Pruebas de bondad de ajuste y pruebas no parametricas

Estadística Inferencial I Unidad 4

PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Y PRUEBAS NO PARAMETRICAS

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4.1 BONDAD DE AJUSTE

Las pruebas de bondad de ajuste tratan de verificar si el conjunto de datos se

puede ajustar o afirmar que proviene de una determinada distribución.

Las pruebas básicas que pueden aplicarse son: la ji-cuadrada y la prueba de

Smirnov-Kolmogorov. Ambas pruebas caen en la categoría de lo que en

estadística se denominan pruebas de “Bondad de Ajuste” y miden, como el

nombre lo indica, el grado de ajuste que existe entre la distribución obtenida a

partir de la muestra y la distribución teórica que se supone debe seguir esa

muestra. Ambas pruebas están basadas en la hipótesis nula de que no hay

diferencias significativas entre la distribución muestral y la teórica, H0 es la

distribución que se supone sigue la muestra aleatoria. La hipótesis alternativa

siempre se enuncia como que los datos no siguen la distribución supuesta.

Hablamos de bondad de ajuste cuando tratamos de comparar una distribución de

frecuencia observada con los valores correspondientes de una distribución

esperada o teórica. Algunos estudios producen resultados sobre los que no

podemos afirmar que se contribuyen normalmente, es decir con forma

acampanada concentradas sobre la media.

Su fórmula es la siguiente:

foi= Valor observado en la i-ésimo dato.

fei= Valor esperado en la i-ésimo dato.

k = Categorías o celdas.

m = Parámetros estimados sobre la base de los datos de la muestra

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k

i e

eo

i

ii

fff

1

22


Los grados de libertad vienen dados por: gl= K-m-1.

Criterio de decisión es el siguiente:

Se rechaza H0 cuando χ2≥ χ t ;K−m−1

2. En caso contrario se acepta.

Donde t representa el valor proporcionado por las tablas, según el nivel de

significación elegido.

Cuanto más se aproxima a cero el valor de chi-cuadrada, más ajustadas están

ambas distribuciones.

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4.1.1 ANALISIS JI-CUADRADA

Es considerada como una prueba no paramétrica que mide la discrepancia

(bondad de ajuste) entre una distribución observada a partir de la muestra y otra

teórica que se supone debe seguir esa muestra, indicando en qué medidas las

diferencias existentes entre ambas se deben al azar en el contraste de la

hipótesis.

Esta prueba se basa en la hipótesis nula H0 de que no hay diferencias

significativas entre la distribución muestral y la teórica.

La estructura básica de la prueba para la bondad de ajuste se muestra en la siguiente tabla:

Clases Frecuencia observada Frecuencia esperada

1 Foi1 Fe1

2 Foi2 Fe2

. . .

. . .

k Foik Fek

Total n n

Donde para calcular la Frecuencia esperada se tiene:

χ2= ( foi− fei )2

fei

Fórmula para el análisis de ji-cuadrada

χ2=∑i−1

k ( foi−fei )2

fei

Interpretación: cuanto mayor sea el valor de ji-cuadrada menos creíble es la

hipótesis nula H0. De la misma forma, cuanto más se aproximan acero el valor de

χ2, más ajustadas están las distribuciones.

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foi=total de valoresdel intervalo

fei=numeroesperado devalores enel intervalo

k=numerode intervalos declase

m=numerodemuestras parael estudio


χ2=0 H0 se acepta χ2>0 H0 se rechaza

4.1.2 PRUEBA DE INDEPENDENCIA

La prueba de independencia trata de la comparación de dos situaciones en las

cuales podemos esperar que sean dependientes o independientes, esto quiere

decir que, pueden o no estar relacionados sus datos debido a muchos factores

que pueden influir en ellos, o bien, un problema no tenga relación con otro.

Su objetivo es determinar si alguna situación es afectada por otra, basándose en

datos estadísticos y valores probabilístico obtenidos de la fabulación de datos o de

pronósticos por medio de formulas y tablas, para esto se basa en un nivel de

significancia en un caso y en el otro a comparar, valiéndonos de tablas de

contingencia para obtener frecuencias esperadas y poder aplicarlas, para así

obtener datos comparativos que son determinantes en la decisión de

independencia.

Para todas las pruebas de independencia, las hipótesis son:

H0: las dos variables de clasificación son independientes.

H1: las dos variables de clasificación son dependientes.

Los métodos para poner a prueba H0 contra H1 son idénticos a los usados para

poner a prueba las diferencias entre proporciones poblacionales basados en la

prueba de 𝝌2. De nuevo compararemos las frecuencias observadas con las

esperadas, las obtenidas bajo el supuesto de que H0, para determinar que tan

grande debe ser el alejamiento permitido para que la hipótesis de independencia

pueda rechazarse. Si el valor del estadístico de prueba 𝝌2 es mayor o igual que el

valor critico calculado, ya no podremos suponer que pueda resultar de dos

variables de clasificación independientes, siendo esta la razón de que todas las

pruebas de 𝝌2 sobre independencia sean de cola derecha.

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La estadística de prueba que será utilizada en la toma de una decisión acerca de

la hipótesis nula es ji cuadrado X2. Los valores de ji-cuadrada se obtienen con la

siguiente fórmula:

χ2=∑i

(Oi−ei)2

ei

Grados de libertad

v = (r-1)*(c-1)

Frecuencia Esperada = Total de la columna * Total del renglón

Características

X2 toma valores no negativos; es decir, puede ser cero o positiva.

X2 no es simétrica; es asimétrica hacia la derecha.

Existen muchas distribuciones X2 como en el caso de la distribución t, hay

una distribución, X2 diferente para cada valor de los grados de libertad.

Nos dan una tabla de contingencia.

El procedimiento de la prueba ji-cuadrada puede también utilizarse para probar la

hipótesis de independencia de dos variables de clasificación.

