МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

МАХОВИЧ Олександр Іванович

УДК 004.942+519.6

ПОБУДОВА І КОМП’ЮТЕРНА РЕАЛІЗАЦІЯ СТРУКТУРНО-СПРОЩЕНИХ

МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ОБ’ЄКТІВ ІЗ РОЗПОДІЛЕНИМИ

ПАРАМЕТРАМИ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Черкаси – 2015

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Кам’янець-Подільському національному університеті імені

Івана Огієнка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

Федорчук Володимир Анатолійович,

Кам’янець-Подільський національний університет імені

Івана Огієнка, завідувач кафедри інформатики

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Бейко Іван Васильович, Національний технічний університет України «Київський

політехнічний інститут», професор кафедри математичної

фізики;

доктор технічних наук, професор

Положаєнко Сергій Анатолійович, Одеський національний політехнічний університет,

завідувач кафедри комп’ютеризованих систем управління

Захист відбудеться 26 листопада 2015 р. о 14-00 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради К 73.052.01 Черкаського державного технологічного

університету за адресою: 18006, м. Черкаси, бул. Шевченка, 460.

Із дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Черкаського державного

технологічного університету за адресою: 18006, м. Черкаси, бул. Шевченко, 460.

Автореферат розіслано _____ жовтня 2015 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради А.В. Гончаров

1

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Зростаюча складність структур і режимів функціонування

комп’ютерних і комп’ютеризованих засобів обробки інформації сучасних технічних

систем зумовлює нові вимоги до методів і засобів математичного моделювання

динамічних процесів у вказаних системах, в тому числі необхідність суттєвого

врахування розподіленості параметрів елементів, вузлів, блоків та систем в цілому.

Існуючі методи і засоби, що використовуються для розв’язування задач

моделювання об’єктів з розподіленими параметрами (ОРП) в переважній більшості

ґрунтуються на використанні моделей у вигляді диференціальних рівнянь з

частинними похідними. Цей підхід може застосовуватись при відсутності

специфічних часових і ресурсних вимог. Значний вклад у розвиток даного підходу

до математичного моделювання ОРП вносять праці Бублика Б. Н.,

Булавацького В. М., Згуровського М. З., Кириченка Н. Ф., Лук’яненка С. О.,

Ляшка С. І., Макарова В. Л., Наконечного А. Г., Новикова М. І., Самарського О. А.,

Сергієнка І. В., Скопецького В. В., Стояна В. А., Тихонова А. Н., Apaci V.,

Carslaw H. S., Harvill Lawrence R., Jeffreys H., Reed M. та ін.

В задачах моделювання процесів оперативної обробки інформації в технічних

системах, зокрема обробки вимірювальних даних чи сигналів керування, присутні

суттєві особливості, такі як функціонування систем у реальному часі, складність

процедур відображення змін в об’єкті моделювання, наявність зворотних зв’язків,

необхідність розробки або вибору спеціалізованих обчислювальних алгоритмів для

створення вбудованих програмних засобів, накопичення помилок процесів обробки

сигналів тощо.

Якщо для дослідження задач динаміки об’єктів з зосередженими параметрами

є значні напрацювання методів та засобів модельної підтримки та алгоритмічного

забезпечення, то у випадку ОРП задачі їх математичного і комп’ютерного

моделювання при наявності обмежених обчислювальних та часових ресурсів

розв’язані поки що не в повній мірі і є актуальними.

Одним з шляхів розв’язання даних задач з урахуванням вказаних вище

труднощів є побудова та використання спрощених моделей ОРП, отриманих за

рахунок перетворення вихідних (базових, що володіють певною надлишковістю)

математичних описів у вигляді диференціальних рівнянь з частинними похідними та

узгодження допустимих показників точності процесів обробки інформації із

обмеженою точністю реальних вимірювань. Крім того, при структурному

моделюванні, де використовуються моделі типу «вхід-вихід», поведінка об’єкта у

проміжних точках несуттєва і спрощена математична модель може відтворювати

лише ті властивості об’єкта, які характерні для певної задачі, а не для явища загалом.

Спрощена модель може бути скалярною, структура якої принципово відрізняється від

структури базової моделі, тобто модель стає структурно-спрощеною.

Таким чином, актуальна науково-технічна задача підвищення ефективності

процесів математичного і комп’ютерного моделювання ОРП полягає у розробці,

дослідженні і застосуванні продуктивних методів побудови і реалізації структурно-

спрощених динамічних моделей, що володіють необхідним рівнем адекватності,

2

зменшеною або мінімальною складністю серед інших альтернативних варіантів та

орієнтованих на ефективну числову і комп’ютерну реалізацію.

Аналіз досліджень та розробок в галузі розв’язання задач спрощення

динамічних моделей ОРП свідчить про те, що найбільш вживані підходи при

спрощенні моделей ОРП засновані на методах розділення змінних (методи Фур’є,

Гальоркіна тощо), операційних методах і методах інтегрального подання. Аналіз

проблеми також свідчить, що в даній області досліджень перспективним видається

інтерполяційних підхід, що використовується в даній роботі.

Важливі результати при вирішенні проблеми отримання і практичного

застосування спрощених математичних моделей ОРП отримані в працях

Бадалова Ф. Б., Бутковського А. Г., Верланя А. Ф., Горбаня А. В., Дячука О. А.,

Жученка А. І., Задіраки В. К., Іванова В. В., Іванюка В. А., Ковалюка Д. О.,

Конета І. М., Кубрака А. І., Мороза В. І., Москвіної С. М., Протасова С. Ю.,

Ситника О. О., Стахіва П. Г., Рапопорта Е. Я., Федорчука В. А., Худаярова Б.,

Ешматова Х., Davison E. J., Genesio R., Han-Xiong Li, Liu Y., Opmeer M. R. та ін.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційне

дослідження проводилось на кафедрі інформатики Кам’янець-Подільського

національного університету імені Івана Огієнка в рамках науково-дослідних робіт:

«Математичне моделювання в задачах керування технологічними процесами»

(№ держреєстрації 0113U004335) та «Математичні методи і комп’ютерні засоби

модельної підтримки розробок систем вимірювання і керування випробувальних

стендів силових установок енергетичного і транспортного призначення»

(№ держреєстрації 0109U008340).

Мета та завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розвиток

методів і засобів математичного та комп’ютерного моделювання ОРП на основі

побудови та використання їх структурно-спрощених динамічних моделей, що

забезпечують підвищення ефективності процесів створення і функціонування

технічних систем обробки інформації.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні завдання

дослідження:

− аналіз проблеми математичного моделювання динаміки ОРП при

розв’язуванні задач оперативної обробки інформації в технічних системах, огляд

підходів, що застосовуються і досягнутих результатів при розв’язанні проблеми,

обґрунтування актуальності науково-технічної задачі, що розв’язується і обраного в

роботі підходу до її вирішення;

− розробка і дослідження методів і алгоритмів побудови структурно-

спрощених динамічних моделей ОРП у формі звичайних диференціальних рівнянь

на основі інтерполяційного підходу;

− розробка, дослідження і апробація методу побудови структурно-

спрощених динамічних моделей у вигляді дробово-раціональних передатних

функцій на основі апроксимаційних перетворень;

− розробка та дослідження структурно-спрощених моделей ОРП у формі

явних інтегральних залежностей (інтегральних операторів) на основі квадратурних

алгоритмів;

3

− розробка комплексу програмних засобів, що забезпечує проведення

обчислювальних експериментів і практичних розрахунків для комп’ютерної

апробації запропонованих методів і засобів моделювання при розв’язуванні

тестових, модельних і практичних задач.

