Embed Size (px)
Citation preview
MODUL AJAR
Judul Matakuliah
MEKANIKA FLUIDA
Disusun oleh:
Ir. Kutut Suryopratomo, MT, MSc
PROGRAM STUDI FISIKA TEKNIK
JURUSAN TEKNIK FISIKA
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS GADJAH MADA
November 2013
i
Halaman Pengesahan
A. PENYUSUN
1. Nama : Ir. Kutut Suryopratomo, MT, MSc2. NIP : 19670620 199303 1 0033. Pangkat/Golongan : Lektor/IIIc4. Jabatan sekarang : Penata
B. DESKRIPSI MATAKULIAH
1. Nama Matakuliah : Mekanika Fluida2. Kode : TNF 21263. SKS : 34. Semester : 35. Sifat : Wajib6. Matakuliah prasyarat : Mekanika
C. SILABUS MATAKULIAH
Hukum-hukum dasar fisika dalam mekanika fluida. Sifat-sifat fluida. Statika fluida. Dinamika fluida: aliran dalam saluran tertutup, saluran terbuka dan di sekitar benda serta metode pengukuran fluida. Similaritas dan analisis dimensi. Hukum-hukum dasar mekanika dan sifat-sifat fluida
Yogyakarta, 15 November 2013
Penyusun,
Ir. Kutut Suryopratomo, MT, MSc
NIP. 19670620 199303 1 003
ii
Daftar Isi
Halaman Pengesahan________________________________________________ii
Daftar Isi_________________________________________________________iii
Daftar Gambar_____________________________________________________vi
Daftar Tabel______________________________________________________xii
MODUL I. KONSEP DAN DEFINISI__________________________________1
A. Cakupan Mekanika Fluida_______________________________________1
B. Konsep Kontinum______________________________________________3
C. Sifat Fluida di Satu Titik_________________________________________4
D. Medan Tekanan________________________________________________8
MODUL II. STATIKA FLUIDA______________________________________12
A. Kerangka Acuan______________________________________________12
B. Hukum Pascal________________________________________________13
C. Ragam Tekanan_______________________________________________16
D. Tekanan Mutlak, Relatif & Hampa________________________________19
E. Persamaan Dasar Fluida Statik___________________________________21
F. Pengukuran Tekanan___________________________________________28
G. Gaya Pada Permukaan Terendam_________________________________38
H. Pengapungan_________________________________________________40
MODUL III. SIFAT-SIFAT FLUIDA__________________________________48
A. Definisi Fluida________________________________________________49
B. Viskositas___________________________________________________52
C. Fluida Newtonian vs. NonNewtonian______________________________54
D. Tekanan Uap_________________________________________________57
E. Kompresibilitas_______________________________________________59
F. Tegangan Permukaan___________________________________________60
G. Kapilaritas___________________________________________________64
MODUL IV. DESKRIPSI ALIRAN___________________________________72
A. Ragam Cara Pandang Aliran_____________________________________72
B. Kinematika Fluida_____________________________________________79
C. Visualisasi Aliran_____________________________________________86
D. Penyajian Data Aliran__________________________________________93
MODUL V. ANALISIS INTEGRAL ALIRAN__________________________95
iii
A. Pendekatan Analisis___________________________________________95
B. Neraca Integral Massa__________________________________________97
C. Neraca Integral Momentum Linier_______________________________101
D. Neraca Integral Momentum Angular_____________________________109
E. Neraca Integral Energi_________________________________________118
MODUL VI. ANALISIS INTEGRAL ALIRAN PADA CV DIFERENSIAL_122
A. CV diferensial silindrik________________________________________122
B. CV diferensial kubik__________________________________________127
MODUL VII. ANALISIS DIFERENSIAL ALIRAN_____________________131
A. Analisis Diferensial vs. Integral_________________________________131
B. Neraca Diferensial Massa______________________________________133
C. Neraca Diferensial Momentum__________________________________146
MODUL VIII. ALIRAN INVISID___________________________________167
A. Persamaan Aliran Invisid (Potensial)_____________________________168
B. Solusi Analitik_______________________________________________169
C. Aliran Invisid 2-D____________________________________________173
D. Solusi Numerik______________________________________________175
MODUL IX. ALIRAN VISKOS_____________________________________181
A. Aliran Laminer & Turbulen____________________________________181
B. Lapisan Batas_______________________________________________182
C. Persamaan Lapisan Batas______________________________________184
D. Penyelesaian Blasius__________________________________________190
E. Analisis Integral Momentum von Kärmän_________________________192
MODUL X. ALIRAN DALAM SALURAN TERTUTUP_________________198
A. Analisis Dimensional_________________________________________198
B. Faktor Gesekan______________________________________________200
C. Kerugian Head_______________________________________________200
D. Macam Persoalan Aliran_______________________________________202
E. Pengukuran Aliran____________________________________________202
MODUL XI. ALIRAN DALAM SALURAN TERBUKA_________________214
A. Klasifikasi Aliran____________________________________________215
B. Aliran Seragam______________________________________________218
C. Lompatan Hidrolik___________________________________________224
D. Pengukuran Aliran___________________________________________228
MODUL XII. ALIRAN EKSTERNAL________________________________231
iv
A. Aliran Eksternal vs. Internal____________________________________231
B. Gaya Hambat & Angkat_______________________________________232
MODUL XIII. KESERUPAAN & PEMODELAN_______________________238
A. Dimensi____________________________________________________238
B. Nirdimensionalisasi___________________________________________239
C. Analisis Dimensi_____________________________________________240
D. Ekstrapolasi Model-Prototipe___________________________________245
v
Daftar Gambar
Gambar 1. Contoh-contoh terapan mekanika fluida_________________________4
Gambar 2. Densitas di satu titik________________________________________5
Gambar 3. Gaya pada sebuah elemen fluida_______________________________6
Gambar 4. Elemen dalam fluida statik___________________________________6
Gambar 5. Gelombang kejut di sekitar peluru & ujung senapan_______________8
Gambar 6. Jejak s dalam bidang xy_____________________________________9
Gambar 7. Gaya tekan pada elemen fluida_______________________________14
Gambar 8. Prinsip dongkrak mobil_____________________________________16
Gambar 9. Elemen diferensial tabung-vertikal fluida_______________________17
Gambar 10. Elemen diferensial tabung-horizontal fluida____________________17
Gambar 11. Tabung berbentuk U______________________________________18
Gambar 12. Elemen diferensial tabung-miring fluida______________________18
Gambar 13. Tekanan acuan mutlak dan relatif, tekanan terukur, tekanan vakum dan tekanan mutlak______________________________________20
Gambar 14. Komponen tekanan pada elemen fluida statis___________________21
Gambar 15. Pengaruh percepatan terhadap medan tekanan sebagaimana tampak pada perubahan permukaan fluida__________________________23
Gambar 16. Komponen tekanan pada elemen fluida statis dalam kerangka koordinat dipercepat dengan percepatan angular a____________________24
Gambar 17. Pengaruh percepatan terhadap medan tekanan sebagaimana tampak pada perubahan permukaan fluida__________________________25
Gambar 18. Profil permukaan bebas pada beragam rpm (0-480)______________27
Gambar 19. Barometer fluida_________________________________________28
Gambar 20. Barometer digital_________________________________________28
Gambar 21. Piezometer______________________________________________30
Gambar 22. Manometer U sederhana___________________________________31
Gambar 23. Manometer U Terbalik____________________________________32
Gambar 24. Manometer 1-kaki besar___________________________________33
Gambar 25. Manometer 2-fluida_______________________________________35
Gambar 26. Manometer berkaki miring_________________________________35
Gambar 27. Tabung Bourdon (kiri) dan prinsip kerjanya (kanan)_____________37
Gambar 28. Kombinasi pengukur tekanan gauge dan vakum________________37
Gambar 29. Gaya tekan pada sebidang permukaan terendam________________39
vi
Gambar 30. Gaya-gaya yang bekerja pada elemen silindrik pada benda________41
Gambar 31. Benda mengapung, melayang dan tenggelam___________________42
Gambar 32. Gunung es mengapung di permukaan laut karena densitas es (padat) lebih rendah daripada air laut (cair)_________________________43
Gambar 33. Gaya apung pada benda___________________________________44
Gambar 34. Kestabilan benda celup (immersed body)______________________45
Gambar 35. Kestabilan benda apung (floating body)_______________________45
Gambar 36. Mahkota sama berat dengan bongkahan emas murni di udara______46
Gambar 37. Mahkota lebih ringan dari bongkahan emas murni di dalam air_____46
Gambar 38. Dok kapal tenggelam sebagian______________________________47
Gambar 39. Kapal selam berbobot 6000 ton sedang menjalani perbaikan di atas dok kapal________________________________________________47
Gambar 40. Gaya normal dan gaya geser/tangensial_______________________50
Gambar 41. Efek gaya geser pada padatan_______________________________51
Gambar 42. Efek gaya geser pada fluida________________________________52
Gambar 43. Gaya hambat yang dialami seekor burung sewaktu terbang mencerminkan pengaruh viskositas fluida__________________________53
Gambar 44. Efek Coanda____________________________________________53
Gambar 45. Variasi viskositas cairan dan gas terhadap suhu_________________54
Gambar 46. Hubungan tegangan geser (shear stress, ) dengan laju regangan geser (rate of shear strain, du/dy) berbagai macam fluida______55
Gambar 47. Efek perubahan mendadak laju geser pada viskositas semu fluida gayut-waktu_____________________________________________57
Gambar 48. Kavitasi di ujung baling-baling kapal_________________________58
Gambar 49. Efek kavitasi pada pompa sentrifugal_________________________58
Gambar 50. Efek tegangan permukaan air pada seekor serangga______________60
Gambar 51. Efek tegangan permukaan pada tetesan air_____________________60
Gambar 52. Gaya-gaya pada molekul fluida di dalam dan di permukaan_______61
Gambar 53. Komponen gaya-gaya pada butiran fluida_____________________62
Gambar 54. Dua permukaan (dalam dan luar) pada gelembung sabun_________63
Gambar 55. Watak pembasahan sebutir fluida pada permukaan padat_________64
Gambar 56. Efek kapilaritas__________________________________________65
Gambar 57. Gaya-gaya yang bekerja pada CV (control volume) kolom fluida yang mendaki di atas permukaan bebas_______________________66
Gambar 58. Gaya-gaya yang bekerja pada CV (control volume) kolom fluida yang membenam di bawah permukaan bebas___________________67
Gambar 59. Kenaikan air dan penurunan Hg sebagai fungsi diameter pipa kapilar______________________________________________________69
vii
Gambar 60. Efek kapilaritas__________________________________________70
Gambar 61. Dalil Transport Reynolds__________________________________74
Gambar 62. Analisis pergerakan sensor mikron untuk pemantauan lingkungan global dengan gabungan metode Eulerian-Lagrangian_______76
Gambar 63. Analisis forensik kecelakaan pesawat ulang-alik Columbia dengan gabungan metode Eulerian-Lagrangian______________________76
Gambar 64. Operator diferensial total mempertemukan metode Lagrangian dan Eulerian__________________________________________________78
Gambar 65. Rangkuman berbagai cara pandang pergerakan fluida____________79
Gambar 66. Ragam gerak yang bisa dialami oleh elemen fluida______________80
Gambar 67. Deskripsi gerak rotasi elemen fluida__________________________80
Gambar 68. Aliran rotasional di dekat dinding, dan irrotasional di jauh dinding______________________________________________________82
Gambar 69. Deskripsi peregangan linier elemen fluida_____________________82
Gambar 70. Deskripsi gerak geser 1-arah pada elemen fluida________________84
Gambar 71. Deskripsi gerak geser 2-arah pada elemen fluida________________85
Gambar 72. Visualisasi aliran melalui sebuah bola________________________87
Gambar 73. Kecepatan dan garis busur streamline_________________________87
Gambar 74. Kontur tekanan dan streamline pada NASCAR_________________88
Gambar 75. Kontur tekanan, streamline, dan streamline permukaan pada pesawat terbang_______________________________________________88
Gambar 76. Deskripsi pathline________________________________________89
Gambar 77. Pathline hasil teknik eksperimen particle image velocimetry (PIV)_______________________________________________________89
Gambar 78. Deskripsi streakline_______________________________________90
Gambar 79. Streakline hasil simulasi pesawat VTOL (Vertical Take-off and Landing)_____________________________________________________90
Gambar 80. Streakline berupa vortex ujung sayap_________________________91
Gambar 81. Streakline berupa vortex Karman di hilir pulau Guadalupe berketinggian 1,3 km (lokasi di lepas pantai Baja California AS)________91
Gambar 82. Perbandingan streamline, pathline dan streakline________________92
Gambar 83. Timelines yang dihasilkan oleh kawat gelembung hidrogen digunakan untuk memvisualisasikan bentuk profil kecepatan lapisan batas (boundary layer)._________________________________________93
Gambar 84. Peta Profil kecepatan horizontal sebagai fungsi jarak vertikal dalam aliran lapisan batas sepanjang plat datar_______________________93
Gambar 85. Peta vektor kecepatan_____________________________________94
Gambar 86. Peta kontur tekanan_______________________________________94
viii
Gambar 87. Contoh CV diam_________________________________________96
Gambar 88. Contoh CV bergerak______________________________________96
Gambar 89. Contoh CV berdeformasi__________________________________97
Gambar 90. Pemilihan batas CV memudahkan evaluasi aliran_______________98
Gambar 91. Aliran melalui CV diam___________________________________99
Gambar 92. Tangki terbuka berisi air__________________________________100
Gambar 93. Aliran fluida steady dan inkompresibel dalam streamtube________103
Gambar 94. Dorongan gas hasil pembakaran pada roket___________________104
Gambar 95. Sudu turbin air Pelton____________________________________106
Gambar 96. Struktur lengkap turbin Pelton_____________________________107
Gambar 97. Skema aliran fluida pada turbin Pelton_______________________107
Gambar 98. Hubungan besaran gerak linier dan angular benda kaku_________110
Gambar 99. Kesejajaran besaran linier dan angular_______________________111
Gambar 100. Potongan kompresor aliran radial (kiri) dan turbin aliran radial (kanan)________________________________________________112
Gambar 101. Skema turbin aliran radial________________________________113
Gambar 102. Komponen kecepatan pada sudu turbin_____________________115
Gambar 103. Prinsip kerja turbin Hero_________________________________116
Gambar 104. Daya output dan torsi turbin Hero sebagai fungsi laju putar turbin______________________________________________________117
Gambar 105. CV diferensial silindrik aliran fluida dalam pipa bundar________123
Gambar 106. Profil kecepatan aliran laminer dalam pipa___________________126
Gambar 107. Diagram faktor gesekan sebagai fungsi bilangan Reynolds______127
Gambar 108. Penurunan tekanan dan faktor friksi sebagai fungsi kecepatan aliran______________________________________________________127
Gambar 109. CV diferensial kubik aliran fluida pada bidang miring__________128
Gambar 110. Profil aliran laminer pada bidang miring____________________130
Gambar 111. Analisis integral (kiri) vs. analisis diferensial (kanan)__________132
Gambar 112. Aliran massa pada CV diferensial__________________________134
Gambar 113. Vortex garis dan spiral__________________________________140
Gambar 114. Gradien garis singgung pada streamline_____________________141
Gambar 115. Makna fisis stream function______________________________142
Gambar 116. Streamline vortex garis dan stream function__________________143
Gambar 117. Streamline vortex garis spiral_____________________________145
Gambar 118. Tegangan normal dan geser yang bekerja pada permukaan yang tegak lurus bidang x-y_____________________________________148
ix
Gambar 119. Tegangan normal dan geser yang bekerja pada permukaan yang tegak lurus bidang x-z_____________________________________148
Gambar 120. Tegangan normal dan geser yang bekerja pada permukaan yang tegak lurus bidang y-z_____________________________________149
Gambar 121. Gradien (beda) tekanan berpengaruh terhadap medan kecepatan aliran, bukan tekanan_________________________________157
Gambar 122. Syarat batas di antarmuka 2-fluida_________________________159
Gambar 123. Syarat batas di permukaan bebas__________________________159
Gambar 124. Gaya geser dalam aliran Couette berkembang penuh___________163
Gambar 125. Aliran Couette pada viskometer putar_______________________163
Gambar 126. Aliran fluida Newtonian, laminer, steady, dan inkompresibel dalam pipa__________________________________________________165
Gambar 127. Aliran seragam di sekitar silinder tak-hingga berjari-jari a______170
Gambar 128. Medan tekanan aliran invisid di permukaan silinder tak-hingga__173
Gambar 129. Aliran invisid melalui saluran membesar mendadak___________177
Gambar 130. Syarat batas persoalan aliran invisid dalam saluran membesar___178
Gambar 131. Kontur streamline______________________________________179
Gambar 132. Kontur kecepatan______________________________________179
Gambar 133. Kontur tekanan (10 kPa) dengan tekanan input 100 kPa________180
Gambar 134. Visualisasi lapisan batas laminer (a) dan turbulen (b)__________183
Gambar 135. Normalisasi kecepatan arah x (u) dan y (v) dalam BL setebal terhadap kecepatan aliran bebas (Ue) dan normalisasi jarak arah x dan y terhadap panjang plat (L)_____________________________________185
Gambar 136. Normalisasi tekanan terhadap tekanan kinetik arus bebas, waktu terhadap waktu tempuh arus bebas sejarak plat L, dan viskositas kinematik terhadap arus bebas dikali panjak plat L__________186
Gambar 137. Grafik tebal lapisan batas per x (/x) sebagai fungsi Rex________192
Gambar 138. Tebal lapisan batas () pada berbagai posisi x dari hulu plat untuk berbagai kecepatan______________________________________192
Gambar 139. CV dalam lapisan batas__________________________________193
Gambar 140. Venturimeter__________________________________________203
Gambar 141. Orificemeter__________________________________________205
Gambar 142. Tabung Pitot__________________________________________208
Gambar 143. Setup tabung Pitot______________________________________209
Gambar 144. Rotameter____________________________________________210
Gambar 145. Gaya-gaya yang bekerja pada apungan______________________211
Gambar 146. Macam-macam geometri apungan_________________________213
Gambar 147. CV bergerak mengikuti gelombang permukaan_______________217
x
Gambar 148. Saluran terbuka________________________________________219
Gambar 149. Saluran terbuka ragam dinding____________________________224
Gambar 150. Lompatan hidrolik______________________________________224
Gambar 151. Aliran tenang (Fr<1)____________________________________226
Gambar 152. Aliran deras (Fr>1,0)___________________________________227
Gambar 153. Notch berbentuk sembarang______________________________228
Gambar 154. Notch-V______________________________________________229
Gambar 155. Notch trapesium_______________________________________230
Gambar 156. Aliran eksternal________________________________________232
Gambar 157. Pemisahan aliran pada aerofoil____________________________234
Gambar 158. Efek pemisahan aliran pada koefisien gaya angkat dan hambat aerofoil_____________________________________________________235
Gambar 159. Pertumbuhan lapisan batas dari laminer ke turbulen___________235
Gambar 160. Kurva Cd bola dan silinder_______________________________236
Gambar 161. Model dan prototipe mobil_______________________________241
Gambar 162. Prototipe dam Wanapum di Sungai Columbia AS (a) dan model fisik dam di Iowa Institute of Hydraulic Research (b)___________243
Gambar 163. Prototipe kapal laut (a) dan model skala 1/20 (b)______________244
xi
Daftar Tabel
Tabel 1. Nilai tegangan permukaan beberapa cairan.............................................63
Tabel 2. Langkah-langkah kerja analisis aliran secara analitik dan numerik......133
Tabel 3. Penyelesaian eksak Blasius vs pendekatan von-Kärmän.......................196
Tabel 4. Variabel persoalan aliran turbulen dalam pipa......................................198
Tabel 5. Koefisien rugi dan panjang ekuivalen....................................................201
xii
MODUL I. KONSEP DAN DEFINISI
Deskripsi
Mekanika Fluida (MF) adalah ilmu yang mempelajari sifat-sifat fluida. Bidang ini sangat luas penerapannya mengingat fluida adalah bagian dari kehidupan manusia. Oleh karena itu, modul dibuka dengan ulasan tentang cakupan dari Mekanika Fluida, lalu diikuti dengan konsep-konsep dasar, peristilahan dan definisinya, dan ditutup dengan rangkuman.
Seperti halnya ilmu lainnya, bangunan Mekanika Fluida (MF) didirikan di atas cara-cara pandang dan buah-buah pemikiran (konsep) kolektif ilmuwan tentang sifat fluida yang dibangun secara sistematis melalui pendekatan ilmiah. Beserta konsep datang istilah dan definisi. Istilah adalah sekedar sebutan, sedangkan definisi adalah makna terbatas dari suatu konsep. Pembatasan makna sengaja dibuat untuk sejauh mungkin menghindari keambiguan atau kerancuan. Dengan demikian, ilmu bisa secara bersama-sama dikembangkan, dihimpun, dan dikomunikasikan dengan efektif oleh manusia sedunia sebagai bagian dari peradaban.
Sasaran belajar:
1. Menjelaskan cakupan Mekanika Fluida (MF)2. Memberikan gambaran penerapan MF dalam dunia nyata3. Menjelaskan konsep kontinum dan batas-batas keberlakuannya4. Menjelaskan konsep partikel fluida5. Mendefinisikan densitas, tekanan, dan tegangan (stress).
A. Cakupan Mekanika FluidaMekanika Mekanika adalah ilmu fisika yang berurusan dengan benda diam
dan bergerak dalam pengaruh gaya-gaya.
1) Cabang mekanika yang berurusan dengan benda diam disebut statika, dan
2) Cabang mekanika yang berurusan dengan benda bergerak disebut dinamika.
Mekanika Fluida
Mekanika fluida adalah ilmu yang berurusan dengan watak fluida dalam keadaan diam (statika fluida) atau fluida dalam keadaan bergerak (dinamika fluida), dan interaksi fluida dengan padatan atau fluida lain pada permukaan batasnya. Mekanika fluida sering juga disebut dinamika fluida dengan memandang fluida diam sebagai kasus khusus dari fluida bergerak dengan kecepatan nol.
Statika Fluida Statika fluida menangani persoalan fluida diam. Contoh: fluida dalam gelas, fluida dalam bejana bertekanan, fluida dalam waduk, dll.
1
Fluida diam berada dalam keadaan setimbang (resultan gaya yang bekerja padanya sama dengan nol). Dalam fluida diam (fluida tidak mengalir) tidak terdapat tegangan geser (shear stress).
Dinamika Fluida
Dinamika fluida menangani persoalan fluida bergerak, atau biasa disebut mengalir. Aliran terjadi akibat resultan gaya yang bekerja padanya tidak sama dengan nol.
Contoh fenomena aliran bisa ditemui dalam kehidupan sehari-hari, misalnya:
1) Aliran air di badan sungai.
2) Aliran air bersih dalam sistem pipa di rumah-rumah.
3) Aliran air limbah dalam saluran drainase.
4) Aliran lumpur Sidoarjo, Jawa Timur.
5) Aliran awan panas dan lahar dari gunung Merapi, Jawa Tengah.
6) Aliran udara (angin) atmosfir bumi.
7) Aliran fluida pada segala fenomena alami dan fenomena buatan manusia.
Kategori Mekanika Fluida
Mekanika fluida dibagi dalam beberapa kategori, menurut riwayat perkembangannya, yaitu:
1) Hidrodinamika : ilmu tentang gerak fluida yang praktis inkompresibel semisal cairan, khususnya air, dan gas pada kecepatan rendah. Subkategori hidrodinamika adalah hidrolika, yang berurusan dengan aliran cairan dalam pipa dan kanal terbuka.
2) Dinamika gas : ilmu tentang gerak fluida yang mengalami perubahan densitas signifikan, semisal aliran gas melalui nozel pada kecepatan tinggi.
3) Aerodinamika : ilmu tentang gerak gas (khususnya udara) melalui benda semisal pesawat terbang, roket, dan mobil pada kecepatan tinggi atau rendah.
4) Kategori khusus lainnya : meteorologi, oseanografi, dan hidrologi yang berurusan dengan aliran yang terjadi secara alamiah.
Kepentingan Mekanika Fluida
Penguasaan mekanika fluida esensial bagi insinyur teknik (fisika, kimia, mesin, nuklir, sipil, dan lain-lain) karena banyak persoalan (desain, operasi atau perawatan) yang ditangani melibatkan aliran zat dalam fase cair atau gas. Sedikit gambaran tentang persoalan tersebut adalah aliran pada:
1) Sistem teknik untuk menuai energi dari alam, misalnya: kincir air, turbin air, turbin angin, dan pemanas air tenaga surya.
2) Peralatan untuk menggerakkan aliran fluida, misalnya: untuk cairan adalah pompa dan untuk gas adalah kipas,
2
blower atau kompresor.
3) Sistem pembangkit listrik dengan tenaga air (PLTA), tenaga uap (PLTU), tenaga gas (PLTG), tenaga uap dan gas (PLTGU), tenaga panas bumi (PLTPB), dan tenaga nuklir (PLTN).
4) Kendaraan penumpang atau barang di darat (mobil, truk, bus, kereta api), di laut (kapal, kapal selam), dan di udara (balon gas, pesawat udara).
5) Sistem transportasi fluida untuk mendistribusikan air bersih, menyalurkan bahan bakar minyak dan gas, mengumpulkan air limbah kota.
6) Sistem proses yang begitu banyak dijumpai dalam industri kimia yang melibatkan proses-proses pembakaran, pencampuran, pengadukan, pemanasan, pendinginan, pemisahan, dll.
B. Konsep KontinumKonsep Kontinum
Fluida, sebagaimana materi lainnya, tersusun dari molekul-molekul yang jumlahnya fantastis. Dalam 1 cc udara pada keadaan ruang terdapat sekitar 1020 molekul. Teori apapun yang digunakan untuk menjelaskan gerak molekul demi molekul akan menjadi sangat-sangat rumit atau bahkan di luar jangkauan kemampuan kita sekarang. Pendekatan paling halus saat ini paling-paling hanya memperhitungkan sekelompok molekul yang bisa dinyatakan sifatnya secara statistik, bukan memperhitungkan individu molekul.
Kebanyakan urusan keteknikan melibatkan watak curahan fluida (makroskopik) daripada watak molekul demi molekul (mikroskopik). Dalam kebanyakan kasus, enaknya fluida diperlakukan sebagai distribusi tinerus (continuous distribution) dari materi atau sebut saja kontinum.
Sudah barang tentu, anggapan kontinum tidak berlaku pada segala keadaan. Konsep kontinum tidak berlaku jika jumlah molekul per unit volume sangat-sangat sedikit sehingga wataknya menjadi bergantung pada waktu akibat berubah-ubahnya distribusi molekul terhadap waktu.
3
Gambar 1. Contoh-contoh terapan mekanika fluida
Perlakuan fluida sebagai kontinum sahih jika dalam volume terkecil yang dikaji terkandung cukup banyak molekul sehingga sifat rerata statistiknya mengandung arti. Dalam hal ini sifat makroskopik fluida dianggap beragam secara tinerus/sinambung dari titik ke titik dalam ruang, sehingga dengan demikian konsep titik dalam matematika bisa diterapkan untuk analisis fenomena fluida. Dari sini jelas tampak bahwa kesahihan konsep kontinum bergantung lebih pada macam informasi yang diinginkan atau pada cara pandang daripada sifat alami (nature) fluida itu sendiri.
C. Sifat Fluida di Satu TitikDensitas di satu titik/ partikel fluida
Sifat-sifat fluida pada berbagai keadaan beragam dari titik satu ke titik lain. Berikut kita ulas definisi sejumlah variabel fluida di satu titik.
Densitas fluida didefinisikan sebagai massa per satuan volume. Densitas, , pada suatu titik dalam fluida didefinisikan sebagai:
Vm
VV
lim
dengan m adalah massa yang terdapat di dalam volume V, dan V adalah volume terkecil yang melingkupi titik yang di situ rerata statistik masih memiliki arti, dan besarnya sekitar 1 (m)3. Fluida seukuran V ini disebut sebagai partikel fluida.
4
V V
m V
Domain molekuler
Domain kontinum
Gambar 2. Densitas di satu titik
Dalam kaitannya dengan definisi ini, konsep densitas di satu titik secara matematis yang didefinisikan sebagai:
Vm
V
0
lim
secara fisik tampak menjadi fiktif atau jadi-jadian. Walaupun demikian, pendefinisian densitas secara matematis sangatlah berguna, karena ia memungkinkan penggambaran aliran fluida sebagai fungsi tinerus (continuous function). Dengan kata lain, matematika jadi bisa dimanfaatkan untuk menganalisis fenomena fluida. Oleh karena itu, dalam pendekatan kontinum, pendefinisian sifat di satu titik secara matematiklah yang kita gunakan dalam praktiknya.
Tegangan (stress) di satu titik
Tegangan (stress) didefinisikan sebagai gaya per satuan luas. Gaya yang bekerja pada fluida ada 2 macam, yaitu gaya badan (body force) dan gaya permukaan (surface force). Gaya badan bekerja tanpa kontak fisik, yaitu akibat pengaruh medan gaya di sekitarnya, apakah itu medan gravitasi, listrik atau magnet. Gaya permukaan bekerja melalui kontak fisik di permukaan benda.
Gaya permukaan yang bekerja pada suatu bidang biasa diuraikan menurut komponen tegak lurus dan komponen sejajar bidang permukaan. Lihat Gambar 3. Gaya yang tegak lurus permukaan disebut gaya normal (normal force), Fn, dan gaya yang sejajar permukaan disebut gaya geser (shear force), Fs. Dengan demikian, tegangan pun ada 2 macam, yaitu tegangan normal (normal stress) dan tegangan geser (shear stress).
5
dA
F
Fs
Fn
Gambar 3. Gaya pada sebuah elemen fluida
Tegangan normal, , di satu titik didefinisikan sebagai:
AFn
A
0
lim
dan tegangan geser, , di satu titik didefinisikan sebagai:
AFs
A
0
lim
Tekanan di satu titik (Hukum Pascal)
Untuk fluida statik, tegangan normal di satu titik bisa ditentukan dari penerapan hukum Newton kedua tentang gerak pada elemen fluida (Gambar 4) yang volumenya mendekati nol.
Fx
Fs
Fy
x
y
s
z
Gambar 4. Elemen dalam fluida statik
Untuk benda diam, resultan gaya sama dengan nol.
6
0F
Neraca gaya dalam arah-x adalah:
0sinsy
FFFFF sxsxx
Pembagian dengan elemen luas yang tegak lurus sumbu-x, yaitu yz, dan diikuti dengan penciutan volume elemen fluida sampai menjadi titik, yaitu pada batas (limit) V mendekati nol memberikan:
0lim0
zsF
zyF sx
V
atau:
0 ssxx
ssxx .
Menurut konvensi, tegangan normal bernilai positif untuk tarikan (tension), dan sebaliknya negatif. Dengan kata lain, tegangan normal adalah gaya tarik per satuan luas. Subskrip pertama pada notasi menandakan bidang kerja tegak lurus dengan sumbu-subskrip, dan subskrip kedua menandakan arah kerja sejajar sumbu-subskrip. Misal subskrip xx pada xx, x pertama menandakan bidang kerja yang tegak lurus dengan sumbu-x, dan subskrip kedua menandakan arah kerja yang sejajar dengan sumbu-x.
Neraca gaya dalam arah-y adalah:
02
cos zyxgFFF syy
02
zyxgsxFFF syy
Pembagian dengan elemen luas yang tegak lurus sumbu-y, yaitu xz, dan diikuti dengan penciutan volume elemen fluida sampai menjadi titik, yaitu pada batas (limit) V mendekati nol memberikan:
02
lim0
ygzs
Fzx
F sy
V
atau:
00 ssyy
ssyy .
Tegangan normal sebenarnya merupakan besaran tensor yang mempunyai orientasi. Namun, ungkapan akhir yang diperoleh di atas tidak membawa informasi sudut . Jadi tegangan normal di
7
satu titik dalam fluida statik tidaklah tergantung pada arah, dan dengan demikian ia bisa disederhanakan dengan besaran skalar tekanan.
Karena tegangan normal memperhitungkan gaya tarik, sedangkan tekanan memperhitungkan gaya tekan, maka keduanya berlawanan tanda.
Pada fluida statik, tegangan geser tidak ada (karena fluida diam), dan besarnya tekanan sama dengan tegangan normal tetapi berbeda tanda:
ssyyxxp
Pada fluida dinamik, adanya tegangan geser menyebabkan komponen-komponen tegangan normal di satu titik bolehjadi tidak sama. Walaupun demikian, tekanan satu titik tetap sama dengan rerata dari komponen-komponen tegangan normalnya:
3
ssyyxxp
Perkecualian adalah untuk aliran dalam gelombang kejut (shock waves) sebagaimana yang ditemukan di sekitar pesawat supersonik atau di sekitar peluru dan ujung senapan (Gambar 5).
Gambar 5. Gelombang kejut di sekitar peluru & ujung senapan
D. Medan TekananVariasi sifat titik demi titik
Aliran fluida terjadi karena perbedaan tekanan. Oleh karena itu, deskripsi variasi tekanan dari titik satu ke titik lain (medan tekanan) sangatlah penting dalam aliran fluida.
Medan tekanan dua dimensi secara umum adalah p = f(x, y). Perubahan tekanan p antara dua titik dalam daerah yang terpisah
8
sejauh dx dan dy adalah turunan total dari p:
dyypdx
xpdp
Perubahan nilai p sepanjang jejak sembarang s (Gambar 6) adalah:
dsdy
yp
dsdx
xp
dsdp
dan berdasarkan hubungan geometri:
sincosyp
xp
dsdp
x
y
dx
ds dy
Jejak s
Gambar 6. Jejak s dalam bidang xy
Pada prinsipnya jejak s dalam medan tekanan bisa dipilih secara bebas, tetapi yang paling bermanfaat adalah:
1) jejak s yang menunjukkan garis tekanan-sama (isobar), (dp/ds) = 0 dan
2) jejak s yang menunjukkan perubahan-tekanan maksimum, (dp/ds) = maksimum.
Garis-garis isobar mudah ditentukan dengan menolkan (dp/ds), yaitu:
0sincos
yp
xp
dsdp
Dari sini diperoleh
yp
xpdsdp
0tan
atau
9
yp
xpdxdy
dsdp
0
Jadi sepanjang jejak yang kemiringannya didefinisikan oleh persamaan ini akan didapati bahwa perubahan tekanan, dp = 0.
Jejak dengan (dp/ds) = maksimum bisa ditentukan dengan menolkan turunan (dp/ds) terhadap sudut , yaitu:
0cossin
yp
xp
dsdp
dd
Dari sini diperoleh
xp
ypmaksdsdP
tan
yang secara grafis bisa digambarkan sebagai berikut:
xp
yp
22
yp
xp
Apabila nilai sinus dan cosinus dalam ungkapan (dp/ds) diambil pada sudut di mana jejak (dp/ds) = maksimum, maka diperoleh:
22
2222
ypxp
ypxp
ypyp
ypxp
xpxp
dsdp
maks
Hubungan terakhir ini setara dengan besarnya vektor (dp/ds) dengan komponen arah-x (dp/dx) dan komponen arah-y (dp/dy); ini berarti bahwa turunan tekanan ke arah maksimum bisa dituliskan dalam notasi vektor berikut:
ypj
xpi
dsdp
maks
Operator Gradien
Hubungan ini sering dijumpai sehingga diberi nama khusus sebagai Gradien atau Grad dengan lambang , yang dalam koordinat Cartesian 3D berarti:
zk
yj
xiGrad
dengan
10
zpk
ypj
xpippGrad
Selain itu patut diperhatikan bahwa:
1tantan
0
xp
ypypxp
maksdsdPdsdP
Ini berarti: jejak dengan (dp/ds) = maksimum tegak lurus dengan garis isobar.
Rangkuman
Mekanika Fluida (MF) mempelajari sifat dan watak fluida diam atau bergerak dalam interaksinya dengan benda sekitarnya. Aplikasinya dalam industri sangat luas, misal di industri kimia, industri petrokimia, pembangkit listrik, industri minyak dan gas, industri makanan, dll. Fluida dalam bidang aplikasi tersebut jika dilihat atau diraba tidak berkesan terpisah-pisah/diskrit layaknya butiran pasir. Di sini fluida dipandang sebagai zat kontinum (biasa disebut sebagai cara pandang makroskopik). Sudah tentu, konsep ini tidak sahih lagi bilamana kesan
Walaupun demikian, fluida biasa dianggap tersusun dari titik-titik partikel fluida. Konsep partikel fluida lebih ditentukan oleh aspek pengukuran sifat fluida daripada ukuran molekulnya. Partikel fluida adalah fluida dalam volume terkecil yang memberikan hasil pengukuran sifat yang konsisten secara statistik. Konsep titik partikel fluida bisa dipertemukan dengan konsep titik dalam matematika. Bedanya, volume titik matematik mendekati nol, sedangkan titik partikel fluida mendekati 1 (m)3. Dalam cara pandang makroskopik, partikel fluida dapat diperlakukan sebagai titik dalam matematika. Dengan demikian, matematika dapat dipakai sebagai alat analisis dalam MF.
11
MODUL II. STATIKA FLUIDA
Deskripsi
Fluida diam, walaupun terkesan jinak, bisa menimbulkan risiko besar jika volume yang harus ditangani sangat banyak. Fluida diam dengan volume besar bisa dijumpai misalnya dalam tangki penampung bahan bakar minyak di depo-depo dan dalam bendungan (waduk). Volume fluida yang besar akan menimbulkan gaya-gaya tekan yang besar pula.
Statika Fluida dalam modul ini mempelajari nasib fluida diam dan interaksinya dengan tempat penampungnya. Variabel terpenting dalam kasus ini adalah tekanan. Dengan memanfaatkan matematika, medan tekanan (distribusi tekanan) dalam badan fluida bisa ditentukan. Dari sini, besar dan arah gaya-gaya yang harus ditanggung oleh struktur penyimpan fluida diam bisa ditentukan. Informasi gaya-gaya fluida statik ini berguna untuk perancangan struktur yang aman untuk menampung fluida. Dalam modul ini juga diulas manometri (pengukuran tekanan berdasarkan sifat fluida statik) dan pengapungan.
Sasaran belajar:
1. Menuliskan persamaan atur medan tekanan dalam fluida statik2. Menerapkan persamaan atur medan tekanan fluida statik dalam analisis3. Membedakan tekanan relatif (gage), tekanan vakum dan tekanan mutlak4. Menyatakan tekanan dalam ukuran relatif dan mutlak5. Menentukan nilai pembacaan tekanan dengan manometer6. Menghitung gaya apung7. Menghitung gaya yang bekerja pada permukaan terendam
A. Kerangka AcuanDiam & Bergerak
Istilah diam dan bergerak adalah relatif. Gerak hanya bisa didefinisikan relatif terhadap kerangka acuan yang didefinisikan oleh pengamat.
1) Benda dikatakan diam jika koordinat semua titik dalam sebuah benda tak berubah terhadap waktu dan terhadap kerangka acuannya.
2) Benda dikatakan bergerak jika koordinat semua titik dalam sebuah benda berubah terhadap waktu dan terhadap kerangka acuannya.
Kerangka acuan itu sendiri bergerak dengan kecepatan tetap tertentu atau bahkan nol/diam (percepatan = 0), atau bergerak dengan kecepatan berubah (percepatan 0).
Kerangka Acuan Inersial &
Kerangkan acuan dengan percepatan nol disebut inersial, sedangkan dengan percepatan tidak nol disebut noninersial.
12
Noninersial Kerangka acuan inersial disebut juga kerangka acuan Galilean atau Newtonian. Hukum-hukum fisika bisa ditransfer dari satu kerangka acuan inersial satu ke lainnya tanpa perubahan. Dengan kata lain, hukum-hukum fisika yang sama berlaku baik bagi pengamat yang diam maupun bagi pengangat yang bergerak dengan kecepatan tetap.
Keadaan berbeda dijumpai pada kerangka acuan noninersial. Benda bermasa m yang diam relatif terhadap kerangka acuan inersial akan mengalami gaya sebesar nol. Namun, bagi pengamat dalam kerangka acuan noninersial (dengan percepatan a) benda akan tampak seolah-olah mengalami gaya sebesar –ma. Gaya yang sebenarnya tidak sungguh ada pada benda tetapi seolah ada akibat percepatan kerangka acuan disebut gaya fiktif atau gaya semu.
Sebagai kerangka acuan standar enaknya diambil bintang tetap di langit, tetapi sayangnya ini tidak selalu praktis untuk berbagai keperluan. Oleh karena itu, untuk praktisnya maka bumi diambil sebagai kerangka acuan inersial. Walaupun bumi sendiri bergerak, pengaruh gerak putar bumi pada sumbunya pada banyak kasus bisa diabaikan. Hal ini bergantung pada eksperimen yang akan dilakukan atau pada fenomena yang diamati apakah bumi bisa diambil sebagai kerangka acuan atau tidak.
Secara umum, untuk fenomena dalam skala kecil, bumi bisa dianggap sebagai kerangka acuan inersial. Namun, untuk fenomena dalam skala besar semisal pergerakan udara atmosfir, bumi tidak bisa dianggap sebagai kerangka acuan inersial karena efek percepatan semu akan menyebabkan gaya Corriolis yang signifikan.
B. Hukum PascalHk. Pascal: Tekanan di 1 titik
Sifat dasar dari fluida adalah tekanan. Tekanan biasa dikenali sebagai gaya tegak lurus permukaan per satuan luas yang dikenai oleh fluida pada dinding bejana. Tekanan juga berada di setiap titik di dalam volume fluida.
Dalam fluida statik, sebagaimana ditunjukkan oleh analisis berikut, tekanan (gaya tekan per satuan luas) di satu titik tidak bergantung pada arah.
13
px.Ax
ps.As
py.Ay
dx
dy
ds
dz
Ax = dy.dz Ay = dx.dz As = ds.dz
Gambar 7. Gaya tekan pada elemen fluida
Perhatikan sebuah elemen fluida diferensial (berukuran sangat kecil) berbentuk prisma segitiga dalam keadaan setimbang (Gambar 7. Gaya tekan pada elemen fluida). Mengacu pada elemen ini bisa ditentukan hubungan antara gaya tekan pxAx ke arah x, pyAy
ke arah y, dan psAs ke arah tegak lurus terhadap bidang bersudut kemiringan sembarang .
px.Ax bekerja tegak lurus pada bidang Ax = dy.dz
py.Ay bekerja tegak lurus pada bidang Ay = dx.dz, dan
ps.As bekerja tegak lurus pada bidang As = ds.dz.
Karena tidak ada gaya geser pada fluida diam, dan tidak akan ada gaya pemercepat, jumlah gaya-gaya dalam suatu arah pasti sama dengan nol. Gaya-gaya yang bekerja adalah gaya-gaya tekan dan gaya gravitasi.
Resultan gaya arah-x adalah nol sehingga:
0sin( ssxxx ApApF
0... dsdydzdspdzdyp sx
dzdypdzdyp sx ..
Pembagian dengan dy.dz menghasilkan:
sx pp
Begitu volume elemen fluida diciutkan sampai batas titik, atau secara matematik pada batas atau limit dV = dx.dy.dz 0, ungkapannya tetap seperti ini.
14
Resultan gaya arah-y adalah nol sehingga:
0..cos 21 dzdydxgApApF ssyyy
0.... 21 dzdydxg
dsdxdzdspdzdxp sy
Pembagian dengan dx.dz menghasilkan:
dygpp sy 21
Begitu volume elemen fluida diciutkan sampai batas titik, atau secara matematik pada batas atau limit dV = dx.dy.dz 0, diperoleh hasil:
sy pp
Dengan demikian maka:
syx ppp
artinya, gaya tekan per satuan luas di satu titik sama besar ke segala arah. Inilah yang disebut hukum Pascal. Pernyataan ini berlaku untuk fluida diam.
Penerapan hukum Pascal bisa dijumpai, misalnya, pada alat dongkrak dan pada mesin press untuk pencetakan plat logam. Arah gaya dongkrak dan gaya tekan adalah tegak lurus dengan bidang dongkrak dan bidang press piston. Sejalan dengan bergeraknya piston, maka fluida bergerak pula (tidak statik lagi). Walaupun demikian, dinamika fluida pada alat dongkrak dan mesin press bisa didekati sebagai rangkaian keadaan statik.
Dongkrak Dua titik pada ketinggian yang sama dalam fluida diam (sinambung) memiliki tekanan yang sama. Tekanan yang diberikan pada fluida dalam wadah tertutup akan menaikkan tekanan di seluruh badan fluida dengan kenaikan yang sama.
Pada Gambar 8, piston 1 dan 2 pada ketinggian yang sama. Jadi tekanan pada piston 1 dan 2 sama besar.
21 pp
Namun, karena piston 2 berluas penampang A2 lebih besar daripada piston 1 berluas penampang A1, maka gaya F1 akan diperkuat sebesar (A2/A1) kali menjadi F2.
2
2
1
1
AF
AF
atau:
11
22 F
AA
F
Nisbah disebut faktor penguatan mekanik ideal (ideal mechanical advantage).
15
Gambar 8. Prinsip dongkrak mobil
C. Ragam TekananRagam p arah vertikal
Pertimbangkanlah sebuah elemen fluida diferensial (berukuran sangat kecil) vertikal dengan luas irisan sebesar A dan tinggi Z2 – Z1
(Gambar 9).
Karena tidak ada gaya geser pada fluida diam, dan tidak akan ada gaya pemercepat, jumlahan gaya-gaya dalam suatu arah pasti sama dengan nol. Gaya-gaya yang bekerja adalah gaya-gaya tekan dan gaya gravitasi.
Resultan gaya arah-z adalah nol:
01221 gzzAApAp
atau:
gzzpp 1212
Jadi di dalam fluida yang mengalami percepatan gravitasi, tekanan berkurang sejalan dengan pertambahan ketinggian ke arah atas.
16
Fluida dengan
densitas
p2.A
p1.A
.A(z2 z1)g
z2
z1
Gambar 9. Elemen diferensial tabung-vertikal fluida
Fluida dengan
densitas p1.A p2.A
mg
Gambar 10. Elemen diferensial tabung-horizontal fluida
Ragam p arah horizontal
Selanjutnya pertimbangkan pula sebuah elemen fluida diferensial (berukuran sangat kecil) horizontal (Gambar 10). Resultan gaya arah-x akan sama dengan nol:
021 ApApFx
atau:
21 pp
Artinya, tekanan fluida pada level sama adalah sama besar. Kenyataan yang sama juga berlaku pada fluida dalam bejana U.
p pada level sama
Tekanan pada level yang sama (Gambar 11) dalam badan fluida kontinu akan sama besar, walaupun tidak terdapat jejak horizontal langsung antara P dan Q.
Dari bahasan sebelumnya diketahui bahwa pR = pS. Karena
ghppghpp
QS
PR
17
maka dari kedua persamaan ini dapat diketahui bahwa pP = pQ.
P Q
S R
h
Gambar 11. Tabung berbentuk U
pA
(p+dp)A
ds
z z+dz
(Ads)gcos()
Gambar 12. Elemen diferensial tabung-miring fluida
Ragam p arah miring
Sekarang akan ditinjau variasi tekanan pada sebuah elemen fluida diferensial yang lebih umum dengan posisi miring (gabungan komponen vertikal dan horizontal).
Gaya-gaya yang bekerja pada elemen fluida diferensial memberikan kesetimbangan sbb:
0cos. gAdsAdpppAF
0cos. gdsdp
atau (pada batas ds 0):
cosgdsdp
Dalam arah vertikal, = 0, sehingga
18
gdsdp
vertikal
Persamaan ini memperkirakan laju penurunan tekanan per kenaikan posisi vertikal sebanding dengan densitas setempat.