Ejemplo:

Supóngase que desea determinar si las opiniones de los residentes votantes del

estado de Illinois respecto a una nueva reforma impositiva son independientes de

sus niveles de ingreso. Una muestra aleatoria de 1000 votantes registrados del

estado de Illinois se clasifica de acuerdo con sus ingresos como bajo, medio y alto

y si están a favor o en contra de la nueva reforma impositiva. Las frecuencias

observadas se presentan en la siguiente tabla, la cual se conoce como una tabla de contingencia.

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Gran total


Tabla de contingencia 2 x 3

Reforma

impositiva

Nivel de ingresos

TotalBajo Medio Alto

A favor

En contra

182

154

213

138

203

110

598

402

Total 336 351 313 1000

A una tabla de contingencia con r renglones y c columnas se le conoce como una

tabla r x c (“r x c” se lee r por c), a los totales de renglones y columnas en la tabla

anterior se les denomina frecuencia marginales. La decisión de aceptar o

rechazar la hipótesis nula, H0, de independencia entre la opinión de votantes

respecto a la nueva reforma de impuestos y su nivel de ingresos se basan en que

tan bien se ajustan las frecuencias observadas en cada una de las 6 celdas de la

tabla, y las frecuencias que se esperarían para cada celda bajo la suposición de

que H0 es verdadera. Para encontrar estas frecuencias esperadas, defínanse los

siguientes eventos:

L: una persona seleccionada esta en el nivel bajo de ingresos.

M: una persona seleccionada esta en el nivel medio de ingresos.

H: una persona seleccionada esta en el nivel alto de ingresos.

F: una persona seleccionada está a favor de la nueva reforma fiscal.

A: una persona seleccionada está en contra de la nueva reforma fiscal.

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Al utilizar las frecuencias marginales, es posible escribir las siguientes

estimaciones de probabilidad:

P (L )= 3361000 , P (M )= 351

1000 , P (H )= 3131000 ,

P (F )= 5981000 , P (A )= 402

1000

Ahora si H0 es verdadera y las dos variables son independientes, debe tenerse:

P (L⌒F) = P (L) P (F) = ( 3361000 )( 5981000 ) ,

P (L⌒A) = P (L) P (A) = ( 3361000 )( 4021000 ) ,

P (M⌒F) = P (M) P (F) = ( 3511000 )( 5981000 ) ,

P (M⌒A) = P (M) P (A) = ( 3511000 )( 4021000 ) ,

P (H⌒F) = P (H) P (F) = ( 3131000 )( 5981000 ) ,

P (H⌒A) = P (H) P (A) = ( 3131000 )( 4021000 ) .Las frecuencias esperadas se obtienen al multiplicar cada probabilidad de una

celda por el número total de observaciones. Como antes, estas frecuencias se

redondean a un decimal de esta manera el número esperado de votantes de bajos

ingresos en la muestra y que favorecen la nueva reforma impositiva, se estima que

es:

( 3361000 )( 5981000 ) x 100 = (336 ) (598 )1000 = 200.9

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Cuando H0 es verdadera. La regla general para obtener la frecuencia esperada de cualquier celda la proporciona la siguiente fórmula:

Frecuencia Esperada = Total de la columna * Total del renglón

La frecuencia esperada para cada celda se registra entre paréntesis a un lado del

valor observado real en la siguiente tabla. Nótese que la suma de las frecuencias

esperadas en cualquier renglón o columna da el total marginal o apropiado.

Reforma

impositiva

Nivel de ingresos

TotalBajo Medio Alto

A favor

En contra

182(200.9)

154(135.1)

213(209.9)

138(141.1)

203(187.2)

110(125.8)

598

402

Total 336 351 313 1000

En el ejemplo, se necesitan calcular únicamente las dos frecuencias esperadas del

renglón de arriba de la tabla y entonces encontrar las otras por sustracción. El

numero de grados de libertad asociado a la prueba ji cuadrada que se utiliza aquí

es igual al número de frecuencias de celdas que pueden llenarse libremente

cuando se dan los totales marginales y el gran total; en este ejemplo ese número

es 2. Una formula simple que proporciona el número correcto de grados de

libertad es:

v = (r-1)*(c-1)

de aquí que, para este ejemplo V = (2-1)*(3-1) = 2 grados de libertad. Para

probara la hipótesis nula de independencia, se utiliza el siguiente criterio de

decisión:

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Gran total


Prueba De Independencia:

Calcúlese:

χ2=∑i

(Oi−ei)2

ei

Donde la sumatoria se extiende a todas las celdas rc en la tabla de contingencia

r x c. Si χ2> χα2 con v = (r-1)(c-1) grados de libertad se rechaza la hipótesis nula de

independencia en el nivel de significancia α; de lo contrario, se acepta la hipótesis

nula.

Al aplicar este criterio a este ejemplo, se encuentra que:

χ2=(182−200.9)2

200.9 + (213−209.9)

2

209.9 + (203−187.2)

2

187.2 + (154−135.1)

2

135.1

+ (138−141.1)2

141.1 + (110−125.8)

2

125.8 = 7.85

P≅0.02

De la tabla de Valores críticos de las distribuciones 𝝌2 resulta que χ0.052 = 5.991

para v= (2-1) (3-1) = 2 grados de libertad. La hipótesis nula se rechaza. Se

concluye que la opinión de un votante referente a la nueva reforma fiscal y su nivel

de ingresos no son independientes.

Es importante recordar que el estadístico sobre el cual se basa la decisión tiene

una distribución que solo se aproxima por la distribución JI cuadrada.

Los valores calculados 𝝌2 dependen de las frecuencias de la celda y, en

consecuencia, son discretos. La distribución ji cuadrada continua parece

aproximar muy bien la distribución muestral discreta de x2 en la medida en la que

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el numero de grados de libertad sea mayor que 1. En una tabla de contingencia de

2 x 2, donde se tiene únicamente un grado de libertad, se aplica una corrección

que recibe el nombre de corrección de yates para continuidad.

