PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

Turma 2015.1Profº Mario Jorge

Grupo:

Gabryelle CarvalhoLuana MirandaMaria Lívia GavaMarcolino SouzaRaiano Martins

ÍndiceIntroduçãoTeoria da ProbabilidadeMatrizes EstocásticasAndrei MarkovCadeia de MarkovMétodo 1 Método 2Classe de EstadosAplicações

IntroduçãoProcessos estocásticos são um campo que vêm ganhando

grande interesse, devido a diversidade de problemas cuja modelagem inclui algum aspecto probabilístico.

Constituem um ramo da Teoria da Probabilidade, onde se define um conjunto diverso de modelos que permitem, nas situações mais frequentes e de interesse prático, realizar o estudo dos fenômenos aleatórios que evoluem de acordo com o tempo.

IntroduçãoProcessos Estocásticos podem ser definidos como funções

que variam de acordo com o tempo, ou seja, para cada instante de tempo, o objeto em estudo toma um estado, e a variação entre estes estados é aleatória. Sendo o número de estados que este objeto pode ter, um número finito.

De forma simplificada, podemos dizer que processos estocásticos são processos aleatórios que dependem do tempo.

Intuitivamente, se uma variável aleatória é um número real que varia aleatoriamente, um processo estocástico é uma função temporal que varia aleatoriamente.

Podem ser classificados como: Processos de Tempo Contínuo: A variável pode mudar o seu valor em qualquer momento de tempo. Processos de Tempo Discreto: A variável somente pode alterar o seu valor a intervalos fixos de tempo. Variável Contínua: A variável pode assumir qualquer valor dentro de um determinado intervalo.Variável Discreta: A variável pode assumir apenas alguns valores discretos. Processos Estacionários: A média e variância são constantes no tempo.Processos não-estacionários: O valor esperado da variável aleatória pode crescer sem limite e sua variância aumenta com o tempo.

Teoria das Probabilidades

Surgiu por volta do século XVII, a partir da necessidade de um método racional para calcular riscos em jogos de azar. Cardano (1501-1576), no livro Liber de Ludo Aleae, foi o primeiro que estudou as probabilidades associadas ao arremesso de dados e jogos de azar.Pierre-Simon Laplace (1774) fez a primeira tentativa de deduzir uma regra para a combinação de observações dos princípios da teoria das probabilidades.

Propriedades GeraisSeja A um experimento aleatório e Ω o espaço amostral associado a A. Para cada evento A associa-se um número real P(A), o qual indica a probabilidade de A ocorrer . Assim, se A e B são eventos do espaço Ω, temos as seguintes propriedades:0 P(A) 1P(Ω) = 1P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)P(A*) = 1 – P(A)

Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então:P(AUB) = P(A) + P(B)

Operações com eventos

Tipos de ProbabilidadeProbabilidade Clássica

É aplicada quando o espaço amostral Ω é finito e os eventos elementares w são equiprováveis. Ou seja, eles têm a mesma probabilidade de ocorrer. Se A é um evento qualquer em Ω temos que a probabilidade de A será dada por:

P(A) = n° de resultados favoráveis a ocorrência de A

n° de resultados possíveis

Ex.: Probabilidade de tirar o número 4 em um dado: n° resultados favoráveis p/ 4__ = _1_

n° de resultados possíveis no dado 6

Tipos de Probabilidade

Probabilidade Frequentista Em situações em que os elementos do espaço amostral

não são igualmente prováveis, a probabilidade de ocorrer o evento A pode ser calculada pela noção de frequência relativa.

ƒ(A) = no. de vezes que A ocorreu

no. total de repetições do experimento=

nA

n

Tipos de ProbabilidadeProbabilidade Condicional

A probabilidade de um evento (A) ocorrer depende da condição da probabilidade de (B) ocorrer.