D. Tekanan Mutlak, Relatif & HampaSatuan Tekanan
Satuan tekanan adalah N/m2, dan biasa disebut satu pascal (Pa).
Karena satuan Pa sangat kecil untuk tekanan yang biasa dijumpai dalam praktik, maka lebih banyak dipakai satuan kilopascal (1 kPa = 103 Pa) dan megapascal (1 MPa = 106 Pa).
Satuan tekanan lainnya meliputi bar, atm, kgf/cm2, psi atau lbf/in2.
1 bar = 105 Pa = 0.1 MPa = 100 kPa
1 atm = 101,325 Pa = 101,325 kPa = 1,01325 bar
1 kgf/cm2 = 9,807 N/cm2 = 9,807.104 N/m2 = 9,807.104 Pa = 0,9807 bar = 0,9679 atm
1 atm = 14,696 psi.
1 kgf/cm2 = 14,223 psi.TEKANAN Mutlak, Relatif & Hampa
Di ruang angkasa yang hampa gas, tekanan praktis nol. Kondisi seperti ini bisa dihampiri di laboratorium apabila sebuah pompa vakum digunakan untuk menghampakan sebuah bejana. Tekanan di dalam kehampaan disebut nol mutlak, dan semua tekanan yang mengacu pada nilai ini disebut tekanan mutlak. Dengan kata lain, tekanan mutlak (absolute pressure) adalah tekanan aktual di satu titik.
Tekanan Relatif (gage pressure)
Kebanyakan alat pengukuran tekanan dikalibrasi untuk membaca nol di dalam atmosfir lokal, dan karenanya menunjukkan pembacaan tekanan relatif (gage pressure), pgage = pabs - patm.
Misalnya, alat ukur tabung-Bourdon hanya menunjukkan perbedaan tekanan dalam fluida di mana Bourdon dipasang dengan tekanan atmosfir. Dalam hal ini, tekanan acuannya adalah tekanan atmosfir – bukan nol mutlak. Tekanan yang diperoleh dengan cara ini disebut tekanan relatif (gage pressure).
Misal, jika tekanan terukur menggunakan alat yang diacukan ke atmosfir adalah 50 kPa dan tekanan atmosfir adalah 101 kPa, maka tekanan terukur bisa dinyatakan dalam dua cara, yaitu:
p = 50 kPa gage (relatif)
p = 101+50 = 151 kPa absolutTekanan Hampa (vakum)1
Dengan tekanan atmosfir lokal sebagai acuan, maka tekanan terukur bisa positif bisa pula negatif. Tekanan di bawah tekanan
1 Otto von Guericke melakukan eksperimen spektakuler dengan pompa udara. Tahun 1654,
19
atmosfir disebut tekanan vakum, pvakum = patm - pabs. Jadi, jika sebuah alat pengukur tekanan dipasang pada sebuah tangki dan menunjukkan tekanan vakum sebesar 31 kPa, artinya tekanan dalam tangki 31 kPa di bawah tekanan atmosfir lokal. Jika tekanan atmosfir lokal adalah 101 kPa absolut maka tekanan aktualnya adalah (101-31) kPa = 70 kPa absolut.
Tekanan atmosfir standar
Tekanan atmosfir standar didefinisikan sebagai tekanan yang dihasilkan oleh kolom air raksa setinggi 760 mm (29.92 inHg atau 10.3 m-air ) pada suhu 0°C (Hg = 13,595 kg/m3) dalam pengaruh percepatan gravitasi standar (g = 9,807 m/s2). Tekanan 1 atm = 760 torr dan 1 torr = 133,3 Pa.
Acuan mutlak p = 0 (abs)
Tekanan mutlak p = patm + pukur (abs)
Tekanan gauge p = pukur (relatif)
Tekanan mutlak p = patm + pukur (abs)
Tekanan barometrik p = patm
Tekanan vakum p = pukur (relatif) Tekanan atm. standar:
p = 131,325 kPa (abs) p = 14,696 psia p = 760 mmHg (a) p = 29,92 inHg (a)
Tekanan atm. lokal: p = patm
Gambar 13. Tekanan acuan mutlak dan relatif, tekanan terukur, tekanan vakum dan tekanan mutlak
E. Persamaan Dasar Fluida StatikPersamaan Fluida Statik
Elemen fluida yang dilukiskan pada (Gambar 14) mewakili fluida statik dalam kerangka acuan tanlembam (non-inertial) di mana percepatan badan fluida, a = 0.
Guericke menangkupkan dua belahan setengah bola (Magdeburg hemispheres) menjadi bola berdiameter 35.5 cm (14 inches). Setelah udara didalamnya dikeluarkan dengan pompa, dua kelompok yang terdiri dari delapan kuda tidak mampu memisahkan tangkupan setengah bola walaupun bola hanya ditahan oleh udara sekitarnya. Inilah saat pertama diperagakan betapa besarnya tekanan yang dihasilkan udara. Sumber: http://chem.ch.huji.ac.il/history/guericke.html
20
Resultan gaya yang bekerja pada elemen fluida bervolume = xyz adalah:
00 amF fluidabadan
P|z+z.Az
P|z.Az
P|y.Ay
P|y+y.Ay
P|x+x.Ax P|x.Ax
z x
y
x
y
z
Ax = y.z Ay = z.x Az = x.y
Gambar 14. Komponen tekanan pada elemen fluida statis
Gaya-gaya yang bekerja pada elemen fluida terdiri dari gaya badan (body force) karena berat dan gaya permukaan (surface force) karena tekanan, yaitu:
zyxbadan gkgjgiF
yxPPk
zxPPjzyPPiF
zzz
yyyxxxpermukaan
Dengan demikian resultan gaya F menjadi:
0
yxPPk
zxPPjzyPPi
gkgjgi
zzz
yyyxxx
xyx
dan setelah dibagi volume elemen = xyz diperoleh:
zPP
ky
PPj
x
PPi
gkgjgi
zzzyyyxxx
zyx
yang pada batas (limit) 0 atau xyz 0 menjadi:
zPk
yPj
xPigkgjgi zyx
dan dalam notasi vektor ditulis:
Pg
21
dengan g = i.gx + j.gy + k.gz dan p = gradien tekanan. Persamaan ini mempunyai arti fisis berikut:
1) Perubahan tekanan terbesar (p) adalah searah dengan vektor gravitasi.
2) Garis-garis isobar (termasuk permukaan fluida) tegak lurus dengan p; artinya garis-garis isobar tegak lurus pula dengan vektor gravitasi.
Persamaan Fluida Statik Semu – Kerangka acuan noninersial linier
Apabila kerangka acuan analisis fluida mengalami percepatan (a 0), maka fluida akan mengalami gaya yang menyebabkannya bergerak (Gambar 15). Namun, karena geraknya masih seperti gerak benda padat (solid body), maka analisisnya masih seperti pada fluida statik. Oleh karena itulah fluida dikatakan berada dalam keadaan statik semu (atau boleh juga disebut bergerak semu).
Dalam hal percepatannya linier, maka resultan gaya yang bekerja pada elemen fluida adalah:
aamF fluidabadan
Gaya-gaya yang bekerja pada elemen fluida terdiri dari gaya badan (body force) karena berat dan gaya permukaan (surface force) karena tekanan, yaitu:
zyxbadan gkgjgiF
rrppi
zrppizrppiF
zzzz
rrrrrrpermukaan
Dengan demikian resultan gaya F menjadi:
ayxppk
zxppjzyppi
gkgjgi
zzz
yyyxxx
xyx
dan setelah dibagi = xyz diperoleh:
zpp
ky
ppj
xpp
i
agkgjgi
zzzyyyxxx
zyx
yang pada saat volume elemen diciutkan sampai menjadi titik, atau pada batas (limit) 0 atau xyz 0, menjadi:
zpk
ypj
xpiagkgjgi zyx
dan dalam notasi vektor ditulis:
pag
22
dengan g = i.gx + j.gy + k.gz, a = i.ax + j.ay + k.az dan p = gradien tekanan. Persamaan ini mempunyai arti fisis berikut:
1) Perubahan tekanan terbesar (p) adalah searah dengan resultan vektor: g – a.
2) Garis-garis isobar (termasuk permukaan fluida) tegak lurus dengan p; artinya garis-garis isobar tegak lurus pula dengan resultan vektor: g – a.
Terapan dari persamaan yang diturunkan di sini bisa dikaitkan dengan persoalan semisal fluida dalam tangki bahan bakar saat kendaraan mengalami percepatan (lihat Gambar 15).
g g
diam dipercepat
a
g a
Gambar 15. Pengaruh percepatan terhadap medan tekanan sebagaimana tampak pada perubahan permukaan fluida
Persamaan Fluida Statik Semu – Kerangka acuan noninersial angular
Kasus berikut menggambarkan apa yang dialami fluida dalam wadah yang diputar sumbu tegaknya pada kecepatan angular tetap. Akibatnya, permukaan bebas fluida yang semula datar menjadi cekung. Ini dikenal sebagai gerakan vortex paksa (forced vortex).
Setelah masa transien lewat (terhitung sejak putaran dimulai), fluida akan bergerak bersama-sama dengan wadahnya layaknya benda padat (rigid body). Tidak ada deformasi, dan karenanya tidak ada pula tegangan geser, dan setiap partikel fluida dalam wadah bergerak dengan kecepatan putar yang sama.
Secara skematik, fenomena ini dilukiskan pada Gambar 16. Resultan gaya yang bekerja pada fluida adalah:
aamF fluidabadan
Kasus ini, mengingat geometri persoalannya, akan lebih mudah dianalisis dalam kerangka koordinat silinder.
Gaya-gaya yang bekerja pada elemen fluida terdiri dari gaya badan (body force) karena berat dan gaya permukaan (surface force) karena tekanan, yaitu:
zzrrbadan gigigiF
23
rrPPi
zrPPi
zrPPiF
zzzz
rr
rrrrpermukaan
P|r.Ar
P|r+ r.Ar
P|z.Az
P|z+z.Az
P|r.A
P|r(+).A
r r
z
r
z
r
Ar = r.z A = z.r Az = r.r
Gambar 16. Komponen tekanan pada elemen fluida statis dalam kerangka koordinat dipercepat dengan percepatan angular a
Dengan demikian resultan gaya F menjadi:
arrPPi
zrPPizrPPi
gigigi
zzzz
rrrrrr
zzrr
dan setelah dibagi = rrz diperoleh:
z
PPi
r
PPi
r
PPi
agigigi
zzzz
rrrrrr
zzrr
yang pada batas (limit) 0 atau rrz 0 menjadi:
zPi
rPi
rPiagigigi zrzzrr
dan dalam notasi vektor ditulis:
Pag
dengan g = ir.gr + i.g + iz.gz, a = ir.ar + i.a + iz.az dan p = gradien tekanan. Persamaan ini mempunyai arti fisis berikut:
1) Perubahan tekanan terbesar (p) adalah searah dengan resultan vektor: g – a.
2) Garis-garis isobar (termasuk permukaan fluida) tegak lurus
24
dengan p; artinya garis-garis isobar tegak lurus pula dengan resultan vektor: g – a.
Terapan dari persamaan yang diturunkan di sini bisa dikaitkan dengan persoalan semisal fluida dalam tabung yang diputar dengan kecepatan putar radian/detik (lihat Gambar 17).
g g g
a a
g g-a g-a
Kerangka acuan (wadah) diam, a=0
Kerangka acuan (wadah) bergerak, a0
Gambar 17. Pengaruh percepatan terhadap medan tekanan sebagaimana tampak pada perubahan permukaan fluida
Dalam gerak putar, percepatan angular a = V dengan V = r sehingga a = (r) atau a = ir.(2r) + i.(0) + iz.(0). Dengan vektor gravitasi g = ir.(0) + i.(0) + iz.gz, maka persamaan atur untuk persoalan ini menjadi:
zpi
rpi
rpi
iirigiii
zr
zrzzr
0000 2
atau
rrp 2
(a)
0rp
(b)
zgzp
(c)
Integrasi persamaan (a) memberikan:
zfrzrp ,,, 2221 .
Persamaan (b) mengharuskan turunan parsial dari p(r,,z) terhadap sama dengan nol; ini hanya bisa terpenuhi apabila:
fzf , tetapi zfzf ,
25
sehingga:
zfrzrpzrp 2221,,, .
Selanjutnya, turunan parsial dari p(r,z) terhadap z harus sama dengan persamaan (c) sehingga
zg
dzzdf
zP
atau
Czgzf z
dan p(r,z) menjadi
Czgrzrp z 2221, .
Tetapan C bisa ditentukan dengan menetapkan nilai tekanan pada sebuah titik, katakanlah p(r=0,z=0) = p0 sehingga penyelesaiannya menjadi:
2221
0, rzgpzrp z .
Dari persamaan ini bisa diketahui bagaimanakah bentuk permukaan fluida statik yang mengalami percepatan angular. Caranya adalah dengan menyusun ungkapan ini untuk ketinggian z, yaitu:
parabolapersbrar
ggzrpp
zzz
.2
, 222
0
.
Cara lainnya adalah dengan memanfaatkan kenyataan adanya isobar. Pada isobar, perubahan tekanan nol sehingga:
02 rdrdzgdp z
atau:
rdrg
dzz
isobar
2
atau:
Crg
zz
isobar 22
2
Ketinggian isobar yang mudah dievaluasi adalah di tengah-tengah (r=0) permukaan bebas; katakanlah tinggi fluida di sini adalah hc, sehingga persamaan menjadi:
cz
isobar hrg
z 22
2
Nilai hc bisa ditentukan berdasarkan neraca massa. Jika tinggi fluida sebelum diputar adalah h0, maka volume fluida dalam wadah silindrik berjari-jari R adalah:
26
02hRV
Volume ini sama dengan volume paraboloid fluida berputar:
c
z
Rr
rc
z
Rr
r
hgRRrdrhr
grdrrzV
42
22
222
0
22
0
sehingga dari kedua persamaan terakhir diperoleh:
hc=h0−ϖ 2 R2
4 gz
Dengan demikian maka persamaan ketinggian isobar – berarti juga permukaan bebas – menjadi:
zisobar=h0+ϖ2
2 g z(r2−1
2 R2)
Permukaan bebas pada beragam rpm
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
r (cm)
z (c
m)
0120
240360
480
Gambar 18. Profil permukaan bebas pada beragam rpm (0-480)
27
F. Pengukuran TekananBarometer Barometer (Gambar 19) adalah alat yang digunakan untuk
mengukur tekanan atmosfir. Sebuah barometer sederhana terdiri dari tabung sepanjang 76 cm lebih yang berisi air-raksa dan dipasang terbalik pada sebuah bejana terbuka yang juga berisi air-raksa.
Ruang di atas tabung sesungguhnya tidak benar-benar hampa karena terdapat uap air-raksa pada tekanan uap jenuhnya. Akan tetapi, tekanan uap Hg pada suhu ruang sangatlah rendah, yaitu 0,173 Pa pada suhu 20 oC.
Tekanan atmosfir dihitung menggunakan hubungan: patmosfir = gh, dengan densitas fluida di dalam barometer.
Gambar 20 memperlihatkan barometer digital modern.
Gambar 19. Barometer fluida
Gambar 20. Barometer digital
28
Tekanan Fluida
Dalam fluida diam tekanan diteruskan sama ke segala arah dan disebut sebagai tekanan statik.
Dalam fluida bergerak,
1) Tekanan statik diteruskan pada bidang yang paralel dengan arah gerak.
2) Tekanan fluida yang diteruskan pada bidang tegak lurus arah aliran lebih besar daripada tekanan statik karena gerak fluida akan memberikan efek tambahan tekanan yang sebanding dengan energi kinetik fluida (sehingga disebut tekanan kinetik). Besarnya tekanan kinetik tidak dapat diukur secara terpisah dari tekanan statik.
Jika tekanan statik dari fluida bergerak akan ditentukan, permukaan pengukuran harus paralel dengan arah gerak aliran sehingga di situ tidak ada energi kinetik fluida yang dikonversi menjadi energi tekanan.
Jika fluidanya mengalir dalam pipa bundar maka permukaan pengukuran harus tegak lurus terhadap arah radial. Penghubung tekanan, dikenal sebagai tabung piezometer, harus rata dengan dinding pipa sehingga aliran tidak terganggu: tekanannya kemudian diukur dekat dinding di mana kecepatan fluida minimum dan pembacaannya hanya akan mengalami sedikit kesalahan andaikan permukaannya ternyata tidak betul-betul paralel dengan arah aliran.
Tekanan statik harus selalu diukur pada jarak tidak kurang dari 50 diameter dari belokan, sambungan, atau hambatan lainnya sehingga garis-garis aliran nyaris paralel dengan dinding tabung.
Untuk keadaan dengan arus-lintas (cross-currents) atau pusaran (eddies) perlu digunakan cincin piezometer (piezometer ring). Ini terdiri dari 4 titik ukur tekanan (pressure tapping) yang dipasang melingkar tabung masing-masing sejauh 900; keempatnya dihubungkan oleh sebuah tabung melingkar yang dihubungkan dengan piranti pengukuran tekanan. Dengan cara demikian, pembacaan keliru karena aliran tak beraturan bisa dihindari, karena kenaikan tekanan pada satu sisi biasanya disertai dengan penurunan di sisi seberangnya; jadi dengan cincin piezometer diperoleh nilai rata-rata tekanan.
29
Gambar 21. Piezometer
Piezometer Piezometer (Gambar 21) adalah alat yang digunakan untuk mengukur tekanan fluida di dalam bejana atau pipa. Alat ini berupa sebuah tabung yang dipasang pada dinding bejana/pipa di mana cairan berada sehingga cairan naik dalam tabung.
Tekanan gage bisa dihitung dari rumus: p1 = gh. Untuk mencegah efek kapilaritas, tabung piezometer harus berdiameter ½ inch atau lebih. Untuk mencegah pembacaan keliru, mulut tabung haruslah tangensial terhadap gerak fluida.
Manometer Manometer adalah juga alat untuk mengukur tekanan fluida. Manometer terdiri dari sebuah tabung lengkung yang berisikan satu atau lebih cairan dengan densitas berbeda dan bersifat tidak bercampur.
Manometer bisa digunakan untuk mengukur tekanan aktual (biasanya relatif terhadap acuan atmosfir). Dalam hal ini, tekanan yang diketahui nilainya (bisa jadi tekanan atmosfir) diberikan pada satu ujung tabung manometer dan tekanan yang akan diukur dipasang pada ujung lainnya.
Akan tetapi, manometer bisa juga digunakan untuk mengukur beda tekanan. Jadi, tekanan ujung-ujung tabung manometerlah yang ingin diukur daripada tekanan aktual di salah satunya. Manometer yang digunakan untuk menentukan tekanan diferensial ini dikenal sebagai manometer beda tekanan (diferensial pressure).
Manometer U
Manometer tabung-U bermacam-macam bentuknya, yaitu:
1) sederhana
2) terbalik
3) berkaki besar
4) berfluida 2-macam
5) miringManometer U Sederhana
Gambar 22 memperlihatkan konstruksi dasar dari manometer U.
30
Karena X dan Y ada dalam badan fluida kontinyu dan berada pada level yang sama, maka tekanan di X dan Y adalah sama:
YX pp
dengan:
hagppX 1
ghgapp mY 2
sehingga:
ghgaphagp m 21
ghpp m 21
Nilai maksimum (p1 p2) yang bisa diukur dibatasi oleh ketinggian manometer. Untuk mengukur perbedaan tekanan yang lebih besar bisa dipilih fluida manometer dengan m lebih besar, dan untuk mengukur perbedaan tekanan yang lebih kecil dengan akurat bisa dipilih fluida manometer dengan m yang dekat dengan densitas fluida .
1 2
X Y
a
h
m
Gambar 22. Manometer U sederhana
31
1 2
X Y
a
h
m
Gambar 23. Manometer U Terbalik
Manometer U Terbalik
Manometer tabung-U terbalik (Gambar 23) digunakan untuk mengukur perbedaan tekanan cairan. Ruang di atas cairan di dalam manometer diisi dengan udara yang bisa dimasukkan atau dikeluarkan melalui katup di atas tabung guna mengatur level cairan di dalam manometer. Dengan cara ini, tekanan acuan bisa diatur, dan tidak terbatas pada 1 nilai tekanan acuan (tekanan atmosfir).
Karena X dan Y ada dalam badan fluida kontinyu dan berada pada level yang sama, maka tekanan di X dan Y adalah sama:
YX pp
dengan:
hagppX 1
ghgapp mY 2
sehingga:
ghgaphagp m 21
ghpp m 21
Fluida manometer tabung-U terbalik biasanya udara. Dalam kasus ini, karena densitas udara (m) jauh lebih kecil daripada densitas cairan () maka:
ghpp 21
Manometer 1 kaki
Dalam industri, manometer tabung-U sederhana mempunyai kekurangan karena memerlukan pembacaan di kedua kakinya.
32
Dengan membuat diameter satu kakinya lebih besar (Gambar 24) maka naik-turunnya fluida di kaki ini menjadi sangat kecil – dapat diabaikan – sehingga hanya diperlukan pembacaan pada kaki lainnya yang lebih kecil.
Pada Gambar 24, OP mewakili level permukaan cairan saat tekanan p1 sama dengan p2. Begitu diberi tekanan, level di kaki kanan akan naik sejauh h dan di kaki kiri turun sejauh h.
Volume fluida yang dipindahkan dari kaki-kiri ke kaki-kanan adalah:
24 dhV kanankekiri
dengan d diameter kaki yang lebih kecil. Sejumlah inilah volume fluida yang berkurang di sisi kiri sehingga levelnya turun dari O ke X sebanyak:
2
24
24
Ddh
Dd
hh
dengan D diameter kaki yang lebih besar.
P
X Y
O
a
h
h
1 2
D d
Gambar 24. Manometer 1-kaki besar
Penyamaan tekanan pada level XY (pX = pY) dengan:
2
11 1DdghgaphhggappX
2
12 1Ddghgaphhggapp mmY
memberikan:
33
2
21 1Ddghpp m
Dengan membuat d<<D maka nilai suku (d/D)2 akan jauh lebih kecil dari 1 dan bisa diabaikan sehingga:
ghpp m 21
dengan h adalah kenaikan fluida manometer di kaki sebelah kanan.
Lebih jauh lagi, jika densitas fluida () jauh lebih kecil daripada densitas fluida manometer (m) bisa diabaikan terhadap densitas fluida manometer maka:
ghpp m 21
Manometer 2-fluida
Perbedaan kecil pada tekanan gas biasa diukur dengan menggunakan manometer berfluida dua macam sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 25 dengan dengan densitas fluida pertama (1) dan fluida kedua (2) dengan 2>1.
Dengan analisis serupa seperti sebelumnya, perbedaan tekanan di titik 1 dan 2 bisa ditentukan dari hubungan berikut:
ghhgpp g 12121
karena densitas gas jauh lebih rendah dari cairan (g << 1) maka pengaruhnya bisa diabaikan sehingga persamaan menjadi:
ghhgpp 12121
Jika suku pertama di sisi kanan tanda “=” bisa dibuat jauh lebih kecil dari pada suku maka persamaan bisa disederhanakan lebih lanjut menjadi:
ghpp 1221
34
1 2
h
h
g
1
2
Gambar 25. Manometer 2-fluida
Manometer miring
Manometer dengan kaki miring (Gambar 26) digunakan untuk mengukur dengan skala ketelitian yang lebih tinggi.
Reservoir
15o
Gambar 26. Manometer berkaki miring
Keterbatasan manometer
Manometer, dengan berbagai bentuknya, walaupun merupakan alat yang sangat berguna dalam pengukuran tekanan, tetapi memiliki beberapa kekurangan berikut:
35
1) Manometer, bisa dibuat untuk mengukur perbedaan tekanan yang sangat kecil, tetapi tidak bisa enak digunakan untuk perbedaan tekanan yang besar – walaupun bisa saja dibuat rangkaian sejumlah manometer air-raksa untuk memperlebar rentang pengukuran.
2) Sejumlah cairan tidak cocok untuk digunakan karena tidak memberikan meniskus yang jelas. Tegangan permukaan bisa juga menyebabkan kekeliruan pembacaan karena efek kapilaritas; walaupun ini bisa dihindari dengan membuat diameter tabung cukup besar – paling tidak 15 mm atau lebih. Selain itu perlu diperhatikan bahwa saluran penghubung manometer dan pipa atau bejana di mana cairan bertekanan berada haruslah terisi cairan ini pula dan bebas dari gelembung udara.
3) Respon pembacaan manometer lambat sehingga tidak cocok untuk pembacaan tekanan yang berubah-ubah (berfluktuasi).
Kelebihannya, manometer tidak harus dikalibrasi terhadap standar apapun; perbedaan tekanan bisa dihitung dari prinsip pertama (first principles).
Tabung Bourdon
Tahun 1849 alat ukur tabung Bourdon dipatenkan di Perancis oleh Eugene Bourdon2. Tabung Bourdon kini masih sangat luas digunakan untuk mengukur tekanan beragam cairan dan gas, termasuk uap, air, dan udara sampai tekanan 100.000 psi. Eugene Bourdon mendirikan perusahaan Bourdon Sedeme Company untuk membuat penemuannya.
Gambar 27 (sisi kiri) memperlihatkan alat ukur tekanan bernama tabung Bourdon. Prinsip kerjanya secara skematik dilukiskan pada gambar yang sama (sisi kanan). Tekanan yang akan diukur diteruskan pada tabung lengkung yang bertampang lintang oval. Tekanan cenderung menyebabkan tabung untuk melurus, dan defleksi ujung tabung dihubungkan dengan sistem lengan-ayun ke jarum perekam/penunjuk.
Alat ini luas dipakai untuk uap dan gas bertekanan. Tekanan yang ditunjukkan adalah perbedaan antara yang terekam oleh sistem dan tekanan luar (lingkungan), dan biasanya disebut sebagai tekanan gauge (gauge pressure).
Gambar 28 memperlihatkan tabung Bourdon untuk pengukuran tekanan relatif positif dan negatif (vakum).
2 Sumber: http://inventors.about.com/library/inventors/blbourdon.htm
36
Sisi Indikator dengan jarum & skala
Sisi Mekanik dengan tabung Bourdon
Gambar 27. Tabung Bourdon (kiri) dan prinsip kerjanya (kanan)
Gambar 28. Kombinasi pengukur tekanan gauge dan vakum
G. Gaya Pada Permukaan TerendamGaya tekan horizontal
Penentuan gaya tekan horizontal pada permukaan terendam (misalnya dinding bejana bertekanan, pintu air, dinding waduk) sering dilakukan dalam statika fluida. Informasi ini penting dalam proses perancangan struktur agar ia mampu menahan gaya tersebut dengan aman.
Karena nilai tekanan beragam terhadap kedalaman, maka gaya tekan pada suatu bidang bisa diperoleh dari integrasi tekanan pada seluruh luasan bidang.
37
Mengacu Gambar 29, besarnya gaya tekan yang bekerja pada elemen bidang yang diarsir sejauh y dari permukaan adalah:
dF= ρ gy . dA= ρgηsin (θ ) .dAGaya yang bekerja pada seluruh bidang adalah integral dari dF:
F=A
ρgη sin (θ ) dA=ρgsin (θ )A
η dA
Mengingat definisi pusat massa, G:
ηG=1AA
η dA
maka persamaan gaya bisa ditulis menjadi:
F=ρg sin (θ ) ηG A
Ini berarti, gaya tekan horizontal pada bidang adalah hasil kali dari tekanan di pusat massa, gsin()G, dan luas bidang, A. Gaya ini bekerja di suatu titik yang dinamakan titik pusat tekanan, P.
Gambar 29. Gaya tekan pada sebidang permukaan terendam
Titik pusat tekanan
Letak titik pusat tekanan, P, bisa ditentukan berdasarkan neraca momen. Dengan permukaan bebas sebagai acuan, maka:
38
ηP F=A
η dF
ηP ρgsin (θ ) ηG A=A
η⋅ρg sin (θ ) η dA
ηP ρgsin (θ ) ηG A= ρgsin (θ )A
η2 dA
atau:
ηP=1
ηG AAη2 dA=
I0
ηG A
Momen inersia luasan, I, lebih enak dihitung dengan acuan bukan permukaan bebas melainkan pusat massa, karena letak pusat massa adalah bawaan dari bidang. Momen luasan terhadap permukaan bebas, I0, oleh karena itu dipindahkan terhadap pusat massa, IG, dengan menggunakan teorema sumbu paralel:
I O=I G+ηG2 A
Dengan demikian maka letak titik pusat tekanan adalah:
ηP=IG
ηG A+ηG
Jadi, pusat tekanan terletak di bawah pusat massa sejauh IG/(GA).
Nilai IG beberapa luasan adalah sebagai berikut:
Persegi-empat dengan lebar b, tinggi h: A = bh dan IG = bh3/12.
Lingkaran berjari-jari R: A = R2 dan IG = R4/4.
Untuk permukaan yang tidak datar, perhitungan gaya tekan sama seperti yang telah diuraikan sebelumnya. Perhitungan letak titik pusat tekanan walaupun rumit (dan tidak dibahas di sini), tetapi prinsipnya sama.
H. PengapunganPrinsip Archimedes
Prinsip Archimedes menyatakan bahwa: gaya angkat pada benda = berat fluida yang dipindahkan benda.
Prinsip ini bisa dijelaskan berdasarkan persamaan dasar fluida statik sebagai berikut.
Gambar 30 memperlihatkan sebuah benda dengan densitas massa b tenggelam dalam fluida statik dengan densitas massa . Pada elemen silindrik fluida setinggi h searah sumbu-y dengan luas penampang dA bekerja:
1) gaya badan karena gravitasi,
2) gaya tekan ke bawah pada permukaan atas, dan
39
3) gaya tekan ke atas pada permukaan bawah.
Besarnya resultan gaya diferensial yang bekerja pada elemen fluida adalah:
ghdAdSpdSpdF by 222111 coscos
atau:
dAghppdFy 21
karena ghpp 21 maka:
ghdAdF by .
Besarnya gaya total pada benda adalah jumlah dari resultan gaya diferensial, dengan kata lain:
hdAgdAghF bby
Nilai hdA tidak lain adalah volume benda, Vb, sehingga:
bby gVF .
Persamaan ini menunjukkan bahwa resultan gaya arah-y terdiri dari 2 bagian, yaitu gaya apung (gVb) dan gaya berat (bgVb). Besarnya gaya apung (gVb) di sini tampak sama dengan berat fluida yang dipindahkan oleh benda.
p2.dS2.cos(2)
x
y z
2
1
2
1
dA
p1.dS1.cos(1)
Bidang x-z h
ghdA
Gambar 30. Gaya-gaya yang bekerja pada elemen silindrik pada benda
40
Ada tiga kemungkinan yang bisa terjadi jika sebuah benda dilepas dari posisi awal terbenam dalam fluida:
1) Jika <b, maka benda akan mengalami resultan gaya negatif sehingga benda akan bergerak turun sampai tenggelam di dasar fluida.
2) Jika =b, maka resultan gaya pada benda nol sehingga ia tetap tinggal melayang dalam fluida.
3) Jika >b (densitas fluida lebih besar daripada densitas benda), maka benda akan mengalami resultan gaya positif sehingga benda akan bergerak naik sampai ke permukaan fluida lalu mengapung.
Untuk benda mengapung, volume benda yang tercelup bisa ditentukan berdasarkan kesetimbangan gaya, di mana gaya apung seimbang dengan gaya berat:
0 beratapung FFF
atau:
0 bbcelup gVgV
atau:
bb
celup VV
.
Jadi, es dengan densitas kira-kira 0,9 densitas air akan tercelup 90% volumenya dalam cairan (Gambar 32).
b<
b=
b>
Fluida,
Benda mengapung
Benda melayang (mengapung netral)
Benda tenggelam
41
Gambar 31. Benda mengapung, melayang dan tenggelam
Gambar 32. Gunung es mengapung di permukaan laut karena densitas es (padat) lebih rendah daripada air laut (cair)
Benda mengapung
Dalam keadaan mengapung, sebagian volume benda (V1) tercelup dalam fluida berdensitas 1, dan volume sisanya (V2) tercelup dalam fluida berdensitas 2 (Gambar 33), maka:
Gaya angkat pada bagian atas, gVF 111 , bekerja melalui titik berat V1 di G1.
Gaya angkat pada bagian bawah, gVF 222 , bekerja melalui titik berat V2 di G2.
Gaya angkat total, gVgVFFFtotal 221121
Benda pada Gambar 33 dalam posisi tidak setimbang karena G1 dan G2 tidak berada pada garis vertikal yang sama. Momen gaya yang bekerja padanya akan menyebabkan benda bergerak putar ke kiri sampai keadaan setimbang tercapai di mana pusat pengapungan keseluruhan benda melalui titik berat benda itu.
42
Fluida berdensitas 1
Fluida berdensitas 2
V1 G1
V2 G2
F1
F2
Gambar 33. Gaya apung pada benda
Stabilitas benda celup & apung
Kestabilan putar penting diperhatikan dalam rancang bangun kapal (atas air atau bawah air) supaya ia bisa tetap (kembali) tegak di atas atau di dalam air saat mengalami gangguan (kecil) karena angin, gelombang, atau arus laut.
Kestabilan putar bergantung pada letak relatif G, yaitu pusat gaya berat (center of gravity) benda, terhadap B, yaitu pusat gaya apung (center of buoyancy).
Pada benda celup (Gambar 34), seperti kapal selam:
1) Jika G di bawah B: benda stabil.
2) Jika G di atas B: benda tidak stabil.
3) Jika G berhimpitan dengan B: benda stabil netral.
Pada benda apung, seperti kapal laut atau :
1) Jika G di bawah B: benda selalu stabil.
2) Jika G di atas B: benda bisa stabil bisa tidak (Gambar 35).
Dalam kasus G di atas B, benda akan stabil jika gangguan kecil yang menyebabkan benda miring diikuti oleh pergeseran letak G yang menimbulkan momen pemulihan.
Kestabilannya ditentukan oleh tinggi metasentrik GM, yaitu jarak antara titik G dan titik metasentrik M, yaitu titik perpotongan antara garis perpanjangan vektor gaya apung dan garis simetri benda.
Jika M di atas G (GM positif), benda stabil.
Jika M di bawah G (GM negatif) maka benda tidak stabil.
43
Gambar 34. Kestabilan benda celup (immersed body)
Gambar 35. Kestabilan benda apung (floating body)
Mahkota Emas Hiero II, Raja Syracuse
Hiero (306-215 B.C.) mendengar desas-desus bahwa tukang emasnya telah mengganti sebagian emas mahkotanya dengan perak. Hiero minta Archimedes (287-212 B.C.) memastikan apakah mahkotanya emas murni atau bukan.
Archimedes harus mengembangkan metode pengujian yang tidak merusak (nondestructive test). Berdasarkan prinsip pengapungan, Archimedes menyeimbangkan mahkota dengan sebongkah emas murni menggunakan neraca gantung di udara (Gambar 36).
1) Jika mahkota terbuat dari emas murni, maka volume keduanya pasti sama.
2) Jika mahkota terbuat dari campuran perak maka volumenya akan lebih besar.
Archimedes kemudian menimbang lagi keduanya menggunakan neraca gantung, tetapi sekarang bukan di udara melainkan di dalam air. Ternyata, neraca tidak seimbang, mahkota lebih ringan dari bongkahan emas murni (Gambar 37). Dengan demikian terbuktilah
44
bahwa tukang emas sang raja telah berlaku tidak jujur.
Gambar 36. Mahkota sama berat dengan bongkahan emas murni di udara
Gambar 37. Mahkota lebih ringan dari bongkahan emas murni di dalam air
Dok Kapal Laut
Dok kapal laut (Gambar 38), tempat di mana pekerjaan perawatan dan perbaikan dilakukan, juga menerapkan prinsip Archimedes. Dengan prinsip pengapungan, kapal selam berbobot 6000 ton bisa diangkat (Gambar 39) untuk dirawat/diperbaiki.
45
Gambar 38. Dok kapal tenggelam sebagian
Gambar 39. Kapal selam berbobot 6000 ton sedang menjalani perbaikan di atas dok kapal
Rangkuman
Variabel penting dalam fluida diam adalah tekanan. Distribusi tekanan dalam fluida diam dapat digambarkan oleh persamaan medan tekanan fluida statik pag
Persamaan ini bisa diterapkan untuk analisis manometri, gaya-gaya tekan fluida pada permukaan terendam, dan gaya apung. Efek kapilaritas dalam manometri bisa dikoreksi dengan memperhitungan efek tegangan permukaan.
46
MODUL III. SIFAT-SIFAT FLUIDA
Deskripsi
Fluida biasa dipahami sebagai zat cair atau gas. Namun, pengertian ini secara ilmiah belum memadai karena tidak bisa dinyatakan dalam ukuran kefluidaan suatu zat. Sebagai gantinya diperkenalkanlah suatu definisi fluida yang memungkinkan pengukuran sifat kefluidaan zat. Sifat itu dikenal dengan sebutan viskositas. Viskositas merupakan sifat unik fluida yang tidak akan dijumpai pada zat padat. Selain viskositas, fluida memiliki beragam sifat-sifat lainnya, yaitu: tekanan uap, koefisien kompresibilitas, dan tegangan permukaan.
Sasaran belajar:
1. Mendefinisikan fluida2. Mengenali fluida newton dan non-newton berdasarkan grafik tegangan
geser lawan laju deformasi3. Menuliskan persamaan viskositas newton berikut nama dan satuan
variabel-variabel di dalamnya4. Menjelaskan pengertian tekanan uap, koefisien kompresibilitas, dan
tegangan permukaan beserta satuannya
Fluida: 2 di antara beragam fase di alam
Dalam kehidupan sehari-hari biasa dikenal ada tiga macam keadaan benda: padatan, cairan, dan gas. Walaupun sebenarnya ada satu keadaan lagi yang justru keberadaannya di alam jauh lebih banyak, yaitu fase plasma.
Walaupun cairan dan gas memiliki perbedaan dalam berbagai hal, keduanya memiliki kesamaan sifat yang membedakannya dari padatan. Cairan dan gas bersifat fluid (bersifat mengalir) karena tidak mempunyai kemampuan untuk menahan gaya secara tetap seperti halnya padatan.
Sifat Fluida Segala karakteristik yang dimiliki suatu zat dan bisa diukur disebut sifat. Di antara sifat yang sangat dikenal adalah tekanan p, suhu T, volume V dan massa m, dan yang kurang dikenal adalah viskositas, konduktivitas termal, modulus elastisitas, koefisien ekspansi termal, tekanan uap dan tegangan permukaan.
Sifat biasa digolongkan intensif dan ekstensif.
Sifat intensif nilainya tidak tergantung pada jumlah zat. Contoh: suhu, tekanan, dan densitas. Sifat ekstensif nilainya tergantung pada ukuran zat. Contoh: massa, volume, momentum, dan energi.
Sifat spesifik adalah sifat ekstensif per satuan jumlah zat. Contoh: volume spesifik (v = V/m), densitas massa ( = m/V) dan energi spesifik (e = E/m).
47
A. Definisi FluidaPentingnya Definisi
Dalam masyarakat ilmiah, segala kerancuan makna dalam penggunaan istilah harus dihindari. Untuk itu setiap istilah ilmiah diperkenalkan beserta definisinya. Definisi memang bersifat membatasi pengertian, tetapi dengan demikian definisi membuat makna istilah bisa menjadi lebih jelas.
Selain itu, ini yang lebih penting, pendefinisian istilah atau konsep itu harus memungkinkan pengukuran sehingga manfaatnya secara keilmuan dan dalam terapan menjadi luas.
Jadi, walaupun secara awam fluida telah dimengerti sebagai zat cair atau gas, namun pengertian ini tidak cukup. Kita memerlukan definisi yang memungkinkan kuantifikasi atau pengukuran yang terkait dengan kefluidaan suatu zat.
Pendekatan makroskopik (kontinum)
Pendefinisian yang kita anut di sini akan mengambil pendekatan pada skala makroskopik, yang jauh lebih besar dari skala mikroskopik atau atomik atau molekuler.
Alih-alih dipandang sebagai atom-atom atau molekul-molekul diskrit yang terpisah-pisah oleh jarak, fluida dipandang sebagai kontinum tanpa jarak pisah, sebagaimana kesan yang kita tangkap melalui indra fisik kita. Cara pikir makroskopik demikian disebut pendekatan kontinum.
Kebanyakan fenomena yang dijumpai dalam mekanika fluida, baik yang melibatkan cairan maupun gas, masuk dalam domain kontinum.
Dalam pendekatan kontinum, apa yang dikatakan sebagai sifat zat menggambarkan karakteristik sekumpulan besar atom atau molekul dalam skala yang jauh jauh lebih besar dari jarak antaratom atau antarmolekul. Dengan anggapan kontinum ini maka sifat-sifat fluida seperti densitas, tekanan, suhu, kecepatan dan lain-lain dianggap:
terdefinisi pada titik-titik yang kecil tak berhingga, dan
beragam secara kontinyu dari satu titik ke lain titik.
Watak molekuler & diskritnya diabaikan. Dengan demikian, sifat fluida bisa dinyatakan sebagai fungsi tinerus/sinambung (continuous function) dalam ruang dan waktu:
densitas: ρ(r,t)
kecepatan aliran: v(r,t)
tekanan: p(r,t)
suhu: T(r,t)
sehingga matematika bisa diterapkan untuk mendeskripsikan dan menganalisis fluida..
Definisi Fluida
Fluida didefinisikan sebagai bahan yang mengalami deformasi
48
terus-menerus akibat gaya geser yang bekerja padanya.
Istilah “deformasi terus-menerus” dalam bahasa keseharian disebut “aliran”. Pemilihan gaya geser dalam definisi ini didasarkan pada efek beda yang dialami fluida dari padatan saat menerima gaya geser. Jadi, dengan definisi ini fluida bisa dibedakan dari padatan.
Secara matematik, definisi operasional fluida bisa dituliskan sebagai:
dydu
dengan:
adalah tegangan geser, yaitu gaya geser per satuan luas (N/m2)
adalah viskositas, yaitu ukuran hambatan internal fluida terhadap aliran (Pa.s)
dydu adalah gradien kecepatan yang mewakili laju regangan geser (1/s)
Gaya & Tegangan: Geser & Normal
Besarnya gaya per satuan luas disebut tegangan (stress). Menurut komponen gayanya, tegangan dibagi menjadi dua macam, yaitu:
1) tegangan normal (normal stress) yang merupakan gaya normal atau tegak lurus permukaan per satuan luas permukaan, dan
2) tegangan geser (shear stress) yang merupakan gaya geser atau tangensial permukaan per satuan luas permukaan.
Lihat Gambar 40.
Pada fluida diam, besarnya tegangan normal sama dengan tekanan, tetapi pada fluida bergerak, besarnya tegangan normal tidak sama dengan tekanan.
Fnormal (tegak lurus permukaan dA)
Ftangensial (sejajar permukaan dA)
F
dA
Gambar 40. Gaya normal dan gaya geser/tangensial
49
Tegangan geser pada fluida mengalir
Pada fluida diam tidak ada tegangan geser.
Tegangan geser muncul apabila fluida bergerak akibat gaya netto yang bekerja padanya, tidak peduli apakah itu gaya geser atau bukan.
Jika partikel-partikel fluida bergerak relatif terhadap lainnya, berarti kecepatannya berbeda-beda sehingga bentuk asalnya berubah.
Jika kecepatan fluida di setiap titik sama, tidak akan ada tegangan geser yang dihasilkan karena partikel-partikel fluida satu terhadap lainnya relatif diam.
Fluida vs. Padatan
Perbedaan watak antara fluida dan padatan sebagai tanggapan terhadap gaya adalah sbb:
Untuk padatan, regangan (strain) sebanding dengan tegangan yang dideritanya (applied stress) selama batas elastiknya tidak terlampaui. Untuk fluida, bukan regangan yang sebanding dengan tegangan yang dideritanya melainkan laju regangan (rate of strain).
Regangan padatan, dalam batas elastisitasnya, sebanding dengan tegangan yang dideritanya tetapi tidak bergantung pada durasi pemberian gaya. Deformasi pada padatan bersifat sementara, sehingga begitu gaya geser ditiadakan maka deformasi pun lenyap dan padatan akan kembali ke bentuk asalnya. Fluida tidak demikian. Deformasi yang dialaminya bersifat terus-menerus selama gaya geser dikenakan padanya. Deformasi juga bersifat permanen sehingga begitu gaya geser ditiadakan maka fluida tidak akan kembali ke bentuk semula.
Dengan kata lain, padatan mampu menahan gaya geser atau shear force dengan berdeformasi (berubah bentuk) – lihat Gambar 41. Besarnya gaya geser F per satuan luas kontak A (disebut tegangan geser atau shear stress, ) sebanding dengan regangan geser (shear strain, ).
AF
50
Padatan berubah bentuk (berdeformasi) sementara
Gaya Geser, F
Regangan geser,
Tegangan geser, AF
Gambar 41. Efek gaya geser pada padatan
Fluida tidak mampu menahan gaya geser sehingga ia berdeformasi terus-menerus (mengalir) selama gaya geser masih terus mengenainya – lihat Gambar 42. Besarnya gaya geser per satuan luas (tegangan geser atau shear stress, ) sebanding dengan laju regangan geser (shear strain rate, d/dt).
hV
dtd
AF
Fluida berubah bentuk terus-menerus & permanen
Gaya Geser, F
Laju regangan geser, d/dt = V/h
Tegangan geser, hV
dtd
AF
h
Plat atas bergerak secepat V
Plat bawah diam
Gambar 42. Efek gaya geser pada fluida
B. ViskositasViskositas Viskositas () sebuah fluida menggambarkan hambatan internal
fluida untuk mengalir. Burung terbang atau ikan berenang (Gambar43) mengalami hambatan yang berlawanan arah dengan arah geraknya. Hambatan ini disebut gaya hambat (drag force) yang besarnya bergantung pada faktor bentuk benda dan viskositas fluida.
Efek Coanda Pengaruh viskositas juga tampak pada fenomena efek Coanda di
51
mana arus aliran memperlihatkan kecenderungan mengikuti bentuk benda yang dilaluinya (Gambar 44).
Satuan Viskositas
Satuan viskositas adalah kg/(m.detik), dan g/(cm.detik) (juga dikenal sebagai poise yang dilambangkan dengan P).
1 centipoise (cP) = 1001
poise.
1 centipoise (cP) = 103 Pa.s.
Centipoise juga merupakan satuan yang enak dipakai karena viskositas air pada suhu ruang kira-kira sebesar 1 centipoise.
Viskositas dinamik & kinematik
Viskositas () sering juga disebut sebagai viskositas dinamik. Perbandingan viskositas dinamik () dan densitas () disebut sebagai viskositas kinematik ():
Besaran ini akan menjadi penting saat gaya viskos dan gaya gravitasi yang signifikan ada bersamaan.
Gambar 43. Gaya hambat yang dialami seekor burung sewaktu terbang mencerminkan pengaruh viskositas fluida
52
Gambar 44. Efek Coanda
Viskositas Cairan
Viskositas cairan secara umum berkurang sejalan dengan peningkatan suhu. Viskositas cairan umumnya kira-kira berubah dengan suhu T menurut hubungan:
Tba ln.ln
Viskositas Gas
Viskositas gas secara umum bertambah sejalan dengan peningkatan suhu. Viskositas berbagai macam gas kira-kira berubah dengan suhu T menurut hubungan:
n
TT
00
dengan T adalah suhu mutlak, 0 adalah viskositas pada suhu mutlak acuan T0, dan n adalah pangkat empiris yang paling cocok dengan data eksperimen.
Viskositas gas ideal tidaklah tergantung pada tekanan, tetapi viskositas gas riil dan cairan biasanya bertambah sejalan dengan peningkatan tekanan.
