x’ = 010000, y’ = 000101

Inizialmente si eseguono s spostamenti verso destra nell’accumulatore B, fino aquando in R c’è un numero r tale che y’ ≤ r < βy’.La divisione sarà composta da s + 1 passi

A 000101 B 010000 000000

R Q

A 000101 B 010000 000000

s = 1 (y’ = 000101, βy’ = 001010)

A 000101 B 001000 000000

Si calcola il numero intero q tale che qy’ ≤ r < (q+1)y’ e r = r – qy’. Al primo passo siha q = 1 e r = 000011

A 000101 B 000011 000001

Si esegue lo spostamento di un bit verso sinistra in B

A 000101 B 000110 000010 passopasso 11



Esempio: M = 6, x’ = 010000, y’ = 000101

A 000101 B 000110 000010

Si calcola il numero intero q tale che qy’ ≤ r < (q+1)y’ e r = r – qy’. Al secondo e

R Q

Si calcola il numero intero q tale che qy’ ≤ r < (q+1)y’ e r = r – qy’. Al secondo eultimo passo (s + 1 = 2) si ha q = 1 e r = 000001

A 000101 B 000001 000011

Alla fine del procedimento, in Q è memorizzato il quoziente della divisione (q =000011) e in R rimane memorizzato il resto (r = 000001)

passopasso 22



Esempio: M = 4, β = 10, x’ = 3151, y’ = 0012

A 0012 B 3151 0000

A 0012 B 0031 5100 spostamento a destra (s = 2)

passopasso 33

passopasso 22

passopasso 11A 0012 B 0007 5102 q = 2, r = 7

A 0012 B 0075 1020 spostamento a sinistra

A 0012 B 0003 1026 q = 6, r = 3

A 0012 B 0031 0260 spostamento a sinistra

A 0012 B 0007 0262 q = 2, r = 7

quozienteresto

OperazioniOperazioni tratra realireali didi macchinamacchina

Addizione e sottrazione tra reali di macchina

Siano

x’ = ±m’x·βp = (0.x1x2…xt) (x1 ≠ 0) , y’ = ±m’y·βq = (0.y1y2…yt) (y1 ≠ 0)

due numeri reali di macchina rappresentati in base β con t cifredue numeri reali di macchina rappresentati in base β con t cifredella mantissa. Si vuole calcolare z’ = ±m’z·βs, approssimazione dimacchina di z = x’ ± y’. Si eseguono i seguenti tre passi:

1. Confronto degli esponenti:- se p = q, si va al passo 2 con m’y = m’y = 0.y1y2…yt- se p ≠ q (ad es. p > q), si divide m’y per βp-q e si costruiscem’y = 0.00…0y1y2…yt

p-q


Addizione e sottrazione tra reali di macchina

2. Somma delle mantisse: si esegue mz = m’x ± m’y- se mz = 0, allora z’ = 0- se la somma ha provocato traboccamento, si divide mz per β,si sceglie come m’z il troncamento (arrotondamento) alla t-esima cifra del risultato di tale divisione e si pone s = p + 1esima cifra del risultato di tale divisione e si pone s = p + 1- se la somma non ha provocato traboccamento e le prime r ≥ 0cifre di mz sono nulle, si moltiplica mz per βr, si sceglie come m’zil troncamento (arrotondamento) alla t-esima cifra delrisultato di tale moltiplicazione e si pone s = p – r

3. Controllo della caratteristica: si esamina se Emin ≤ s ≤ Emax(intervallo di rappresentazione della caratteristica)


Esempio: sommare i numeri di macchina

x’ = 0.12345678·102, y’ = 0.23456789·10-1 (β=10, t=8)

Seguendo il procedimento descritto si hanno p = 2 e q = -1, dunque

m’y = 0.00023456789m’y = 0.00023456789

Si sommano le mantisse:

mz = 0.12345678 + 0.00023456789 = 0.12369134789

La somma non ha provocato traboccamento, r = 0, s = p - r = 2 em’z = 0.12369134. Quindi

z’ = 0.12369134·102

p-q=3



x’ = 0.75869978·102, y’ = 0.98151815·102 (β=10, t=8)