Gerando a regra da multiplicação:P(A B) = P(B) x P(A|B) = P(A) x P(B|A)

Matrizes estocásticasUma matriz estocástica (também chamada matriz de probabilidade, matriz de transição, matriz de substituição, ou matriz Markov) é uma matriz usada para representar as transições de uma cadeia de Markov. Cada um de seus valores é um número real positivo que representa uma probabilidade de determinado evento acontecer.

Vetor ProbabilidadeUm vetor de probabilidades ou vetor estocástico é um vetor com valores de entrada positivos e que a soma de suas componentes seja 1.

Cada linha representa um vetor estocástico (também chamado de vetor de probabilidade)e cada coluna os componentes desses vetores.

Matriz Estocástica RegularUm caso especial de uma matriz estocástica. Uma matriz estocástica A é dita ser regular, se todos os elementos de pelo menos uma potência específica de A são positivos e diferentes de zero. Matrizes regulares são importantes para o cálculo de probabilidades de processos dependentes (cadeias de Markov). Para uma matriz regular sempre uma matriz inversa existe, o que satisfaz a seguinte equação: A x A^(-1) = A^(-1) x A = I.

Andrei Markov

14 de junho de 1856 – 20 de julho de 1922 Matemático russo que formou-se na Universidade Estatal de St Petersburgo. Seus primeiros trabalhos foram limite de integrais e teoria da aproximação. Depois de 1900, Markov aplicou métodos de frações contínuas na teoria da probabilidade. Ficou conhecido por provar o teorema do limite central e ter criado as “Cadeias de Markov”.

Cadeias de Markov A probabilidade de qualquer comportamento futuro do processo, quando o seu estado atual é conhecido exatamente, não é alterada pelo conhecimento adicional sobre seu comportamento passado Também denominado de “memoryless process” (processo sem memória), uma vez que o passado é "esquecido" (desprezado).Se o conjunto de índice for discreto então a propriedade da cadeia de Markov é dada da seguinte forma:

Cadeias de Markov

Este processo pode assumir estados X[1],X[2],...X[n], de tal modo que a probabilidade de transição de um estado X[i] para um estado X[j] seja P[ij] (um número que só depende de X[i] e X[j]).

Cadeias de Markov: Método 1

A multiplicação sucessiva das matrizes por elas mesmas dão as probabilidades em tempos futuros.

A soma de cada linha deve ser igual a 1.

Todos os elementos devem ser maiores ou iguais a 0 (zero).

Método 1: Exemplo

Existem três marcas de automóveis disponíveis no mercado: o J, o P e o U. O termo aij da matriz A a seguir é a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o carro da coluna j, quando comprar um carro novo.

Como calcular as probabilidades de um consumidor mudar de uma marca para outra após duas compras?

Método 1: Exemplo

A matriz que fornecerá a resposta será a matriz decorrente de A x A, isto é, A².

Numa terceira compra o procedimento seria A² x A e assim sucessivamente.

Previsão do tempo

Em determinada região, observa-se que se chover muito em um ano, a probabilidade que chova muito no ano seguinte é de 1/4 e que a probabilidade de seca é de 3/4. Ainda, se houver seca em um ano, no ano seguinte a probabilidade de haver seca ou muita chuva será a mesma e igual a 1/2. Suponhamos que estas probabilidades não mudem ao passar dos anos. Os estados possíveis são Chuva (C) e Seca (S). Se no primeiro ano houve seca, qual a probabilidade que chova muito no terceiro ano?

Previsão do tempo: Arvore de probabilidades

Logo, se houve seca no primeiro ano, a probabilidade de chover muito no terceiro ano é de: ½ ¼ + ½ ½ = ⅜ O método da Árvore de Probabilidades é o mais simples, porém à medida que o número de anos aumenta, as contas se tornam cada vez mais complexas. Por isso, precisamos usar outros métodos para realizarmos previsões a longo prazo.

Cadeias de Markov: Método 2

Podemos realizar a medida a longo prazo utilizando um 2° método:

Precisamos conhecer o conceito de matriz das probabilidades de transição e de vetor de probabilidades.