La formula corregida se convierte entonces en:

χ2(corregida)=∑i

(|Oi−ei|−0.5)2

ei

Si las frecuencias esperadas de celdas son grandes, los resultados corregidos y

sin corregir son casi los mismos. Cuando las frecuencias esperadas están entre 5

y 10, debe aplicarse la corrección de Yates. Para frecuencias esperadas menores

que 5, debe utilizarse la prueba exacta de Fisher-Irwin. Sin embargo, puede

evitarse el uso de la prueba Fisher-Irwin al seleccionar una muestra grande.

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4.1.3 PRUEBA DE LA BONDAD DEL AJUSTE

Es considerada como una prueba no paramétrica que mide la discrepancia entre

una distribución observada y otra teórica, indicando en qué medida las diferencias

existen entre ambas.

En este tema se describe un procedimiento formal para probar la bondad de ajuste

basado en la distribución ji- cuadrada. El procedimiento de prueba requiere una

muestra aleatoria de tamaño n de la población cuya distribución de probabilidad es

desconocida. Éstas n observaciones se ordenan en un histograma de frecuencia,

con k intervalos de clase. Sea Oi la frecuencia observada en el intervalo de clase i.

Se calcula la frecuencia esperada a partir de la distribución de probabilidad

hipotética, para el intervalo de clase i-ésimo, denotado por Ei, el estadístico de

prueba es: χ02=∑

i=1

k (Oi−Ei )2

Ei

Para demostrar que si la población sigue la distribución hipotética propuesta, χ02

tiene, aproximadamente, una distribución ji-cuadrada en donde los grados de

libertad vienen dados por:

gl= K-m-1 donde m representa el numero de parámetros de la distribución

hipotética, estimados por los estadísticos muestrales. Esta aproximación mejora

conforme n se incrementa.

El criterio de decisión es el siguiente:

Se rechaza H0 cuando el valor del estadístico de prueba χ02> χ α, k−p−1

2 . En caso

contrario se acepta.

Donde t representa el valor proporcionado por las tablas, según el nivel de

significación elegido.

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Cuanto más se aproxima a cero el valor de ji-cuadrada, más ajustadas están

ambas distribuciones.

Un punto que cabe destacar en la aplicación de este procedimiento de prueba se

refiere a la magnitud de las frecuencias esperadas. Si éstas frecuencias

esperadas son muy pequeñas, entonces el estadístico de prueba χ02 no reflejará la

desviación de las frecuencias observadas y las esperadas, no únicamente la

pequeña magnitud de las frecuencias esperadas. No hay consenso generalizado

en cuanto al valor mínimo de las frecuencias esperadas, pero valores de 3, 4 y 5

se usan ampliamente como mínimos. Algunos autores proponen que una

frecuencia esperada podría ser tan pequeña, como 1 o 2, siempre que la mayoría

de ellas excedan 5. Cuando una frecuencia esperada sea muy pequeña, puede

cambiarse con la frecuencia esperada de un intervalo de clase adyacente. Las

frecuencias observadas correspondientes también se combinarían, y k se reduciría

una unidad. No es necesario que los intervalos de clase tengan la misma anchura.

Ejemplo:

Una distribución continua.

Un ingeniero está probando una fuente de poder usada en una computadora

notebook. Utilizando α = 0.05, el quiere determinar si una distribución normal

describe adecuadamente el voltaje de salida. De una muestra aleatoria de n = 100

unidades obtiene las estimaciones muestrales de la media y la desviación

estándar x = 5.04 V y s = 0.08 V.

Una práctica común cuando se construyen los intervalos de clase para la

distribución de frecuencia usada en la prueba ji-cuadrada de la bondad del ajuste

es elegir los limites de clase de las celdas de tal modo que las frecuencias

esperadas Ei = npi sean iguales para todas lsa celdas o intervalos de clase. Para

usar este método, los limites de clase a0,a1,…,ak de los k intervalos de clase se

elegirían de tal modo que todas las probabilidades

P1= P (ai−1≤ X≤ai )=∫ai−1

ai

f ( x )dx

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sean iguales. Suponga que se decide usar k = 8 intervalos de clase. Para la

distribución normal estándar, los intervalos que dividen la escala en ocho

segmentos igualmente factibles son [ 0, 0.32), [0.32, 0.675), [0.675, 1.15), [1.15,∞)

y los cuatro intervalos “reflejados” al otro lado de cero.

Para cada intervalo pi = 1/8 = 0.125, por lo que las frecuencias esperadas de las

celdas son Ei = npi = 100(0.125) = 12.5. La tabla completa de las frecuencias

observadas y las esperadas se presenta a continuación:

Intervalo de clase frecuencia observada frecuencia observada Oi Ei

x < 4.948 12 12.54.948 ≤ x < 4.986 14 12.54.986 ≤ x < 5.014 12 12.55.014 ≤ x < 5.040 13 12.55.040 ≤ x < 5.066 12 12.55.066 ≤ x < 5.094 11 12.55.094 ≤ x < 5.132 12 12.55.132 ≤ x 14 12.5Totales 100 100

La cota del primer intervalo de clase es x – 1.15s = 4.948. Para el segundo

intervalo de clase es [x – 1.15s, x – 0.675s), y así sucesivamente. Puede aplicarse

el procedimiento de prueba de hipótesis de ocho pasos en este problema.

1. La variable de interés es la forma de la distribución del voltaje de la fuente

de poder.

2. H0: la forma de la distribución es normal.

3. H1: la forma de la distribución no es normal.

4. α = 0.05

5. el estadístico de la prueba es:

χ02=∑

i=1

k (Oi−Ei )2

Ei

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6. puesto que se estimaron dos parámetros de la distribución normal, el

estadístico ji-cuadrada anterior tiene k-p-1 = 8-2-1 = 5 grados de libertad.

