Ss clase 2

CAPITULO 2:TRANSFORMADA Z

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•• TRANSFORMADA ZTRANSFORMADA Z

•• FUNCIÓN DE TRANSFERENCIAFUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

•• RESPUESTA DE SISTEMASRESPUESTA DE SISTEMAS

•• MODELOS DE POLOS Y CEROSMODELOS DE POLOS Y CEROS

•• RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN SISTEMA DE RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN SISTEMA DE TIEMPO DISCRETOTIEMPO DISCRETO

CAP2: TRANSFORMADA Z


Relación Entrada – Salida en Tiempo: CONVOLUCIÓN

• La secuencia de salida y[n] está relacionad con la entrada x[n] y la respuesta a la muestra unitaria h[n] por la convolución de x[n] con h[n].

• La suma de convolución no suele ser una manera conveniente de tratar las relaciones de entrada – salida en la mayoría de los casos. Ya que en la práctica no sólo es imposible procesar secuencias infinitamente largas con exactitud, sino que además, la suma de convolución hace más difícil intuir el comportamiento dinámico de un procesador.

Una manera de evitar estas dificultades es utilizar: La Transformada La Transformada ZZ

SistemaSistemah[n]h[n]

x[n] y[n]=x[n]*h[n]

El conocimiento de la forma de la respuesta a la muestra unitaria de un sistema dado permite calcular la repuesta del sistema a cualquier entrada arbitraria.




TRANSFORMADA ZPara una secuencia general:

x[n] = … x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2], …

La transformada z de x[n] se denota como X(z) y se define como:

Como solo trataremos secuencias causales, es decir aquellas secuencias para las que x[n] = 0 para x < 0, entonces:

De modo que la transformada z es una serie de potencias de z-1, cuyos coeficientes son los valores de las muestras de la secuencia x[n].

X[z] = ∑ x[n].z-n∞

k= -∞

X[z] = ∑ x[n].z-n

= x[0].z-0 + x[1].z-1 + x[2].z-2 + … + x[n].z-n + …

∞

k= 0



TRANSFORMADA ZEjemplos:

• x[n] = 3, 2, 1, 0, 0, 0 …

X(z) =x[0].z-0 + x[1].z-1 + x[2].z-2 + … = 3z-0 + 2z-1 + z-2

Una manera de considerar a la transformada z de una secuencia x[n] es pensar que z-1

se usa para etiquetar el lugar de cada una de las muestras que conforman la secuencia.

Por ejemplo:

En la secuencia anterior la muestra de valor 3 es la primera para el t=0, mientras que la muestra de valor 2 se retrasa un periodo de muestreo respecto a la primera, dicho retraso de una muestra se etiqueta o representa con z-1 en la transformada z de la secuencia. De igual forma la muestra de valor 1 que se encuentra retrasada 2 periodos de muestreo, se representa con z-2.



PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z1. La relación entre una secuencia x[n] y su transformada z es unívoca,

(*para secuencias causales)

x[n] ↔ X(z)

de modo que se dice que x[n] y X(z) constituyen una pareja de transformadas z.

Esto quiere decir que ningún par de secuencias tiene la misma transformada z (a menos que sean idénticas) y de forma similar, ningún par de transformadas z corresponden a la misma secuencia.

2. La obtención de la transformada z de una secuencia es una operación lineal,

por lo que cumple los principios de superposición y homogeneidad.

Superposición:

Si: x[n] ↔ X(z) y y[n] ↔ Y(z) x[n] + y[n] ↔ X(z) + Y(z)

Homogeneidad:

Si: x[n] ↔ X(z) kx[n] ↔ kX(z)



PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

La notación de la transformada z es muy útil cuando se trabaja con retardos.

Por ejemplo, la secuencia x[n] = 3,2,1,0,0,0… retardada un periodo de muestreo sería x[n-1] = 0,3,2,1,0,0,…

Si hallamos su expresión en z:

Para x[n] X(z) = 3z0 + 2z-1 + 1z-2

Para x1=x[n-1] X1(z) = 0z0 + 3z-1 + 2z-2 + 1z-3 = z-1 (3z0 + 2z-1 + 1z-2) = z-1 X(z)

La notación z-1 denota un retardo de un periodo de muestreo, es por esta razón que a z-1 se le denomina operador de retardo.

3. Propiedad de Retardo de Z-1

Si: x[n] ↔ X(z) x[n-k] ↔ XK(z) = z-k X(z)



FUNCIÓN DE TRANSFERENCIAAhora se demostrará la manera en que se puede usar la transformada z para modelar la relación entre las secuencias de entrada y salida de un procesador de tiempo discreto.