Viskositas cairan biasanya dua orde lebih besar daripada viskositas gas pada tekanan atmosfir. Misal, pada 250C, air = 1 cP dan udara = 10–2 cP.
53
Suhu
Viskositas
Cairan
Gas
Gambar 45. Variasi viskositas cairan dan gas terhadap suhu
C. Fluida Newtonian vs. NonNewtonianFluida Newtonian
Fluida Newtonian adalah fluida yang memenuhi hukum viskositas Newton, yaitu:
hV
dydu
dtd
dengan:
adalah tegangan geser atau shear stress (N/m2).
adalah viskositas dinamik fluida (Pa.s).
(du/dy) = laju regangan geser, rate of strain, atau gradien kecepatan (1/s).
Semua gas dan kebanyakan fluida yang memiliki rumus molekul sederhana dan berat molekul ringan seperti air, benzena, etil-alkohol, CCl4, heksana, dan kebanyakan larutan dari molekul sederhana adalah fluida Newtonian.
Fluida non-Newtonian
Fluida non-Newtonian adalah fluida yang tidak memenuhi hukum viskositas Newton. Umumnya fluida non-Newtonian merupakan campuran kompleks: lumpur, pasta, kecap, gel, larutan polimer, dll.
Fluida non-Newtonian (Gambar 46) banyak ragamnya dan sering harus dihadapi oleh insinyur kimia/proses. Oleh karena itu, berkembanglah bidang ilmu khusus yang mempelajari watak fluida non-Newtonian yang dikenal sebagai rheologi.
Setiap garis dalam Gambar 46 bisa diwakili oleh persamaan berbentuk:
54
n
dyduBA
dengan A, B dan n konstanta. Untuk fluida Newtonian A = 0, B = dan n = 1.
Tegangan geser (shear stress),
Laju regangan geser (shear strain rate), du/dy
Dilatan
Newton
Plastik semu
Plastik Bingham
Plastik
Fluida ideal, = 0
Gambar 46. Hubungan tegangan geser (shear stress, ) dengan laju regangan geser (rate of shear strain, du/dy) berbagai macam fluida
Dalam Gambar 46 tertera adanya fluida ideal. Sesuai namanya, fluida ini tidak nyata/riil, karena memang tidak ada fluida yang memiliki viskositas nol. Fluida ideal adalah sekedar konsep yang dibuat untuk memudahkan penyelesaian secara teoritik dengan cara mengidealkan persoalan praktik.
Perilaku Fluida Non-Newtonian
Fluida non-Newton memperlihatkan beragam perilaku:
Watak tak-tergantung-waktu . Sifat fluida di sini tidak tergantung pada durasi geseran bekerja.
Plastik : tegangan geser harus mencapai nilai minimum tertentu sebelum aliran mulai terjadi.
Plastik-Bingham : seperti plastik, fluida ini menahan tegangan geser yang kecil tetapi mengalir dengan mudah begitu menderita tegangan geser yang besar. Contoh: pasta gigi, jelli, dan sejumlah lumpur (misalnya lumpur IPAL – Instalasi Pengolah Air Limbah).
Plastik-semu (pseudo-plastic fluid): tiada tegangan geser
55
minimum yang diperlukan untuk terjadinya aliran dan. fluida ini viskositasnya berkurang sejalan kenaikan gradien kecepatan (rate of strain). Kebanyakan fluida non-Newton masuk dalam kelompok ini. Contoh: larutan polimer, darah dan bahan kolloid semisal tanah-liat, susu, dan semen.
Fluida plastik-semu juga disebut sebagai fluida bergeseran-melemah (shear-thinning fluid). Pada laju geseran rendah (du/dy) fluida bergeseran-melemah lebih viskos (kental) daripada fluida Newton, dan pada laju geseran tinggi menjadi kurang viskos.
Fluida dilatan (dilatant fluid): fluida ini viskositasnya bertambah dengan kenaikan gradien kecepatan. Fluida semacam ini tidaklah lazim, tetapi suspensi kanji dan pasir berperilaku demikian. Fluida dilatan disebut juga sebagai fluida bergeseran-menguat (shear-thickening fluid).
Watak tergantung-waktu . Sifat fluida di sini tergantung pada durasi geseran bekerja.
Fluida Thixotropik : fluida ini viskositas dinamiknya bertambah sejalan dengan waktu di mana gaya geser bekerja. Contoh: cat jelli thixotropik (Gambar 47).
Fluida Rheopektik : fluida ini viskositas dinamiknya bertambah sejalan dengan waktu di mana gaya geser bekerja. Contoh: suspensi gips dalam air (Gambar 47).
Fluda visko-elastik : fluida ini memiliki sifat elastik yang memungkinkannya berwatak seperti pegas. Wataknya mirip dengan fluida Newton tetapi jika dikenai geseran besar secara tiba-tiba fluida ini berwatak seperti plastik. Contoh: putih telur.
Viskositas semu (apparent viscosity)
Waktu
Thixotropic
Rheopectic
Saat laju geser dinaikkan
56
Gambar 47. Efek perubahan mendadak laju geser pada viskositas semu fluida gayut-waktu
D. Tekanan UapPengertian Tekanan, pada suhu tertentu, di mana suatu cairan akan mendidih
disebut tekanan uap. Tekanan uap tergantung pada suhu (tekanan uap bertambah sejalan dengan kenaikan suhu).
Tekanan Uap Air
Dalam konteks ini, hal yang biasa dipikirkan adalah suhu di mana pendidihan terjadi. Misal, pada tekanan 1 atm (absolut) air mendidih pada suhu 1000C atau lebih.
Namun, terkait dengan tekanan uap, alur pemikirannya dibalik. Pada suhu 1000C air mendidih (berubah fase menjadi uap) pada tekanan 1 atm (absolut) atau kurang.
Mudah dipahami bahwa pendidihan pada suhu jauh di bawah 100 oC bisa terjadi apabila tekanan pada air diturunkan sampai tekanan uapnya. Contoh, tekanan uap air pada 10 oC adalah 0,01 atm. Oleh karena itu, jika tekanan air pada suhu tersebut (10 oC) diturunkan sampai nilai itu atau lebih rendah ( 0,01atm) maka air akan mendidih.
Kavitasi Pendidihan pada suhu lingkungan ini sering terjadi dalam fluida yang mengalir, misalnya pada sisi hisap sebuah pompa. Apabila pendidihan semacam ini terjadi dalam cairan yang mengalir, gelembung uap akan mulai tumbuh di daerah setempat yang bertekanan sangat rendah dan kemudian lenyap (collapse) di daerah hilir yang bertekanan tinggi. Fenomena ini dikenal sebagai kavitasi (cavitation).
Kavitasi bisa terjadi misalnya pada katup, turbin, dan pompa. Efeknya selain menimbulkan suara berisik dan menimbulkan getaran kavitasi juga bisa merusak geometri alat. Gambar 48 memperlihatkan kavitasi yang terjadi di ujung baling-baling kapal, dan Gambar 49 memperlihatkan efek kavitasi pada rumah (casing) pompa sentrifugal.
Kavitasi biasa muncul karena desain yang kurang bagus, karena tertutupnya katup di hulu atau sisi isap pompa, atau karena tersumbatnya penyaring.
57
Gambar 48. Kavitasi di ujung baling-baling kapal
Gambar 49. Efek kavitasi pada pompa sentrifugal
E. KompresibilitasKompresi-bilitas
Volume spesifik, v, suatu bahan, apakah itu padatan, cairan atau gas bisa berubah karena faktor suhu, T, dan tekanan, p. Jadi secara umum,
dv=( ∂ v∂ p )T
dp+( ∂ v∂T )
pdT
atau biasa ditulis ulang sebagai:
dv=−κ vdp+β vdT
58
dengan
κ=−1v ( ∂ v
∂ p )Tadalah koefisien kompresibilitas (isotermal) yang memainkan peranan sangat penting dalam mekanika fluida, dan
β=1v ( ∂ v
∂T )p
adalah koefisien ekspansi volume isobarik.
Hubungan antara tekanan dan volume gas lebih enak diperoleh dari persamaan sifat gas. Untuk gas ideal:
κ=−1v ( ∂ v
∂ p )T=−1v
∂∂ p ( RT
p )T=−RT
v∂∂ p ( 1
p )= 1p
Jadi, kompresibilitas gas mengecil seiring dengan membesarnya tekanan. Untuk udara pada tekanan 1 atm, nilai = 1/atm = 10-5
m2/N = 10-5/Pa.
Kompresibilitas cairan jauh lebih rendah daripada gas. Pada suhu 20 oC, untuk:
Air = 4610-11 m2/N ≈ 4610-6/atm.
Hg = 410-11 m2/N ≈ 410-6/atm.
Benzena = 9510-11 m2/N ≈ 9510-6/atm.
Bandingkan nilai-nilai ini dengan angka kompresibilitas tembaga yang hanya 0,77610-11 m2/N.
cairan & gas
Untuk cairan, perubahan tekanan yang terjadi dalam berbagai permasalahan mekanika fluida tidaklah cukup besar untuk menimbulkan perubahan densitas. Sebagai gambaran, untuk memampatkan volume air sebesar 1% diperlukan kenaikan tekanan sebesar 1% dibagi 4610-6/atm yaitu 217 atm. Angka yang luar biasa besar. Oleh karena itu, sudah menjadi kebiasaan bahwa efek kompresibilitas diabaikan dan cairan dianggap sebagai fluida inkompresibel.
Gas bisa juga diperlakukan sebagai fluida inkompresibel bila perubahan tekanannya sangat kecil, tetapi efek kompresibilitas biasanya tidak dapat diabaikan. Secara umum, efek kompresibilitas menjadi penting apabila kecepatan fluidanya mencapai kira-kira sepertiga kecepatan gelombang tekanan (kecepatan suara) di dalam fluida.
Kecepatan suara di udara kira-kira 300an m/s, sepertiganya adalah 100-an m/s. Pada kecepatan sebesar ini, kenaikan tekanan yang terlibat bisa mencapai 6000 Pa. Dengan udara sebesar 10-5/Pa berarti perubahan volumenya mencapai 600010-5 = 0,06 atau 6%.
59
Gambar 50. Efek tegangan permukaan air pada seekor serangga
F. Tegangan PermukaanFenomena Alam
Fenomena fisik yang memperlihatkan efek tegangan permukaan diperlihatkan pada gambar berikut – seekor serangga dapat hinggap di atas permukaan air (Gambar 50). Fenomena ini juga diperlihatkan oleh terbentuknya tetes-tetes air dari kran (Gambar51).
Gambar 51. Efek tegangan permukaan pada tetesan air
Resultan gaya di permukaan
Fenomena ini dapat dijelaskan dengan membayangkan apa yang terjadi pada permukaan fluida dibandingkan dengan yang terjadi di dalam fluida (Gambar 52).
Molekul di dalam fluida mengalami gaya-gaya tarik ke segala arah dan resultan gayanya sama dengan nol, tetapi tidak demikian halnya molekul di permukaan fluida.
Molekul di permukaan fluida mengalami gaya kohesi netto yang tegak lurus dengan permukaan. Molekul di permukaan memiliki energi lebih besar daripada yang di dalam fluida. Oleh karenanya
60
diperlukan kerja untuk menggerakkan molekul-molekul di permukaan untuk mengatasi gaya kohesi tersebut.
Tegangan permukaan
Tegangan permukaan (, sigma) suatu fluida adalah kerja yang harus diberikan untuk membawa molekul dari dalam ke permukaan fluida untuk membentuk satu satuan luasan permukaan baru (J/m2 = N/m). Tegangan permukaan sering pula dinyatakan dalam satuan dyne per cm (1 dyne/cm = 0,001 N/m).
Surfaktan Tegangan permukaan suatu zat bisa sangat berubah akibat penambahan zat yang disebut surfaktan (surfactants) semisal sabun dan deterjen. Sabun dan deterjen bekerja menurunkan tegangan permukaan air dan memungkinkannya menembus sela-sela di antara serat pakaian sehingga pencucian lebih efektif.
Butiran fluida Tegangan permukaan adalah kecenderungan permukaan fluida untuk berlaku seperti membran elastik teregang. Secara alamiah, cairan cenderung meminimalkan luas permukaannya. Oleh karenanya, butiran setetes cairan cenderung membentuk bulatan untuk meminimalkan luas permukaannya. Untuk butir kecil ini, tegangan permukaan akan menyebabkan kenaikan tekanan internal p untuk mengimbangi gaya permukaan.
Permukaan bebas (free surface)
Cairan
Gas
Resultan gaya kohesi tegak lurus permukaan bebas.
Resultan gaya kohesi nol.
Gambar 52. Gaya-gaya pada molekul fluida di dalam dan di permukaan
61
.2r
2.r
(p pluar).r2
Tekanan gas di luar butiran = pluar
Tekanan cairan di dalam butiran = p
Gambar 53. Komponen gaya-gaya pada butiran fluida
Besarnya selisih tekanan di dalam butir dan tekanan luar p = (p – pluar), bisa dihitung berdasarkan kesetimbangan gaya-gaya pada setengah bola:
02
0permukaan Gaya tekanGaya
0
2
rrp
Fy
sehingga
rp 2
Semburan cairan
Kesetimbangan gaya serupa bisa juga dibuat untuk jet (semburan) cairan silindris, hasilnya:
rp
Gelembung sabun
Perlakuan serupa bisa juga dilakukan untuk gelembung sabun yang mempunyai dua permukaan bebas seperti diperlihatkan pada Gambar 54.
62
.2r
2.r
(p pluar).r2 Tekanan gas di luar gelembung = pluar
Tekanan gas di dalam gelembung = p
Selaput cairan dengan 2 permukaan (luar + dalam)
Gambar 54. Dua permukaan (dalam dan luar) pada gelembung sabun
Dengan demikian kesetimbangan gaya-gayanya menjadi:
04
022
0
0
2
rrpp
rAppA
FFF
F
luar
luar
dalamluarpermukaan
luardaritekan
dalamdaritekan
y
sehingga:
r
ppp luar4
Permukaan bebas
Tegangan permukaan biasanya muncul hanya dalam situasi yang melibatkan permukaan bebas (batas cairan/gas atau cairan/padatan) atau antarmuka (batas cairan/cairan). Tegangan pada antarmuka cairan/cairan biasa disebut sebagai tegangan antarmuka (interfacial tension).
Tabel berikut menyajikan nilai tegangan permukaan sejumlah cairan pada suhu 200C dalam kontak dengan udara atau uapnya (nilai di antara keduanya biasanya kecil saja).
Tabel 1. Nilai tegangan permukaan beberapa cairan
No Cairan Tegangan permukaan, (dyne/cm)
1 Air 72,75
2 Air raksa 435,50
3 Benzena 23,70
4 Etanol 22,75
63
b c a
No Cairan Tegangan permukaan, (dyne/cm)
5 Gliserol 63,40
6 Metanol 22,61
7 n-Oktana 21,78
G. KapilaritasAdhesi & Kohesi
Cairan naik atau turun di dalam tabung kapilar disebabkan oleh tegangan permukaan. Tinggi naik/turunnya tergantung pada besar relatif dari kohesi cairan dan adhesi cairan ke dinding bejana.
Cairan naik dalam tabung bila basah (adhesi > kohesi), dan
Cairan turun bila tidak basah (kohesi > adhesi).Pembasahan dan sudut kontak
Fluida membasahi sejumlah padatan dan tidak membasahi lainnya. Gambar 55 melukiskan sejumlah watak pembasahan yang mungkin terjadi sewaktu sebutir cairan diteteskan pada permukaan padatan horizontal. Sisa permukaan padatan ditutupi dengan udara sehingga kedua fluida ada bersamaan.
Sudut kontak Gambar 55 (a) mewakili kasus cairan yang tidak membasahi permukaan padatan. Misalnya adalah air di atas teflon atau air-raksa di atas gelas bersih. Jika pembasahan tepat nol maka = 1800. Akan tetapi, gaya gravitasi pada butiran cairan akan menekan dan meratakannya sehingga sudut 1800 tidak pernah teramati.
Gambar (c) mewakili kasus cairan yang membasahi permukaan padatan, misalnya air pada permukaan tembaga bersih. Sudut diukur di dalam cairan antara tepi permukaan cairan dan permukaan padatan. Sudut ini disebut sudut kontak dan merupakan ukuran dari kualitas pembasahan. Untuk pembasahan sempurna, di mana cairan menyebar sebagai lapisan tipis seluas permukaan padatan, = nol.
Dalam kebiasaan sehari-hari, cairan dikatakan membasahi permukaan bila kurang dari 900 dan tidak membasahi jika lebih dari 900. Nilai kurang dari 200 mewakili pembasahan kuat, dan nilai lebih dari 1400 mewakili non-pembasahan kuat.
Gambar 55. Watak pembasahan sebutir fluida pada permukaan padat
64
Pentingnya kapilaritas
Kapilaritas penting diperhatikan dalam pengukuran fluida bilamana diameter tabung yang digunakan dalam pengukuran kurang dari 10mm
Kenaikan atau penurunan kapilar (h) dalam sebuah tabung (Gambar56) bisa dihitung berdasarkan kesetimbangan gaya-gaya. Gaya-gaya yang bekerja adalah gaya tegangan permukaan, gaya tekan, dan gaya gravitasi.
Kenaikan kapilar
Pada kasus pertama di mana fluida mendaki lebih tinggi dari permukaan bebas, komponen arah vertikal gaya-gaya yang bekerja pada CV (control volume) kolom fluida setinggi h diperlihatkan pada Gambar 57.
d d h
h
A
B
Gambar 56. Efek kapilaritas
65
d h
2
4dPF atmtekan
ghdFberat
2
4
cosdFpermukaan
2
4dPF atmtekan
CV
Gambar 57. Gaya-gaya yang bekerja pada CV (control volume) kolom fluida yang mendaki di atas permukaan bebas
Analisis kenaikan kapilar
Gambar 57 melukiskan gaya-gaya yang bekerja pada CV (control volume) kolom kapilar fluida yang mendaki di atas permukaan bebas. Resultan gaya arah vertikal yang bekerja pada CV adalah:
0bawahke
tekanberatpermukaanataske
tekany FFFFF
dengan:
Gaya tekan ke atas: 2
4dPAPF atmatm
atasketekan
Gaya permukaan: cosdFpermukaan dengan adalah sudut pembasahan
atau sudut kontak. (Jika tabung terbuat dari gelas dan keadaannya bersih maka = 0 untuk air dan sekitar 1400
untuk air-raksa)
Gaya berat:
ghdmgFberat
2
4
dengan adalah densitas cairan.
Gaya tekan ke bawah:2
4dPAPF atmatm
bawahketekan
Karena gaya tekan ke atas dan ke bawah saling meniadakan karena sama besar & berlawanan arah, maka kesetimbangan gayanya menjadi:
66
0beratpermukaany FFF
atau:
04
cos 2
ghdd
sehingga ungkapan untuk kenaikan kapilar h menjadi:
gd
h
cos4
Penurunan kapilar
Pada kasus kedua di mana fluida membenam lebih rendah dari permukaan bebas, komponen arah vertikal gaya-gaya yang bekerja pada CV (control volume) kolom fluida setinggi h diperlihatkan pada Gambar 58.
d
h
B
gHdFberat
2
4
cosdFpermukaan
2
4dPF atmtekan
CV H
2
4dHhgPF atmtekan
Gambar 58. Gaya-gaya yang bekerja pada CV (control volume) kolom fluida yang membenam di bawah permukaan bebas
Analisis penurunan kapilar
Gambar 58 melukiskan gaya-gaya yang bekerja pada CV (control volume) kolom kapilar fluida yang membenam di bawah permukaan bebas. Resultan gaya arah vertikal yang bekerja pada CV adalah:
0bawahke
tekanberatpermukaanataske
tekany FFFFF
dengan:
Gaya tekan ke atas:
67
2
4dHhgPAHhgPF atmatm
atasketekan
Gaya permukaan: cosdFpermukaan dengan adalah sudut pembasahan atau sudut kontak. Tanda minus diperkenalkan supaya nilai besarnya gaya positif, sedangkan arahnya sudah diperhitungkan dalam persamaan neraca gaya.
Gaya berat: gHdmgFberat
2
4
dengan adalah densitas cairan.
Gaya tekan ke bawah:2
4dPAPF atmatm
bawahketekan
Kesetimbangan gayanya menjadi:
044
cos4
222
dPgHdddHhgP atmatm
atau:
0cos4
2 ddgh
sehingga ungkapan untuk penurunan kapilar h menjadi:
gd
h
cos4
68
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20
diameter pipa kapiler (mm)
efek
kap
ilarit
as (m
m)
Hg Air
Gambar 59. Kenaikan air dan penurunan Hg sebagai fungsi diameter pipa kapilar
Koreksi efek kapilaritas
Gambar 59 dan Gambar 60 melukiskan pentingnya efek kapilaritas, terutama ketika melakukan pengukuran tekanan menggunakan piezometer. Artinya, hasil pembacaan harus dikoreksi dengan efek kapilar supaya diperoleh data yang akurat.
Pada manometer 2-kaki efek ini ada di kedua kakinya sehingga saling meniadakan. Berbeda halnya pada manometer 1-kaki, efek kapilaritas di kaki kiri dan kanan berbeda besarnya sehingga perlu diperhitungkan untuk koreksi pembacaan.
69
Gambar 60. Efek kapilaritas
Contoh: gelembung udara
Udara dialirkan melalui nozel ke dalam sebuah tangki air untuk menghasilkan arus gelembung. Jika gelembung diinginkan agar berdiameter 2 mm, hitung berapa besar kelebihan tekanan udara pada ujung nozel dibandingkan tekanan air sekelilingnya. Anggaplah bahwa nilai tegangan permukaan antara udara dan air adalah 72,7.103 N/m.
Data:
Tegangan permukaan () = 72,7.103 N/m.
Jari-jari gelembung (r) = 1 mm.
Rumus:
rp 2
Perhitungan:
2
3
5,1451
10.7,7222mN
mmrp m
N
Jadi, tekanan udara di ujung nozel harus lebih besar dari tekanan air sekelilingnya sebanyak 145,4 N/m2.
Contoh: gelembung sabun
Sebuah gelembung sabun berdiameter 50 mm berisikan tekanan 2 bar (di atas tekanan atmosfir). Tentukan tegangan permukan pada saput (film) sabun.
Data:
Jari-jari gelembung sabun (r) = 25 m = 0,025 m
p = 2 bar = 2.105 N/m2
70
Rumus tekanan di dalam gelembung sabun dan tegangan permukaan () terkait oleh rumus:
rp 4
Perhitungan:
mNmrp m
N
12504
025,010.2
42
5
Contoh: sudut kontak
Air mempunyai tegangan permukaan sebesar 0,4 N/m. Dalam sebuah tabung vertikal berdiameter 3 mm, air naik setinggi 6 mm di atas permukaan air di luar tabung. Hitung sudut kontaknya.
Data:
Tegangan permukaan () = 0,4 N/m
Diameter tabung (d) = 3 mm = 0,003 m
Kenaikan kapilar (h) = 6 mm = 0,006 m
Rumus kenaikan kapilar karena tegangan permukaan diberikan oleh persamaan:
gd
h
cos4
Perhitungan:
11,04,04
003,0812,91000006,0
4cos
3
mN
mkg mmgdh
Jadi sudut kontaknya adalah = 83,70.
Rangkuman
Fluida didefinisikan sebagai zat yang terus mengalami deformasi selama menanggung tegangan geser. Konstanta kesebandingan antara tegangan geser dan laju deformasi mewakili sifat khas fluida yang disebut sebagai viskositas. Fluida bisa digolongkan ke dalam kelompok fluida newton dan non-newton. Sifat fluida newton bisa diwakili oleh persamaan viskositas newton.
Dalam aliran, tekanan lokal fase cair bisa saja lebih rendah dari tekanan uap jenuhnya (pada suhu tertentu). Akibatnya, fluida berubah fase dari cair menjadi uap. Fenomena ini (biasa disebut kavitasi) bisa menyebabkan kerusakan permukaan padat dari alat keteknikan.
71
MODUL IV. DESKRIPSI ALIRAN
Deskripsi
Berbeda dari zat padat yang memiliki bentuk tetap, fluida sangat mudah mengalami deformasi yang terus-menerus. Akibatnya ragam gerak yang dialaminya bisa sangat banyak – sebagaimana tercermin dari pola aliran fluida yang terkesan rumit. Walaupun demikian, gerak rumit tersebut bisa diurai sebagai tersusun dari gerak-gerak dasar. Sebagian anasir gerak tersebut sama seperti pada zat padat (translasi, rotasi, deformasi linier), bedanya pada fluida ada unsur gerak tambahan, yaitu deformasi geser. Modul ini mengulas penggambaran anasir gerak dasar tersebut dalam ungkapan matematik tanpa memperhitungkan penyebab pergerakan (kinematika fluida). Selain itu, karena bentuknya mudah berubah-ubah, maka untuk mempelajari fluida lebih enak diambil ruang tertentu (control volume, CV) sebagai basis analisis, bukan massa tertentu (control mass, CM) seperti saat mempelajari zat padat. Namun, hukum alam dirumuskan menurut basis CM. Oleh karena itu, persamaan dasar neraca massa, momentum, dan energi harus diubah bentuknya supaya berlaku dalam pendekatan CV yang berbasis ruang. Pengubahan tersebut mudah dilakukan dengan menerapkan dalil transport Reynolds.
Sasaran belajar:
1. Menuliskan persamaan neraca massa dalam pendekatan CM dan CV dalam bentuk laju perubahannya terhadap waktu
2. Mendefinisikan CV yang memudahkan analisis3. Melakukan analisis integral pada kasus aliran yang sangat sederhana
A. Ragam Cara Pandang AliranHukum dasar Fisika & Hubungan konstitutif
Ada 3 hukum dasar fisika yang berlaku dalam aliran fluida, kecuali untuk fenomena relativistik & nuklir, yaitu:
Hukum kekekalan massa
Hukum kedua Newton tentang gerak
Hukum pertama termodinamika
yang rumusan matematikanya berturut-turut adalah:
Persamaan kontinuitas
Persamaan momentum
Persamaan energi
Hukum fisika berlaku umum untuk segala bahan. Oleh karena itu, penerapan hukum fisika pada suatu fenomena yang melibatkan bahan tertentu memerlukan pengetahuan sifat bahan itu.
Sifat bahan biasanya dinyatakan dalam hubungan sifat-sifat, yang
72
sayangnya sering disebut dengan istilah hukum juga, misal:
hukum gas ideal (seharusnya hubungan sifat gas ideal),
hukum viskositas newton (seharusnya hubungan sifat fluida newtonian).
Hubungan sifat ini biasanya disebut hubungan konstitutif.
Jadi ingat-ingat, hukum berlaku untuk segala bahan, apakah itu hukum kekekalan massa, hukum kedua Newton tentang gerak, atau hukum pertama termodinamika. Sementara, hubungan konstitutif berlaku untuk suatu bahan tertentu saja, misal:
Hubungan sifat gas ideal,
Hubungan sifat fluida Newtonian,
Hubungan sifat fluida non-Newtonian, dll.Kinematika Fluida
Pengungkapan hukum-hukum fisika dalam bentuk matematik memungkinkan pengembangan penggambaran analitik aliran fluida.
Modul ini akan mengulas penggambaran gerak fluida secara matematik tanpa perlu memperhitungkan gaya-gaya dan momen-momen penyebabnya.
Ilmu penggambaran gerak seperti ini disebut Kinematika Fluida.Ragam Cara Pandang Aliran
Aliran, atau gerak fluida, bisa digambarkan dengan beragam cara pandang, yaitu:
1) Cara pandang Integral:
a) cara pandang CM (control mass),
b) cara pandang CV (control volume),
2) Cara pandang Diferensial:
a) cara pandang Lagrangian, dan
b) cara pandang Eulerian.
Cara pandang integral dan diferensial berbeda dalam hal skala pandang. Skala pandang berkaitan dengan resolusi atau kedetilan atau kerincian pemandangan. Cara pandang integral melibatkan fluida dalam skala besar (atau kerincian rendah), sedangkan cara pandang diferensial melibatkan fluida dalam skala kecil/titik (kerincian tinggi).
Cara pandang CM sepadan dengan Lagrangian, dan cara pandang CV sepadan dengan Eulerian. Masing-masing berbeda hanya dalam skala pandang.
Obyek pandang CM dan Lagrangian adalah massa, sedangkan obyek pandang CV dan Eulerian adalah ruang.
Sistem (CM) Hukum-hukum dasar fisika bisa diterapkan langsung pada sistem karena perumusan aslinya memang untuk sistem. Apa yang dimaksud dengan istilah sistem adalah sejumlah massa
73
beridentitas tetap atau control mass (CM). Massa tidak bisa menembus batas sistem.
Transformasi CM ke CV
Mengingat fluida mudah berubah bentuk dan bercampur-baur, kajian lebih enak dilakukan pada suatu volume atau ruang (control volume-CV) tertentu di mana fluida bisa mengalir keluar-masuk melaluinya. Jadi berbeda dengan pada sistem (CM), massa pada CV dibiarkan bisa menembus batas CV.
Perbedaan pendekatan antara CV dan CM menyebabkan hukum-hukum fisika (yang aslinya dirumuskan untuk CM) tidak bisa diterapkan begitu saja untuk CV. Ungkapan hukum dasar fisika perlu ditransformasi dari rumusan untuk sistem (CM) ke rumusan untuk CV. Ini ditempuh dengan Dalil Transport Reynolds (Reynolds Transport Theorem - RTT).
Dalil Transport Reynolds
Ungkapan Dalil Transport Reynolds untuk melakukan transformasi besaran B dari untuk sistem (CM) ke untuk CV adalah:
dBCM
dt= ∂∂ t CV
ρbdV +CS
ρb ( v⋅n ) dA
dengan:
B = besaran fisik (bisa massa, momentum, atau energi)
b = B per satuan massa
v = vektor kecepatan
n = vektor satuan normal (tegak lurus) permukaan
V = volume CV
A = luas permukaan
CS = permukaan batas CV
Lihat juga Gambar 61. Jika CV bergerak atau berdeformasi dengan kecepatan tetap (vCS), maka vektor kecepatan diganti dengan kecepatan relatif (v - vCS).
Gambar 61. Dalil Transport Reynolds
74
Deskripsi Gerak
Gerak fluida bisa digambarkan dengan 2 macam metode, yaitu:
Penggambaran Lagrangian, yang sebutannya diambil dari nama matematikawan Italia Joseph Louis Lagrange (1736-1813).
Penggambaran Eulerian, yang sebutannya diambil dari nama matematikawan Swiss Leonhard Euler (1707-1783).
Deskripsi Lagrangian
Dalam pendekatan Lagrangian, posisi & kecepatan partikel individual atau control mass (CM) dijejaki/ditelusuri. Gerakan partikel digambarkan berdasarkan hukum-hukum Newton.
Pendekatan ini sulit dipakai untuk analisis aliran karena:
Secara makroskopik: bentuk badan fluida tidak tetap karena partikel penyusunnya mudah berpindah.
Secara mikroskopik: jumlah molekul fluida luar biasa banyak + interaksi antarmolekul sulit untuk dimodelkan.
Walaupun demikian, pendekatan ini berguna untuk penerapan khusus, misalnya dalam analisis aliran semprotan, partikel, dinamika gelembung, dan gas bertekanan sangat rendah (rarefied gases). Untuk keperluan tertentu, gabungan metode Eulerian-Lagrangian menjadi perlu diterapkan, misalnya dalam:
Pemantauan lingkungan global dengan menggunakan Global Environmental MEMS Sensors (GEMS). Simulasi pergerakan sensor skala-mikron ini dilakukan dengan menggunakan model partikel Lagrangian yang disertakan dalam medan aliran hasil perhitungan CFD3 Eulerian (Gambar 62).
Analisis forensik kecelakaan pesawat ulang-alik Columbia. Pertama, CFD Eulerian digunakan untuk simulasi medan aliran. Partikel Lagrangian untuk simulasi jejak sampah serpihan pesawat (Gambar 63).
Deskripsi Eulerian
Suatu domain aliran atau control volume (CV) didefinisikan di mana fluida mengalir keluar-masuk. Variabel medan aliran didefinisikan sebagai fungsi ruang dan waktu.
Medan tekanan, P=P(x,y,z,t)
Medan kecepatan, v=v x ( x , y , z , t ) . i+v y ( x , y , z ,t ) . j+vz ( x , y , z , t ) .k .
Medan percepatan, a=ax ( x , y , z , t ) . i+a y (x , y , z ,t ) . j+az ( x , y , z , t ) . k
Ungkapan seperti ini pas untuk analisis differensial/rinci.
3 CFD = Computational Fluid Dynamics, yaitu suatu program komputer yang menyelesaikan persamaan-persamaan aliran fluida, berdasarkan hukum-hukum fisika dan model-model semi-empirik, untuk memprediksi medan aliran.
75
Gambar 62. Analisis pergerakan sensor mikron untuk pemantauan lingkungan global dengan gabungan metode Eulerian-Lagrangian
Gambar 63. Analisis forensik kecelakaan pesawat ulang-alik Columbia dengan gabungan metode Eulerian-Lagrangian
Perbedaan dasar
Kedua pendekatan sebetulnya berbeda hanya dalam cara menentukan posisi dalam medan.
Posisi dalam metode Lagrangian ditentukan secara relatif berdasarkan Posisi acuan awal (saat t=0). Jadi, posisi dalam ruang adalah variabel dependen terhadap waktu.
Posisi dalam metode Eulerian ditentukan berdasarkan Posisi geometrinya dalam ruang tidak bergantung waktu. Jadi, posisi dalam ruang adalah variabel independen sama
76
seperti waktu.Lagrangian vs. Eulerian
Lagrangian:
1) Variabel independen: waktu
2) Variabel dependen:
a) Medan tekanan: p = p(t)
b) Medan kecepatan: v = v(t)
c) dengan posisi acuan: (xo, yo, zo) saat t = to.
Eulerian:
1) Variabel independen: posisi dan waktu
2) Variabel dependen:
a) Medan tekanan: p = p(x,y,z,t)
b) Medan kecepatan: v = v(x,y,z,t)Titik temu metode Lagrangian & Eulerian
Hukum Newton kedua pada satu partikel fluida adalah:
F partikel=mpartikel apartikel
dengan:
a partikel=dv partikel
dtNamun, vpartikel di satu titik pada waktu t kapanpun = vfluida
v partikel=v ( x partikel ( t ) , y partikel (t ) , z partikel (t ) ,t )Turunan waktu diperoleh dengan aturan berantai
dv partikel=∂ v∂ x
dx partikel+∂ v∂ y
dy partikel+∂ v∂ z
dz partikel +∂ v∂ t
dt
a=dv partikel
dt=∂ v∂ x
dx partikel
dt+ ∂ v∂ y
dy partikel
dt+ ∂ v∂ z
dz partikel
dt+ ∂ v∂ t
dtdt
Kemudian, karena:
dx partikel
dt=vx ,
dy partikel
dt=v y ,
dz partikel
dt=v z
maka:
a partikel=∂ v∂ t
+v x∂ v∂ x
+v y∂ v∂ y
+vz∂ v∂ z
sehingga dalam notasi vektor, ungkapan percepatan ini bisa ditulis:
a ( x , y , z ,t )=dvdt
=∂ v∂ t
+( v⋅∇ ) v
77
Suku-suku di sebelah kanan tanda = berarti:
Suku pertama adalah percepatan lokal, yang nilainya = 0 untuk aliran steady.
Suku kedua adalah percepatan advektif yg memperhitungkan efek perpindahan partikel fluida ke lokasi baru dalam aliran di mana kecepatan berbeda.
Operator turunan total d/dt disebut turunan material dan sering diberi lambang khusus, D/Dt.
DDt
= ddt= ∂∂ t
+( v⋅∇ )
Operator ini merupakan sarana transformasi yang mempertemukan pendekatan Lagrangian dan Eulerian (Gambar 64). Nama lain untuk turunan material adalah: total, partikel, Lagrangian, Eulerian, dan substantial. Suku advektif (v) bersifat nonlinier sehingga persamaan diferensial aliran sulit untuk diselesaikan. Inilah yang menjadi sumber dari beragam fenomena aliran yang sangat menantang.
Gambar 64. Operator diferensial total mempertemukan metode Lagrangian dan Eulerian
Rekapitulasi Hasil diskusi tentang berbagai cara pandang terhadap penggambaran gerak fluida bisa dirangkum dalam satu gambar seperti diperlihatkan pada Gambar 65. Penggambaran CV untuk analisis integral bisa diubah menjadi penggambaran diferensial dengan menciutkan CV menjadi titik.
78
Gambar 65. Rangkuman berbagai cara pandang pergerakan fluida
B. Kinematika FluidaDeskripsi kinematik
Elemen fluida bisa mengalami 4 macam gerak:
1) Translasi
2) Rotasi
3) Peregangan linier
4) Peregangan geser
Lihat pula Gambar 66. Karena fluida terus bergerak, gerakan & deformasi paling baik digambarkan dalam laju:
1) Kecepatan: laju translasi
2) Kecepatan angular: laju rotasi
3) Laju regang linier
4) Laju regang geserLaju Translasi
Vektor laju translasi digambarkan sebagai vektor kecepatan.
Dalam koordinat Cartesian:
v=v x .i+v y . j+v z .k
Dengan i, j dan k adalah komponen vektor satuan arah x, y dan z berturut-turut.
79
Gambar 66. Ragam gerak yang bisa dialami oleh elemen fluida
Gambar 67. Deskripsi gerak rotasi elemen fluida
Laju rotasi Laju rotasi di satu titik didefinisikan sebagai laju rotasi rerata dari dua garis yang semula saling tegak lurus dan berpotongan di titik itu (Gambar 67). Mengacu pada gambar tersebut, komponen arah z vektor laju rotasi pada bidang xy dalam koordinat Cartesian bisa dirumuskan sebagai berikut:
80
ωz=12
d ( α+β )dt
¿ 12 lim
Δt→0[arctan
(v y|x+Δx−v y|x ) ΔtΔx
Δt+
arctan−(v x|y+Δy−v x|y ) ΔtΔy
Δt ]¿ 1
2 (∂ v y
∂ x−∂ v x
∂ y )Komponen arah x dan y vektor laju rotasi pada bidang yz dan zx dalam koordinat Cartesian bisa ditentukan dengan cara serupa, sehingga hasil selengkapnya adalah:
ω=ωx . i+ω y . j+ωz . k
ωx=12 (∂ vz
∂ y−∂v y
∂ z )ω y=
12 (∂ vx
∂ z−∂ v z
∂ x )ωz=
12 (∂ v y
∂ x−∂ v x
∂ y )atau, dalam notasi vektor:
ω=12 curl ( v )
¿ 12 ∇×v
¿ 12 [ i j k
∂∂ x
∂∂ y
∂∂ z
v x v y vz]
Vortisitas Curl (v) disebut sebagai vortisitas z, suatu ukuran rotasi partikel fluida & besarnya = 2 kali kecepatan angular partikel fluida.
Ungkapan vortisitas dalam sistem koordinat cartesian adalah:
ζ=curl ( v )=∇×v
=[ i j k∂∂ x
∂∂ y
∂∂ z
v x v y v z]
dan dalam sistem koordinat silindrik adalah:
81
ζ=curl ( v )=∇×v
=[er eθ ez∂∂ r
∂r ∂θ
∂∂ z
vr vθ vz]
Di daerah dengan vortisitas z = 0, aliran disebut irrotasional di tempat lain, alirannya rotasional.
Fenomena aliran rotasional dan irrotasional mudah diamati efeknya pada dedaunan atau sampah lain yang terbawa aliran sungai. Di dekat pinggir sungai, dedaunan hanyut sambil berputar, sedangkan di daerah tengah tidak berputar. Ini menunjukkan bahwa aliran di daerah pinggir sungai bersifat rotasional, sedangkan di tengah aliran irrotasional (vortisitas nol). Lihat Gambar 68.
Gambar 68. Aliran rotasional di dekat dinding, dan irrotasional di jauh dinding
Gambar 69. Deskripsi peregangan linier elemen fluida
Laju regang linier
Laju Regang Linier didefinisikan sebagai laju pertambahan panjang per satuan panjang. Lihat Gambar 69. Pada bidang xy
82
dalam koordinat Cartesian, laju regang arah x dan y bisa ditentukan sebagai berikut:
ε xx=dε x
dt= lim
Δt→0
(v x|x+Δx−v x|x ) ΔtΔxΔt
=∂ v x
∂ x
ε yy=dε y
dt = limΔt→0
(v y|y+Δy−v y|y ) ΔtΔyΔt =
∂ v y
∂ y
Dengan cara serupa bisa diperoleh laju regang arah z:
ε zz=dε z
dt= lim
Δt→0
(v z|z+Δz−vz|z ) ΔtΔzΔt
=∂ v z
∂ z
Jadi, dalam koordinat Cartesian:
ε xx=∂ v x
∂ xε yy=
∂ v y
∂ yε zz=
∂ vz
∂ zSelanjutnya, laju regang volumetrik dalam koordinat Cartesian bisa ditentukan sebagai berikut:
(dV /V )dt
= limΔt→0
1V t
(V t+Δt−V )tΔt
= limΔt→0
(V t +Δt
V t−1)
Δt
V t+Δt=(Δx+(v x|x+Δx−v x|x ) ΔtΔx )⋅(Δy+
(v y|y+Δy−v y|y ) ΔtΔy )⋅
(Δz+(vz|z+Δz−vz|z) ΔtΔx )
V t=ΔxΔyΔz
Hasilnya, laju regang volumetrik menjadi:
(dV /V )dt
=ε xx+ε yy+ε zz=∂ v x
∂ x+∂ v y
∂ y+∂ v z
∂ z¿∇⋅v
(dV /V )dt
= div ( v )=laju pengembangan volume
Dalam aliran inkompresibel, volume elemen fluida adalah tetap, sehingga laju regang volumetriknya adalah nol.
Laju geser 1-arah
Laju regang geser e di satu titik didefinisikan sebagai laju pengurangan sudut antara dua garis yang semula saling tegak lurus & berpotongan di titik itu (Gambar 70). Dalam koordinat Cartesian,
83
pada bidang xy:
ε xy=−dδdt
=− limΔt→0
δ (t+Δt )−δ (t )Δt
¿−limΔt→0
{π2 −arctan(v x|y+Δy−vx|y ) ΔtΔy }−π
2Δt
¿ limΔy→0
(v x|y+Δy−v x|y )Δy
ε xy=dvx
dy
Gambar 70. Deskripsi gerak geser 1-arah pada elemen fluida
Laju geser
2-arah
Laju regang geser e di satu titik ≡ laju rerata pengurangan sudut antara dua garis yang semula saling tegak lurus & berpotongan di titik itu (Gambar 71).
Dalam koordinat Cartesian, pada bidang xy, laju regang geser bisa ditentukan sebagai berikut:
ε xy=−12
dδdt
=− limΔt→0
δ (t+Δt )−δ ( t )Δt
¿−12 lim
Δt→ 0
{π2 −arctan(v y|x+ Δx−v y|x ) ΔtΔx
−arctan(vx|y+Δy−vx|y ) ΔtΔy }−π
2Δt
¿ 12 lim
Δx→0
(v y|x+Δx−v y|x )Δx
+ limΔy →0
(vx|y+Δy−vx|y )Δy
ε xy=12 (∂v y
∂ x+∂ v x
∂ y )Analisis laju regang geser bisa diperluas tidak hanya sebatas pada bidang xy tetapi juga pada bidang yz & zx. Apabila hal tersebut
84
dilakukan, maka hasil akhir keseluruhannya akan menjadi sebagai berikut:
ε xy=12 (∂v y
∂ x+∂ v x
∂ y )ε yz=
12 (∂v z
∂ y+∂ v y
∂ z )ε zx=
12 (∂ vx
∂ z+∂ vz
∂ x )
Gambar 71. Deskripsi gerak geser 2-arah pada elemen fluida
Laju regang dan tegangan geser
Ungkapan laju regang geser diperlukan untuk mengevaluasi tegangan geser fluida. Dalam koordinat Cartesian, Hubungan Tegangan & Laju regang geser adalah sbb:
τ xy=τ yx=μ .2 ε xy =μ (∂ v y
∂ x+∂ vx
∂ y )τ yz=τ zy=μ . 2 ε yz=μ(∂v z
∂ y+∂ v y
∂ z )τ zx=τ xz=μ . 2 ε zx=μ (∂ v x
∂ z+∂ vz
∂ x )Tensor laju regang (linier + geser)
Laju regang linier dan geser bisa digabung jadi satu tensor orde-2 simetrik yang disebut tensor laju-regang. Tensor ini penting untuk membuat hubungan tegangan & laju regang fluida
85
ε ij=[ε xx ε xy ε xz
ε yx ε yy ε yz
ε zx ε zy εzz]
¿ 12 [2
∂ v x
∂ x (∂ v y
∂ x+∂v x
∂ y ) (∂ vz
∂ x+∂ vx
∂ z )(∂ vx
∂ y+∂ v y
∂ x ) 2∂ v y
∂ y (∂ vz
∂ y+∂ v y
∂ z )(∂ vx
∂ z+∂ vz
∂ x ) (∂ v y
∂ z+∂v z
∂ y ) 2∂ v z
∂ z]
Untuk fluida Newtonian, hubungan tegangan permukaan & tensor laju regang adalah:
σ ij=μ .2 εij−δij (23 μ∇⋅v+ p)
¿ μ[2∂v x
∂ x (∂ v y
∂ x +∂ vx
∂ y ) (∂ v z
∂ x +∂ v x
∂ z )(∂ v x
∂ y+∂ v y
∂ x ) 2∂v y
∂ y (∂ v z
∂ y+∂ v y
∂ z )(∂ v x
∂ z+∂ v z
∂ x ) (∂ v y
∂ z+∂ vz
∂ y ) 2∂v z
∂ z]
−[23 μ∇⋅v+ p 0 0
0 23 μ∇⋅v+ p 0
0 0 23 μ ∇⋅v+ p ]
C. Visualisasi AliranRagam metode visualisasi
Sementara kajian kuantitatif dinamika fluida menuntut matematika lanjut, banyak yang bisa dipelajari dari visualisasi aliran. Visualisasi aliran penting baik dalam eksperimen fisik (Gambar 72) maupun dalam solusi numerik (CFD).
Ada banyak ragam metode visualisasi, yaitu:
1) Streamlines & streamtubes
2) Pathlines
3) Streaklines
4) Timelines
5) Teknik pembiasan
6) Teknik aliran permukaan
86
Gambar 72. Visualisasi aliran melalui sebuah bola
Streamline (garisarus)
Streamline adalah kurva yang di mana-mana menyinggung vektor kecepatan lokal sesaat. Garis busur
dr=dx . i+dy . j+dz . kpada streamline akan parallel dengan vektor kecepatan lokal
v=v x .i+v y . j+v z .k
Lihat Gambar 73.
Penalaran geometrik akan membawa keduanya pada satu persamaan untuk streamline berikut:
drv=dx
v x+ dy
v y+ dz
v z
Lihat contoh-contoh visualisasi aliran menggunakan streamline pada Gambar 74 dan Gambar 75.
Gambar 73. Kecepatan dan garis busur streamline
87
Gambar 74. Kontur tekanan dan streamline pada NASCAR
Gambar 75. Kontur tekanan, streamline, dan streamline permukaan pada pesawat terbang
Streamtube (Tabungarus)
Streamtube terdiri dari seikat streamlines (keduanya sama-sama besaran sesaat). Fluida dalam streamtube selalu ada di situ & tidak menembus batas tabungarus. Dalam aliran tak steady, pola streamline bisa berubah-ubah terhadap waktu, tetapi laju aliran massa melalui irisan tabungarus tetap sama.
