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SEMANA 1

ANÁLISIS DIMENSIONAL

ANÁLISIS VECTORIAL

1. Calcule las dimensiones de A y B

respectivamente, en la siguiente ecuación dimensionalmente correcta

d = A t + 0,5 B t2

Donde d es distancia y t es tiempo.

A) L T 1 ; L T 2

B) L T 2 ; L 2 T 2

C) L T 2 ; L T 3

D) L 2 T 1 ; L 2 T 2

E) L 2 T 3 ; L T 2

RESOLUCIÓN

Si la ecuación es dimensionalmente correcta, entonces cada uno de los

términos de la ecuación debe tener las mismas dimensiones. Luego, la ecuación dimensional se expresa:

[ e ] = [A] [t] = [0,5] [ B ] [ t ]2

Nótese que todos los términos han sido igualados y ahora se

reemplaza las dimensiones de las cantidades físicas conocidas.

L = [ A ] T = (1) [ B ] T 2

Recuerde: [0,5 ] = (1).

Finalmente se deduce:

[ A ] = L T 1 ; [ B ] = = L T 2

RPTA.: A

2. La energía en el S.I., se mide en

joules (J). Si la energía cinética (Ec) de un cuerpo está definida

mediante:

EC = 0,5 mv 2

Donde m es masa y v es el módulo de la velocidad.

¿Cuál de los siguientes grupos de unidades equivale al Joule?

A) kg m2 s1

B) kg m 1 s 2

C) kg m 2 s 2

D) kg m2 s 2

E) kg m3 s 2

RESOLUCIÓN Escribimos la ecuación dimensional

de la energía cinética y reemplazamos las dimensiones de las cantidades físicas conocidas.

[ EC ] = [ 0,5 ] [ m ] [ v ] 2

[ EC ] = (1) M ( LT 2 ) 2

[ EC ] = M L 2 T 2

Reemplazamos las unidades de cada magnitud fundamental y encontramos el joule (J)

expresado en términos de las unidades fundamentales.

Joule = J = kgm 2 s 2

RPTA.: D

3. Un grupo de unidades que

representa la medición de la

potencia es:

A) lb pie3 s 3 B) lb pie2 s2

C) kg m3 s 2

D) lb pie2 s 3

E) kg m3 s 2

RESOLUCIÓN: lb pie 2 s 3

RPTA.: D

4. El número de Reynolds es un valor

adimensional el cual nos indica si

un flujo es turbulento o laminar,

dentro de un tubo. El número de

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Reynolds “R”, se calcula mediante

la siguiente ecuación:

R = V d /

Donde es la densidad, V la

rapidez promedio y d el diámetro

del tubo. Determinar las

dimensiones de la viscosidad .

A) M2 L1 T 1

B) M3 L1 T 1

C) M L1 T 1

D) M L2 T 1

E) M L1 T 2

RESOLUCIÓN

Escribimos la ecuación dimensional:

[R] [] = [] [V] [d]

Como R es adimensional lo

reemplazamos por la unidad

(1) [] = ML3 LT 1 L

[] = ML1T 1

RPTA.: C

5. La densidad (D) de un sólido según

la temperatura, está dada por la

siguiente ecuación :

Donde M es la masa y ∆T la

variación de la temperatura.

Determinar las dimensiones de B.

A) L3 1 B) L3 1

C) L 3 D) M3 1 T 1

E) M L1 1

RESOLUCIÓN

[D] ( [A] + [B][∆T] ) = [M] [D] [A] = [D] [B] [∆T] = [M]

ML 3 [A] = ML 3 [B] = M

[B] = L3 1 RPTA.: B

6. Un objeto que realiza un

movimiento periódico tiene la siguiente ecuación:

X =A e t cos ( t + )

Donde X es la posición, t el tiempo

y e 2,82. Determine la dimensión

de [A ].

A) L T 2 B) L T 1 C) L2 T 2

D) L 2 T 2 E) L 2 T 1

RESOLUCIÓN

Escribimos la ecuación dimensional

y resolvemos:

[X] = [A] [e ] t [cos (t + )]

[X] = [A] (1) (1)

L = [A]

Los exponentes son adimensionales,

por lo tanto dimensionalmente se

igualan a la unidad:

[exponente] = 1

[t ] = 1 [1] [] [t] = 1

(1) [] T = 1

[] = T 1

Los ángulos son adimensionales:

[ángulo] = 1

[(t + )] = 1 [] [t] = [] = 1

[]T = [] = 1

[] = T 1 ; [] = 1

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Reemplazando las dimensiones

encontradas, tenemos:

[A ] = (L)( T 1 )(T 1) = L T 2

RPTA.: A

7. En cierto experimento, se mide el

tiempo que demora un péndulo

simple en dar una oscilación. Se

observa que este tiempo depende

de la aceleración de la gravedad y

de la longitud de la cuerda. La

ecuación empírica del periodo en

función de estas dos últimas

cantidades es:

A) 6,28 g1/2 L1/2

B) 4,22 g1/3 L1/2

C) 3,12 g1/5 L1/3

D) 1,24 g1/3 L1/3

E) 3,14 g2 L1/2

RESOLUCIÓN: Las tres cantidades relacionadas son:

t = tiempo g = aceleración de la gravedad.

