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Presentación del articulo "Vinculaciones autosimilares" para la materia Teoría de la Computación de la maestría en ciencias de la computación en la Universidad Simón Bolívar
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Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia Universidad Simón BolívarTeoría de la computación
Junio 2014
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
Temario
Autosimilitud de forma generalAutosimilitud en vinculaciones
Generación de vinculaciones autosimilares
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
“En Matemática, la autosimilaridad, a veces llamada autosimilitud o autosemejanza, es la propiedad de un objeto (llamado objeto autosimilar) en el que el todo es exacta o aproximadamente similar a una parte de sí mismo, por ejemplo cuando el todo tiene la misma forma que una o varias de sus partes. Muchos objetos del mundo real, como las costas marítimas, son estadísticamente autosimilares: partes de ella muestran las mismas propiedades estadísticas en diversas escalas. La autosimilaridad es una propiedad de los fractales.”
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
Exacta
Aproximada
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_landscape
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
¿Dónde podemos encontrar objetos autosimilares?
¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? (Mandelbrot 1967)
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
¿Dónde podemos encontrar objetos autosimilares?
The misbehavior of markets(Mandelbrot 2008)
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
¿Dónde podemos encontrar objetos autosimilares?Internet traffic viewed on different time scales is self-similar (fractal)
http://www.math.duke.edu/~rtd/p6/
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
¿Dónde podemos encontrar objetos autosimilares?
Medicina
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
¿Dónde podemos encontrar objetos autosimilares?
Medicina
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
¿Dónde podemos encontrar objetos autosimilares?
Plantas
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
¿Dónde podemos encontrar objetos autosimilares?Teoría del caos
Atractores extraños
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
¿Por qué estudiar esto?
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
¿Por qué estudiar esto?Modelado de datos como grafos:
Graph DatabasesRDFOWL
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
¿Por qué estudiar esto?Modelado de datos como grafos:
Graph DatabasesRDFOWL
Detección de invariantesGeneración de datos sintéticos
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
VínculosEstructuras de vínculos
Autosimilitud en estructuras de vínculos
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
Vínculo
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
Vinculación
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
Las vinculaciones las podemos interpretar como un grafo dirigido
{¦<:a,b:>,<:a,c:>,<:b,d:>,<:c:d:>}
El largo de los lados y la forma de figura no aportan ninguna información, la información esta únicamente en la adyacencia de los nodos y la
orientación de los arcos.
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
En teoría de grafos, un isomorfismo entre dos grafos G y H es una biyección f entre los conjuntos de sus vértices
que preserva la relación de adyacencia. Es decir, cualquier par de vértices u y v de G son adyacentes si y solo si lo son sus imágenes, f(u) y f(v), en H.
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo,
aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.
Una vinculación es autosimilar si se puede expresar como la unión de vinculaciones
isomorfas entre sí.
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
Por ejemplo la siguiente vinculación es autosimilar porque se puede representar como
{¦<:a,b:>,<:a,c:>,<:b,d:>,<:c:d:>} U {¦<:c,d:>,<:c,e:>,<:e,f:>,<:d:f:>} U {¦<:e,f:>,<:e,g:>,<:f,h:>,<:g:h:>}
que son claramente isomorfas entre sí.
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
Generación de complejidad en estructuras de vinculación
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
AnexiónSean V’ y V dos vinculaciones donde V tiene un único final y V’ un único inicio, la anexión de V’ a V es el resultado de crear un vínculo <:v,v’:> donde v corresponde al elemento no marcado
del final de V y v’ es el elemento marcado del inicio de V’ y unir ambas vinculaciones y el nuevo vínculo.
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
Sustitución
Dado un vínculo <:a,b:> en una vinculación V, y una vinculación V’ con un único inicio y un único final tal como está definido en
(Baralt Torrijos, Vinculación, 2014)
La sustitución <:a,b:> por V’ en V el resultado de sustraer <:a,b:> de V, sustituir el inicio de
V’ por el elemento marcado de <:a,b:> , el final de V’ por el elemento no marcado de
<:a,b:> y unir V’ a V.
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
Sustitución
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
Sistemas de Lindenmeyer en vinculacionesLos sistema L son definidos como un conjunto
G = {V, S, ω, P},
Donde
• V (el alfabeto) es un conjunto de símbolos que contiene elementos que pueden ser remplazados (variables)
• S es un conjunto de símbolos que contiene elementos que se mantiene fijos (constantes)
• ω es una cadena de símbolos de V que definen el estado inicial del sistema (inicio o axioma)
• P es un conjunto de reglas o producciones que definen la forma en la que las variables pueden ser remplazadas por combinaciones de constantes y otras variables. Una producción está formada por dos cadenas — el predecesor y el sucesor.
Las reglas gramaticales de los sistemas-L se aplican iterativamente a partir de un estado inicial.
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
Variables : FConstantes : + −Inicio : FReglas : (F → F-F++F-F)
Aquí, F significa "dibujar hacia adelante", + significa "vuelta de 45° hacia la izquierda", y - significa "vuelta de 45° hacia la derecha".
Curva de Koch
http://www.kevs3d.co.uk/dev/lsystems/
1 Iteración 3 Iteraciones 6 Iteraciones
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
Sea donde Z son los número enteros y la colección de los elementos posibles en una vinculación. En la cadena un número
a la derecha de un elemento significa que hay vínculo cuyo elemento destacado es el elemento a la izquierda del número y el no destacado el j-esimo elemento de la cadena (a la derecha si
es positivo o a la izquierda si es negativo) de la cadena.
C = a12b2c1d genera la siguiente vinculación V = {¦<:a,b:>,<:a,c:>,<:b,d:>,<:c,d:> }
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
Variables: A,B,C,DInicio: AReglas: A → A12B2C1D
Haciendo dos iteraciones tenemos:
V = A12B2C1D12B2C1D
Ejemplo
Si permitimos que la variables “se instancien” como elementos de una colección podemos obtener una vinculación mucho más interesante ya
que los vínculos no estarían repetidos con los mismo elementos.
Autosimilaridad en vinculaciones
Francisco Berrizbeitia – USB – Teoría de la computación - Junio 2014
Conclusiones