UNIVERSIDAD FERMIN TOROSISTEMA DE APRENDIZAJEINTERACTIVOS A DISTANCIA

(SAIA) CABUDARE

SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Unidad III

ALUMNO:

Faiker MeléndezC.I. 20.670.750

SAIA BDocente: Domingo Méndez

Cabudare; 03 de Junio de 2016

METODOS DE ELIMINACION

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices. 

ELIMINACION GAUSSIANA

También llamado Algoritmo de Gauss, propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta ésta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables. Consta de los siguientes pasos:

1. Determinar la primera columna (a la izquierda) no cero.

2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercambiarlo por un renglón que no tenga cero.

3. Obtener ceros abajo del elemento delantero sumando múltiplos adecuados a los renglones debajo de él.

4. Cubrir el renglón y la columna de trabajo y repetir el proceso comenzando en el paso 1. Al término del ciclo entre el paso 1 al 4 (es decir cuando se han barrido todos los renglones), la matriz debería tener forma de escalón.

5. Comenzando con el último renglón no cero avanzar hacia arriba para que en cada renglón tenga un 1 delantero y arriba de él queden sólo ceros. Para ello debería sumar múltiplos adecuados del renglón a los renglones correspondientes.

METODOS DE ELIMINACION

Gauss-Jordan

Consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial, destinadas a transformarlo en un sistema diagonal. El número de operaciones de este método, es mayor en un 50% al del método de Gauss.

Pasos de este método:

1. Determinar la primera columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercambiarlo por un

renglón que no tenga cero. Multiplicar el renglón, y hacerlo 1. Este primer 1 será llamado 1 pivote.

3. Obtener ceros arriba y abajo del 1 pivote sumando múltiplos adecuados a los renglones debajo de renglón pivote en la matriz completa.

4. Cubrir la columna y el renglón de trabajo y repetir el proceso comenzando en el paso 1 con la columna siguiente.

METODOS DE ELIMINACION

Descomposición LU

Se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U). Esto es: A=LU, siendo L la Matriz Triangular Inferior y U la Matriz Triangular Superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

PASOS:

1. Descomposición LU: A se factoriza en matrices triangulares inferior L y superior U.

2. Sustitución: L y U se usan para determinar una solución X para un lado derecho b. Primero se genera un vector intermedio Y mediante la sustitución hacia delante. Después el resultado se sustituye en la ecuación para obtener mediante sustitución hacia atrás el valor de X.

METODOS DE ELIMINACION

Factorización de Cholesky

Una matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior. La matriz triangular inferior es el triángulo de Cholesky de la matriz original positiva definida. El resultado de Cholesky ha sido extendido a matrices con entradas complejas. Es una manera de resolver sistemas de ecuaciones matriciales y se deriva de la factorización LU con una pequeña variación.

EJEMPLO

METODOS DE ELIMINACION

METODOS DE ELIMINACION

Método De Gauss Seidel

Este método utiliza valores iniciales y después itera para obtener estimaciones refinadas de la solución. Es un método indirecto, puesto que después de tener la aproximación inicial, se repite el proceso hasta alcanzar la solución con un margen de error tan pequeño como se desee. La fórmula utilizada para hallar los xi viene dada por el despeje de cada una de las xi en cada una de las ecuaciones. Los nuevos valores de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores y los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor xi depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., xi-1. La desventaja de este método es que no siempre converge a la solución exacta o algunas veces los hace de manera muy lenta. Únicamente es confiable para aquellos sistemas dominantes diagonalmente.

EJEMPLO

METODO DE ELIMINACION

Método de Jacobi

Es el método más simple y se aplica sólo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones.

PASOS: 1. Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las

ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse como:

x = c + Bx donde x es el vector de incógnitas.

2. Se toma una aproximación para las soluciones y a ésta se le designa por x3. o Se itera en el ciclo que cambia la aproximación xi+1 = c + Bxi