L = longitud de la cuerda. Se elabora una relación entre las

cantidades físicas:

t = k g x L y Donde:

k: es un número adimensional, denominado constante de

proporcionalidad. x e y: son exponentes de valor

desconocido, que determinaremos para que la ecuación empírica

quede determinada.

Se escribe la ecuación dimensional

y se reemplaza las dimensiones de las cantidades conocidas.

[ t ] = [ k ] [ g ] x [ L ] y

T = (1) ( LT 2 ) x ( L ) y

T = L x + y T 2 x

Comparando los exponentes de las

dimensiones a cada lado de la ecuación, deducimos:

2x = 1 x = 1/2

x + y = 0 y = +1/2

Finalmente la ecuación empírica es:

t = kg 1/2 L1/2 =

RPTA.: A

8. Con respecto a la gráfica,

determine la dimensión del área

sombreada.

A) M 2 L T 1

B) M L T 1

C) M L2 T 1

D) M L2 T 1

E) L2 T 2

RESOLUCIÓN: La dimensión del área comprendida por la gráfica F – t es:

[área (F–t)] = [F] [t]/2=(MLT2 )(T)/1

[área (F–t)] = ML T 1 RPTA.: B

9. Con respecto a la gráfica A vs B

mostrada en la figura, determine la

dimensión de la pendiente de la

recta. Donde A es masa y B es

volumen.

A) M L1

B) M L2

C) M 1 L1

D) M T 3

E) M L3

t(s)

F(N)

2s

B

x

40m

1s

A

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RESOLUCIÓN: La dimensión de la pendiente de la recta es:

[pendiente (A – B) ] =

A

B

[pendiente (A–B)] =

3

masa M

volumen L

[pendiente (A–B)] 3ML RPTA.: E

10. La diferencia de potencial eléctrico

“ V ” entre dos puntos de un

material está dada por:

WV

q

Donde W es el trabajo necesario

para trasladar las cargas entre

dichos puntos y q es la cantidad de

carga neta que se traslada.

Determine las dimensiones de la

diferencia de potencial eléctrico.

A) M L 1 T 3 I 1

B) M L 2 T 3 I 1

C) M1 L1 T 3 I 1

D) M T 3 I 1

E) M L 3 I 1

RESOLUCIÓN: Escribimos la ecuación dimensional

y reemplazamos las dimensiones del trabajo y la carga eléctrica:

2 2W M L TV

q I T

2 3 1V M L T I

RPTA.: B

La unidad de la

diferencia de

potencial o

voltaje es el

voltio (V).

11. La capacitancia (C) de un capacitor

es la división entre el valor de la

carga (Q) que almacena una de sus

armaduras y la diferencia de

potencial (V) entre las armaduras

del capacitor. Determine las

dimensiones de la capacitancia.

A) M1 L2 T 4 I1

B) M L 2 T 3 I1

C) M1 L1 T 3 I1

D) M T 3 I 1

E) M 1 L2 T4 I2

RESOLUCIÓN: Escribimos la ecuación dimensional

y reemplazamos las dimensiones de la carga eléctrica y de la diferencia

de potencial:

2 3 1

q I TC

V M L T I

1 2 4 2C M L T I

RPTA.: E

La unidad de la

capacidad eléctrica

es el faradio (F).

12. Determine el módulo de la

resultante de los vectores

A ,

B y

C .

60°

60°

4 6

A u B

= 4u

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A) 12 u B) 14 u C) 24 u D) 13 u E) 15 u

RESOLUCIÓN

Sumamos los vectores B y C

,

usando el método del

paralelogramo:

Calculamos el modulo de

CB

usando la fórmula:

Un análisis geométrico adicional nos

lleva a la conclusión de que el

vector

CB biseca al ángulo de

60°, esto es por que los vectores

que se han sumado tienen igual módulo. Por lo tanto el ángulo que

forman entre si el vector

A y

CB es 90°.

Sumamos ahora

A y

CB con el

método del paralelogramo.

Calculamos el modulo de

R A B C

usando la fórmula:

12R u

RPTA.: A

13. Dos vectores

A y

B tienen

módulos de 10 u y 6 u

respectivamente. Determinar en

que intervalo se encuentra el

módulo de la resultante que se

pueden obtener con estos dos

vectores.

A) uBAu 160

B) uBAu 40

C) uBAu 166

D) uBAu 106

E) uBAu 164

RESOLUCIÓN Calculamos el módulo de la resultante máxima y mínima de

estos dos vectores, cuando formen 0° y 180° entre sí respectivamente.

u16BA

; u4BA

El intervalo entre los cuales se encontrará la resultante de estos vectores de acuerdo al ángulo que

formen entre si será:

C

= 4u

A = 46 u u34CB

u12CBA

90°

2 24 4 2 4 4 60 4 3B C ( )( ) Cos u

2 24 6 4 3 2 4 6 4 3 90R ( ) ( ) ( )( ) Cos

B = 4u

C = 4u 60°

60°

4 3B C u

4 6A u

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4 16u A B u

RPTA.: E

14. Dos vectores tienen una resultante

máxima cuyo módulo es 14 u y una

resultante mínima cuyo módulo es

2u. Determine el módulo de la

resultante de los vectores cuando

son perpendiculares entre si.

