Upload
m-cahyo-ardi-prabowo
View
53
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Stabilitas LyapunovPenyusun :Nama : M. Cahyo Ardi PrabowoNim : 1410501029Pembimbing : R. Suryoto Edy R, S.T., M.Eng.
JURUSAN TEKNIK ELEKTROFAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS TIDAR
Daftar Isi• Sejarah Lyapunov• Definisi Stabilitas• Stabilitas Lyapunov• Teorema 1 dan 2 Lyapunov• Daftar Pustaka
Sejarah Lyapunov
Aleksandr Mikhailovich Lyapunov.Seorang ahli matematika Rusia,yang memiliki teori dalam sistemnon linear, yaitu teori linearstabilitas.
Stabilitas
Stabilitas = Stabil / Kestabilan.Dalam matematika, teori stabilitas membahasstabilitas solusi dari persamaan diferensial danlintasan dari sistem dinamis. Stabil dapatdigambarkan berupa linier atau garis lurus
Teorema 1 LyapunovTeorama 1 :
Jika diketahui, suatu sistem dimana untuk sembarang t, jika ada suatu parameter V(x,t) yang mempunyai turunan parsial pertama kontinyu :– V( x,t ) definit positif– V dot ( x,t ) definit negatif
),,( txfx 0),0( tf
Teorema 1 LyapunovTeorama 1 :• Maka keadaan kesetimbangan di titik asal
adalah stabil asimptotik secara uniform. Jika ternyata V(x,t) → ~ untuk ║x║→ ~, maka keadaan kesetimbangan di titik asal adalah stabil asimptotik global secara uniform.
Teorema 2 LyapunovTeorama 2 :
Jika diketahui, suatu sistem untuk sembarang t , jika ada suatu parameter V(x,t) yang mempunyai turunan parsial pertama kontinyu :– V( x,t ) definit positif– V dot ( x,t ) definit negatif
),,( txfx
Teorema 2 LyapunovTeorama 2 :
tidak terjadi nol pada untuk dan dimana
menyatakan trayektori dengan titik awal di pada , maka kedaan kesetimbangan di titik asal dari sistem adalah stabil asimptotik global secara uniform.
),,(),,);(( 00 txfttxtV
0tt 0t 0x ),,( 00 ttx0x
0t
Stabilitas Lyapunov Kesetimbangan / Lyapunov stabil
jika, untuk setiap ε > 0 Terdapat δ > 0 sehingga jika, < δ , Maka untuk setiap t ≥ 0.
Sehingga : ∥ x ( t ) - x e < ∥ ε
Stabilitas Lyapunov Kesetimbangan / Lyapunov stabil
Contoh :
)(11
3210
tuxx
00
032
10
,0)(,
2
1
2
1
e
e
e
e
xx
xxtuJika
))(),(( tutxfx
1x
2x Equilibrium point
Stabilitas Lyapunov
1x
2x
ex0x
)(tx
Lyapunov Stabil
Stabilitas Lyapunov Kesetimbangan / Asimtotik stabil
Jika Lyapunov stabil dan terdapat δ > 0, maka x ( 0 ) - x e < ∥ ∥ δ.Sehingga : lim t → ∞ x ( t ) - x e = 0.∥ ∥
Stabilitas Lyapunov Kesetimbangan / Asimtotik stabil
Contoh :o Sistem stabil,o KriteriaMaka :
txtxxx eee as ,0)(0
0e
Stabilitas Lyapunov
1x
2x
ex0x
e
)(tx
Lyapunov Asimptotik Stabil
Stabilitas Lyapunov Kesetimbangan / Asimptotik Global
jika stabil asimtotik dan terdapat α > 0 . β > 0 . δ > 0, maka x ( 0 ) - x e < , ∥ ∥Sehingga :
∥ x ( t ) - x e ≤ ∥ α ∥ x ( 0 ) - x e e - ∥ β t, untuk semua t ≥ 0.
Daftar Pustaka• http://share.its.ac.id/pluginfile.php/40669/mod
_resource/content/3/8.9%20Analisa%20Kestabilan%20Lyapunov.pdf
• https://translate.google.com/translate?hl=id&sl=en&u=https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_stability&prev=search
• https://www.coursehero.com/file/13894656/MSC-Lecture07ppt/
TERIMA KASIH