Utn analisis1 limite

Introduccion Definicion Propiedades Asıntotas

Universidad Tecnologica Nacional

Facultad Regional Concordia

Ingenierıas Civil, Electrica e Industrial

Mario Alvarez

Unidad 2 - Lımite en funciones escalaresBibliografıa sugerida: Rabuffetti, Cap. 4; Salas, Cap. 2; Larson, Cap. 1

Primer cuatrimestre 2016Mario Alvarez Unidad 2 - Lımite en funciones escalares Bibliografıa sugerida: Rabuffetti, Cap. 4; Salas, Cap. 2; Larson, Cap. 1



Indice

Introduccion

Definicion

Propiedades

Asıntotas

Mario Alvarez Unidad 2 - Lımite en funciones escalares Bibliografıa sugerida: Rabuffetti, Cap. 4; Salas, Cap. 2; Larson, Cap. 1



Exploracion al concepto de lımite

Consideremos la siguiente funcion: f(x) = 2x2+x−62x−3 . ¿Cual es su

comportamiento ”cerca” de x = 1,5?




Definicion informal

Supongamos que f(x) esta definida en un intervalo abierto quecontiene a x = c, excepto posiblemente en x=c. Si f(x)esta arbitrariamente cerca de L (tan tan cercano como queramos)siempre que x este suficientemente cerca al valor x = c,excepto en x = c, se dice que f se aproxima a L cuando x tiendea x = c, y se escribe

lımx→c

f(x) = L

Se lee ”el lımite de f(x) cuando x tiende a c es L”.Ejemplos. . .




Definicion informal

La definicion antes dada es ”informal” porque las frasesarbitrariamente cercana y suficientemente cerca no son precisas (susignificado depende del contexto).Pensemos en que cuando decimos ”x esta cerca de c, exceptoposiblemente en c” estamos diciendo que 0 < |x− c| < δ para un δconsiderado.De igual manera, al decir que ”f(x) esta arbitrariamente cerca deL” lo expresamos de igual forma escribiendo que |f(x)− L| < εpara un epsilon dado




Otro ejemplo de exploracion

¿Como se comporta la siguiente funcion cuando x esta cerca de 3?Dirıamos, aun informalmente, que existe el lımite de la funcionpara este comportamiento de la variable?

f(x) =|x− 3|x− 3




Definicion formal

Definicion (Lımite finito)

Cuando escribimos que lımx→c f(x) = L lo que queremos decir eslo siguiente (formalmente, sin subjetividades):para todo E(L, ε) existe al menos un E′(c, δ) tal que se cumpleque:

si x ∈ E′(c, δ) =⇒ f(x) ∈ E(L, ε)

¿Como mas se podrıa escribir esta definicion?¿Como se usarıa para formalizar que lımx→3 2x− 5 = 1?




Definicion formal

lımx→c

f(x) = L⇔ ∀ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 / x ∈ E′(c, δ) =⇒ f(x) ∈ E(L, ε)




No existencia de lımiteEjemplo

Probar para la siguiente funcion f que no existe el lımite para

c ∈ R: f(x) =

{1 si x ∈ Q0 si x ∈ I

Teorema

Si lımx→c f(x) = L con L 6= 0 y lımx→c g(x) = 0 entonces

lımx→cf(x)g(x) no existe.

Ejemplo

Probar para la siguiente funcion f que no existe el lımite parax = 3: f(x) = x+ 1

x−3 + 1




Equivalencias usuales de la definicion

Teorema

lımx→c f(x) = L ⇔ lımx→c(f(x)− L) = 0 ⇔lımx→c |f(x)− L| = 0 ⇔ limh→0(f(c+ h)) = L




Lımites laterales

Definicion (Lımite lateral por izquierda)

Sean f una funcion definida al menos en un intervalo de la forma(c− h, c) con h > 0.Diremos que lımx→c− f(x) = L (y se lee L es el lımite de f(x)cuando x se acerca a c por izquierda, y se lo denomina ”lımitelateral izquierdo de f(x)”), si para cada ε > 0 existe un δ > 0 talque si c− δ < x < c entonces |f(x)− L| < ε.