Cadeias de Markov: Método 2Para podermos fazer previsões a longo prazo, a matriz T deve cumprir a certas condições. Se a matriz das probabilidades de transição T é regular, então:As potências T^n aproximam-se de uma matriz P, onde cada elemento de T^n aproxima-se do elemento correspondente em P;Todas as colunas de P são iguais, sendo representadas por um vetor-coluna;

Cadeias de Markov: Método 2Para qualquer vetor de probabilidade inicial V1

O vetor de probabilidades T^n V1 aproxima-se de V

O Vetor V é o único que satisfaz V = T V

Cadeias de Markov: Método 2O vetor de probabilidades é aquele cuja a i-ésima linha dá a probabilidade de ocorrência do estado ai após n transações

Pelo teorema, concluímos que:

Cadeias de Markov: ExemploNo exemplo da previsão do tempo. Podemos calcular a probabilidade de que haja chuva ou seca no n-ésimo ano.Temos a seguinte matriz T das probabilidades de transição:

O vetor de probabilidades irá conter a probabilidade de chuva e de seca no n-ésimo ano:

Cadeias de Markov: ExemploMultiplicamos a matriz T pelo vetor das probabilidades:

Cadeias de Markov: ExemploComo: Pc+Ps = 1 (100%)

Logo, Pc + 3/2 Pc = 1Pc = 2/5 (40%)

Portanto:Ps = 3/5 (60%)

A probabilidade de chuva a longo prazo é de 40% e a de seca é de 60%. Assim, a longo prazo a região deve sofrer com a estiagem.

Cadeias de Markov: Exemplo Suponhamos que em determinada região, a cada ano, 3% da população rural migra para as cidades, enquanto que apenas 1% da urbana migra para o meio rural. Se todas as condições permanecerem estáveis e estas porcentagens de migração continuarem as mesmas, qual deve ser a relação entre as populações urbana e rural desta região a longo prazo? A probabilidade de migração do meio rural para o meio urbano é 0,03, enquanto que a de não migração é 0,97. Já a probabilidade de migração do meio urbano para o rural é 0,01 e a de não migração é 0,99. Sendo U = meio urbano e R = meio rural, temos a matriz das probabilidades de transição:

Cadeias de Markov: Exemplo A longo prazo as probabilidades pR, de viver no meio rural, e pU, de viver no meio urbano, devem satisfazer:

Onde, 0,97 . pR + 0,01 . pU = pR0,03 . pR = 0.01pUpU = 3 pR

Como devemos ter pU + pR = 1 (100%), temos:  pU + pR = 1

3 pR + pR = 14 pR = 1

pR = 0,25    logo     pU = 0,75

A longo prazo, teremos 25% da população no meio rural e 75% da população no meio urbano.

Classe de estados Denomina-se classe do estado i ao conjunto de todos os estados que se comunicam com i, também denominado conjunto fechado. Desta forma, os estados de uma cadeia de Markov podem ser subdivididos em uma ou mais classes disjuntas (que não têm elementos em comum), tais que aqueles estados que se comunicam entre si se encontram na mesma classe, em um conjunto de estados transitórios.

Se em uma cadeia de Markov existir apenas uma classe, ou seja, se todos os estados se comunicam, esta cadeia é dita irredutível. Se, ao contrário, a cadeia possuir mais de uma classe ou possuir estados transitórios, ela é denominada redutível.

Classe de estados

Aplicações Previsão do tempo: saber se chove ou não. Previsão da variação de trafego em um cruzamento Estimativa do número mínimo de peças de reposição

reparáveis do maquinário de uma indústria. Teoria das filas :Modelos matemáticos usados para a

previsão do comportamento de sistemas de fila, usado para otimizar o processo de serviços em um sistema de fila ,pode ser aplicado em diversas áreas como filas de banco, hospitais ,supermercados e etc.

Previsão de qualquer fenômeno físico através de Modelagem matemática por cadeias de Markov o fenômeno que não e naturalmente uma cadeia de Markov pode ser modelado como uma.