Pathline (garisjejak)
Pathline adalah jejak aktual yang dilewati oleh partikel fluida individual sepanjang beberapa periode waktu. Lihat Gambar 76.
Seperti halnya vektor posisi material dari partikel fluida:
(x partikel ( t ) , y partikel ( t ) , z partikel ( t ))
88
lokasi partikel pada waktu t adalah:
x (t )=x (tawal )+tawal
t
vdt
Teknik eksperimen modern particle image velocimetry (PIV) menggunakan garisjejak partikel (penjejak) untuk mengukur medan kecepatan pada sebidang penuh dalam aliran ().
Gambar 76. Deskripsi pathline
Gambar 77. Pathline hasil teknik eksperimen particle image velocimetry (PIV)
Streakline (garisuntai)
Streakline adalah untaian lokasi partikel fluida yang telah melalui suatu titik dalam aliran secara berurutan. Streakline mudah dibuat dalam eksperimen dengan menggunakan zat warna (dye) dalam aliran air, atau asap dalam aliran udara. Lihat sampai .
89
Gambar 78. Deskripsi streakline
Gambar 79. Streakline hasil simulasi pesawat VTOL (Vertical Take-off and Landing)
90
Gambar 80. Streakline berupa vortex ujung sayap
Gambar 81. Streakline berupa vortex Karman di hilir pulau Guadalupe berketinggian 1,3 km (lokasi di lepas pantai Baja California AS)
Perbandingan streamline, pathline & streakline
Untuk aliran steady, streamlines, pathlines, dan streaklines identik.
Untuk aliran tak steady, ketiganya bisa sangat beda.
1) Streamlines adalah gambaran medan aliran sesaat.
2) Pathlines & Streaklines adalah pola aliran yang membawa
91
riwayat waktu.
a) Streakline: jejak aliran satu-waktu dari untaian-partikel.
b) Pathline: jejak aliran untaian-waktu dari satu-partikel.
Lihat Gambar 82 yang memperlihatkan ketiga macam visualisasi untuk medan aliran yang digambarkan oleh fungsi kecepatan berikut:
v ( x , y , t )=vx .i+v y . j¿ (0,5+0,8 x ) .i+(1,5+2,5sin (ωt )−0,8 y ). j
Timeline (gariswaktu)
Gariswaktu adalah sehimpunan partikel fluida berdekatan yang awalnya dilepas pada waktu bersamaan. Gariswaktu bisa dibangkitkan dengan menggunakan kawat gelembung hidrogen.
Gambar 82. Perbandingan streamline, pathline dan streakline
92
Gambar 83. Timelines yang dihasilkan oleh kawat gelembung hidrogen digunakan untuk memvisualisasikan bentuk profil kecepatan lapisan batas
(boundary layer).
D. Penyajian Data AliranPeta Aliran Data aliran adalah sajian data sifat aliran yang beragam menurut
ruang dan/atau waktu. Data ini bisa dipetakan dengan beberapa cara, yaitu:
Peta Profil yang menunjukkan bagaimana nilai sifat skalar bervariasi sepanjang arah yang diinginkan dalam medan aliran.
Peta Vektor berupa selarik panah yang menandai besar dan arah sesaat dari sifat vektor.
Peta Kontur yang memperlihatkan kurva-kurva sifat skalar bernilai tetap dari besarnya sifat vektor sesaat.
Lihat Gambar 84 sampai Gambar 86.
Gambar 84. Peta Profil kecepatan horizontal sebagai fungsi jarak vertikal dalam aliran lapisan batas sepanjang plat datar
93
Gambar 85. Peta vektor kecepatan
Gambar 86. Peta kontur tekanan
94
MODUL V. ANALISIS INTEGRAL ALIRAN
Deskripsi
Analisis aliran dapat, menurut cara pandangnya, bisa dilakukan pada cakupan atau resolusi yang kasar atau halus. Jika diibaratkan layar penampil, cakupannya bisa keseluruhan layar atau piksel demi piksel (dalam keseluruhan layar juga). Jika sasarannya mendapatkan nasib keseluruhan massa, momentum, dan/atau energi pada suatu CV (control volume), maka dilakukan analisis integral pada modul ini. Jika sasarannya mendapatkan distribusi sifat massa, momentum dan energi di dalam suatu CV, maka dilakukan analisis diferensial. Kedua pendekatan berbeda hanya dalam resolusi penyelesaian. Analisis integral melihat persoalan dari kacamata keseluruhan, sedangkan analisis diferensial melihat persoalan dari kacamata kerincian. Walaupun resolusinya tidak rinci, analisis integral sangat praktis digunakan dalam kegiatan keteknikan harian karena hanya membutuhkan peralatan hitung sederhana dan dapat dikerjakan dalam orde waktu ½ jam saja.
Sasaran belajar:
4. Menuliskan persamaan neraca massa dalam pendekatan CM dan CV dalam bentuk laju perubahannya terhadap waktu
5. Mendefinisikan CV yang memudahkan analisis6. Melakukan analisis integral pada kasus aliran yang sangat sederhana
A. Pendekatan AnalisisTiga Pendekatan Analisis
Kebanyakan masalah teknik bisa dianalisis menggunakan satu dari tiga pendekatan dasar: eksperimental, CV diferensial, dan CV integral. Kedudukan relatif ketiga pendekatan analisis itu adalah sbb:
Pendekatan CV Diferensial: masalah dirumuskan secara akurat sebagai besaran2 diferensial, dan solusi biasanya diperoleh dengan mengandalkan metode numerik.
Pendekatan Eksperimental: bersama2 dengan analisis dimensional memberikan hasil sangat akurat, walaupun makan waktu dan mahal.
Pendekatan CV Integral: masalah dirumuskan cukup akurat sebagai besaran2 integral, sangat cepat dan sederhana dan biasanya memberikan jawaban yang cukup akurat untuk kebanyakan tujuan teknik.
Modul ini membahas pendekatan CV Integral, atau sebut saja CV.Pemilihan CV
Suatu CV (control volume) bisa dipilih sebagai daerah dalam ruang yang dilalui aliran fluida. Suatu CV dan CS (control surface) pembatasnya bisa diam, bergerak, dan bahkan berubah bentuk
95
(berdeformasi) selama aliran berlangsung.
CV diam pas untuk analisis aliran yang melalui saluran diam semisal penyembur air pemadam api (Gambar 87).
CV bergerak pas untuk analisis aliran yang melalui benda bergerak semisal pesawat terbang (Gambar 88). Jika CV diambil diam, maka aliran di dalamnya akan menjadi unsteady selama dan beberapa waktu sesudah pesawat melewatinya. Dengan mengambil CV bergerak, aliran yang semula unsteady menjadi steady karena pola aliran setiap waktu menjadi sama.
CV berdeformasi adalah suatu keharusan dalam analisis aliran fluida seperti yang berlangsung di dalam ruang bakar mesin piston-silinder. Gerak terus-menerus piston menyebabkan volume di dalamnya berubah-ubah secara periodik. Gambar 89 hanya memperlihatkan keadaan CV sesaat, yang setiap saat berubah-ubah posisi secara periodik.
Gambar 87. Contoh CV diam
Gambar 88. Contoh CV bergerak
96
Gambar 89. Contoh CV berdeformasi
B. Neraca Integral MassaNeraca Integral Massa
Prinsip kekekalan massa adalah satu dari yang paling dasar di alam.
Massa, seperti energi, adalah sifat yang kekal, dan tak dapat diciptakan/dimusnahkan selama suatu proses. Namun, massa m dan energi E bisa saling diubah menurut rumus yang diusulkan Albert Einstein (1879–1955).
ΔE=Δmc2
Untuk sistem tertutup (CM), tersirat kekekalan massa karena massa sistem tetap selama suatu proses.
Untuk sistem terbuka (CV), massa bisa melewati batas sistem sehingga jumlah massa yang masuk atau keluar CV harus ditelusuri.
Neraca Massa dalam CM:
mCM=C
atau
dmdt
|CM=0
Menurut Dalil Transport Reynolds suku kiri:
dmdt
|CM=∂∂ t CV
ρ dV +CS
ρ (v⋅n ) dA
sehingga, Neraca Massa dalam CV menjadi:
97
∂∂ t CV
ρ dV +CS
ρ ( v⋅n ) dA=0
Suku pertama mewakili perubahan lokal massa dalam CV. Pada keadaan steady nilai suku ini sama dengan nol sehingga ungkapan menjadi:
∂∂ t CV
ρ dV⏟
=0
+CS
ρ (v⋅n ) dA=0
CS
ρ ( v⋅n ) dA=0
Suku kedua mewakili laju aliran massa netto keluar-masuk CV. Pada keadaan steady, laju aliran massa masuk dan keluar seimbang. Jika selain steady aliran juga inkompresibel maka ungkapan menjadi:
CS
( v⋅n ) dA=0
Penentuan permukaan CV
Operasi dot antara vektor kecepatan dan vektor normal paling mudah dievaluasi jika keduanya sejajar, baik searah (sudut 0o) atau berlawanan arah (sudut antara keduanya 180o).
Karena vektor normal tegak lurus dengan permukaan CV, maka permukaan CV (Control Surface) yang dilewati aliran fluida keluar-masuk CV paling enak dipilih tegak lurus arah aliran sehingga vektor kecepatan paralel dengan vektor satuan normal. Lihat Gambar 90. Dengan demikian, maka:
v⋅n=|v|.|n|cos (0 )⏟=1
=|v| pd bagian keluar.
v⋅n=|v|.|n|cos (180 )⏟=−1
=−|v| pd bagian masuk.
98
Gambar 90. Pemilihan batas CV memudahkan evaluasi aliran
Contoh Analisis
Gambar 91 melukiskan bejana yang mempertemukan dua aliran fluida menjadi satu. Untuk keperluan analisis, CV telah didefinisikan dengan batas-batas diam yang diperlihatkan sebagai garis putus-putus.
Perhatikan, untuk memudahkan analisis, permukaan CV di bagian keluar-masuknya fluida (posisi 1, 2 dan 3) telah dipilih tegak lurus dengan arah aliran. Pada keadaan steady neraca massa menjadi:
CS
ρ (v⋅n ) dA=0
CS
ρ (v⋅n ) dA|1+CS
ρ ( v⋅n ) dA|2+CS
ρ ( v⋅n ) dA|3=0
−ρ1 v1 A1−ρ2 v2 A2+ρ3 v3 A3=0−m1−m2+m3=0m3=m1+m2
Jika aliran juga inkompresibel, maka densitas tidak berubah atau tidak berbeda di posisi 1, 2 maupun 3, sehingga persamaan menjadi:
− v1 A1− v2 A2+ v3 A3=0−Q1−Q2+Q3=0Q3=Q1+Q2
dengan Q adalah debit aliran.
99
Gambar 91. Aliran melalui CV diam
Contoh Analisis
Gambar 92 memperlihatkan sebuah tangki silindrik terbuka (kontak dengan atmosfir) berdiameter 60cm dengan lubang keluaran berdiameter 2,5cm.
Berapa waktu yang diperlukan untuk menguras air dari tangki dengan gravitasi (g) jika tinggi air awalnya adalah 1m (Ho)?
Anggaplah kecepatan air keluar tangki bervariasi dengan ketinggian (h) menurut hubungan Torricelli sebagai akar kuadrat dari 2gh.
Gambar 92. Tangki terbuka berisi air
Pertama-tama CV didefinisikan terlebih dahulu. Untuk kasus ini paling enak CV didefinisikan berdeformasi mengikuti penurunan level air. Dengan demikian, tidak ada laju aliran massa masuk ke dalam CV, dan hanya ada laju aliran massa keluar dari CV.
100
Kedua, permukaan CV dipilih tegak lurus arah aliran sehingga evaluasi aliran keluar CV menjadi mudah.
Ketiga, menyusun neraca massa dalam CV dengan menggunakan persamaan neraca massa:
∂∂ t CV
ρ dV +CS
ρ ( v⋅n ) dA=0
Di sini, besarnya perubahan diferensial volume air dalam CV adalah dV=A.dh dan air keluar dengan kecepatan vout. Persamaan menjadi:
∂∂ t CV
ρ Adh+ ρvout cos (0 ) Aout=0
Densitas air, karena tetap, bisa dikeluarkan dari integral sehingga:
ρA dhdt
+ ρ√2 gh Aout=0
Integrasi persamaan dengan batas bawah t=0 dan h=Ho=1m dan batas atas t=t dan h=0 memberikan:
t=0
t
dt=−AAout √2 g
h=H 0
0
h−1
2 dh
t=−( D /d )2
√2 g2(0−√H
0)=−
(60cm /3 cm )2
√2×9,8 ms2
( 0−√1m )
=90 ,4 sJadi waktu yang dibutuhkan untuk pengurasan adalah 90,4 detik.
101
C. Neraca Integral Momentum LinierNeraca Momentum Linier
Hukum dasar fisika kedua yang penting untuk analisis aliran (gerak fluida) adalah hukum Newton kedua tentang gerak. Hukum ini bisa dinyatakan sbb:
Laju perubahan momentum suatu sistem sama dengan gaya netto yang bekerja pada sistem dan terjadi searah dengan gaya netto.
Pernyataan mengandung dua bagian penting, yaitu: pertama, hukum ini mengacu pada suatu sistem tertentu, dan kedua, hukum ini mencakup besar dan arah (besaran vektor). Oleh karena itu, untuk menggunakan hukum ini pada CV, yang mengandung partikel fluida beda (berarti sistem beda) sewaktu ditinjau pada waktu beda, ungkapan perlu diubah bentuknya. Transformasi ungkapan hukum dari untuk CM (sistem) ke untuk CV ini dilakukan dengan menggunakan Dalil Transport Reynolds.
Neraca Momentum dalam CM adalah:
d ( mv )dt
|CM=∑ F luar
Menurut Dalil Transport Reynolds, suku kiri:
d ( mv )dt
|CM=∂∂ t CV
ρ vdV +CS
ρv ( v⋅n ) dA
sehingga, Neraca Momentum dalam CV menjadi:
∂∂ t CV
ρ vdV +CS
ρv ( v⋅n ) dA=∑ F luar
Suku pertama mewakili laju perubahan lokal momentum di dalam CV. Pada keadaan steady, nilai suku ini sama dengan nol sehingga neraca menjadi:
∂∂ t CV
ρ vdV⏟
=0
+CS
ρv (v⋅n )dA=∑ F luar
CS
ρv (v⋅n ) dA=∑ Fluar
Suku kedua mewakili laju netto aliran momentum keluar-masuk batas-batas CV. Jika aliran selain steady juga inkompresibel, maka neraca menjadi:
ρCS
v (v⋅n ) dA=∑ Fluar
Komponen Cartesian
Dalam sistem koordinat Cartesian, neraca momentum bisa diurai menurut ketiga komponen arah x, y dan z berturut-turut sbb:
∂∂ t CV
ρv x dV +CS
ρvx ( v⋅n ) dA=∑ Fx
102
∂∂ t CV
ρv y dV+CS
ρv y (v⋅n ) dA=∑ F y
∂∂ t CV
ρv z dV +CS
ρv z (v⋅n ) dA=∑ Fz
Contoh Analisis
Gambar 93 memperlihatkan aliran fluida melalui streamtube. Jika aliran steady, maka streamtube bisa dibayangkan sebagai sebuah saluran tertutup seperti pipa, di mana tidak ada aliran yang menembus keluar-masuk streamtube.
Untuk memudahkan analisis, permukaan CV di bagian masuk & keluar dipilih tegak lurus arah aliran.
Pada kasus ini,∂∂ t CV
ρ vdV⏟
=0 , steady
+CS
ρv ( v⋅n ) dA=∑ F luar
Gaya luar yang bekerja pada fluida adalah gaya permukaan (akibat tekanan) dan gaya berat (akibat gravitasi), sehingga neraca menjadi:
CS
ρv ( v⋅n ) dA|in⏟−ρvin
2 Ain
+CS
ρv ( v⋅n ) dA|out⏟ρvout
2 A out
=( pin+ ρ gz in) Ain
−( pout+ρ gzout ) Aout
atau:
( pout+ρ gzout+ρvout2 ) Aout=( pin+ρ gzin+ ρvin
2 ) A in
Pada kasus ini, supaya evaluasi integral bisa mudah dilakukan, profil vin & vout telah dianggap seragam di CS in & out. Namun, sesungguhnya profil vin & vout pada penampang CS in & out tidaklah seragam, tetapi beragam (bervariasi).
103
Gambar 93. Aliran fluida steady dan inkompresibel dalam streamtube
Apabila profil kecepatannya tidak seragam, maka efek distribusi kecepatan perlu diperhitungkan dengan memperkenalkan sebuah faktor koreksi fluks momentum, b
( pout+ρ gzout+βρ { v¿¿ out2 ) Aout=( pin+ ρ gz in+βρ { v¿¿ in2) A in
β≡1v2 A
v2dA
Untuk aliran laminer dalam pipa berjari-jari R (profil v paraboloid):
v (r )=vmaks(1−r2
R2 )vmaks=2 v
sehingga:
β≡1v2 πR2
r=0
r=R
(2 v )2(1−r2
R2 )2
2 π rdr
¿−4 y=1
y=0
y2dy=−4 [ 13 y3 ]1
0
β=43
Untuk aliran laminer nilai b jauh dari 1. Untuk aliran turbulen nilai b biasanya mendekati 1 karena profil kecepatannya mendekati seragam.
104
Gambar 94. Dorongan gas hasil pembakaran pada roket
Contoh Analisis
Gambar 94 memperlihatkan roket yang bergerak akibat efek jet fluida, yaitu semburan gas hasil pembakaran.
Analisis pada jet fluida diperlukan untuk menentukan percepatan yang dihasilkan saat awal roket dihidupkan. CV didefinisikan sebagai bahan bakar sampai batas ujung nozel.
Untuk keperluan analisis, diambil tinjauan sesaat, yaitu waktu roket mulai dihidupkan. Dengan demikian, CV bisa dipandang sesaat diam. Tidak ada aliran fluida masuk ke CV dan hanya ada yang keluar dari CV berupa gas hasil pembakaran.
Neraca massa:∂∂ t CV
ρ dV +CS
ρ ( v⋅n ) dA=0
∂m∂ t
+ ( ρ v A )out=0
∂mCV
∂ t=−( ρ v A )out=mout
Jadi, laju aliran massa keluar dari CV sama dengan laju pengurangan massa CV (berarti massa bahan bakar).
Neraca momentum:
105
∂∂ t CV
ρ vdV +CS
ρv ( v⋅n ) dA=∑ F luar
¿Fbadan+F permukaan
Gaya luar yang bekerja pada CV adalah:
Gaya badan (berat bahan bakar + gas hasil pembakaran), sebut saja Fb, dan
Gaya permukaan (akibat tekanan & geseran oleh dinding roket yang kontak dengan bahan bakar kepada CV), sebut saja Fp.
Sebagai pendekatan, anggaplah gaya permukaan bisa diabaikan terhadap gaya badan sehingga neraca momentum menjadi:
∂∂ t
(mv )+CS
ρv (v⋅n ) dA|out=0
∂∂ t
(mv )−ρ vout2 Aout=−Fb+F p
F p=Fb+∂∂ t
(mv )−ρ vout2 Aout
Ungkapan ini bisa disederhanakan dengan 2 pertimbangan berikut. Besarnya Fb (berat bahan bakar) biasanya lebih kecil daripada gaya semburan jet dan di sini dianggap bisa diabaikan. Laju lokal perubahan momentum dalam CV pada saat yang ditinjau (CV diam/belum bergerak) bisa diabaikan. Dengan demikian maka gaya yang bekerja pada CV adalah:
F p≃−ρ vout2 Aout
Akibat gaya aksi (ke bawah) ini, CV memberikan gaya reaksi yang sama besar tetapi berlawanan arah (ke atas) kepada roket. Gaya reaksi inilah yang mendorong dan melontarkan roket ke atas.
F reaksi=−Faksi
Fdorong=−F p= ρvout2 Aout=mout vout
Perhatikan, dari neraca massa didapat bahwa laju aliran keluar sama dengan laju pengurangan bahan bakar. Jadi, gaya dorong roket sama dengan hasil kali dari:
laju pembakaran massa bahan bakar, dan
kecepatan gas hasil pembakaran keluar dari nozel.
106
Gambar 95. Sudu turbin air Pelton
Contoh Analisis
Salah satu perangkat teknik untuk mengubah energi aliran air menjadi energi putar poros adalah turbin Pelton. Turbin ini berputar akibat semburan air yang diarahkan pada bagian lekuk sudu-sudunya (Gambar 95) yang dipasang radial di sekitar porosnya. Struktur lengkapnya diperlihatkan pada Gambar 96.
Semburan air dari nozel menumbuk sudu-sudu turbin. Turbin berputar dengan kecepatan . Dari analisis akan dicari ungkapan torsi & daya yang dihasilkan turbin. Aliran yang terjadi pada turbin diperlihatkan pada Gambar 97.
Anggapan analisis: (1) aliran tetap/steady, (2) gerak putar sudu turbin bisa didekati dengan gerak linier, shg di sini dipakai neraca momentum linier, dan (3) aliran terbagi dua simetris oleh sudu.
107
Gambar 96. Struktur lengkap turbin Pelton
Gambar 97. Skema aliran fluida pada turbin Pelton
Neraca Massa & Momentum
Neraca Massa:
∂∂ t ρ dV + ρ (v⋅n ) dA=0
Suku perubahan massa CV = nol karena aliran tetap (steady):
∂∂ t ρd ∀=0
108
Suku aliran massa melintas CV:
ρ ( v⋅n ) dA= ρ (v⋅n ) dA0+ ρ (v⋅n ) dA1+ ρ (v⋅n )dA 2¿−ρv0 A0+ρv1 A1+ρv2 A2
¿ ρ (−Q0+Q1+Q2)Dari neraca massa diperoleh: Q0 = Q1 + Q2 dengan Q0 = V0A0.
Neraca Momentum arah-x:∂∂ t ρvx dV⏟
=0 , steady
+ ρvx (v⋅n ) dA=∑ Fx
Suku laju perubahan momentum lokal dalam CV = nol, karena aliran tetap (steady). Suku laju aliran momentum melintas CV adalah:
ρvx (v⋅n )dA= ρvx (v⋅n ) dA0+ ρvx ( v⋅n ) dA1+ ρv x ( v⋅n ) dA2
¿ ρv0 (−v0 ) A+ρ [−(v0−rω ) .cos (θ )+rω ] (v1 ) A1
+ ρ [−(v0−rω) . cos (θ )+rω ] (v2) A2
¿−ρv0Q0−ρ [ (v0−rω ) .cos (θ )+rω ] (Q1+Q2 )¿−ρQ0 [ v0+(v0−rω ) . cos (θ )−rω]¿−ρQ0 (v0−rω ) (1+cos (θ ) )
Dari sini diperoleh:
Fx=−ρQ0 (v0−rω ) (1+cos (θ ) )
Neraca Momentum arah-y:∂∂ t ρv y dV⏟
=0 , steady
+ ρv y (v⋅n )dA=∑ F y
Suku laju perubahan momentum lokal dalam CV = nol, karena aliran tetap (steady). Suku laju aliran momentum melintas CV adalah:
ρV y (V⋅n ) dA= ρv y ( v⋅n ) dA0+ ρv y (v⋅n )dA1+ ρv y (v⋅n )dA 2
¿ ρ0 (−v0 ) A+ρ [(v0−rω) . sin (θ )+rω ] (v1) A1
+ ρ [−(v0−rω) . sin (θ )+rω ] (v2) A2
¿ ρ [(v0−rω ) . sin (θ )+rω ](Q1−Q2 )¿ 0Dari sini diperoleh:
F y=0
Dengan vektor posisi sudu & gaya:
109
r=i (0 )+ j (−r )+k (0 )
F=i F x+ j F y+k F z=i F x+ j (0 )+k (0 )
Momen fluida menjadi:
M z=r×F=r Fx=−rρQ0 (v0−rω ) (1+cos (θ ))
sehingga pada turbin:
Torsi turbin=−Momen fluida=−M z
Daya turbin=(Torsi turbin )⋅ω
D. Neraca Integral Momentum AngularUlasan Gerak Angular Benda Kaku
Benda kaku (rigid body) bisa mengalami 2 macam gerak, yaitu:
Translasi pusat massa.
Rotasi pada pusat massa.
Gerak translasi bisa digambarkan dengan besaran linier semisal:
Jarak linier l,
Kecepatan linier v, dan
Percepatan linier a.
dan bisa dianalisis menggunakan persamaan momentum linier.
Gerak rotasi bisa digambarkan dengan besaran angular semisal:
Jarak angular ,
Kecepatan angular , dan
Percepatan angular .
dan bisa dianalisis menggunakan persamaan momentum angular.
Hubungan besaran-besaran dalam gerak putar dan lurus bisa dicermati pada Gambar 98.
110
Gambar 98. Hubungan besaran gerak linier dan angular benda kaku
Kekuatan efek rotasi, disebut momen atau torsi. Besarnya momen ini sebanding dengan nilai gaya yang menyebabkan putaran dan jaraknya dari sumbu putar. Jarak tegak lurus dari sumbu rotasi ke garis aksi gaya disebut lengan momen.
Torsi dM yang bekerja pada titik massa dm sejarak tegak lurus r dari sumbu putar diungkapkan sebagai:
dM=r×dF=αr2 dmTorsi total M yang bekerja pada seluruh massa m menjadi:
M=dM=αr2 dm=Iα
Besaran I adalah momen inersia benda di sekitar sumbu rotasinya. Momen inersia adalah ukuran inersia benda terhadap rotasi.
Catatan: tidak seperti massa, inersia rotasional benda bergantung selain pada nilai juga pada distribusi massa benda terhadap sumbu rotasinya.
Momentum angular, atau momen momentum, dH dari titik massa dm yang berputar dengan kecepatan terhadap sumbu putarnya sejarak r adalah:
dH=r× (dm . v )=r2 ωdmVektor momentum angular total H dari benda kaku berputar adalah:
H= dH=r2 ωdm
Vektor kecepatan angular bisa dikeluarkan dari integral karena sama besar untuk semua titik massa benda kaku, sehingga:
111
H=(r2 dm ) ω=Iω
Dalam gerak linier, laju perubahan momentum linier d(mv)/dt adalah sama dengan gaya F. Analog dengan ini, maka laju perubahan momentum angular d(I)/dt atau dH/dt adalah sama dengan momen M, atau:
dHdt
=M
atau:
d (r×mv )dt
=r×F
Kesejajaran besaran linier dan angular diperlihatkan pada Gambar99.
Gambar 99. Kesejajaran besaran linier dan angular
Neraca Momentum Angular
Neraca Momen Momentum dalam CM adalah:
dHdt
|CM=∑M
d (r×mv )dt
|CM=∑ r×F luar
Menurut Dalil Transport Reynolds:
d (r×mv )dt
|CM= ∂∂ t CV
ρ (r×v ) dV +CS
ρ (r×v ) ( v⋅n ) dA
sehingga, Neraca Momen Momentum dalam CV adalah:
112
∂∂ t CV
ρ (r×v ) dV +CS
ρ (r×v ) (v⋅n )dA=∑ r×F luar
Untuk aliran steady, suku perubahan momen momentum lokal dalam CV sama dengan nol, sehingga persamaannya menjadi:
∂∂ t CV
ρ (r×v )dV⏟
=0
+CS
ρ (r×v ) ( v⋅n ) dA=∑ r×F luar
CS
ρ (r×v ) (v⋅n ) dA=∑ r×F luar
Jika selain steady aliran juga inkompresibel, maka densitas bisa dikeluarkan dari integral dan persamaannya menjadi:
ρCS
(r×v ) (v⋅n )dA=∑ r×F luar
Gambar 100. Potongan kompresor aliran radial (kiri) dan turbin aliran radial (kanan)
Contoh Analisis
Fluida masuk rumah turbin (volute) untuk menggerakkan sudu-sudu turbin sehingga berputar dg kecepatan . Daya putar turbin disalurkan ke kompresor melalui sumbu putar kopelnya (Gambar100).
Secara skematik, struktur turbin diperlihatkan pada Gambar 101 untuk acuan analisis. Dari analisis akan dicari ungkapan torsi & daya yang dihasilkan turbin.
Anggapan: (1) aliran tetap/steady, (2) laju gerak putar turbin tetap.
113
Gambar 101. Skema turbin aliran radial
Persamaan neraca massanya adalah:
∂∂ t ρ dV + ρ (v⋅n ) dA=0
Suku pertama pada persamaan neraca massa adalah nol karena aliran steady:
∂∂ t ρ dV=0
dan suku kedua bisa diuraikan sbb:
ρ ( v⋅n ) dA= ρ (v⋅n ) dA1+ ρ (v⋅n )dA2
¿ ρ (−vr 1) A1+ρ (vr 2 ) A2
¿ ρ (−vr 1)2 πr1h+ρ (vr2 )2πr2h
Jadi, dari neraca massa diperoleh hasil:
ρvr 1 2πr1=ρvr22 πr2m1=m2=m
Persamaan neraca momen momentumnya adalah:
∂∂ t ρ (r×v ) d∀+ ρ (r×v ) ( v⋅n ) dA=∑ (r×F )
Suku pertama sama dengan nol karena aliran steady. Evaluasi suku kedua memerlukan informasi vektor posisi, kecepatan dan normal sbb:
r1=r1 .er+0.eθ+0.ezr2=r2 .er+0 .eθ+0.e z
114
v1=vr 1. er+vθ 1 .eθ+0 .ezv2=vr 2 .er+vθ 2 .eθ+0 .ez
n1=−1 . er+0 . eθ+0 . ezn2=1 . er+0 . eθ+0 . ez
Suku kedua menjadi:
(r×v ) ρ (v⋅n ) dA= (r×v ) ρ ( v⋅n ) dA1+ (r×v ) ρ (v⋅n )dA 2
¿ 0. er+0 .eθ+ez [(r1vθ 1) ρ (−vr 1) A1 ]+0. er+0 . eθ+ez [ (r2 vθ2 ) ρ (vr 2) A2]¿−e z [(r1 vθ 1) ρvr 1 A1−(r2 vθ 2) ρvr 2 A2 ]¿−e z [(r1 vθ 1)m1−(r2 vθ 2 ) m2 ]¿−e z [(r1 vθ 1)−(r2 vθ2 )] m
Dari sini diperoleh, momen yang bekerja pada fluida adalah:
M z=−[(r1 vθ1 )−(r2 vθ 2) ] mMomen reaksi yang bekerja pada turbin, dengan demikian, menjadi:
T=−M z=[ (r1 vθ1 )−(r2 vθ 2 ) ] mNilai r1.v1 bisa ditentukan dari laju aliran & sudut sudu pengarah.
Evaluasi nilai r2.v2 memerlukan informasi kondisi aliran pada sudu. Nilai v2 bisa ditentukan dg analisis segitiga kecepatan (Gambar 102). Dari gambar tampak bahwa:
vθ 2=r2 ω−v2' .sin ( β )
Dari segitiga kecepatan dan neraca massa bisa ditentukan bahwa:
v2' =
vr 2
cos ( β )= m
2 πr2 ρh1
cos (β )
sehingga:
vθ 2=r2ω− m2 πr2 ρh
tan ( β )
Dengan demikian maka torsi turbin menjadi:
T=(r1 vθ 1−r2 [r2 ω−m . tan (β )2πr2 ρh ])m
dan daya turbin adalah:
P=ωT
115
Gambar 102. Komponen kecepatan pada sudu turbin
Contoh Analisis
Turbin Hero bekerja dengan prinsip yang sama dengan penciprat air taman (Gambar 103). Jika air dialirkan 20 liter per detik melalui empat nozel berdiameter 1 cm yang terletak 60 cm dari sumbu putar, tentukan daya poros turbin?
Anggapan: (1) aliran tetap/steady, (2) gerak putar turbin tetap.
Neraca Massa:∂∂ t ρd ∀⏟
0 , steady
+ ρ (v⋅n ) dA=0
Suku pertama nol karena aliran steady, sedangkan suku kedua adalah:
ρ ( v⋅n ) dA= ρ (v⋅n ) dAsumbu+4 ρ ( v⋅n ) dA jet¿−ρv z A|sumbu+4 ρvθ A|jet¿−ρQsumbu+ ρQ jet
116
Gambar 103. Prinsip kerja turbin Hero
Dari neraca massa diperoleh:
Q jet=14 Q sumbu=
14 20 liter
menit =5000 ccmenit
v jet=Q jet
A jet=
5000 ccmenit
π4
(1 cm )2=63 , 66 m
s
Neraca Momen Momentum:∂∂ t ρ (r×v ) d ∀⏟
=0 , steady
+ ρ (r×v ) (v⋅n ) dA=∑ (r×F )
Suku pertama nol karena aliran steady. Suku kedua memerlukan informasi vektor-vektor berikut:
r1=0 . er+0 . eθ+0 .ezr2=r2 . er+0 .eθ+0.e z
v1=0 . er+0. eθ+vz . ezv2=0 . er+vθ 2 .eθ+0 .e z
n1=0 . er+0 .eθ+−1 . ezn2=0 . er+1 .eθ+0 .ez
Suku kedua (laju netto aliran momen momentum) menjadi:
117
ρ (r×v ) (v⋅n ) dA= ρ (r×v ) ( v⋅n ) dA1+4 ρ (r×v ) ( v⋅n ) dA2
¿−4 ρr2 (vθ 2−ωr 2)vθ 2 A2 .ez
¿−4 ρr2 (vθ 2−ωr 2)Q jet .e z
¿−4 .1000 kgm3 0,6 m (63 ,66−ω . 0,6 ) m
s5000 cc
sm3
1000000 cc
=−12 (63 ,66−ω . 0,6 ) Nms
Dari neraca momen momentum akhirnya diperoleh torsi yang bekerja pada CV atau fluida adalah:
M z=−12 (63 , 66−ω . 0,6 ) Nms
Jadi torsi T dan daya turbin adalah:
T=−M z=12. (63 , 66−0,6 ω) NmDaya=ωT=ω . 12. (63 , 66−0,6 ω) W
Persamaan ini dilukiskan pada Gambar 104.
0
3
6
9
12
15
18
21
0 200 400 600 800 1000
Laju putar turbin (rpm)
Day
a ou
tput
(kW
)
0123456789
Hun
dred
s
Tors
i tur
bin
(Nm
)
Daya Torsi
Gambar 104. Daya output dan torsi turbin Hero sebagai fungsi laju putar turbin
Lokasi puncak daya bisa ditentukan dengan menolkan turunan daya terhadap laju putar:
118
ddω
Daya=0
ddω [ω⋅12 (63 , 66−0,6 ω) ]=0
12⋅(63 ,66−2⋅0,6 ω )=0atau:
ω=63 , 662⋅0,6
rads
rotasi2 π rad
60 smenit
=507 rpm
E. Neraca Integral EnergiNeraca Energi
Neraca Energi dalam CM adalah:
dEdt
|CM=Q+W
Menurut Dalil Transport Reynolds:
dEdt
|CM=∂∂ t CV
ρ edV+CS
ρe (v⋅n ) dA
sehingga Neraca Massa dalam CV menjadi:
∂∂ t CV
ρ edV +CS
ρe (v⋅n )dA=Q+W
Untuk aliran steady, suku laju perubahan lokal energi menjadi nol:∂∂ t CV
ρ edV⏟
=0
+CS
ρe ( v⋅n ) dA=Q+W
CS
ρv (v⋅n ) dA=Q+W
Untuk aliran steady sekaligus inkompresibel, persamaannya adalah:
ρCS
e ( v⋅n ) dA=Q+W
Bentuk-bentuk energi
Energi spesifik, e adalah energi E per satuan massa m yang dibawa oleh materi.
Ragam bentuk energi yang dibawa oleh massa materi antara lain:
1) Energi INTERNAL
a) Energi termal (terkait dengan gerak atom/molekul)
b) Energi tekanan (terkait dengan tekanan)
c) Energi kimia (terkait dengan reaksi kimia)
119
d) Energi nuklir (terkait dengan reaksi nuklir)
e) dll.
2) Energi POTENSIAL (efek medan gaya luar)
a) Energi potensial gravitasi
b) Energi potensial listrik
c) Energi potensial magnetik
3) Energi INERSIAL (kinetik)Aliran steady inkompresibel fluida ideal
Untuk aliran steady inkompresibel fluida ideal (tanpa gesekan) dalam pipa atau saluran tertutup tanpa melibatkan aliran kalor & kerja, neraca massanya adalah:
∂∂ t CV
ρ dV⏟
=0
+CS
ρ ( v⋅n ) dA=0
CS
ρ (v⋅n ) dA|in+CS
ρ (v⋅n ) dA|out=0
−ρ vA|in+ ρ vA|out=0ρv in A in=ρvout Aout
v in A in=vout Aout
Neraca energinya adalah:
∂∂ t CV
ρ edV⏟
=0
+CS
ρe ( v⋅n ) dA=Q+W⏟0
CS
ρe ( v⋅n ) dA|in+CS
ρe ( v⋅n ) dA|out=0
Densitas bisa dikeluarkan dari integral karena aliran inkompresibel. Jika profil kecepatan bisa dianggap seragam, maka persamaan menjadi:
ρ (u+pυ+ 12 v2+gz ) (−vA )|in+ρ (u+ pυ+ 1
2 v2+gz) (vA )|out=0
atau:
uin+ p in υ+ 12 vin
2 +gz in=uout+ pout υ+12 vout
2 +gzout
Suhu fluida di hulu dan hilir biasanya praktis sama, sehingga uin = uout dan persamaan akhirnya menjadi:
pin+12 ρvin
2 +ρ gz in=pout+12 ρvout
2 +ρ gzout
yang tidak lain adalah persamaan Bernoulli yang terkenal itu.Aliran steady inkompresibel fluida ideal
Untuk aliran steady inkompresibel fluida riil (dengan gesekan) dalam pipa atau saluran tertutup tanpa melibatkan aliran kalor,
120
neraca massanya adalah:
∂∂ t CV
ρ dV⏟
=0
+CS
ρ ( v⋅n ) dA=0
CS
ρ (v⋅n ) dA|in+CS
ρ (v⋅n ) dA|out=0
−ρ vA|in+ ρ vA|out=0ρv in A in=ρvout Aout
Neraca energinya adalah:
∂∂ t CV
ρ edV⏟
=0
+CS
ρe ( v⋅n ) dA=Q⏟0
−W gesekan
CS
ρe ( v⋅n ) dA|in+CS
ρe ( v⋅n ) dA|out=−W gesekan
Densitas bisa dikeluarkan dari integral karena aliran inkompresibel. Jika profil kecepatan bisa dianggap seragam, maka persamaan menjadi:
ρ (u+ pυ+12 v2+gz ) (−vA )|in
+ρ (u+ pυ+12 v2+gz ) ( vA )|out=−W gesekan
atau:
m (u+ pυ+ 12 v2+gz)|in+m (u+ pυ+ 1
2 v2+gz )|out=−W gesekan
atau:
uin+ p in υ+ 12 v in
2 +gzin=uout+ pout υ+12 vout
2 +gzout+W gesekan
mSuhu fluida di hulu dan hilir biasanya praktis sama, sehingga uin = uout dan persamaan akhirnya menjadi:
pin+12 ρvin
2 +ρ gz in=pout+12 ρvout
2 +ρ gzout+W gesekan
m υ
Suku (W gesekan /mυ ) pasti berdimensi sama dengan tekanan, sehingga bisa disebut sebagai tekanan gesekan. Namun, istilah yang lebih populer daripada tekanan gesekan adalah tekanan rugi gesekan (pressure friction loss) atau lebih singkatnya tekanan rugi (pressure loss).
Dengan demikian persamaan akhirnya menjadi:
pin+12 ρvin
2 +ρ gzin=pout+12 ρvout
2 +ρ gzout+ prugi
121
Persamaan ini disebut sebagai persamaan Bernoulli ubahan (modified Bernoulli equation).
Tekanan rugi Besarnya kerugian tekanan (prugi) secara umum tidak bisa ditentukan secara analitik, kecuali pada kasus aliran yang sangat sederhana, yaitu aliran laminer.
Oleh sebab itu, besarnya kerugian tekanan harus ditentukan secara eksperimen. Untungnya, perencanaan, pelaksanaan, pengolahan data eksperimen menjadi lebih mudah berkat bantuan metode analisis nondimensional.
Contoh Analisis
Tinjau kembali contoh pengurasan air dari tangki.
Dalam contoh tersebut kecepatan aliran keluar dianggap mengikuti hubungan Torricelli sebagai akar kuadrat dari 2gh.
Keberlakuan anggapan ini bisa dijelaskan secara teoritik dengan persamaan Bernoulli sebagai berikut.
p2+12 ρv2
2+ρ gz 2=p1+12 ρv1
2+ ρ gz1
Dari neraca massa, v1 A1=v2 A2 , kecepatan di posisi 1 bisa dinyatakan sebagai v1=( A2/ A1 )v2 , sehingga persamaan menjadi:
12 ρv2
2(1− A2
A1)⏟
¿ 1
=p1−p2⏟¿0
+ρg (z1−z2)⏟=h
Nilai A2/A1 bisa diabaikan terhadap 1, nilai p1 & p2 praktis sama dengan tekanan atmosfir patm sehingga selisih keduanya sama dengan nol, dan beda ketinggian z1 dan z2 adalah h. Dengan demikian, persamaan di atas bisa disusun untuk mendapatkan ungkapan kecepatan di posisi 2 sbb:
v2=√2 gh
122
123
MODUL VI. ANALISIS INTEGRAL ALIRAN
PADA CV DIFERENSIAL
Deskripsi
Analisis aliran, apakah integral atau diferensial, yang dipakai pada suatu persoalan dipilih berdasarkan pertimbangan sasaran yang ingin dicapai. Jika sasarannya mendapatkan neraca keseluruhan massa, momentum, dan/atau energi pada suatu CV (control volume), maka dilakukan analisis integral seperti yang diperkenalkan pada modul sebelum ini. Jika sasarannya mendapatkan distribusi sifat massa, momentum dan energi di dalam suatu CV, maka dilakukan analisis diferensial. Kedua pendekatan berbeda hanya dalam resolusi penyelesaian. Analisis integral melihat persoalan dari kacamata keseluruhan, sedangkan analisis diferensial melihat persoalan dari kacamata kerincian. Jika diibaratkan layar penampil, yang dipandang dalam analisis integral keseluruhan layar, sedangkan dalam analisis diferensial piksel demi piksel dalam keseluruhan layar. Jadi, manakala domain analisis integral diperkecil dari CV (layar) menjadi CV-diferensial (piksel), maka kedua pendekatan bertemu. Artinya, analisis integral pada CV-diferensial adalah sama dengan analisis diferensial, demikian pula hasilnya.
Sasaran belajar:
7. Membedakan analisis diferensial dari integral dalam hal kegunaan dan hasil analisis
8. Melakukan analisis integral pada CV diferensial pada kasus aliran yang sangat sederhana
A. CV diferensial silindrikDeskripsi persoalan
Aliran fluida dalam pipa dimungkinkan oleh adanya perbedaan tekanan (gradien tekanan) di hulu dan hilir pipa. Dalam persoalan ini akan ditentukan dua hal:
Agihan kecepatan radial.
Gradien tekanan.
Untuk ini diperlukan pendekatan diferensial dengan CV sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 105. Anggapan:
Aliran steady, berkembang penuh (fully developed), artinya profil kecepatan radial-angular sepanjang pipa adalah tetap.
Fluidanya Newtonian.
Fluida inkompresibel, = tetap.
Fluida mengalir ke arah aksial semata, atau v(x,r,) = tetap dan vr(x,r,) = tetap.
124
Gambar 105. CV diferensial silindrik aliran fluida dalam pipa bundar
Alat analisis Alat analisis:
Neraca Momentum (aliran arah-x saja)
∂∂ t CV
ρ vdV⏟=0 (aliran steady )
+CS
ρv (v⋅n )dA=∑ F luar
CS
ρvx (v⋅n )dA|in+CS
ρvx (v⋅n ) dA|out=∑ F x
Hubungan Konstitutif Fluida Newtonian
τ yx=μdvx
dyNeraca Momentum
Suku-suku dalam neraca momentum bisa diuraikan sebagai berikut:
Hasilnya:
125
p (2 πrΔr )|x−p (2 πrΔr )|x+Δx+τ rx (2 πrΔx )|r +Δr−τ rx (2 πrΔx )|r=0
Per satuan volume elemen 2rrx, persamaannya adalah:
−p . r|x+Δx−p .r|x
Δx+
τ rx .r|r+Δr−τ rx . r|rΔr
=0
Untuk CV yang diciutkan volumenya hingga batas titik (limit volume elemennya mendekati nol), persamaan menjadi:
−r (dPdx )+ d
dr ( τ rx .r )=0
atau:
d (τ rx .r )=( dPdx )rdr
Dalam persamaan ini,
tekanan hanya fungsi x saja, p = p(x), dan karena aliran dianggap berkembang-penuh maka gradien tekanan (dP/dx) = tetap.
tegangan geser hanya fungsi r saja, rx = rx(r).
Integral persamaan memberikan:
τ rx=r2 ( dP
dx )+C1
r
Syarat batas untuk persamaan ini adalah:
1) Tegangan geser minimum (= 0) di tengah-tengah pipa (r = 0).
2) Kecepatan aliran = nol di permukaan pipa (r = R).
Penerapan syarat batas pertama mensyaratkan C1 = 0 sehingga
τ rx=r2 ( dP
dx )Penerapan syarat batas kedua membutuhkan hubungan konstitutif sehingga tegangan geser bisa dinyatakan sebagai fungsi kecepatan:
μdvx
dr= r
2 ( dPdx )
Dengan penyelesaian umum:
vx=r2
4 μ ( dPdx )+C2
Penerapan syarat batas kedua mensyaratkan:
C2=− R2
4 μ ( dPdx )
126
sehingga:
vx (r )= r2
4 μ ( dPdx )− R2
4 μ ( dPdx )=− R2
4 μ ( dPdx )[1−( r
R )2]
Persamaan menunjukkan bahwa kecepatan aliran maksimum di pusat saluran (r = 0):
vmaks=− R2
4 μ ( dPdx )
sehingga persamaan akhirnya bisa ditulis sebagai:
vx (r )=vmaks[1−( rR )
2 ]Lihat Gambar 106. Dengan profil kecepatan paraboloid (putaran parabola) seperti ini, maka kecepatan reratanya bisa ditentukan sbb:
v=1A v x (r ) dA
¿1πR2
r=0
r=R
vmaks[1−(rR )2]2 π rdr
¿vmaks
R2 [r2−24
r3
R2 ]r=0
r=R
¿ 12 vmaks
Jadi:
v=12 vmaks=−
12
R2
4 μ ( dPdx )
127
Aliran laminer Air, pipa 1cm (jari2)
-1-0,75-0,5
-0,250
0,250,5
0,751
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Kecepatan (cm/s)
Posi
si ra
dial
(cm
)
dP/dx=1Pa/m, Re 500 dP/dx=4Pa/m, Re 2000
Gambar 106. Profil kecepatan aliran laminer dalam pipa
Persamaan Hagen-Poiseuille Dari ungkapan
v=12 vmaks=−
12
R2
4 μ ( dPdx ) bisa disusun persamaan
untuk mengevaluasi gradien tekanan:
−( dPdx )= 8 μ v
R2 =32 μ vD2
Inilah persamaan Hagen-Poiseuille yang terkenal itu.
Dengan persamaan ini, besarnya penurunan tekanan yang dialami oleh fluida yang mengalir laminer dalam pipa sepanjang L bisa dihitung sbb:
−ΔP= x=0
x=L32 μ v
D2 dx=32 μ vD2 L
Persamaan ini bisa disusun-ulang menjadi:
−ΔP=64ρ v D
μ
LD
12
ρ v2=64Re
LD
12
ρ v2=f LD
12
ρ v2
dengan faktor friksi laminer f=64
Re .