Por lo tanto, se rechazará H0 si χ02 > χ0.05,52 = 11.07

7. cálculos

χ02=∑

i=1

8 (Oi−Ei )2

Ei

¿(12−12.5)2

12.5+

(14−12.5)2

12.5+…+

(14−12.5)2

12.5=0.64

8. conclusiones: puesto que χ02= 0.64 < χ0.05,5

2 = 11.07 no puede rechazarse H0

y no hay evidencia robusta que indique que el voltaje de salida no tenga

una distribución normal. El valor P del estadístico ji-cuadrada χ02 = 0.64 es

P = 0.9861.

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4.1.4 TABLAS DE CONTINGENCIA

En muchas ocasiones, los n elementos de una muestra de una población pueden clasificarse con base en dos criterios diferentes. Entonces es de interés saber si los dos métodos de clasificación son estadísticamente independientes.

Suponga que el primer método de clasificación tiene r niveles y que el segundo tiene c niveles. Será Oij la frecuencia observada del nivel i del primer método de clasificación y el nivel j del segundo método de clasificación. Los datos aparecerían, en general, como en la siguiente tabla. A una tabla como esta se le llama tabla de contingencia r x c.

TABLA DE CONTINGENCIA r x c Columnas 1 2 … c

Renglones

1 O11 O12 … O1c

2 O21 O22 … O2c

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

r Orl Or2 … Orc

En estadística las tablas de contingencia se emplean para registrar y analizar la

relación entre dos o más variables, habitualmente de naturaleza cualitativa

(nominales u ordinales).

Sea Pij la probabilidad de que un elemento seleccionado al azar esté en la celda ij,

dado que las dos clasificaciones son independientes. Entonces pij = uivj, donde ui

es la probabilidad de que un elemento seleccionado al azar este en la clase del

renglón i y vj es la probabilidad de que un elemento seleccionado al azar esté en la

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clase de la columna j. ahora bien, con el supuesto de independencia, los

estimadores de ui y vj son

ui=1n∑j=1

c

oij v j=1n∑i=1

r

o ij

Por lo tanto, la frecuencia esperada de cada celda es

Eij=nui v j=1n∑j=1

c

oij∑i=1

r

oij

Entonces, para n grande, el estadístico

χ02=∑

i=1

r

∑j=1

c (Oij−Eij )2

Eij

Tiene una distribución ji-cuadrada aproximada con (r-1) (c-1) grados de libertad si

la hipótesis nula es verdadera. Por lo tanto, la hipótesis de independencia se

rechazaría si el valor observado del estadístico de prueba χ02 excediera χα ,(r−1)(c−1)

2 .

Para calcular grados de libertad se tiene la siguiente fórmula:

gl= (r-)(c-1)

NOTA: El cálculo de grados de libertad nos dará la pauta para calcular el valor

total de frecuencias.

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Ejemplo:

Una compañía tiene que elegir entre tres planes de pensiones. La administración

quiere saber si la preferencia por los planes es independiente de la clasificación

laboral y desea usar α = 0.05.

En la siguiente tabla se muestran las opiniones de una muestra aleatoria de 500

empleados.

Clasificación laboral

Plan de pensión 1 2 3 totales

Trabajadores asalariados

Trabajadores por hora

160

40

140

60

40

60

340

160

Totales 200 200 100 500

Para encontrar las frecuencias esperadas, primero debe calcularse u1=(340/500) = 0.68, u2=(160/500)=¿ 0.32, v1=(200 /500)=¿ 0.40 y v3=¿ 0.20.

Ahora pueden calcularse las frecuencias esperadas con la ecuación

Eij=nui v j=1n∑j=1

c

oij∑i=1

r

oij

Por ejemplo, el número esperado de trabajadores asalariados que prefieren el plan de pensión 1 es

Eij=nui v j=500 (0.68 ) (0.40 )=136En la siguiente tabla se muestran las frecuencias esperadas.

Clasificación laboral

Plan de pensión 1 2 3 totales

Trabajadores asalariados

Trabajadores por hora

136

64

136

64

68

32

340

160

Totales 200 200 100 500

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Ahora puede aplicarse el procedimiento de prueba de hipótesis de ocho pasos en este problema.

1. La variable de interés es la preferencia de los empleados entre los planes de pensiones.

2. H0: la preferencia es independiente de la clasificación laboral asalariado o por horas.

3. H1: la preferencia no es independiente de la clasificación laboral asalariado o por horas.

4. α = 0.05

5. el estadístico de prueba es

χ02=∑

i=1

r

∑j=1

c (Oij−Eij )2

Eij

6. puesto que r = 2 y c = 3, los grados de libertad de ji-cuadrada son (r-1) (c-1)= (1)(2) = 2, se rechazaría H0 si χ0

2 > χ0.05,22 = 5.99

7. cálculos

χ02=∑

i=1

2

∑j=1

3 (Oij−Eij )2

Eij

¿(160−136)2

136+(140−136)2

136+(40−68)2

68+(40−64)2

64+(60−64)2

64+(60−32)2

32=49.63

8. conclusiones: puesto que χ02 = 49.63 > χ0.05,2

2 =5.99, se rechazará la hipótesis

de independencia y se concluye que la preferencia por los planes de

pensiones no es independiente de la clasificación laboral. El valor P para χ02

= 49.63 es P = 1.671 x 10-11.

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4.1.5 SOFTWARE ESTADÍSTICO

Los métodos estadísticos cambiaron con la aparición de los ordenadores. Desde sus orígenes, las computadoras se han empleado en el procedimiento estadístico de datos.

El procesamiento estadístico es una necesidad muy frecuente en diversas áreas. Dada esta estandarización de necesidades se han elaborado paquetes estadístico que difieren entre si en los aspectos de capacidad, facilidad de uso, subprogramas incorporados, computadoras en las que se pueden ejecutar, apoyo (documentación) y precio.

Dentro del grupo de paquetes estadísticos mundialmente conocidos, podemos destacar, además de STARTGRAPHICS los siguientes:

SAS (Statistical Analysis System): Sistema para el análisis estadístico y econométrico con gran potencia de manejo de volúmenes extensos de datos.

SPSS (Statistical Packge for the Social Sciencies): Se trata de un paquete especial diseñado para cubrir la mayor parte de las necesidades del proceso estadístico que suelen plantearse en las necesidades del proceso estadístico que suelen plantearse en la realización de investigaciones y estudios de tipo empírico en el campo de las ciencias sociales y humanas.

SYSTAT (the SYstem for STATistics): Es un potente paquete estadístico, susceptible de ser implementado incluso en microordenadores de pequeña capacidad. Viene avalado por una merecida fama de programa eficiente y de fácil uso.

TSP (Time Series Processor): como su nombre indica, sirve para el procesamiento de series de tiempo; sin embargo, también tiene rutinas de procesamiento de regresión muy poderosas y toca una gran parte de los temas económicos

SCA (Scientific Computing Associates): se trata de un paquete estadístico que aborda la mayoría de los temas elevados de esta disciplina, con especial hincapié en el análisis de series temporales.

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Existen muchos otros paquetes, como LISREL, SPAD, STATPACH, MINITAB, LISA, OSIRIS, ABSTAT y otros más, que con más o menos profundidad tocan la mayor parte de las materias estadísticas.

Por otro lado encontramos otra herramienta que se utiliza para realizar cálculos estadísticos.

La Hoja de Cálculo Excel/Calc puede convertirse en una poderosa herramienta para crear entornos de aprendizaje que enriquezcan la representación (modelado), comprensión y solución de problemas, en el área de la estadística y probabilidad. Excel ofrece funcionalidades que van más allá de la tabulación, cálculo de fórmulas y Graficación de datos:

En inferencia estadística calcula los intervalos de confianza, el tamaño de la muestra y se puede aplicar al contraste de hipótesis, tanto en el bilateral como en el unilateral.

La instalación del programa es muy sencilla, además Microsoft Excel incluye un comando para el análisis de datos, dentro de las "herramientas para el análisis", su uso es poco común, ya que no se tiene cuidado de instalar todas las funciones dentro de las "herramientas", perdiendo la oportunidad de utilizar un medio poderoso para el estudio dentro de la estadística.

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4.2 PRUEBA NO PARAMETRICA

La mayor parte de los procedimientos de prueba de hipótesis que se presentan en

las unidades anteriores se basan en la suposición de que las muestras aleatorias

se seleccionan de poblaciones normales. Afortunadamente, la mayor parte de

estas pruebas aún son confiables cuando experimentamos ligeras desviaciones de

la normalidad, en particular cuando el tamaño de la muestra es grande.

Tradicionalmente, estos procedimientos de prueba se denominan métodos paramétricos. En esta sección se consideran varios procedimientos de prueba

alternativos, llamados no paramétricos ó métodos de distribución libre, que a

menudo no suponen conocimiento de ninguna clase acerca de las distribuciones

de las poblaciones fundamentales, excepto que éstas son continuas.

Los procedimientos no paramétricos o de distribución libre se usan con mayor

frecuencia por los analistas de datos. Existen muchas aplicaciones en la ciencia y

la ingeniería donde los datos se reportan no como valores de un continuo sino

más bien en una escala ordinal tal que es bastante natural asignar rangos a los

datos.

Se debe señalar que hay desventajas asociadas con las pruebas no paramétricas.

En primer lugar no utilizan la información que proporciona la muestra, y por ello

una prueba no paramétrica será menos eficiente que el procedimiento paramétrico

correspondiente, cuando se pueden aplicar ambos métodos. En consecuencia,

para lograr la misma eficiencia, una prueba no paramétrica requerirá la

correspondiente prueba paramétrica.

Como se indicó anteriormente, ligeras divergencias de la normalidad tienen como

resultado desviaciones menores del ideal para las pruebas paramétricas estándar.

EJEMPLO.-

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Dos jueces deben clasificar cinco marcas de cerveza de mucha demanda

mediante la asignación de un grado de 1 a la marca que se considera que tiene la

mejor calidad global, un grado 2 a la segunda mejor, etcétera. Se puede utilizar

entonces una prueba no paramétrica para determinar donde existe algún acuerdo

entre los dos jueces.

Se debe señalar que hay varias desventajas asociadas con las pruebas no

paramétricas. En primer lugar, no utilizan la información que proporciona la

muestra, y por ello una prueba no paramétrica será menos eficiente que el

procedimiento paramétrico correspondiente, cuando se pueden aplicar ambos

métodos. En consecuencia, para lograr la misma potencia, una prueba no

paramétrica requerirá la correspondiente prueba no paramétrica.

Como se indicó antes, ligeras divergencias de la normalidad tienen como resultado

desviaciones menores del ideal para las pruebas paramétricas estándar. Esto es

cierto en particular para la prueba t y la prueba F. En el caso de la prueba t y la

prueba F, el valor P citado puede ser ligeramente erróneo si existe una violación

moderada de la suposición de normalidad.

En resumen, si se puede aplicar una prueba paramétrica y una no paramétrica al

mismo conjunto de datos, debemos aplicar la técnica paramétrica más eficiente.

Sin embargo, se debe reconocer que las suposiciones de normalidad a menudo no

se pueden justificar, y que no siempre se tienen mediciones cuantitativas.

4.2.1 ESCALA DE MEDICION

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Definición de escala

Cualquier recurso para determinar la magnitud o cantidad de un objeto o hecho de

cualquier clase; instrumento para asignar un número o guarismo que indicará

cuánto hay de algo; un recurso de medición que provee un conjunto de normas

(numeradas de acuerdo con ciertas reglas de trabajo) con las que se puede

comparar el objeto que será medido, para asignarle un número o valor matemático

que represente su magnitud. El término es de amplia aplicación: una escala de

alguna clase está incluida en toda medición o estimación. Implícito en cada caso

hay un conjunto de reglas para asignar números o valores: son estas reglas las

que dan significado a las cantidades. Los objetos pueden ser perceptuales o

conceptuales.

La escala de medida de una característica tiene consecuencias en la manera de

presentación de la información y el resumen. La escala de medición-grado de

precisión de la medida de la característica también determina los métodos

estadísticos que se usan para analizar los datos. Por lo tanto, es importante definir

las características por medir. Las escalas de medición más frecuentes son las siguientes:

Escala Nominal.- No poseen propiedades cuantitativas y sirven únicamente para

identificar las clases. Los datos empleados con las escalas nominales constan

generalmente de la frecuencia de los valores o de la tabulación de número de

casos en cada clase, según la variable que se está estudiando. El nivel nominal

permite mencionar similitudes y diferencias entre los casos particulares. Los datos

evaluados en una escala nominal se llaman también "observaciones cualitativas",

debido a que describen la calidad de una persona o cosa estudiada, u

"observaciones categóricas" porque los valores se agrupan en categorías. Por lo

regular, los datos nominales o cualitativos se describen en términos de porcentaje

o proporciones. Para exhibir este tipo de información se usan con mayor

frecuencia tablas de contingencia y gráficas de barras.

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Escala Ordinal.- Las clases en las escalas ordinales no solo se diferencian unas

de otras (característica que define a las escalas nominales) sino que mantiene una

especie de relación entre sí. También permite asignar un lugar específico a cada

objeto de un mismo conjunto, de acuerdo con la intensidad, fuerza, etc.; presentes

en el momento de la medición. Una característica importante de la escala ordinal

es el hecho de que, aunque hay orden entre las categorías, la diferencia entre dos

categorías adyacentes no es la misma en toda la extensión de la escala. Algunas

escalas consisten en calificaciones de múltiples factores que se agregan después

para llegar a un índice general.

Debe mencionarse brevemente una clase espacial de escala ordinal llamada

"escala de posición", donde las observaciones se clasifican de mayor a menor (o

viceversa). Al igual que en las escalas nominales, se emplean a menudo

porcentajes y proporciones en escalas ordinales.

Escala de Intervalo.- Refleja distancias equivalentes entre los objetos y en la

propia escala. Es decir, el uso de ésta escala permite indicar exactamente la

separación entre 2 puntos, lo cual, de acuerdo al principio de isomorfismos, se

traduce en la certeza de que los objetos así medidos están igualmente

separados a la distancia o magnitud expresada en la escala.

Escala de Razón.- Constituye el nivel óptimo de medición, posee un cero

verdadero como origen, también denominada escala de proporciones. La

existencia de un cero, natural y absoluto, significa la posibilidad de que el objeto

estudiado carezca de propiedad medida, además de permitir todas las

operaciones aritméticas y el uso de números representada cantidades reales de

la propiedad medida.

Con esto notamos que esta escala no puede ser usada en los fenómenos

psicológicos, pues no se puede hablar de cero inteligencia o cero aprendizaje,

etc.

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4.2.2 METODOS ESTADÍSTICOS CONTRA NO PARAMETRICOS

1.- EL CASO DE DOS MUESTRAS: Las pruebas estadísticas de dos muestras se

usan criando el investigador desea establecer la diferencia entre chis tratamientos o si

un tratamiento es mejor que otro. Por ejemplo adiestramiento, uso de psicofármaco,

en cada caso el grupo que ha sufrido el tratamiento es comparado con el que no lo ha

experimentado o que ha sufrido un tratamiento diferente.

En la comparación de estos grupos, a veces se observan diferencias significativas que

no son el resultado del tratamiento, por ejemplo, en el estudio de los trabajadores que

se someten a un entrenamiento diferente para determinar cuál es el mejor para elevar

su calificación, puede ser que la diferencia no se deba, realmente, a uno u otra

tratamiento, sino que uno de los grupos estaba más motivado por elevar rápidamente

su calificación y, de esta forma, no se refleja verdaderamente la efectividad del

procedimiento de enseñanza.

Una forma de eliminar esta dificultad, es usar MUESTRAS RELACIONADAS estas

se pueden lograr: Cuando el propio sujeto es su propio control. Con parejas de

sujetos en las que se asignan los miembros de cada pareja, a las dos condiciones.

La técnica paramétrica usual para analizar datos provenientes de dos muestras

relacionadas es aplicar la prueba t a los puntajes, estos se pueden obtener de los

dos puntajes de cada pareja igualada o de los puntajes de cada sujeto bajo las dos

condiciones. Éstas pruebas determinan la medida en dije las diferencias de las

muestras indican, de forma convincente, una diferencia en el proceso aplicado en

ellos.

En el caso de dos MUESTRAS INDEPENDIENTES, ellas pueden obtenerse:

Tomando al azar sujetos de dos poblaciones. Asignando al azar ambos tratamientos

a miembros de algunas muestras de orígenes arbitrarios. No es necesario que la

muestra sea del mismo tamaño.

En este caso, la prueba t es la técnica paramétrica indicada para analizar los datos

de las dos muestras independientes.

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Los métodos estadísticos no paramétricos adecuados para estos casos, son:

2.-EL CASO DE K MUESTRA:

Hasta aquí hemos visto las pruebas estadísticas idóneas para probar la significación

de las diferencias. Entre una sola muestra y una población determinada. Entre dos

muestras relacionadas o independientes. Ahora veremos las pruebas que

determinan la significación de las diferencias entre 3 o más grupos, relacionados o

independientes.

A veces las circunstancias requieren de diseños experimentales de más de dos

muestras o condiciones que puedan estudiarse simultáneamente y entonces es

necesario usar una prueba estadística que indique si existe una diferencia total entre

las k muestras o condiciones, ya que no es posible tener confianza en una decisión

acerca de k muestras, en la que el análisis se haga probando las muestras, 2 a 2.La

técnica paramétrica para probar si varias muestras proceden de una misma

población, es el análisis de varianza o prueba F. La misma facilita que no haya

pérdida de precisión al estimar la varianza por separado, pues se utiliza una

varianza combinada.

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En el caso no paramétrico, tenemos:

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EJEMPLO: Una compañía de taxis trata de decidir si el uso de llantas

radiales en lugar de llantas regulares con cinturón mejora la economía

de combustible.se equipan 16 automóviles con llantas radiales y se

manejan por un recorrido de prueba establecido. Sin cambiar de

conductores, se equipan los mismos autos con las llantas regulares

con cinturón y se manejan una vez más por el recorrido de prueba.se

registra el consumo de gasolina, en kilómetros por litro, de la siguiente

manera:

Automóvil Llantas radiales llantas con cinturón 1 4.2 4.12 4.7 4.93 6.6 6.24 7.0 6.95 6.7 6.86 4.5 4.47 5.7 5.78 6.0 5.89 7.4 6.910 4.9 4.911 6.1 6.012 5.2 4.913 5.7 5.314 6.9 6.515 6.8 7.116 4.9 4.8

¿Podemos concluir en el nivel de significancia de 0.05 que los autos

equipados con llantas radiales obtienen mejores economías de

combustible que los equipados con llantas regulares con cinturón?

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Solución: representemos con µ1 y µ2 los kilómetros por litro promedio

para los autos equipados con llantas radiales y con cinturón,

respectivamente.

1. Hо: µ1- µ2= 0

2. H1: µ1- µ2 > 03. α= 0.05

4. Estadística de prueba : variable binomial x con p= ½5. Cálculos: después de reemplazar cada diferencia positiva con un

símbolo “ + `` y cada diferencia negativa con un símbolo "-, y

después descartar las dos diferencias cero ,obtenemos la

secuencia

+ - + - + - + - + - + - + - + - + -+ - +

Para la que n= 14 y x =11. Con el uso de la aproximación de la curva normal, encontramos que

Z= 10.5 – 7 = 1.87 √14/2

Y entonces P= P(X ≥ 11) ≈ P ( Z>1.87)= 0.0307

6. DECISION: rechazar Ho y concluir que, en promedio, las llantas

radiales mejoran la economía de combustible.

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4.2.3 PRUEBA DE KOLMOGOROV – SMIRNOV

Recuérdese que para aplicar la prueba de bondad de ajuste chi-cuadrada cuando

el modelo propuesto bajo H 0 es continuo, es necesario aproximar F0(x) mediante

el agrupamiento de los datos observados en un número finito de intervalos de

clase. Este requisito de agrupar los datos implica tener una muestra ´más o menos

grande. De esta manera, la prueba de bondad de ajuste chi-cuadrada se

encuentra limitada cuando F0(x) es continua y la muestra aleatoria disponible

tiene un tamaño pequeño. Una prueba de bondad de ajuste más apropiada que la

chi-cuadrada cuando F0(x) es continua, es la basad en la estadística de

Kolmogorov – Smirnov.

La prueba de Kolmogorov – Smirnov no necesita que los datos se encuentren

agrupados y es aplicable a muestras de tamaño pequeño. Ésta se basa en una

comparación entre las funciones de distribución acumulativa que se observa en la

muestra ordenada y la distribución propuesta bajo la hipótesis nula. Si esta

comparación revela una diferencia suficientemente grande entre las funciones de

distribución muestral y propuesta, entonces la hipótesis nula de que la distribución

es F0(x), se rechaza.

Considérese la hipótesis nula por H 0 :F(x )¿ F0(x), en donde F0(x) se especifica

en forma completa. Denótese por X (1) , X (2) ,…, X(n) a las observaciones ordenadas

de una muestra aleatoria de tamaño n y defínase la función de distribución

acumulativa muestral como

Sn(x )={ 0k /n1x< x(1) ,

x(k)≤x<x (k +1) ,

x ≥ xn .

En otras palabras, para cualquier valor ordenado x de la muestra aleatoria, Sn(x )

es la proporción del número de valores en la muestra que son iguales o menores a

x. Ya que F0 ( x )se encuentra completamente especificada, es posible evaluar a

F0(x) para algún valor deseado de x, y entonces compara este último con el valor

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correspondiente de Sn(x ). Si la hipótesis nula es verdadera, entonces es lógico

esperar que la diferencia sea relativamente pequeña. La estadística de

Kolmogorov – Smirnov se define como

Dn=máxx |Sn(x)−F0(x )|.

La estadística Dn tiene una distribución que es independiente del modelo

propuesto bajo la hipótesis nula. Por esta razón, se dice Dn es una estadística

independiente de la distribución. Lo anterior da como resultado que la función de

distribución para cualquier F0(x). En la tabla J del apéndice, se proporcionan los

valores cuantiles superiores de Dnpara varios valores de la muestra. El lector debe

notar que los valores asintóticos de dn que se encuentran en la parte inferior de la

tabla proporcionan una adecuada aproximación para los valores de n mayores de

50.

Para un tamaño ∝ del error de tipo i, la región crítica es de la forma

P(Dn>c√n )=∝.

De acuerdo con lo anterior, la hipótesis H 0se rechaza si para algún valorx

observado del valor Dn se encuentra dentro de la región crítica de tamaño α .

Como se hizo anteriormente, la estadística de Kolmogorov – Smirnov es, en

general, superior a la prueba de bondad de ajuste chi – cuadrada cuando los datos

involucran una variable aleatoria continua, debido a que no es necesario agrupar

los datos. Además, la prueba de Kolmogorov – Smirnov tiene la atractiva

propiedad de ser aplicable a muestras de tamaño pequeño. Por otro lado, la

estadística se encuentra limitada, ya que el modelo propuesto bajo H 0 debe

especificarse en forma completa. La estadística de Kolmogorov – Smirnov no se

aplica a todos aquellos casos para los que as observaciones no son

inherentemente cuantitativas a consecuencia de las ambigüedades que pueden

surgir cuando se ordenan las observaciones.

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4.2.4 PRUEBA DE ANDERSON-DARLING.

Esta prueba compara la función de distribución acumulada empírica de los datos

de su muestra con la distribución esperada si los datos son normales. Si esta

diferencia observada es suficientemente grande, la prueba rechazará la hipótesis

nula de normalidad en la población.

En estadística, la prueba de Anderson-Darling es una prueba no paramétrica

sobre si los datos de una muestra provienen de una distribución específica. La

fórmula para el estadístico A determina si los datos (observar

que los datos se deben ordenar) vienen de una distribución con función

acumulativa F

A2 = − N − S

Donde:

El estadístico de la prueba se puede entonces comparar contra las distribuciones

del estadístico de prueba (dependiendo que F se utiliza) para determinar el

P-valor.

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4.2.5 PRUEBA DE RYAN-JOINER

Esta prueba evalúa la normalidad calculando la correlación entre sus datos y las

puntuaciones normales de sus datos. Si el coeficiente de correlación se encuentra

cerca de 1, es probable que la población sea normal.

La estadística de Ryan-Joiner evalúa la solidez de esta correlación; si se

encuentra por debajo del valor crítico apropiado, se rechazará la hipótesis nula H0

de normalidad en la población. Esta prueba es similar a la prueba de normalidad

de Shapiro-Wilk.

4.2.6 PRUEBA DE SHAPPIRO – WILK

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En estadística, la prueba de Shappiro–Wilk, se usa para contrastar la normalidad

de un conjunto de datos. Se plantea como hipótesis nula que una muestra X1,...,

Xn proviene de una población normalmente distribuida. Se considera uno de las

pruebas más potentes para el contraste de normalidad, sobre todo para muestras

pequeñas (n<30).

El estadístico de la prueba de Shappiro – Wilk es:

Donde:

x (i )= con el subíndice i entre paréntesis es el número que ocupa la i-ésima

posición en la muestra;

= (x1 + ... + xn) / n es la media muestral;

Las constantes ai se calculan

Donde:

Siendo m1,..., mn son los valores medios del estadístico ordenado, de variables

aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, muestreadas de

distribuciones normales. V es la matriz de covarianzas de ese estadístico de

orden.

La hipótesis nula se rechazará si W es demasiado pequeño.

CONCLUSION

Página 35

http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_nula

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal

http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_nula

http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica


De esta manera puedo finalizar que es muy substancial tener siempre en cuenta la

escala de medición que se está utilizando, pues no todos los procedimientos

estadísticos son apropiados para cualquier análisis.

En general, las variables estadísticas se clasifican en variables continuas o

cuantitativas y variables discretas o cualitativas, según el nivel de escala en que

estén medidas. Las variables continuas se refieren a magnitudes medidas en

escala de intervalos o de razón, mientras que las variables discretas comprenden

magnitudes medidas en escalas de nivel nominal y ordinal. Por otro lado puedo

concluir que las pruebas no paramétricas se encargan de estudiar las pruebas y

modelos estadísticos cuya distribución no se ajusta; o sea que no asumen ningún

parámetro de las variables muéstrales, por eso es muy importante el conocimiento

de las pruebas no paramétricas, ya que se aplica en la administración debido a la

prueba de la tabla de contingencia como la de bondad de ajuste analizan datos

nominales u ordinales. Estas pruebas, se usan ampliamente en las aplicaciones

de negocios, lo que demuestra la importancia de la habilidad para manejar datos

categóricos o jerarquizados además de los cuantitativos.

Domínguez Pérez Ruth Abigail

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CONCLUSION

Para el desarrollo de esta unidad nuevamente llevamos a cabo la formulación de hipótesis, y a partir de ello se realizan diversas pruebas, de las cuales hablare a continuación. Como pudimos notar el trabajo anterior trato a cerca de las pruebas de bondad de ajuste y las pruebas no paramétricas, a partir de ello puedo concluir que, una prueba de bondad de ajuste mide como su nombre lo indica, el grado o nivel de ajuste que existe entre una distribución obtenida a partir de una muestra y una distribución teórica que se supone debe seguir dicha muestra. Ambas pruebas están basadas en la hipótesis nula. Para probar la bondad de ajuste se utiliza un procedimiento basado en la distribución ji-cuadrada, y al obtener el valor de ji-cuadrada, mientras más cercano a cero esté, más ajustadas estarán las distribuciones.

Otra de las pruebas es la de independencia, ésta trata de la comparación de dos situaciones, basándose en datos estadísticos obtenidos de la formulación de datos por medio de formulas y tablas, lo cual involucra las denominadas tablas de contingencia, estas agrupa los datos según renglones y columnas.

Por otra parte tenemos las pruebas no paramétricas, éstas se refieren a aquellas pruebas que se realizan considerando varios procedimientos alternativos, llamados no paramétricos y que se encargan de estudiar las pruebas cuya distribución no se ajusta a los criterios paramétricos; es decir, que no asumen ningún parámetro de las variables muestrales.

En resumen, las pruebas de Shappiro- Wilk, la de prueba de Anderson-Darling y la de Ryan-Joiner se utilizan para contrastar la normalidad de un conjunto de datos. Por otro lado se encuentra la prueba de Kolmogorov-Smirnov la cual es una de las pruebas básicas de bondad de ajuste.

Para finalizar con el trabajo anterior pude notar que la distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística, la más conocida es la denominada prueba χ² la cual es utilizada como prueba de bondad de ajuste.

Estévez Ortega Abigail

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http://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_%CF%87%C2%B2

http://es.wikipedia.org/wiki/Inferencia_estad%C3%ADstica


BIBLIOGRAFÍA

Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería.

2ª edición

Montgomery Runger

Limusa Wiley

Probabilidad y estadística.

Cuarta edición

Walpole Myers

Mc Graw Hill

Estadística

Richard C. Weimer

CECSA

Página 38

Engineering

Pruebas de bondad de ajuste y pruebas no parametricas