Tema2 logica combinacional

Fundamentos de Computadores

V. A. García Alcántara; M. Gascón de Toro; A. Leal Hernández Pág. - 1

Ca ∈

a. de ariocomplement el o aSiend

Tema 2

LOGICA COMBINACIONAL. 2.1. ALGEBRA DE BOOLE. Un conjunto C dotado de 2 operaciones algebraicas, suma (+) y producto lógico (.), es un álgebra de Boole si y sólo si se verifican los siguientes postulados: 1.- Las operaciones son conmutativas. a + b = b + a ∀ a y b E C a • b = b • a 2.- Existen en C dos elementos neutros representados por 0 y 1 tales que: a + 0 = 0 + a = a ∀ a E C a • 1 = 1 • a = a 3.- Cada operación es distributiva respecto de la otra.

Suma respecto del producto: a + (b • c) = (a + b) • (a + c)

Producto respecto de la suma: a • (b + c) = (a • b) + (a • c) 4.- Para cada elemento a E C existe un elemento tal que:

Si los elementos que E C sólo pueden tomar dos valores bien diferenciados (V ó F, 0 ó 1) al conjunto C con las dos operaciones anteriores se le llama Algebra de Conmutación, y cumple los siguientes teoremas: 1º.- Teorema de dualidad. Cada identidad de las anteriores permanece válida si se intercambian entre sí las operaciones + y • y los elementos neutros 0 y 1.

01

=•=•=+=+

aaaaaaaa



aaaaaa

=•=+

( )( ) abaa

abaa=+•=•+

aa =

2º.- Para cada a E C se verifica que:

3º.- Teorema de idempotencia.

∀ a E C se verifica que: 4º.- Ley de absorción.

∀ a y b E C se verifica que: 5º.- En un álgebra de conmutación la suma lógica y el producto lógico son asociativos. 6º.- Teorema de involución.

∀ a E C se verifica que: 7º.- Leyes de Morgan. El complemento de una suma es igual al producto de los complementos de los sumandos.

El complemento de un producto es igual a la suma de los complementos de los factores.

2.2. FUNCIONES. FORMAS DE REPRESENTACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN Una función de un álgebra de conmutación está definida por unas expresión lógica en la que se relacionan entre sí las variables binarias (directas o complementadas) mediante las operaciones suma y producto lógico. Una función lógica se puede definir de varias formas: a) Mediante una expresión lógica no canónica:

b) Mediante la tabla de verdad: Se representa para cada combinación de valores de las

variables, el valor que toma la función.

0011

=•=+

aa

....... ••••=++++ dcbadcba

....... ++++=•••• dcbadcba

abcF +=



cbaabcbacabcF +++=

==

==

cbaabc

bacabc

10(2(

10(2(

10(2(

10((2

7111

5101

3011

1 001

=

=

=

=

c b a F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1

c) Mediante sus términos canónicos. Un término canónico es toda suma o producto en aparecen todas las variables de la función afirmadas o negadas.A los productos se les llama Productos Canónicos o Minitérminos. Una función con “n” variables tiene 2n términos canónicos. Para facilitar el trabajo con los términos canónicos, a cada uno se le suele asignar un número decimal. Este número decimal es el equivalente al número binario que se obtiene al sustituir las variables según el siguiente criterio: las variables que aparecen en forma directa se sustituyen por un 1; las variables que aparecen en forma negada se sustituyen por un 0. Veamos un ejemplo:

Cada término lo podemos sustituir por el siguiente decimal:

Teniendo en cuenta, según acabamos de ver, que a cada término canónico lo podemos sustituir por un número, la función la podremos expresar mediante la relación de términos canónicos que la forman. A esta nueva forma de representación se la llama expresión de la función en forma numérica.

Vistas las distintas formas de representar una función lógica, estudiaremos a continuación los distintos procedimientos para simplificar una función lógica. Existen varios métodos: a) Método algebraico. b) Método de Karnaugh. c) Método de Quine-McCluskey. a) El método algebraico consiste en ir aplicando las propiedades del álgebra de Boole hasta conseguir la reducción total. Como se parte de la función en forma canónica se puede dar uno de estos dos casos: 1º.- Si viene dada en forma de suma de productos, se aplicarán las propiedades tratando de reducir términos sabiendo que la suma de dos productos canónicos adyacentes es igual a un