Seguendo il procedimento descritto si hanno p = 2 e q = 2, dunque

m’y = 0.98151815m’y = 0.98151815

Si sommano le mantisse:

mz = 0.75869978 + 0.98151815 = 1.74021793

La somma ha provocato traboccamento: si divide mz per 10 (mz =0.174021793), si definisce m’z = 0.17402179 e si pone s = p + 1 = 3.Quindi

z’ = 0.17402179·103



x’ = 0.75869978·102, y’ = -0.75868863·102 (β=10, t=8)

Seguendo il procedimento descritto si hanno p = 2 e q = 2, dunque

m’y = 0.75868863m’y = 0.75868863

Si sottraggono le mantisse:

mz = 0.75869978 - 0.75868863 = 0.00001115

La somma non ha provocato traboccamento: si moltiplica mz per 104

(mz = 0.1115), si definisce m’z = 0.11150000 e si pone s = p - r = -2.Quindi

z’ = 0.11150000·10-2

r=4


Moltiplicazione tra reali di macchina

Siano


due numeri reali di macchina rappresentati in base β con t cifredue numeri reali di macchina rappresentati in base β con t cifredella mantissa. Si vuole calcolare z’ = ±m’z·βs, approssimazione dimacchina di z = x’ * y’. Si eseguono i seguenti due passi:

1. Moltiplicazione delle mantisse: si calcola mz = m’x * m’y (mz ha 2tcifre)- se la prima cifra di mz è 0, si moltiplica mz per β e si pone r = 1- se la prima cifra di mz è diversa da 0, si pone r = 0La mantissa m’z di z’ è il troncamento (arrotondamento) alla t-esimacifra di mz


Moltiplicazione tra reali di macchina

2. Controllo della caratteristica: si pone s = p + q – r e si esaminase Emin≤ s ≤Emax (intervallo di rappresentazione della caratteristica)

Esempio: moltiplicare i numeri di macchina

x’ = 0.11111·101, y’ = 0.33333·103 (β=10, t=5)x’ = 0.11111·101, y’ = 0.33333·103 (β=10, t=5)

Moltiplicando le mantisse si ottiene

mz = 0.11111 * 0.33333 = 0.0370362963

Essendo la prima cifra di mz nulla, si moltiplica mz per 10 (mz =0.370362963), si definisce m’z = 0.37036 e si pone s = p + q - r = 3.Quindi

z’ = 0.37036·103


Divisione tra reali di macchina

Siano


due numeri reali di macchina rappresentati in base β con t cifredue numeri reali di macchina rappresentati in base β con t cifredella mantissa. Si vuole calcolare z’ = ±m’z·βs, approssimazione dimacchina di z = x’ / y’. Si eseguono i seguenti tre passi:

1. Confronto delle mantisse- se m’x ≥ m’y , si definisce m’x come la divisione di m’x per β e si pone

r = 1- se m’x ≥ m’y , si definisce m’x = m’x e si pone r = 0


Divisione tra reali di macchina

2. Divisione delle mantisse: si calcola mz = m’x / m’y . La mantissa m’zdi z’ è il troncamento (arrotondamento) alla t-esima cifra di mz

3. Controllo della caratteristica: si pone s = p - q + r e si esaminase Emin≤ s ≤Emax (intervallo di rappresentazione della caratteristica)

Esempio: dividere i numeri di macchina

x’ = 0.30200·10-2, y’ = 0.15000·103 (β=10, t=5)

La mantissa di x’ è maggiore di quella di y’, dunque m’x = 0.030200 er = 1. Quindi

mz = 0.030200 / 0.15000 = 0.2013333

Si ha s = p – q + r = -4,z’ = 0.20133·10-4

ConsiderazioniConsiderazioni sull’aritmeticasull’aritmeticadidi macchinamacchina

In aritmetica di macchina non valgono le seguenti (*):