Об’єктом дослідження є процеси математичного та комп’ютерного

моделювання ОРП.

Предметом дослідження є методи та засоби побудови, числової та

комп’ютерної реалізації структурно-спрощених динамічних моделей ОРП.

Методи дослідження. Робота виконана з використанням методів математичного

моделювання для дослідження та порівняння різних форм математичного опису

динамічних об’єктів; методів обчислювальної математики для створення алгоритмів

спрощення математичних моделей та їх числової реалізації; методів обчислювального

експерименту для апробації і дослідження різних форм математичних моделей; методів

програмної інженерії для розробки програмного моделюючого комплексу.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному:

вперше запропоновано інтерполяційний метод (метод опорних перерізів)

формування за заданими (вихідними) диференціальними рівняннями з частинними

похідними структурно-спрощених динамічних моделей ОРП у формі звичайних

диференціальних рівнянь, що допускає виконання аналітичних перетворень за

допомогою програм символьних обчислень і забезпечує отримання і використання

ефективних числових алгоритмів і програмних засобів моделювання;

удосконалено апроксимаційні методи перетворення моделей у вигляді

трансцендентних та ірраціональних передатних функцій до спрощуючих дробово-

раціональних виразів та алгоритмів їх реалізації, які відрізняються від існуючих

можливістю отримання передатних функцій мінімального порядку при збереженні

прийнятної точності моделювання, що дає змогу спрощення обчислювальних

процедур при комп'ютерному моделюванні;

отримав подальший розвиток операційний метод стосовно формування

спрощених динамічних моделей ОРП у вигляді скалярних передатних функцій

шляхом формалізованих операційних процедур перетворення базових рівнянь з

частинними похідними за просторовою змінною і аналітичного подання

операторних зображень результатів;

отримав подальший розвиток метод побудови та числової реалізації скалярних

динамічних моделей явного вигляду у формі інтегральних операторів згортки на

основі операційного методу і процедур переходу від передатних функцій ОРП до

залежностей в області дійсних змінних, що реалізуються за допомогою числових

квадратурних алгоритмів; метод відрізняється від існуючих тим, що дозволяє

розробляти алгоритми реалізації інтегрального оператора без застосування

циклічних процедур, що дає можливість підвищити швидкодію програмних засобів

реалізації математичних моделей.

Практичне значення отриманих результатів полягає в тому, що розроблені

методи та засоби формування спрощених моделей динаміки ОРП а також створений

комплекс програм для їх комп’ютерної реалізації суттєво розширюють можливості

використання сучасних комп’ютерних засобів для проведення наукових досліджень та

4

інженерних розрахунків в задачах математичного моделювання ОРП, в тому числі при

створенні вбудованих програмних засобів обробки інформації в технічних системах з

урахуванням ресурсних обмежень і функціонування в реальному часі. Методи та

засоби побудови і комп’ютерної реалізації структурно-спрощених математичних

моделей ОРП прийнято до впровадження в ТзОВ «ЛУКОЙЛ Технолоджи Сервисиз

Украина» для підвищення продуктивності виробництва за рахунок підвищення якості

управління технологічними процесами (акт впровадження № 34 від 22.12.2014 р.).

Результати дисертаційного дослідження впроваджені у навчальний процес Кам’янець-

Подільського національного університету імені Івана Огієнка під час вивчення

навчальної дисципліни «Моделювання динамічних систем з розподіленими

параметрами» (довідка про впровадження №38 від 19.05.2015 р.).

Особистий внесок здобувача. Наукові положення, висновки та рекомендації,

які викладено у дисертаційній роботі, і які виносяться на захист, отримано особисто

здобувачем та узагальнено при оформленні дисертаційної роботи. Положення

дисертаційної роботи викладені в 15 наукових публікаціях. Роботи [9, 11–14]

написані самостійно. У працях, опублікованих у співавторстві [1–8, 10, 15], особистий

внесок автора складає: у [1] – запропоновано модифікацію адаптивного

квадратурного алгоритму розв’язування рівнянь Вольтерри ІІ роду; у [2] – отримано

інтегральну модель, розроблено Simulink-модель; у [3] – розроблено структурно-

спрощену модель, проведено обчислювальні експерименти; у [4] – розроблено та

апробовано спосіб числової реалізації математичних моделей нестаціонарних

теплових процесів при несиметричних граничних умовах; у [5] – розроблено та

апробовано спосіб числової реалізації математичних моделей нестаціонарних

теплових процесів при симетричних граничних умовах; у [6] – запропоновано спосіб

моделювання динаміки нестаціонарних теплових процесів, проведено числові

розрахунки для тестових задач; у [7] – розроблено структурно-спрощену модель

розподіленої ланки, що описується інтегральним оператором Вольтерри; у [8] –

запропоновано використання аналітичного методу отримання передатної функції, а

також методу на основі диференційно-різницевої моделі, апробовано методи шляхом

обчислювальних експериментів; у [10] – розроблено Simulink-модель на основі

структурної декомпозиції вихідної моделі із застосуванням методу прямих; у [15] –

проведено аналіз різних форм математичного опису лінійних ОРП та способів

еквівалентних та апроксимаційних перетворень вихідних моделей.

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати

дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися на 8 міжнародних,

всеукраїнських та регіональних конференціях: Звітна наукова конференція

викладачів і аспірантів К-ПНУ ім. Івана Огієнка (Кам’янець-Подільський, 2013 р.);

International conference on application of information and communication technology and

statistics in economy and education ICAICTSEE-2013 (2013, SOFIA, BULGARIA);

XXXIII науково-технічна конференція «Моделювання» молодих вчених та

спеціалістів (15–16 січня 2014 р., м. Київ); VI міжнародна наукова конференція

«Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації» (4–

5 квітня 2014 р., м. Кам’янець-Подільський); П’ята Міжнародна науково-технічна

конференція «Моделювання в електротехніці, електроніці та світлотехніці

5

МЕЕС`2014» (1–3 жовтня 2014 р., м. Київ); Міжнародна наукова конференція

«Сучасні проблеми математичного моделювання та обчислювальних методів» (19–

22 лютого 2015 р., м. Рівне); ІІІ Міжнародна науково-практична конференція

«Обчислювальний інтелект (результати, проблеми, перспективи)» (12–15 травня

2015 р., Київ-Черкаси); V Міжнародна науково-практична конференція «Обробка

сигналів і негаусівських процесів» (20–22 травня 2015 р., м. Черкаси).

Публікації. Результати дисертаційного дослідження опубліковано в

15 наукових працях, зокрема, у науково-фахових журналах та збірниках України – 8,

у тому числі у закордонному фаховому виданні – 1.

Структура та обсяг роботи. Робота складається із вступу, чотирьох розділів,

висновків, списку використаних літературних джерел (163 найменування) та

додатків. Загальний обсяг дисертації – 211 сторінок, в тому числі 160 сторінок

основного тексту і 17 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі викладено загальну характеристику роботи, обґрунтовано

актуальність проблеми, показано зв’язок роботи з науковими програмами, планами,

темами, сформульовано мету і завдання дослідження, об’єкт та предмет, методи

дослідження, відображено наукову новизну і практичне значення отриманих

результатів, визначено особистий внесок здобувача в працях у співавторстві,

наведено дані про структуру дисертації, апробації результатів дослідження та

основні положення, що виносяться на захист.