Faktor friksi lazim disajikan dalam bentuk diagram f sebagai fungsi Re sebagaimana disajikan pada Gambar 107. Diagram f selengkapnya untuk aliran laminer dan turbulen dikenal sebagai diagram Moody. Lihat pula Gambar 108 yang melukiska penurunana tekanan vs. kecepatan aliran.
128
0,001
0,01
0,1
1
1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08
Re
f=64
/Re
Gambar 107. Diagram faktor gesekan sebagai fungsi bilangan Reynolds
Pdrop Aliran Laminer Air - Pipa 2cm (dia.)
0
12
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5 6
Kecepatan aliran (cm/s)
Pa p
er 1
00m
pip
a
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
Fakt
or fr
iksi
Gambar 108. Penurunan tekanan dan faktor friksi sebagai fungsi kecepatan aliran
B. CV diferensial kubikDeskripsi persoalan
Aliran fluida pada bidang miring dimungkinkan oleh adanya gaya gravitasi. Dalam persoalan ini akan ditentukan Agihan kecepatan radial. Untuk mudahnya, sumbu x diambil sejajar dengan bidang miring.
Anggapan:
Aliran steady, berkembang penuh (fully developed), artinya profil kecepatan radial-angular sepanjang pipa adalah tetap.
129
Fluidanya fluida Newton.
Fluida incompressible, = tetap.
Fluida mengalir ke arah x semata, atau Vy(x,y,z) = tetap dan Vz(x,y,z) = tetap.
Gambar 109. CV diferensial kubik aliran fluida pada bidang miring
Alat analisis Alat analisis:
Neraca Momentum (aliran arah-x saja)
∂∂ t CV
ρ vdV⏟=0 (aliran steady )
+CS
ρv (v⋅n )dA=∑ F luar
CS
ρvx (v⋅n )dA|in+CS
ρvx (v⋅n ) dA|out=∑ F x
Hubungan Konstitutif Fluida Newtonian
τ yx=μdvx
dyNeraca momentum
Suku-suku dalam neraca momentum bisa diurai sebagai berikut:
130
Hasilnya:
τ yx . Δx|y+Δy−τ yx . Δx|y+ ρΔxΔy . g . sin (θ )=0Dibagi dg volume elemen xy:
τ yx|y+Δy−τ yx|y
Δy+ ρ . g .sin (θ )=0
Diciutkan volumenya hingga batas titik (limit volume elemennya mendekati nol):
ddy
τ yx+ρ . g . sin (θ )=0
Di sini, tegangan geser hanya fungsi y saja, yx = yx(y) sehingga hasil integrasinya adalah:
τ yx=− ρ . g .sin (θ ) . y+C1
Syarat batas untuk persamaan ini adalah:
1) Tegangan geser minimum (= 0) di permukaan bebas (y=L).
2) Kecepatan aliran = nol di dinding (y=0).
Penerapan syarat batas pertama memberikan:
0=−ρ .g . sin (θ ) . y+C1
C1= ρ . g. sin (θ ) . L
Penerapan syarat batas kedua membutuhkan hubungan konstitutif sehingga tegangan geser bisa dinyatakan sebagai fungsi kecepatan:
μdvx
dy= ρ . g. L sin (θ )[1− y
L ]dengan penyelesaian umum:
vx ( y )= ρ .g . Lsin (θ )μ [ y− y2
2 L ]+C2
Syarat batas kedua mensyaratkan C2 = 0, sehingga hasil akhirnya menjadi:
vx ( y )= ρ . g . L sin (θ )μ [ y− y2
2 L ]¿
ρ . g . L2sin (θ )μ [ y
L−1
2 ( yL )
2 ]Di permukaan (y/L=1), kecepatan aliran bernilai maksimum (vx,maks):
vx ,maks=12
ρ . g . L2sin (θ )μ
131
Dari sini persamaan kecepatan bisa juga ditulis:
vx ( y )=2 vmakx [ y
L− 1
2 ( yL )
2]Profil kecepatan menurut persamaan ini dilukiskan pada Gambar110.
Profil kecepatan pd bidang miring
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
Kecepatan aliran (m/s)
y (m
m)
10 20 30 derajat
Gambar 110. Profil aliran laminer pada bidang miring
132
MODUL VII. ANALISIS DIFERENSIAL ALIRAN
Deskripsi
Analisis aliran, apakah integral atau diferensial, yang dipakai pada suatu persoalan dipilih berdasarkan pertimbangan sasaran yang ingin dicapai. Jika sasarannya mendapatkan neraca keseluruhan massa, momentum, dan/atau energi pada suatu CV (control volume), maka dilakukan analisis integral seperti yang diperkenalkan pada modul sebelum ini. Jika sasarannya mendapatkan distribusi sifat massa, momentum dan energi di dalam suatu CV, maka dilakukan analisis diferensial. Informasi distribusi sifat aliran memberikan gambaran apakah pola aliran yang terjadi sesuai harapan untuk suatu kebutuhan atau tidak. Sifat ini membuat analisis diferensial sangat berguna dalam proses penciptaan dan perbaikan rancangan keteknikan. Namun, mengingat kerumitan sifat aliran geometri keteknikan, analisis diferensial membutuhkan sumber daya yang besar. Oleh karena itu, dalam praktiknya, analisis diferensial dilakukan secara numerik menggunakan perangkat lunak CFD.
Sasaran belajar:
9. Membedakan analisis diferensial dari integral dalam hal kegunaan dan hasil analisis
10. Menuliskan dan menjelaskan makna suku-suku dalam persamaan diferensial aliran massa, momentum dan energi
11. Melakukan analisis diferensial pada kasus aliran yang sangat sederhana
A. Analisis Diferensial vs. IntegralAnalisis Diferensial vs. Integral
Analisis integral berguna untuk menentukan efek keseluruhan dalam CV. Namun, analisis ini tidak bisa memberikan pengetahuan rinci tentang medan aliran dalam CV. Artinya, analisis integral tidak bisa memberikan pengetahuan tentang distribusi tekanan, kecepatan dan besaran aliran lainnya dalam CV. Lihat Gambar 111. Inilah pentingnya analisis diferensial seperti yang telah diperlihatkan pada modul sebelumnya.
133
Gambar 111. Analisis integral (kiri) vs. analisis diferensial (kanan)
Persamaan Diferensial
Persamaan atur aliran fluida dalam analisis diferensial berbentuk persamaan diferensial. PD aliran bisa diperoleh dengan tiga cara:
1) Menerapkan persamaan integral aliran pada CV diferensial – seperti telah diperagakan pada modul sebelumnya.
2) Menerapkan dalil divergensi (Gauss/Divergence Theorem) pada persamaan integral aliran.
3) Menerapkan operator material.
Cara pertama ditempuh dengan menggunakan dalil limit, yaitu dengan menciutkan CV menjadi sekecil-kecilnya sampai batas menjadi titik. Cara kedua ditempuh dengan menggunakan dalil divergensi:
V∇⋅G dV underbracealignl pengembangan G ¿⏟
dalam volume ¿
=A
G⋅n dA underbracealignl penambahan G netto ¿⏟lewat permukaan V ¿
¿ ¿
Dalil divergensi ini memungkinkan transformasi integral volume dari divergensi suatu vektor menjadi integral luasan yang menyapu seluruh permukaan CV, atau sebaliknya.
Cara ketiga ditempuh dengan menggunakan operator material:
DDt
= ∂∂ t
+(v⋅∇ )
Persamaan diferensial yang diperoleh pada prinsipnya bisa diselesaikan secara analitik atau numerik (dengan bantuan komputer). Namun, dalam praktiknya hanya sedikit persoalan yang bisa diselesaikan secara analitik. Oleh sebab itu, dan berkat berkat semakin ampuhnya perangkat komputer, maka penyelesaian secara numerik dengan CFD4 kini memainkan peranan penting dalam
134
analisis aliran fluida.
Garis besar langkah kerja analisis secara analitik dan numerik hampir sama. Ini bisa dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2. Langkah-langkah kerja analisis aliran secara analitik dan numerik
Langkah Dinamika Fluida Analitik
(Analytical Fluid Dynamics)
Dinamika Fluida Numerik
(Computational Fluid Dynamics)
1 Menyiapkan persoalan & geometri, mengidentifikasi semua dimensi dan parameter
2 Mendaftar semua anggapan, pendekatan, penyederhanaan, dan syarat-batas
3 Menyederhanakan PDE Membuat grid / diskritisasi PDE
4 Mengintegralkan persamaan Menyelesaikan sistem persamaan aljabar, termasuk syarat awal dan batas5 Menerapkan syarat awal & batas
untuk menyelesaikan konstanta integrasi.
6 Memeriksa & mengolah hasil Memeriksa & mengolah hasil
B. Neraca Diferensial MassaNeraca diferensial massa
Persamaan neraca diferensial massa biasa disebut persamaan kontinuitas. Berikut akan ditunjukkan penurunan persamaan kontinuitas ini dengan kedua cara secara bergantian.
Cara pertama. Penurunan persamaan kontinuitas pada CV diferensial diawali dengan mempertimbangkan neraca massa pada CV yang sangat kecil. Lihat Gambar 112.
Neraca massa integral pada CV ini adalah:
∂∂ t CV
ρ dV +CS
ρ ( v⋅n ) dA=0
4 CFD adalah kependekan dari Computational Fluid Dynamics. Istilah CFD kini biasa dipakai sebagai sebutan untuk program komputer untuk prediksi aliran fluida.
135
Gambar 112. Aliran massa pada CV diferensial
Dalam batas titik, V = x.y.z 0, neraca massa per satuan volume menjadi:
limΔV →0
1ΔV [∂∂ t CV
ρ dV +CS
ρ ( v⋅n ) dA ]=0
lim¿
Δx→0 ¿Δy→0 ¿
Δz→ 0 ¿¿ [∂ ρ∂ t
+(ρv x|x+ Δx−ρv x|x )
Δx+
(ρv y|y+Δy−ρv y|y )Δy
+( ρv z|z+ Δz−ρv z|z)
Δz ]=0 ¿¿
atau:
∂ ρ∂ t
+ ∂∂ x
ρvx+∂∂ y
ρv y+∂∂ z
ρv z⏟=div (ρv )=∇⋅ρv
=0
atau:
∂ ρ∂ t
+∇⋅ρv=0
Persamaan ini bisa juga disajikan dalam bentuk berbeda dengan menguraikan persamaan:
∂ ρ∂ t
+ ∂∂ x
ρvx+∂∂ y
ρv y+∂∂ z
ρv z=0
lalu mengumpulkan suku-suku uraiannya:
∂ ρ∂ t
underbracealignl laju perubahan ¿⏟densitas lokal ¿
+ vx∂ ρ∂ x
+v y∂ ρ∂ y
+v z∂ ρ∂ z⏟
laju perubahan densitas karena gerak fluida
⏟diferensial material atau total= dρ
dt=DρDt
+ρ(∂ vx
∂ x+∂ v y
∂ y+∂ v z
∂ z )underbracealignl=laju peregangan volume ¿⏟=div ( v )=∇⋅v ¿
¿=0 ¿
136
sehingga diperoleh:
DρDt
+ ρ∇⋅v=0
Cara kedua. Suku kedua dalam persamaan neraca massa integral pada CV
∂∂ t CV
ρ dV +CS
ρ ( v⋅n ) dA=0
adalah integral luasan vektor v. Berdasarkan dalil divergensi, integral luasan ini bisa diubah menjadi integral volume menggunakan identitas berikut:
V∇⋅GdV underbracealignl pengembangan G ¿⏟
dalam volume ¿
=A
G⋅ndA underbracealignl penambahan G netto ¿⏟lewat permukaan V ¿
¿¿
Dengan G = v, penerapan dalil ini pada persamaan neraca massa menghasilkan:
∂∂ t CV
ρ dV +CS
∇⋅( ρv )dV =0
atau:
CV
∂ ρ∂ t
dV +CV
∇⋅( ρv )dV =0
atau:
CV
(∂ ρ∂ t
+∇⋅( ρv ))dV =0
Integral ini berlaku untuk CV sembarang, berarti:
∂ ρ∂ t
+∇⋅( ρv )=0
137
Cara ketiga. Kedua cara pertama diturunkan dari persamaan neraca integral, dari ruang (CV) ke titik ruang (CV diferensial, Eulerian). Cara ketiga diturunkan dari titik massa (Lagrangian) ke titik ruang (Eulerian) menggunakan menggunakan operator diferensial material. Untuk titik massa m persamaan neraca massanya adalah:
DmDt
=0
Untuk titik ruang V, persamaan menjadi:
∂m∂ t
+ (v⋅∇ ) m=0
dengan m=V. Penyulihan m ke dalam persamaan ini menghasilkan:
∂ ( ρV )∂ t
+ (v⋅∇ ) ( ρV )=0
Penguraian persamaan ini memberikan:
V ∂ ρ∂ t
+ ρ ∂V∂ t
+ρ (v⋅∇ )V +V (v⋅∇ ) ρ=0
Pembagian dengan volume dan sedikit manipulasi menghasilkan:
∂ ρ∂ t
+ ρV [ ∂V
∂ t+(v⋅∇ )V ]⏟dV /dt
+ (v⋅∇ ) ρ=0
dengan suku kedua adalah diferensial material dari V. Dari uraian dalam modul tentang kinematika telah dijelaskan bahwa:
1V
dVdt
=(dV /V )
dt
138
adalah laju regang volumetrik yang besarnya sama dengan divergen kecepatan sehingga persamaan menjadi:
∂ ρ∂ t
+ρ (∇⋅v )+ (v⋅∇ ) ρ=0
Persamaan ini bisa dibawa ke dalam 2 bentuk, yaitu:
∂ ρ∂ t
+ρ (∇⋅v )+ (v⋅∇ ) ρ⏟∇⋅(ρv )
=0
∂ ρ∂ t
+∇⋅( ρv )=0
atau:
∂ ρ∂ t
+(v⋅∇ ) ρ⏟
DρDt
+ ρ (∇⋅v ) 0
DρDt
+ ρ∇⋅v=0
Pada keadaan steady, ρ (∇ . v )+ (v⋅∇ ) ρ=0 . Jika ρ (∇⋅v ) positif maka ( v⋅∇ ) ρ negatif dan sama besarnya, dan begitu pula sebaliknya. Jadi secara fisik bisa dibuat penafsiran berikut. Dengan
pemahaman bahwa (∇⋅v ) menggambarkan laju pengembangan volume, maka ( v⋅∇ ) mungkin bisa dipahami sebagai laju perpindahan volume.
Rekapitulasi Neraca Massa
Neraca massa Integral
∂∂ t CV
ρ dV +CS
ρ ( v⋅n ) dA=0
Neraca massa Diferensial
∂ ρ∂ t
+∇⋅( ρv )=0
DρDt
+ ρ∇⋅v=0
Secara umum, persamaan diferensial massa, biasa disebut persamaan kontinuitas, tidak bisa sendirian digunakan untuk menyelesaikan medan aliran. Akan tetapi, persamaan ini bisa digunakan untuk:
Mencari komponen kecepatan yang kurang.
Menentukan apakah medan kecepatan inkompresibel atau tidak.
Sistem Koordinat Silindrik
Dalam sistem koordinat silindrik, ungkapan neraca massa (persamaan kontinuitas) adalah sebagai berikut:
139
∂ ρ∂ t
+∇⋅( ρv )=0
∂ ρ∂ t
+(1r ∂∂ r
rer+1r∂∂θ
eθ+∂∂ z
ez)⋅ρ (vr er+vθ eθ+vz ez)=0
∂ ρ∂ t
+1r∂∂r ( rρvr )+
1r∂∂ θ (ρvθ)+∂∂ z (ρv z )=0
Bentuk khusus
Untuk aliran steady kompresibel, persamaan kontinuitas menjadi:
∂ ρ∂ t⏟=0
+∇⋅( ρv )=0
∇⋅( ρv )=0
atau:
∂∂ x ( ρvx )+∂∂ x ( ρv y )+∂∂ x ( ρvz )=0 . . . (cartesian )
1r∂∂r (rρvr)+
1r∂∂ θ (ρvθ )+∂∂ z (ρv z)=0 . .. ( silindrik )
Untuk aliran inkompresibel ( = tetap), persamaan kontinuitas menjadi:
DρDt⏟=0
+ρ∇⋅v=0
ρ ∇⋅v=0∇⋅v=0
atau:
∂∂ x (vx )+∂∂ x (v y )+∂∂ x (vz )=0 .. . (cartesian )
1r∂∂r (rvr )+
1r∂∂θ (vθ )+∂∂ z (vz )=0 .. . ( silindrik )
Contoh analisis
Dua dari 3 komponen kecepatan medan aliran 3-D steady inkompresibel diketahui:
vx = ax2 + by2 + cz2
vz = axz + byz2
dengan a, b, dan c konstan. Bagaimanakan ungkapan vy?
Untuk aliran steady inkompresibel berlaku:
DρDt
underbracealignl =0 , karena steady ¿⏟¿ inkompresibel ¿
+ρ ∇⋅v=0¿
Jadi:
140
∇⋅v=0∂ v x
∂ x+∂ v y
∂ y+∂ vz
∂ z=0
∂ v y
∂ y =−(∂ v x
∂ x +∂ v z
∂ z )atau:
∂ v y
∂ y=− (2 ax+ax+2 byz )
dan hasilnya adalah:
v y=−3 axy−by2 z+ f ( x , z )
Contoh analisis
Komponen tangensial dari kecepatan medan aliran 2-D inkompresibel berpusar adalah v = K/r dengan K konstan. Bagaimanakan ungkapan kecepatan radial vr?
Untuk aliran steady inkompresibel berlaku:∇⋅v=0
atau:
1r∂rv r
∂r+1
r∂ vθ
∂ θ+∂ vz
∂ z⏟=0 , 2 D
=0
∂ rvr
∂ r=−
∂ vθ
∂ θ=−∂
∂θ (Kr )
∂ rvr
∂ r=0
dan hasilnya:
rvr= f (θ , t )⏟C
vr=Cr
Jika C=0 (berarti vr=0) pola alirannya berbentuk vortex garis. Jika C0 (berarti vr0) pola alirannya berbentuk vortex spiral; jika positif arah spiral ke luar, dan sebaliknya ke dalam.
141
Gambar 113. Vortex garis dan spiral
Stream Function
Dalam matematika diferensial, untuk sebuah fungsi sinambung y(x,y) berlaku hubungan:
∂∂ x
∂ψ∂ y
= ∂∂ y
∂ψ∂ x
atau:
∂∂ x
∂ψ∂ y
− ∂∂ y
∂ψ∂ x
=0
Perbandingan ungkapan ini dengan persamaan kontinuitas 2D inkompresibel:
∂∂ x
vx+∂∂ y
v y=0
menunjukkan hubungan:
vx=∂ψ∂ y
dan v y=−∂ψ∂ x
Mengingat sepanjang streamline gradien garis singgungnya adalah:
dydx
=v y
v xatau v x dy−v y dx=0
(lihat Gambar 114), maka dari sini diperoleh hubungan:
∂ψ∂ y
dy+∂ψ∂ y
dx=0
dψ=0Ini berarti y = konstan sepanjang streamline, sehingga y disebut
142
stream function.
Gambar 114. Gradien garis singgung pada streamline
Makna Fisis Stream Function
Neraca massa untuk aliran steady inkompresibel adalah:
( v⋅n ) dA=dQ=0 atau dQ=(v⋅n ) dA
Mengacu Gambar 115, di mana fluida mengalir melalui elemen luas dA per satuan kedalaman (= ds), komponen vektor yang terlibat adalah:
v=v x i+v y j=∂ψ∂ y
i−∂ψ∂ x
j
n=nx i+ny j=cos (θ ) i+sin (θ ) j
sehingga:
dQ=(v⋅n ) dA
=∂ψ∂ y
cos (θ ) ds⏟dy
−∂ψ∂ x
sin (θ ) ds⏟−dx
¿∂ψ∂ y
dy+∂ψ∂ x
dx
Hasilnya,
dQ=dψ atau ΔQ=Δψ
Dengan kata lain, selisih nilai stream function y = debit aliran.
143
Gambar 115. Makna fisis stream function
Stream Function dalam Koordinat Silindrik
Dalam sistem koordinat silindrik, persamaan kontinuitas adalah:
1r
∂∂ r (rvr )+
1r
∂∂ θ (vθ )+ ∂
∂ z (vz )=0
Stream Function dalam bidang r :
vr=∂ψr ∂ θ dan
vθ=−∂ψ∂ r
Stream Function dalam bidang rz :
vr=1r∂ψ∂ z dan
vz=− 1r∂ψ∂r
Vortisitas Hubungan stream function dan kecepatan memungkinkan evaluasi vortisitas aliran. Dengan:
vx=∂ψ∂ y
dan v y=−∂ψ∂ x
maka vortisitas aliran menjadi:
ξ=2 ωz=∂ v y
∂ x−∂ v x
∂ y=−(∂2ψ
∂ x+ ∂2 ψ∂ y )
Untuk aliran irrotasional, misalnya pada aliran invisid fluida ideal (=0), vortisitas z =0, sehingga:
∂2ψ∂ x2 +∂
2 ψ∂ y2 =0
∇2ψ=0Jadi, y mengikuti persamaan Laplace.
Contoh analisis
Tinjaulah vortex garis pada aliran inkompresibel, planar, steady. Komponen kecepatan alirannya adalah:
144
ur = 0
u = K/r
dengan K konstan. Bagaimanakah ungkapan stream function y (r, )?
Penyelesaian:
vθ=−∂ψ∂r
=Kr
ψ=−K ln (r )+ f (θ )dan:
vr=1r∂ψ∂θ
=0
1r
f ' (θ )=0
f (θ )=Csehingga:
ψ=−K ln (r )+C
r=e−(ψ−C
K )Grafik dari kedua fungsi ini dilukiskan dalam Gambar 116.
r untuk beragam stream function (C=0, K=2)
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
x
y
0 1 2 3 4 Stream Function
145
Gambar 116. Streamline vortex garis dan stream function
Contoh analisis
Tinjaulah vortex garis spiral pada aliran inkompresibel, planar, steady. Komponen kecepatan alirannya adalah:
ur = C/r
u = K/r
dengan C dan K konstan. Tentukan ungkapan stream function y (r, ).
Penyelesaian:
vθ=−∂ψ∂r
=Kr
ψ=−K ln (r )+ f (θ )dan:
vr=1r∂ψ∂θ
=Cr
f ' (θ )=Cf (θ )=Cθ
sehingga:
ψ=−K ln (r )+Cθ
r=e−(ψ−Cθ
K )Grafik dari kedua fungsi ini dilukiskan dalam Gambar 117.
146
r untuk stream function = 0, 1 & 2 (C=1, K=11)
-30
-20
-10
0
10
20
30
-30 -20 -10 0 10 20 30
x
y
0 1 2 v-tangensial
Gambar 117. Streamline vortex garis spiral
Fungsi Potensial Kecepatan
Kurva y konstan adalah streamline dari aliran.
Dalam pokok bahasan statika fluida diperoleh pengetahuan bahwa garis isobar (tekanan konstan) tegak lurus dengan gradien tekanan yang sejajar dengan potensial gravitasi.
Analog dengan ini, menarik untuk diketahui suatu fungsi yang tegak lurus dengan streamline. Karena streamline menggambarkan kecepatan, maka sebutlah fungsi yang tegak lurus dengannya sebagai fungsi potensial kecepatan, f.
Pada y konstan,
dydx
|ψ=C=v y
v x
Menurut geometri, garis y = C tegak lurus dengan f = C jika:
dydx
|φ=C⋅dydx
|ψ=C=−1
atau:
dydx
|φ=C=− 1(dy /dx )|ψ=C
=− 1v y /v x
=−vx
v y
147
Jadi, pd f konstan:
(dy /dx )|φ=C=−v x
v yvx dx+v y dy=0
dan
dφ=∂φ∂ x⏟=v x
dx+ ∂φ∂ y⏟=v y
dy=0
Dengan demikian, maka vektor kecepatan bisa dituliskan sebagai:
v=v x .i+v y . j=∂φ∂ x
. i+∂φ∂ y
. j
v=∇ φSelanjutnya, dari neraca massa diperoleh:
∇⋅v=0∇⋅∇ φ=0∇2φ=0
Rekapitulasi Satu fungsi arus y menggantikan dua variabel kecepatan vx dan vy. Sekali y diketahui, maka vx dan vy bisa dihitung.
Potensial kecepatan f tegak lurus dengan y. Potensial kecepatan berlaku dalam 2D dan 3D, sedangkan stream function hanya ada dalam 2D.
Kepentingan fisik:
Kurva y konstan adalah streamline dari aliran.
Selisih y antar streamline sama dengan laju aliran antara streamline.
Nilai y meningkat ke kiri arah aliran dalam bidang xy, “konvensi sisi-kiri.”
C. Neraca Diferensial Momentum
Persamaan neraca diferensial massa biasa disebut persamaan Navier-Stokes (N-S). Berikut akan ditunjukkan penurunan persamaan N-S ini dengan kedua cara secara bergantian.
Cara pertama. Penurunan persamaan N-S pada CV diferensial diawali dengan mempertimbangkan neraca massa pada CV yang sangat kecil.
Neraca integral momentum pada CV adalah:
148
∂∂ t ρ vd∀+ ρv (v⋅n ) dA=∑ F
Dalam batas titik, V = x.y.z 0, neracanya adalah:
limΔV →0
(∂/∂ t ) ρ vd ∀ΔV⏟
suku−3
+ limΔV →0
ρv (v⋅n )dAΔV⏟
suku−2
= limΔV →0
∑ FΔV⏟
suku−1
Suku pertama melibatkan gaya-gaya eksternal yang bekerja pada CV, yaitu gaya badan karena gravitasi dan gaya permukaan. Gaya permukaan per satuan luas (tegangan) normal dan geser dilukiskan pada Gambar 118 sampai Gambar 120.
Mengacu pada gambar-gambar tersebut maka suku pertama menjadi:
limΔV →0
∑ F x
ΔxΔyΔz= lim
ΔV →0(Fbadan+F permukaan
ΔV )lim
ΔV →0 (ρgx+σ xx|x+Δx−σ xx|xΔx
+τ yx|y+Δy−τ yx|y
Δy+
τ zx|z+Δz−τ zx|zΔz )
¿ ρgx+∂ σ xx
∂ x +∂ τ yx
∂ y +∂ τ zx
∂ z
limΔV →0
∑ F y
ΔxΔyΔz= lim
ΔV →0(ρg y+
τ xy|x+Δx−τ xy|xΔx
+σ yy|y+Δy−σ yy|y
Δy+
τ zy|z+Δz−τ zy|zΔz )
¿ ρg y+∂ τxy
∂ x+∂σ yy
∂ y+∂ τ zy
∂ z
limΔV →0
∑ F z
ΔxΔyΔz= lim
ΔV →0(ρg z+
τ xz|x+Δx−τ xz|xΔx
+τ yz|y+Δy−τ yz|y
Δy+
σzz|z+Δz−σ zz|zΔz )
¿ ρg z+∂ τ xz
∂ x+∂τ yz
∂ y+∂ σ zz
∂ z
149
Gambar 118. Tegangan normal dan geser yang bekerja pada permukaan yang tegak lurus bidang x-y
Gambar 119. Tegangan normal dan geser yang bekerja pada permukaan yang tegak lurus bidang x-z
150
Gambar 120. Tegangan normal dan geser yang bekerja pada permukaan yang tegak lurus bidang y-z
Hasilnya adalah:
limΔV →0
∑ FΔxΔyΔz
=ρg+∇⋅σ ij
dengan:
σ ij=tensor tegangan
∇⋅σ ij=(∂∂ xi+∂
∂ yj+∂∂ z
k)⋅[σ xx τ yx τ zx
τ xy σ yy τ zy
τ xz τ yz σ zz]
¿ [(∂σ xx /∂ x ) (∂ τ yx /∂ y ) (∂ τ zx/∂ z)(∂τ xy /∂ x ) (∂ σ yy /∂ y ) (∂ τ zy/∂ z)(∂τ xz /∂ x ) (∂ τ yz /∂ y ) (∂ τ zy/∂ z) ]
Suku kedua (fluks momentum netto) adalah:
151
limΔV →0
ρv (v⋅n ) dAΔxΔyΔz
= limΔx→0
( ρ vvx )|x+ Δx−(ρ vvx )|xΔx
+ limΔy→0
( ρ vv y )|y+Δy−(ρ vv y )|y
Δy
+ limΔz→0
(ρ vvz )|z+Δz−(ρ vv z )|zΔz
¿∂ ρ vv x
∂ x+∂ ρ vv y
∂ y+∂ ρ vvz
∂ z
¿ v (∂ ρv x
∂ x+∂ ρv y
∂ y+∂ ρv z
∂ z )⏟=∇⋅(ρv )=−∂ ρ
∂ t(dari neraca massa )
+ρ (v x∂ v∂ x
+v y∂ v∂ y
+v z∂ v∂ z )
¿−v ∂ ρ∂ t
+ρ(vx∂ v∂ x
+v y∂ v∂ y
+vz∂ v∂ z )
Suku ketiga (laju perubahan momentum lokal) adalah:
limΔV →0
(∂/∂ t ) ρ vd ∀ΔxΔyΔz
= limΔ∀→0
(∂/∂ t ) ( ρvΔxΔyΔz )ΔxΔyΔz
¿ limΔ∀→0
∂∂ t
( ρv )
¿ ρ∂ v∂ t
+v ∂ ρ∂ t
Gabungan ketiga suku dalam persamaan utuh menjadi:
ρ∂ v∂ t
+v∂ ρ∂ t
−v∂ ρ∂ t⏟
=nol
+ρ(v x∂ v∂ x
+v y∂ v∂ y
+vz∂ v∂ z )=ρg+∇⋅σ ij
ρ(∂ v∂ t
+v x∂ v∂ x
+v y∂ v∂ y
+vz∂ v∂ z )⏟
=diferensial total / material=DvDt
=ρg+∇⋅σ ij
atau:
ρ DvDt
=ρg+∇⋅σ ij
Cara kedua. Suku kedua dalam persamaan neraca momentum integral pada CV
∂∂ t ρ vd ∀+ ρv (v⋅n ) dA=∑ F
adalah integral luasan vektor vv. Berdasarkan dalil divergensi, integral luasan ini bisa diubah menjadi integral volume menggunakan
152
identitas berikut:
V∇⋅GdV underbracealignl pengembangan G ¿⏟
dalam volume ¿
=A
G⋅ndA underbracealignl penambahan G netto ¿⏟lewat permukaan V ¿
¿¿
Dengan G = vv, penerapan dalil ini pada suku kedua menghasilkan:
A
ρ vv⋅ndA=V∇⋅ρ vvdV
sehingga persamaan neraca momentum menjadi:∂∂ t CV
ρ vdV +CS
ρv ( v⋅n ) dA=CV
ρ gdV +CV
(σ ij⋅n )dA
CV
(∂ ρ∂ t
+∇⋅( ρ vv ))dV=CV
(ρg+∇⋅σ ij ) dV
Karena integral ini berlaku untuk CV sembarang, maka integran di kiri sama dengan di kanan:
∂ ρ∂ t
+∇⋅( ρ vv )=ρg+∇⋅σ ij
(Ungkapan ini dikenal juga sebagai persamaan Cauchy.) Persamaan ini bisa disusun ke dalam bentuk ungkapan sebagaiman diperoleh dari cara penurunan pertama sbb:
∂ ρv∂ t
+∇⋅( ρ vv )=ρg+∇⋅σ ij
ρ∂ v∂ t
+v∂ ρ∂ t
+v∇⋅( ρv )+ρ (v⋅∇ ) v=
ρ [∂ v∂ t
+ (v⋅∇ ) v ]⏟=ρ Dv
Dt
+v [∂ ρ∂ t
+∇⋅( ρv )]⏟=0 (neraca massa )
=
ρ DvDt
=ρg+∇⋅σ ij
Tensor tegangan & regangan
Tensor tegangan merupakan fungsi dari tensor regangan, seperti halnya tegangan geser fluida merupakan fungsi laju regang geser. Hubungan keduanya bisa dinyatakan sbb:
153
σ ij=−( p+23 μ ∇⋅v )δ ij+μ 2 εij
δ ij= fungsi delta
ε ij=tensor regangan=12 (∂ v j
∂ x i+∂ v i
∂ x j )x i , x j , xk=x , y , z (berturut−turut )
σ ij=−( p+23 ∇⋅v 0 0
0 p+23 ∇⋅v 0
0 0 p+23 ∇⋅v )+μ 2(εxx ε yx ε zx
εxy ε yy ε zy
εxz ε yz ε zz)
Penjelasan tambahan
Ungkapan tegangan normal di atas dirumuskan berdasarkan penalaran berikut ini. Analog dengan tegangan geser, tegangan normal dipandang berasal dari tekanan statik dan hubungan viskositas dengan peregangan linier dan volumetrik:
σ xx=−p+μ (2 ε xx+ λ∇⋅v)σ yy=− p+μ (2 ε yy+λ ∇⋅v )σ zz=−p+μ (2 εzz+λ∇⋅v )
Dengan l merupakan bawaan modulus curah fluida. Tegangan normal rata-ratanya adalah:
σ=13 (σ xx+σ yy+σ zz )
¿−p+μ (2+3 λ )∇⋅v
¿−p−μ (2+3 λ ) 1ρ
DρDt
Jika dianggap tekanan hanya bergantung pada densitas , dan tidak bergantung pada laju perubahan densitas D/Dt, maka (2+3l) haruslah bernilai nol, sehingga l=2/3. Oleh karena itulah maka ungkapan tegangan normal menjadi:
σ xx=−p+μ(2 ε xx−23 ∇⋅v )=−( p+2
3 ∇⋅v )+μ 2 ε xx
σ yy=−p+μ (2 ε yy−23 ∇⋅v )=−( p+2
3 ∇⋅v )+μ2 ε yy
σ zz=−p+μ (2 ε zz−23 ∇⋅v )=−(p+2
3 ∇⋅v )+μ2 ε zz
atau ringkasnya:
σ ii=−( p+ 23 ∇⋅v )+μ 2 ε ii
Persamaan N-s Fluida Newtonian
Untuk fluida Newtonian, divergen tegangannya adalah:
154
∇ . σ ij=[−∂ p∂ x
−23
∂∂ x
μ ∇⋅v+ ∂∂ x
μ∂ vx
∂ x+ ∂∂ y
μ∂ v y
∂ x+ ∂∂ z
μ∂ v z
∂ x+ ∂∂ x
μ∂v x
∂ x+ ∂∂ y
μ∂v x
∂ y+ ∂∂ z
μ∂ v x
∂ z
−∂ p∂ y
− 23
∂∂ y
μ ∇⋅v+ ∂∂ x
μ∂ v x
∂ y+ ∂∂ y
μ∂ v y
∂ y+ ∂∂ z
μ∂ vz
∂ y+ ∂∂ x
μ∂ v y
∂ x+ ∂∂ y
μ∂ v y
∂ y+ ∂∂ z
μ∂ v y
∂ z
−∂ p∂ z
− 23∂∂ z
μ ∇⋅v+ ∂∂ x
μ∂ v x
∂ z+ ∂∂ y
μ∂ v y
∂ z+ ∂∂ z
μ∂ vz
∂ z⏟∇⋅μ ∂v
∂ z
+ ∂∂ x
μ∂ vz
∂ x+ ∂∂ y
μ∂ v z
∂ y+ ∂∂ z
μ∂ v z
∂ z⏟∇⋅μ∇ v
z
]
atau:
∇ .σ ij=[−∂ p∂ x
−23
∂∂ x
μ∇⋅v+∇⋅μ ∂ v∂ x
+∇⋅μ∇ v x
−∂ p∂ y
− 23
∂∂ y
μ ∇⋅v+∇⋅μ ∂v∂ y
+∇⋅μ∇ v y
−∂ p∂ z
− 23∂∂ z
μ∇⋅v+∇⋅μ ∂ v∂ z
+∇⋅μ∇ vz]
Dengan demikian, persamaan N-S menjadi:
ρDv x
Dt=ρg x−
∂ p∂ x
−23∂∂ x
μ ∇⋅v+∇⋅μ∂ v∂ x
+∇⋅μ ∇ vx
ρDv y
Dt= ρgy−
∂ p∂ y
−23∂∂ y
μ ∇⋅v+∇⋅μ∂ v∂ y
+∇⋅μ∇ v y
ρDv z
Dt=ρg z−
∂ p∂ z
−23∂∂ z
μ ∇⋅v+∇⋅μ∂ v∂ z
+∇⋅μ ∇ v z
atau:
ρ DvDt
=ρg−∇ p− 23∇ (μ ∇⋅v )+∇⋅μ∇ v+(∇⋅μ ∇ ) v
Persamaan N-s Fluida Newtonian konstan
Untuk fluida Newtonian dengan viskositas konstan, divergen tegangannya adalah:
∇ .σ ij=[−∂ p∂ x −
23
∂∂ x μ∇⋅v+∇⋅μ ∂ v
∂ x +∇⋅μ∇ v x
−∂ p∂ y
− 23
∂∂ y
μ ∇⋅v+∇⋅μ ∂ v∂ y
+∇⋅μ∇ v y
−∂ p∂ z
− 23∂∂ z
μ ∇⋅v⏟μ ∂∂ z
∇⋅v
+∇⋅μ ∂ v∂ z⏟
μ ∂∂ z
∇⋅v
+∇⋅μ∇ vz⏟μ∇2 v z
]atau:
155
∇ . σ ij=[−∂ p∂ x
+μ ( 13
∂∂ x
∇⋅v+∇ 2 v x)−∂ p∂ y
+μ ( 13
∂∂ y
∇⋅v+∇2 v y)−∂ p
∂ z+μ( 1
3∂∂ x
∇⋅v+∇2 v z) ]Dengan demikian persamaan N-S menjadi:
ρDv x
Dt=ρg x−
∂ p∂ x
+μ(13∂∂ x
∇⋅v+∇2 vx)ρ
Dv y
Dt= ρgy−
∂ p∂ y
+μ (13∂∂ y
∇⋅v+∇2 v y)ρ
Dv z
Dt =ρg z−∂ p∂ z +μ (1
3∂∂ z ∇⋅v+∇ 2 v z)
atau:
ρ DvDt
=ρg−∇ p+μ ( 13∇ (∇⋅v )+∇2 v )
Persamaan N-s Fluida Newtonian konstan konstan
Untuk fluida Newtonian dengan viskositas konstan dan densitas konstan, divergen tegangannya adalah:
∇ . σ ij=[ −∂ p∂ x + 1
3∂∂ x μ∇⋅v+∇⋅μ∇ vx
−∂ p∂ y
+ 13
∂∂ y
μ∇⋅v+∇⋅μ ∇ v y
−∂ p∂ z
+ 13∂∂ z
μ ∇⋅v⏟=0, ρ=C
+∇⋅μ ∇ v z]=[−∂ p∂ x
+μ ∇2 vx
−∂ p∂ y
+μ ∇2 v y
−∂ p∂ z
+μ∇2 v z]
Dengan demikian persamaan N-S menjadi:
ρDvx
Dt=ρgx−
∂ p∂ x
+μ∇ 2 v x
ρDv y
Dt= ρgy−
∂ p∂ y
+μ ∇2 v y
ρDv z
Dt=ρg z−
∂ p∂ z
+μ ∇2 vz
atau:
ρ DvDt
=ρg−∇ p+μ ∇2v
Persamaan ini bisa juga dituliskan dalam ungkapan vortisitas:
ρ DvDt
=ρg−∇ p+μ (∇× (∇×v ))
156
Persamaan Euler: N-s Newtonian = 0 konstan
Persamaan Euler adalah bentuk khusus persamaan N-S Newtonian densitas konstan dengan viskositas nol ( = 0) atau vortisitas nol ((v) = 0):
ρDv x
Dt=ρg x−
∂ p∂ x
ρDv y
Dt= ρgy−
∂ p∂ y
ρDv z
Dt=ρg z−
∂ p∂ z
atau:
ρ DvDt
=ρg−∇ p
Perhatikan:
Jika fluida bergerak dipercepat seperti benda padat, maka persamaan ini menjadi:
ρa= ρg−∇ patau:
∇ p=ρ ( g−a )Jika fluidanya diam, ungkapan ini menjadi persamaan fluida statik:
∇ p=ρg4 Persamaan 4 variabel
Sistem Pers. N-S (massa & momentum) terdiri dari 4 persamaan dengan 4 variabel (p, vx, vy dan vz). Dengan ini bisa dihitung:
1) Tekanan (p) untuk medan kecepatan yang diketahui.
2) Kecepatan (vx, vy, vz) dan tekanan (p) untuk geometri, syarat batas (boundary conditions, BC), dan syarat awal (initial conditions, IC) yang diketahui.
∇⋅v=0
ρDvx
Dt=ρg x−
∂ p∂ x
+μ∇ 2 v x
ρDv y
Dt= ρg y−
∂ p∂ y
+μ ∇2 v y
ρDv z
Dt =ρg z−∂ p∂ z +μ ∇2 vz
Contoh Berikut adalah contoh menentukan medan tekanan dari medan kecepatan. Andai diketahui medan kecepatan steady, 2-D, inkompresibel:
v=v x i+v y j=(ax+b )i+(cx−ay ) j
Dari sini bisa ditentukan medan tekanan sbb. Periksa dulu
157
pemenuhan persamaan kontinuitas:
∇⋅v=∂ vx
∂ x⏟=a
+∂ v y
∂ y⏟=−a
+∂ vz
∂ z⏟=0 , 2 D
=a−a=0
Sesuai.
Lalu ditinjau komponen arah x & y dari persamaan Navier–Stokes. Komponen kecepatan arah-x:
ρ( ∂ v x
∂ t⏟0, steady
+ v x⏟(ax+b )
∂ v x
∂ x⏟a
+ v y⏟(cx−ay )
∂ v x
∂ y⏟0
+vz
∂ vx
∂ y⏟0 , 2 D
)=ρg x⏟0
−∂ p∂ x
+μ(∂2 v x
∂ x2⏟0
+∂2 vx
∂ y2⏟0
+∂2 v x
∂ z2⏟0, 2 D
)atau:
ρ (ax+b )a=−∂ p∂ x
∂ p∂ x
=−ρ (a2 x+ab )
p=−ρ (a2 12 x2+abx )+ f ( y )
Komponen kecepatan arah-y:
ρ( ∂ v y
∂ t⏟0, steady
+ v x⏟(ax+b )
∂ v y
∂ x⏟c
+ v y⏟(cx−ay )
∂ v y
∂ y⏟−a
+v z
∂ v y
∂ z⏟0 , 2 D
)=ρg y−∂ p∂ y
+μ(∂2 v y
∂ x2⏟0
+∂2 v y
∂ y2⏟0
+∂2 v y
∂ z2⏟0 , 2 D
)atau:
ρ ( (ax+b )c−(cx−ay )a )=ρg y−∂ p∂ y
∂ p∂ y
=ρ (g y−bc−a2 y)Solusi arah-y:
∂ p∂ y
=ρ (g y−bc−a2 y)harus sama dengan turunan terhadap y dari solusi arah-x:
158
p=−ρ (a2 12 x2+abx )+ f ( y )
atau:
0+∂ f ( y )∂ y
=ρ (g y−bc−a2 y )f ( y )=ρ ( (g y−bc ) y−a2 1
2 y2)+C
Hasil akhirnya adalah persamaan medan tekanan sbb:
p= ρ ( (g y−bc) y−abx− 12 a2 (x2+ y2 ))+C
Perhatikan, medan kecepatan dalam aliran inkompresibel
tidak terpengaruh oleh nilai konstanta C dalam medan tekanan atau oleh nilai tekanan mutlak,
tetapi dipengaruhi oleh beda atau gradien tekanan.
Ini tampak dari persaman N-S:
ρ DvDt
=ρg−∇ p+μ ∇2 v
Untuk menentukan konstanta C dalam persamaan medan tekanan diperlukan acuan nilai p dalam medan aliran, atau dengan kata lain diperlukan BC tekanan. Lihat contoh CFD berikut (Gambar 121). Kedua kasus pada gambar tersebut identik (termasuk gradien tekanan) kecuali nilai tekanannya. Medan kecepatan & pola streamline yang diperoleh memperlihatkan bahwa medan kecepatan dipengaruhi oleh gradien tekanan.
Gambar 121. Gradien (beda) tekanan berpengaruh terhadap medan kecepatan aliran, bukan tekanan
Penyelesaian Eksak N-S
Ada ±80 penyelesaian eksak persamaan N-S. Penyelesaian linier (suku konvektif = nol, ( v⋅∇ ) v=0 ) & nonlinear (suku konvektif
nol, ( v⋅∇ ) v≠0 ).
159
Penyelesaian menurut bentuk geometri:
1) Couette shear flows
2) Steady duct/pipe flows
3) Unsteady duct/pipe flows
4) Flows with moving boundaries
5) Similarity solutions
6) Asymptotic suction flows
7) Wind-driven Ekman flowsProsedur Penyelesaian N-S
Prosedur penyelesaian persamaan N-S pada prinsipnya sama dengan penyelesaian persamaan diferensial umumnya, yaitu:
1) Rumuskan persoalan & geometri, kenali semua dimensi & parameter terkait.
2) Buat anggapan, pendekatan, penyederhanaan dan BC (syarat batas) selayaknya.
3) Sederhanakan PD sebanyak mungkin.
4) Integralkan persamaan.
5) Terapkan BC untuk menentukan tetapan integrasi.
6) Periksa hasil.
BC kritis dalam penyelesaian eksak, hampiran, & numerik. Dalam penyelesaian analitik:
No-slip BC.
Interface BC
Dalam penyelesaian numerik (CFD), keduanya juga dipakai, plus sejumlah BC yang muncul karena hal-hal khusus dalam pemodelan CFD
Inflow & outflow BC
Symmetry & periodic BC
No-slip BC adalah syarat di mana fFluida yang menyentuh dinding padat memiliki kecepatan sama dengan kecepatan dinding itu, atau v fluida=vdinding .
Interface BC adalah berkenaan dengan keadaan saat dua fluida bertemu di antarmuka (Gambar 122). Di antarmuka, kecepatan dan tegangan geser harus sama di kedua muka.
v fluida , A=v fluida ,B dan τmuka , A=τmuka,B
Jika efek tegangan permukaan sangat kecil & permukaan hampir datar, maka:
pA=pB
160
Gambar 122. Syarat batas di antarmuka 2-fluida
Bentuk khusus antarmuka adalah permukaan bebas cairan.
vair=vudara
τair=τudara=(μ dudy )
air=(μdu
dy )udara
(dudy )air
≈0
Karena udara << air. Seperti umumnya antarmuka, jika efek tegangan permukaan sangat kecil & permukaan hampir datar maka:
pA=pB
Gambar 123. Syarat batas di permukaan bebas
Contoh: Aliran
Berikut diberikan contoh analisis pada aliran Couette berkembang
161
Couette penuh (fully developed). Untuk geometri dan BC yang diberikan, hitunglah medan kecepatan & aliran, dan taksirlah gaya geser per satuan luas yang bekerja pada plat bawah.