- proprietà associativa per prodotto e somma: può accadere che

fl(fl(x’+y’)+z’) ≠ fl(x’+fl(y’+z’)) ≠ fl(fl(x’+z’)+y’)fl(fl(x’*y’)*z’) ≠ fl(x’*fl(y’*z’)) ≠ fl(fl(x’*z’)*y’)

- proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: può- proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: puòaccadere che

fl(fl(x’+y’)*z’) ≠ fl(fl(x’*z’)+fl(y’*z’))

- legge dell’annullamento del prodotto (fl(x’*y’) = 0 non implica cheuno tra x’ e y’ sia necessariamente uguale a 0)

- unicità dell’elemento neutro rispetto alla somma: può accadereche fl(x’+y’) = x’ con y’ ≠ 0

(*) si indichi con x’ o con fl(x) il numero di macchina che approssima il numero reale x


Esempio: non validità delle proprietà associativa della somma

Supponiamo di avere i tre numeri

a = 0.1234567, b = 6666.325, c = -6666.325

e di utilizzare l’aritmetica di macchina con β = 10 e t = 7. Si ha

a’ = 0.1234567·100, b’ = 0.6666325·104, c’ = -0.6666325·104a’ = 0.1234567·100, b’ = 0.6666325·104, c’ = -0.6666325·104

Eseguiamo la somma dei tre numeri in due modi diversi:

1. z = b’ + c’ � calcolo di z’ � s = z’ + a’ � calcolo di s’Si ottiene: z = 0; z’ = 0; s = 0.1234567·100; s’ = s

2. z = a’ + b’ � calcolo di z’ � s = z’ + c’ � calcolo di s’Si ottiene: z = 0.1234567·100 + 0.6666325·104 = 0.66664484567·104

z’ = 0.6666448·104; s = 0.0000123·104; s’ = 0.1230000·100


Esempio: non unicità dell’elemento neutro per la somma

Sianox’ = 0.62379·107, y’ = 0.32881·101

due numeri di macchina rappresentati in base β = 10 con t = 5 cifreper la mantissa. Si haper la mantissa. Si ha

z = x’ + y’ = (0.62379 + 0.00000032881)·107 = 0.62379032881·107

z’ = 0.62379·107 = x’


Esempio: il prodotto di macchina tra due numeri di macchina puòessere nullo anche se entrambi i numeri sono non nulli

Sianox’ = 1.0·10-30, y’ = 1.0·10-20

due numeri di macchina rappresentati in base β = 2 in precisionedue numeri di macchina rappresentati in base β = 2 in precisionesemplice (t = 32 cifre per la mantissa). Il prodotto tra x’ e y’ è

z = x’ * y’ = 1.0·10-50

che il calcolatore arrotonda a 0 (underflow)

ErroreErrore sullesulle operazionioperazioni didi macchinamacchina

Se x è un numero reale e x’ è la sua approssimazione di macchina,valgono le formule equivalenti

x

xx

εηepsη

xx

epsεεxx

−=≤=

≤+=

, ,'

),1('

Indichiamo con il simbolo # una generica operazione aritmetica.Il risultato z di un’operazione tra due numeri di macchina x’, y’ puònon essere un numero di macchina: la sua approssimazione z’ è

oppure

x

xxx

x εηepsη

ηx

+

=≤

+

=

1 , ,

1'

epsηη

yx

η

zz

epsεεyxεzz

≤

+

=

+

=

≤+=+=

,1

'#'

1'

),1)('#'()1('

ErroreErrore sullesulle operazionioperazioni didi macchinamacchina

Tenendo conto delle espressioni di x’ e y’

epsεεyxεzz ≤+=+= ),1)('#'()1('

epsεεεyyεxx yxyx ≤+=+= , ),1(' ),1('

si ha

Vediamo ora come si comportano le singole operazioni elementarinel dettaglio

epsεεεεεyεxz yxyx ≤+++= ,, ),1))(1()#1(('

