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UNIDAD III.Solución de Sistemas de
Ecuaciones Lineales
Alumno:Santos, Carlos.
C.I.V Nº 20.015.249Análisis Numérico (SAIA-B)
Barquisimeto, Diciembre del 2016.
Universidad Fermín ToroVice Rectorado Académico
Facultad de IngenieríaEscuela Mantenimiento Mecánico
Sistema de Ecuaciones
LinealesUna ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de
variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no
se escribe).
Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema
cartesiano.
Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado,
en otras palabras a, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas
entre sí, ni en el denominador.
Las ecuaciones lineales con 2 incógnitas
representan una recta en el plano cartesiano.
Sistema de Ecuaciones Lineales
Representación gráfica de la recta en el plano−x + 2y = 3
Pasos para resolver una ecuación
Se reducen términos semejantes cuando es posible.
1.-2.-3.-4.-
Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación y se simplifica.
Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
Se hace la transposición de términos.
x + 2 = 3Ejemplo:Primer
miembroSegundo miembro
Solución de Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Eliminación Gaussiana
Determinar la primera columna (a la izquierda) no cero.1.-2.- 3.-
Obtener ceros abajo del elemento delantero sumando múltiplos adecuados a los renglones debajo de él.
Si el primer elemento de la columna es cero, intercambiarlo por un renglón que no tenga cero.
También llamado Algoritmo de Gauss, propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta ésta, se procede
por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.
Consta de los siguientes pasos:
4.-
Cubrir el renglón y la columna de trabajo y repetir el proceso comenzando en el paso 1. Al término del ciclo entre el paso 1 al 4 (es decir cuando se han barrido todos los renglones), la matriz debería tener forma de escalón.5.
-Comenzando con el último renglón no cero avanzar hacia arriba para que en cada renglón tenga un 1 delantero y arriba de él queden sólo ceros. Para ello debería sumar múltiplos adecuados del renglón a los renglones correspondientes.
Eliminación Gaussiana
Eliminación GaussianaEjemplo:
Método Gauss-Jordan
Determinar la primera columna (a la izquierda) no cero.1.-2.- 3.-
Obtener ceros arriba y abajo del 1 pivote sumando múltiplos adecuados a los renglones debajo de renglón pivote en la matriz completa.
Si el primer elemento de la columna es cero, intercambiarlo por un renglón que no tenga cero. Multiplicar el renglón, y hacerlo 1. Este primer 1 será llamado 1 pivote.
Consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial, destinadas a transformarlo en un sistema diagonal. El número de operaciones de
este método, es mayor en un 50% al del método de Gauss.
Pasos de este método:
4.-
Cubrir la columna y el renglón de trabajo y repetir el proceso comenzando en el paso 1 con la columna siguiente.
Ejemplo:
Método Gauss-Jordan
Descomposición LU
Descomposición LU: A se factoriza en matrices triangulares inferior L y superior U.1.
-2.-
Sustitución: L y U se usan para determinar una solución X para un lado derecho b. Primero se genera un vector intermedio Y mediante la sustitución hacia delante. Después el resultado se sustituye en la ecuación para obtener mediante sustitución hacia atrás el valor de X.
Se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U). Esto es: A=LU, siendo L la Matriz Triangular Inferior y U la Matriz
Triangular Superior con todos los elementos de la diagonal principal
iguales a 1.
Consta de los siguientes pasos:
Ejemplo:
Descomposición LU
Factorización De Cholesky
Una matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz
triangular inferior. La matriz triangular inferior es el triángulo de Cholesky de la matriz original positiva
definida. El resultado de Cholesky ha sido extendido a matrices con entradas complejas. Es una manera de resolver sistemas de ecuaciones matriciales y se deriva de la factorización LU con
una pequeña variación.
Factorización De Cholesky
Ejemplo:
Factorización de QR, Householder
La Factorización QR Dada una matriz cuadrada y no singular A de orden n x n, entonces existe una matriz ortogonal Q y una matriz triangular superior R tal que A = QR; esta es llamada la factorización QR de A. Si la matriz A no es cuadrada y de orden m x n con m mayor que n entonces:
donde R1 es una matriz triangular inferior de orden n x n y 0 es una matriz de ceros de orden (m-n) x n.
Si la matriz A es de orden m x n con m menor que n entonces A = QR = (R1 S); donde S es un matriz de orden (n-m) por m.
Existen tres métodos de obtener la factorización QR y uno de ellos es Transformaciones Householder.
Factorización de QR, Householder
Transformaciones Householder y la factorización QR
Una matriz de la forma:
es llamada una matriz Householder, donde I es la matriz identidad y u es un vector no nulo.
Propiedades de la matriz H: a) |Hx|2=|x|2 para todo vector x. Es decir, la
matriz Householder no cambia la longitud del vector.
b) H es una matriz ortogonal.c) H2= Id) Det(H)=-1.
Solución de Sistemas Lineales
utilizando Métodos
Iterativos
Método Jacobi
Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse como: x = c + Bx, donde x es el vector de incógnitas.
1.-2.-3.-
Se itera en el ciclo que cambia la aproximación xi+1 = c + Bxi
Se toma una aproximación para las soluciones y a ésta se le designa por x0
Es el método más simple y se aplica sólo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con
tantas incógnitas como ecuaciones.
Método JacobiA = D + L
+ UEjemplo: Matriz A
D: matriz diagonalL: matriz triangular inferiorU: matriz triangular superior
A = b D = b + (L + U) = b
Este método utiliza valores iniciales y después itera para obtener estimaciones refinadas de la solución. Es un método indirecto, puesto
que después de tener la aproximación inicial, se repite el proceso hasta alcanzar la solución con un margen de error tan pequeño como
se desee.
La fórmula utilizada para hallar los xi viene dada por el despeje de cada una de las xi en cada una de las ecuaciones. Los nuevos valores de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores y los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor xi depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., xi-1.
Método Gauss Seidel
La desventaja de este método es que no siempre converge a la solución exacta o algunas veces los hace de manera muy lenta. Únicamente es confiable para aquellos
sistemas dominantes diagonalmente.
Ejemplo:
Método Gauss Seidel
Gracias…
“Mejor que de nuestro juicio,
debemos fiarnos del cálculo algebraico”
Leonhard Euler