Langkah 1: Geometri, dimensi, dan sifat
Langkah 2: Anggapan dan Syarat Batas
Anggapan
1) 2D, vz=0, /z = 0
2) Aliran steady, /t = 0
3) Aliran paralel hanya ke arah-x, vy=0
4) Plat tak berhingga dalam arah x & z
5) Inkompresibel, Newtonian, laminer, sifat konstan
6) Gradien tekanan arah aliran = nol
7) Gravitasi bekerja dalam arah-y,
Boundary conditions
1) Plat bawah (y=0) diam: vx=0, vy=0, vz=0
2) Plat atas (y=h) bergerak: vx=v, vy=0, vz=0
Langkah 3: Penyederhanaan
Neraca massaDρDt⏟
0 , inkompresibel
+ρ ∇⋅v⏟∂v x
∂x+
∂v y
∂ y⏟0 , paralel
+∂v z
∂ z⏟0 , 2 D
=0
∂ v x
∂ x=0
Berarti aliran berkembang penuh
Neraca momentum arah-x:
162
ρ( ∂ v x
∂ t⏟0, steady
+vx
∂ v x
∂ xunderbracealignl 0 , berkem− ¿⏟
bang penuh ¿¿ +v y⏟
0, paralel
∂ v x
∂ y+vz
∂ v x
∂ z⏟2 D
)= ρgx⏟0
−∂ p∂ x⏟
0
+μ(∂2v x
∂ x2⏟0
+∂2 vx
∂ y2 +∂2v x
∂ z2⏟0 , 2 D
)∂2 vx
∂ y2 =0
Neraca momentum arah-y:
ρ( ∂ v y
∂ t⏟0, steady
+vx
∂ v y
∂ xunderbracealignl 0, aliran ¿⏟
paralel ¿¿+v y
∂ v y
∂ yunderbracealignl 0, aliran ¿⏟
paralel ¿¿+vz
∂v y
∂ z⏟0 , 2 D
)= ρg y−∂ p∂ y
+μ(∂2 v y
∂ x2 +∂2 v y
∂ y2 underbracealignl 0, aliran ¿⏟paralel ¿
¿+∂2 v y
∂ z2⏟0, 2 D
)∂ p∂ y
=ρg y
Langkah 4: Integrasi Neraca Massa:∂ vx
∂ x=0 ⇒ v x=vx ( y )
Integrasi Neraca momentum arah-x:
∂2v x
∂ y2 =0 ⇒ v x=C1 y+C2
Integrasi Neraca momentum arah-y:
∂ p∂ y
=ρg y ⇒ p=ρg y y+C3=−ρ gy+C3
Langkah 5: Penerapan Syarat Batas
Di plat bawah (y=0) vx=0 sehingga C2=0
Di plat atas (y=h) vx=v sehingga C1=v/h
Dengan demikian maka:
vx=v yh
163
Untuk tekanan, tidak ada BC khusus sehingga bisa diambil suatu nilai acuan di posisi sembarang yang diketahui, misal di y=0, p=p0 (C3 dinamai p0)
p=p0−ρ gy
Dari sini tampak bahwa:
1) Besarnya tekanan sama dengan tekanan hidrostatik.
2) Tekanan bekerja secara independen dari aliran.
Langkah 6: Pemeriksaan ulang dengan menyulihkan solusi:
Solusi , v=v xi+v y j+vz k
¿ v yh
i+0 j+0k
ke dalam persamaan kontinuitas:
∂ vx
∂ x+∂ v y
∂ y+∂v z
∂ z=0+0+0=0
Berarti persamaan kontinuitas terpenuhi.
Pemeriksaan ulang dengan menyulihkan solusi ke dalam persamaan momentum arah-x:
ρ(∂v x
∂ t+v x
∂v x
∂ x+v y
∂ v x
∂ y+vz
∂ v x
∂ z )= ρgx−∂ p∂ x
+μ (∂2 v x
∂ x2 +∂2 vx
∂ y2 +∂2 v x
∂ z2 )ρ(0+v y
h0+0 v
h+0)=0−0+μ (0+0+0 )
Berarti persamaan momentum juga terpenuhi. Dengan demikian solusi yang diperoleh memang ternyata benar merupakan jawaban dari persoalan yang diselesaikan.
Gaya geser Gaya geser per satuan luas (tegangan geser) yang bekerja pada fluida di permukaan plat bawah (di bidang tegak lurus sb-y ke arah-x) adalah:
F geser
A=τ yx=μ 2 ε yx=μ(∂ v x
∂ y+∂ v y
∂ x )=μ ( vh+0)=μ v
h
Lihat Gambar 124. Tegangan geser yang bekerja pada plat, menurut hukum Newton ketiga, sama besar ttp berlawanan arah dg tegangan geser fluida:
F plat
A=τw=−τ yx=−μ v
h
164
Gambar 124. Gaya geser dalam aliran Couette berkembang penuh
Gambar 125. Aliran Couette pada viskometer putar
Viskometer Putar
Viskometer meter adalah alat ukur viskositas fluida yang terdiri dari silinder konsentrik sepanjang L, silinder dalam pejal berjari2 Ri dan silinder luar berongga berjari2 Ro.
Lebar celah antara silinder sempit, sehingga (Ro-Ri) << Ri.
Aliran Couette terjadi pada celah sempit antarsilinder pada Viskometer Putar ini. Dengan demikian, maka analisisnya sama seperti telah dilakukan di atas.
165
Tegangan geser viskos yang bekerja pada elemen fluida di sebelah silinder dalam kira-kira sama dengan:
τ≃τ yx=μ vRo−Ri
=μωRi
Ro−Ri
Torsi searah-jam total yang bekerja pada dinding silinder dalam karena viskositas fluida adalah:
T≃τ yx ARi=μωR i
Ro−R i(2 πRi L ) Ri
Dalam kondisi steady, torsi searah-jam akibat viskositas T ini diimbangi oleh torsi selawan-jam yang diberikan Tlawan.
T lawan≃τ yx ARi=μωR i
Ro−R i(2πRi L ) Ri
Oleh karena itu, viskositas fluida adalah:
μ=T lawan
Ro−Ri
2 πω Ri3 L
Contoh: Aliran Poiseuille
Aliran Poiseuille Berkembang Penuh adalah aliran laminer Fluida Newtonian dalam keadaan steady dan inkompressibel dalam pipa bundar panjang tak-hingga berradius R = D/2.
Dalam analisis, pengaruh gravitasi diabaikan dan gradien tekanan sepanjang aliran P/x adalah konstan.
Langkah 1: Geometri, dimensi, dan sifat
Lihat Gambar 126.
Langkah 2: Anggapan dan Syarat Batas
Anggapan
1) Aliran steady, /t = 0
2) Inkompresibel, Newtonian, laminer, sifat konstan
3) Pipa panjang tak-hingga dalam arah-x.
4) Aliran paralel ke arah-x saja, vr = nol.
5) Gradien tekanan konstan bekerja dalam arah-x
6) Medan kecepatan simetri-sumbu tanpa pusingan, v = 0 dan turunan parsial terhadap adalah nol.
7) Efek gravitasi bisa diabaikan.
Syarat batas:
1) Di dinding (r=R) fluida diam: vr=0, v =0, vz=0
2) Di tengah (r=0) tegangan geser (gradien kecepatan) nol.
166
Gambar 126. Aliran fluida Newtonian, laminer, steady, dan inkompresibel dalam pipa
Langkah 3: Penyederhanaan
Neraca massaDρDt⏟
0 , inkompresibel
+ρ ∇⋅v⏟1r∂ rvr
∂ r⏟0 , paralel
+ 1r∂ vθ
∂θ⏟0 , simetri
+∂v x
∂ x
=0
∂ v x
∂ x=0
Berarti aliran berkembang penuh, dan hanya merupakan fungsi r.
Neraca momentum arah-x:
ρ( ∂ vx
∂ t⏟0, steady
+vr
∂ vx
∂r⏟0 , paralel
+vθ
∂ vx
r ∂θ⏟0 , simetri
+v x
∂ vx
∂ x⏟0
)=ρgx⏟
0
−∂ p∂ x
+μ (1r ∂∂r
r∂ vx
∂r+1
r2
∂2 vx
∂ θ2⏟0 , simetri
+∂2 v x
∂ x2⏟0
)atau:
1r
∂∂ r
r∂ vx
∂ r= 1
μ∂ p∂ x
Dengan cara serupa, neraca momentum arah-r menghasilkan:
∂ p∂ r
=0 ⇒ p=p ( x )
Artinya, p hanya bergantung pada x. Neraca momentum arah- adalah nol.
167
Langkah 4: Integrasi Neraca Massa:∂ vx
∂ x=0 ⇒ v x=vx (r )
Integrasi Neraca momentum arah-x:
1r∂∂r
r∂ v x
∂ r=1
μdpdx
r∂ vx
∂r=r 2
2 μdpdx
+C1
vx=r2
4 μdpdx
+C1 ln (r )+C2
Langkah 5: Penerapan Syarat Batas
1) Di tengah (r=0) gradien vx=0 sehingga C1=0
2) Di dinding (r=R) vx=0 sehingga C1=(R2/4).(dp/dx)
Dengan demikian maka:
vx=1
4 μdpdx
(r2−R2 )
Langkah-6, yaitu verifikasi, bisa anda lakukan sendiri.
168
MODUL VIII. ALIRAN INVISID
Deskripsi
Semua fluida bersifat viskos, atau memiliki viskositas. Akibatnya, bilamana fluida bersentuhan dengan permukaan padat di atap kendaraan molekul-molekul fluida akan melekat pada permukaan padatan. Lekatnya fluida pada permukaan padat disebut kondisi nirgelincir (no-slip condition). Lapisan-lapisan fluida diatasnya akan terhambat, tetapi semakin jauh dari permukaan padat semakin kecil hambatannya. Daerah di mana aliran fluida berubah dari kecepatan arus-bebas sampai kecepatan nol pada dinding padat disebut sebagai Lapisan Batas (Boundary Layer). Di luar Lapisan Batas keadaan aliran fluida bisa dipandang ideal atau invisid (tanpa viskositas). Aliran di luar lapisan batas bersifat invisid dan akan diulas dalam modul ini, sedangkan aliran di dalam lapisan batas bersifat viskos dan akan diulas dalam modul berikutnya.
Sasaran belajar:
12. Membedakan zona aliran viskos dan invisid13. Mengungkapkan secara tertulis persamaan aliran fluida invisid14. Mengenal hubungan persamaan aliran invisid dan persamaan Bernoulli
Aliran invisid Aliran invisid adalah aliran fluida ideal, atau aliran fluida yang tidak memiliki viskositas ( = 0) sehingga tidak ada gaya viskos atau gaya gesekan fluida.
Aliran fluida riil dengan viskositas 0 tidaklah invisid. Namun, pengaruh viskositas terutama terasa di daerah dekat dinding dan tidak begitu terasa di daerah yang jauh dari dinding. sehingga watak alirannya sama seperti aliran tanpa viskositas (aliran invisid).
Ini bisa dipahami karena pengaruh viskositas sebagaimana diwakili oleh gaya viskos adalah fungsi dari viskositas dan gradien kecepatan. Nilai gradien kecepatan besar di dekat dinding, dan kecil atau bahkan nol di jauh dinding. Oleh karena itu, pengaruh viskositas di jauh dinding praktis nihil, bukan karena viskositasnya nol melainkan karena gradien kecepatannya nol (berarti vortisitasnya juga nol atau irrotasional).
Secara matematik, apakah gaya viskos bernilai nol
karena viskositas nol, atau
karena gradien kecepatan nol
tidak ada bedanya. Oleh karena itu, aliran fluida riil (dengan viskositas 0) di daerah jauh dari dinding bisa digambarkan wataknya sama dengan aliran invisid.
Zona aliran Kenyataan inilah yang membawa Ludwig Prandtl pada konsep lapisan batas. Dalam konsep ini, aliran dibagi menjadi dua zona,
169
yaitu:
1) zona lapisan batas (boundary layer) berupa lapisan tipis fluida di dekat dinding, yang semakin tipis sejalan dengan semakin besarnya bilangan Reynolds, dan
2) zona invisid di luar lapisan batas.
Dalam zona invisid, pengaruh viskositas praktis nihil karena vortisitas aliran praktis nol, dan persamaan diferensial aliran menjadi sangat sederhana dan bisa diselesaikan secara analitik.
Subjek aliran invisid memiliki penerapan khusus dalam aerodinamika dan hidrodinamika dan penerapan umum dalam aliran di sekitar benda (external flow).
Aliran invisid biasa disebut juga aliran potensial karena persamaan atur medan kecepatannya v merupakan fungsi dari potensial kecepatan f.
A. Persamaan Aliran Invisid (Potensial)Persamaan aliran invisid steady dan inkompresibel
Untuk aliran invisid dan aliran irrotasional steady dan inkompresibel, persamaan kontinuitas atau neraca massanya adalah:
∇⋅v=0
dan persamaan neraca momentumnya adalah:
ρ DvDt
=ρg−∇ p
Persamaan terakhir biasa disebut juga sebagai persamaan Euler.
Persamaan kontinuitas, seperti telah ditunjukkan dalam modul sebelumnya, bisa diubah bentuknya menjadi 2 fungsi baru dengan hanya satu variabel dependen, yaitu fungsi arus (stream function, y) dan fungsi potensial kecepatan (velocity potential function, f) yang saling tegak lurus satu sama lain. Dari sini persamaan kontinuitas bisa ditulis menjadi:
∇2ψ=0 dengan vx=
∂ψ∂ y
dan v y=−∂ψ∂ x
dan
∇2φ=0 dengan vx=
∂φ∂ x
dan v y=∂φ∂ y
yang mudah penyelesaiannya.
Persamaan Euler bisa disederhanakan dengan menggunakan identitas vektor berikut:
170
DvDt
≡∂ v∂ t
+∇ ( 12
v2)−v× (∇×v )
yang dalam kasus steady dan irrotasional di sini menjadi:DvDt
≡∂ v∂ t⏟0
+∇ ( 12
v2 )−v×(∇×v )⏟0
=∇ ( 12
v2 )
Penyulihan ke dalam persamaan Euler memberikan:
ρ ∇ ( 12 v2)=ρg−∇ p
dan karena nilai percepatan gravitasi adalah –g dan g adalah gradien dari gy maka persamaan bisa ditulis:
ρ ∇ (12 v2)=− ρ∇ ( gy )−∇ p
∇ (p+12 ρv2+ρ gy )=0
atau:
p+ 12 ρv2+ ρ gy=C
yang tidak lain adalah persamaan Bernoulli.Rekapitulasi Dengan demikian, maka penyelesaian aliran invisid (atau
irrotasional) steady inkompresibel bisa diperoleh dengan menyelesaikan:
persamaan fungsi arus atau fungsi potensial kecepatan untuk mendapatkan medan kecepatan aliran, dan
persamaan Bernoulli untuk mendapatkan medan tekanan aliran.
B. Solusi AnalitikContoh Berikut akan diperlihatkan bagaimana medan aliran bisa diperoleh
untuk aliran di sekitar silinder diam sepanjang tak-hingga (Gambar127). Persamaan neraca massa sebagai fungsi arus dalam koordinat silinder adalah:
∇2ψ=0 atau
∂2ψ∂r2 +
1r∂ψ∂ r
+ 1r2
∂2 ψ∂θ2 =0
dengan
vr=1r∂ψ∂ θ
dan vθ=−∂ψ∂ r
Persamaan bisa diselesaikan dengan syarat batas berikut:
1) Lingkaran r = a adalah streamline. Kecepatan tegak lurus
streamline adalah nol sehingga di r = a berlaku vr=0 dan (∂ψ /∂ θ ) =0 .
171
2) Garis = 0, berdasarkan sifat simetri aliran, jugalah
streamline. Dengan demikian, di = 0 berlaku vθ=0 dan (∂ψ /∂ r ) =0 .
3) Kecepatan arus bebas (di lokasi jauh dari silinder di mana medan aliran praktis tidak terpengaruh oleh keberadaan silinder), atau secara matematik di r = , sudut berapapun, nilai v = konstan.
Gambar 127. Aliran seragam di sekitar silinder tak-hingga berjari-jari a
Solusi: Pemisahan Variabel
Persamaan diferensial fungsi arus bisa diselesaikan secara analitik dengan menerapkan metode pemisahan variabel. Di sini solusi dianggap merupakan gabungan dari 2 fungsi terpisah yang masing-masing bergantung hanya pada satu variabel bebas, radial saja dan angular saja. Katakanlah solusinya adalah:
ψ (r ,θ )=F (r )G (θ )Penyulihan ungkapan ini ke dalam persamaan diferensial memberikan:
r2 F' ' (r )F (r )
+r F ' (r )F (r )
=−G' ' (θ )G (θ )
=λ2
Karena sisi kiri fungsi r saja dan sisi kanan fungsi saja, maka supaya penyelesaian ada untuk semua r dan maka kedua sisi haruslah konstan, yaitu sebesar katakanlah l2. Dari sini persamaan diferensial bisa diurai menjadi 2 persamaan dengan variabel bebas yang terpisah:
G' ' (θ )+λ2G (θ )=0sebuah persamaan diferensial linier orde-2 sederhana, dan
r2 F ' ' (r )+r F' (r )−λ2 F (r )=0sebuah persamaan diferensial Euler. Solusinya keduanya adalah:
172
G (θ )=A sin ( λθ )+B cos ( λθ )F (r )=Crλ+Dr− λ
Syarat batas pertama di r = a, yaitu (∂ψ /∂ θ ) =0 memberikan:
∂ψ∂θ
=( A sin ( λθ )+B cos ( λθ ) ). (Ca λ+Da−λ )⏟0
=0
D=−Ca2 λ
sehingga
ψ (r ,θ )=( A sin ( λθ )+B cos ( λθ ) ).C(r λ−a2 λ
rλ )Syarat batas kedua di = 0, yaitu (∂ψ /∂ r ) =0 mengharuskan B = 0, karena sin(l) = 0 sehingga:
ψ (r ,θ )=AC sin ( λθ )(r λ−a2 λ
r λ )Syarat batas ketiga di r = , sudut berapapun, mensyaratkan nilai v = konstan atau
limr→∞
(vr2+vθ
2 )=v∞2
atau
limr→∞
A2C2 λ2(cos2 ( λθ )(r λ−1−a2 λ
r λ+1 )2
+sin2 ( λθ )(r λ−1+a2 λ
r λ+1 )2)=v∞
2
Limit ini berhingga hanya jika l = 1 sehingga dengan demikian maka AC = v dan fungsi arus menjadi:
ψ (r ,θ )=v∞ sin (θ )(r− a2
r )=v∞ r sin (θ )[1−a2
r2 ]Dari sini maka bisa ditentukan komponen medan kecepatan aliran sbb:
vr=1r∂ψ∂ θ
=v∞ cos (θ )[1− a2
r2 ]dan
vθ=−∂ψ∂ r
=−v∞ sin (θ )[1+ a2
r2 ]Medan kecepatan alirannya adalah:
v (r , θ )=vr er+vθ eθ
Titik stagnasi Di permukaan silinder (r = a), nilai komponen kecepatannya
173
adalah:
vr=0vθ=−2v∞ sin (θ )
Di permukaan silinder besarnya kecepatan radial adalah nol permukaan adalah sebuah streamline. Besarnya kecepatan di titik permukaan pada sudut = 180o (di depan) dan = 0o (di belakang) adalah nol. Titik-titik ini disebut titik stagnasi.
Medan tekanan
Medan tekanan aliran selanjutnya bisa dihitung menggunakan persamaan Bernoulli:
p+ 12 ρv2+ ρ gy=C
Jika efek ketinggian bisa diabaikan, seperti misalnya dalam kasus aliran udara di sekitar sayap pesawat, maka persamaan menjadi:
p+ 12 ρv2=C
Pada arus bebas, tekanan dan kecepatannya adalah p dan v
sehingga:
p+ 12 ρv2=p∞+
12 ρv∞
2 =p0
berarti di mana-mana dalam medan aliran invisid (juga aliran irrotasional), tekanan stagnasi p0 adalah konstan.
Di permukaan silinder, di mana vr=0 dan vθ=−2 v∞ sin (θ ) , tekanan bisa ditentukan sbb:
p=p0−12 ρv2
¿ p0−12 ρ [0+ (−2v∞ sin (θ ) )2 ]
¿ p0−2 ρv∞2 sin2 (θ )
atau bisa juga ditulis:
p=p∞+12 ρv∞
2 (1−4 sin2 (θ ) )
sehingga koefisien tekanannya (Cp) menjadi:
C p≡p−p∞12 ρv∞
2=(1−4sin2 (θ ) )
Lihat Gambar 128.
174
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0306090120150180
Sudut
Koe
fisie
n Te
kana
n, C
p
Gambar 128. Medan tekanan aliran invisid di permukaan silinder tak-hingga
C. Aliran Invisid 2-DAliran invisid 2D
Persamaan Laplacian fungsi arus y dan potensial kecepatan f bersifat linier. Artinya, berbagai macam solusi bisa digabungkan menjadi solusi lainnya. Misalkan y1 dan y2 adalah solusi terpisah:
∇2ψ1=0 dan ∇2 ψ2=0
maka jumlahannya adalah solusi juga:
∇2 (ψ1+ψ2)=0
Dengan menggunakan prinsip superposisi ini maka sejumlah persoalan aliran invisid/potensial yang menarik bisa diperoleh dari tiga macam solusi dasar, yaitu:
1) Arus seragam
2) Sumber atau isapan arus
3) VortexSolusi Arus Seragam
Untuk arus seragam dengan kecepatan konstan U searah sumbu-x:
vx=U∞=∂ψ∂ y
=∂φ∂ x
v y=0=−∂ψ∂ x
=∂φ∂ y
Integrasinya menghasilkan:
175
ψ=U ∞ y+C1φ=U∞ x+C2
Karena kecepatan adalah diferensial dari kedua fungsi ini dan tekanan diperoleh berdasarkan kecepatan, maka berapapun nilai C1
dan C2 tidak akan berpengaruh terhadap kecepatan dan tekanan dalam aliran. Oleh karena itu kedua konstanta bisa diambil nol, sehingga hasilnya:
ψ=U ∞ yφ=U∞ x
Dalam koordinat polar, persamaan ini menjadi:
ψ=U ∞r sin (θ )φ=U∞ r cos (θ )
Secara umum, arus seragam bisa membentuk sudut sembarang terhadap sumbu-x sehingga:
vx=U∞cos (α )=∂ψ∂ y
=∂φ∂ x
v y=U∞ sin (α )=−∂ψ∂ x
=∂φ∂ y
Integrasinya akan menghasilkan:
ψ=U ∞ [ y cos (α )−x sin (α ) ]φ=U∞ [ x cos (α )+ y sin (α ) ]
Persamaan ini berguna dalam persoalan sudut terbang (angle of attack) pada airfoil.
Solusi sumber atau isapan arus garis
Arus konstan bisa dibayangkan menyebar dari (atau mengumpul ke) garis (bukan titik) di pusat radial sepasang plat berjarak tetap. Dengan demikian, kecepatan radial pada posisi r sembarang berbanding terbalik dengan r dan kecepatan angular nol, atau:
vr=mr=1
r∂ψ∂θ
=∂φ∂r
vθ=0=−∂ψ∂ r
=1r∂φ∂θ
Garis sumber/isapan adalah adalah singularitas dengan kecepatan radial tak-hingga, dan y serta f tak terdefinisi. Dengan m adalah suatu konstanta yang jika nilainya positif menggambarkan kekuatan sumber arus, dan jika nilainya negatif menggambarkan kekuatan isapan arus. Integrasinya memberikan:
ψ=mθφ=m ln (r )
Dalam koordinat polar, persamaan ini menjadi:
176
ψ=m tan−1( yx )
φ=m ln (√ x2+ y2)Solusi vortex garis
Jika kedudukan vr dan v dalam sumber dan isapan garis dipertukarkan maka diperoleh vortex garis:
vr=0=1r∂ψ∂ θ
=∂φ∂ r
vθ=Kr
=−∂ψ∂ r
=1r∂φ∂θ
Integrasinya menghasilkan:
ψ=−K ln (r )φ=Kθ
Kekuatan vortex K di sini mempunyai dimensi yang sama dengan kekuatan sumber atau isapan m, yaitu kecepatan dikali panjang. Aliran vortex garis bersifat irrotasional di mana-mana kecuali di pusat di mana vortisitasnya tak-hingga. Artinya, sirkulasi fluida di sekitar pusat vortex tidak nihil.
Sirkulasi Sirkulasi didefinisikan sebagai integral garis selawan-jam dari busur sepanjang ds, mengitari kurva tertutup C, dikalikan dengan komponen kecepatan yang menyinggung kurva tersebut.
Γ=∮C
v⋅ds=C
(v x dx+v y dy+v z dz )
D. Solusi NumerikAnalisis Numerik
Penyelesaian analitik seperti yang telah dilakukan pada alinea sebelumnya bisa mudah dilakukan hanya bila geometri persoalan relatif sederhana. Jika geometri persoalan mulai menjadi rumit maka penyelesaian secara analitik akan menjadi sulit atau bahkan tidak mungkin didapatkan.
Untungnya, sejalan dengan keampuhan komputer, persoalan dengan geometri serumit apapun bisa diselesaikan secara numerik. Dalam analisis numerik, persamaan diferensial dalam domain kontinum diubah menjadi persamaan aljabar dalam domain diskrit. Proses pengubahan ini, biasa disebut diskritisasi, bisa ditempuh dengan berbagai macam metode, antara lain, finite difference, finite volume, finite element, boundary element, dlsb. Di sini hanya akan diperlihatkan contoh penerapan metode beda hingga (finite difference) dalam aliran invisid/potensial 2D (dua dimensi).
Persamaan Laplace fungsi arus dalam domain kontinum:
177
∇2 ψ=∂2 ψ∂ x2 +
∂2 ψ∂ y2 =0
Suku-suku diferensial pada dasarnya adalah fungsi limit berikut:
∂2 ψ∂ x2 = lim
Δx→ 0
∂ψ∂ x
|x+Δx , y−∂ψ∂ x
|x , y
Δx
¿ limΔx→0
ψ|x+Δx , y−ψ|x , y
Δx−
ψ|x , y−ψ|x−Δx, y
ΔxΔx
¿ limΔx→0
ψ|x+Δx , y−2ψ|x , y+ψ|x−Δx, y
( Δx )2
dan
∂2ψ∂ y2= lim
Δx→ 0
ψ|x , y+Δy−2 ψ|x , y+ψ|x , y−Δy
( Δy )2
Sebagai pendekatan, alih-alih kecil tak-berhingga (mendekati nol), x dan y diambil kecil berhingga sehingga diperoleh ungkapan:
∂2ψ∂ x2 ≈
ψ|x+Δx , y−2ψ|x , y+ψ|x−Δx , y
( Δx )2
dan
∂2ψ∂ y2≈
ψ|x , y+Δy−2ψ|x , y+ψ|x , y−Δy
( Δy )2
Dengan demikian persamaan fungsi arus bisa didekati dengan ungkapan:
ψ|x+Δx, y−2 ψ|x , y+ψ|x−Δx , y
( Δx )2+
ψ|x , y+Δy−2ψ|x , y+ψ|x , y−Δy
( Δy )2=0
Dengan b = (x/y), persamaan ini bisa disusun menjadi ungkapan untuk menghitung y di posisi (x,y) berikut:
ψ|x , y=ψ|x+Δx, y+ψ|x−Δx , y+β2 (ψ|x , y+Δy+ψ|x , y−Δy )
2(1+β2 )Jika diambil b = 1, berarti x = y, maka persamaan menjadi sangat sederhana:
ψ|x , y=
ψ|x+Δx, y+ψ|x−Δx , y+ψ|x , y+Δy+ψ|x , y−Δy
4Dalam ungkapan sederhana, persamaan ini mengatakan bahwa nilai fungsi arus di suatu lokasi adalah rata-rata dari nilai fungsi arus
178
tetangganya.
Gambar 129. Aliran invisid melalui saluran membesar mendadak
Contoh Fluida mengalir melalui saluran membesar mendadak (Gambar129). Kecepatan masuk seragam 10 m/s, dan kecepatan keluar seragam 5 m/s. Lebar saluran masuk 1 m, dan saluran keluar 2 m. Pembesaran saluran terjadi pada lokasi 1,2 m dari hulu.
Berikut akan ditentukan medan aliran menggunakan analisis numerik.
Dalam analisis numerik ini diambil ukuran sel komputasi yang lebarnya sama ke arah x dan y, yaitu sebesar 0,2 m seperti tampak pada gambar. Nilai fungsi arus y di dalam saluran, yaitu di 123 titik dalam Gambar 130, bisa dihitung serentak dengan menggunakan persamaan:
ψ|x , y=ψ|x+Δx, y+ψ|x−Δx , y+ψ|x , y+Δy+ψ|x , y−Δy
4jika keadaan y di batas-batas saluran persoalan diketahui.
Untuk enaknya, di dinding bawah nilai y diambil nol.
Karena selisih dua fungsi arus sama dengan debit, sedangkan debit masuknya per satuan kedalaman adalah (10 m/s)(1 m) = 10 m2/s, maka nilai y di dinding atas adalah 10 m2/s.
Karena kecepatan masuk adalah seragam, maka nilai fungsi arus di situ harus beragam secara linier menurut posisi ketinggiannya:
ψ ( y )= y1m
⋅10 m2
s
179
sehingga:
Di y = 1 m y = 10 m2/s
Di y = 0,8 m y = 8 m2/s
Di y = 0,6 m y = 6 m2/s
Di y = 0,4 m y = 4 m2/s
Di y = 0,2 m y = 2 m2/s
Di y = 0 y = 0 m2/s
Begitu pula di saluran keluar, fungsi arus juga beragam secara linier menurut posisi ketinggian:
ψ ( y )= y2m
⋅10 m2
sdengan y = 0 di dinding bawah. Lihat Gambar 130. Hasil perhitungan diperlihatkan dalam Gambar 131-Gambar 133.
Gambar 130. Syarat batas persoalan aliran invisid dalam saluran membesar
180
Gambar 131. Kontur streamline
Gambar 132. Kontur kecepatan
181
Gambar 133. Kontur tekanan (10 kPa) dengan tekanan input 100 kPa
182
MODUL IX. ALIRAN VISKOS
Deskripsi
Semua fluida bersifat viskos, atau memiliki viskositas. Akibatnya, bilamana fluida bersentuhan dengan permukaan padat di atap kendaraan molekul-molekul fluida akan melekat pada permukaan padatan. Lekatnya fluida pada permukaan padat disebut kondisi nirgelincir (no-slip condition). Lapisan-lapisan fluida diatasnya akan terhambat, tetapi semakin jauh dari permukaan padat semakin kecil hambatannya. Daerah di mana aliran fluida berubah dari kecepatan arus-bebas sampai kecepatan nol pada dinding padat disebut sebagai Lapisan Batas (Boundary Layer). Di luar Lapisan Batas keadaan aliran fluida bisa dipandang ideal atau invisid (tanpa viskositas) sehingga dimungkinkan analisis analitik dan numerik seperti telah ditunjukkan dalam modul sebelumnya.
Sasaran belajar:
1. Membedakan aliran laminer dan turbulen2. Menjelaskan efek viskositas pada sifat aliran sewaktu kontak dengan
permukaan padat3. Menjelaskan konsep lapisan batas4. Mengenal penyelesaian Blasius dan metode analisis integral momentum
von Karman
A. Aliran Laminer & TurbulenMacam Aliran Viskos
Berdasarkan pengamatan sederhana disadari bahwa ada 2 macam beda aliran viskos. Asap yang mengepul dari sebatang rokok awalnya memperlihatkan pola aliran halus teratur, tetapi kemudian pola alirannya berubah sama sekali menjadi sangat tak teratur dan tak stabil. Watak serupa juga teramati pada air yang mengalir melalui kran. Aliran dengan pola yang halus teratur disebut laminer, sedangkan yang tak teratur disebut turbulen.
Percobaan Reynolds
Walaupun gejala laminer dan turbulen telah disadari sebelumnya, namun Reynoldslah yang pertama kali menggambarkan fenomena ini secara kuantitatif dalam tahun 1883. Dalam percobaannya, air dialirkan melalui pipa tembus pandang. Ke dalam air disuntikkan zat warna di bagian hulu untuk membekaskan jejak aliran. Dari percobaan, Reynolds menemukan bahwa apakah jejak aliran halus teratur atau tidak bergantung selain pada kecepatan juga pada diameter pipa, densitas fluida, dan viskositas fluida. Keempat variabel ini digabung dalam satu parameter tak berdimensi:
Re= ρ vDμ
yang disebut bilangan Reynolds sebagai penghormatan kepada
183
Osborne Reynolds dan sumbangannya dalam mekanika fluida.
Untuk aliran dalam pipa ditemukan bahwa pada Re kurang dari 2300, aliran bersifat laminer. Pada Re lebih dari 2300, gangguan sedikit saja pada aliran akan menyebabkan transisi dari laminer ke turbulen, sedangkan pada Re kurang dari 2300 aliran kebal terhadap gangguan dan aliran tetap laminer. Dengan demikian, maka bilangan Re kritis aliran dalam pipa adalah 2300.
B. Lapisan BatasKonsep Lapisan Batas
Aliran laminer kebal terhadap gangguan (stabil) karena viskositas memainkan peranan dominan dalam badan aliran. Sebaliknya, aliran turbulen tidak stabil karena peran viskositas sebatas di daerah dekat dinding saja. Di luar itu, peran inersia mendominasi watak aliran. Semakin besar Re semakin tipis daerah pengaruh viskositas. Kenyataan ini menuntun Ludwig Prandtl pada konsep lapisan batas (boundary layer) pada tahun 1904.
Menurut hipotesis Prandtl, efek gesekan fluida pada bilangan Reynolds tinggi terbatas hanya pada lapisan tipis dekat batas benda (sehingga disebut lapisan batas), dan tidak ada perubahan tekanan yang berarti selintang lapisan batas. Artinya, tekanan di dalam lapisan batas sama dengan tekanan di luar lapisan batas (daerah aliran invisid). Teori Prandtl memainkan peranan penting karena penyederhanaan yang dibuatnya memungkinkan analisis aliran viskos secara analitik. Tekanan, misalnya, bisa diperoleh dari eksperimen atau teori aliran invisid, sehingga yang belum diketahui tinggal komponen kecepatannya saja.
(a) Laminer
184
(b) Turbulen
Gambar 134. Visualisasi lapisan batas laminer (a) dan turbulen (b)
Lapisan batas aliran fluida melalui sebuat lempeng datar bisa dilihat pada Gambar 134. Pada gambar, gelembung-gelembung hidrogen dilepaskan secara berkala dan hanyut terbawa aliran fluida. Dari bentuk jejak alirannya tampak bahwa laju fluida di dekat lempeng, yaitu dalam lapisan batas, lebih rendah daripada dalam arus bebas (freestream).
Olakan (eddies) dalam aliran turbulen meningkatkan percampuran fluida yang memang sebelumnya sudah ada karena viskositas. Akibatnya, lapisan batas turbulen umumnya lebih tebal daripada lapisan batas laminer. Ini bisa dilihat dalam contoh di atas yang melukiskan aliran melalui lempeng datar.
Pentingnya Lapisan Batas
Viskositas menyebabkan lekatnya molekul fluida pada dinding dan akibatnya molekul fluida di dekat permukaan padat mengalami hambatan – lajunya melambat. Sejalan dengan ini, permukaan padatan akan mengalami gaya hambat gesekan (friction drag force) searah aliran… Gaya hambat inilah yang membuat pemahaman lapisan batas menjadi demikian penting!
Lapisan batas menentukan sifat-sifat hambatan aliran fluida dan aliran panas benda dalam aliran:
1) lebih banyak bahan bakar dikonsumsi oleh pesawat atau kapal karena adanya lapisan batas;
2) laju aliran panas ke komponen mesin naik karena lapisan batas dengan potensi akibat berupa kerusakan atau kegagalan komponen;
3) jarak tempuh sebuah bola golf terhambat oleh adanya lapisan batas.
185
C. Persamaan Lapisan BatasPersamaan BL
Dalam pasal ini akan diturunkan persamaan lapisan batas (Boundary Layer – BL) dengan analisis orde nilai (order of magnitude analysis). Dari pasal sebelumnya sudah diketahui bahwa Lapisan Batas membantu, misalnya, penentuan hambatan (drag) dari benda di dalam aliran. Ini memerlukan penaksiran pembentukan lapisan batas pada, misalnya, lambung kapal. Untuk melakukan ini diperlukan persamaan yang melukiskan aliran dalam lapisan batas. Persamaan ini dikenal sebagai persamaan lapisan batas.
Sudah tentu, pada prinsipnya, aliran di mana saja dalam badan fluida bisa digambarkan oleh persamaan-persamaan aliran yang diturunkan berdasarkan hukum-hukum dasar fisika, yaitu persamaan kontinuitas, momentum atau persamaan N-S. Dengan kata lain, apa yang dikatakan sebagai persamaan BL adalah persamaan N-S dalam bentuk khusus (yang lebih sederhana) untuk fenomena aliran di dekat batas saluran.
Persamaan BL 2-D
Untuk lebih mudah dan jelasnya di sini akan ditinjau aliran 2-D inkompresibel.
Persamaan Navier-Stokes (NS) untuk aliran 2-D tanpampat (incompressible) adalah sbb:
1) Kontinuitas:
∂ u∂ x
+ ∂ v∂ y
=0
2) Momentum-x:
ρ ∂u∂ t
+ρu ∂ u∂ x
+ ρv ∂u∂ y
=−∂ p∂ x
+μ ( ∂2 u∂ x2 +
∂2u∂ y2 )
atau ∂u∂ t
+u ∂ u∂ x
+v ∂u∂ y
=−1ρ
∂ p∂ x
+υ( ∂2u∂ x2+
∂2u∂ y2 )
3) Momentum-y:
ρ ∂ v∂ t
+ ρu ∂ v∂ x
+ρv ∂ v∂ y
=−∂ p∂ x
+μ( ∂2 v∂ x2+
∂2 v∂ y2 )
atau ∂ v∂ t
+u ∂ v∂ x
+v ∂ v∂ y
=−1ρ
∂ p∂ x
+υ( ∂2 v∂ x2+
∂2 v∂ y2 )
dengan υ=( μ/ ρ ) adalah viskositas kinematik.
Persamaan-persamaan ini tampak sangar. Persamaan Navier-Stokes ini mewakili gerak fluida viskos secara eksak.
Pada Lapisan Batas, andil sejumlah suku-suku persamaan NS bernilai kecil dan pengaruhnya lemah (suku lemah) dibandingkan suku-suku dominan. Ini mudah dipahami dengan membayangkan gabungan bobot seekor gajah dan seekor semut di badannya. Bobot
186
seekor semut RELATIF terhadap gajah tidaklah berarti dan bisa diabaikan tanpa mengurangi ketelitian. Dengan demikian, persamaan NS bisa diremas menjadi lebih sederhana sehingga menjadi lebih ramah.
Analisis orde nilai
Untuk bisa mengabaikan suku-suku lemah dalam persamaan Navier-Stokes diperlukan pengetahuan tentang ukuran nilai tiap-tiap suku dalam kaitannya dengan yang lain. Ini disebut “analisis orde nilai”.
Akan tetapi, ada satu masalah dengan persamaan dalam bentuknya kini. Setiap variabel mempunyai dimensi berbeda (yaitu kecepatan, panjang, waktu dll.) Bagaimana bisa dilakukan pembandingan dari nilai atau andil tiap-tiap suku?
Mudah, yaitu dengan cara menirdimensikan serta membakukan tiap-tiap variabel sehingga skala nilai minimun dan maksimunya berada dalam batas-batas yang sama (yaitu antara 0 dan 1).
Pembakuan nilai suku-suku
Untuk membakukan nilai suku-suku maka diambil patokan nilai untuk sejumlah variabel dasar yang mewakili fenomena aliran. Patokan-patokan nilai tersebut adalah sbb:
1) untuk panjang adalah L (skala panjang geometri plat),
2) untuk kecepatan adalah Ue (skala kecepatan arus bebas), dan
3) untuk waktu adalah L/Ue (skala waktu arus bebas menempuh skala panjang geometri).
Gambar 135 merangkum pembakuan atau penirdimensian variabel kecepatan dan posisi, dan Gambar 136 merangkum pembakuan atau penirdimensian variabel waktu, viskositas dan tekanan.
Perlu diperhatikan cara penulisannya, variabel nir-dimensi dituliskan dengan lambang yang sama, tetapi dengan tambahan tanda aksen.
187
Gambar 135. Normalisasi kecepatan arah x (u) dan y (v) dalam BL setebal terhadap kecepatan aliran bebas (Ue) dan normalisasi jarak arah x dan y
terhadap panjang plat (L)
Gambar 136. Normalisasi tekanan terhadap tekanan kinetik arus bebas, waktu terhadap waktu tempuh arus bebas sejarak plat L, dan viskositas
kinematik terhadap arus bebas dikali panjak plat L
Variabel nir-dimensi
Dari apa yang dilukiskan dalam Gambar 135 dan Gambar 136 akhirnya diperoleh variabel-variabel nir-dimensi berikut:
1) Ruang : x '= x
L dan y '= y
L
2) Waktu : t '= t
L/U e=
U e tL
3) Kecepatan : u '= u
U e dan v '= v
U e
4) Viskositas kinematik : υ '= υ
U e L= 1
Re
5) Tekanan : p '= p
12 ρU e
2
Suku-suku nir-dimensi selanjutnya bisa disulihkan ke dalam persamaan Navier-Stokes sehingga diperoleh bentuk nir-dimensinya sebagai berikut:
1) Kontinuitas:
∂u '∂ x '
+ ∂ v '∂ y '
=0
188
2) Momentum-x: ∂u '∂ t '
+u ' ∂u '∂ x '
+v ' ∂u '∂ y '
=−∂ p '∂ x '
+ 1Re ( ∂2 u '
∂ x '2 +∂2 u '∂ y '2 )
3) Momentum-y: ∂ v '∂ t '
+u ' ∂ v '∂ x '
+v ' ∂ v '∂ y '
=−∂ p'∂ y '
+ 1Re (∂2 v '
∂ x '2+ ∂2 v '∂ y '2 )
Dari sini tampak bahwa persamaan NS nir-dimensi tidak banyak berbeda bentuknya dari persamaan NS berdimensi.
Di sini juga telah diperkenalkan sebuah parameter nir-dimensi yang disebut bilangan Reynold (Re = UeL/). Re merupakan ukuran relatif efek konveksi terhadap efek difusi dalam aliran.
1) Pada Re besar, gesekan aliran tidak menjadi penting (kecuali di dekat permukaan padatan di mana syarat nirgelincir memainkan peranan penting).
2) Pada Re kecil, gesekan aliran memainkan peranan penting.
Berikut adalah sejumlah gambaran nilai bilangan Reynolds:
1) Butir air jatuh dalam udara, Re = 0,64
2) Bola golf melayang cepat, Re = 2105
3) Hiu pada kecepatan maksimum, Re = 8106
4) Boeing 747 menjelajah, Re = 7107
Persamaan NS sekarang dalam bentuk nir-dimensi yang memungkinkan pembandingan langsung ukuran nilai tiap-tiap sukunya satu sama lain. Berikut akan ditaksir nilai relatif tiap-tiap suku dalam persamaan tersebut untuk melihat mana saja yang penting dan kurang penting. Ini disebut analisis orde nilai – yang besar dipertahankan, yang kecil diabaikan.
Analisis orde nilai pers. kontinuitas
Pertama kita tinjau orde nilai suku-suku dalam persamaan
kontinuitas:
∂u '∂ x '
+ ∂ v '∂ y '
=0
1) Orde nilai kecepatan u’ adalah (orde nilai u ) /U e atau U e /U e=1 . Dalam lapisan batas, nilai u terentang dari 0 di permukaan plat (syarat nirgelincir) sampai maksimum Ue di tepi lapisan batas. Karena nilai u paling tinggi adalah sebesar Ue, maka orde nilai u adalah Ue.
2) Orde nilai ( u’ / x’ ) adalah ∂u '∂ x '
≃orde nilai Δu 'orde nilai Δx '
=(U e−0 )/U e
( L−0 ) /L=1
.
3) Orde nilai ( v’ / y’ ) adalah 1 juga sebab akibat dari
189
∂u '∂ x '
+ ∂ v '∂ y '
=0 adalah orde nilai (v’/y’) dan (u’/x’) sama
besarnya. Perhatikan, di sini yang penting adalah orde nilai bukan nilainya itu sendiri. Contoh, andaikan nilai (u’/x’) = 11 = 1,1101/s maka nilai (v’/y’) = 11/s = 1,1101/s. Di sini, nilai keduanya berbeda karena berlawanan tanda, tetapi orde nilainya sama-sama 101.
4) Orde nilai kecepatan v’ tidak bisa ditentukan langsung seperti u’. Namun telah diperoleh bahwa (v’/y’) = 1.
Dengan tebal lapisan batas maka ∂v '∂ y '
=(v−0 )/U e
(δ−0 )/L= v '
δ '=1
sehingga orde nilai v’ adalah ’.
Analisis orde nilai pers. Momentum-x
Kedua, kita tinjau orde nilai suku-suku dalam persamaan
momentum-x:
∂u '∂ t '
+u ' ∂u '∂ x '
+v ' ∂u '∂ y '
=−∂ p '∂ x '
+ 1Re (∂2 u '
∂ x '2 +∂2 u '∂ y '2 )
1) Orde nilai
∂u∂ t
≈orde nilai Δuorde nilai Δt
=(U e−0 ) /U e
(L/U e−0 ) /(L /U e )=1
2) Orde nilai suku konveksi u’ ( u’ / x’ ) adalah 11 = 1.
3) Orde nilai suku konveksi v ' ∂u '
∂ y '=δ '
(Ue−0)/Ue
(δ−0 )/ L=δ ' 1
δ '=1
.
4) Orde nilai suku difusi
∂2u '∂ x ' 2≈
orde nilai Δ (∂u ' /∂ x ' )orde nilai Δx '
=1−01−0
=1
5) Orde nilai suku difusi ∂2 u '∂ y '2
≈orde nilai Δ (∂ u ' /∂ y ' )orde nilai Δy '
=(1/δ ' )−0
δ '−0= 1
δ ' 2
6) Orde nilai suku gradien tekanan ditentukan dengan cara berikut. Di tepi luar lapisan batas, arus mengalir bebas dari pengaruh viskositas, sehingga andil gaya viskos dalam persamaan momentum menjadi tidak signifikan atau
∂u '∂ t '
¿ (1) ¿¿
¿+u' ∂u '∂ x '
¿ (1×1 ) ¿¿
¿+v ' ∂u '∂ y '
¿ (1×1 ) ¿¿
¿≈−∂ p '∂ x '
¿.
190
Karena orde sisi kiri harus harus sama dengan sisi kanan,
maka orde nilai ∂ p'
∂ x' pastilah 1 juga.