A) 12 u B) 14 u C) 20 u

D) 10 u E) 15 u

RESOLUCIÓN Supongamos que sean dos vectores

A y

B , entonces según lo afirmado en el problema.

BAu14 ;

BAu2

Resolvemos y encontramos los

módulos de los vectores

A y

B .

u8A

u6B

Calculamos el módulo de los

vectores

A y

B usando la fórmula [1], cuando los vectores son

perpendiculares ( = 90°).

90Cos)6)(8(268BA22

u10BA

RPTA.: D

15. Sea el vector A

de módulo 5 u que

forma 63° con respecto al eje +x, y

las rectas L1 y L2 que forman

ángulos de 137° y 10° con

respecto al eje +x. Determine los

módulos de las componentes del

vector A

sobre L1 y L2.

A) 4 u y 6 u B) 8 u y 5 u

C) 5 u y 6 u D) 4 u y 5 u

E) 4 u y 3 u

RESOLUCIÓN

Dibujamos el vector

A y las rectas L1 y L2, Construimos un

paralelogramo y trazamos los

componentes de

A .

Calculamos el módulo de las componentes usando ley de senos y obtenemos:

A1 = 5cm Y A2 = 6cm

RPTA.: C

A

L2

L1

2A

1A 63° 10°

137°

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16. Los vectores A,B y C

están

ubicados en el sistema ortogonal,

tal como se muestra en la figura.

Determine la resultante de los

vectores.

A) R 0,8 i 0,3 j

B) R 0,8 i 0,3 j

C) R 0,8 i 0,3 j

D) R 0,8 i 0,3 j

E) R 0,3 i 0,8 j

RESOLUCIÓN Descomponemos rectangularmente

los vectores y calculamos los módulos de las componentes.

Calculamos la resultante en cada

eje usando vectores unitarios.

xR 1,2 i 2 i 2,4 i 0,8 i

yR 1,6 j 2 j 0,7 j 0,3 j

R 0,8 i 0,3 j

RPTA.: A

17. Los vectores A,B y C

están

ubicados en el sistema ortogonal, tal como se muestra en la figura.

Determine la resultante de los vectores.

A) 4 u 7º

B) 1 u 8 º

C) 4 u 0 º

D) 1 u 0 º

E) 1 u 10 º

RESOLUCIÓN Los ángulos mostrados no corresponden a triángulos notables. Si los vectores son girados 7° en

sentido horario, obtenemos que los vectores forman ángulos notables

con respecto a los ejes ortogonales.

A

= 2

cm

B

= 2 2 cm

C

= 2,5 cm

16° 53°

45° A

= 10u

B

= 82 u

u

83°

30°

38°

C

= 10u

AI

BJ

CJ

16° 53°

45°

CI

AJ

BI

A = 2cm

C = 2,5cm

B = 2 2 cm

A = 10u

B = 82 u

37°

45°

C = 10u

7°

7°

7°

90°

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Descomponemos los vectores y calculamos los componentes de

cada vector.

Calculamos la resultante

i4i10i8i6R x

j0j0j8j8R y

i4R

El módulo de la resultante es:

u4R

, girando el vector 7° en

sentido antihorario (para restituir el ángulo anteriormente girado), la

dirección y el sentido del vector resultante será: 7° con respecto al

eje +x. RPTA.: A

18. Sean los vectores A 6 i 8 j 2k

y

B 2 i 12 j 6k

. Determine el

módulo de R 6 A 5 B

A) 42 u B) 12 u C) 63 u

D) 26 u E) 98 u

RESOLUCIÓN

Calculamos

R :

B5A6R

)k6j12i2(5)k2j8i6(6R

k42j36i30R

Calculemos el módulo de la

resultante.

63)42()36()30(R222

RPTA.: C

AI

B = 82 u

53°

45°

C = 10u

AJ A = 10 u

BI

BJ

u65

31037Sen10AI

u85

41037Cos10AJ

u82

12845Cos28B I

u82

12845Sen28BJ

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19. Calcule el módulo de la resultante de los vectores que se muestran en

la figura.

A) 8 u

B) 10 u

C) 6 u

D) 5 u

E) 9 u

RESOLUCIÓN Rx = 8 u Ry = 6 u

Calculamos la resultante aplicando

Pitágoras: R = 10 u

RPTA.: B

20. Determine el módulo del vector

A tal que la resultante de los vectores

mostrados en la figura sea vertical. (B = 25u)

A) 40 u

B) 20 u

C) 60 u

D) 30 u

E) 90 u

RESOLUCIÓN Descomponemos y sumamos:

x x xR B i A i 0

25cos53 i Acos60 i 0

A 30u

RPTA.: D

1u

1u

B

53°

A

60°

B

53°

A

y

60° x