ErroreErrore sullesulle operazionioperazioni didi macchinamacchinaSomma

Sia S = x + y la somma algebrica di due numeri reali x e y; la sommacalcolata risulta essere

L’errore relativo che si commette, trascurando i termini quadraticidell’errore (simbolo =), risulta

epsεεεεεyεxS yxyx ≤++++= ,, ),1))(1()1(('

·dell’errore (simbolo =), risulta

In dettaglio e passando ai valori assoluti

εεyx

yε

yx

x

S

SSε yxS +

+

+

+

=−

=' ·

·

)(1 2

epsOepsyx

y

yx

x

εεyx

yεε

yx

xεε

yx

yε

yx

xε yxyxS

+

+

+

+

+

≤

+

+

+

++

+

+

+

=

N.B.: si dice che f(x) ≤ O(g(x))

se esiste C > 0 t.c. |f(x)| ≤ C · |g(x)|

CancellazioneCancellazione didi cifrecifre

Consideriamo i numeri reali x = 0.12345789, y = -0.12343211. Sianox’ = 0.12345·100, y’ = -0.12343·100 le loro approssimazioni dimacchina in base β = 10 con t = 5 cifre per la mantissa.La somma esatta risulta S = 0.2578·10-4 mentre la somma calcolataS’ = 0.00002·100 = 0.20000·10-4.L’errore relativo che si commette è

Poiché i due numeri risultavano essere quasi uguali in valoreassoluto ma di segno opposto, la somma delle mantisse ha causatozeri dopo il punto radice e, dovendo normalizzare il risultato, sonoentrate da destra delle cifre nulle (quelle in rosso). Questapatologia prende il nome di fenomeno della cancellazione di cifre

1102.2...22420.0

'−

⋅≈=−

=

S

SSεS

ErroreErrore sullesulle operazionioperazioni didi macchinamacchinaMoltiplicazione

Sia P = x * y il prodotto algebrico tra due numeri reali x e y; ilprodotto calcolato risulta essere

L’errore relativo che si commette, trascurando i termini quadraticie cubici dell’errore, risulta

epsεεεεεyεxP yxyx ≤+++= ,, ),1))(1(*)1(('

e cubici dell’errore, risulta


εεεP

PPε yxP ++=

−=

' ·

)(3 2

epsOeps

εεεεεεεεεεεεε yxyxyxyxS

+≤

++++++=

ErroreErrore sullesulle operazionioperazioni didi macchinamacchinaDivisione

Sia Q = x / y la divisione algebrica tra due numeri reali x e y; ladivisione calcolata risulta essere

Moltiplicando numeratore e denominatore per (1-εy) e trascurando

epsεεεεεy

εxQ yx

y

x≤+

+

+= ,, ),1(

)1(

)1('

Moltiplicando numeratore e denominatore per (1-εy) e trascurandotermini quadratici e cubici, l’errore relativo commesso risulta


εεεQ

QQε yxQ +−=

−=

' ·

)(3 2

epsOeps

εεεεεεεεεεεεε yxyxyxyxQ

+≤

−−−++−=

ErroreErrore inerenteinerente e e erroreerrore algoritmicoalgoritmico

In generale, l’errore relativo commesso durante il calcolo diun’espressione razionale φ(x) a partire da un dato x si compone didue parti: l’errore inerente e l’errore algoritmico

L’errore inerente dipende dal problema ed è dovuto al fatto che ildato x non è rappresentato in maniera esatta ma attraverso lacorrispondente approssimazione di macchina x’corrispondente approssimazione di macchina x’

Dati Risultati

x

x’φ(x)

φ(x’)

aritmetica esatta

ErroreErrore inerenteinerente

Se εdati è grande rispetto a εx, allora il problema si dice malcondizionato. Quello che succede è che a piccole variazioni sui dati

x

xxεx

'−

=

)(

)'()(

xφ

xφxφεdati

−

=

Errore relativo sui dati Errore relativo sui risultati

condizionato. Quello che succede è che a piccole variazioni sui daticorrispondono grandi variazioni sui risultati