У першому розділі розглядаються особливості ОРП, проблеми, що виникають

при побудові та реалізації їх математичних моделей, динамічні характеристики, що

відображають властивості об’єктів даного класу, а також основні підходи до

розв’язування задач спрощення вихідних моделей у формі диференціальних рівнянь

із частинними похідними.

Сучасна методологія створення комп’ютеризованих засобів оперативної

обробки інформації, що функціонують в режимі реального часу, передбачає широке

застосування математичних моделей і їх програмних реалізацій. На основі

використання динамічних моделей організовується керування інженерними

об’єктами, розробляються засоби компенсації динамічних спотворень в системах

вимірювання та спостереження, створюються системи технічної діагностики.

Вимоги до математичних моделей об’єктів керування, вимірюючих перетворювачів,

об’єктів діагностики є доволі жорсткими стосовно комп’ютерних ресурсів, які

необхідні для функціонування програмних засобів числової реалізації моделей. Дані

вимоги стають у багатьох випадках важко досяжними, якщо моделюванню

підлягають ОРП по причині складності традиційних вихідних математичних описів

у формі диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Продуктивним підходом до формування моделей ОРП при наявності вказаних

вище вимог, є еквівалентний або апроксимаційний перехід від базової моделі до

якого-небудь вигляду спрощеної моделі, яка має необхідний рівень адекватності,

знижену або мінімальну складність серед можливих альтернативних варіантів та

забезпечує ефективну числову і комп’ютерну реалізацію.

6

Питання спрощення математичної моделі можна розв’язувати на різних етапах

моделювання. Дійсно, нехай ступінь адекватності математичної моделі M об’єкта O

характеризується функцією 1(O, M), а точність числової реалізації математичної

моделі M у вигляді програми P – функцією 2(M, P). Будемо вважати, що функція

неузгодженості (O, P) результатів, виміряних на об’єкті O і розрахованих

програмою P, задовольняє нерівність

1 2, , ,O P O M M P , (1)

де число е може бути збільшене. З (1) випливає, що (O, P) можна збільшити двома

шляхами: зробити спрощуючі допущення, гіпотези і припущення про фізичний

процес і тим самим перейти від математичної моделі M процесу до більш грубої

математичної моделі M1; взяти більш грубі, а значить і простіші числові методи

реалізації алгоритмів математичної моделі M у вигляді програми P1.

Таким чином, надмірна точність математичної моделі M дає можливість

перейти до простіших математичних моделей M1 процесу і простіших числових

методів для її реалізації. Природно, що такий перехід у кожному конкретному

випадку повинен здійснюватися із врахуванням специфіки математичної моделі.

При побудові спрощених моделей у вигляді звичайних диференціальних

рівнянь враховується необхідність мінімізації їхньої кількості, що досягається

шляхом застосування інтерполяційного підходу до апроксимації вихідної моделі і

методу розщеплення для апріорного представлення шуканого розв’язку.

Формування моделей у вигляді передатних функцій мінімальної складності

базується на застосуванні операційного методу для пониження розмірності вихідної

моделі і апроксимації трансцендентних та ірраціональних виразів ланцюговими

дробами.

Підвищення ефективності явних моделей у формі інтегральних операторів

досягається розробкою набору спеціалізованих числових алгоритмів їх реалізації,

що враховують форми ядер (операторів) і різні вимоги до точності та швидкодії.

У другому розділі запропоновано метод опорних перерізів побудови

спрощених математичних моделей динамічних об’єктів шляхом певних

апроксимаційних та еквівалентних перетворень базової моделі. Суть методу полягає

у наступному: 1) розв’язок задачі апроксимується інтерполяційним поліномом

Лагранжа за опорними точками просторової змінної; 2) значення розв’язку на краях

інтервалу визначення просторової змінної обчислюється за допомогою граничних

умов; 3) значення розв’язку у внутрішніх опорних точках інтервалу обчислюється

за допомогою розв’язування системи звичайних диференціальних рівнянь; 4) маючи

розв’язки в опорних перерізах, можна за допомогою побудованого інтерполяційного

полінома обчислити наближений розв’язок у довільній точці.

Розглянемо метод без обмеження загальності застосування стосовно широко

розповсюджених ОРП теплотехнічного призначення, які описуються рівняннями із

частинними похідними параболічного типу. Нехай температура T(x, t) на краях

необмеженої пластини примусово змінюється за законом 1 1( , )гр x

F t T x t

, який

задається функцією часу. Всередині пластини діє джерело тепла, потужність якого

пропорційна f(t). У початковий момент задано розподіл температури по товщині

7

0

( , )ПУ tF x T x t

. Необхідно знайти розподіл температури в пластині. У цьому

випадку спрощена модель теплоперенесення описується рівнянням із частинними

похідними параболічного типу:

2

2

( , ) ( , ) ( , )( ), 1 1

T x t T x t T x ta x b x q x f t x

t x x

, (2)

де 1

b x k x c x x

, 1

q x c x x

, 1

a x k x c x x

–

коефіцієнт температуропровідності, c(x) – питома теплоємність, ρ(x) – густина, k(x) –

коефіцієнт теплопровідності, f(t) – внутрішнє джерело тепла, x – просторова

координата, t – час. Розв’язок T(x, t) рівняння (2) представляємо як ряд

1

, n n

n

T x t V t Q x

, де nQ x – відомі функції, які мають похідні відповідних

порядків по x, а функції Vn(t) – визначаються. Інтерполяційний поліном Лагранжа за

трьома точками x0 = 0, x1 = 1/2, x2 = 1 має вигляд

0 0

, , ,nn

kn i

i k i kk i

x xT x t L x t T x t

x x

, 4n , 1 1x , (3)

тобто для розв’язку, що має властивість симетрії за просторовими змінними,

4 2 2 2 2 2

1, 4 5 1 0, 16 3 1 1 2, 1 3 4 1 грT x t x x T t x x T t x x F t . (4)

Таким чином, розв’язки задачі у двох опорних перерізах T(0, t) та T(0.5, t) дозволяють

за виразом (4) знаходити розв’язки у довільних точках. Для цього апроксимуємо

частинні похідні рівняння (2) за просторовою змінною, продиференціювавши (4)

необхідну кількість разів за змінною x та підставивши отримані вирази в (2), маємо:

2 2

1 2 1 2

,48 10 0, 64 32 3 1 2,

T x tx w x w x T t x w x w x T t

t

2

1 2 116 2 3 ,грx w x w x F t q x f t (5)

де 1 1 3w x a x xb x , 2w x a x xb x .

Вважаючи в (5) x = 0 та x = 1/2, отримаємо систему двох звичайних

диференціальних рівнянь першого порядку для визначення T(0,t) та T(1/2,t):

1

1

0,10 0 0, 32 3 0 1 2, 2 3 0 0 ;

1 2,2 1 2 3 1 2 0, 8 3 2 1 2 1 2 1 2,

1 3 10 1 2 1 2 1 2 ,

гр

гр

dT ta T t a T t a F t q f t

dt

dT ta b T t a b T t

dt

a b F t q f t

(6)

8

де початкові значення FПУ (0) та FПУ (1/2) відомі. Розв’язання системи (6), згідно з

виразом (4), дає можливість обчислення наближених значень функції T(x, t) в

довільній точці x.