7) Orde nilai (1/Re) ditentukan dengan cara berikut. Jika gradien tekanan tidak ada, maka
∂u'
∂ t ' ¿ (1 ) ¿¿
¿+u ' ∂u'
∂ x ' ¿ (1×1 ) ¿¿
¿+υ' ∂u'
∂ y ' ¿ (1×1 ) ¿¿
¿= 1Re (∂
2u'
∂ x¿ +∂2u'
∂ y¿ )¿ (1+1/δ¿ ) ¿¿
¿¿. Karena orde sisi
kiri = orde sisi kanan persamaan, maka orde 1
Re (∂2 u'
∂ x¿ +∂2 u'
∂ y¿ ) adalah 1. Jadi, [orde (1/Re)](1+1/’2) =
1 atau [orde (1/Re)] = ’2 sebab nilai ’2 << 1.Analisis orde nilai pers. Momentum-y
Terakhir, kita tinjau orde nilai suku-suku dalam persamaan
momentum-y:
∂ v '∂ t '
+u ' ∂ v '∂ x '
+v ' ∂ v '∂ y '
=−∂ p'∂ y '
+ 1Re (∂2 v '
∂ x '2+ ∂2 v '∂ y '2 )
1) Orde nilai (v’/t’) adalah ∂ v∂ t
≈orde nilai Δvorde nilai Δt
=( v−0 )/U e
(L/U e−0 )/ (L /U e )= v '
1=δ '
2) Orde nilai suku konveksi u ' ∂ v '
∂ x '=1 δ '
1=δ '
3) Orde nilai suku konveksi v ' ∂ v '
∂ y '=δ '×1=δ '
4) Orde nilai suku difusi ∂2v '∂ x '2≈
orde nilai Δ (∂ v ' /∂ x ' )orde nilai Δx '
= δ '−01−0
=δ '
5) Orde nilai suku difusi ∂2 v '∂ y '2
≈orde nilai Δ (∂ v ' /∂ y ' )orde nilai Δy '
= 1−0δ '−0
= 1δ '
6) Orde nilai suku gradien tekanan ditentukan dengan cara berikut. Di tepi luar lapisan batas, arus mengalir bebas dari pengaruh viskositas, sehingga andil gaya viskos dalam persamaan momentum menjadi tidak signifikan atau
∂ v '∂ t '
¿ ( δ' ) ¿¿
¿+u ' ∂ v '∂ x '
¿ ( δ ' ) ¿¿
¿+v ' ∂u '∂ y '
¿ (δ ' ) ¿¿
¿≈−∂ p '∂ y '
¿. Karena orde sisi kiri harus harus
191
sama dengan sisi kanan, maka orde nilai
∂ p '∂ y ' pastilah ’
juga.
7) Orde nilai (1/Re) telah ditentukan sebesar ’2.Orde nilai suku-suku pers. N-S
Berikut bisa dilihat persamaan nir-dimensi N-S dengan orde nilai dituliskan dalam tanda kurung di atas tiap-tiap suku:
1) kontinuitas:
∂u '∂ x '
¿ (1 ) ¿¿
¿+ ∂ v '∂ y '
¿ (1 ) ¿¿
¿=0¿
2) momentum-x:
∂u '∂ t '
¿ (1 ) ¿¿
¿¿¿+u ' ∂u '∂ x '
¿ (1×1 ) ¿¿
¿ ¿¿+v ' ∂u '∂ y '
¿(δ '×1δ ') ¿¿
¿¿¿=−∂ p '∂ x '
¿ (1 ) ¿¿
¿¿¿+ 1Re
¿ (δ¿ ) ¿¿
¿¿¿(∂2u '∂ x '2
+ ∂2 u '∂ y '2 )¿ (1+1/δ ¿) ¿
¿
¿¿¿¿
3) momentum-y:
∂ v '∂ t '
¿ (δ' ) ¿¿
¿+u ' ∂ v '∂ x '
¿ (1×δ' ) ¿¿
¿+v ' ∂ v '∂ y '
¿ (δ'×1 ) ¿¿
¿=−∂ p '∂ y '
¿ (δ' ) ¿¿
¿+ 1Re
¿ (δ¿ ) ¿¿
¿ (∂2 v '∂ x ' 2 +
∂2 v '∂ y ' 2 )¿ (δ '+1/δ ' ) ¿
¿
¿¿
Nilai ’ biasanya kurang dari 0,01. Suku-suku dengan orde sebesar ’ atau kurang bisa diabaikan relatif terhadap suku-suku berorde 1. Untuk lapisan batas plat pada Re = 7 juta:
δ '≈10−3
δ ¿≈10−6
δ ¿≈10−9
Jadi, dibandingan dengan suku-suku berorde 1, suku-suku berorde ’ sungguh seumpama semut disanding gajah, dan suku-suku ’ 2
dan ’ 3 bahkan lebih kecil lagi. Dengan demikian, maka:
1) Persamaan kontinuitas bertahan.
2) Persamaan momentum-x berkurang satu suku yaitu suku difusi arah-x.
3) Persamaan momentum-y bisa dihapus sama sekali.
Apa yang tinggal adalah persamaan lapisan batas yang terkenal itu:
1) Kontinuitas :
∂u '∂ x '
+ ∂ v '∂ y '
=0
2) Momentum-x :
∂u '∂ t '
+u ' ∂u '∂ x '
+v ' ∂u '∂ y '
=−∂ p '∂ x '
+ 1Re
∂2 u '∂ y '2
192
D. Penyelesaian BlasiusMetode eksak
Persamaan ini pertama kali diselesaikan oleh Blasius5 pada kasus:
1) aliran laminer,
2) paralel di atas plat datar, dan
3) gradien tekanan nol.
Di sini, uraian rinci analisis Blasius tidak disertakan, tetapi hanya diungkapkan hasilnya saja, yaitu:
1) Ketebalan lapisan batas () pada posisi x dari hulu plat
adalah
xe xUx Re55
.
2) Gradien kecepatan di permukaan plat adalah
xU
Uyu e
ey
332,00 .
3) Tegangan geser pada permukaan plat adalah
xU
Uyu e
ey
332,00 .
4) Koefisien gesekan permukaan lokal (coefficient of local skin friction) bisa ditentukan sebagai perbandingan tegangan geser dan tekanan kinetik aliran bebas:
C fx=τ
12 ρU e
2
atau
xee
ee
fx xUUx
UU
CRe664,0664,0
332,0
221
.
5) Koefisien gesekan permukaan total pada plat selebar W dan sepanjang L bisa ditentukan sebagai perbandingan gaya gesek pada plat per satuan luas plat dan tekanan kinetik
aliran bebas:
Lx
xfx
e
Lx
xefx
fL dxCLWLU
WdxUCC
02
21
0
221
1
atau
dxxUL
CLx
x efL
0
664,01
atau
5 H. Blasius, Grenzshichten in Flüssighkeiten mit kleiner Reibung, Z. Math. U. Phys. Sci., 1, 1908.
193
fx
Lx
xe
fL CxUL
C .22664,00
atau
LfLC
Re328,1
.
Secara visual, Gambar 137 memperlihatkan hubungan tebal lapisan batas per jarak x dari hulu plat per x (/x) dengan nilai bilangan Re lokal (Rex). Dari sini tampak bahwa semakin besar Rex semakin tipis ketebalan lapisan batas. Gambar 138 memperlihatkan dengan lebih jelas pengaruh kecepatan aliran terhadap ketebalan lapisan batas. Dari gambar tampak bahwa semakin tinggi kecepatan, semakin tipis lapisan batas.
0
1
2
3
4
5
1 10 100 1.000 10.000 100.000
Re lokal di posisi x, Rex
Teba
l BL
/ x
Gambar 137. Grafik tebal lapisan batas per x (/x) sebagai fungsi Rex
194
0
1
2
3
4
5
0 200 400 600 800 1000
Posisi x (cm)
Teba
l BL
(cm
)
Ve 0,1 cm/s Ve 1 cm/s Ve 10 cm/s
Gambar 138. Tebal lapisan batas () pada berbagai posisi x dari hulu plat untuk berbagai kecepatan
E. Analisis Integral Momentum von KärmänMetode pendekatan
Penyelesaian Blasius sangat terbatas dalam penerapannya hanya pada kasus BL laminer di atas permukaan datar. Namun, metode tersebut sulit diterapkan pada situasi dengan fenomena yang lebih kompleks. Untuk mengatasi ini, von Kärmän memperkenalkan sebuah metode pendekatan yang dikenal sebagai Analisis Integral Momentum.
Sesuai dengan namanya, analisis dilakukan dengan berdasarkan pada penerapan persamaan integral momentum pada CV lapisan batas Gambar 139. Analisis berikut dilakukan pada keadaan aliran tunak (steady), dan untuk tiap satuan kedalaman.
195
Gambar 139. CV dalam lapisan batas
Persamaan integral momentum-x pada CV adalah:
∑ F x=uρ (V⋅n ) dA+ ∂∂ tuρd V
dengan:
∑ F x=Falignl¿ tekan ¿kiri ¿+Falignl¿ tekan ¿kanan ¿+Falignl¿ tekan ¿atas ¿−Fgeser ¿ ¿=pδ|x−pδ|x+Δx+( p|x+ p|x+Δx
2 ) (δ|x+Δx−δ|x )−τ0 Δx ¿¿
uρ (v⋅n ) dA=− y=0
y=δ
ρu2 dy|x+ y=0
y=δ
ρu2 dy|x+Δx−Ue matas
∂∂ t ρ dV=0 (aliran tunak )
Ungkapan untuk matas bisa ditentukan dari neraca massa, dan hasilnya adalah:
matas=− y=0
y=δ
ρ udy|x+ y=0
y=δ
ρudy|x+Δx
Penyulihan suku-suku ini ke dalam persamaan momentum-x dan pembangian hasilnya dengan x memberikan:
−pδ|x+Δx−pδ|xΔx
+p|x+p|x+Δx
2 (δ|x+Δx−δ|xΔx )−τ0=
0
δ
ρu2 dy|x+Δx−0
δ
ρu2dy|x
Δx+U e
0
δ
ρ udy|x+Δx−0
δ
ρ udy|x
ΔxPada batas (limit) volume yang menciut mendekati nol persamaan ini menjadi:
− ddx
( pδ )+ p dδdx
−τ 0=d
dx y=0
y=δ
ρu2 dy−U eddx y=0
y=δ
ρ udy
atau
−δ dpdx
−p dδdx
+ p dδdx
−τ0=d
dx y=0
y=δ
ρu2 dy−U eddx y=0
y=δ
ρ udy
atau
196
−δ dpdx
=τ0+ddx y=0
y=δ
ρu2 dy−U eddx y=0
y=δ
ρudy
atau
τ 0=−δ dpdx
− ddx0
δ
ρu2dy+U eddx0
δ
ρ udy
atau (untuk aliran inkompresibel)
τ0
ρ=− δ
ρdpdx
+ ddx0
δ
u (U e−u )dy
Inilah ungkapan integral momentum von Kärmän.
Untuk menerapkan persamaan ini diperlukan pengetahuan profil kecepatan u sebagai fungsi jarak dari permukaan y. Akurasi hasil akhir bergantung pada seberapa dekat profil kecepatan anggapan dekat dengan yang sesungguhnya.
Contoh Sebagai contoh, persamaan integral momentum von Kärmän diterapkan pada kasus yang telah diketahui jawaban eksaknya, yaitu aliran laminer di atas plat datar yang telah diselesaikan oleh Blasius. Dalam kasus ini, tekanan dalam aliran adalah seragam sehingga gradiennya nol sehingga persamaan von Kärmän disederhanakan menjadi:
τ0
ρ= d
dx0δ
u (U e−u )dy
Penyelesaian awal didapat oleh Pohlhausen yang menganggap profil kecepatan sebagai fungsi kubik:
u=a+by+cy 2+dy3
Konstanta a, b, c, dan d bisa diperoleh dari syarat batas yang harus dipenuhi oleh lapisan batas, yaitu:
1) No-slip condition: u=0 di y = 0.
2) Di tepi BL (y = ) fluida mengalir dengan kecepatan arus
bebas: u=U e .
3) Di tepi BL (y = ) gradien kecepatan nol:
∂u∂ y
=0.
4) Tekanan di mana-mana seragam, sehingga
∂2 u∂ y2=0
di y = 0.
Evaluasi keadaan di syarat batas memberikan:
1) Di y = 0, u=a+b . 0+c . 02+d . 03=0 sehingga a = 0.
197
2) Di y = , u=0+b . δ+c .δ 2+d .δ 3=Ue .
3) Di y = ,
∂u∂ y
=b+2c .δ+3 d .δ2=0.
4) Di y = 0,
∂2 u∂ y2=2c+6d . 0=0
sehingga c = 0.
Nilai b dan d selanjutnya bisa diperoleh dari 2) dan 3), hasilnya:
d=−U e
2δ 3 dan
b=−3dδ 2=3U e
2 δ . Jadi profil kecepatannya adalah:
u=32
yδ
U e−12 ( y
δ )3U e
Penyulihan profil kecepatan ini ke dalam persamaan integral momentum:
τ0
ρ= d
dx0
δ
u (U e−u )dy
dengan
τ 0=μ dudy
|y=0=μ [ 32
1δ
U e−12
3 y2
δ3 U e]y=0
=μ 32
U e
δ
memberikan:
μρ
32
Ue
δ= d
dx0
δ
U e2 ( 3
2yδ−1
2 ( yδ )
3 )(1− 32
yδ+ 1
2 ( yδ )
3)dy
Integrasi persamaan ini memberikan:
μρ
32
U e
δ= 39
280ddx (U e
2δ )= 39280 U e
2 dδdx
atau
δ . dδ= 14013
μρU e
dx
yang hasil integrasinya adalah:
12 δ2=140
13μ
ρU ex=140
13μ
ρU e xx2=140
13x2
Rex
atau
δx= √ 280
13
√Re x=4 , 64√Rex
198
Dari sini bisa ditentukan koefisien gesekan permukaan lokal:
C fx=τ0
12 ρU e
2=
μ 32
U e
δ12 ρU e
2=3 μ
ρU e xxδ=3 1
Rex
√Rex
4 ,64=0 ,646
√Rex
dan integrasi koefisien ini dalam rentang x dari 0 sampai L memberikan:
C fL=2 . C fx=1 ,292√Rex
Tabel 3 merangkum perbandingan hasil penyelesaian eksak (Blasius) dan hasil penyelesaian pendekatan (von-Kärmän). Perbandingan ini menunjukkan bahwa selisih hasil pendekatan hanyalah sekitar 7% dan Cf hanyalah sekitar 3%. Selisih ini bisa lebih sedikit jika profil kecepatan yang dianggapkan bisa lebih mewakili profil aktualnya dengan lebih akurat. Hasil ini menunjukkan bahwa metode pendekatan layak digunakan jika metode eksak tidak memungkinkan untuk dilakukan.
Tabel 3. Penyelesaian eksak Blasius vs pendekatan von-Kärmän
Parameter Penyelesaian eksak (Blasius)
Penyelesaian pendekatan (von-Kärmän)
Selisih
Ketebalan BL δx= 5√Rex
δx= 4 , 64√Rex
7%
Koefisien gesekan permukaan lokal C fx=
0 ,664√Rex
C fx=0 , 646√Rex
3%
Koefisien gesekan permukaan C fL=
1 ,328√ReL
C fL=1 ,292√Rex
3%
199
MODUL X. ALIRAN DALAM SALURAN TERTUTUP
Deskripsi
Saluran tertutup mewakili perpipaan dan duct. Pipa dan duct sangat banyak dijumpai penerapannya dalam kehidupan manusia. Akibat gesekan, fluida akan mengalami penurunan tekanan. Oleh karena itu, untuk mengalirkannya dalam saluran dibutuhkan penekanan dari luar. Aliran cairan dalam saluran tertutup bisa digerakkan oleh penekanan akibat gaya gravitasi atau oleh pompa. Aliran gas dalam saluran tertutup bisa digerakkan oleh penekanan oleh blower atau kompresor. Dengan demikian, fokus bahasan modul ini adalah menentukan penurunan tekanan yang dialami oleh fluida sewaktu mengalir dalam saluran tertutup.
Sasaran belajar:
5. Melakukan analisis dimensional untuk perencanaan eksperimen6. Mendefinisikan diameter ekuivalen (diameter hidrolik) dan panjang
ekuivalen saluran7. Menggolongkan sifat aliran dalam saluran tertutup8. Menghitung penurunan tekanan aliran akibat gesekan dalam saluran
tertutup9. Menyebutkan dan menjelaskan prinsip kerja alat pengukuran kecepatan
aliran dalam saluran tertutup
A. Analisis DimensionalAnalisis dimensional
Dalam modul sebelumnya telah dilakukan analisis diferensial aliran laminer dalam pipa. Hasilnya adalah persamaan Poiseuille yang bisa digunakan untuk menentukan penurunan tekanan yang dialami oleh fluida yang mengalir dalam pipa.
Namun, penurunan tekanan aliran turbulen tidak bisa ditentukan secara analitik. Oleh karena itu, satu-satunya jalan yang harus ditempuh adalah eksperimen. Efisiensi eksperimen telah sangat terbantu berkat analisis dimensional yang memungkinkan reduksi jumlah variabel persoalan yang harus ditangani.
Dalam persoalan aliran dalam pipa, variabel yang terlibat beserta dimensinya diperlihatkan pada Tabel 4.
Tabel 4. Variabel persoalan aliran turbulen dalam pipa
Variabel Lambang Dimensi
1 Penurunan tekanan P MLt–2
2 Kecepatan v L t–1
200
3 Diameter pipa D L
4 Panjang pipa L L
5 Kekasaran permukaan pipa e L
6 Viskositas fluida ML–1t–1
7 Densitas fluida ML–3
Menurut teorema Buckingham, cacah bilangan nirdimensi, , ada sebanyak selisih #variabel dan #dimensi. Dalam kasus ini, cacah variabel = 7 seperti tampak pada tabel di atas; dan cacah dimensi = 3 (M, L dan t). Dengan demikian maka cacah adalah (7–3) = 4. Karena #dimensi = 3, maka bisa diambil tiga variabel inti untuk menyusun keempat bilangan nirdimensi . Dalam kasus ini katakanlah diambil variabel: , V, dan D sebagai variabel ini, maka:
1 = a . Vb . Dc . P
2 = d . Ve . Df . L
3 = g . Vh . Di . e
4 = j . Vk . Dl .
Dengan menyeragamkan dimensi suku-suku kiri dan kanan maka akan diperoleh:
1 = 1 . V2 . D0 . P atau 1 = P / (.V2)
2 = 0 . V0 . D1 . L atau 2 = L / D
3 = 0 . V0 . D1 . e atau 3 = e / D
4 = 1 . V1 . D1 . atau 4 = .V.D/ = Re (bil. Reynolds)
Keempat bilangan nirdimensi ini bisa dikumpulkan menjadi satu sebagai:
1 = f1(2, 3, 4)
atau
P / (.V2) = f1((L/D), (e/D), Re)
Dari analisis sebelumnya telah diperoleh hubungan: P = .g.hL. Penyulihan hubungan ini ke dalam persamaan terakhir diperoleh:
hL = (V2/g). f1((L/D), (e/D), Re)
atau bila dianggap hL tergantung secara linier terhadap (L/D) maka:
hL = (V2/g).(L/D). f2((e/D), Re).
Hasil ini memperlihatkan bahwa persoalan yang melibatkan banyak variabel bisa diringkas hanya menjadi beberapa variabel penting saja.
Dalam kasus ini yang perlu diukur dalam eksperimen tinggal
201
hubungan antara hL dan fungsi f2((e/D), Re). Fungsi f2((e/D), Re) biasa disebut dengan istilah faktor gesekan, f. Dengan demikian persoalan dipermudah menjadi penentuan nilai faktor gesekan sebagai fungsi (e/D) dan Re – dua variabel bebas saja!
B. Faktor Gesekan2 macam faktor gesekan
Cara penyajian data faktor gesekan ada dua macam, yaitu:
Faktor gesekan Fanning, fF (= f/2), untuk pemakaian dengan rumus: hL = 2fF (V2/g).(L/D).
Faktor gesekan Darcy, fD (= 2f), untuk pemakaian dengan rumus: hL = fD (V2/2g).(L/D).
Perlu dicatat bahwa:
fF = Cf (koefisien gesekan kulit – skin friction coefficient).
fD = 4.fF.
Dengan demikian, di dalam pemakaian data faktor gesekan harus diperhatikan definisi mana yang dipakai – apakah definisi Fanning atau Darcy.
C. Kerugian HeadKerugian pada Pipa Lurus
Dari analisis neraca energi dan persamaan Hagen-Poiseuille:
hL = 32 VL / (gD2)
atau dalam notasi fF:
hL = 32 [/(VD)] . (L/D) . (V2/g) = (32/Re) . (L/D) . (V2/g)
Pembandingan dengan rumus Fanning menunjukkan bahwa:
(32 / Re) = 2fF
atau
fF = 16 / Re
untuk aliran laminer.
Bagaimana dengan fF untuk aliran turbulen?
Nilai fF bisa ditentukan melalui eksperimen sebagai fungsi (e/D) dan Re. Berikut adalah angkuman faktor gesekan Fanning untuk segala macam aliran:
Aliran Laminer (Re < 2300):
fF = 16 / Re.
Aliran Turbulen (Pipa halus, Re > 3000):
fF–(1/2) = 4.0 log10{Re.fF
(1/2)} – 0.40
202
Aliran Turbulen (Pipa kasar, dengan (D/e)/(Re.fF(1/2)) < 0.01):
fF–(1/2) = 4.0 log10{D/e} + 2.28
Aliran Transisi Laminer-Turbulen:
fF–(1/2) = 4.0 log10{D/e} + 2.28 – 4.0 log10{4.67(D/e)/(Re.fF
(1/2)) + 1}
Aliran dengan 4104 Re 108 dan 0 Re 0.05:
fF–(1/2) = –3.6 log10{(6.9/Re) + [e/(3.7D)](10/9)}, (teliti 1.5%)
Sejauh ini telah dibicarakan perhitungan rugi-rugi aliran di dalam pipa lurus, lantas bagaimana dengan bentuk pipa yang tidak lurus (sambungan, belokan, dan katup)?
Kerugian pada Fitting
Untuk memperhitungkan rugi-rugi karena bentuk dipakai hubungan berikut yang sepadan bentuknya dengan rumus Fanning:
hL = 2fF (V2/g).(Leq/D)
dengan Leq = panjang ekuivalen, yaitu panjang pipa lurus yang menghasilkan rugi-rugi sebesar rugi-rugi karena bentuk saluran; atau dengan rumus:
hL = P / (.g) = K (V2/g)
dengan K = koefisien rugi-rugi yang tergantung pada macam sambungan (fitting).
Data-data K dan (Leq/D) untuk beberapa macam sambungan diperlihatkan pada Tabel 5.
Tabel 5. Koefisien rugi dan panjang ekuivalen
Sambungan (fitting) K Leq/D
Belokan 180o 1.6 75
Belokan 90o baku 0.7 32
Belokan 45o baku 0.35 15
Katup gate, bukaan ¼
20 900
Katup gate, bukaan ½
4.4 200
Katup gate, bukaan ¾
0.85 40
Kerugian pada Pipa Penampang Sembarang
Terakhir, bagaimana perhitungan rugi-rugi untuk saluran yang penampangnya tidak bundar?
Jawabnya: semua hubungan untuk pipa bundar bisa tetap digunakan untuk saluan berpenampang sembarang dengan sekedar mengganti diameter D dalam rumus dengan diameter-ekuivalen Deq
yang didefinisikan sebagai:
203
Deq = 4 (Luas potongan-melintang aliran) / (Keliling-saluran yang dibasahi)
Keliling-saluran yang dibasahi fluida biasa disebut juga sebagai “jari-jari hidrolik, Rh.” Contoh perhitungan Deq untuk pipa konsentris dengan garis-tengah luar Do dan garis-tengah dalam Di
adalah:
Luas potongan-melintang aliran = (Do2 – Di
2)/4
Keliling-saluran yang dibasahi, Rh = (Do + Di)
Deq = 4 [(Do2 – Di
2)/4] / [(Do + Di)]
Deq = Do – Di
D. Macam Persoalan Aliran3 Macam Persoalan
Faktor gesekan terkait dengan enam parameter aliran, yaitu:
1) Diameter pipa, D
2) Kecepatan rerata, v
3) Densitas fluida,
4) Viscositas fluida,
5) Kekasaran pipa, e
6) Rugi-rugi gesekan per satuan massa.
Jadi, jika diketahui 5 dari keenamnya maka satu parameter sisanya bisa diperoleh dengan menggunakan diagram faktor-gesekan.
Ada tiga macam persoalan yang paling lazim, yaitu:
Macam 1: Diketahui: D, e, , , Q Dicari: hf
Macam 1: Diketahui: D, e, , , hf Dicari: Q
Macam 1: Diketahui: e, , , hf, Q Dicari: D
Persoalan macam-1 bisa diselesaikan secara langsung, sedangkan macam-2 dan 3 memerlukan coba-coba (trial and error).
Tiga persoalan dasar yang biasa dijumpai dalam perhitungan aliran-pipa adalah sebagai berikut. Nilai parameter , , g, dan L sudah tertentu.
1) Diketahui D, v (atau Q), hitung penurunan tekanan (persoalan penurunan-tekanan).
2) Diketahui D, P, hitung kecepatan atau laju aliran (persoalan laju-aliran).
3) Diketahui Q, P, hitung diameter D pipa (persoalan penentuan ukuran pipa – sizing problem)
204
E. Pengukuran AliranVenturi meter
Dalam alat ukur ini (Gambar 140) fluida dipercepat oleh karena laluannya yang berupa kerucut dengan sudut 1 15-20o. Perbedaan tekanan antara ujung hulu dan kerongkongan (throat) mewakili laju aliran fluida.
Fluida kemudian diperlambat pada kerucut dengan sudut yang lebih kecil 2 5-7o di mana sebagian besar energi kinetik diubah kembali menjadi energi tekanan. Karena pengurangan luasan yang perlahan maka tidak terbentuk vena-contracta dan luasan aliran minimum pada kerongkongan sehingga koefisien kontraksinya sama dengan satu.
Konstruksi alat ukur ini mahal, tetapi sifat pemulihan energinya tinggi sehingga bisa digunakan walaupun head tekanan yang tersedia kecil.
Supaya pemulihan tekanannya besar, sudut kerucut hilir dibuat kecil sehingga separasi lapisan-batas bisa dicegah dan gesekan diminimalkan. Karena separasi tidak terjadi pada penampang-lintang mengecil, kerucut hulu bisa dibuat lebih pendek daripada kerucut hilir dengan hanya sedikit gesekan, sehingga ruang dan bahan bisa dihemat.
Walaupun venturimeter bisa digunakan untuk pengukuran gas, tetapi paling biasa digunakan untuk pengukuran cairan. Oleh karena itu, pembicaraan berikut dibatasi pada fluida inkompresibel.
Gambar 140. Venturimeter
205
Persamaan Venturimeter
Persamaan dasar untuk venturimeter bisa diperoleh dari persamaan Bernoulli untuk fluida inkompresibel antara dua irisan a dan b. Gesekan diabaikan dan posisi venturimeter dianggap horizontal.
Jika Va dan Vb adalah kecepatan rata-rata di hulu dan hilir dan adalah densitas fluida, maka
pa+12 ρV a
2+ ρ gha=pb+12 ρV b
2+ρ ghb
karena ha = hb maka persamaan bisa disusun untuk kecepatan menjadi:
V b2−V a
2=2 ( pa−pb )
ρ
Hubungan kecepatan di a dan b bisa diperoleh dari persamaan kontinuitas:
ma=mbρa V a Aa=ρb V b Ab
untuk aliran inkompresibel a = b sehingga:
V a=Ab
AaV b=
π4 Db
2
π4 Da
2V b=(Db
Da)2
V b=β2V b
dengan Da = diameter pipa, Db = diameter kerongkongan (throat), dan b = rasio diameter (Db/Da). Jika Va dari kedua persamaan dieliminasi maka:
V b2−( β2V b)
2=2 ( pa−pb )
ρ
atau:
V b=1
√1−β4 √ 2 ( pa− pb)ρ
Persamaan ini berlaku hanya untuk aliran fluida inkompresibel. Untuk memperhitungkan rugi gesekan di antara lokasi a dan b, persamaan ini dikoreksi dengan memperkenalkan sebuah faktor empiris CV. Koefisien CV ditentukan secara eksperimen dan disebut koefisien venturi.
Jika b < ¼ (atau Db kurang dari Da/4) maka pengaruh b bisa
diabaikan karena suku 1/√1−β4 menjadi sangat kecil dan error
yang diakibatkannya kurang dari 0,2 persen.
Untuk venturi berdesain baik, konstanta CV bernilai:
sekitar 0,98 untuk pipa berdiameter 2 sampai 8 inch dan
sekitar 0,99 untuk diameter yang lebih besar.
Venturimeter dengan desain yang memadai menghasilkan rugi tekanan permanen sebesar lk. 10% dari beda tekanan venturi
206
(pa – pb), dan 90% sisanya terpulihkan.
Laju aliran volumetrik. Kecepatan di kerongkongan venturi Vb
biasanya bukanlah merupakan besaran yang ingin diketahui. Informasi aliran yang berguna secara praktis adalah laju aliran massa dan volume melalui alat ukur. Laju aliran volume dihitung dari:
Q=V b Ab
dan laju aliran massa dihitung sebagai perkalian Q dan densitas:
m=ρQ=ρV b Ab .
Berikut adalah dimensi baku dari venturimeter:
Sudut kerucut masuk (2.1) = 212o
Sudut kerucut keluar (2.2) = 5 sampai 15o
Kerongkongan: panjang = diameterOrificemeter Venturimeter konstruksinya relatif rumit, walaupun memiliki
kelebihan: handal, rugi-rugi tekanannya kecil, dan luas digunakan (khususnya untuk volume aliran gas dan cairan yang besar). Untuk jalur pipa kecil, karena rumitnya konstruksi, harga venturimeter menjadi mahal. Oleh karena itu digunakan alat yang lebih sederhana, yaitu: orificemeter.
Orificemeter terdiri dari orifice, yaitu sebuah plat datar yang berlubang lingkar di tengahnya. Gambar 141 memperlihatkan dua lubang-pencatat tekanan tepat di hulu dan di hilir orifice yang dipasangi manometer.
Gambar 141. Orificemeter
Penempatan lubang pencatat
Ada tiga macam cara penempatan lubang-pencatat (tap) yang dikenal, dan koefisien orificemeter tergantung pada posisi lubang pencatat ini.
207
1) Jenis lubang-pencatat (tap) berupa flange, jarak lubang-pencatat hulu & hilir sama-sama 1 inch.
2) Jenis lubang-pencatat (tap) berupa vena contracta, jarak lubang-pencatat di hulu = ukuran diameter dalam pipa & di hilir = 0,3-0,8 diameter dalam pipa.
3) Jenis lubang-pencatat (tap) berupa pipa, jarak lubang-pencatat di hulu = 2,5 kali diameter pipa nominal & di hilir = 8 kali diameter pipa nominal.
Prinsip Kerja Prinsip kerja orifice. Prinsipnya identik dengan venturimeter. Penurunan penampang lintang aliran yang melalui orifice akan menaikkan head kecepatan yang disertai dengan penurunan head tekanan, dan penurunan tekanan antara lubang-lubang pencatat diukur menggunakan manometer.
Persamaan Bernoulli merupakan dasar keterkaitan antara kenaikan head kecepatan dan penurunan head tekanan.
V b=1
√1−( Ab
Aa)2 √ 2 ( pa−pb)
ρ
Kesulitan dengan orificemeter, yang tidak dijumpai pada venturimeter, terletak pada rumitnya penentuan Ab (vena contracta). Luas vena-contracta biasa ditentukan berdasarkan keterkaitannya dengan penampang lintang orifice (Ao) yang disebut sebagai koefisien kontraksi Cc:
C c=Ab
Ao
Dengan demikian, karena Vo.Ao = Vb.Ab maka Vo = Vb.Cc sehingga
V o=V bCc=Cc
√1−Cc2 ( Ao
Aa)2 √ 2 ( pa−pb )
ρ
Namun persamaan ini kurang praktis sehingga diperkenalkan koefisien discharge Co untuk memperhitungkan (a) parameter Cc, dan (b) rugi-rugi gesekan dalam alat, sehingga persamaan kecepatan menjadi lebih sederhana:
V o=Co
√1−( Ao
Aa)
2 √ 2 ( pa−pb)ρ
atau:
208
V o=Co
√1−β4 √ 2 ( pa− pb)ρ
dengan b = (Do/Da).
Dengan demikian laju aliran Q melalui pipa dihitung dari persamaan:
Q=V o Ao=Co Ao
√1−β4 √ 2 ( pa−pb)ρ
Co sangat bervariasi dengan rasio (Ao/Aa) dan bilangan Reynolds. Nilai Co bisa diambil 0,61 untuk alat ukur baku pada bilangan Reynolds lebih dari 104, walaupun nilai tersebut terasa berubah pada nilai Reynolds yang lebih rendah.
Pemulihan tekanan orifice. Rugi tekanan permanen bergantung pada nilai b = (Do/Da). Untuk b = 0,5 rugi tekanan mencapai 73% dari perbedaan tekanan orifice.
Venturi vs orifice
Dalam pembandingan kedua alat ukur harus dipertimbangkan pula biaya instalasi dan biaya operasi.
1) Plat orifice bisa mudah diubah untuk mengakomodasi berbagai laju aliran yang sangat berbeda, sedangkan diameter kerongkongan venturi tetap, sehingga rentang laju alirannya dibatasi oleh batas praktis dari p.
2) Orificemeter menimbulkan kerugian tekanan permanen yang besar karena adanya olakan pada sisi hilir plat orifice; bentuk venturimeter mencegak pembentukan olakan sehingga rugi-rugi permanen bisa dikurangi.
3) Orifice murah dan mudah dipasang. Venturimeter mahal, dan harus difabrikasi dengan teliti. Orifice buatan sendiri seringkali sangat memuaskan, sedangkan venturimeter praktis selalu harus dibeli dari agen instrumen.
4) Kerugian head (berarti pula kerugian daya) pada orifice berkali-kali lebih besar daripada pada venturi. Jadi, bila orifice dipasang pada sebuah jaringan yang menyalurkan fluida secara terus-menerus sepanjang waktu yang lama, biaya rugi-rugi daya boleh jadi tidak seimbang dengan penghematan biaya alat. Oleh karena itu, orifice paling baik digunakan untuk tujuan pengujian atau kasus-kasus lain di mana kerugian daya bukanlah faktor penting.
5) Orifice, walaupun kerugian dayanya besar, sangat luas digunakan karena keluwesannya yang lebih besar, karena pemasangan sebuah plat orifice baru dengan bukaan yang berbeda mudah dilakukan – venturimeter tidak sedemikian mudah diubah. Venturimeter digunakan hanya untuk instalasi permanen.
6) Orificemeter memberikan pembacaan yang lebih tinggi
209
daripada venturimeter pada kecepatan yang sama.Tabung pitot Tabung pitot adalah alat untuk mengukur kecepatan lokal
sepanjang sebuah garisarus (streamline). Tabung pitot (Gambar142) mempunyai dua tabung: yaitu tabung stagnasi (a) dan tabung statik (b).
Mulut tabung-stagnasi (a) menantang arah aliran, sedangkan mulut tabung-statik paralel dengan arah aliran. Kedua tabung dihubungkan dengan manometer atau alat serupa untuk mengukur beda tekanan.
Tabung statik mengukur Pstatik, karena tidak ada komponen kecepatan yang tegak lurus dengan mulutnya. Tabung stagnasi mengukur Pstatik + Pkinetik – atau dalam head, tabung stagnasi mengukur head tekanan statik plus head kecepatan. Oleh karena itu, bacaan pada manometer (hm) akan terkait dengan head kecepatan (V2/2g).
Gambar 142. Tabung Pitot
Analisis tabung Pitot
Analisisnya rincinya demikian. Penerapan persamaan Bernoulli pada titik a dan b memberikan:
Pa+12 ρV a
2+ ρ gha=Pb+12 ρV b
2+ρ ghb
karena di titik stagnasi (a) kecepatan Va = 0, maka persamaan menjadi:
V b=√2
Pa−Pb
ρ +2 g (ha−hb )=√2Pa−Pb
ρ +gd
Fluida dalam tabung mulai dari (a) sampai (b) berada dalam keadaan diam sehingga dari persamaan statika:
Pa+ρg 12 d+ρ ghm−ρm ghm=Pb
atau:
210
Pa−Pb=( ρm−ρ ) ghm− ρg 12 d
atau:
2Pa−Pb
ρ=2( ρm
ρ−1)ghm−gd
Penyulihan ungkapan ini ke dalam ungkapan Vb menghasilkan:
V b=√2( ρm
ρ−1)ghm
Gambar 143. Setup tabung PitotSetup tabung Pitot
Setup tabung pitot berikut tersusun dari dua tabung konsentrik yang disusun paralel dengan arah aliran; tekanan stagnasi diukur pada ujung bukaan tabung bagian dalam. Lihat Gambar 143. Ujung dari tabung konsentrik luar ditutup rapat dan sederetan orifice pada permukaan lengkung memberikan indikasi akurat tentang tekanan statik.
Supaya laju aliran tidak terlalu banyak terganggu, diameter instrumen tidak boleh lebih dari 1/9 diameter pipa. Pengukuran akurat dari tekanan stagnasi bisa diperoleh menggunakan sebuah tabung berdiameter sangat kecil dengan ujung bukaannya tegak lurus dengan arah aliran.
Tabung pitot mengukur kecepatan hanya pada sebuah filamen cairan, dan karenanya bisa digunakan untuk memetakan distribusi tekanan melintang pipa. Jika diinginkan pengukuran aliran total dari fluida melalui pipa, kecepatan harus diukur pada berbagai jarak
211
dari dinding dan hasilnya diintegrasikan. Laju aliran total bisa dihitung dari hanya satu bacaan apabila distribusi kecepatan melintang permukaannya telah diketahui.
Kecepatan yang diperoleh dari pengukuran dengan tabung pitot yang sempurna akan memenuhi persamaan:
V=√2( ρm
ρ−1)ghm
Namun demikian, semua alat harus dikalibrasi dan terhadap hasil pengukuran dikenakan sebuah faktor koreksi.
Rotameter Pada orificemeter, luasan hambatan (orifice) konstan dan penurunan tekanan merupakan fungsi dari laju aliran.
Pada rotameter sebaliknya, penurunan tekanan konstan dan luasan hambatan (orifice) fungsi dari laju aliran.
Rotameter terdiri dari sebuah tabung gelas tapered dengan diameter terkecil di dasar. Tabung terdiri dari apungan yang bisa bergerak bebas dengan penyangga pada dasar tabung. Jika fluida mengalir, apungan menaik sampai beratnya diimbangi oleh gaya dorong fluida, dan apungan mencapai posisi setimbangnya. Posisi inilah yang menunjukkan laju aliran dan besarnya bisa dibaca pada skala di sebelahnya yang biasanya ditorehkan pada tabung gelas.
Apungan distabilkan dengan adanya celukan helik yang membuatnya berputar – dari sinilah nama rotameter diturunkan.
Bentuk-bentuk apungan lainnya bisa digunakan – termasuk bola pada alat yang lebih kecil.
Gambar 144. Rotameter
Penurunan tekanan melalui apungan sama dengan beratnya dibagi dengan penampang-lintang terbesar pada bidang horizontal. Luasan untuk aliran adalah annulus yang dibentuk antara apungan dan
212
dinding tabung.
Rotameter, oleh karenanya, biasa dipandang sebagai orificemeter dengan bukaan/celah beragam, dan rumus yang diturunkan untuk orificemeter atau venturimeter tetap berlaku dengan hanya sedikit perubahan.
Baik pada orificemeter maupun rotameter penurunan tekanan timbul karena konversi energi tekanan menjadi energi kinetik (ingat persamaan Bernoulli) dan rugi-rugi gesekan yang diperhitungkan dalam koefisien discharge (CD).
Gambar 145. Gaya-gaya yang bekerja pada apungan
Analisis aliran
Analisis alirannya demikian. Informasi yang ingin dicari adalah ungkapan untuk menghitung debit aliran di posisi 2. Berdasarkan persamaan Bernoulli, pada posisi 1 dan 2 (Gambar 145) berlaku hubungan:
p1+12 ρV1
2+ρ gh1=p2+12 ρV 2
2+ ρ gh2
atau:
V 22−V 1
2=2( p1−p2 )
ρ+2 ρ (h1−h2)
Suku 2(h1 – h2) bernilai negatif. Jika pengaruh suku ini diabaikan maka akibatnya prediksi V2 dari persamaan tersebut akan lebih besar dari seharusnya. Namun, keuntungannya adalah diperolehnya ungkapan yang lebih sederhana:
V 22−V 1
2=2( p1−p2 )
ρ
Hubungan V1 dengan V2 bisa diperoleh dari persamaan kontinuitas:
213
V 1 A1=V 2 A2
dengan A1 penampang tabung dan A2 penampang annulus (luasan di antara tabung dan apungan), atau:
V 1=V 2
A2
A1
sehingga ungkapan untuk V2 menjadi:
V 22−V 2
2( A2
A1)2
=2( p1−p2 )
ρ
atau:
V 2=1
1−( A2 /A1)2 √2( p1−p2 )
ρ
Selanjutnya kita manfaatkan hubungan gaya-gaya yang bekerja pada apungan:
∑ F y=Fapung−Fberat+Falignl ¿ tekan ¿ke atas ¿+Falignl ¿ tekan ¿ke bawah ¿+Fdrag=0¿¿atau:
ρ V f g−ρ f V f g+ p1 A1−p2 A2+Fdrag=0
dengan f adalah densitas apungan, dan Vf adalah volume apungan. Selanjutnya anggaplah A1 = A2 = Af yaitu luasan proyeksi apungan searah aliran. Dari sini diperoleh ungkapan untuk penurunan tekanan menjadi:
p1−p2=(ρ f−ρ )V f
A fg−
Fdrag
A f
Untuk mudahnya pengaruh Fdrag diabaikan, walaupun dengan akibat prediksi nilai p1 – p2 menjadi lebih besar dari seharusnya, sehingga:
p1−p2
ρ=( ρ f
ρ−1)V f
A fg
Penyulihan ungkapan ini ke dalam persamaan kecepatan V2
menghasilkan:
V 2=1
1−( A2 /A1)2 √2( ρf
ρ−1)V f
A fg
Ungkapan ini, karena pengabaian-pengabaian yang dilakukan sewaktu penurunannya, akan memberikan nilai V2 yang lebih besar dari yang seharusnya. Oleh karena itu, ungkapan debit aliran yang diperoleh dari perkalian V2.A2 perlu dikoreksi dengan sebuah faktor menjadi:
214
Q=C DV 2 A2=CD A2
1−( A2 /A1)2 √2( ρf
ρ−1) V f
A fg
dengan CD adalah koefisien hambat aliran dari apungan yang tergantung pada:
1) bentuk apungan, dan
2) bilangan Reynolds (dihitung berdasarkan kecepatan aliran di annulus dan diameter hidrolik rerata anulus).
Secara umum, apungan yang memberikan koefisien hambat hampir konstan adalah yang bentuknya menimbulkan arus olakan dan memberikan nilai CD yang rendah.
Koefisien apungan CD yang konstan timbul karena turbulensi, dan karena alasan ini koefisien praktis tidak tergantung pada viskositas fluida. Alat bisa dibuat relatif tidak peka erhadap perubahan densitas fluida dengan memilih densitas apungan f. Jika densitas apungan dua kali densitas fluida, maka posisi apungan tidak tergantung pada densitas fluida.
Pemasangan Rotameter harus dipasang vertikal (dengan tabung-aliran tegak lurus terhadap lantai) karena bekerja atas dasar gravitasi. Rentang pengukuran rotameter bisa ditingkatkan dengan mengatur densitas apungan. Untuk tekanan tinggi, tabung gelas diganti dengan tabung logam. Jika tabung metal digunakan atau jika cairannya sangat gelap atau kotor, untuk pembacaan diperlukan indikator eksternal.
Kelebihan rotameter adalah pembacaan visualnya yang langsung, skalanya hampir linier, dan kerugian head konstan (dan kecil). Rotameter tidak harus di pasang pada jalur pipa yang lurus di hulu dan hilirnya.
Gambar 146. Macam-macam geometri apungan
215
216
MODUL XI. ALIRAN DALAM SALURAN TERBUKA
Deskripsi
Saluran terbuka mewakili sungai dan kali alami serta kanal buatan manusia. Aliran dalam saluran terbuka terjadi akibat gaya gravitasi karena perbedaan ketinggian muka fluida di hulu dan hilir. Dengan demikian, fokus bahasan modul ini adalah menentukan kecepatan aliran akibat beda ketinggian hulu-hilir.
Sasaran belajar:
10. Membedakan saluran terbuka dari saluran tertutup11. Mendefinisikan radius hidrolik12. Menggolongkan sifat aliran fluia dalam saluran terbuka13. Menghitung kecepatan aliran fluida dalam saluran terbuka
Aliran Saluran Terbuka
Aliran saluran terbuka adalah aliran fluida cair dalam saluran dengan permukaan bebas. Aliran ini pada praktiknya dijumpai pada kanal, selokan, kali, sungai, dlsb.
Aliran dalam saluran terbuka didominasi oleh pengaruh gravitasi. Di sini tidak ada pengaruh gradien tekanan, sebagaimana dijumpai pada saluran dalam saluran tertutup, karena fluida di sepanjang saluran kontak dengan atmosfir. Keberadaan permukaan bebas, yang tekanannya di mana-mana atmosferik, membuat analisis menjadi lebih ringan sekaligus lebih berat. Lebih ringan karena tidak adanya gradien tekanan menyebabkan gaya-gaya yang bekerja tinggal gravitasi dan gesekan. Lebih berat karena bentuk permukaan bebas tidak bisa diketahui di depan, sehingga profil kedalaman menjadi persoalan tambahan yang harus diselesaikan, khususnya dalam persoalan yang melibatkan gerakan gelombang.
Karena kerumitan persoalan aliran dalam saluran terbuka, maka tinjauan dalam modul ini hanya akan bersifat pengenalan saja.
Pendekatan 1-dimensi
Fluida dalam saluran terbuka kontak dengan dinding dasar dan pinggir saluran di mana berlaku keadaan nir-gelincir (no-slip condition). Dengan demikian, aliran ke satu arah dalam saluran lurus akan memiliki distribusi kecepatan tiga-dimensi. Distribusi kecepatan aliran pada bidang irisan melintang saluran tidaklah sederhana.
Secara teknik biasa diambil pendekatan sangat sederhana dengan menganggap aliran bersifat satu-dimensi dengan kecepatan v(x) pada tiap luasan tampang lintang A(x) pada posisi x sepanjang saluran. Karena densitas praktis konstan, maka berdasarkan persamaan kontinuitas, debit aliran Q juga konstan sepanjang saluran
217
Q = v(x).A(x) = konstanta
Untuk aliran steady, persamaan Bernoulli juga bisa diterapkan di sini dengan serta memperhitungkan efek gesekan. Antara titik 1 di hulu dan 2 di hilir berlaku persamaan:
p1+12 ρv1
2+ ρ gh1=p2+12 ρv2
2+ρ gh2+ρ ghL
Jika kedua titik ada di permukaan bebas, maka tekanan keduanya sama sehingga persamaan menjadi:
12 ρv1
2+ ρ gh1=12 ρv2
2+ρ gh2+ρ ghL
Kerugian head gesekan hL
hL= f LDh
v2
2 g
sangat mirip dengan pada aliran steady dalam saluran tertutup dan cukup bisa dikorelasikan dengan rumus Moody untuk aliran turbulen dengan permukaan kasar:
1f 1/2=−2,0 log ( ε /Dh
3,7+ 2 ,51
Re f 1/2 )Bilangan Reynolds Re dievaluasi dengan menggunakan diameter hidrolik Dh yang besarnya sama dengan 4A/P, dengan A adalah luas penampang saluran dan P keliling basah saluran.
Pada kebanyakan analisis saluran terbuka, alih-alih diameter hidrolik Dh digunakan radius hidrolik Rh yang besarnya sama dengan ¼ Dh
Rh=14
Dh=AP
Kelilih basah P hanya memperhitungkan panjang dinding saluran pada penampang lintang saluran yang kontak dengan fluida, sedangkan panjang permukaan bebasnya tidak diperhitungkan. Jadi, pada saluran terbuka persegi selebar b dengan kedalaman air h:
A=bhP=b+2 h → bukan:2 b+2 h
Aliran saluran terbuka biasanya turbulen karena dimensi fisik saluran yang biasanya besar (dibandingkan pada pipa) dengan air berviskositas kecil di dalamnya. Aliran laminer paling-paling dijumpai pada aliran selapis tipis air di permukaan jalan dan landasan pesawat terbang.