( )∑=+++=3

7,5,3,1cbaabcbacabcF



∑=4

15138750 ),,,,,(f

ac ⋅

solo producto en el que se ha suprimido la variable en que difieren. Aplicando reiteradamente esta propiedad se obtiene la expresión más sencilla en forma de suma de productos. A este proceso se le llama minimización. 2º.- Si la expresión canónica viene dada en forma de producto de sumas, se aplicará la propiedad que dice que el producto de dos sumas adyacentes es igual a una sola suma en la que se suprime la variable en que difieren las sumas originales. Aplicando reiteradamente este proceso se obtiene la expresión más sencilla en forma de producto de sumas. A este proceso se le llama maximización. 2.2.1.- Método tabular de Karnaugh. Se basa este método en la realización de una tabla en la cual los términos que sean adyacentes se representarán en celdillas contiguas. Dos términos se dice que son adyacentes cuando sólo difieren en una variable. De la tabla de verdad se traspasará la información al mapa de Karnaugh, poniendo un 1 en las celdillas correspondientes a términos canónicos de la función. Seguidamente se agruparán las celdas contiguas que tengan un 1 según el siguiente orden: a) Si no se pueden realizar agrupaciones de 16 casillas, se verá si se pueden agrupar 8

casillas. b) Si no se pueden agrupar 8 casillas, se verá si es posible la agrupación de 4 casillas. c) Si no se pueden agrupar 4 casillas, se verá si es posible agrupar 2 casillas d) Cuando no se puedan agrupar 2 casillas, se tomarán los unos que queden sin agrupar. Como norma general, toda agrupación deberá tener al menos un uno que no pertenezca a ninguna otra agrupación. Ejemplo: El mapa de Karnaugh para esta función sería el siguiente:

Una vez realizados los grupos, para materializar la simplificación se comprueban las variables que aparecen con dos valores (0 y 1) en el grupo, siendo eliminadas en el término resultante. Así se puede ver en el ejemplo anterior que en el grupo de cuatro unos la variable “d” aparece con el valor 0 y 1, por tanto desaparecerá del término simplificado. La variable “c” aparece con valor 1, por tanto aparece en el término simplificado de forma directa.

La variable “b” aparece con valor 0 y 1, por tanto desaparecerá del término simplificado. La variable “a” aparece con valor 1 en las cuatro casillas, por tanto aparecerá en el término simplificado de forma directa. Por tanto, este grupo queda reducido al producto: El grupo de dos unos se simplifica de idéntica forma:



ABf =

abc

abccaf +=

∏∑Φφ

y

La variable “d” cambia de valor en las dos casillas agrupadas, por lo tanto queda eliminada. La variable “c” toma el valor 0 en las dos casillas, por tanto aparecerá en el término simplificado en forma negada. A las variables “b” y “a” les ocurre lo mismo que a la variable c. El término resultante sería, pues, el siguiente: La función simplificada completa es la siguiente: 2.2.2.- Funciones incompletas. Son aquellas funciones lógicas para las cuales para una o más combinaciones de entrada el valor que toma la función puede ser indistintamente 0 ó 1. En la tabla de verdad se le asigna el valor X y en representaciones canónicas se representan mediante los símbolos

Para simplificar estas funciones por Karnaugh, se toman las X que se necesiten (como si fueran unos de la función) para realizar las mayores agrupaciones posibles con los unos de la función. Las restantes se ignoran. En cada grupo de los obtenidos para realizar la simplificación debe existir como mínimo un 1. 2.3.- PUERTAS LÓGICAS. Las funciones lógicas se emplean para describir la correspondencia existente entre las variables de entrada y de salida de un circuito. Podemos abordar dos tipos diferentes de problemas: a) Dado un circuito, obtener la función lógica que lo representa, o lo que es lo mismo,

analizar el circuito. b) Dadas las especificaciones de funcionamiento de un circuito, obtener la función lógica que

las cumple y a partir de ella, obtener el circuito, o lo que es lo mismo, realizar la síntesis del circuito.

Abordaremos estos dos problemas posteriormente. Ahora haremos un repaso rápido de los circuitos que realizan las funciones básicas del álgebra de conmutación: las puertas lógicas. a) Puerta AND. Esta puerta lógica toma el valor 1 a su salida si y sólo sí todas las variables de entrada se encuentran en estado 1. Para el caso de una puerta de dos entradas, su tabla de verdad es la siguiente: B A f 0 0 0 La expresión lógica de la salida es: 0 1 0 1 0 0



