Séries de Potência

Definição: Uma série de potências é uma série que depende de um parâmetro ,

da seguinte forma:

o número , a sequência e o parâmetro podem ser em geral números

complexos. 1

A convergência da série de potências depende da distância entre e no plano

complexo:

Convergência: da série de potências ao conjunto dos valores reais que, substituídos na série, originam uma série numérica convergente. Uma série de potências é uma função, que está definida no seu domínio de convergência.

O valor 0 pertence sempre ao domínio de convergência da série.

Raio de convergência: Se a distância for suficientemente aproximada a zero, a série converge ( o valor da série quando ); quanto maior for a distância mais lenta será a convergência, até que a partir de uma certa distância a série diverge. O valor máximo da distância para o qual a série converge, é o chamado raio de convergência ( ) e calcula-se a partir de:

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Exemplo 3:

Encontre o rio de convergência e o intervalo de convergência da serie.

Séries de TaylorEm matemática, a série de Taylor ou série de potências é uma série de funções da

seguinte forma:

Exemplo 4:

Exemplo 5:

A constante é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou complexa. Se a= 0, a série também é chamada de Série de Maclaurin (de Colin Maclaurin).

Série de Taylor associada a uma funçãoA série de Taylor associada a uma função f infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto (a − r, a + r) é a série de potências dada por

Onde, n! é o fatorial de n e f (n)(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns

1- Função exponencial e logaritmo natural:

2- Série geométrica:

3- Teorema binomial:

4- Funções trigonométricas:

onde Bs são números de Bernoulli.

5- Funções hiperbólicas:

6- Função W de Lambert:

Definição – Polinômio de Taylor de Ordem n

Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., N em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0 a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio

.)(!

)(...)(

!

)(...)(

!2

)´´())(´()()(

)()(2 n

nk

k

n axn

afax

k

afax

afaxafafxP −++−++−+−+=

Resto de um Polinômio de Taylor

Precisamos de uma medida da precisão na aproximação do valor de uma função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idéia de um resto Rn(x) definido por

)()()( xRxPxf nn +=

O valor absoluto )()()( xPxfxR nn −= é chamado de erro associado à aproximação.

Teorema de Taylor

Se f for derivável até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo a, então para cada x em I existe um número c entre x e a tal que

),()(!

)(...)(

!2

)´´())(´()()( )(

)(2 xRax

n

afax

afaxafafxf n

nn

+−++−+−+=

onde

.)()1(

)()( 1

)1(+

+

−+

= nn

n axn

cfxR

Teorema da Estimativa do Resto

Se existirem constantes positivas M e r tais que 1)1( )( ++ ≤ nn Mrtf para todo t entre a e x, inclusive, então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a desigualdade

.)!1(

)(11

+−

≤++

n

axrMxR

nn

n

Se essas condições forem válidas para todo n e todas as outras condições do Teorema de Taylor forem satisfeitas por f, então a série convergirá para f(x).

Combinando Séries de Taylor

Na interseção dos seus intervalos de convergência, as séries de Taylor podem ser somadas, subtraídas e multiplicadas por constantes e potências de x, e os resultados são novamente séries de Taylor. A série de Taylor para f(x) + g(x) é a soma da série de Taylor para f(x) e a série de Taylor para g(x) porque a enésima derivada de f + g é f(n) + g(n) e assim por diante.

Exemplos 1:

(a) Encontre o Polinômio de Taylor de ordem 1 de f ( x ) = ln ( x ) em volta de xo = 1 e o Resto de Lagrange . (b) Calcule um valor aproximado para ln ( 1,003 ) e avalie o erro

Solução : (a) Encontre o Polinômio de Taylor de ordem 1 de f ( x ) = ln ( x ) em volta de xo = 1 e o Resto de Lagrange .

(b) Calcule um valor aproximado para ln ( 1,003 ) e avalie o erro .

Exemplo 2: (a) Encontre o Polinômio de Taylor de ordem 2 de f ( x ) = ln ( x ) em volta de xo = 1 e o Resto de Lagrange . (b) Calcule um valor aproximado para ln ( 1,003 ) e avalie o erro .

Solução : (a) Encontre o Polinômio de Taylor de ordem 2 de f ( x ) = ln ( x ) em volta de xo = 1 e o Resto de Lagrange .

(b) Calcule um valor aproximado para ln ( 1,003 ) e avalie o erro .