Lımites laterales

Definicion (Lımite lateral por derecha)

Sean f una funcion definida al menos en un intervalo de la forma(c, c+ h) con h > 0.Diremos que lımx→c+ f(x) = L (y se lee L es el lımite de f(x)cuando x se acerca a c por derecha, y se lo denomina ”lımitelateral derecho de f(x)”), si para cada ε > 0 existe un δ > 0 talque si c < x < c+ h entonces |f(x)− L| < ε.




Lımites laterales

Teorema

lımx→c

f(x) = L⇔[

lımx→c−

f(x) = L ∧ lımx→c+

f(x) = L

]




Actividad

Probar, aplicando la definicion, los siguientes lımites. Luegoexplorar numericamente, si corresponde, con algun valor:

1. lımx→c x = c [Funcion identidad]

2. lımx→cmx+ b = m(c) + b [Funcion lineal]

3. lımx→c |x| = |c| [Funcion modulo]

4. lımx→c c = c [Funcion constante]

5. lımx→4 x2 − 5 = 11

6. lımx→11

x+4 = 15

7. lımx→2 ex = e2

8. lımx→c f(x) = L =⇒ lımx→c |f(x)| = |L| (¿Que ocurre conel recıproco?)




Algunas propiedades 1

1. Unicidad del lımite

2. Teorema de las funciones equivalentes

3. Conservacion del signo (no la probaremos, opcional enRabuffetti)

4. Lımite de una suma y una resta de dos funciones

5. Lımite de una multiplicacion por un escalar.

6. Lımite de una multiplicacion (no la probaremos, opcionalSalas)

7. Lımite de una funcion acotada por un infinitesimo

8. Lımite de un cociente de dos funciones. (no la probaremos,opcional Salas, o Apostol)

9. Teorema de la funcion intermedia.1Ampliar en libro de Gay y Salas-Hille




Otros resultados (algunos no los probaremos, para otros loharemos mas adelante) 2

1. Lımite del logaritmo, logaritmo del lımite

2. Lımite de la funcion exponencial y la funcion logarıtmica

3. Lımite de la funcion potencial exponencial

4. (Corolario) Otra forma de calcular el lımite de la funcionpotencial f(x) = xn

5. lımx→∞

(1 +

1

x

)x

= lımx→0

(1 + x)1x = e

2Opcional en Rabuffetti, Sadosky GuberMario Alvarez Unidad 2 - Lımite en funciones escalares Bibliografıa sugerida: Rabuffetti, Cap. 4; Salas, Cap. 2; Larson, Cap. 1



Generalizacion del concepto de lımite

Definicion (Lımite infinito)

lımx→c f(x) = +∞⇔ ∀M > 0 ∃ δ > 0 / 0 < |x− c| < δ =⇒f(x) > M .

Ejemplo

Probar que lımx→01x2 = +∞

Definicion (Asıntota vertical)

Se dice que x = c es una asıntota vertical⇔ lımx→c+ f(x) = ±∞ ∨ lımx→c− f(x) = ±∞




Generalizacion del concepto de lımite

Definicion (Lımite en el infinito)

lımx→∞ f(x) = L⇔ ∀ε > 0 ∃ N > 0/x > N =⇒ |f(x)−L| < ε.

Definicion (Asıntota horizontal)

Se dice que y = L es una asıntota horizontal⇔ lımx→+∞ f(x) = L ∨ lımx→−∞ f(x) = L

Definicion (Asıntota oblıcua)

Se dice que la recta y = mx+ b es una asıntota oblıcua ⇔lımx→+∞ [f(x)− (mx+ b)] = 0 ∨lımx→−∞ [f(x)− (mx+ b)] = 0




Actividad (esbozo de graficas)

Esbozar el grafico de las siguientes funciones.

1. f(x) = 3x2

2x2−2

2. f(x) = x2−5x+62x−3



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