BAf +=

Af =

ABf =

1 1 1 El símbolo que utilizaremos para representar a esta puerta es el siguiente:

b) Puerta OR. Esta puerta toma el valor 1 a la salida, sí y sólo sí al menos una de las variables de entrada se encuentra en estado 1. Para el caso de una puerta de dos entradas, su tabla de verdad es la siguiente: B A f 0 0 0 La expresión lógica de su salida es: 0 1 1 1 0 1 1 1 1 El símbolo que utilizamos para representarla es el siguiente:

c) Puerta NOT , o Inversora. Esta puerta sólo tiene una entrada y una salida. La salida toma el valor complementario de la entrada. Su tabla de verdad es la siguiente: A f La expresión lógica de la salida es: 0 1 1 0 El símbolo que utilizamos para representarla es el siguiente:

d) Puerta NAND. La salida de esta puerta es el producto lógico negado de las variables de entrada. Su tabla de verdad es la siguiente: A B f La expresión lógica de la salida es la siguiente: 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0



BAf +=

BABABAf ⊕=+=

BABABABAf ⊕=Θ=⋅+⋅=

El símbolo que utilizaremos para representarla es el siguiente:

e) Puerta NOR.. La salida de esta puerta es la suma lógica negada de las variables de entrada.. Su tabla de verdad es la siguiente: A B f La expresión lógica de su salida es la siguiente: 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 El símbolo que utilizamos para su representación es el siguiente:

f) Puerta Or – Exclusiva ó XOR. Es una función que toma el valor 1 si y sólo si una de las dos variables de entrada toma el valor 1. Su tabla de verdad es la siguiente: A B f La expresión lógica de su salida es: 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 El símbolo que utilizamos para su representación es el siguiente:

g) Puerta Nor –Exclusiva ó XNOR.. Es una función que toma el valor 1 a su salida cuando ambas entradas se encuentran en el mismo estado lógico. Su tabla de verdad es la siguiente: A B f La expresión lógica de su salida es: 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1



El símbolo lógico que utilizamos para su representación es el siguiewnte:

2.3.1.- OTRAS PUERTAS LÓGICAS. a) Puerta AND-OR-INVERT. Su misión es sustituir la función AND cableada evitando el empleo de puertas con colector abierto. Se mejora de esta forma el tiempo de respuesta y el fan-out. Su esquema lógica y la operación lógica que realiza se muestran en la figura adjunta.

A continuación se representa el esquema interno y el diagrama de conexiones del CI 7451 que contiene dos puertas AND-OR-INVER.

b) Puertas triestado. Son elementos muy utilizados en la estructura de los computadores. En estas puertas, su salida puede trabajar con tres estados posibles: • Nivel alto. • Nivel bajo. • Alta impedancia.



El estado llamado de “alta impedancia” en la práctica se puede considerar como si la salida se comportase igual que un cable desconectado o en circuito abierto. Es como si la salida de la puerta triestado quedase desconectada del circuito electrónico interno. Las puertas triestado disponen de una entrada de control, llamémosla E, que puede ser activa a nivel alto o bajo. Cuando la entrada E está activa, la puerta funciona normalmente. Cuando e está inactiva, la salida de la puerta queda en alta impedancia. Su símbolo lógico y tabla de verdad son los siguientes: Su tabla de verdad es la siguiente:

A E S 0 0 0 Z: Alta impedancia

1 0 1 0 1 Z E: Activa a nivel bajo.

1 1 Z

A E S 0 1 0 Z: Alta impedancia

1 1 1 0 0 Z E: Activa a nivel alto.

1 0 Z Para finalizar podemos representar el efecto alta impedancia de una forma muy gráfica:

Los CI de la familia TTL 74125 y 74126 contienen cuatro buffers o amplificadores no inversores triestado. El buffer o amplificador no inversor tiene la misión de obtener en su salida el mismo nivel lógico aplicado a su entrada, pero amplificado. c) Buffers amplificadores. Estos dispositivos se emplean para incrementar la potencia de una señal sin afectar a su estado lógico. Son capaces de aumentar el número de elementos que pueden conectarse a su salida, tanto para el nivel lógico alto como para el bajo. Ejemplos de CI de estas características son el 7407 (seis buffers en colector abierto) y el 7406 (buffer inversor).



2.4.- ANÁLISIS DE CIRCUITOS COMBINACIONALES CON PUERTAS. Para realizar el análisis de un circuito se ha de obtener la función lógica que lo representa. Situándonos en las entradas del circuito, iremos obteniendo las funciones lógicas parciales avanzando hacia la salida hasta llegar a ella. Veamos un ejemplo:

3.5.- DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES CON PUERTAS. Realizar el diseño de un circuito consiste en implementarlo a partir de las especificaciones que se desea que cumpla. El método general para llegar a implementar un circuito sería el siguiente: 1º.- A partir de las especificaciones de comportamiento del circuito deberemos ser capaces de obtener su tabla de verdad. 2º.- Obtenida la tabla de verdad, deberemos simplificar la función o funciones lógicas para obtener las expresiones más reducidas posible y así emplear el menor número de recursos físicos para su realización (puertas lógicas).

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