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javier-velasquez-espinoza
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DEFINICIÓN:DEFINICIÓN: El determinante es un número real que se asocia a toda matriz cuadrada Amatriz cuadrada A; denotado por:
12 5
7 3A
0 3 2-
4 1- 5
7 0 2
B
1A
67B
|A|, det(A), D(A)
Pero… ¿cómo se obtiene el determinante de una matriz?
Así:
A
B
- - - + + +METODO DE SARRUSMETODO DE SARRUS
=
=
=
=
3 . 12 5 . 7
0 + 0 + 105
0 – 24 – 14
-
-
=
=
1
67
+
-
CALCULO DE UN DETERMINANTE CALCULO DE UN DETERMINANTE DE ORDEN 3 POR MEDIO DE DE ORDEN 3 POR MEDIO DE
COFACTORESCOFACTORES
3 1 0
2- 4 3
1- 2 7
A
Se pueden elegir filas o columnas, pero es Se pueden elegir filas o columnas, pero es preferible elegir la tercera fila por tener ceros preferible elegir la tercera fila por tener ceros
en su conformación.en su conformación.
3 1 0
2- 4 3
1- 2 7
A
A 2 -14 - 2 2 3
1 7
+=3 3
+3
4 3
2 7
3 1 0
2- 4 3
1- 2 7
3 1 0
2- 4 3
1- 2 7
3 1 0
2- 4 3
1- 2 7
+ 1 + 2 + 3
A =
31a 32a 33a
. . .
5.+ +6
=
OTRO EJEMPLO:
4- 0 4
0 2 3
1 7 5
B Tomamos la Segunda columna
B 4 4
0 3
4 4
1 5
+=1 2
+3
0 3
1 5
+ 2 + 2 + 2
B =
12b 22b 32b
. . .
3+
4=
4- 0 4
0 2 3
1 7 5
4- 0 4
0 2 3
1 7 5
4- 0 4
0 2 3
1 7 5
+5
. . .
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1ra. Si en A existe una fila, o columna, nula, entonces |A| = 0
2da. Si en A existen dos filas, o columnas, idénticas entonces |A| = 0
0 0 5 7
8 0 47 0 99 0 10
= 0 = 0
5 59 9
4 9 52 -1 74 9 5
= 0 = 0
3ra. Si A es triangular superior, o inferior, entonces |A| está dado por el producto de los elementos de la diagonal principal.
4ta. Si B es una matriz obtenida sumando una fila, o columna, a otra fila, o columna, de A entonces |B| = |A|.
1 0 3 4
1 -2 30 4 50 0 -6
= 1.4 = 4 = 1.4.(-6) = -24
1 -2 3A 0 4 5
3 0 -6=
1 -2 3B 0 4 5
4 -2 -3=
R1 + R3
|A| = - 90 |B| = - 90
5ta. Si B es una matriz que se obtiene al intercambiar dos filas, o dos columnas, de A, entonces |B| = - |A|.
6ta. Si B es una matriz que se obtiene multiplicando una fila, o columna, de A por un número “k”, entonces |B| = k |A|.
2 3 -42 1 51 1 1
A
2 3 42 1 51 1 1
R1 R3 = B
1 -2 3A 0 4 5
3 0 -6=
-3R2
1 -2 3B 0 -12 -15
3 0 -6=
|A| = - 90 |B| = - 270
|A| = - 3 |B| = + 3
7ma. Si “k” es un número y A es una matriz de orden “n”, entonces se verifica que |kA| = kn |A|.
5 1A=4 3 = 11
|B| = 99
B = 3A5 1 15 3B=34 3 12 9
BABA ..
AAt
nn AA
nn
AA
1
1mI
8.-
9.-
10.-
11.-
12.- (De orden m)
UTILIZANDO LAS PROPIEDADES ANTERIORES SE PUEDEN DEMOSTRAR LAS SIGUIENTES:
REGLA DE CRAMER
Esta regla es útil para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones compatibles con solución única.
Sea el sistema de ecuaciones: 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a x a y a z ma x a y a z pa x a y a z m
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
12 13
22 23
32 33
m a ap a aq a a
x
11 13
21 23
31 33
a m aa p aa q a
y
11 12
21 22
31 32
a a ma a pa a q
z
Luego: se llama Determinante de la Matriz de Coeficientes del Sistema.
Si 0, se demuestra que: