MTA3 Pruebas de Bondad de Ajuste v5

8/18/2019 MTA3 Pruebas de Bondad de Ajuste v5

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En el presente MTA analizaremos un conjunto de datos usando un histograma, el cual

nos permitirá plantear la hipótesis acerca de la función que podría representar al

conjunto de datos bajo análisis, posteriormente se ejecutará la prueba de bondad deajuste llamada “Chi‐cuadrado” para verificar la veracidad de la hipótesis planteada.

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Casi todos los eventos del mundo que nos rodea tienen un comportamiento aleatorio y

este comportamiento puede ser recreado usando funciones de probabilidad, por

ejemplo:

¿Sabías que con una distribución de probabilidades POISSON podemos recrear la

cantidad de ordenes de compra que arriban cada día a la empresa?

¿Te imaginabas que con una distribución de probabilidades EXPONENCIAL podemos

recrear el tiempo de atención de los clientes en la ventanilla de un banco?

Las pruebas de bondad de ajuste nos permiten determinar qué función representa a un

conjunto de datos.

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A continuación, determinaremos la función de probabilidades a usar para representar

un proceso en un modelo de simulación.

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Iniciaremos analizando los datos recolectados.

Supongamos que tenemos una muestra de tamaño 30, esta muestra es tomada a partir

de los tiempos históricos requeridos para atender a los usuarios y están dados en

minutos, este es el paso inicial de recolección de los datos y los mostramos en el

siguiente cuadro de “Tiempos de Actividad”.

El segundo paso, es hallar los estadísticos máximo, mínimo, promedio y calcular la

cantidad de intervalos de clase, al cual llamaremos “K”, y el “Ancho de Clase”

La cantidad de intervalos es hallada usando la regla de STURGES y el ancho de clase

dividiendo la diferencia del máximo y mínimo valor observado entre K, para los datos

analizados, la cantidad de intervalos de clase es 5.87 y lo redondeamos a 6 y el ancho de

clase es 8.5.

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El siguiente paso es crear los intervalos de clase.

De acuerdo al análisis previo, se requiere K = 6 intervalos de clase y usaremos el ancho

de clase para hallar cada intervalo. Cada intervalo de clase tiene un límite inferior y

superior.

Para el primer intervalo, el límite inferior es igual al mínimo valor “1” y el limite superior

es obtenido sumando el limite inferior más el ancho de clase “8.5”, lo que nos da como

resultado “9.5”.

Para el segundo intervalo el limite inferior es igual al limite superior del primer intervalo

“9.5” y el limite superior es obtenido sumando el limite inferior más el ancho de clase“8.5”, lo que nos da como resultado “18”.

Del mismo modo hallamos el resto de intervalos de clase, tal como se muestra en el

cuadro completo con los seis intervalos de clase.

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En el paso anterior hallamos los intervalos de clase, por lo tanto, ahora podemos hallar

la frecuencia observada (FO), la cual muestra cuántos datos se encuentran dentro de

cada intervalo.

En el primer intervalo que va desde “1” hasta “9.5” tenemos una frecuencia observada

igual a “18”, lo cual significa que de los “30” datos analizados, “18” observaciones caen

dentro de este intervalo.

Del mismo modo, para los otros intervalos hay que contar cuántos datos caen dentro de

cada uno de ellos.

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Una vez que hallamos la frecuencia observada, podemos obtener el gráfico del

histograma.

El gráfico del histograma nos ayuda a analizar cómo se distribuyen los datos y dónde

están más concentrados. También nos ayuda a plantear la hipótesis acerca de la función

de probabilidades que podría representar al conjunto de datos.

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Descarga el archivo adjunto y crea el histograma en Excel mostrado en el paso anterior.

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El siguiente paso implica plantear la hipótesis, acerca de la función de probabilidades

que representa a los datos bajo análisis.

Analizando las funciones Uniforme, Exponencial y Normal, notamos que la función

exponencial es la que mejor se ajusta al histograma.

Por lo tanto, la hipótesis es:

Ho: Los datos tienen un comportamiento exponencial

H1: Los datos NO tienen un comportamiento exponencial

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Ahora recordaremos las características de la función de distribución exponencial.

Notamos que se define la función “f” minúscula, la cual es denominada “la función de

distribución de probabilidades” y la “F” mayúscula la que se denomina la función dedistribución de probabilidades acumulada”.

El parámetro “beta” es el promedio que para los 30 datos bajo análisis es igual a 11.53

Casi siempre la función exponencial representa los tiempos requeridos para la

ejecución de una actividad o la prestación de un servicio. Esta función requiere

de un parámetro que es el promedio.

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Una vez que se plantea la hipótesis, hay que verificar la validez de dicha hipótesis, para

lo cual ejecutamos la prueba Chi‐cuadrado.

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El primer paso al ejecutar la prueba Chi‐cuadrado requiere hallar la probabilidad para

cada intervalo de clase del histograma.

La probabilidad es hallada usando la función planteada en la hipótesis, en este caso

exponencial, donde el promedio es 11.53 (un solo parámetro requerido).

Como se desea la probabilidad de un intervalo se usa la función de distribución de

probabilidades acumulada, representada por la “F” mayúscula.

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Una vez que tenemos la probabilidad de cada intervalo, procedemos a calcular la

frecuencia esperada.

La frecuencia esperada es hallada multiplicando la probabilidad de cada intervalo por la

cantidad de datos (30 en este caso)

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Una vez hallada la frecuencia esperada, podemos calcular los valores de la columna Chi‐

cuadrado, elevando al cuadrado la diferencia entre la frecuencia observada y la

frecuencia esperada y dividiendo este resultado entre la frecuencia esperada.

La suma de esta columna es llamada “valor Chi‐cuadrado calculado” que en este caso es

igual a 2.88.

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La tabla Chi‐cuadrado es una tabla de doble entrada que requiere a nivel de fila los

grados de libertad y a nivel de columna el nivel de error “α” (alfa).

Los grados de libertad = K – 1 – [cantidad parámetros de la función]

K = numero de intervalos de clase.

La cantidad parámetros de la función exponencial = 1, pues solo se estima el promedio.

entonces, los grados de libertad = [6 intervalos de clase] ‐ 1 – [1 parámetro estimado] =

4 grados de libertad.

Seleccionamos en la tabla la fila correspondiente a 4 grados de libertad y la columna

asociada a un nivel alfa = 10%.

Por lo tanto el valor Chi‐cuadrado = 7.7794

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El último paso es validar la hipótesis planteada al inicio.

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Para practicar lo aprendido, analice los siguientes datos y determine si pueden ser

representados por una función EXPONENCIAL (los datos se encuentran en el archivo

Excel que bajaron previamente).

Recuerde calcular la probabilidad usando la función planteada en la hipótesis y use un

alfa = 10%.

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Esta es la solución del problema desarrollado en Excel, compara tus resultados con los

mostrados en esta página.

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