En General:

Para un sistema de tiempo discreto no recurrente, cuya ecuación de recurrencia es:

Si utilizamos la notación de la transformada z:

Si: x[n] ↔ X(z), x[n-k] ↔ z-k X(z) y y[n] ↔ Y(z)

Por lo que reemplazando:

Y(z) = a0.X(z) + a1.z-1X(z) + a2.z-2X(z) + … aN.z-NX(z)

Y(z) = X(z) . [a0 + a1.z-1 + a2.z-2 + … aN.z-N]

Y(z) = X(z).H(z)

De modo que a H(z) se le denomina función de transferencia del sistema.

y[n] = a0.x[n] + a1.x[n-1] + a2.x[n-2] + … aN.x[n-N]


FUNCIÓN DE TRANSFERENCIARelación Entrada – Salida en Transformada Z: MULTIPLICACIÓN

• La función de transferencia H(z) es una propiedad del sistema que caracteriza la forma en que el sistema modifica la secuencia de entrada para producir la secuencia de salida.

• La secuencia de salida y[n] está relacionad con la entrada x[n] y la función de transferencia H(z) por la multiplicación de X(z) por H(z).

• Una vez especificada H(z) es posible encontrar la transformada z de la secuencia de salida ante cualquier entrada dada la relación.

SistemaSistemaH(z)H(z)

X(z) Y(z)=X(z).H(z)



FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA


Entrada igual a la muestra unitaria: Un caso de interés se presenta cuando la entrada es la muestra unitaria.

Sabemos que para el dominio del tiempo:

Si la entrada x[n] = δ[n] y[n] = h[n]

Para el caso de la notación en transformada z:

Si x[n] = δ[n] = 1,0,0,0,… X(z) = 1z0+0z-1+0z-2+… = 1

De modo que reemplazando en la relación: Y(z) = X(z).H(z) = 1. H(z)

Por lo que H(z) resulta ser la salida del sistema para cuando la entrada sea igual a la muestra unitaria δ[n].

Ello demuestra que la respuesta a la muestra unitaria h[n] y la función de transferencia H(z) son una pareja de transformadas z.

h[n] ↔ H(z)




Respuesta de Sistemas: EjerciciosDada la ecuación de recurrencia de los siguientes tres procesadores (a), (b) y (c), encontrar para cada caso:

i) La función de Transferencia H(z)ii) La secuencia de la respuesta a la muestra impulsiva h[n]

a) y[n] = ½ x[n] + ½ x[n-1]

b) y[n] = x[n] + 4.x[n-2]

c) y[n] = x[n-1] + αx[n-2]

Conociendo la función de transferencia H(z) y la respuesta a la muestra impulsiva h[n] de cada uno de los tres sistemas, determinar la salida de cada uno de los sistemas ante una entrada igual a: x[n] = (3,1,2,-1)

Introduciendo como entrada el impulso unitario: δ[n] A través de la H(z) ya conocida

Conociendo la ecuación de recurrencia del sistema A través de la convolución en t A través de la multiplicación en z




Secuencias Infinitas:Hasta ahora solo hemos visto transformadas de z de secuencias finitas, sin embargo las secuencias infinitas también son frecuentes.Por ejemplo, para el caso del siguiente sistema recursivo:

Si hallamos su función de H(z):

y[n] = x[n]+ α.y[n-1] ↔ Y(z) = X(z) + αz-1Y(z)

Y(z) - αz-1Y(z) = X(z)

(1 - αz-1)Y(z) = X(z)

Y(z) = X(z).[1/(1 - αz-1)]

H(z) = 1/[1- αz-1] = 1 + αz-1 + α2z-2 + α3z-3 +…

h[n] = (1, α, α2, α3, …) ↔ H(z) = 1/[1 - αz-1]

T

x[n]

X

∑y[n] = x[n]+ α.y[n-1]

α

Y[n-1]




Exponencial Decreciente Muestreada:

Para los instantes de muestreo T se tiene que la secuencia infinita de muestreas sería:

x[n] = (1, e-T + e-2T + e-3T + e-4T +…)

x[n] = (1, (e-T), (e-T)2, (e-T)3, …) ↔ X(z) = 1 = z .[1 - (e-T)z-1] [z - (e-T)]

X (t)

0 T 4T3T0

5T2T 6T 7T

Considérese por ejemplo una forma de onda modelada como una función exponencial decreciente x(t) = e-t.