Отже, в результаті спрощення базової моделі (2), отримано спрощену модель у

формі задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь (6).

Для низки обчислювальних експериментів з розв’язання задачі (2) при кроці

дискретизації τ =10–4

c за часовою змінною значення відносної похибки не

перевищувало δ ≤ 0,01.

У випадку, коли задано граничні умови третього роду

3

1

,, гр

x

T x tT x t F t

x

, принцип застосування методу залишається тим

самим, лише апроксимаційні вирази мають інший вигляд. Наприклад,

4 24 3 8 15 64

, 0,3 14

x xT x t T t

2 22 4

3

4 116 4 16 21 2, 0, .

3 14 3 14гр

x xx xT t F t T t

Якщо задано несиметричні граничні умови І-го роду 11( , ) грxT x t F t

, то

шляхом заміни змінних T(x,t) = V(x,t) + U(x,t), де V(x,t) задовольняє однорідні

граничні умови, а 1 1

1 1( , ) ( )

2 2гр гр

x xU x t F t F t

задовольняє умовам 1грF t,

вдається перейти до розв’язування задачі із симетричними граничними умовами

відносно V(x,t). Цей спосіб діє також у випадку несиметричних граничних умов ІІ-го

роду:

гр2

1

,

x

T x tF t

x

при 2 2, 2 2

4гр гр

xU x t x F t x F t .

Аналогічна методика застосовується для розв’язування задач у циліндричній

системі координат. Нехай в необмеженому порожнистому циліндрі (в циліндричній

трубі) з внутрішнім радіусом R1 і зовнішнім радіусом R2 (рис. 1) та коефіцієнтом

теплопровідності k(r1) задано деякий початковий розподіл температури

1 10, Пt

T r t F r . Температура на внутрішній і зовнішній поверхнях примусово

змінюється за різними законами, заданими своїми функціями часу:

1 1

1 2

1 1, r R грr R

T r t F t

. Усередині стінки циліндра діє джерело тепла, потужність якого

пропорційна f(t). Необхідно знайти розподіл температури T(r1,t) по товщині стінки

циліндра в будь-який момент часу.

Нестаціонарна задача теплопровідності в цьому випадку описується

диференціальним рівнянням з частинними похідними параболічного типу, яке у

циліндричній системі координат має вигляд:

1 11 1 1 1

1 1 1

, ,1T r t T r tc r r r k r f t

t r r r

,

9

де c(r1) – питома теплоємність матеріалу циліндра, ρ(r1) – густина, r1 – просторова

координата, t – час. Перехід до нової просторової

змінної r = 1+2(r1 – R2)/(R2 – R1) дозволяє отримати

1 1r . Вихідне рівняння в цьому випадку прийме

вигляд

2

2

, , ,T r t T r t T r ta r b r q r f t

t r r

.

При застосуванні методу опорних перерізів для

випадку несиметричних граничних умов отримаємо

спрощену модель у вигляді системи звичайних

диференціальних рівнянь:

0,10 0 0, 32 3 0 1 2, 0, ,

1 2,2 1 2 3 1 2 0,

1 3 8 1 2 16 1 2 1 2, 1 2, ,

dV ta V t a V t z t

dt

dV ta b V t

dt

b a V t z t

де

1 1 1 10, 1 2 0 1 2 0 ,гр гр гр грz t b F t F t F t F t q f t

1 1 1 11 2, 1 2 1 2 1 4 3 4 1 2 .гр гр гр грz t b F t F t F t F t q f t

До системи додаються відповідні початкові умови

1 100, 0 1 2 0 0 ,П гр грt

V t F F F

1 1

0

31 1 1, 0 0 .2 2 4 4П гр гр

t

V t F F F

Вираз, за яким обчислюється розв’язок задачі в довільній точці, має вигляд

4 2 2 2

1 1

1 1 16 1, ( ) 4 5 1 0, 1 , .

2 2 3 2гр гр

r rT r t F t F t r r V t r r V t

Результати обчислювальних експериментів засвідчують дієздатність методу, а

також можливість вибору такого значення кроку τ для змінної t, яке відповідає

найменшому значенню похибки. У табл. 1 наведені результати обчислювальних

експериментів, в яких порівнювався затрачений на розв’язування задачі час методом

опорних перерізів у порівнянні з широковживаним методом скінченних різниць та

функцією pdepe ядра пакету моделювання Matlab. Дані експерименти підтверджують

ефективність числової реалізації математичної моделі методом опорних перерізів.

Для спрощення математичних моделей ОРП уявляється перспективним

застосування інтегрального перетворення зі скінченними межами за просторовою

змінною; основні теоретичні положення цього методу наведено у Додатку Б роботи.

Рис. 1. Об’єкт

моделювання в

циліндричній системі

координат

r1

R2

R1

10

Отримана точність розв’язків модельних задач узгоджується з точністю

реальних вимірювань, а універсальність формул, які можна застосовувати для

випадків симетричних граничних умов І, ІІ, ІІІ роду і простота алгоритмів, за якими

проводяться обчислення, дають змогу застосовувати метод у системах із

обмеженими обчислювальними ресурсами (наприклад, для систем із вбудованими

мікроконтролерами).

Таблиця 1

Затрати процесорного часу при використанні різних методів

Крок

просторової

змінної

Крок τ

часової

змінної t

Кількість

вузлів

Час розрахунку, с

Неявна різницева

схема

Метод опорних

перерізів

Функція pdepe

Matlab

h = 0,01 τ = 10

–2,

0,1t

2·104 0,12 0,03 1,81

h = 0,005 4·104 0,51 0,03 2,88

h = 0,002 1·105 5,30 0,05 7,08

h = 0,001 2·105 37,39 0,07 14,15

Оцінимо похибку наближення розв’язку інтерполяційним поліномом

Лагранжа (3). Взявши в якості опорних перерізів корені многочлена Чебишева

cos 2 1 2 2 ,ix i n 0,i n , та беручи до уваги, що многочлен Чебишева має

найменше відхилення від нуля, отримаємо

1, ,2 1 !

nn n

MT x t L x t

n

,

1

1 1[ 1,1]

,sup

n

n nx

T x tM

x

.

Результати проведених обчислювальних експериментів (табл. 2) підтверджують, що

спеціальний вибір опорних точок (корені, або в деяких випадках точки максимуму

многочлена Чебишева) у порівнянні із рівномірним розподілом по області визначення

просторової змінної, дозволяє підвищити адекватність математичної моделі.

Таблиця 2

Інтегральне відхилення розв’язків для різних способів вибору опорних перерізів

Кількість

опорних точок

Корені многочлена

Чебишева

Точки максимуму

многочлена Чебишева

Рівномірний розподіл

5 9,1∙10–03

7,1∙10–03

1,27∙10–02

7 1,7∙10–03

1,7∙10–03

3,5∙10–03

9 6,34∙10–04

6,03∙10–04

1,6∙10–03

11 3,31∙10–04

3,04∙10–04

9,13∙10–04

13 1,49∙10–04

1,98∙10–04

5,79∙10–04

У третьому розділі розглянуто методи побудови скалярних математичних

моделей ОРП у вигляді передатних функцій і явних інтегральних моделей.