Il condizionamento è una caratteristica inerente al problema chesi sta affrontando ed esprime quanto esso sia sensibile ad unavariazione dei dati

CondizionamentoCondizionamento

Le operazioni di moltiplicazione e di divisione tra due numeri realisono problemi ben condizionati

L’operazione di somma tra due numeri reali è un problema ben

)(3 , )(3 22

epsOepsεepsOepsε QP +≤+≤

L’operazione di somma tra due numeri reali è un problema bencondizionato a meno che non abbiano valore assoluto molto simile esegno opposto. In tal caso, l’errore relativo può essere grande e,come abbiamo visto, si ha il fenomeno della cancellazione di cifre

)(12

epsOepsyx

y

yx

xεS +

+

+

+

+

≤

ErroreErrore inerenteinerente e e erroreerrore algoritmicoalgoritmico

L’errore relativo commesso durante il calcolo di un’espressionerazionale φ(x) a partire da un dato x si compone di due parti:l’errore inerente e l’errore algoritmico

L’errore algoritmico non dipende intrinsecamente dal problema madipende dall’algoritmo usato per risolvere il problema stesso

Dati Risultati

x φ(x)

fl(φ(x’))

aritmetica esatta

ErroreErrore algoritmicoalgoritmico e e stabilitàstabilità

Un algoritmo si dice stabile se l’errore relativo generato εalg èpiccolo, ovvero se l’algoritmo non è troppo sensibile agli errori

)(

))(()(

xφ

xφflxφε lga

−

=

Errore relativo sui risultati

piccolo, ovvero se l’algoritmo non è troppo sensibile agli erroriintrodotti con le operazioni di macchina richieste dell’algoritmostesso

Al contrario del condizionamento, la stabilità è una proprietàdell’algoritmo e non del problema

ErroreErrore totaletotale

L’errore totale deve tener conto sia della presenza di datiapprossimati sia degli errori introdotti ad ogni operazioneelementare dall’algoritmo usato per risolvere il problema

In prima approssimazione, l’errore totale è dunque la sommadell’errore inerente e dell’errore algoritmico

Dati Risultati

x φ(x)

fl(φ(x’))

aritmetica esatta

x’

SommaSomma didi tretre numerinumeriEsempio: siano a, b, c numeri reali di cui si vuole calcolare la sommas = a + b + c

Errore inerente (dati perturbati, aritmetica esatta)

dati:

algoritmo:

epsεεεεccεbbεaa cbacba ≤+=+=+= ,, ),1('),1('),1('

'~ 2. ''~ .1 czvbaz +=+=

errore:

Errore algoritmico (dati esatti, aritmetica di macchina)

dati:

algoritmo:

errore:

cbadati εcba

cε

cba

bε

cba

a

s

vsε

++

+

++

+

++

=−

=·

ccbbaa === ',','

21εε

cba

ba

s

wsε lga +

++

+=

−=

epsεεεczwεbaz ≤++=++=2121

, ),1)(ˆ( 2. )1)((ˆ .1

·

SommaSomma didi tretre numerinumeriEsempio: siano a, b, c numeri reali di cui si vuole calcolare la sommas = a + b + c

Errore totale (dati perturbati, aritmetica di macchina)

dati:

algoritmo:

epsεεεεccεbbεaa cbacba ≤+=+=+= ,, ),1('),1('),1('

epsεεεczsεbaz ≤++=++=2121

, ),1)(''(' 2. )1)(''(' .1

errore:

21

'εε

cba

baε

cba

cε

cba

bε

cba

a

s

ssε cbatot +

++

++

++

+

++

+

++

=−

=·

2121

errore inerente errore algoritmico

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Calcolo Numerico - 2 - Numeri Di Macchina