¿Cuál es la transformada z de la versión muestreada de esta forma de onda?

En la figura se muestra la forma de onda muestreada cada T segundos.

Obsérvese que la transformada de la forma de onda muestreada incluye de manera explícita el periodo de muestreo T. Esto refleja que el valor de T afectará los valores de cada muestra de la secuencia.

*Para: α = e-T




Ejercicios1. La función escalón unitario u(t) se muestrea cada T segundos. Encuentre la

transformada z de la secuencia de muestras resultante, suponiendo que el valor del escalón unitario en el tiempo t = 0 es 1. ¿Cuál es la transformada z del escalón unitario muestreado retardado T segundos?

Solución:La función escalón unitario se define como:u(t) = 1 (t ≥ 0) u[n] = 1,1,1,1,…

= 0 (t < 0)

2. Un sistema de tiempo discreto recursivo tiene la función de transferencia:

¿Cuál es la respuesta del procesador a una secuencia escalón unitario de entrada?

H(z) = 3z .z – 0.4

*Para: α = 1

U(z) = z .z – 1

z-1U(z) = z-1 z . = 1 .z – 1 z - 1




EjerciciosSolución:Como la transformada z de la función escalón unitario es:

Entonces: Y(z) = X(z).H(z)

Cuando no se puede determinar directamente la expresión de Y(z) en tiempo: y[n], se suele expresar en forma de fracciones parciales como la suma de dos términos.

De modo que:

Donde A y B son constantes. Resolviendo la ecuación:

3z2 = Az(z-1) + Bz(z – 0.4)

Haciendo z = 1 y z = 0.4 se obtienes que: B = 5 y A = -2, respectivamente

De modo que:

U(z) = z .z – 1

Y(z) = z . .z – 1

3z =.z – 0.4

3z2 .(z-1)(z – 0.4)

↔ y[n] = ¿?

3z2 =(z-1)(z – 0.4)

Az +.(z – 0.4)

Bz .(z-1)

Y(z) = -2z + .z – 0.4

5z .(z-1)




EjerciciosSolución:Usando la tabla básica de transformadas z donde:

Por lo que la respuesta del sistema será la suma de dos secuencias:

Y[n] = 5u[n] – 2(0.4)n

= (5,5,5,5…) – (2,0.8,0.32,0.128,0.0512,…)

= (3, 4.2, 4.68, 4.872, 4.9488, …)

-2z . ↔ -2(0.4)n

z - 0.4

5z . ↔ 5u[n]z - 1


Tabla Básica de Transformadas z


• δ[n]

• u[n]

• n

• an

• e-anT

• nan

• Sen nωT

• Cos nωT

z .z –1

z .(z –1)2

1

z .z – e-aT

z .z – a

z .(z – a) 2

z SenωT .z 2 – 2z Cos ωT + 1

z 2 - zCosωT .. Z 2 – 2Z Cos ωT + 1

Secuencia en tiempo [n] Transformada Z



MODELOS DE POLOS Y CEROSCEROS: Se define como ceros, todos aquellos valores de z para los cuales el polinomio z del numerado se hace cero.POLOS: Se define como polos , todos aquellos valores de z para los cuales el polinomio z del denominador se hace cero.

La variable z de la transformada z es una variable compleja con una parte real y otra imaginaria, y las posiciones de los polos y los ceros en valores específicos de z se pueden graficar en un diagrama de Argand, al que se le conoce también como plano z.

Ejemplo:

H1(z) = z + 1 .z

Ceros: z = -1Polos: z = 0

H2(z) = z .z + α

H3(z) = z(z+1) .z2 – z + 0.5

Ceros: z = 0Polos: z = - α

Ceros: z = 0, -1Polos: z = 0.5± j0.5

Im Z

Re Z0.5

0.5

- 0.5



Interpretación del Dominio del Tiempo del plano z• Un diagrama de polos y ceros en el plano z es una representación de una secuencia particular.

Es decir que si se tiene la representación de polos y ceros en el plano z de la función de transferencia H(z), a partir de dicha representación se puede determinar su transformada z y en consecuencia su secuencia de muestras en tiempo h[n], de la siguiente forma:

De este modo, si H(Z) se representa en el plano z mediante el siguiente diagrama de polos y ceros:

X(z) = (z - z1)(z - z2)(z - z3)… .(z - p1)(z - p2)(z - p3)… .

