Q 00841 Fisicoquımica I

Ciclo de Carnot

Sadi Carnot hizo una aportacion conceptual fundamental a la Termodinamica a travesde su analisis de la conversion del calor en trabajo1 y que tenıa como objetivo descubrir losfactores que determinan la eficiencia maxima que puede conseguirse de una maquina. Coneste proposito, imagino una maquina ideal de cuatro etapas basada en un gas perfecto quees comprimido isotemicamente a baja temperatura, luego se comprime adiabaticamente detal manera que su temperatura aumenta hasta alcanzar una temperatura Th. Posteriormenteel gas se expande isotermicamente y finalmente se regresa al estado inicial a traves de unaexpansion adiabatica que enfrıa el gas hasta la temperatura Tc, tal como se muestra en laFigura 1. Los procesos que conforman el ciclo de Carnot ocurren de manera reversible.

Th

Tc

VbVc Vd Va

P

V

Figura 1: Diagrama P vs. V del ciclo de Carnot. El area dentro del ciclo en este diagramarepresenta el trabajo neto realizado al completar un ciclo. En la grafica las isotermas seindican por las lıneas punteadas azules mientras que las adiabatas estan indicadas por laslıneas punteadas rojas.

Calcularemos los valores de ∆U , q y w para cada una de las etapas del ciclo de Carnot:

i) compresion isotermica (Tc, ∆T = 0)

∆U = 0

∆U = qh + w = 0

w = −qh

w = −nRTh lnVb

Va

1 Sadi Carnot (1796-1832) Su trabajo fue publicado en el libro titulado ‘Reflexions sur la puissance motricedu feu’ en 1824

ii) compresion adiabatica (q = 0)

∆U = w

∆U = nCV (Th − Tc)

w = nCV (Th − Tc)

iii) expansion isotermica (Th, ∆T = 0)

∆U = 0

∆U = qc + w = 0

w = −qc

w = −nRTc lnVd

Vc

iv) compresion adiabatica (q = 0)

∆U = w

∆U = nCV (Tc − Th)

w = nCV (Tc − Th)

Los datos se sumarizan en la Tabla 1. Es importante notar que como esperamos, ∆Uciclo = 0,y el trabajo neto y calor neto deben ser cantidades iguales pero de signos contrarios.

Tabla 1: Resumen de los valores de ∆U , q y w para las etapas individuales y para el ciclocompleto de Carnot.

∆U q w

i) 0 qh −nRTh ln(Vb/Va)

ii) nCV (Th − Tc) 0 nCV (Th − Tc)

iii) 0 qc −nRTc ln(Vd/Vc)

iv) nCV (Tc − Th) 0 nCV (Tc − Th)

Total 0 qh + qc

−[nRTh ln(Vb/Va)

+ nRTc ln(Vd/Vc)]

Vamos a calcular la eficiencia de la maquina de Carnot. La eficiencia de cualquier maqui-na, por definicion, es la razon entre el trabajo neto realizado y el calor introducido en elsistema,

η =|wneto|

qh

(1)

2

donde tomar el valor absoluto de la ecuacion 1 es necesario para asegurar un valor positivopara la eficiencia, pues el valor de wneto para una maquina que realiza trabajo sobre losalrededores es negativo.

Iniaciamos con la relacion wneto = −(qh + qc), que es valida para cualquier maquina y laintroducimos en la ecuacion 1

η =|wneto|

qh

=| − (qh + qc)|

qh

2

=qh + qc

qh

η = 1 +qc

qh

(2)

Puesto que qc < 0 y qh > 0, el valor de η representado por la ecuacion general 2 debetomar un valor menor a 1. La intepretacion de esta expresion es que la eficiencia de unamaquina nos indica su capacidad de convertir el calor transferido al sistema, qh en trabajoutil. La cantidad de calor transferida al sistema que no se convierte en trabajo, qc, es elcalor desaprovechado y es transferido al bano termico de menor temperatura. La Figura 2se muestra un esquema general del funcionamiento de una maquina.

qh

qc

wsistema

Th

Tc

Figura 2: Representacion esquematica de una maquina que realiza trabajo a partir del calorque se introduce a una temperatura de trabajo Th. La fraccion de calor que no se aprovechacomo trabajo se transfiere al bano termico que se encuentra a una temperatura Tc.

Ahora introduciremos en la ecuacion 1 los elementos particulares del ciclo de Carnot paraencontrar una segunda expresion para la eficiencia del ciclo.

2el valor absoluto de a es: |a| =

{+a si a > 0,

−a si a < 0.