Традиційним апаратом подання моделей у задачах дослідження, проектування та

створення динамічних систем технічного профілю є передатні функції, які мають

вигляд двоточкової функції 1 2 1 2, ; , ,W x x p Y x p F x p , 2 1,x P x Q , де P –

множина точок вхідного впливу, Q – множина точок, в яких спостерігається

вихідний сигнал; Y(x1, p), F(x2, p) – перетворення Лапласа за часом вихідного

сигналу та вхідного впливу.

11

Застосування операційного методу для отримання передатної функції зводиться

до: отримання за допомогою перетворення Лапласа при фіксованій просторовій

координаті зображення розв’язку, а також побудові моделі за отриманим зображенням

як за деякою передатною функцією і організації обчислювального процесу за

допомогою моделі. Такий спосіб може бути застосований до розв’язання широкого

класу диференціальних рівнянь з частинними похідними з постійними або змінними

коефіцієнтами і заданими крайовими умовами в прямокутній області. Обмеженням

застосування методу можуть бути труднощі, пов’язані з отриманням аналітичного

розв’язку операторних рівнянь. Застосування методу можна проілюструвати на більш

загальних задачах моделювання ОРП.

Передатна функція, яка описує процес скручування довгого пружного валу,

може бути отримана із його математичного опису у вигляді диференціального

рівняння з частинними похідними і граничними та початковими умовами

2 2

2 2

, ,p

x t x tI GJ

t x

,

0

,0,p

x

x tGJ M t

x

,

,0p

x l

x tGJ

x

,

0

, 0t

x t , де I – погонний момент інерції, G – модуль зсуву, Jp – полярний момент

інерції, φ(x,t) – кут повороту валу в перерізі x у момент часу t. Передатна функція, яка

ставить у залежність кут повороту валу у перерізі x=l від моменту зовнішнього

впливу, прикладеного у перерізі x=0 визначається як відношення зображень за

Лапласом за часовою змінною вихідного сигналу до вхідного впливу і має вигляд

1*

1 2 1 2,0; , 0, sh , ,p pW l p l p M p pk k lp k IGJ k I GJ

. (7)

Передатні функції ОРП містять ірраціональні та трансцендентні функції від

аргументу p, наприклад, ,pe 1

,ch p

,th p cth p , 1

1 ,p

1

,p

,p

e

та

ін., що значно ускладнює можливості чисельної реалізації, тобто виникає

необхідність проведення їх апроксимації. При цьому слід враховувати, що широко

розповсюджені програмні пакети моделювання містять переважно лише засоби

комп’ютерної реалізації передатних функцій дробово-раціонального виду. Тому

найбільш раціональним підходом до реалізації передатних функцій ОРП є їх

наближення дробово-раціональними виразами.

Використання алгоритмів побудови ланцюгово-дробових наближень

передатних функцій ОРП дає можливість знайти ефективний компроміс між

точністю наближення і складністю моделі. Визначальним у виборі апроксимаційних

наближень є те, що ланцюгові дроби збігаються швидше, ніж інші послідовні ряди,

тобто порядок дробово-раціональної апроксимаційної моделі, отриманої за

допомогою теорії ланцюгових дробів, буде значно меншим у порівнянні із моделлю,

отриманою шляхом розвинення в степеневий ряд.

При побудові наближених моделей ОРП, що описуються складними

передатними функціями W(p) ірраціонального та трансцендентного типу,

пропонується наступний алгоритм побудови ланцюгово-дробових апроксимаційних

моделей: 1) виконати заміну змінної p виразом p + a (якщо точка 0 є особливою для

W(p)); 2) розвинути функцію W(p) в степеневий ряд; 3) взяти 2 n членів степеневого

12

ряду; 4) перетворити скінченний степеневий ряд у ланцюговий дріб; 5) за

коефіцієнтами ланцюгового дробу побудувати його підхідний дріб, що буде дробово-

раціональною передатною функцією; 6) виконати обернену заміну змінної p виразом

p – a (якщо виконувався пункт 1).

Після розвинення функції W(p) в степеневий ряд, отримаємо

2 2

0 1 2 2

n

nW p c c p c p c p . (8)

Обмеживши ряд (8) до порядку 2 n можна знайти такий ланцюговий дріб, що

розвинення його будь-якого n-го підхідного дробу в степеневий ряд буде співпадати

з вихідним рядом до члена pn включно.

Для заданого ряду (8) побудуємо ланцюговий дріб

31 21 ...1 1 1

a pa p a pW p ,

який відповідає W(p) (в точці p = 0). Коефіцієнти ai шукаємо за формулами:

1

0kH і 2

0kH , 1,2,3,...k ,

1

1 1a H ,

1 2

12 1 2

1

m mm

m m

H Ha

H H

,

1 2

1 12 1 1 2

m mm

m m

H Ha

H H

, 1,2,3,...m , (9)

де nkH – визначник Ганкеля зв’язаний з (8) та визначається таким чином:

0 1n

H ,

1 1

1 2

1 2 2

...

...

...

n n n k

n n n n k

k

n k n k n k

c c c

c c cH

c c c

, 1,2,3,...k . (10)

Для досягнення потрібної точності апроксимації та мінімальної складності

апроксимуючого виразу мінімальний степінь n дробово-раціональної передатної

функції ( )W p підбирається таким, щоб виконувалась одна з двох наступних умов:

0

maxm

n An

A A d

,

0

maxm

nn

d

,

де ωm – максимальна частота, εA, εψ – задані похибки амплітудно-частотної (АЧХ) та

фазо-частотної (ФЧХ) характеристик, в залежності від поставленої задачі

інтегральна похибка АЧХ або ФЧХ не перевищувала заданого значення.

Розглянемо на прикладі властивості даного алгоритму при побудові

апроксимаційних моделей ОРП. Нехай динамічний об’єкт заданий передатною

функцією W1(p) = e–ap

, a = 1.

З використанням ланцюгово-дробової апроксимації отримано передатні

функції різних порядків. Перехідні характеристики вихідної, наближеної моделі

35-го порядку та моделі, отриманої за допомогою апроксимації Паде зображені на

13

рис. 2, абсолютні похибки – на рис. 3. У табл. 3 приведено інтегральну похибку

моделювання для моделей різного порядку.

Проведені обчислювальні експерименти з використанням побудованих

апроксимаційних моделей для об’єктів з передатними функціями гіперболічного

типу показали, що такі наближення є достатніми для моделювання складних

динамічних об’єктів з інженерною точністю.

Універсальною і економічною моделлю динамічного об’єкта, в тому числі

ОРП, є інтегральний оператор

0

0( ) ( , ) ( ) ( )

t

t

y t K t x d x t , (11)

де x(t) – вхідний, а y(t) – вихідний сигнали, K(t,τ) – ядро, що є імпульсною

перехідною функцією об’єкта, яка може бути отримана аналітично за відомою

передатною функцією або шляхом розв’язування задачі ідентифікації.

Таблиця 3.