Im Z

Re Zα

X(z) . ↔ x[n]

H(z) = (z – 0) = z .(z – α) z – α


H(z) . ↔ h[n] = 1 + α + α2 + α3 +…

Im Z

Re Z0.5

0.5

- 0.5

H(z) = (z – 0)(z-(-1)) .(z – (0.5+j0.5)) (z – (0.5- j0.5))

↔ h[n]

Ceros: z = 0, -1Polos: z = 0.5± j0.5

H(z) = z2+z .z2 – z + 0.5

Donde: Ceros: z = z1, z2, z3, …Polos: z = p1, p2, p3, …




Como ejemplo, considérese de nuevo el sistema recursivo definido por la función transferencia:

En este caso el cero está fijo en z=0, pero la posición del polo puede cambiar variando la constante α. Además, se sabe que la respuesta a la muestra unitaria de este sistema es la secuencia infinita

h[n] = 1 + α + α2 + α3 +…

De modo que la posición del polo se puede asociar fácilmente con su secuencia correspondiente para diferentes valores de α. Es decir:Si α =- 2 Polos: z = +2 y h[n] = 1 + (-2) + (-2) 2 + (-2) 3 +… = 1 – 2 + 4 – 8 +…Si α = - 1 Polos: z = +1 y h[n] = 1 + (-1) + (-1) 2 + (-1) 3 +… = 1 – 1 + 1 – 1 +…Si α =- 0.5 Polos: z = +0.5 y h[n] = 1 + (-0.5) + (-0.5) 2 + (-0.5) 3 +… = 1 – ½ + ¼ – 1/8 +…Si α = +0.5 Polos: z = -0.5 y h[n] = 1 + (0.5) + (0.5) 2 + (0.5) 3 +… = 1 + ½ + ¼ + 1/8 +…Si α = +1 Polos: z = -1 y h[n] = 1 + (1) + (1) 2 + (1) 3 +… = 1 +1 +1 + 1 +…Si α = +2 Polos: z = -2 y h[n] = 1 + (2) + (2) 2 + (2) 3 +… = 1 + 2 + 4 + 8 +…

Si el diagrama muestra los polos y los ceros de la función de transferencia H(z) de un sistema de tiempo discreto, entonces la secuencia representada es la respuesta a la muestra unitaria del sistema.

H(z) = z .z + α





Si representamos cada secuencia en el plano z según su diagrama de polos y ceros:

0 T 2T 3T 4T 0 T 2T 3T 4T0 T 2T 3T 4T0 T 2T 3T 4T

0 T 2T 3T 4T 0 T 2T 3T 4T

Im Z

Re Z

+0.5 +1 +2-0.5-1-2

Sistema Estable ó Sistema Estable ó

Secuencias de Muestras Secuencias de Muestras DecrecientesDecrecientes

Para los valores de polo entre: -1 < α < +1



Interpretación General del plano zSe sabe que : Los polos entre z=-1 y z= +1 están asociados con sistemas estables o secuencias de muestras decrecientes. Los polos fuera de z =1 o z =-1 están asociados a sistemas inestables o secuencias que se incrementan de manera indefinida.

Sin embargo, los polos no están restringidos a ubicarse sólo en el eje real sino que pueden presentarse en parejas de conjugados complejos en el plano z.

De modo que en forma general, para determinar la estabilidad de un sistema en función de su diagrama de polos y ceros en el plano z, se tiene que:

- Polos localizados dentro del círculo unitario:

Secuencias Estables, se reducen con el tiempo

- Polos localizados fuera del círculo unitario

Secuencias Inestables, se incrementan de manera indefinida con el tiempo.

Además :

- Mientras más se cercan los polos al origen más rápida será su reducción a cero.

- El círculo unitario es interpretado como la frontera entre la estabilidad y la inestabilidad.

La respuesta a la muestra unitaria h[n] de cualquier sistema con polos reales o conjugados complejos se reducirá finalmente a cero siempre y cuando todos los polos se encuentren dentro de un círculo de radio uno

centrado en el origen del plano z.

Círculo Unitario




Ejercicios1. En las figuras se muestran los diagramas de bloques de dos sistema de tiempo

discreto. Determinar para cada uno de ellos:

i) La ecuación de recurrencia ii) La función de transferencia H(z)iii) La respuesta a la muestra unitaria h[n]iv) Determinar si el sistema es estable o inestable




Ejercicios2. Determinar la función de transferencia H(z) de un sistema LTI si se tiene la

siguiente información:

Además, se sabe que H(z=-1) = 7/4


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