A. Klasifikasi AliranKlasifikasi aliran - berdasarkan
Metode klasifikasi aliran saluran terbuka yang paling lazim adalah berdasarkan laju perubahan kedalaman permukaan bebas. Kasus
218
kedalaman paling sederhana dan paling luas dianalisis adalah aliran seragam, yaitu aliran steady dengan kedalaman fluida (berarti juga kecepatan alirannya) konstan.
Keadaan aliran seragam dihampiri sebagai saluran lurus panjang berluas penampang konstan dan slope (kemiringan) konstan. Saluran dalam aliran seragam disebut bekerja pada kedalaman normal yn, sebuah parameter desain yang penting.
Jika kemiringan atau penampang lintang saluran berubah atau terdapat penghalang dalam aliran, kedalaman akan berubah dan aliran dikatakan beragam. Aliran dikatakan beragam perlahan jika pendekatan satu-dimensi sahih, dan jika tidak maka aliran dikatakan beragam cepat.
Dari sini maka klasifikasi aliran bisa dirangkum sbb:
1) Aliran seragam (kedalaman & kemiringan konstan
2) Aliran beragam
a) Beragam perlahan (satu dimensi)
b) Beragam cepat (multidimensi)
Biasanya peralihan dari aliran seragam menjadi aliran beragam cepat, atau sebaliknya, diperantarai oleh daerah aliran beragam perlahan. Aliran beragam perlahan bisa dianalisis dengan persamaan diferensial orde-1, tetapi aliran beragam cepat biasanya membutuhkan eksperimen atau teori potensial 3-D.
Klasifikasi aliran – berdasarkan bil. Froude
Klasifikasi kedua berdasarkan bilangan tak berdimensi Froude Fr. Untuk saluran segiempat atau saluran yang sangat lebar:
Fr= v√gy
dengan y adalah kedalaman fluida. Berdasarkan bilangan ini aliran dibagi menjadi 3 kelompok, yaitu:
1) Aliran subkritis, jika Fr < 1,0
2) Aliran kritis, jika Fr = 1,0
3) Aliran superkritis, jika Fr > 1,0
Pengelompokkan seperti ini mirip dengan pada fenomena aliran gas kompresibel. Pada aliran gas, klasifikasi dilakukan berdasarkan bilangan Mach dikelompokkan menjadi aliran subsonik, sonik dan supersonik. Bilangan Mach sendiri merupakan perbandingan antara kecepatan aliran dan kecepatan rambat gelombang dalam gas (= kecepatan suara).
Dengan analogi ini maka, Fr bisa ditafsirkan sebagai perbandingan kecepatan aliran fluida dan kecepatan rambat gelombang permukaan pada fluida.
1) Pada aliran kritis, kecepatan aliran tepat sama dengan kecepatan perambatan gelombang permukaan.
219
2) Pada aliran subkritis, fluida mengalir lebih lambat daripada kecepatan perambatan gelombang permukaan. Secara fisik, aliran fluida di permukaan tampak tenang.
3) Pada aliran superkritis, fluida mengalir lebih cepat daripada kecepatan perambatan gelombang permukaan. Secara fisik, aliran fluida di permukaan tampak deras. Jika aliran fluida di hilirnya subkritis, maka aliran akan terhambat sehingga fluida membukit. Fenomena ini disebut sebagai lompatan hidrolik (hydraulic jump).
Gambar 147. CV bergerak mengikuti gelombang permukaan
Analogi Fr dan Ma
Sesungguhnya bilangan Froude memang analog dengan bilangan Mach. Uraian penjelasannya adalah sbb. Bayangkan fluida dalam kanal selebar b. Di permukaan, gelombang setinggi y merambat dengan kecepatan tetap c ke arah fluida diam (dari kanan ke kiri). Gelombang permukaan akan mengimbaskan aliran massa fluida sebesar v ke arah fluida diam.
Fenomena ini lebih mudah dianalisis dengan mengambil CV bergerak mengikuti gelombang (Gambar 147). Dengan demikian aliran menjadi steady.
Neraca massa pada CV adalah:
∂∂ t ρ dV⏟
0 , steady
+ ρ (v⋅n ) dA=0
ρ ( v⋅n ) dA|kiri+ ρ (v⋅n )dA|kanan=0−ρc⋅by+ρ (c−δv )⋅b ( y+δy )=0
¿ 1ρb
220
−cy+( c−δv ) ( y+δy )=0
−cy+cy⏟0
+cδy−δv ( y+δy )=0
sehingga:
δv=c δyy+δy
Neraca energi pada CV adalah:∂∂ t ρ edV⏟
0 , steady
+ ρe ( v⋅n ) dA= Q+W⏟0 , tdk . ada
ρe ( v⋅n ) dA|kiri+ ρe ( v⋅n ) dA|kanan=0Integrasi persamaan ini diikuti dengan penyederhanaan & penganggapan tidak ada gesekan akan menghasilkan persamaan Bernoulli. Karena tekanan di kiri dan kanan CV sama besar, maka persamaan Bernoulli tinggal menjadi:
12 ρc2+ρ gy= 1
2 ρ (c−δv )2+ ρg ( y+δy )
12 c2+gy=1
2 c2−cδv+ 12 δv2+gy+gδy
cδv− 12 δv2=gδy
Penyulihan v dari neraca massa memberikan:
cc δyy+δy
− 12 (c δy
y+δy )2=gδy
c2 δyy+δy (1− 1
2δy
y+δy )=gδy
c2=g y+δy
(1− 12
δyy+δy )
Jika usikan gelombang jauh lebih kecil dari kedalaman (y << y) maka:
c2=gyatau:
c=√gyJadi akar kuadrat dari gy tidak lain adalah kecepatan penjalaran gelombang permukaan.
221
B. Aliran SeragamAliran seragam
Aliran saluran terbuka seragam adalah aliran dengan kedalaman fluida dan penampang lintang saluran yang tetap. Jika aliran diketahui, kedalaman fluida bisa dihitung. Jika kedalaman maksimum yang diijinkan diketahui, aliran maksimum bisa dihitung.
Gambar 148. Saluran terbuka
Persamaan Chezy
Dalam aliran seragam kedalaman air tetap sebesar kedalaman normalnya yn dan kecepatan konstan di sepanjang saluran. Persamaan Bernoulli pada saluran dengan kemiringan (slope) S = tan() dari hulu 1 ke hilir 2 dengan demikian menjadi:
ρ gh1=ρ gh2+ ρ ghL
atau:
h1−h2=hL
SL=f LDh
v2
2 gdengan Dh=4 Rh
atau:
v=( 8 gf )
1 /2
(Rh S )1 /2
Untuk bentuk dan kekasaran dasar saluran tertentu, nilai (8g/f)1/2
adalah konstan C. Dengan demikian maka persamaan kecepatan (dan debit) menjadi:
222
v=C (Rh S )1/2Q=vA
Inilah rumus Chezy yang dikembangkan pertama kalinya oleh insinyur Perancis Antoine Chezy. Konstanta C disebut koefisien Chezy yang nilainya beragam dari sekitar 30 m1/2/s untuk saluran kecil kasar sampai 90 m1/2/s untuk saluran besar halus.
Persamaan Manning
Pada dasarnya, kerugian gesekan dalam aliran saluran seragam tidak begitu berbeda dari aliran pipa turbulen berkembang penuh dengan koefisien gesekan:
1f 1/2 =−2,0 log( ε /Dh
3,7+ 2 , 51
Re f 1/2⏟kecil sekali
)Saluran terbuka biasanya kasar dan bilangan Reynolds-nya melebihi 106 sehingga suku yang mengandung pembagian dengan Re bisa diabaikan:
1f 1/2 =−2,0 log( ε /Dh
3,7 )Persamaan ini bisa dicocokkan dengan ungkapan pendekatan yang lebih sederhana berupa fungsi pemangkatan (bukan log) sbb:
f≈0 ,18( εDh )
1/3=0 ,113( ε
Rh )1/3
Jika faktor gesekan ini disulihkan ke dalam besaran C = (8g/f)1/2
dalam persamaan Chezy, maka:
C≈[ 8 g0 , 113ε 1/3 ]
1/2
Rh1 /6
Jika nilai ini disulihkan ke dalam persamaan Chezy maka diperoleh:
v=C (Rh S )1/2
¿ [8 g0 ,113 ε1/3 ]⏟
tertentu1/2
Rh1/6 (Rh S )1/2
karena g konstan dan e bergantung hanya pada sifat fisik saluran, maka persamaan bisa dinyatakan ringkas, untuk sistem metrik, menjadi:
v=1n
Rh
23
√S
Inilah persamaan Manning dalam sistem metrik. Koefisien kekasaran Manning n telah dipilih tak berdimensi dan sama
223
nilainya untuk sistem metrik maupun Inggris. Akibatnya, jika digunakan sistem satuan Inggris, persamaan disesuaikan dengan faktor sebesar 1,49. Faktor ini bisa dipahami melalui pemahaman dimensi berikut:
Dimensi [ 8 g0 ,113ε 1/3 ]
1/2
adalah |Lt−1
L1/3 |12=L
(1−13 )1
2 t−1=L1/3 t−1
Di sini dimensi waktu sama-sama bersatuan detik dalam sistem metrik dan Inggris, tetapi dimensi panjang berbeda. Oleh karena itu, faktor koreksinya adalah konversi panjang dari m ke ft dipangkatkan 1/3:
[ 8 g0 ,113 ε1/3 ]
1/2
=m1/3 s−1
n =(3 , 2808 ft )1 /3 s−1
n =1,49 ft1/3 s−1
n
Dengan demikian, untuk sistem Inggris persamaan Manning menjadi:
v=1 ,49n
Rh
23√ S
Dalam persamaan ini,
Rh adalah radius hidrolik, yaitu perbandingan antara luas penampang aliran A dan keliling basah kanal P.
S adalah kemiringan dasar kanal (ft/ft atau m/m).
n adalah koefisien kekasaran Manning (n = 0,015 untuk beton, n = 0,03 untuk kanal alami bersih, dan n = 0,01 untuk kaca).
Debit aliran adalah hasilkali v dan luas penampang saluran A:
Q=vACatatan Selain persamaan Manning, sesungguhnya ada banyak persamaan
serupa lainnya, tetapi persamaan Manning adalah yang paling populer. Walaupun begitu, hasil prediksinya tidak bagus untuk saluran yang dalam-halus dan saluran dangkal-kasar. Dalam kasus ini, sebaiknya dipilih rumusan faktor friksi.
Nilai koefisien Manning bisa berubah bergantung kedalaman air, pertumbuhan vegetasi musiman, dan faktor lain semisal erosi dasar saluran.
Contoh Kanal beton terbuka persegi panjang (n = 0,015) dirancang untuk membawa aliran sebesar 2,28 m3/s. Kemiringan kanal (slope, S) adalah 0,006 m/m (beda ketinggian 6 m tiap jarak sejauh 1000 m). Lebar kanal adalah 2 meter. Tentukan kedalaman normal yang terjadi pada kanal ini.
Pertama, menghitung radius hidrolik R:
224
R= AP=
2 yn
2+2 yn
Kemudian, menggunakan persamaan Manning:
v=1n
Rh
23
√S
Q=Av=A 1n
Rh
23√S
2 ,28=2 yn10 , 015 (2 yn
2+2 yn )23 √0 , 006
Hasilnya:
yn = 0,47mContoh Banjir bisa terjadi jika air meluap dari tepi kanal. Berapakah aliran
yang diijinkan dalam kanal beton bergeometri trapesium dengan gambaran sebagai berikut:
Lebar dasar, b = 35 ft
Kedalaman normal, yn = 25 ft
Kemiringan dinding tepi kanal terhadap bidang datar, = 20o
Kemiringan kanal (slope), S = 0,001 ft/ft
Karena dinding kanal terbuat dari beton, maka n = 0,015. Kemudian, radius hidrolik Rh, berdasarkan geometri, bisa ditentukan menggunakan hubungan berikut:
Rh=AP=
yn [b+ yn cot (θ ) ]b+2
yn
sin (θ )
atau:
Rh=25 [35+25cot (20 ) ]35+2 25
sin (20 )
=2592181 ,2
=14 , 3 ft
Dari sini debit aliran bisa dihitung dengan rumus Manning dalam sistem Inggris:
v=1 , 49n
Rh
23
√ S
Q=Av=A 1 ,49n
Rh
23
√S
¿2592 1, 490 , 015
(14 , 3 )2
3 √0 , 0003
¿26 ,27 ft 3
s
225
Kesimpulannya, aliran maksimum yang diijinkan = 26,27 cfsContoh Berapa laju aliran dalam kanal ragam dinding pada Gambar 149?
Untuk menyelesaikan persoalan aliran dalam kanal seperti ini, tiap bagian beda kanal diperlakukan terpisah. Nilai A, R, P dan Q ditentukan untuk tiap penampang bagian dengan koefisien kekasaran berbeda.
Penampang berumput:
Penampang berumput ada 2, yaitu di sisi kiri dan kanan kanal. Debit aliran pada tiap penampang bisa ditentukan sebagai berikut:
Rh=AP=
(5×3 )(5+3 )
=15 ft2
8 ft=1 ,88 ft
sehingga:
Q=A 1 , 49n
Rh
23
√S
¿15 1 , 490 , 03
(1 ,88 )2
3√0 , 005
¿80 , 24 ft3
s
Jadi debit aliran pada kedua bagian saluran berumput adalah:
Qberumput=2×80 ,24 ft3
s=160 , 48 cfs
Penampang Beton:
Rh=AP=
(5×6 )(5+3+3 )
=30 ft2
11 ft=2 ,72 ft
sehingga:
Qbeton=A 1 , 49n
Rh
23
√S
¿30 1 , 490 , 015
(2 ,72 )2
3√0 , 005
¿410 , 6 ft3
s
Dengan demikian maka debit pada seluruh kanal adalah:
Qtotal = 410,6 + 160,48 = 571 cfs
226
Betonn = 0,015
S=0,005ft/ft 3’
3’
Rumputn = 0,3 Rumput
n = 0,3
5’ 5’ 5’
Gambar 149. Saluran terbuka ragam dinding
Gambar 150. Lompatan hidrolik
C. Lompatan HidrolikTeori lompatan hidrolik
Lompatan hidrolik (Gambar 150) terjadi dalam aliran yang superkritis, yaitu saat fluida mengalir lebih cepat daripada kecepatan perambatan gelombang permukaan. Berikut ini akan ditinjau teori lompatan hidrolik (hydraulic jump) paling sederhana, di mana lompatan dianggap terjadi pada bidang datar. Katakanlah lebar kanal adalah b.
Neraca massa pada CV adalah:∂∂ t ρ dV⏟
0 , steady
+ ρ (v⋅n ) dA=0
ρ ( v⋅n ) dA|kiri+ ρ (v⋅n )dA|kanan=0−ρv1 y1 b+ρv2 y2 b=0
atau:
v2 y2=v1 y1
Neraca energi pada CV adalah:∂∂ t ρ edV⏟
0 , steady
+ ρe ( v⋅n ) dA= Q+W⏟0 , tdk . ada
227
ρe ( v⋅n ) dA|kiri+ ρe ( v⋅n ) dA|kanan=0Integrasi persamaan ini diikuti dengan penyederhanaan & penganggapan tidak ada gesekan akan menghasilkan persamaan Bernoulli. Karena tekanan di kiri dan kanan CV sama besar, maka persamaan Bernoulli tinggal menjadi:
u1+12 ρv1
2+ρ gy 1=u2+12 ρv2
2+ρ gy2
Kerugian head yang terjadi diredam menjadi kenaikan energi internal sehingga:
ρ ghrugi=(u2−u1)=ρg[ v12−v2
2
2g + y1− y2]hrugi=
v12−v2
2
2g+ y1− y2
Berdasarkan hasil analisis neraca massa maka:
hrugi=
v12
2 g (1− y12
y22 )+ y1− y2
Neraca momentum pada CV adalah:∂∂ t ρ vdV⏟
0 , steady
+ ρv (v⋅n ) dA=∑ F
−ρv1 v1 by1+ ρv2 v2 by 2= ρg 12 y1 by1− ρg 1
2 y2 by2
−v12 y1+v
22 y2=g 12 ( y
12− y22)
v12(− y1+
v22
v12
y2)=g 12 ( y
12− y22)
Berdasarkan hasil analisis neraca massa, perbandingan v bisa diganti dengan perbandingan y sehingga:
v12
2 g=1
4( y
12− y22)
− y1+y
12
y22
y2
=14
y2 ( y12− y
22)y1 ( y1− y2 )
=14
y2
y1( y1+ y2)
Hasil ini bisa digunakan ke dalam persamaan head rugi:
228
hrugi=v1
2
2g (1− y12
y22 )+ y1− y2
¿14
y2
y1( y1+ y2)(1− y1
2
y22 )+ y1− y2
¿14 y1 y2
( y1 y22+ y2
3− y13− y1
2 y2+4 y12 y2−4 y1 y2
2 )
¿14 y1 y2
( y 23− y1
3+3 y12 y2−3 y1 y2
2 )⏟=( y 2− y 1 )3
Jadi rugi dissipasi lompatan hidrolik adalah:
hrugi=( y2− y1)
3
4 y1 y2
Dari sini tampak bahwa kerugian disipasi terjadi hanya jika y2 > y1, artinya lompatan hidrolik terjadi hanya jika aliran di hulu superkritis.
Gambar 151. Aliran tenang (Fr<1)
229
Gambar 152. Aliran deras (Fr>1,0)
Klasifikasi lompatan hidrolik
Parameter utama yang mempengaruhi lompatan hidrolik adalah
bilangan Froude, Fr=[v1/ (gy1 )1/2] , aliran hulu. Bilangan Reynolds dan geometri saluran hanya memberikan pengaruh sekunder. Dalam aliran tenang (Gambar 151), dicirikan oleh Fr < 1, tidak mungkin terjadi lompatan hidrolik. Dalam aliran deras (Gambar152) bisa terjadi lompatan hidrolik dengan ciri-ciri yang berbeda sesuai nilai Fr. Berikut adalah salah satu cara klasifikasi lompatan hidrolik:
1) Pada Fr = 1,0 sampai 1,7 terjadi lompatan berayun dengan gelombang-diam sepanjang kira-kira 4y2; disipasi energinya rendah (< 5%).
2) Pada Fr = 1,7 sampai 2,5 terjadi lompatan lemah dengan permukaan naik secara halus dengan gulungan kecil gelombang; disipasi energinya 5 sampai 10%.
3) Pada Fr = 2,5 sampai 4,5 terjadi lompatan berosilasi tak stabil; tiap lendutan tak teratur menghasilkan gelombang besar yang bisa menjalar ke hilir bermil-mil jauhnya, merusak tanah pinggir saluran dan struktur lainnya. Disipasi energinya 15 sampai 45%, dan kondisi ini tidak dianjurkan untuk desain.
4) Pada Fr = 4,5 sampai 9,0 terjadi lompatan steady, seimbang baik dan stabil; dipandang sebagai keadaan terbaik untuk desain dengan disipasi energi 45 sampai 70%.
5) Pada Fr > 9,0 terjadi lompatan kuat yang agak terputus-putus, tetapi kinerjanya baik dengan disipasi energi 70 sampai 85%.
230
Gambar 153. Notch berbentuk sembarang
D. Pengukuran AliranPengukuran aliran
Notch adalah bukaan pada sisi tangki atau tandon pengukuran yang merentang ke atas sampai permukaan bebas (free surface). Weir adalah notch pada skala besar, yang digunakan misalnya untuk mengukur aliran sebuah sungai, dan tepinya dibuat tajam (tipis) atau memiliki lebar sepanjang arah aliran.
Metode untuk menentukan aliran teoritik melalui notch sama dengan yang diadopsi untuk orifice besar.
Untuk notch berbentuk sembarang (Gambar 153), dengan pita selebar b setebal dh pada kedalaman h di bawah permukaan bebas.
Luas pita, dA=b . dh
Kecepatan melalui pita, V=√2 gh
Aliran melalui pita, dQ=V . dA=√2gh⋅b⋅dhIntegrasi aliran dari h = 0 di permukaan bebas sampai h = H di dasar notch memberikan aliran teoritis total:
Q= dQ= h=0
h=H
√2 gh . b .dh=√2g h=0
h=H
√h . b . dh
Untuk integrasi persamaan ini diperlukan pengetahuan ungkapan b sebagai fungsi h.
Notch persegi
Untuk notch persegi dengan lebar b konstan sebesar B, ungkapan debitnya adalah:
Q=√2 g B h=0
h=H
√h .dh=√2 g B 23 H3/2
231
Gambar 154. Notch-V
Notch-V Untuk notch-V dengan sudut (Gambar 154),
tan( θ2 )=
12 b
H−h
atau:
b=2 ( H−h ) tan ( 12 θ )
sehingga ungkapan debit alirannya menjadi:
Q=√2 g h=0
h=H
√h.b .dh=√2 g 2 tan ( 12 θ )
h=0
h=H
( H−h )√h .dh
atau:
Q=2√2g tan ( 12
θ )[ 23 Hh3 /2−25
h5 /2]h=0
h=H
atau
Q= 815 √2 g tan ( 1
2θ)H5 /2
Dari sini jelas bahwa bentuk hubungan Q dan H yang diinginkan bisa diatur dengan memilih bentuk notch yang sesuai.
Seperti halnya pada orifice, aliran aktual melalui notch atau weir bisa ditentukan dengan mengalikan aliran teoritik dengan koefisien aliran (discharge coefficient) untuk memperhitungkan kerugian energi dan kontraksi penampang lintang aliran pada dasar dan sisi notch atau weir.
Kecepatan aliran cairan menghampiri notch bisa dianggap sangat kecil sehingga energi kinetiknya bisa diabaikan; selain itu bisa juga diambil anggapan bahwa kecepatan melalui elemen horizontal pada notch hanya tergantung pada kedalamannya di bawah permukaan bebas.
Kedua anggapan ini memuaskan untuk aliran pada notch atau weir di tepi tandon yang besar. Namun bila notch atau weir ditempatkan pada tepi kanal sempit, kecepatan hampiran pada weir akan cukup
232
berarti dan head h yang menghasilkan aliran akan meningkat akibat energi kinetik cairan yang menghampirinya pada nilai:
x=h+V 1
2
2gdengan v1 adalah kecepatan aliran pada kanal hampiran. Nilai v1
diperoleh dari pembagian aliran dengan luas total penampang kanal itu sendiri (bukan luas notch). Hasilnya, aliran melalui strip menjadi:
dQ=√2 gx .b .dh
Gambar 155. Notch trapesium
Notch Trapesium
Persamaan untuk aliran melalui notch trapesium (Gambar 155) diperoleh dari persamaan untuk notch persegi dan V, yaitu:
Qtrapesium=Qpersegi+QV
dengan:
Qpersegi=√2 g B 23 H3/2
QV=8
15 √2 g tan (θ/2 ) H5/2
233
MODUL XII. ALIRAN EKSTERNAL
Deskripsi
Seperti tergambar dari sebutannya, aliran eksternal mewakili fenomena aliran yang terjadi di sekitar suatu benda apapun. Dalam geraknya relatif terhadap fluida, suatu benda akan mengalami gaya hambat dan gaya angkat. Modul ini mengulas cara menentukan besarnya kedua gaya tersebut.
Sasaran belajar:
14. Membedakan aliran eksternal dari aliran internal15. Menghitung besar dan menentukan arah gaya hambat dan gaya angkat
yang dialami suatu benda dalam pergerakannya di dalam fluida.
A. Aliran Eksternal vs. InternalAliran eksternal vs. internal
Pada modul-modul sebelumnya pembahasan terbatas pada aliran fluida yang melalui saluran berupa dinding padat. Saluran dikatakan tertutup jika aliran dibatasi sepenuhnya oleh permukaan dinding padat, dan saluran dikatakan terbuka jika aliran dibatasi sebagian oleh permukaan dinding padat dan sisanya terbuka atau kontak dengan atmosfir. Semua aliran yang terjadi di sini dikatakan aliran internal. Aliran internal digerakkan terutama oleh perbedaan tekanan atau oleh perbedaan ketinggian.
Modul ini akan membahas aliran eksternal, yaitu aliran yang terjadi di luar atau di sekitar benda yang terendam dalam fluida (Gambar156). Aliran semacam ini terjadi, misalnya, di sekitar pesawat terbang, kendaraan darat, kendaraan air, bangunan, dll. Akibat aliran di sekitarnya, benda akan mengalami dua macam gaya, yaitu gaya hambat (drag force) searah aliran, dan gaya angkat (lift force) tegaklurus arah aliran.
Penerapan Pemahaman tentang aliran eksternal memungkinkan analisis gaya hambat dan angkat pada benda. Ini diperlukan misalnya dalam mendesain aspek aerodinamik turbin angin, pesawat terbang, mobil, dlsb; atau aspek hidrodinamik kapal laut, kapal selam dan kendaraan air lainnya, aliran di luar pipa pendingin kondenser, dll.
234
Gambar 156. Aliran eksternal
B. Gaya Hambat & AngkatGaya hambat dan angkat
Analisis aliran bisa dilakukan dengan menempatkan sistem koordinat pada benda. Analisis ini diperlukan untuk memperkirakan besarnya gaya hambat dan angkat yang bekerja pada benda. Analisis analitik hanya bisa dilakukan pada persoalan yang sangat disederhanakan. Dalam praktiknya, analisis aliran di sekitar benda, terlebih lagi yang memiliki geometri rumit, sangat mengandalkan korelasi empirik yang diturunkan dari data eksperimen.
Sebuah benda yang terndam dalam aliran fluida akan mengalami gaya-gaya tekan dan geser viskos. Untuk aliran 2D, resultan gaya-gaya ini bisa diurai menjadi dua komponen: gaya angkat (lift force) dan gaya hambat (drag force). Besarnya gaya angkat FL dan gaya hambat FD ini bergantung pada: densitas fluida (), kecepatan aliran bebas (V), ukuran/luas benda (A), serta bentuk dan orientasi benda yang diwakili oleh koefisien gaya angkat CL dan koefisien gaya hambat CD, yaitu:
FL=(CL Fkinetik )=C L12 ρV ∞
2 A
FD=(CD Fkinetik )=C D12 ρV∞
2 A
Koefisien gaya angkat CL dan hambat CD ditentukan dari eksperimen (menggunakan terowongan angin atau air) berdasarkan perbandingan gaya-gaya tersebut dengan gaya kinetik:
235
CL=[FL
Fkinetik ]=F L12 ρV ∞
2 A
CD=[FL
Fkinetik ]=F D12 ρV ∞
2 A
Koefisien gaya angkat CL dan hambat CD selain bergantung pada geometri juga pada keadaan aliran sebagaimana tercermin dari bilangan Reynoldsnya.
Ukuran luas geometri benda A ditentukan berdasarkan definisi yang dibuat saat pengumpulan data dilakukan. Definisi A berbeda-beda pada objek kajian yang berbeda sehingga perlu dicermati dengan baik sebelum suatu korelasi digunakan. Misal,
Pada silinder berdiameter D sepanjang L, A didefinisikan sebagai luas tampak depan (frontal area) sebagaimana yang dihadapi oleh aliran; jadi A = DL.
Pada sayap pesawat, A bukan didefinisikan sebagai luas tampak depan melainkan luas bentuk datar sayap (planform area), yaitu hasilkali panjang tali busur (chord, c) airfoil dan bentang sayap L; jadi A = cL.
Gaya hambat: tekanan & gesekan
Hambatan bentuk benda (profile drag) tersusun dari dua komponen, yaitu hambatan gesekan (friction drag) akibat gesekan fluida di kulit permukaan benda, dan hambatan tekanan (pressure drag) akibat perbedaan tekanan fluida di depan dan belakang benda.
Hambatan gesekan dan hambatan tekanan sangat bergantung pada bentuk dan orientasi benda. Benda dengan permukaan yang lebih luas akan mengalami gaya gesekan yang lebih besar. Hambatan tekanan biasanya dominan untuk benda gemuk (blunt bodies) dan sangat kecil untuk benda langsing (streamline). Besarnya hambatan tekanan sebanding dengan perbedaan tekanan di depan dan belakang benda.
236
Gambar 157. Pemisahan aliran pada aerofoil
Pemisahan aliran
Pada kecepatan yang cukup tinggi, arus fluida bisa lepas dari permukaan benda sehingga terjadilah pemisahan aliran (flow separation). Pemisahan aliran terjadi jika aliran dalam lapisan batas tidak memiliki cukup energi kinetik untuk mengatasi kenaikan tekanan arushilir. Untuk terjadinya pemisahan aliran diperlukan dua syarat, yaitu:
Gradien tekanan positif, (dp/dx) >0, dan
Pemisahan aliran lapisan batas (boundary layer flow).
Pada aerofoil, jika sudut antara talibusur (chord) dan arus aliran lebih besar dari nilai tertentu (beberapa belas derajat) maka terjadi pemisahan aliran. Pemisahan aliran (Gambar 157) menyebabkan:
Gaya angkat berkurang karena turunnya perbedaan tekanan di bawah dan atas aerofoil, dan
Gaya hambat bertambah karena naiknya perbedaan tekanan di depan dan belakang aerofoil.
Dalam keadaan ini gaya angkat aerofoil anjlok, seakan kehilangan gaya angkat. Peristiwa ini biasa disebut stall. Lihat Gambar 158.
237
Gambar 158. Efek pemisahan aliran pada koefisien gaya angkat dan hambat aerofoil
Ulasan lapisan batas
Pengenalan konsep lapisan batas (1904) telah membawa kemajuan signifikan dalam mekanika fluida. Konsep ini memungkinkan pembagian medan aliran melalui dinding dalam dua daerah, yaitu:
daerah lapisan batas (viskos), dan
daerah invisid.
Lapisan batas yang terjadi di sekitar dinding permukaan datar tumbuh makin tebal ke arus hilir. Pada bilangan Reynolds besar, gaya inersia lebih besar daripada gaya viskos sehingga gaya viskos tidak bisa mencegah fluktuasi fluida yang acak dan cepat. Akibatnya aliran menjadi turbulen. Lihat Gambar 159.
Gambar 159. Pertumbuhan lapisan batas dari laminer ke turbulen
238
Gambar 160. Kurva Cd bola dan silinder
Hambatan gesekan dinding jauh lebih besar dalam lapisan batas turbulen, dibandingkan dalam lapisan batas laminer, karena gradien kecepatannya lebih besar.
Pada saat yang sama, karena lebih tingginya kecepatan dalam daerah dekat dinding, lapisan batas turbulen juga lebih mampu menahan pemisahan aliran. Efek dari mundurnya lokasi pemisahan aliran adalah lebih rendahnya hambatan tekanan. Ini tampak pada penurunan mendadak nilai CD pada bilangan Reynolds ~5105 di mana lapisan batas menjadi turbulen dan lokasi pemisahan aliran mundur lebih ke belakang benda (Gambar 160). Di sini, ukuran wake berkurang dan demikian pula hambatan tekanan.
Kenyataan ini bisa dan telah dimanfaatkan, misalnya, untuk menunda terjadinya pemisahan aliran pada bola golf dengan cara membuat cekungan-cekungan (dimples) di permukaannya. Efek dari mundurnya lokasi pemisahan aliran adalah lebih rendahnya hambatan tekanan, sehingga secara keseluruhan hambatan aliran bola golf berkurang, dan bola golf bisa menjangkau jarak lebih jauh.
Contoh Suatu parasut dengan porositas rendah berdiameter 10m diameter digunakan untuk menurunkan beban 100 kg. Berapakah kecepatan jatuh terminal benda jika diketahui CD sebesar 1,2 dan densitas udara 1,2 kg/m3.
Gaya-gaya yang bekerja pada kasus penjatuhan benda ini adalah gaya berat dan gaya hambat. Pada saat awal mulai dilepas, parasut dan benda bergerak dipercepat sampai saat keadaan terminal tercapai. Setelah itu, karena gaya-gaya yang berkerja seimbang, percepatan menjadi nol dan benda bergerak dengan kecepatan jatuh tetap (disebut kecepatan terminal). Pada keadaan ini, neraca gaya arah-y (arah jatuh):
239
ddt
(mV )=0=∑ F y
FDrag−Fberat=0
atau:
CD12 ρV jatuh
2 A−mg=0
atau:
V jatuh=√ mgC D
12 ρA
Jika dianggap massa parasut adalah 5 kg, maka:
V jatuh=√ (100+5 ) kg . 9,8 (m /s2)1,2 1
2 1,2 (kg /m3 ) π4 (10 m )2
=√18 ,2=4,3 (m / s )
240
MODUL XIII. KESERUPAAN & PEMODELAN
Deskripsi
Mekanika dikembangkan melalui pasangan metode teoritik dan eksperimental yang keduanya saling melengkapi. Eksperimen yang berhasil memerlukan perencanaan yang baik. Sebagai bagian penting dari perencanaan eksperimen adalah analisis dimensional. Analisis dimensional memungkinkan reduksi jumlah variabel berdimensi yang terlibat dalam eksperimen. Dengan demikian eksperimen bisa dilaksanakan dengan jauh lebih efisien.
Sasaran belajar:
16. Menjelaskan pengertian dimensi, dimensi dasar, dimensi turunan, dan sistem satuan
17. Menjelaskan kepentingan dan melakukan analisis dimensional18. Membedakan keserupaan geometrik, kinematik, dinamik, dan keserupaan
total antara model dan prototip19. Melakukan penskalaan dari model ke prototip
A. DimensiDimensi Dimensi adalah ukuran kuantitas fisis semisal panjang, waktu,
massa. Satuan adalah pemberian angka pada suatu dimensi, misalnya panjang dalam m, waktu dalam detik, dan massa dalam kg.
Dimensi ada 2 macam, yaitu:
1. Dimensi primer/dasar (fundamental)2. Dimensi sekunder/turunan
Dimensi dasar & turunan
Dimensi dasar ada 7, yaitu:
1. Massa m (kg)2. Panjang L (m)3. Waktu t (sec)4. Suhu T (K)5. Arus listrik I (A)6. Jumlah cahaya C (cd)7. Jumlah materi N (mol)
Ketujuh dimensi dasar ini bisa dikombinasikan untuk membentuk semua dimensi turunan. Contoh:
[Kecepatan] = [Panjang/Waktu] = [L/t] [Gaya] = [Massa Panjang/Waktu2] = [mL/t2]
Penentuan dimensi dasar
Dimensi yang dipandang dasar atau fundamental sebenarnya dipilih begitu saja. Ilustrasinya demikian. Luas A adalah karakteristik yang
241
bisa diukur dari suatu objek, dan berarti luas adalah dimensi.
Dimensi luas = dimensi panjang dikuadratkan (A=L2).
Namun boleh juga dikatakan:
Dimensi panjang = dimensi luas diakarkuadratkan (L=A1/2)
Jadi, tidak jelas mana dimensi yang lebih dasar daripada lainnya.
Walaupun demikian, sepintas tampak adanya hirarki kegunaan dalam sehimpunan dimensi yang serupa. Oleh karena itu, sejumlah dimensi sepakat dipilih begitu saja sebagai dimensi dasar, dan semua dimensi yang terkait dengan dimensi dasar disebut sebagai dimensi turunan.
Dari sini bisa dipahami kenyataan bahwa kesepakatan tentang dimensi dasar di dunia ini memang tidak hanya satu, tetapi lebih dari satu. Ini bisa dilihat dari perbedaan dimensi dasar dalam dua sistem satuan berikut:
Sistem MLt – dengan massa sebagai dimensi dasar. Sistem FLt – dengan gaya sebagai dimensi dasar.
Satuan, dengan demikian, tidak lebih dari cara untuk mengangkakan dimensi. Satuan memberikan skala angka yang bisa dipakai untuk melakukan pengukuran kuantitas dalam suatu dimensi.
Skala angka satuan, berbeda dari dimensi, bersifat sembarang dan tidak berurusan dengan hukum fisika. Gagasan tentang sistem satuan lebih merupakan produk budaya atau peradaban silam yang beragam. Jadi bisa dimengerti jika suatu dimensi memiliki beragamnya satuan pengukuran. Akibatnya, makna suatu ukuran bergantung pada cara bagaimana ia diperoleh, yaitu pada macam sistem pengangkaan yang digunakan.
B. NirdimensionalisasiNirdimensi-onalisasi
Persamaan fisika yang biasanya berdimensi bisa menjadi tak berdimensi jika setiap suku diskalakan dengan dimensi primer yang terdapat dalam persamaan asalnya.
Dalam persoalan aliran fluida setidaknya ada 3 parameter penskala, yaitu:
1. L, 2. V, dan 3. P0 - P,
sebab sedikitnya ada 3 dimensi primer dalam persoalan umum (massa, panjang, dan waktu).
Keuntungan nirdimensionalisasi adalah:
1. Meningkatkan insight tentang parameter kunci.
242
2. Mengurangi jumlah parameter persoalan:a. Lebih mudah dikomunikasikan,b. Lebih sedikit eksperimen,c. Lebih sedikit simulasi.
3. Memungkinkan ekstrapolasi hasil ke kondisi yang belum diuji.
Nirdimensionalisasi bisa dilakukan jika persamaan atur suatu fenomena sudah diketahui. Namun, dalam banyak persoalan aliran, persamaan bisa tidak diketahui atau sulit diselesaikan:
1. Eksperimen satu-satunya cara untuk memperoleh informasi andal.
2. Dalam kebanyakan eksperimen digunakan model skalaan geometrik (untuk menghemat waktu & uang).
3. Keadaan dan hasil eksperimen harus diskalakan serawajar sehingga hasilnya penuharti untuk prototip skala penuh.
Untuk itu perlu Analisis Dimensi.
C. Analisis DimensiTujuan Tujuan utama analisis dimensi adalah:
1. Memperoleh parameter tak berdimensi yang membantu dalam perancangan eksperimen (fisik dan/atau numerik) dan dalam pelaporan hasil. Parameter tak berdimensi biasa ditandai oleh lambang .
2. Memperoleh hukum penskalaan sehingga kinerja prototip bisa diprediksi dari kinerja model.
3. Memperkirakan kecenderungan dalam hubungan antar-parameter.
Butir-butir ini penting kaitannya dengan pemodelan, karena eksperimen seringkali dilakukan pada skala model.
Teori Model Ada 3 syarat yang perlu dipenuhi agar terdapat keserupaan (similarity) penuh antara sebuah model dan prototip.
1. Keserupaan Geometrik – bentuk model sama dengan prototip. Setiap dimensi diskalakan dengan faktor yang sama.
2. Keserupaan Kinematik – kecepatan di tiap titik dalam model sebanding dengan dalam prototip sebesar faktor skala tetap.
3. Keserupaan Dinamik – semua gaya dalam model sebanding dengan dalam prototip sebesar faktor skala tetap.
4. Keserupaan Total dicapai hanya jika semua 3 syarat di atas terpenuhi. Ini tidak selalu mungkin diraih, misal: model kapal & model sungai.
Keserupaan total, dengan kata lain, dipenuhi jika semua parameter tak berdimensi independen pada model dan prototipe bernilai
243
sama. Contoh parameter tak berdimensi adalah bilangan Reynolds Re, bilangan Froude Fr, koefisien Drag, CD, dll.
Contoh Tinjaulah eksperimen mobil. Pada kasus ini, yang penting untuk diperoleh adalah gambaran gaya hambat aerodinamik yang dialami mobil saat melaju. Secara umum, besarnya hambatan bisa dipikirkan akan merupakan fungsi dari kecepatan udara relatif terhadap mobil, sifat udara (densitas dan viskositas) serta dimensi mobil.
• Gaya hambat F = f(V, , , L)
• Melalui analisis dimensi, persoalan yang asalnya melibatkan 5 parameter berdimensi bisa direduksi menjadi
hanya melibatkan 2 parameter tak berdimensi Π1=f (Π 2) atau CD=f (Re ) .
Eksperimen biasanya dilakukan dalam skala model (Gambar 161). Jika dari eksperimen dengan model mobil telah diperoleh hubungan CD dan Re, maka hambatan aerodinamik dari prototipe pada Re yang sama bisa diperkirakan sbb:
CD , prototip=CD , modelFD , p
ρp V p2 Lp
2 =FD , m
ρmV m2 Lm
2
FD , p=F D , m(ρp
ρm )(V p
V m )2
(L p
Lm )2
Gambar 161. Model dan prototipe mobil
Teori Model Buckingham
Parameters tak berdimensi bisa diperoleh dengan sejumlah metode, salahsatunya adalah Metode Pengulangan Variabel.
Metode ini dipopulerkan oleh Edgar Buckingham (1867–1940) &
244
pertama dipublikasikan oleh ilmuwan Rusia Dimitri Riabouchinsky (1882–1962) pada tahun 1911.
Enam langkah:
1. Kenali parameter dlm masalah dan hitung jumlahnya n.2. Daftarkan dimensi dasar tiap parameter.3. Tentukan banyaknya dimensi dasar yang terlibat j.
Gunakan j sebagai taksiran reduksi #parameter. Hitung k yaitu #parameter tak berdimensi , k = n - j.
4. Pilih j parameter pengulangan. 5. Susun sebanyak k, dan otak-atik seperlunya.6. Tulis hubungan fungsional akhir dan periksa aljabarnya.
Berikut adalah pedoman pemilihan parameter pengulangan:
1. Parameter pengulangan yang dipilih harus mewakili SEMUA dimensi dasar.
2. Kelompok Parameter pengulangan terpilih sebaiknya tidak bisa dijadikan tak berdimensi di antara mereka sendiri. Jika tidak, sisanya tak bisa dibentuk.
3. Ambil parameter lazim karena bisa muncul pada tiap .4. Ambil parameter sederhana daripada parameter rumit.5. Jangan pernah pilih variabel dependen supaya tidak muncul
dalam semua .6. Jangan pernah ambil parameter yang sudah tak berdimensi.7. Jangan pernah ambil dua parameter dengan dimensi sama
atau berbeda hanya pada pangkatnya.8. Pilih konstanta berdimensi daripada variabel berdimensi
sehingga hanya satu yang mengandung variabel berdimensi itu.
Keserupaan Tanlengkap
Keserupaan total, dalam praktiknya bisa sangat sulit untuk dicapai. Oleh karena itu, seringkali dilakukan eksperimen dengan model yang tidak serupa sepenuhnya dengan prototipe.
Sebagai contoh, kesulitan ini dijumpai pada aliran dalam saluran terbuka. Aliran dengan permukaan bebas menghadirkan tantangan unik dalam penyerupaan dinamika lengkap.
Untuk penerapan hidrolika (Gambar 162), kedalaman sangat kecil dibandingkan lebar sungai. Jika geometri dibuat serupa, kedalaman model jadi begitu kecil sehingga muncul masalah
Efek tegangan permukaan (bilangan Weber) menjadi penting.
Pengumpulan data menjadi sulit.
Jadi diambil model tak serupa yang membutuhkan koreksi/korelasi empirik untuk mengekstrapolasi data model ke skala penuh.
245
(a)
(b)
Gambar 162. Prototipe dam Wanapum di Sungai Columbia AS (a) dan model fisik dam di Iowa Institute of Hydraulic Research (b)
Kesulitan yang sama juga dijumpai dalam pemodelan kapal laut (Gambar 163). Untuk hidrodinamika kapal, keserupaan Fr dipertahankan sementara Re dibiarkan berbeda. Hal ini dilakukan karena keserupaan total, di mana parameter Re dan Fr harus sekaligus cocok untuk model dan prototipe, tidak mungkin dicapai dalam praktiknya. Mengapa? Simak keserupaan lengkap berikut:
Rep=V p Lp
υ p=Rem=
V m Lm
υm
atau :υm
υ p=
V m
V p
Lm
Lp
dan
246
Fr p=V p
√gLp=Frm=
V m
√gLm
atau :V m
V p=(Lm
Lp )1/2
sehingga dari keduanya diperoleh syarat:
υm
υ p=(Lm
Lp)3/2
Supaya Re & Fr keduanya cocok, viskositas fluida dalam uji model
merupakan fungsi skala: υm
υ p=( Lm
Lp)
3 /2
. Hal ini jelas tidak selalu bisa
dicapai.
(a)
(b)
Gambar 163. Prototipe kapal laut (a) dan model skala 1/20 (b)
247
D. Ekstrapolasi Model-PrototipeEkstrapolasi keserupaan tanlengkap
Walaupun pencocokan nilai semua pada model dengan suaian pada prototipe tidak selalu bisa dilakukan, untungnya dalam sejumlah kasus keserupaan tanlengkap seperti ini, ekstrapolasi hasil uji pada model masih bisa dilakukan untuk memperoleh taksiran pada prototipe skala penuh.
Contoh: pengukuran gaya hambat model truk dalam terowongan angin yang memiliki kecepatan maksimum 70 m/s. Model yang digunakan serupa sageometri berskala 1/16 sepanjang 0,991 m. Bagian uji terowongan angin cukup besar sehingga efek penyumbatan (blockage) tidak perlu dirisaukan.
Udara dalam terowongan angin bersuhu dan tekanan sama dengan udara yang mengalir lewat prototipe. Aliran yang disimulasikan adalah pada kecepatan prototipe Vp = 60 mi/h (26,8 m/s).
Hal pertama yang dilakukan adalah menyamakan Re:
Dari sini diperoleh kecepatan uji model Vm sebesar:
Angka ini 6 kali lebih besar dari kecepatan maksimum yang bisa dicapai terowongan angin, dan aliran jadi supersonic (>346 m/s). Bilangan Mach pada prototipe (0,080) tidak cocok dengan pada model (1.28). Jelas tidak mungkin bilangan Reynolds pada model disamakan dengan pada prototipe menggunakan model & terowongan angin ini. Lalu bagaimana?
248
Pilihan untuk atasi keserupaan tanlengkap:
1. Gunakan terowongan angin lebih besar. Perusahaan biasanya melakukan uji pada model mobil skala 3/8 dan truk atau bus skala 1/8 dalam terowongan angin yang sangat besar. Besarnya model dibuat agar sumbatan/blockage (rasio luas muka model & tampang lintang saluran uji) < 7,5%.
2. Gunakan fluida beda. Terowongan air bisa mencapai bilangan Reynolds lebih besar daripada terowongan angin untuk ukuran yang sama, tetapi biaya instalasi & operasinya lebih mahal.
3. Naikkan tekanan dan/atau setel suhu udara untuk menaikkan kemampuan bilangan Reynolds maksimum (terbatas).
4. Jalankan terowongan angin di dekat kecepatan maksimum, dan ekstrapolasi hasilnya ke bilangan Reynolds skala penuh.
Data gaya hambat FD dari hasil uji terowongan angin model truk skala 1/16 dengan panjang 0,991 m, tinggi 0,257 m, dan lebar 0,159 m diperlihatkan pada tabel.
Akan ditaksir besarnya gaya hambat aerodinamik pada prototip yang melaju 26,8 m/s.
Anggaplah udara dalam terowongan angin sama dengan yang mengalir melalui prototipe, suhu 25°C dan tekanan atmosferik.
Besarnya CD dan Re untuk model bisa dihitung berdasarkan data pada tabel, misal:
249
Dan hasil seluruhnya dalam grafik adalah:
Besarnya bilangan Re prototipe:
Bilangan Reynolds prototipe 6 kali lebih besar daripada model. Karena Re keduanya tidak sama, maka di sini tidak bisa dicapai keserupaan dinamik.
Walaupun demikian, dari gambar CD vs. Re tampak bahwa Ketaktergantungan pada Re bisa dicapai — pada Re > sekitar 5 105, CD menetap sekitar 0,76.
Dari sini, ekstrapolasi ke prototipe skala penuh bisa dilakukan denga anggapan CD tetap dengan kenaikan Re sampai nilainya untuk prototipe.
Taksiran hambatan aerodinamik prototipe adalah:
Ctt: tidak ada jaminan bahwa angka ekstrapolasi ini benar.
250