Значення інтегральної похибки для моделей різного порядку

Порядок дробово-раціональної моделі 5 10 15 20 30 50

По-

хибка

ланцюгово-дробова апроксимація 0.1776 0.1080 0.0813 0.0666 0.0504 0.0357

Паде-апроксимація 0.2416 0.1596 0.1248 0.1049 0.0823 0.0610

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t

f(t)

10

-510

-410

-310

-210

-110

010

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Рис. 2. Точний та наближені розв’язки Рис. 3. Абсолютні похибки обчислень

Використання зворотного перетворення Лапласа дозволяє у ряді випадків

визначати імпульсну перехідну функцію ОРП в аналітичному вигляді. У роботі

наведено вирази для імпульсних перехідних функцій, що відповідають типовим

передатним функціям ОРП. При цьому для стаціонарних об’єктів кожній передатній

функції W(p), яка має оригінал k(t), явна інтегральна модель має вигляд (11) з ядром

K(t,τ) = K(t – τ) і дозволяє виконувати обчислення в дійсній області в широкому

діапазоні точності результатів. Наприклад, наявність оригінала передатної функції

(7) дозволяє отримати шукане ядро інтегрального оператора

2

1 2 2

0, 0 ,

2 , 2 1 2 1 , .

t lkK t

n k n lk t n lk n N

(12)

Тоді явна інтегральна модель має вигляд 0

, 0,

t

l t K t M d , числова

реалізація якого може бути здійснена шляхом «прямих» обчислень за допомогою

квадратурних формул.

14

У четвертому розділі розглянуто питання побудови програмно-моделюючого

комплексу (рис. 4) та його модулів. Запропоновано метод алгоритмізації процесу

спрощення моделей з використанням символьних обчислень.

Виходячи з вимог, що

висуваються до програмних

засобів математичного

моделювання, комплекс

програм, який складається із

підпрограм і функцій, що

можуть удосконалюватися і

розвиватися, створено у

середовищі Matlab. Він

включає три основні модулі,

які виконують структурне

спрощення базових моделей

ОРП та чисельно реалізовують

їх: MoSP – спрощення

математичної моделі об’єкта,

поданого у формі

диференціального рівняння із частинними похідними до задачі Коші для систем

звичайних диференціальних рівнянь методом опорних перерізів (Simpl_SupPo_Plate

– одновимірної теплової задачі для необмеженої пластинки, Simpl_SupPo_Cyl –

одновимірної теплової задачі для необмеженого порожнистого циліндра,

Simpl_SupPo_Rod – двовимірної теплової задачі для необмеженого прямокутного

стержня, Simpl_SupPo_Cyl_Fin – двовимірної теплової задачі для обмеженого

порожнистого циліндра, Simpl_SupPo_Rod_Fin – тривимірної теплової задачі для

обмеженого прямокутного бруса); MoIT – модуль інтегральних перетворень та

реалізації інтегральних операторів (Simpl_Int_Transform_FB – інтегральне

перетворення зі скінченними межами, Kern_Comp_Exp – побудова ядра

інтегрального оператора Вольтерри за даними експерименту, Volt_Op – подання

моделі у вигляді інтегрального оператора Вольтерри; Volt_Degen – чисельна

реалізація інтегрального оператора Вольтерри із використанням особливості

виродженості ядер); модуль MoCF – спрощення математичної моделі ОРП, заданої у

формі передатної функції високого порядку, трансцендентного або ірраціонального

вигляду до дробово-раціональної передатної функції (App_ContFr – ланцюгово-

дробова апроксимація, Irr_Trans_CF – ірраціональні або трансцендентні передатні

функції, Reduct_TF_CF – пониження степеня передатної функції).

Серед особливостей модуля MoSP є застосування методу алгоритмізації

процесу спрощення моделей з використанням символьних обчислень відповідно до

якого всі апроксимаційні та еквівалентні перетворення, передбачені методом

опорних перерізів, здійснюються програмним модулем, що дає змогу в результаті

отримувати аналітичні вирази наближеного розв’язку задач моделювання ОРП.

Для модуля Volt_Op особливістю реалізації інтегрального оператора Вольтери є

методика обчислення квадратурних сум без застосування циклічних операцій, а лише

Рис. 4. Структура комплексу програм

Базове програмне середовище

MoSP MoIT

MoCF

Simpl_SupPo_Plate

Simpl_SupPo_Cyl

Simpl_SupPo_Rod

Simpl_SupPo_Cyl_Fi

n

Simpl_SupPo_Rod_Fi

n

App_ContFr

Irr_Trans_CF

Reduct_TF_CF

Kern_Comp_Exp

Simpl_Int_Transf_FB

Volt_Op

Volt_Degen

15

за допомогою операцій над матрицями сформованих коефіцієнтів квадратурної

формули та використання оператора суми з накопиченням, що дає змогу значно

підвищити ефективність обчислень за рахунок використання властивості виродженості

ядер. Обчислювальні експерименти показали, що при кількості вузлів ≈2∙104 час

обрахунку запропонованим методом та традиційним склав 0.000534 с та 0.011408 с

відповідно; при кількості вузлів ≈2∙106 час обрахунку склав 0.055267 с та 1.025395 с, а

при кількості вузлів ≈2∙107 – 0.500963 с та 10.153589 с відповідно, що становить майже

20-ти разове зменшення витрат процесорного часу.

У додатках А1, А2 наведено розв’язання наступних прикладних задач:

моделювання електроприводу з розподіленою механічною ланкою; побудова і

реалізація передатних функцій приймача теплового потоку. У додатку Б наведені

основні теоретичні положення запропонованого методу інтегральних перетворень із

скінченими межами. У додатку В містяться копії актів впровадження результатів

дисертаційного дослідження у виробничий та навчальний процеси.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розв’язана науково-технічна задача підвищення

ефективності математичного і комп’ютерного моделювання ОРП шляхом розробки,

дослідження і застосування методів побудови і числової реалізації структурно-

спрощених динамічних моделей вказаного класу об’єктів, які мають необхідний

рівень адекватності, найменшу складність серед альтернативних варіантів та які

орієнтовані на ефективну числову і комп’ютерну реалізацію. В тому числі отримані

наступні наукові результати.

1. Аналіз досліджень в області математичного моделювання ОРП для

розв’язування задач оперативної обробки інформації (сигналів) у комп’ютеризованих

системах технічного і технологічного призначення свідчить про актуальність задачі

створення методів і засобів формування і числової реалізації структурно-спрощених

математичних моделей динамічних об’єктів вказаного класу для створення

програмних засобів, які забезпечують ефективне розв’язання задач проектування і

функціонування технічних систем при наявності часових і ресурсних обмежень.

2. Ґрунтуючись на аналізі і систематизації результатів досліджень за тематикою,

що досліджувалась, визначено основні підходи і особливості задач побудови

спрощених моделей ОРП; основними серед підходів, що застосовуються, є принцип

розділення змінних, операційні методи і метод інтегральних перетворень;

перспективним є інтерполяційний підхід, для прикладної реалізації якого необхідне

здійснення відповідних досліджень і розробок; враховується, що в практиці

інженерних досліджень і розробок найбільш розповсюдженими є динамічні моделі у

вигляді звичайних диференціальних рівнянь, передатних функцій та інтегральних

моделей (інтегральних операторів).

3. Запропоновано елементи теорії спрощення математичних моделей, що

являють собою сукупність математичних залежностей, в тому числі узагальнених

форм математичних моделей і оціночних виразів, що дозволяють обґрунтувати не

лише можливість, а й доцільність спрощення математичних описів задач динаміки;

запропонована методика включає в себе оцінки якості математичних моделей і

можливі процедури виконання операцій спрощення.

16

4. Запропонований в роботі інтерполяційний метод (метод опорних перерізів)

отримання спрощених моделей ОРП у вигляді скалярних диференціальних рівнянь на

основі вихідних описів у формі диференціальних рівнянь з частинними похідними;

отримані звичайні диференціальні рівняння визначаються залежностями для

невеликої кількості перерізів об’єкта, що моделюється, а їх розв’язок дозволяє

представити розв’язок вихідної задачі у вигляді простого полінома; метод практично

інваріантний відносно форми базової моделі та ефективно алгоритмізується і

забезпечує побудову економічних програмних засобів, що підтверджуються

обчислювальними експериментами.