3

η =|wneto|

qh

=| − (nRTh ln(Vb/Va) + nRTc ln(Vd/Vc)|

nRTh ln(Vb/Va)

=(nRTh ln(Vb/Va) + nRTc ln(Vd/Vc)

nRTh ln(Vb/Va)

= 1 +Tc ln(Vd/Vc)

Th ln(Vb/Va)(3)

A partir de la Figura 1 podemos encontrar la relacion entre los volumenes Va, Vb, Vc y Vd queestan relacionados entre si a traves de las isotermas y las adiabatas que constituyen el ciclo.Principalmente, nos enfocaremos a las adiabatas de las que puede deducirse que

(Th

Tc

)=

(Vb

Vc

)γ−1

y

(Th

Tc

)=

(Va

Vd

)γ−1

para obtener la relacion

Vb

Vc

=Va

Vd

y entonces,Vd

Vc

=Va

Vb

y substituyendo en la ecuacion 3 nos da finalmente

ηCarnot = 1 − Tc

Th

(4)

Este resultado es fundamental pues nos revela que la eficiencia de una maquina reversibleesta determinada exclusivamente por los valores de las temperaturas Th y Tc entre las que lamaquina se desarrolla y encontramos entonces que hay una imposibilidad en la obtencion deeficiencias cercanas a uno impuesta por la misma naturaleza. Ademas, este resultado, comopuede verse no depende de la substancia que se utiliza para construir la maquina.

Claramente, el valor ηCarnot marca la maxima eficiencia que puede lograrse cuando lastemperaturas de trabajo son Th y Tc pues establecimos desde el inicio que construimos elciclo de carnor con etapa reversibles. Una maquina irreversible trabajando bajo las mismascondiciones de temperatura tendra una eficiencia ηirrev < ηCarnot.

4

Ciclo de Carnot

El analisis del ciclo propuesto por Carnot nos lleva a un resultado fundamental,

η = 1 − Tc

Th

(1)

que nos indica que la eficiencia para un ciclo reversible depende solamente de los valores detemperaturas, alta y baja, asociadas con el funcionamiento de una maquina y no dependedel material con el que se construye. La eficiencia del ciclo de Carnot, como demostraremos,corresponde la fraccion maxima del calor absorbido que puede ser convertida en trabajocuando el proceso se desarrolla entre las temperaturas Th y Tc.

Como el ciclo de carnot esta compuesto por etapas reversibles, en las que no se producenperdidas por friccion, puede funcionar tanto en una direccion como en otra, como se muestraesquematicamente en la Figura 1, donde el ciclo produce trabajo o bien utiliza trabajo paratransferir calor.

Tc

qc

Th

qh

wsistema

Tc

qc

Th

qh

wsistema

Figura 1: Ciclo de Carnot como motor, w < 0 o como bomba de calor, w > 0.

Para comprobar que la eficiencia del ciclo de Carnot corresponde a la eficiencia maximaposible, acoplaremos un motor cualquiera B a un ciclo de Carnot trabajando en sentidoinverso, y bajo el supuesto que la eficiencia de este motor es mayor que la eficiencia delmotor de Carnot, ηB >ηCarnot. Ambos trabajaran entre las temperaturas Th y Tc y el trabajogenerado por B se utilizara en el ciclo de Carnot.

ηB > ηCarnot (2)

| − w|q′h

>| − w|

qh

entonces

qh > q′h (3)

qh

q′h

> 1 (4)

1

Tc

qc'

Th

qh'

wB

qc

qh

Carnot

Figura 2: Motor acoplado a un ciclo de Carnot que trabaja en direccion inversa.

La eficiencia para cada ciclo, es por definicion,

ηB = 1 − q′c

q′h

y ηCarnot = 1 − qc

qh

(5)

respectivamente, que reemplazando en la desigualdad (2) nos permite obtener

q′c

q′h

<qc

qh

qh

q′h

<qc

q′c

(6)

que consecuentemente y junto con la desigualdad (4) nos debe llevar a concluir que

qc

q′c

> 1 (7)

qc > q′c (8)

Ahora, sumamos las desigualdades (3) y (8)

qh + qc > q′h + q′

c (9)

que nos dice que el calor que proviene del bano termico a la temperatura Tc hacia el banotermico Th es mayor que el calor neto en el sentido contrario, q′

h + q′c, lo que implicarıa

que estamos transfiriendo calor de un cuerpo frıo a otro caliente lo que esta en completacontradiccion con nuestra experiencia y ademas, con la Ley Cero de la Termodinamica.

En conclusion, la eficiencia de un motor, bajo iguales condiciones de temperatura, nopuede ser mas eficiente que una maquina de Carnot.

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