5. За допомогою методу опорних перерізів отримано спрощені моделі у вигляді

звичайних диференціальних рівнянь для ОРП параболічного типу з симетричними і

несиметричними граничними умовами, а також для аналогічних задач в

циліндричній системі координат; апробація спрощених моделей шляхом тестових

обчислювальних експериментів при розв’язуванні модельних задач підтверджує

працездатність методу і ефективність програм, що його реалізують; порівняння

отриманих результатів спрощеного моделювання з результатами реалізації базових

(повних) моделей за допомогою типових різницевих алгоритмів свідчить про значну

перевагу запропонованого методу як по простоті обчислювальних процедур, так і по

часу, витраченому на розв’язування.

6. Розроблено метод формування спрощених моделей ОРП у вигляді передатних

функцій, що базується на застосуванні операційних процедур перетворення базових

рівнянь з частинними похідними, аналітичному поданні результатів розв’язування

скалярних операторних рівнянь, що отримуються, у вигляді ірраціональних і

трансцендентних залежностей в області комплексної змінної, а також спрощуючої

дробово-раціональної апроксимації останніх, що дозволяє отримати мінімально-

складні обчислювальні процедури числової реалізації спрощених моделей із

заданою точністю; проведені обчислювальні експерименти і результати

розв’язування прикладних задач підтверджують необхідну якість результатів

моделювання.

7. Розроблено метод побудови і числової реалізації скалярних динамічних

моделей ОРП явного вигляду у формі інтегральних операторів на основі

операційного методу і процедур переходу від передатних функцій до залежностей в

області дійсних змінних; отримані моделі реалізуються шляхом квадратурних

обчислень з використанням розробленого в роботі спеціалізованого набору

алгоритмів реалізації інтегральних операторів без явного використання циклічних

операцій, що значно підвищує продуктивність розрахунків.

8. Розроблений програмно-моделюючий комплекс забезпечує проведення всіх

необхідних обчислювальних експериментів при формуванні і дослідженні

структурно-спрощених математичних моделей ОРП, а також володіє можливостями

ефективного розв’язання широкого кола практичних і учбових задач.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Федорчук В. А. Интегральные модели переходных процессов в

электрических цепях, содержащих звенья с распределенными параметрами /

17

В. А. Федорчук, А. А. Верлань, А. И. Махович // Энергия ва ресурс тежаш муаммолари

(махсус нашр). – Тошкент. – 2014. – № 4. – С. 67–74. (закордонне видання)

2. Федорчук В. А. Особливості використання інтегральних моделей при

дослідженні електроприводу з розподіленою механічною ланкою / В. А. Федорчук,

О. І. Махович // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні науки :

зб. наук. праць / Ін-т кібернетики ім. В. М. Глушкова НАНУ, Кам’янець-

Подільський нац. ун-т ім. Івана Огієнка. – Кам’янець-Подільський : К-ПНУ, 2014. –

Вип. 11. – С. 156–162. (Google Scholar)

3. Федорчук В. А. Моделювання нестаціонарного теплового процесу в

необмеженому порожнистому циліндрі з несиметричними граничними умовами

першого роду / В. А. Федорчук, О. І. Махович // Математичне та комп’ютерне

моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. праць / Ін-т кібернетики

ім. В. М. Глушкова НАНУ, Кам.-Под. нац. ун-т ім. Івана Огієнка. – Кам’янець-

Подільський : К-ПНУ, 2014. – Вип. 11. – С. 143–151. (Google Scholar)

4. Верлань А.А. Аппроксимационные модели нестационарных тепловых

процессов в неограниченной пластине с несимметричными граничными условиями /

А. А. Верлань, А. И. Махович // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія:

Фізико-математичні науки : зб. наук. праць / Ін-т кібернетики ім. В. М. Глушкова

НАН України, Кам’янець-Подільський нац. ун-т ім. Івана Огієнка. – Кам’янець-

Подільський : К-ПНУ, 2014. – Вип. 10. – С. 42–54. (Google Scholar)

5. Федорчук В. А. Дослідження динаміки нестаціонарних теплових процесів із

симетричними граничними умовами методом перерізів / В. А. Федорчук,

О. І. Махович // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні науки : зб.

наук. праць / Ін-т кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, Кам’янець-

Подільський нац. ун-т ім. Івана Огієнка. – Кам’янець-Подільський : К-ПНУ, 2014. –

Вип. 10. – С. 182-191. (Google Scholar)

6. Федорчук В. А. Метод исследования динамики нестационарных тепловых

процессов при наличии симметричных граничных условий / В. А. Федорчук,

А. И. Махович // Электронное моделирование / Институт проблем моделирования в

энергетике им. Г. Е. Пухова НАНУ. – К. : ИПМЭ НАНУ, 2014. – № 3. – С. 71–79.

(Google Scholar)

7. Fedorchuk V. A. Creating a computer model for the diagnostic system of diesel

generator / V. A. Fedorchuk, O. I. Makhovych // Математичне та комп’ютерне

моделювання. Серія: Технічні науки : зб. наук. праць / Ін-т кібернетики ім.

В. М. Глушкова НАН України, Кам’янець-Подільський нац. ун-т ім. Івана Огієнка. –

Кам’янець-Подільський : К-ПНУ, 2013. – Вип. 9. – С. 107–114. (Google Scholar)

8. Иванюк В.А. Способы формирования передаточных функций приемника

теплового потока / Иванюк В.А., Костьян Н.Л., Махович А.И. // Математичне та

комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні науки : зб. наук. праць / Ін-т кібернетики

ім. В. М. Глушкова НАН України, Кам’янець-Подільський нац. ун-т ім. Івана Огієнка. –

Кам’янець-Подільський : К-ПНУ, 2013. – Вип. 8. – С. 61–69. (Google Scholar)

9. Махович О. І. Дослідження точності числової реалізації різних форм

математичних моделей елементарних ланок електричних кіл / О. І. Махович // Збірник

18

наукових праць молодих вчених Кам’янець-Подільського національного університету

ім. Івана Огієнка. – Кам’янець-Подільський : К-ПНУ, 2014. – Вип. 5. – С. 128–130.

10. Fedorchuk V. A. Using of reversible structural models for modelling objects

with distributed parameters / V. A. Fedorchuk, O. I. Makhovych // Proceeding of the

international conference on application of information and communication technology and

statistics in economy and education ICAICTSEE-2013. – SOFIA, Dept. of information

technologies and communications university of national and world economy, 1700

SOFIA, BULGARIA, 2014. – С. 495–504. (Google Scholar, закордонне видання)

11. Махович О. І. Побудова структурно спрощених математичних моделей

динаміки нестаціонарних теплових процесів / О. І. Махович // Матеріали

V Міжнародної науково-практичної конференції «Обробка сигналів і негаусівських

процесів» присвяченої пам'яті професора Ю. П. Кунченка (м. Черкаси, 20-22 травня

2015 р.). – Черкаси : ЧДТУ, 2015. – С. 184–186.

12. Махович О. І. Метод редукції задач моделювання динаміки

нестаціонарних теплових процесів / О. І. Махович // Матеріали ІІІ Міжнародної

науково-практичної конференції «Обчислювальний інтелект (результати, проблеми,

перспективи)» (Київ-Черкаси, 12–15 травня 2015 р.) – Черкаси : вид. Чабаненко Ю.,

2015. – С. 310–311.

13. Махович О. І. Апроксимаційні методи в моделюванні динаміки

нестаціонарних теплових процесів / О. І. Махович // Матеріали Міжнародної наукової

конференції «Сучасні проблеми математичного моделювання та обчислювальних

методів» (Рівне, 19-22 лютого 2015 р.). – Рівне : РВВ РДГУ, 2015. – С. 111.

14. Махович О. І. Моделювання електроприводу з розподіленою

механічною ланкою на основі її інтегрального подання / О. І. Махович // Тези

XXXIII науково-технічної конференції молодих вчених та спеціалістів Інституту

проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України (м. Київ, 15–

16 січня 2014 р.). – К. : ІПМЕ НАНУ, 2014. – С. 15.

15. Федорчук В. А. Особливості моделей електромеханічних систем з

розподіленими параметрами / В. А. Федорчук, О. І. Махович // Наукові праці

Кам’янець-Подільського національного університету імені Івана Огієнка : зб. за

підсумками звітної наук. конференції викладачів, докторантів і аспірантів. –

Кам’янець-Подільський : К-ПНУ, 2013. – Вип. 12 : у 3 т. – Т. 2. – С. 81–82.

АНОТАЦІЯ

Махович О. І. Побудова і комп’ютерна реалізація структурно-спрощених

математичних моделей об’єктів із розподіленими параметрами. – На правах

рукопису.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за

спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. –

Черкаський державний технологічний університет, Черкаси, 2015.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню процесів моделювання об’єктів

із розподіленими параметрами на основі отримання структурно-спрощених моделей,

які задовольняють критеріям адекватності і точності по відношенню до базової

моделі у вигляді диференціальних рівнянь із частинними похідними і, разом з тим,

які забезпечують умови застосовності при створенні програмних засобів обробки

19

інформації, в тому числі «вбудованих» у технічні системи з підвищеними вимогами

до ресурсних затрат і швидкодії. У роботі розглядаються задачі побудови за

заданими базовими моделями спрощених математичних моделей динаміки об’єктів

із розподіленими параметрами у вигляді звичайних диференціальних рівнянь,

інтегральних операторів (динамічних моделей явного вигляду) та передатних

функцій, як найбільш поширених в теперішній час видів моделей у широкій

практиці технічних досліджень і розробок.

Ключові слова: структурно-спрощені математичні моделі, моделі об’єктів з

розподіленими параметрами, апроксимаційні моделі, числова реалізація.

АННОТАЦИЯ

Махович А. И. Построение и компьютерная реализация структурно-

упрощенных математических моделей объектов с распределенными параметрами. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по

специальности 01.05.02 – математическое моделирование и численные методы. –

Черкасский государственный технологический университет, Черкассы, 2015.

Диссертационная работа посвящена исследованию процессов моделирования

объектов с распределенными параметрами на основании получения структурно-

упрощенных моделей, которые удовлетворяют критериям адекватности и точности

по отношению к базовой модели в виде дифференциальных уравнений с частными

производными. Полученные модели, вместе с тем, могут применяться при

создании программных средств обработки информации, в том числе «встроенных»

в технические системы с повышенными требованиями к ресурсным затратам и

быстродействию.

В работе предложен метод построения структурно-упрощенных

математических моделей динамики объектов с распределенными параметрами с

использованием интерполяционного подхода. Метод владеет универсальностью по

отношению к разного рода симметричным и несимметричным граничным

условиям и ориентирован на простоту практического использования и

эффективную численную реализацию.

Применение метода позволяет получать более простые вычислительные

выражения для численной реализации модели в виде полинома и вспомогательной

системы обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которой выступают

в качестве коэффициентов этого полинома. Разработаны способы применения метода

для ограниченных и полуограниченных пространственных объектов с

распределенными параметрами. Выведены готовые к практическим расчетам

вычислительные выражения для численной реализации моделей объектов данного

класса, представленных в декартовой и цилиндрической системах координат.

Разработанный метод эффективно алгоритмизируется и обеспечивает

построение экономичных программных средств, а его применение позволяет при

моделировании и численной реализации полученных моделей на промежуточных

этапах воспользоваться средствами реализации типовых численных методов

готовых программ компьютерного моделирования. Серия вычислительных

экспериментов показала высокую вычислительную эффективность метода в

20

сравнении с сеточными методами при сохранении достаточной для инженерных

расчетов точности.

Исследованные в работе методы построения упрощенных моделей объектов

с распределенными параметрами дают возможность непосредственно вычислить

решение (динамические модели явного вида в форме интегральных операторов

Вольтерры, ядра которых определяются как импульсные переходные

характеристики объектов с распределенными параметрами) или получить такое

математическое описание, численную реализацию которого легко осуществить с

помощью существующих средств компьютерного моделирования (упрощение к

дробно-рациональному виду с помощью аппроксимации цепными дробями

трансцендентных и иррациональных передаточных функций, свойственных

моделям объектов с распределенными параметрами).

Разработаны численные алгоритмы для реализации интегральных моделей

объектов с распределенными параметрами, основанные на применении квадратурных

формул разных классов. При этом эффективным способом получения

быстродействующих алгоритмов численной реализации интегральных операторов

является использование формы представления ядер в виде вырожденного ядра.

Практическая ценность основных результатов исследования подтверждается

результатами их внедрения на ООО «ЛУКОЙЛ Технолоджи Сервисиз Украина»,

что позволило повысить производительность производства за счет повышения

качества управления технологическими процессами.

Ключевые слова: стуктурно-упрощенные математические модели, модели

объектов с распределенными параметрами, аппроксимационные модели, численная

реализация.

ABSTRACT

Makhovych O.I. Design and computer implementation of structurally simplified mathematical models of objects with distributed parameters. – Manuscript.

Thesis for the scientific degree of candidate of technical sciences, specialty

01.05.02 – Mathematical modeling and computational methods. – Cherkasy State

Technological University, Cherkasy, 2015.

The thesis is devoted to research the processes of modeling objects with distributed

parameters by obtaining structurally simplified models that meet the criteria of adequacy

and accuracy with respect to the base model in the form of differential equations with partial

derivatives and, at the same time providing the conditions applicable to the creation of

software tools for information processing, including "embedded" in the technical systems

with high demands on the resource cost and performance.

The paper considers the problem of constructing on given basic models of

simplified mathematical models of the dynamics of objects with distributed parameters in

the form of ordinary differential equations, integral operators (the explicit form of

dynamic models) and transfer functions, as the most common contemporary species of

models in the broad practice of technology research and development.

Keywords: structurally simplified mathematical models, objects with distributed

parameters, the model approximation, numerical implementation.

Підп. до друку 21.10.2015. Формат 60х90/16.

Папір офісний. Друк різографічний. Гарнітура Times.

Обл.-вид. арк. 0,9. Тираж 100. Зам. № 704.

Надруковано у Кам’янець-Подільському

національному університеті імені Івана Огієнка,

вул. Огієнка, 61. Кам’янець-Подільський, 32300.

Свідоцтво про внесення до державного реєстру

суб'єктів видавничої справи серії ДК № 3382 від 05.02.2009 р.